1
Vektorové prostory, matice, vlastní čísla
1.1
Vlastní hodnoty obecné 2 × 2 matice
Mějme zcela obecnou čtvercovou matici rozměru 2 × 2: ¶ µ a b , M= c d
(1.1.1)
kde a, b, c, d ∈ C jsou libovolná čísla. • Nalezněte vlastní čísla matice. • Ukažte, že stopa matice M se rovná součtu vlastních čísel. • Pokud bude matice samosdružená M = M † , ukažte, že vlastní hodnoty budou reálné.
1.2
Dvouhladinový systém
Mějme matici H0 =
µ
E1 0 0 E2
¶
,
V =
µ
0 V V 0
¶
,
(1.2.1)
přičemž E1,2 a V jsou reálná čísla seřazená takto: E2 ≥ E1 . Označme vlastní vektory H0 jako µ ¶ µ ¶ 0 1 , (1.2.2) , |φ2 i = |φ1 i = 1 0 • Spočítejte vlastní hodnoty ǫ1 , ǫ2 a vlastní vektory |ψ1 i, |ψ2 i symetrické matice H = H0 + V a vyjádřete ∆ǫ pomocí poměru R≡
∆E , V
(1.2.3)
kde ∆E ≡ E2 − E1 a ∆ǫ ≡ ǫ2 − ǫ1 . • Předpokládáme-li, že V < 0, zakreslete schematicky vlastní energie matice H0 a H. Diskutujte závislost vzdálenosti hladin ∆ǫ na poměru R. • Nechť vlastní stavy matice H0 závisejí na vnějším parametru E1,2 = E1,2 (x), tak, že E1 (x) = Ex, E2 (x) = −Ex, tedy v bodě x = 0 se stavy „kříží”. Nalezněte závislost ǫ1,2 (x) a |φ1,2 (x)i. Budou se stavy křížit i nadále?
1.3
Domácí úkol
Spočítejte vlastní hodnoty ǫ1,2,3 a E H = H0 + V, kde H0 = 0 0
vlastní vektory |ψ1,2,3 i matice 0 V V 0 0 E 0 , V = V 0 V (1.3.1) V V 0 0 E
a zakreslete pro V < 0. Zůstanou hladiny degenerované? Zamyslete se (a můžete vypočítat), jak by výsledek vypadal pro podobnou matici H dimenze n. Nápověda: Můžete použít vztah pro determinant matice x1 a a n n Y a x2 a . . . Y X det a a x = (x − a) + a (xi − a) , (1.3.2) i 3 i=1 j=1 j6=i .. ... .
kde n je dimenze matice.
2
Komutátor, funkce operátoru, exponenciála operátoru
2.1
Komutátor součinu
ˆ C]. ˆ Pomocí jednoduchých komutátorů vyjádřete komutátor [AˆB,
2.2
Operátor souřadnice a hybnosti
Mějme dva operátory xˆ, pˆ, které splňují komutační relaci [ˆ x, pˆ] = i~. • Spočítejte [ˆ x2 , pˆ]. • Spočítejte [ˆ xn , pˆ]. • Ukažte, že [f (ˆ x), pˆ] = i~ df (ˆ x). dx
2.3
Exponenciála matice
ˆ B ˆ dva komutující operátory [A, ˆ B] ˆ = 0, dokažte, že • Jsou-li A, ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
ˆ
eA+B = eA eB = eB eA .
(2.3.1)
ˆ B ˆ ukažte, že platí: • Pro obecné nekomutující operátory A, ˆ e−λA = eλA B ˆ
ˆ
∞ X λn n=0
ˆ0 = B ˆaK ˆ n+1 = [A, ˆ K ˆ n ]. kde K
n!
ˆ n, K
ˆ Cˆ platí: • Dokažte, že pro libovolné nekomutující operátory B, ³ ´ ˆ ˆ −C ˆ ˆ ˆ ˆ exp eC Be = eC eB e−C .
(2.3.2)
(2.3.3)
Použitím tohoto lze přepsat rovnici (2.3.2) do jiného, také často užívaného tvaru P ∞ λn ˆ ˆ ˆ ˆ eλA eB e−λA = e n=0 n! Kn . (2.3.4)
2.4
Posunutí souřadnice
Mějme dva operátory xˆ, pˆ, které splňují komutační relaci [ˆ x, pˆ] = i~. Definujme operátor i (2.4.1) Uˆ = e ~ aˆp , kde a je libovolné reálné číslo. Spočítejte, čemu se rovná Uˆ xˆUˆ −1 .
