1
Linearn´ı prostory nad komplexn´ımi ˇ c´ısly
V t´eto pˇredn´ aˇsce budeme hledat koˇreny polynom˚ u, kter´e se d´ale budou moci vyskytovat jako sloˇzky vektor˚ u nebo matic. Vzhledem k tomu, ˇze koˇreny polynomu (i re´aln´eho) mohou b´ yt obecnˇe komplexn´ı ˇc´ısla, bude potˇreba malinko zmˇenit definici line´ arn´ıho prostoru. Doposud jsme pˇredpokl´ adali, ˇze skal´ary v line´ arn´ım prostoru mohou b´ yt jen re´aln´a ˇc´ısla. Nicm´enˇe vˇse funguje stejnˇe (aˇz na vˇeci okolo skal´arn´ıho souˇcinu), kdyˇz za mnoˇzinu skal´ar˚ u vezmeme m´ısto re´aln´ ych ˇc´ısel ˇc´ısla komplexn´ı. Aˇckoli v t´eto pˇredn´ aˇsce tedy zamˇen´ıme re´aln´a ˇc´ısla za komplexn´ı, budeme se jim snaˇzit v uk´azkov´ ych pˇr´ıkladech vyhnout. Naˇs´ım typick´ ym line´ arn´ım prostorem bude nyn´ı Cn m´ısto Rn . Standarn´ı b´aze (E) = (e1 , . . . , en ) prostoru Cn je stejn´ a n jako pro R , tj. ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), kde 1 je na i-t´e pozici.
2
Vlastn´ı ˇ c´ısla a vektory
Necht’ A : L1 → L2 je line´ arn´ı zobrazen´ı, (B) = (b1 , . . . , bn ) b´aze L1 a (C) = (c1 , . . . , cm ) b´aze L2 . Pˇripomeˇ nme, ˇze matice A line´ arn´ıho zobrazen´ı A vzhledem k b´az´ım (B) a (C) je definov´ana jako matice, jej´ıˇz i-t´ y sloupec je sloˇzen ze souˇradnic obrazu i-t´eho b´azov´eho vektoru bi vzhledem k b´azi (C), tj. [A(bi )]C . Nav´ıc tato matice splˇ nuje rovnost [A(x)]C = A · [x]B pro kaˇzd´ y vektor x ∈ L1 . Mˇejme ˇctvercovou matici A typu (m, n). Pˇripomeˇ nme, ˇze zobrazen´ı A : Cn → Cm definovan´e A(x) = A · x je line´ arn´ı. Nav´ıc A je matice tohoto line´ arn´ıho zobrazen´ı vzhledem ke standardn´ım b´az´ım Cn a Cm . Necht’ L je line´ arn´ı prostor dimenze n a A : L → L je line´ arn´ı zobrazen´ı. Pokud (B) je uspoˇr´adan´ a b´aze L a A matice A vzhledem (B) a (B), budeme matici A kr´atce naz´ yvat matic´ı line´ arn´ıho zobrazen´ı A vzhledem k b´ azi (B). Vˇsimnˇete si, ˇze A mus´ı b´ yt ˇctvercov´a typu (n, n). V praxi je ˇcasto uˇziteˇcn´e, kdyˇz je tato matice “co nejjednoduˇsˇs´ı”. Budeme tedy zkoumat za jak´ ych okolnost´ı a jak je moˇzn´e line´ arn´ı zobrazen´ı A reprezentovat tzv. diagon´aln´ı (tj. “jednoduchou”) matic´ı. ˇ Definice 1 Ctvercovou matici D typu (n, n) λ1 0 0 λ2 D=0 0 .. .. . . 0
0
nazveme diagon´ aln´ı, pokud je tvaru: 0 ··· 0 0 ··· 0 λ3 · · · 0 , .. . . .. . . . 0
···
λn
kde λ1 , . . . , λn ∈ C. Diagon´ aln´ı matici D znaˇc´ıme kr´ atce diag(λ1 , . . . , λn ). Vˇsimnˇete si, ˇze kdyˇz lze line´ arn´ı zobrazen´ı A reprezentovat pomoc´ı diagon´aln´ı matice D vzhledem nˇejak´e b´azi (B) = (b1 , . . . , bn ), mus´ı pro kaˇzd´e i ∈ {1, . . . , n} platit A(bi ) = λi bi , protoˇze i-t´ y sloupec matice D je sloˇzen ze souˇradnic A(bi ) v b´azi (B). To motivuje n´asleduj´ıc´ı definici. ˇ ıslo λ ∈ C se naz´yv´ Definice 2 Mˇejme line´ arn´ı zobrazen´ı A : L → L. C´ a vlastn´ım ˇc´ıslem zobrazen´ı A, pokud existuje nenulov´y vektor x ∈ L takov´y, ˇze A(x) = λx. Vektor x se naz´yv´ a vlastn´ı vektor zobrazen´ı A pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ımu ˇc´ıslu λ. 1
