1
Vektorové prostory.
Definice.Množinu V , jejíž prvky budeme označovat a, b, c . . . , z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1. Je dáno zobrazení V ×V → V , které každé uspořádané dvojici (a, b) ∈ V ×V přiřazuje prvek a + b ∈ V tak, že platí: (a)
∀ a, b ∈ V : a + b = b + a
(b)
∀ a, b, c ∈ V : a + (b + c) = (a + b) + c
(c)
∃ o ∈ V, ∀ a ∈ V : a + o = a
(d)
∀ a ∈ V, ∃(−a) ∈ V : a + (−a) = o
Prvky množiny V budeme nazývat vektory, zobrazení V × V → V nazýváme sčítání na množině V , vektor a + b se nazývá součet vektorů a, b. 2. Je dáno zobrazení R × V → V , které každé uspořádané dvojici (c, a) ∈ (R × V ) přiřazuje vektor ca ∈ V tak, že platí: (a) ∀ a ∈ V : 1a = a (b) ∀ c, d ∈ R, ∀ a ∈ V : c(d a) = (cd) a (c) ∀ c, d ∈ R, ∀ a ∈ V : (c + d) a = c a + d a (d) ∀ c ∈ R, ∀ a, b ∈ V : c (a + b) = c a + c b Toto zobrazení budeme nazývat násobením vektorů reálným číslem, vektor c a se nazývá c - násobek vektoru a. Množina V je neprázdná, neboť je zaručena existence prvku o, tento prvek nazýváme nulový vektor. Podobně vektor (−x) nazýváme vektor opačný k vektoru x. Aritmetický vektorový prostor Rn . Jde o vektorový prostor všech uspořádaných n–tic reálných čísel. Snadno ověříte, že pokud definujeme operace sčítání dvou uspořádaných n – tic jako sčítání po složkách, tj. (a1 , a2 , . . . , an ) ⊕ (b1 , b2 , . . . , bn ) = = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ) a násobení vektoru reálným číslem jako násobení po složkách, tj. α ⊗ (a1 , a2 , . . . , an ) = (α · a1 , α · a2 , . . . , α · an ), tak tímto způsobem definované operace vyhovují definici vektorového prostoru. Jedná se nejdůležitější příklad vektorového prostoru. Příklad Vypočtěte souřadnice vektoru w, pro který platí: w = 3(2, 6, 4, 3) − 2(−3, 1, 2, 4) + 4(7, 6, 3, −2). Řešení w = 3(2, 6, 4, 3) − 2(−3, 1, 2, 4) + 4(7, 6, 3, −2) = (6, 18, 12, 9) + (6, −2, −4, −8) + (28, 42, 12, −8) = = (40, 58, 20, −7). Definice. Nechť S = {u1 , u2 , . . . , un } je skupina vektorů ve vektorovém prostoru V . Potom vektor v = α1 u1 , . . . , αn un , kde všechna αi ∈ R, se nazývá lineární kombinace skupiny vektorů S. Vektor w je tedy podle definice lineární kombinací vektorů (2, 6, 4, 3), (−3, 1, 2, 4) a (7, 6, 3, −2). Definice. Nechť S = {u1 , u2 , . . . , un } je skupina vektorů ve vektorovém prostoru V . (1) Nechť n > 1. Potom o skupině vektorů S řekneme, že je lineárně závislá, jestliže alespoň jeden ze skupiny vektorů je lineární kombinací ostatních vektorů této skupiny. V opačném případě říkáme, že skupina S je lineárně nezávislá. 1
(2) Nechť n = 1. O skupině S řekneme, že je lineárně závislá, jestliže u1 = o. V opačném případě řekneme, že S je lineárně nezávislá. Definice. Nechť ve vektorovém prostoru V existuje skupina vektorů B = {a1 , . . . , an } těchto dvou vlastností: (1) B je lineárně nezávislá skupina vektorů, (2) každý vektor x ∈ V je lineární kombinací skupiny vektorů B. Potom V nazýváme konečně rozměrným vektorovým prostorem a B nazýváme bází vektorového prostoru V. Definice. Dimenzí vektorového prostoru rozumíme číslo, které označujeme dim V a které definujeme takto: (1) dim V = 0 právě tehdy, když V je triviální vektorový prostor. (2) dim V = n právě tehdy, když V má bázi složenou z n vektorů. Definice. Nechť W je neprázdná podmnožina vektorového prostoru V . Jestliže vzhledem k operacím sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem je W vektorovým prostorem, potom W nazýváme vektorovým podprostorem vektorového prostoru V a píšeme W ⊂⊂ V . Definice. Množinu všech lineárních kombinací skupiny vektorů W = {w1 , . . . , wn } z vektorového prostoru V budeme nazývat lineárním obalem skupiny vektorů W a označovat ji Lhw1 , . . . , wn i.
