´ln´ı rozklad samoadjungovany ´ch opera ´tor˚ 1. Spektra u 1.1. Motivace Vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory symetrick´e matice 1 −1 A= −1 2 2 |A − λE| = (1 − λ)(2 − λ) − 1 = λ − 3λ + 1 = λ −
Vlastn´ı ˇc´ısla jsou λ1 = vektory v1 , v2 .
v1 =
√ 3+ 5 , 2
λ2 =
√ 3− 5 . 2
√ 3+ 5 λ 2
−
√ 3− 5 2
Pro tato vlastn´ı ˇc´ısla nalezneme vlastn´ı
√ ! 3 5 x1 − x 2 = 0 1− − 2 2 √ !T √ !T −1 + 5 −1 − 5 v2 = 1, 1, 2 2
Tyto vektory jsou na sebe navz´ajem kolm´e. Tedy k symetrick´e matici A = existuje ortonorm´aln´ı b´aze tvoˇren´a vlastn´ımi vektory. ´ TOTO NEN´I NAHODA!
1 −1 −1 2
1.2. Adjungovan´ e zobrazen´ı ’ Necht U a V jsou euklidovsk´e nebo unit´arn´ı prostory. Necht’ ϕ : U → V je line´arn´ı. Adjungovan´e zobrazen´ı k zobrazen´ı ϕ je zobrazen´ı takov´e, ˇze
ϕ∗ : V → U hϕ(u), viV = hu, ϕ∗ (v)iU .
Vˇ eta. Necht’ α je ortonorm´ aln´ı b´ aze v U , β ortonorm´ aln´ı b´ aze ve V. Necht’ ϕ : U → V a (ϕ)β,α = A. Potom matice adjungovan´eho zobrazen´ı je (ϕ∗ )α,β = A¯T v unit´ arn´ım pˇr´ıpadˇe T A v euklidovsk´em pˇr´ıpadˇe. D˚ ukaz. Necht’ u ∈ U , v ∈ V jsou libovoln´e a (u)α = x, (v)β = y. Potom plat´ı (ϕ(u))Tβ .(v)β = hϕ(u), vi = hu, ϕ∗ (v)i = (u)Tα .(ϕ∗ (v))α ((ϕ)β,α (u)α )T .(v)β = (u)Tα .(ϕ∗ )α,β (v)β (AxT )¯ y = xT (ϕ∗ )α,β y¯ Tedy
xT A¯ y = xT (ϕ∗ )α,β y¯ AT = (ϕ∗ )α,β (ϕ∗ )α,β = A¯T . 1
2
Plat´ı i obr´acen´e tvrzen´ı: Je-li ϕ : U → V a [ϕ]α,β = A, ψ : V → U a [ψ]α,β = A¯T , pak ψ = ϕ∗ .
1.3. Samoadjungovan´ y oper´ ator ’ Necht ϕ : U → U je line´arn´ı oper´ator na euklidovsk´em nebo unit´arn´ım prostoru. ˇ ık´ame, ˇze ϕ je samoadjungovan´ R´ y, jestliˇze ϕ = ϕ∗ , tj. pro vˇsechna u, v ∈ U .
hϕ(u), vi = hu, ϕ(v)i
Vˇ eta. Oper´ ator ϕ : U → U je samoadjungovan´y, pr´ avˇe kdyˇz pro matici v ortonorm´ aln´ı b´ azi α plat´ı (ϕ)α,α = A = A¯T . Definice. Re´aln´a matice A se naz´ yv´a symetrick´ a, jestliˇze A = AT . Komplexn´ı matice T ¯ A se naz´ yv´a hermitovsk´ a, jestliˇze A = A . 1.4. Vlastn´ı ˇ c´ısla a vlastn´ı vektory samoadjungovan´ ych oper´ ator˚ u Lemma. Necht’ ϕ : U → U je samoadjungovan´y oper´ ator s invariantn´ım podprostorem ⊥ V. Potom V je rovnˇeˇz invariantn´ı.