Vˇ eta 1 Necht’ L je line´ arn´ı prostor dimenze n ∈ N a (B) = (b1 , . . . , bn ) jeho b´ aze. Line´ arn´ı zobrazen´ı A : L → L lze reprezentovat pomoc´ı diagon´ aln´ı matice D = diag(λ1 , . . . , λn ) vzhledem k b´ azi (B) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz λ1 , . . . , λn jsou vlastn´ı ˇc´ısla A a b1 , . . . , bn jsou jejich pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory. D˚ ukaz: (⇒): Jestliˇze D je matice A vzhledem K (B), pak i-t´ y sloupec matice D jsou souˇradnice A(bi ) v b´azi (B). Takˇze pro vˇsechny i ∈ {1, . . . , n} m´ ame A(bi ) = λi bi , tj. λi je vlastn´ı ˇc´ıslo A a bi je jeho pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ı vektor. (⇐): Pˇredpokl´ adejme, λ1 , . . . , λn jsou vlastn´ı ˇc´ısla A a b1 , . . . , bn jsou jejich pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory. Pak pro kaˇzd´e i ∈ {1, . . . , n} m´ ame A(bi ) = λi bi . Z toho plyne, ˇze souˇradnice A(bi ) v b´azi (B) je vektor sam´ ych nul aˇz na i-tou sloˇzku, kter´a se rovn´a λi . Matice A vzhledem k b´azi (B) je tedy rovna D = diag(λ1 , . . . , λn ). Pokud tedy nalezneme b´azi L, kter´a se sest´av´a z vlastn´ıch vektor˚ u A, je moˇzn´e reprezentovat A pomoc´ı diagon´ aln´ı matice vzhledem k t´eto b´azi. Uk´aˇzeme si, ˇze za jist´ ych okolnost´ı je moˇzn´e takovou b´azi naj´ıt. Protoˇze kaˇzd´ a ˇctverov´a matice A typu (n, n) definuje line´ arn´ı zobrazen´ı A : Cn → Cn vztahem A(x) = A · x, m´ a smysl zav´est pojem vlastn´ıho ˇc´ısla a vektoru i pro ˇctvercov´e matice. ˇ ıslo λ ∈ C se naz´yv´ Definice 3 Necht’ A je ˇctvercov´ a matice typu (n, n). C´ a vlastn´ım ˇc´ıslem matice A, pokud existuje nenulov´y vektor x ∈ L takov´y, ˇze A · x = λx. Vektor x se naz´yv´ a vlastn´ı vektor matice A pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ımu ˇc´ıslu λ. N´ asleduj´ıc´ı vˇeta dav´a do souvislosti vlastn´ı ˇc´ısla a vektory line´ arn´ıho zobrazen´ı a jeho matice. Pˇripomeˇ nme, ˇze zobrazen´ı [ ]B , kter´e pˇriˇrazuje vektoru jeho souˇradnice v b´azi (B), je izomorfismus. Jeho inverze je zobrazen´ı ( )B , kter´e souˇradnic´ım pˇriˇrad´ı odpov´ıdaj´ıc´ı line´ arn´ı kombinaci. Vˇ eta 2 Mˇejme line´ arn´ı zobrazen´ı A : L → L a jeho matici A vzhledem k b´ azi (B). Pak A m´ a stejn´ a vlastn´ı ˇc´ısla jako A. Nav´ıc vektor x je vlastn´ı vektor A pr´ avˇe tehdy, kdyˇz [x]B je vlastn´ı vektor matice A. D˚ ukaz: (⇒): Pˇredpokl´ adejme, ˇze λ ∈ C je vlastn´ı ˇc´ıslo A a x je pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ı vektor, tj. A(x) = λx. Aplikac´ı zobrazen´ı [ ]B na tuto rovnost dostaneme: A · [x]B = [A(x)]B = [λx]B = λ[x]B , coˇz znamen´a, ˇze λ je vlastn´ı ˇc´ıslo A a [x]B je pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ı vektor. (⇐): Obr´acenˇe pˇredpokl´ adejme, ˇze λ ∈ C je vlastn´ı ˇc´ıslo A a [x]B je pˇr´ısluˇsn´ y vlastn´ı vektor, tj. [A(x)]B = A · [x]B = λ[x]B = [λx]B . Aplikac´ı ( )B na tuto rovnost dostaneme A(x) = λx.