2
Matice a její hodnost.
Definice. Schéma mn reálných čísel A = (amn ) =
a11 , a21 , .. .
a12 , a22 , .. .
..., ..., .. .
a1n a2n .. .
am1 ,
am2 , . . . , amn
(1)
nazýváme maticí typu (m, n). Poznámky: Čísla aij nazýváme prvky matice (1). Prvky aii se nazývají diagonální prvky a v matici tvoří hlavní diagonálu. Matice (1) se skládá z m řádků, každý z nich můžeme chápat jako n–rozměrný aritmetický vektor. Dále se matice skládá z n sloupců, každý z nich můžeme chápat jako m–rozměrný aritmetický vektor. Jestliže jsou v matici všechny diagonální prvky různé od nuly a všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule, mluvíme o horní lichoběžníkové matici (ve speciálním případě m = n o horní trojúhelníkové matici). Jsou-li všechny prvky matice (1) rovny nule, nazýváme ji nulovou maticí a označuje ji Omn nebo stručně O. Jestliže m = n, nazývá se matice (1) čtvercová matice. Čtvercová matice, jejíž všechny diagonální prvky se rovnají jedné a jejíž ostatní prvky se rovnají nule, se nazývá jednotková matice. Budeme ji značit J . Definice. Dvě matice A, B se sobě rovnají (značíme A = B), jestliže jsou stejného typu a pro všechny uspořádané dvojice (i, j) platí aij = bij . Definice. Hodností matice A typu (m, n) nazýváme číslo, které je rovné dimenzi lineárního obalu řádků matice chápaných jako n-rozměrné aritmetické vektory. Hodnost matice A označujeme h(A). Z této definice vyplývá, že hodností matice rozumíme číslo udávající maximální počet jejích lineárně nezávislých řádkových vektorů. Definice. Dvě matice se nazývají ekvivalentní, jestliže mají stejný počet sloupců a stejnou hodnost. Úpravy, které převádějí matici v matici s ní ekvivalentní nazýváme ekvivalentní úpravy. Věta Následující operace patří mezi ekvivalentní úpravy: a) Změna pořadí řádkových vektorů. b) Vynásobení řádkového vektoru nenulovým číslem. c) K libovolnému řádkovému vektoru přičteme lineární kombinaci zbývajících řádkových vektorů.
2
d) Jestliže je některý řádkový vektor lineární kombinací ostatních řádkových vektorů, potom jej vynecháme. e) Připojení dalšího řádkového vektoru, který je lineární kombinací řádkových vektorů matice. f) Záměna pořadí sloupcových vektorů. Gaussův algoritmus výpočtu hodnosti matice spočívá v tom, že danou matici převedeme pomocí ekvivalentních úprav na horní lichoběžníkovou matici. Hodnost (tj. počet řádků) této horní lichoběžníkové matice je rovna hodnosti původní matice. Poznámka. Gaussova metoda umožňuje rozhodnout o dané skupině vektorů v aritmetickém vektorovém prostoru, zda je či není lineárně závislá, vypočítat dimenzi vektorového prostoru určeného skupinou generátorů, popřípadě stanovit bázi takového podprostoru. Příklad. Určeme hodnost matice A: 1, 3, −2, 2, 4 2, 6, 3, 0, −1 A= −1, 1, 3, 1, 5 −2, 2, 13, −2, 1 Řešení: Použijeme Gaussův algoritmus. 1, 3, −2, 2, 4 1, 0, 0, 0, 7, −4, −9 ∼ A∼ 0, 4, 1, 3, 9 0, 0, 8, 9, 2, 9 0, 1, 3, −2, 2, 4 1, 0, 4, 1, 3, 9 0, ∼ ∼ 0, 0, 7, −4, −9 0, 0, 0, 7, −4, −9
3, 4, 0, 8,
4 9 ∼ −9 9
−2, 2, 1, 3, 7, −4, 9, 2,
3, −2, 4, 1, 0, 7,
2, 3, −4,
4 9 . −9
Získali jsme horní lichoběžníkovou matici, která má hodnost 3. Proto je h(A) = 3.