D˚ ukaz. Necht’ w ∈ V ⊥ . Pro vˇsechna u ∈ V plat´ı tedy ϕ(w) ∈ V ⊥ .
hϕ(w), ui = hw, ϕ(u)i = 0,
Vˇ eta. Necht’ ϕ : U → U je samoadjungovan´y oper´ ator v unit´ arn´ım prostoru U . (1) Vlastn´ı ˇc´ısla zobrazen´ı ϕ jsou re´ aln´ a. (2) Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e r˚ uzn´ym vlastn´ım ˇc´ısl˚ um jsou navz´ ajem kolm´e. D˚ ukaz. (1) Necht’ λ je vlastn´ı ˇc´ıslo s vlastn´ım vektorem v: 2 ¯ λ||v|| = hv, λvi = hv, ϕ(v)i = hϕ(v), vi = hλv, vi = λ||v||2. ¯ Odtud plyne λ = λ.
(2) Necht’ ϕ(v1 ) = λ1 v1 , ϕ(v2 ) = λ2 v2 , v1 6= 0, v2 6= 0. Potom ¯ 2 hv1 , v2 i = λ2 hv1 , v2 i . λ1 hv1 , v2 i = hϕ(v1 ), v2 i = hv1 , ϕ(v2 )i = hv1 , λ2 v2 i = λ Protoˇze λ1 6= λ2 , mus´ı b´ yt v1 ⊥v2 .
Spektrum line´arn´ıho oper´atoru je mnoˇzina jeho vlastn´ıch ˇc´ısel. Vˇ eta. Pro kaˇzd´y samoadjungovan´y oper´ ator ϕ : U → U existuje ortonorm´ aln´ı b´ aze α prostoru U tvoˇren´ a vlastn´ımi vektory, v n´ıˇz m´ a ϕ diagon´ aln´ı matici s re´ aln´ymi vlastn´ımi ˇc´ısly na diagon´ ale.
Spektr´ aln´ı rozklad samoadjungovan´ ych oper´ ator˚ u
3
D˚ ukaz. (1) Je-li U komplexn´ı prostor, pak m´a charakteristick´ y polynom ϕ urˇcitˇe alespoˇ n jeden koˇren. Ten je vlastn´ım ˇc´ıslem (je tedy re´aln´ y) s vlastn´ım vektorem v 1 velikosti 1. [v1 ]⊥ je invariantn´ı v˚ uˇci ϕ, ϕ/[v1 ]⊥ : [v1 ]⊥ → [v1 ]⊥ je samoadjungovan´ ya pokraˇcujeme indukc´ı. (2) Je-li U re´aln´ y vektorov´ y prostor, pak v nˇejak´e ortonorm´aln´ı b´azi m´a ϕ matici A, kter´a je re´aln´a. A reprezentuje zobrazen´ı Cn → C n
x → Ax.
Toto zobrazen´ı je samoadjungovan´e, nebot’ A = AT = A¯T . Tedy A m´a re´aln´e vlastn´ı ˇc´ıslo λ s vlastn´ım vektorem x + i y ∈ Cn
Ax + i Ay = λx + i λy.
Porovn´an´ım re´aln´e a imagin´arn´ı ˇca´sti dostaneme Ax = λx Ay = λy
Tedy A m´a vlastn´ı vektor v Rn , proto ϕ : U → U m´a rovnˇeˇz vlastn´ı vektor k λ (jeho souˇradnice v dan´e ortonorm´aln´ı b´azi jsou vlastn´ım vektorem x matice A). [v] ⊥ je invariantn´ı v˚ uˇci ϕ a m˚ uˇzeme pokraˇcovat indukc´ı stejnˇe jako v (1). D˚ usledek 1.5. Necht’ ϕ : U → U je samoadjungovan´y oper´ ator s vlastn´ımi, navz´ ajem kolm´ymi vektory u1 , . . . , un a vlastn´ımi ˇc´ısly λ1 , . . . λn . Necht’ Pk : U → U je kolm´ a projekce na [uk ]. Potom ϕ = λ 1 P1 + λ 2 P2 + · · · + λ n Pn . P D˚ ukaz. Pro libovoln´ y vektor u = i xi ui je ! X X X ϕ xi u i = xi ϕ(ui ) = λ i xi u i . i
i
i
Protoˇze
Pi (uj ) = 0 Pi (uj ) = ui
je X j
λj P j
!