Z pˇredchoz´ı vˇety tedy plyne, ˇze pokud chceme naj´ıt vlastn´ı ˇc´ısla a vektory line´ arn´ıho zobrazen´ı A staˇc´ı hledat vlastn´ı ˇc´ısla a vektory jeho matice A, tj. vyˇreˇsit rovnici A · x = λx = λE · x pro nezn´am´e ˇc´ıslo λ ∈ C a nezn´am´ y vektor x ∈ Cn . Upravou t´eto rovnice dostaneme (A − λE) · x = o, coˇz je homogenn´ı soustava line´ arn´ıch rovnic s parametrem λ. 2
Vzhledem k tomu, ˇze vlastn´ı vektory jsou z definice nenulov´e, zaj´ımaj´ı n´as pouze netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı t´eto soustavy. To nast´ av´a pouze v pˇr´ıpadˇe, ˇze soustava m´ a nekoneˇcnˇe mnoho ˇreˇsen´ı, coˇz je ekvivalentn´ı tomu, ˇze matice A − λE je singul´ arn´ı. Vyj´adˇreno pomoc´ı determinantu to znamen´a, ˇze det(A − λE) = 0. Definice 4 Polynom det(A − λE) v promˇenn´e λ se naz´yv´ a charakteristick´ y polynom matice A, k-n´ asobn´y koˇren tohoto polynomu se naz´yv´ a k-n´ asobn´e vlastn´ı ˇc´ıslo. Pˇ r´ıklad 1 Necht’ D = diag(λ1 , . . . , λn ). Pak det(D − λE) = (λ1 − λ) · · · (λn − λ). Takˇze vlastn´ı ˇc´ısla matice D jsou λ1 , . . . , λn . Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ımu ˇc´ıslu λi jsou vektory sam´ ych nul aˇz na i-tou sloˇzku ai , kter´a mus´ı b´ yt nenulov´a, viz n´asleduj´ıc´ı rovnost: 0 0 0 .. .. .. . . . a λ a D· = = λ i ai i i i .. .. .. . . . 0 0 0 Pˇ r´ıklad 2 Necht’ A : C2 → C2 je line´ arn´ı zobrazen´ı takov´e, ˇze A(1, 0) = 21 (1, 1) a A(0, 1) = 1 ı A na R2 tedy kolmo prom´ıt´ a vektory z R2 do line´ arn´ıho podpro2 (1, 1). Restrikce zobrazen´ storu h(1, 1)i. Najdˇete vlastn´ı ˇc´ısla a vlastn´ı vektory A. Matice A vzhledem ke standardn´ı b´azi lze odeˇc´ıst pˇr´ımo ze zad´an´ı: 1 1 1 A= . 2 1 1 Hledejme jej´ı vlastn´ı ˇc´ısla a vektory. Charakteristick´ y polynom A je: 1/2 − λ 1/2 = (1/2 − λ)2 − 1/4 = −λ + λ2 = λ(λ − 1) . det(A − λE) = 1/2 1/2 − λ
Vlastn´ı ˇc´ısla A (a tedy i A) jsou koˇreny tohoto polynomu, tj. 0 a 1. Pro tyto hodnoty bude m´ıt soustava (A − λE) · x = o netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı (to jsou hledan´e vlastn´ı vektory). Pro λ = 1 vypad´ a tato soustava takto: 0 0 −1/2 1/2 −1/2 1/2 ∼ 1/2 −1/2 0 0 0 0