3
Soustavy lineárních algebraických rovnic.
Definice. Soustava rovnic a11 x1 a21 x1 .. .
+ +
a12 x2 a22 x2 .. .
+ +
... ... .. .
+ +
a1n xn a2n xn .. .
= =
b1 , b2 , .. .
am1 x1
+
am2 x2
+
...
+ amn xn
=
bm ,
kde aij , bi jsou reálná čísla a xi neznámé, se o n neznámých, stručně soustava lineárních Definice. Matice a11 , a21 , .. .
nazývá soustava m lineárních algebraických rovnic rovnic. a12 , . . . , a1n a22 , . . . , a2n .. .. .. . . .
am1 , am2 , je tzv. matice soustavy (2) a matice
(2)
...,
amn
a11 , a21 , .. .
a12 , a22 , .. .
..., ..., .. .
a1n a2n .. .
am1 ,
am2 ,
...,
amn
se nazývá rozšířená matice soustavy (2). 3
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
b1 b2 .. . bm
Definice. Řešením soustavy (2) nazýváme každý aritmetický vektor u = (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ Rn , jehož složky ui dosazeny za neznámé xi přemění soustavu m rovnic (2) v soustavu m rovností. Definice. Charakteristický vektor lineární rovnice je vektor, jehož složky jsou tvořeny koeficienty rovnice a pravou stranou této rovnice. Definice. Dvě soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, jestliže obě soustavy mají tytéž neznámé a jestliže množina všech řešení první soustavy je rovna množině všech řešení druhé soustavy. Věta Každé řešení soustavy lineárních rovnic (2) je zároveň řešením každé rovnice, jejíž charakteristický vektor náleží do lineárního obalu všech řádků rozšířené matice soustavy (2). Věta Předpokládejme, že dvě soustavy lineárních rovnic mají tytéž neznámé zapsané v tomtéž pořadí. Jestliže lineární obaly řádků rozšířených matic obou soustav jsou si rovny, potom obě soustavy rovnic jsou ekvivalentní. Věta (Frobeniova) Soustava lineárních rovnic má alespoň jedno řešení právě tehdy, když matice soustavy a rozšířená matice soustavy mají tutéž hodnost. Jestliže soustava lineárních rovnic o n neznámých má matici soustavy a rozšířenou matici soustavy téže hodnosti rovné číslu h, potom platí: 1. Jestliže h = n, soustava má právě jedno řešení. 2. Jestliže h < n, soustava má nekonečně mnoho řešení. Přitom všechna řešení dostaneme tak, že jistých n − h neznámých volíme (všemi možnými způsoby) a zbývajících h neznámých (jednoznačně) vypočítáme.
4
Soustavy homogenních lineárních algebraických rovnic.
Definice. Soustava lineárních rovnic, jejichž pravé strany jsou rovny nule, se nazývá homogenní soustava lineárních rovnic. Každou takovou soustavu můžeme zapsat ve tvaru: a11 x1 a21 x1 .. .
+ +
a12 x2 a22 x2 .. .
+ +
... ... .. .
+ +
a1n xn a2n xn .. .
= =
0, 0, .. .
am1 x1
+
am2 x2
+
...
+ amn xn
=
0.
(3)
Poznámka: Soustava (3) je pouze speciálním případem soustavy (2). Má však některé speciální zajímavé vlastnosti. Nejdůležitější z nich jsou obsahem následující věty. Věta Soustava homogenních lineárních algebraických rovnic má vždy řešení. Množina všech jejích řešení je vektorovým prostorem, jehož dimenze je rovna číslu n − h, kde n je počet neznámých a h je hodnost matice soustavy. Věta Množina M všech řešení soustavy lineárních rovnic (2) je vektorovým podprostorem vektorového prostoru Rn . Množina M je rovna součtu m + V libovolného (pevného) řešení m soustavy (2) s vektorovým prostorem V všech řešení příslušné soustavy homogenních rovnic (3).
5
Determinanty.