X i
xi u i
!
=
X i
i 6= j i = j,
λi Pi (xi ui ) =
X
λ i xi u i = ϕ
i
X i
xi u i
!
.
1.6. Samoadjungovan´ e oper´ atory a kvadratick´ e formy D˚ usledek 1.7. Pro kaˇzdou re´ alnou symetrickou matici A existuje ortogon´ aln´ı matice P tak, ˇze P T AP = P −1 AP
je diagon´ aln´ı.
4
D˚ ukaz. Podle vˇety o spektr´aln´ım rozkladu existuje v Rn ortonorm´aln´ı b´aze tvoˇren´a vlastn´ımi vektory matice A. V t´eto b´azi α je matice D zobrazen´ı x 7−→ Ax diagon´aln´ı D = P −1 AP.
P = (id),α je matice pˇrechodu od b´aze α ke standardn´ı b´azi . Tato matice je ortogon´aln´ı, nebot’ jej´ı sloupce jsou tvoˇreny vektory ortonorm´aln´ı b´aze α. Tedy P −1 = P T .
D˚ usledek pro kvadratick´ e formy. Kaˇzd´ a kvadratick´ a forma f na euklidovsk´em prostoru U dimenze n m´ a ve vhodn´e ortonorm´ aln´ı b´ azi analytick´y tvar f (x) = λ1 x21 + λ2 x22 + · · · λn x2n .
D˚ ukaz. Necht’ A je matice kvadratick´e formy f . Najdeme b´azi α tvoˇrenou vlastn´ımi ortonorm´aln´ımi vektory. V t´eto b´azi m´a kvadratick´a forma matici P T AP, kde P = (id),α .
Protoˇze P T = P −1 , je P T AP = P −1 AP diagon´aln´ı matice. Pˇ r´ıklad. Vyˇsetˇrujme v rovinˇe mnoˇzinu bod˚ u, kter´e jsou zad´any rovnic´ı x21 + 2x22 − 2x1 x2 = 1.
´ Upravou na ˇctverce dostaneme kvadratickou formu v diagon´aln´ım tvaru (x1 − x2 )2 + x22 = 1. x01
x02
= x2 a d´avaj´ı matici pˇrechodu = x1 − x2 , 1 0 Pro p˚ uvodn´ı b´azi e1 = , e2 = a novou b´azi u1 , u2 plat´ı 0 1 e1 = u1 e2 = −u1 + u2 . 1 1 Tedy nov´e souˇradnice jsou v b´azi u1 = , u2 = e 2 + e 1 = , 0 1
Nov´e souˇradnice jsou
1 −1 0 1
(x01 )2 + (x02 )2 = 1.
Tato b´aze n´am neurˇcuje osy elipsy (ty jsou k sobˇe vˇzdy kolm´e). Najdeme diagon´aln´ı tvar kvadratick´ e formy vnˇejak´e ortonorm´aln´ı b´azi. 1 −1 Matice kvadratick´e formy je A = · Spoˇc´ıt´ame jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla. −1 2 √ √ |A − λE| = λ2 − 3λ + 1 = λ − 3+2 5 λ − 3−2 5 q √ √ λ1 = 3+2 5 s vlastn´ım vektorem v1 = 5+2√5 1, −1−2 5 q √ √ λ2 = 3−2 5 s vlastn´ım vektorem v2 = 5−2√5 1, −1+2 5 V souˇradnic´ıch ortonorm´aln´ı b´aze α = (v1 , v2 ) m´a elipsa rovnici λ1 x21 + λ2 x22 = 1.
·
Spektr´ aln´ı rozklad samoadjungovan´ ych oper´ ator˚ u
Vektory v1 a v2 urˇcuj´ı smˇer os. V´ıce o kuˇzeloseˇck´ach v Line´arn´ı algebˇre III.
u2 v2 u1
v1
5