2.5
Domácí úkol
Nechť
ˆ B] ˆ = C, ˆ [A,
Ukažte, že
ˆ ˆ
ˆ
ˆ C] ˆ = [B, ˆ C] ˆ = 0. [A,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
eA eB = eA+B e? = e? eA+B = eA+B+?
(2.5.1) (2.5.2)
a nalezněte, co patří místo otazníčku. Nápověda: Nadefinujte a použijte vhodnou funkci f (λ) podobně jako v příkladu ze cvičení. Pozn: Tento vztah se někdy nazývá Campbell-Baker-Hausdorffova formule.
3 3.1
Harmonický oscilátor Jednoduchý algebraický systém
Mějme operátor A a operátor Aˆ† k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace ˆ Aˆ† ] = m, m ∈ C. [A, (3.1.1)
Definujme operátor
ˆ ≡ Aˆ† Aˆ N
(3.1.2)
• Ukažte, že operátor N je samosdružený a pozitivní.
ˆ Aˆk ] a [H, ˆ Aˆ†k ], kde k ∈ N0 . • Nalezněte, čemu se rovná [H, • Předpokládejme, že máme známe vlastní hodnoty n a vlastní stavy |ni ˆ: operátoru N ˆ |ni = n|ni. N (3.1.3) ˆ Aˆk . Nalezněte vlastní hodnoty a vlastní stavy operátoru H ˆ • Nalezněte vlastní hodnoty operátoru H. • Označme normalizovaný vlastní vektor příslušející nejnižší vlastní hodnotě |0mi (h0m|0mi = 1). Definujme nenormalizované vektory vztahem |km; N i ≡ Aˆ†k |0mi,
k ∈ N0
(3.1.4)
Ukažte, že tyto vektory jsou vlastní vektory příslušejí vlastní hodnotě km a nalezněte normalizované vlastní vektory |kmi.
ˆ • Ukažte, čemu se rovná Aˆ† |kmi, A|kmi.
3.2
Jednorozměrný harmonický oscilátor
Harmonický oscilátor je popsán Hamiltoniánem ˆ = 1 pˆ2 + k xˆ2 , H 2M 2
(3.2.1)
kde M je hmotnost částice q a k tuhost oscilátoru. Frekvence oscilátoru v klasickém případě je Ω = Mk . ˆ Aˆ† a tím V harmonickém oscilátoru lze vhodně definovat operátory A, jej převést na algebraický systém, který jsme řešili v předchozím příkladu. Hledejme Aˆ ve tvaru Aˆ = αˆ x + β pˆ, (3.2.2) kde α a β jsou obecně komplexní čísla. ˆ Aˆ† ] = m a • Nalezněte hodnoty konstant α, β. Spočítejte komutátor [A, vyjádřete hodnotu čísla m. Hamiltonián lze pak zapsat ve tvaru ˆ = Aˆ† Aˆ + m . H 2
(3.2.3)
• Napište spektrum (vlastní energie a vlastní vektory) Hamiltoniánu.
ˆ Aˆ† a spočítejte střední hodnoty • Vyjádřete operátory xˆ, pˆ pomocí A, hkm|ˆ x|kmi hkm|ˆ p|kmi hkm|ˆ x2 |kmi hkm|ˆ p2 |kmi, kde |kmi je vlastní stav Hamiltoniánu.
• Spočítejte střední hodnoty hkm|Tˆ|kmi a hkm|Vˆ |kmi, kde Tˆ a Vˆ jsou operátory kinetické, resp. potenciální energie oscilátoru, a srovnejte s hodnotou energie ve stavu |kmi (viriálový teorém). • Ověřte platnost relací neurčitosti mezi polohou a hybností. ¢ ¡ † ˆ = ~Ω a Poznámka: Hamiltonián se také zapisuje ve tvaru H ˆa ˆ + 12 , kde ˆ a ˆ = √1 A. Ω
3.3
Domácí úkol
V jednorozměrném harmonickém oscilátoru spočítejte střední hodnoty hkm|ˆ x4 |kmi hkm|ˆ p4 |kmi.