Uvažujme jednoduchou soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x a y a snažme se nalézt nějaký vzorec vhodný k výpočtu této soustavy. Budeme postupovat pomocí sčítací metody. ax + by = p ax + by = p cx + dy = q cx + dy = q −acx − bcy = −pc acx + ady = aq
adx + bdy = pd −bcx − bdy = −bq
(ad − bc)y = aq − pc
(ad − bc)x = pd − bq
y=
aq − cp ad − bc
x=
dp − bq ad − bc 4
Získané vztahy lze zobecnit i na soustavy „vyšších řádůÿ. Při jejich odvozování budeme potřebovat determinanty. Permutace Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2, . . . , n}. Každá uspořádaná n-tice (k1 , k2 , . . . , kn )
(4)
sestavená ze všech čísel množiny M se nazývá permutace množiny M . Inverze Jestliže pro dva prvky z (4) platí i < j a současně ki > kj , potom se uspořádaná dvojice (ki , kj ) nazývá inverze v permutaci (4). Permutace, která má lichý, resp. sudý počet všech inverzí, se nazývá lichá, resp. sudá permutace. Příklad.Je dána množina M = {1, 2, 3}. Určeme všechny možné permutace množiny M a rozhodněme, zda jsou sudé nebo liché. Řešení: (1, 2, 3) – sudá permutace bez inverzí, (1, 3, 2) – lichá permutace s inverzí (3, 2), (2, 1, 3) – lichá permutace s inverzí (2, 1), (2, 3, 1) – sudá permutace s inverzemi (2, 1), (3, 1), (3, 1, 2) – sudá permutace s inverzemi (3, 1), (3, 2), (3, 2, 1) – lichá permutace s inverzemi (3, 2), (3, 1), (2, 1). Věta. Jestliže v permutaci (4) zaměníme vzájemně dva prvky, změní se permutace z liché na sudou, resp. ze sudé na lichou. Determinant matice. Předpokládejme, že je dána čtvercová matice a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= . .. .. .. . .. . . . an1 Součet
X
am2
...
ann
(−1)α a1k1 a2k2 . . . ankn
(5)
K=(k1 ,...,kn )
n! součinů, v němž se sčítá přes všechny permutace K = (k1 , . . . , kn ) množiny M = {1, . . . , n} a v němž α značí počet inverzí v permutaci K, nazýváme determinantem matice A a značíme jej det A. Poznámka: Pro determinant užíváme tato další označení: ¯ ¯ a11 ¯ ¯ a21 ¯ det A = det (aij ) = |A| = |aij | = ¯ . ¯ .. ¯ ¯ an1
a12 a22 .. .
... ... .. .
am2
. . . ann
Příklad. Vypočtěme determinant třetího stupně ¯ ¯ b11 ¯ det B = ¯¯ b21 ¯ b31
¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯
b12 b22 b32
b13 b23 b33
a1n a2n .. .
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯ ¯
Řešení: Pro n = 3 existuje 6 permutací množiny {1, 2, 3}. Použijeme-li předchozí příklad a vzorec (5), můžeme psát: det B = b11 b22 b33 + b12 b23 b31 + b13 b21 b32 − −(b13 b22 b31 + b11 b23 b32 + b12 b21 b33 ).