Jej´ım ˇreˇsen´ım je line´ arn´ı obal h(1, 1)i. Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ımu ˇc´ıslu 1 jsou nenulov´e vektory z mnoˇziny h(1, 1)i. Pro λ = 0 vypad´ a tato soustava takto: 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 ∼ 1/2 1/2 0 0 0 0 Jej´ım ˇreˇsen´ım je line´ arn´ı obal h(−1, 1)i. Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ımu ˇc´ıslu 1 jsou nenulov´e vektory z mnoˇziny h(−1, 1)i. Naˇsli jsme tedy vlastn´ı vektory matice A line´ arn´ıho zobrazen´ı A : C2 → C2 vzhledem ke standardn´ı b´azi. Vlastn´ı vektory zobrazen´ı A nyn´ı podle Vˇety 2 odpov´ıdaj´ı vektor˚ um z C2 jejichˇz souˇradnice ve standardn´ı b´azi jsou dan´e vlastn´ımi vektory matice A. Takˇze napˇr. 3
vlastn´ı vektor (−1, 1) matice A odpov´ıd´ a vlastn´ımu vektoru −1 · (1, 0) + 1 · (0, 1) = (−1, 1) zobrazen´ı A. Vid´ıte, ˇze v tomto pˇr´ıpadˇe jsou oba vektory shodn´e. To je d˚ usledek toho, ˇze matice A reprezentuje A vzhledem ke standardn´ı b´azi. Podobnˇe vektor (1, 1) je z´aroveˇ n vlastn´ım vektorem zobrazen´ı A. Jak jsme zm´ınili v´ yˇse, pokud najdeme b´azi sestavenou z vlastn´ıch vektor˚ u line´ arn´ıho zobrazen´ı, v´ıme ˇze matice tohoto line´ arn´ıho zobrazen´ı vzhledem k t´eto b´azi bude diagon´aln´ı. V pˇr´ıpadˇe zobrazen´ı A jsme naˇsli dvojici vlastn´ıch vektor˚ u ((1, 1), (−1, 1)), kter´a tvoˇr´ı uspoˇr´ adanou b´azi C2 . Oznaˇcme ji (B). Matice D line´ arn´ıho zobrazen´ı A vzhledem k b´azi (B) by tedy mˇela b´ yt diagon´ aln´ı. Skuteˇcnˇe tomu tak je, protoˇze A(1, 1) = (1, 1) a A(−1, 1) = (0, 0). Nav´ıc [(1, 1)]B = (1, 0) a [(0, 0)]B = (0, 0). Takˇze 1 0 D= . 0 0 Geometricky to odpov´ıd´ a tomu, ˇze vektory na pˇr´ımce h(1, 1)i zobrazen´ı A nemˇen´ı a vektory leˇz´ıc´ı na kolm´e pˇr´ımce h(−1, 1)i zobrazen´ı A pos´ıl´a do nulov´eho vektoru. V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe jsme vidˇeli, ˇze pokud najdeme mezi vlastn´ımi vektory line´ arn´ıho zobrazen´ı line´ arnˇe nez´ avislou mnoˇzinu takovou, aby tvoˇrila b´azi, je moˇzn´e toto line´ arn´ı zobrazen´ı reprezentovat pomoc´ı diagon´ aln´ı matice. Bohuˇzel nˇekdy se st´av´a, ˇze tˇech vlastn´ıch vektor˚ u nen´ı “dost” na to, aby z nich ˇsla vybrat b´aze, viz n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıklad. Pˇ r´ıklad 3 Hledejme vlastn´ı ˇc´ısla a vektory matice 2 4 −3 A = −1 10 −6 . −1 8 −4 Charakteristick´ y polynom A je 2 − λ 4 −3 −6 = −(λ − 3)2 (λ − 2) . det(A − λE) = −1 10 − λ −1 8 −4 − λ
M´ ame tedy dvojn´asobn´e vlastn´ı ˇc´ıslo 3 Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e λ = 3: −1 4 −1 7 −1 8
a jednon´ asobn´e 2.