4 4.1
Křivočaré souřadnice Determinant a stopa
Dokažte, že pro nesingulární matici A platí vztah det eA = eTrA
(4.1.1)
a na jeho základě ukažte, že pokud je matice B funkcí zobecněných souřadnic q i , platí ∂B ∂ ln det B = TrB −1 i . (4.1.2) i ∂q ∂q
4.2
Sférické souřadnice
Pro sférické souřadnice, definované běžným způsobem jako x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ,
(4.2.1)
vypočítejte: • Jacobiho matici J ≡
∂(x,y,z) . ∂(r,θ,φ)
• Determinant Jacobiho matice det J. • Metrický tenzor gij = Jik Jjk , resp. v maticovém zápisu g = JJ T , kde i, j = r, θ, φ. • Metrický tenzor s kontravariantními složkami g ij , což je vlastně inverzní matice k matici g. • Determinant metrického tenzoru det g. • Laplaceův operátor ∆. Využijte vztahu ∆f (q i ) = √
4.3
∂ p 1 ∂f det g g ij j . i ∂q det g ∂q
(4.2.2)
Volná rotace axiálně symetrického tělesa
Mějme axiálně symetrické těleso s momenty setrvačnosti I vůči ose symetrie a J vůči všem ostatním osám kolmým na osu symetrie a procházejícím těžištěm. Je-li natočení tělesa popsáno třemi Eulerovými úhly φ, θ, ψ, je vektor úhlové rychlosti rotace Ω vůči kartézskému souřadnému systému spojenému s tělesem dán Eulerovými kinematickými rovnicemi ˙ φ sin θ sin ψ cos ψ 0 Ωx Ωy = sin θ cos ψ − sin ψ 0 θ˙ (4.3.1) ˙ cos θ 0 1 Ωz ψ
• Napište Lagranžián za předpokladu, že osa symetrie tělesa je totožná s osou z a počátek souřadné soustavy tělesa se nachází v jeho těžišti.
• Kinetický člen Lagranžiánu lze obecně zapsat ve tvaru T = 21 gij (q k )q˙i q˙j , kde gij (q k ) je metrický tenzor křivočarého systému q k (v našem případě q 1,2,3 = φ, θ, ψ). Napište tento metrický tenzor a nalezněte tenzor g ij .
• Určetet Laplaceův operátor tohoto systému. • Nalezněte tvar Schrödingerovy rovnice pro část závislou na úhlu θ. Využijte toho, že řešení Schrödingerovy rovnice lze separovat užitím substituce u(φ, θ, ψ) = f (θ)ei(M φ+Kψ) , (4.3.2) kde M , K jsou celá čísla.
4.4
Domácí úkol
Pro hypersférické souřadnice v prostoru o dimenzi d, definované jako x1 = r sin θ1 sin θ2 · · · sin θd−2 cos θd−1 x2 = r sin θ1 sin θ2 · · · sin θd−2 sin θd−1 x3 = r sin θ1 sin θ2 · · · cos θd−2 .. .