5
Tento vzorec vyjadřuje tzv. Sarussovo pravidlo pro výpočet zapamatovat podle schématu + + + − & & & . b11 b12 b13 b11 b21 b22 b23 b21 b31 b32 b33 b31
determinatu třetího stupně; lze si jej snadno − − . . b12 . b22 b32
Věta. Vyměníme-li ve čtvercové matici dva řádky, resp. dva sloupce, je determinant nové matice roven minus determinantu původní matice. Věta. Je-li některý řádek, resp. sloupec čtvercové matice A násobkem jiného řádku, resp. sloupce, potom det A = 0. Věta. Jestliže některý řádek, resp. sloupec čtvercové matice je lineární kombinací ostatních řádků, resp. sloupců, potom determinant této matice je roven nule. Subdeterminant a doplněk Definice. Ve čtvercové matici A vynechme i-tý řádek a j-tý sloupec. Obdržíme tak matici typu (n − 1, n − 1). Její determinant označíme Sij a nazveme subdeterminantem prvku aij v matici A. Číslo Dij = (−1)i+j Sij nazýváme doplňkem prvku aij v matici A. Příklad. Vypočtěte doplňky k prvkům a12 , a23 , a33 v matici 2 1 2 A = 3 2 1 . 2 3 0 Řešení. Pro S12 platí, že příslušný determinant vznikne vynecháním prvního řádku a druhého sloupce z matice A. Je tedy ¯ ¯ ¯ −− −− ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −2 1 ¯=¯ S12 = ¯ 3 2 0 ¯ ¯ 2 ¯ 0 D12 = (−1)2+1 S12 = (−1) · (−2) = 2. Analogicky se dopočítá, že
¯ ¯ ¯ 2 1 ¯ 5 ¯ ¯ D23 = (−1) ¯ 2 3 ¯ = (−1) · 4 = −4, ¯ ¯ ¯ ¯ 3+3 ¯ 2 1 ¯ 6 D33 = (−1) ¯ 3 2 ¯ = (−1) · 1 = 1. 2+3
Věta. Nechť je dána čtvercová matice A = (aij ) typu (n, n), nechť i, j ∈ {1, . . . , n}. Potom platí vzorec pro tzv. rozvinutí determinantu podle prvků i-tého řádku det A = ai1 Di1 + ai2 Di2 + . . . + ain Din
(6)
a vzorec pro tzv. rozvinutí determinantu podle prvků j-tého sloupce det A = a1j D1j + a2j D2j + . . . + anj Dnj .
(7)
Příklad. Pomocí rozvinutí podle prvků třetího řádku vypočítejme determinant matice A: ¯ ¯ ¯ 2 1 2 ¯ ¯ ¯ det A = ¯¯ 3 2 1 ¯¯ . ¯ 2 3 0 ¯ Řešení: Hodnotu determinantu určíme rozvinutím podle 3. řádku. ¯ ¯ ¯ 2 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 2 1 ¯ = 2 · (−1)3+1 · ¯ 1 2 ¯ + 3 · (−1)3+2 · ¯ 2 2 ¯ ¯ ¯ 2 1 ¯ ¯ 3 1 ¯ 2 3 0 ¯ 6
¯ ¯ ¯+ ¯
+0 · (−1)
3+3
¯ ¯ 2 · ¯¯ 3
¯ 1 ¯¯ = −6 + 12 + 0 = 6. 2 ¯
Často je výhodné počítat hodnotu determinantu pomocí rozvoje podle řádku či sloupce až po jistých úpravách. Během těchto úprav využíváme dříve vyslovené věty i dvě následující věty. Věta. Vynásobíme-li některý řádek, resp. sloupec čtvercové matice číslem α ∈ R, potom determinant nové matice se rovná α-násobku determinantu původní matice. Věta. Jestliže k některému řádku, resp. sloupci čtvercové matice přičteme lineární kombinaci zbývajících řádků, resp. sloupců, potom determinant nové matice se rovná determinantu původní matice. Tyto dvě věty umožňují urychlit výpočet. Je výhodné upravit determinant tak, aby se v nějakém řádku či sloupci nacházelo co nejvíce nulových prvků. Doplňky k těmto prvkům pak není nutné počítat, protože při výpočtu hodnoty determinantu jsou násobeny nulou. Příklad. Vypočtěte hodnotu determinantu ¯ ¯ ¯ 2 3 2 5 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 2 5 ¯ ¯ ¯ ¯ 3 2 1 2 ¯. ¯ ¯ ¯ 2 1 3 2 ¯ Řešení: Pro přehledný výpočet upravíme determinant tak, aby jej bylo možné rozvinout podle prvního sloupce, přičemž se snažíme, aby se v levém horním rohu nacházelo číslo 1. Nejdříve prohodíme první a druhý sloupec, čímž