−3 −1 4 −3 −6 ∼ 0 1 −1 −7
ˇ sen´ı t´eto soustavy je h(1, 1, 1)i. Reˇ Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e λ = 2: 0 4 −3 −1 8 −6 ∼ −1 8 −6 0 4 −3 −1 8 −6 ˇ sen´ı t´eto soustavy je h(0, 3, 4)i. Reˇ
4
Vid´ıme, ˇze mezi h(1, 1, 1)i ∪ h(0, 3, 4)i lze naj´ıt maxim´ alnˇe dvouprvkou line´ arnˇe nez´avislou 3 mnoˇzinu, napˇr. {(1, 1, 1), (0, 3, 4)}. To znamen´a, ˇze line´ arn´ı zobrazen´ı A : C → C3 definovan´e vztahem A(x) = A · x nelze reprezentovat diagon´ aln´ı matic´ı. Skuteˇcnˇe, kdyby to ˇslo, pak by existovala b´aze (B) = (b1 , b2 , b3 ) takov´a, ˇze A · bi = λi bi pro nˇejak´ a λi ∈ C a i ∈ {1, 2, 3}. To by ale znamenalo, ˇze {b1 , b2 , b3 } je tˇr´ıprvkov´a lin. nez´ avisl´a mnoˇzina vlastn´ıch vektor˚ u matice A. Takov´a ale neexistuje, jak jsem zjistili v´ yˇse. N´ asleduj´ıc´ı vˇeta n´am d´av´a dostateˇcnou podm´ınku k tomu, aby bylo moˇzn´e mezi vlastn´ımi vektory line´ arn´ıho zobrazen´ı nal´ezt b´azi. Vˇ eta 3 Pro jakoukoliv mnoˇzinu navz´ ajem r˚ uzn´ych vlastn´ıch ˇc´ısel line´ arn´ıho zobrazen´ı (matice) je mnoˇzina pˇr´ısluˇsn´ych vlastn´ıch vektor˚ u line´ arnˇe nez´ avisl´ a. D˚ ukaz: Indukc´ı podle poˇctu vlastn´ıch ˇc´ısel. Necht’ A : L → L je line´ arn´ı zobrazen´ı. Mnoˇzina obsahuj´ıc´ı jeden vlastn´ı vektor A je LN, protoˇze vlastn´ı vektor je z definice nenulov´ y. Pˇredpokl´ adejme, ˇze vˇeta plat´ı jakoukoliv mnoˇzinu k r˚ uzn´ ych vlastn´ıch ˇc´ısel A. Necht’ λ1 , . . . , λk+1 jsou navz´ ajem r˚ uzn´ a vlastn´ı ˇc´ısla A a x1 , . . . , xk+1 pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory. Abychom uk´azali, ˇze {x1 , . . . , xk+1 } je LN, mus´ıme uk´azat, ˇze jedin´e ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı rovnice jsou sam´e nuly: α1 x1 + · · · + αk xk + αk+1 xk+1 = o .
(1)
Aplikac´ı A na obˇe strany (1) dostaneme: α1 A(x1 ) + · · · + αk A(xk ) + αk+1 A(xk+1 ) = A(o) = o . Protoˇze xi jsou vlastn´ı vektory A m˚ uˇzeme pˇrepsat pˇredchoz´ı rovnost na: α1 λ1 x1 + · · · + αk λk xk + αk+1 λk+1 xk+1 = o .
(2)
D´ ale vyn´ asoben´ı obou stran (1) ˇc´ıslem λk+1 dostaneme: α1 λk+1 x1 + · · · + αk λk+1 xk + αk+1 λk+1 xk+1 = o .
(3)
Odeˇcten´ım rovnice (2) od (3) obdrˇz´ıme: α1 (λk+1 − λ1 )x1 + · · · + αk (λk+1 − λk )xk + αk+1 (λk+1 − λk+1 ) xk+1 = o . | {z }
(4)
=0
Protoˇze {x1 , . . . , xk } je LN z naˇseho pˇredpokladu a λi 6= λk+1 pro i ∈ {1, . . . , k}, mus´ı platit α1 = · · · = αk = 0. Dosazen´ım zpˇet do rovnice (1) dostaneme αk+1 xk+1 = o. Protoˇze xk+1 6= o, mus´ı platit αk+1 = 0. Pro matice funguje stejn´ y d˚ ukaz, staˇc´ı si uvˇedomit, ˇze kaˇzd´ a ˇctvercov´a matice A typu (n, n) definuje line´ arn´ı zobrazen´ı A : Cn → Cn pˇredpisem A(x) = A · x. D˚ usledek 1 Necht’ A : L → L je line´ arn´ı zobrazen´ı jehoˇz vlastn´ı ˇc´ısla λ1 , . . . , λn jsou navz´ ajem r˚ uzn´ a. Pak diagon´ aln´ı matice D = diag(λ1 , . . . , λn ) je matice line´ arn´ıho zobrazen´ı A vzhledem k b´ azi (x1 , . . . , xn ), kde xi je libovoln´y vlastn´ı vektor pˇr´ısluˇsn´y vlastn´ımu ˇc´ıslu λi .