(4.4.1)
xd−1 = r sin θ1 cos θ2 xd = r cos θ1 , kde 0 < r < ∞, 0 ≤ θj < π, j = 1, . . . , d − 1 a 0 ≤ θd−1 < 2π, vypočítejte elementy metrického tenzoru gij , jeho determinant a vyjádřete Laplaceův operátor ∆. Dá se ukázat, že úhlová část tohoto Laplaceova operátoru je identická s velikostí zobecněného impulsmomentu −L2d , tj. konkrétně Laplaceův opeL2 rátor je součet radiální části a části − r2d (centrifugální člen). Pro sféricky symetrický problém lze úhlovou část vyřešit samostatně. Vlastí hodnoty L2d jsou λd = ld (ld + d − 2), kde ld = 0, 1, . . .. Napište Schrödingerovu rovnici pro radiální část vlnové funkce uld (r) pro sféricky symetrický potenciál V (r) v d dimenzích. Porovnejte obecný případ s případem pro d = 3. Záleží na dimenzi prostoru, řešíme-li uvedený sféricky symetrický problém v rámci klasické fyziky? Poznámka: Po provedení substituce uld (r) = r
1−d 2
fld (r)
lze Schrödingerovu rovnici napsat ve tvaru ¶ µ ~2 ~2 ∂ 2 + λd (λd + 1) + V (r) fld (r) = Efld (r), − 2m ∂r2 2mr2
(4.4.2)
(4.4.3)
kde
d−3 . (4.4.4) 2 Tato rovnice má shodný tvar ve všech dimenzích. Rozdíl je jen ve vztahu mezi ld a λd . λd = ld +
5
Potenciály s δ funkcemi
5.1
Jednoduchá δ jáma či bariéra
Mějme potenciál ve tvaru jednoduché δ funkce V (x) = c δ(x), kde c je konstanta, jejíž velikost udává ”sílu” potenciálu. Pokud je c < 0, jedná se o jámu, v opačném případě o bariéru. • Napište Schrödingerovu rovnici pro tento potenciál a nalezněte podmínky, které musí splňovat vlnová funkce v bodě, ve kterém se nachází δ funkce. • Pro případ jámy c < 0 nalezněte všechny vázané stavy (tj. stavy se zápornou energií, existují-li) a příslušné normalizované vlastní funkce. • Nalezněte podmínky pro obecné řešení stavů s E > 0 (v této oblasti je spektrum spojité). • Vypočítejte pravděpodobnost průchodu T a pravděpodobnost odrazu R na potenciálu a nakreslete graf T = T (E), R = R(E). • Vypočítejte fázové posunutí δ vlnové funkce a zakreslete funkci δ = δ(E).
5.2
Periodická δ funkce (Diracův hřeben)
Uvažujme periodický potenciál V (x) = c
∞ X
n=−∞
δ(x − na),
(5.2.1)
kde a je vzdálenost mezi sousedními δ funkcemi. Aplikujte podmínky z předchozího případu pro navazování vlnové funkce na δ funkci a nalezněte spektrum. Diskutujte jeho tvar a závislost na parametru c. Pozn: Obecnější potenciál, který místo opakujících se δ funkcí uvažuje pravoúhlé bariéry o konečné šířce b, se jmenuje Kronigův-Penneyův potenciál.
Lze jím například popsat základní vlastnosti pohybu elektronů v pevné látce (pásová struktura, disperzní relace). Blíže je možné se s tímto systémem seznámit v práci zmíněných autorů: R. de L. Kronig, W. G. Penney, Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices, Proc. Roy. Soc. A 130, 499 (1931).
5.3
Domácí úkol
Pro potenciál složený ze dvou δ funkcí, vzdálených od sebe o délku a ³ ³ a´ a´ V (x) = c δ x − + cδ x + , (5.3.1) 2 2 určete v případě, že energie E > 0, pravděpodobnost průchodu T , pravděpodobnost odrazu R a fázové posunutí δ zvlášť pro liché a zvlášť pro sudé vlnové funkce. Zakreslete všechny tyto tři veličiny do grafu jako funkce energie. Srovnejte s případem, ve kterým jsme měli za potenciál jen jednu δ funkci. V případě E < 0, c < 0 nalezněte vázané stavy.
6
Unitární operátory
6.1
Vlastnosti unitárního operátoru
Ukažte, že při unitární transformaci Aˆ′ = Uˆ † AˆUˆ (Uˆ je unitární operátor) se nemění vlastní hodnoty operátorů. Ukažte také, že hermitovský (resp. unitární) operátor zůstane hermitovský (resp. unitární).
6.2
Vyjádření unitární matice pomocí exponenciály
Mějme matici U=
µ
0 1 1 0
(je identická s první Pauliho maticí σ1 ).
¶
• Ukažte, že tato matice je unitární. • Nalezněte spektrální rozklad matice U =
(6.2.1)
P2
i=1
ui |ui ihui |.
• Vlastní čísla unitární matice musí ležet na jednotkové kružnici, tj. lze je zapsat ui =eiai . Nalezněte čísla ai a vyjádřete hermitovskou matici Pjako 2 A = i=1 ai |ui ihui |. • Zpětně dokažte (užitím Taylorova rozvoje exponenciály), že platí U = eiA .