se budou postupně měnit znaménka u determinantu. Tím získáme ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 3 2 5 ¯ ¯ 3 2 2 5 ¯ ¯ 1 2 3 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 2 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = (−1) · ¯ 1 3 2 5 ¯ = ¯ 1 3 2 5 ¯ . ¯ 3 2 1 2 ¯ ¯ 2 3 1 2 ¯ ¯ 2 3 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 3 2 ¯ ¯ 1 2 3 2 ¯ ¯ 3 2 2 5 ¯ Dále postupně upravíme druhý, třetí a čtvrtý řádek tak, že k nim přičteme lineární kombinaci prvního řádku (tedy jeho reálný násobek) a to takovým způsobem, aby všechny tyto tři řádky měly na začátku nulový prvek. První řádek opíšeme beze změny, k druhému řádku přičteme (−1) násobek prvního řádku - touto operací dosáhneme nuly na počátku druhého řádku. Analogicky k třetímu řádku přičteme (−2) násobek prvního řádku a k poslednímu řádku přičteme (−3) násobek prvního řádku. Tím postupně dostaneme ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 3 2 ¯ ¯ 1 2 3 2 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 3 2 5 ¯ ¯ 0 1 −1 3 ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 3 1 2 ¯ = ¯ 0 −1 −5 −2 ¯ . ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 2 2 5 ¯ ¯ 0 −4 −7 −1 ¯ Následným rozvinutím podle prvního sloupce získáme ¯ ¯ ¯ 1 −1 3 ¯¯ ¯ 1 · ¯¯ −1 −5 −2 ¯¯ + 0 · D21 + 0 · D31 + 0 · D41 = ¯ −4 −7 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 ¯ 3 ¯¯ ¯¯ 1 −1 3 ¯¯ ¯¯ ¯ −6 1 ¯¯ = ¯¯ −1 −5 −2 ¯¯ = ¯¯ 0 −6 1 ¯¯ = ¯¯ = −11 11 ¯ ¯ −4 −7 −1 ¯ ¯ 0 −11 11 ¯ = −6 · 11 − (−11 · 1) = −55. Věta (Cramerovo pravidlo). Nechť je dána soustava n rovnic o n neznámých a11 x1 .. .
+
an1 x1
+
... ...
+
a1n xn .. .
+ ann xn
=
b1 , .. .
(8)
= bn .
Nechť determinant matice A této soustavy je různý od nuly, tj. det A 6= 0. Potom soustava (8) má právě jedno řešení a platí: det Bi pro všechna i ∈ {1, . . . , n}, (9) xi = det A 7
kde Bi je matice, která vznikne z matice A tak, že i-tý sloupec matice A nahradíme aritmetickým vektorem pravých stran soustavy (8) a ostatní sloupce ponecháme beze změny. Příklad Nalezněte řešení soustavy rovnic: x + 2y 2x x − 2y
− z + z + z
= = =
−3 7 . 7
Řešení: Postup je zcela mechanický. Vypočtěme hodnoty jednotlivých determinantů. ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −3, ¯ 1, 2, −1 ¯¯ 2, −1 ¯¯ ¯ ¯ 0, 1 ¯¯ = 8, 0, 1 ¯¯ = 4, det B1 = ¯¯ 7, det A = ¯¯ 2, ¯ 7, −2, ¯ 1, −2, 1 ¯ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1, ¯ 1, −3, −1 ¯ 2, −3 ¯¯ ¯ ¯ ¯ 0, 7 ¯¯ = 12. 7, 1 ¯¯ = −4, det B3 = ¯¯ 2, det B2 = ¯¯ 2, ¯ ¯ 1, ¯ 1, −2, 7 ¯ 7, 1 Tedy:
det B1 8 det B2 −4 = = 2, y = = = −1, det A 4 det A 4 Z uvedeného výpočtu lze snadno odvodit následující větu. x=
z=
det B3 12 = = 3. det A 4
Věta. Hodnota determinantu horní trojúhelníkové matice je rovna součinu prvků na diagonále matice. Příklad. Vypočtěte hodnotu determinantu ¯ ¯ a 3 2 ¯ ¯ 0 b 2 ¯ ¯ 0 0 c ¯ ¯ 0 0 0 Řešení: Postupným rozvojem ¯ ¯ a 3 2 ¯ ¯ 0 b 2 ¯ ¯ 0 0 c ¯ ¯ 0 0 0
determinantů ¯ ¯ 5 ¯¯ ¯ b ¯ 5 ¯¯ = a · ¯¯ 0 2 ¯¯ ¯ 0 d ¯
5 5 2 d
¯ ¯ ¯ ¯ ¯. ¯ ¯ ¯
podle prvního sloupce budeme dostávat následující rovnosti. 2 c 0
5 2 d
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯=a·b·¯ c ¯ ¯ 0 ¯
¯ 2 ¯¯ = a · b · c · d. d ¯
Získaný výsledek je zdůvodněním poslední uvedené věty. Lze snadno zobecnit na determinanty o „ jiných rozměrechÿ.
8