5
Pˇ r´ıklad 4 Necht’ L je line´ arn´ı prostor re´aln´ ych polynom˚ u stupnˇe nejv´ yˇse dva a A : L → L 2 line´ arn´ı zobrazen´ı definovan´e vztahem A(a0 +a1 x+a2 x ) = (2a0 −a1 −a2 )−a1 x+(2a1 +a2 )x2 . Rozhodnˇete, jestli existuje b´aze v˚ uˇci, kter´e m´ a A diagon´ aln´ı matici. 2 Matice zobrazen´ı A vzhledem k b´azi (1, x, x ) je 2 −1 −1 0 . A = 0 −1 0 2 1 Najdeme vlastn´ı ˇc´ısla A: 2 − λ −1 −1 −1 − λ 0 = (2 − λ)(−1 − λ)(1 − λ) . det(A − λE) = 0 0 2 1 − λ
Vlastn´ı ˇc´ısla tedy jsou 1, −1, 2. Protoˇze vˇsechna vlastn´ı ˇc´ısla jsou navz´ ajem r˚ uzn´ a, je diagon´aln´ı matice D = diag(1, −1, 2) matic´ı line´ arn´ıho zobrazen´ı A vzhledem k b´azi (B) sestaven´e z vlastn´ıch vektor˚ u pˇr´ısluˇsn´ ych postupnˇe vlastn´ım ˇc´ısl˚ um 1, −1, 2. Najdeme tuto b´azi. Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e λ = 1: 1 −1 −1 1 −1 −1 0 −2 0 ∼ 0 1 0 0 2 0 Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e λ = 1 jsou tedy nenulov´e vektory z h(1, 0, 1)i. Pro λ = −1 m´ ame: 3 −1 −1 3 −1 −1 0 0 0 ∼ 0 1 1 0 2 2 Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e λ = −1 jsou tedy nenulov´e vektory z h(0, −1, 1)i. Pro λ = 2 m´ ame: 0 −1 −1 0 1 1 0 −3 0 ∼ 0 1 0 0 2 −1 Vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e λ = 2 jsou tedy nenulov´e vektory z h(1, 0, 0)i. Naˇsli jsme vlastn´ı vektory matice A. Vlastn´ı vektory zobrazen´ı A z´ısk´ ame tak, ˇze pouˇzijeme vlastn´ı vektory (1, 0, 1), (0, −1, 1), (1, 0, 0) matice A jako souˇradnice v b´azi (1, x, x2 ). Hledan´ a b´aze (B) = (b1 , b2 , b3 ) tedy je b1 = 1 · 1 + 0 · x + 1 · x2 = 1 + x2 , b2 = 0 · 1 − 1 · x + 1 · x2 = −x + x2 , b3 = 1 · 1 + 0 · x + 0 · x2 = 1 .
Ovˇeˇrte si, ˇze skuteˇcnˇe plat´ı A(1+x2 ) = 1·(1+x2 ), A(−x+x2 ) = −1·(−x+x2 ) a A(1) = 2·1.