(6.2.2)
6.3
Domácí úkol
Mějme potenciál složený z periodicky se opakujících δ funkcí (viz cvičení 5) V (x) = c
∞ X
n=−∞
δ(x − na),
jehož vlnové funkce na intervalu (na; (n + 1) a) jsou ¢ ¡ ψK (x) = Aeik(x−na) + Be−ik(x−na) eiKna a vztah mezi k =
√
(6.3.1)
(6.3.2)
2mE/~ a K zní
cos Ξ = cos ξ +
η sin ξ, ξ
(6.3.3)
kde ξ = ka, Ξ = Ka a η = mca/~2 . • Do jednoho grafu zakreslete nejnižší čtyři energetické pásy v závislosti na parametru η (tj. graf E = E(η), ve kterém budou pro jednotlivé pásy znázorněny nejvyšší a nejnižší energie pásu). • Pro dvě hodnoty η = 1 a η = 5 nakreslete závislost E(K) nejnižších čtyř energetických pásů. • Vypočítejte grupovou rychlost vg = a efektivní hmotnost ∗
m =
µ
1 ∂E ~ ∂K
1 ∂ 2E ~2 ∂K 2
(6.3.4) ¶−1
(6.3.5)
a zakreslete jejich závislosti na k pro dvě hodnoty parametru η = 1, η = 5 a nejnižší čtyři energetické pásy. Srovnejte s případem volné částice. • Nalezněte parametry A, B vlnové funkce. Vlnovou funkci normalizujte. Pro všechny numerické výpočty předpokládejte a = m = ~ = 1. Pak η ≡ c, ξ ≡ k, Ξ ≡ K.
7
Grupy a symetrie
7.1
Vlastnosti grupy U (n)
Grupa U (n) je grupou všech unitárních matic (matic U , pro které platí Uˆ −1 = Uˆ † ) rozměru n × n. Tyto matice zachovávají normu komplexního vektoru: z′ = U z,
n X
′
′
zi∗ zi =
i=1
n X i=1
zi∗ zi ,
zi ∈ C
(7.1.1)
• Nalezněte počet nezávislých reálných složek unitární matice U rozměru n × n. Každá unitární matice U se dá vyjádřit pomocí exponenciály ! Ã X U = exp i cij Gij ,
(7.1.2)
ij
2 kde Gij je n2 lineárně P nezávislých matic ((Gij )αβ jejich složky), cij je n parametrů a součet ij cij Gij je hermitovská matice. Hermicity lze dosáhnout například těmito dvěma způsoby:
1. Budeme-li chápat koeficienty cij jako matici a tato matice bude hermitovská, pak stačí, aby G†ij = Gji , což nejjednodušeji splňují reálné matice (Gij )αβ = δiα δjβ (7.1.3) (matice, které mají pouze jednu jedničku na pozici i, j). 2. Budou-li koeficienty cij reálné a matice Gij hermitovské. V obou případech budeme mít n2 nezávislých reálných parametrů a n2 generujících matic Gij . • Ověřte, že generující matice (7.1.3) splňují komutační relace [Gij , Gkl ] = Gil δjk − Gkj δil .
(7.1.4)
Tím jsme nalezli strukturní koeficienty grupy U (n). Strukturní koeficienty nezáleží na realizaci grupy, takže nadále opustíme relizaci maticoˆ ij působící na vou a budeme za generátory brát libovolné operátory G nějakém Hilbertově prostoru, které splňují komutační relace (7.1.4).
ˆ fij funkční realizace, která je definována takto: • Nalezněte generátory G f ′ (z) ≡ Uˆ f f (z) = f (U −1 z)
(7.1.5)
(f (z) je funkce, U je unitární matice). Hledejte ve tvaru infinitezimální transformace (U −1 ) ≈ 1 − iǫH, kde H je Hermitovská matice a ǫ malé reálné číslo). ˆ fij splňují komutační relace (7.1.4) a jsou tudíž opravdu • Ukažte, že G generátory grupy U (n). ˆa = a • Ukažte, že také operátory G ˆ†i a ˆj , i, j = 1 . . . n, kde ij [ˆ a†i , a ˆj ] = δij [ˆ ai , a ˆj ] = 0 [ˆ a†i , a ˆ†j ]
(7.1.6)
= 0,
splňují komutační relace (7.1.4). • Zopakujte si formuli (2.3.2) a dokažte pomocí ní, že X Uˆ a ˆ†j Uˆ −1 = (ec )ij a ˆ†i .