6
3
Podobn´ e matice
Necht’ L je line´ arn´ı prostor dimenze n, A : L → L je line´ arn´ı zobrazen´ı a A matice A vzhledem ˇ k nˇejak´e b´azi (B). Reknˇ eme, ˇze A je moˇzn´e reprezentovat tak´e jinou matic´ı A′ vzhledem k nˇejak´e b´azi (C). Jak´ y je vztah mezi tˇemito maticemi? Pˇripomeˇ nme, ˇze matice A splˇ nuje pro vˇsechny x ∈ L rovnost [A(x)]B = A · [x]B . Necht’ I je matice identick´eho zobrazen´ı vzhledem k b´az´ım (C) a (B) (tj. I je matice pˇrechodu od b´aze (B) k b´azi (C)). Pak I · [x]C = [x]B . Dosazen´ım do [A(x)]B = A · [x]B , dostaneme I · [A(x)]C = A · I · [x]C . Vyn´asoben´ım I−1 zleva zjist´ıme, ˇze [A(x)]C = I−1 · A · I · [x]C . To znamen´a, ˇze A′ = I−1 ·A·I. Skuteˇcnˇe, i-t´ y sloupec matice A′ je roven [A(ci )]C = I−1 ·A·I·[ci]C , kde ci je i-t´ y vektor b´aze (C). Protoˇze souˇradnice ci v b´azi (C) je vektor sam´ ych nul aˇz na i-tou sloˇzku, kter´ a je rovna jedn´e, je souˇcin I−1 · A · I · [ci]C roven i-t´emu sloupci matice I−1 · A · I. Vzhledem k tomu, ˇze matice pˇrechodu je regularn´ı matice a kaˇzd´ a regul´ arn´ı matice pˇredstavuje nˇejakou matici pˇrechodu, m´ a smysl zav´est n´asleduj´ıc´ı definici. Definice 5 Necht’ A a B jsou ˇctvercov´e matice stejn´eho typu. Pak matice A je podobn´ a −1 matici B, pokud existuje regul´ arn´ı matice P takov´ a, ˇze plat´ı P · B = A · P, tj. B = P · A · P. Vˇsimnˇete si, ˇze kaˇzd´ a matice je podobn´a sama sobˇe, protoˇze E je regul´ arn´ı matice a E · A = A · E. D´ ale, pokud je A podobn´ a B, je tak´e B podobn´a A. Skuteˇcnˇe, pokud P · B = A · P pro nˇejakou regul´ arn´ı matici, pak P−1 · A = B · P−1 . Vˇ eta 4 Dvˇe podobn´e matice A a B maj´ı stejn´e charakteristick´e polynomy, tj. stejn´ a vlastn´ı ˇc´ısla. D˚ ukaz: Protoˇze A a B jsou podobn´e, existuje regul´ arn´ı matice P takov´a, ˇze B = P−1 · A · P. Z toho plyne n´asleduj´ıc´ı rovnost: det(B − λE) = det(P−1 · A · P − λP−1 · E · P) = det(P−1 · (A − λE) · P) = = det(P−1 ) · det(A − λE) · det(P) = det(A − λE) . Posledn´ı rovnost plyne z faktu, ˇze 1 = det(E) = det(P · P−1 ) = det(P) · det(P−1 ), tj. det(P−1 ) = 1/ det(P). Pouˇzit´ım v´ ysledk˚ u z pˇredchoz´ı ˇc´asti o line´ arn´ıch zobrazen´ı dostaneme n´asleduj´ıc´ı vˇetu. Vˇ eta 5 Necht’ A je ˇctvercov´ a matice typu (n, n) a λ1 , . . . , λn ∈ C. Pak A je podobn´ a diagon´ aln´ı matici D = diag(λ1 , . . . , λn ) pr´ avˇe tehdy, kdyˇz λ1 , . . . , λn jsou vlastn´ı ˇc´ısla A a existuje b´ aze (B) = (b1 , . . . , bn ) line´ arn´ıho prostoru Cn , kde bi je vlastn´ı vektor matice A pˇr´ısluˇsn´y vlastn´ımu ˇc´ıslu λi . Nav´ıc pokud A je podobn´ a D, pak A = P · D · P−1 , kde i-t´y sloupec matice P je roven vlastn´ımu vektoru bi . D˚ ukaz: Necht’ A : Cn → Cn je line´ arn´ı zobrazen´ı definovan´e vztahem A(x) = A · x. Pak A je matice A vzhledem ke standardn´ı b´azi. (⇒): Pokud je A podobn´ a D, pak D = P−1 ·A·P pro nˇejakou regul´ arn´ı matici P. Protoˇze sloupce matice P tvoˇr´ı LN posloupnost, je tato posloupnost uspoˇr´adan´ a b´aze Cn . Oznaˇcme ji (B) = (b1 , . . . , bn ), tj. bi je i-t´ y sloupec P. Necht’ (E) = (e1 , . . . , en ) je standardn´ı b´aze Cn . 7