(7.1.7)
j
³ P ´ ˆ a , koeficienty cij tvoří HermitovOznačili jsme Uˆ = exp i ij cij G ij skou matici, takže matice ec je unitární. • Rank grupy U (n) je n, a tedy každá realizace této grupy obsahuje celkem n nezávislých Casimirových operátorů, což jsou operátory, které komutují se všemi generátory. Ukažte, že první dva Casimirovy operátory jsou Cˆ1 [U (n)] =
n X
ˆ ii G
i=1
Cˆ2 [U (n)] =
n X
ˆ ij G ˆ ji G
i,j=1
(tj. dokažte, že tyto operátory komutují se všemi generátory).
(7.1.8)
7.2
Vlastnosti grupy SU (n)
Grupa SU (n) je grupou všech unitárních unimodulárních matic, tj. matic U , které mají jednotkový determinant, det U = 1. • Nalezněte počet nezávislých reálných složek matic této grupy a rozmyslete, jak musí vypadat její generující matice. • Přesvědčte se, že každou matici U ∈ U (n) lze vyjádřit pomocí matice V ∈ SU (n) a reálného parametru m jako součin U = eim V.
(7.2.1)
Jelikož eim ∈ U (1), tento vztah matematicky znamená, že mezi grupami je vztah direktního součinu U (n) = SU (n) ⊗ U (1).
7.3
Domácí úkol
Klasický Hamiltonián částice v Coulombickém poli je H=
p2 e2 − . 2m r
(7.3.1)
Kromě impulsmomentu L existuje v tomto poli ještě jeden integrál pohybu, tzv. Runge-Lenzův vektor R=
x 1 (p × L) − e2 , m r
(7.3.2)
který směřuje ve směru hlavní poloosy pohybu. Jeho neměnnost v Coulombickém (nebo i gravitačním) poli souvisí s tím, že trajektorie je uzavřená, že nedochází ke stáčení elipsy (nedochází k precesi). V kvantovém případě musí být operátor Runge-Lenzova vektoru hermitovský, čehož docílíme rozepsáním p×L=
1 (p × L − L × p) 2
(7.3.3)
ˆ=x (používáme L ˆ×p ˆ ). • Ukažte, že operátor Runge-Lenzova vektoru ³ ´ x ˆ ˆ = 1 p ˆ−L ˆ×p R ˆ×L ˆ − e2 2m rˆ p je opravdu Hermitovský. Označili jsme rˆ = xˆ21 + xˆ22 + xˆ23 .
(7.3.4)
• V prvním cvičení jsme dokázali, že [f (ˆ x), pˆ] = i~ df (ˆ x). Tento vztah lze dx zobecnit pro 3D prostor [f (ˆ x), p ˆ ] = i~∇f (ˆ x).
(7.3.5)
Na základě tohoto vztahu ukažte, čemu se rovnají komutátory ˆ , f (ˆ [L r)] · k ¸ xˆj , pˆk . rˆ
(7.3.6)
Nepoužívejte x-reprezentaci, tj. nepoužívejte vyjádření pˆi = −i~ ∂x∂ i . ˆ = 0. ˆ je integrálem pohybu, tj. že [R, ˆ H] • Ukažte, že R
ˆ ·L ˆ=L ˆ·R ˆ = 0. • Ukažte, že R
ˆ 2 , a vyjádřete tento operátor jen pomocí • Nalezněte, čemu se rovná R ˆ L ˆ a konstant. operátorů H, ˆj , R ˆ k ] a [R ˆj , R ˆ k ]. • Spočítejte komutátory [L Pozn: K výpočtu se vám mohou hodit vztahy ǫjkl ǫjmn = δkm δln − δkn δlm ǫjkl ǫjkm = 2δlm .
8 8.1
(7.3.7)
Dynamické symetrie jednoduchých kvantověmechanických systémů Třírozměrný harmonický oscilátor
Hamiltonián třírozměrného harmonického oscilátoru lze přímým zobecněním oscilátoru jednorozměrného (viz příklad 10.0.9) napsat v kartézských souřadnicích ve tvaru à 3 ! X † 3 ˆ = ~Ω a ˆi a ˆi + H (8.1.1) 2 i=1 kde
[ˆ ai , a ˆ†j ] = δij [ˆ ai , a ˆj ] = 0 ˆ†j ] = 0, [ˆ a†i , a
(8.1.2)
Každý vlastní stav oscilátoru lze vyjádřit pomocí základního stavu |000i jako ³ ´n1 ³ ´n2 ³ ´n3 1 |n1 n2 n3 i = √ |000i (8.1.3) a ˆ†3 a ˆ†2 a ˆ† n1 !n2 !n3 ! 1 a energie k němu příslušející je
ˆ 1 n2 n3 i = EN |n1 n2 n3 i H|n µ ¶ 3 EN = ~Ω N + , 2
(8.1.4) kde N = n1 + n2 + n3 ,
ni = 0, 1, . . . .
Řešíme-li harmonický oscilátor v souřadnicích sférických, můžeme vlastní stavy označit vektory |nlmi. Platí ˆ H|nlmi = EN |nlmi, kde N = 2n + l 2 ˆ L |nlmi = ~2 l(l + 1)|nlmi ˆ 3 |nlmi = ~m|nlmi, L
(8.1.5)
ˆ L ˆ i ] = 0, [H,
(8.1.6)
ˆ 2 je kvadrát operátoru impulsmomentu, L ˆ 3 třetí komponenta impulkde L smomentu, l = 0, 1, . . . a m = −l, . . . , l. Pro každý sféricky symetrický systém platí
takže grupa symetrie takovéhoto systému je SO(3), jelikož její generátory ˆ i , [Li , Lj ] = i~ǫijk Lk . Každý sféricky symetrický jsou složky impulsmomentu L systém má energetické hladiny alespoň (2l + 1)-násobně degenerované. • Napište do tabulky všechny kombinace kvantových čísel n1 , n2 , n3 , které mohou nastat pro N = 0, 1, 2. Totéž proveďte pro kvantová čísla n, l, m. • Nalezněte stupeň degenerace DN hladiny EN . Stupeň degenerace je mnohem vyšší než 2l+1, což znamená, že grupa symetrie třírozměrného harmonického oscilátoru je větší než SO(3). ˆ ij ≡ a • Ukažte, že devět operátorů G ˆ†i ˆj komutuje s Hamiltoniánem (8.1.1). Tyto operátory jsou podle výsledků příkladu 7.1 generátory grupy U (3). Grupa symetrie třírozměrného harmonického oscilátoru je tedy U (3). Tato symetrie se nazývá dynamická, poněvadž nesouvisí se symetrií reálného prostoru, ve kterém se systém nachází. • Nalezněte vyjádření operátoru impulsmomentu Li pomocí operátorů a ˆi , a ˆ†j . Z vyjádření je patrné, že SO(3) ⊂ U (3).
8.1.1
Anizotropní případ
Ukažte, že Hamiltonián anizotropního oscilátoru ˆ′ = H
3 X i=1
~Ωi
µ
a ˆ†i a ˆi
1 + 2
¶
(8.1.7)
ˆ ij , (frekvence Ωi jsou v různých směrech různé) nekomutuje ani s operátory G ani s Li . Symetrie U (3) byla zcela odstraněna. 8.1.2
Dynamicky symetrický případ
Chceme-li narušit U (3) symetrii, ale zachovat symetrii SO(3), budeme uvažovat Hamiltonián à 3 ! X † 3 ˆ2 ˆ ′′ = ~Ω a ˆi a ˆi + H + KL 2 ¶ µ i=1 3 ˆ + K Cˆ2 [SO(3)], (8.1.8) = ~Ω C1 [U (3)] + 2 kde Cˆ1 [U (3)], resp. Cˆ2 [SO(3)] je Casimirův operátor grupy U (3), resp. SO(3), K je libovolná konstanta. ˆ ′′ , G ˆ ij ] 6= 0, ale že [H ˆ ′′ , L ˆ i ] = 0. Symetrie SO(3) zůstala • Ukažte, že [H neporušena. • Výhoda takovéhoto způsobu narušení je v tom, že vlastní stavy |nlmi ˆ ′′ , tj. (8.1.5) zůstanou nadále vlastními stavy i pro Hamiltonián H ˆ ′′ |nlmi = Enl |nlmi. H
(8.1.9)
Nalezněte vyjádření pro energii Enl a zakreslete, jak se rozštěpí hladiny, které v neporušeném stavu mají N = 0, 1, 2, 3.