Pak m˚ uˇzeme matici P ch´apat jako matici identick´eho zobrazen´ı vzhledem k (B) a (E), tj. [x]E = P · [x]B pro x ∈ Cn . Uvˇedomte si, ˇze pro x ∈ Cn se zobrazen´ı [ ]E chov´a jako identita, tj. x = [x]E . Uk´aˇzeme, ˇze matice D je matice line´ arn´ıho zobrazen´ı A vzhledem k b´azi (B). Protoˇze i-t´ y sloupec matice D m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit jako D · [bi ]B , dostaneme: D · [bi ]B = P−1 · A · P · [bi ]B = P−1 · A · [bi ]E = P−1 · A · bi = = P−1 · A(bi ) = P−1 · [A(bi )]E = [A(bi )]B , coˇz znamen´a, ˇze D je skuteˇcnˇe matice line´ arn´ıho zobrazen´ı A vzhledem k b´azi (B). Podle Vˇety 1 to znamen´a, ˇze λ1 , . . . , λn jsou vlastn´ı ˇc´ısla A a b1 , . . . , bn pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory. Protoˇze vlastn´ı ˇc´ısla a vektory A a A jsou shodn´e, jsme hotovi. (⇐): Pˇredpokl´ adejme, ˇze λ1 , . . . , λn jsou vlastn´ı ˇc´ısla A a pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory b1 , . . . , bn tvoˇr´ı b´azi (B). Pak podle vˇety 1 matice D = diag(λ1 , . . . , λn ) je matice line´ arn´ıho zobrazen´ı A vzhledem k b´azi (B). Pak [A(x)]B = D · [x]B pro x ∈ Cn . Necht’ P je matice jej´ıˇz sloupce jsou b1 , . . . , bn . Pak P je matice identick´eho zobrazen´ı vzhledem k b´az´ım (B) a (E). Pouˇzit´ım tˇechto fakt˚ u dostaneme: A·ei = [A·ei ]E = P·[A·ei ]B = P·[A(ei )]B = P·D·[ei ]B = P·D·P−1 ·[ei ]E = P·D·P−1 ·ei , coˇz znamen´a, ˇze i-t´ y sloupec matice A je stejn´ y jako i-t´ y sloupec matice P · D · P−1 . Protoˇze v´ yˇse uveden´a rovnost plat´ı pro vˇsechny i ∈ {1, . . . , n}, mus´ı platit A = P · D · P−1 , tj. A je podobn´a D. Z vˇety 3 potom plyne n´asleduj´ıc´ı dostaˇcuj´ıc´ı podm´ınka pro matici, aby byla podobn´ a diagon´ aln´ı matici. D˚ usledek 2 Necht’ A je ˇctvercov´ a matice typu (n, n) jej´ıˇz vlastn´ı ˇc´ısla λ1 , . . . , λn jsou navz´ ajem r˚ uzn´ a. Pak A je podobn´ a diagon´ aln´ı matici D = diag(λ1 , . . . , λn ), tj. A = P · D · P−1 , kde sloupce P jsou vlastn´ı vektory pˇr´ısluˇsn´e postupnˇe vlastn´ım ˇc´ısl˚ um λ1 , . . . , λn . Pˇ r´ıklad 5 V pˇr´ıkladu 1 jsme mˇeli line´ arn´ı zobrazen´ı A s matic´ı 1 1 1 A= . 2 1 1 Zjistili jsme, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla A jsou 1, 0 a jejich pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory (1, 1) a (−1, 1). Podle vˇety 5 je tedy matice A podobn´ a diagon´ aln´ı matici 1 0 D= , 0 0 a A = P · D · P−1 , kde sloupce P jsou sestaveny z vlastn´ıch vektor˚ u, tj. 1 −1 P= . 1 1
8
Pˇ r´ıklad 6 V pˇr´ıkladu 4 jsme mˇeli line´ arn´ı zobrazen´ı A s matic´ı 2 −1 −1 0 . A = 0 −1 0 2 1 Zjistili jsme, ˇze vlastn´ı ˇc´ısla A jsou 1, −1, 2 a jejich pˇr´ısluˇsn´e vlastn´ı vektory (1, 0, 1), (0, −1, 1), (1, 0, 0). Podle vˇety 5 je tedy matice A podobn´a diagon´ aln´ı matici 1 0 0 D = 0 −1 0 , 0 0 2 a A = P · D · P−1 , kde sloupce P jsou sestaveny z 1 0 P = 0 −1 1 1
9
vlastn´ıch vektor˚ u, tj. 1 0 . 0