8.2
Domácí úkol - Grupy O(n), SO(n)
Grupa O(n) je grupou transformací, které udávají všechna natočení v nrozměrném prostoru: x′i = Rij xj (přes index j se sčítá, matice jsou reálné).
(8.2.1)
P ′ P • Při natočení vektoru se jeho délka nemění: i xi2 = i x2i . Na základě této vlastnosti ukažte, že matice R musí být ortogonální, tj. RT = R−1 a že det R = ±1. • Ukažte, že grupa O(n) je uzavřená, tj. že matice R3 = R1 R2 (součin dvou ortogonálních matic) je ortogonální. • Nalezněte počet nezávislých elementů ortogonální matice rozměru n. Nadále budeme uvažovat jen vlastní rotace, pro které je det R = 1. Ty tvoří grupu SO(n). Matice s det R = −1 v sobě obsahují kromě otočení ještě prostorovou inverzi. • Ukažte, že generátory rotací (označíme Lij ) lze zapsat v maticové reprezentaci jako hermitovské matice (Lij )αβ = i (δiβ δjα − δiαδjβ)
(8.2.2)
(α, β určují složky matic Lij ) tj. ukažte, že matice ! Ã X aij Lij R = exp i
(8.2.3)
i<j
jsou ortogonální (aij jsou reálné parametry). Přesvědčte se, že počet takto vytvořených generátorů je stejný jako počet nezávislých elementů ortogonálních matic rozměru n. To znamená, že každou ortogonální matici lze jednoznačně zadat pomocí parametrů aij . • Nalezněte strukturní koeficienty grupy SO(n), tj. spočítejte komutátor [Lij , Lkl ]. Tento komutátor musí být stejný pro jakoukoliv (nejen matiˆ ij jsou covou) realizaci grupy. Dále můžeme uvažovat, že generátory L libovolné operátory, které splňují tyto komutační relace. P ˆ • Ukažte, že lineární Casimirův operátor Cˆ1 [SO(n)] ≡ i L ii je identicky nulový. Nenulový je až kvadratický Casimirův operátor Cˆ2 [SO(n)] ≡ P ˆ ˆ ˆ ij Lij Lji . Přesvědčte se, že komutuje se všemi generátory Lij .
• Ukažte, že operátory impulsmomentu v n-rozměrném prostoru, definované vztahem ˆ ij = xˆi pˆj − xˆj pˆi , L
i, j = 1, . . . , n,
(8.2.4)
(platí zde standardní komutační relace mezi souřadnicí a impulsem [ˆ xi , pˆj ] = i~δij ) splňují (až na konstantu ~) stejné komutační relace, jako jste výše vypočetli pro matice Lij , a tedy jsou generátory grupy SO(n). Napište jejich vyjádření v x-reprezentaci, tj. dosaďte pouze pˆi = i~ ∂x∂ i .
• V třírozměrném prostoru dokažte, že platí cos φ sin φ 0 R12 = exp (iφL12 ) = − sin φ cos φ 0 0 0 1
(8.2.5)
(matice L12 je definována výše). Jedná se tedy o matici rotace okolo osy 3 o úhel φ. K výpočtu můžete použít rozvoje exponenciály do Taylorovy řady.
Poznámka: V běžném třírozměrném prostoru se platí mezi složkami vekˆ jk vztah toru impulsmomentu Li a mezi L ˆ i = 1 ǫijk L ˆ jk . L 2
(8.2.6)
ˆ i splňují známé komutační relace [L ˆ i, L ˆ j ] = i~ǫijk L ˆ k a jsou jiným Složky L vyjádřením generujících operátorů grupy SO(3).
9 9.1
Dynamická symetrie Coulombického pole. Breit-Wignerovo rozdělení Runge-Lenzův vektor a Coulombické pole
(Příklad je pokračováním úlohy (7.3)) Při pohybu částice v Coulombickém poli ˆ2 e2 ˆ = p − H 2m rˆ
(9.1.1)
ˆ =x ˆ×p ˆ ještě Runge-Lenzův je integrálem pohybu kromě impulsmomentu L vektor ´ x ˆ 1 ³ ˆ ˆ ˆ (9.1.2) p ˆ×L−L×p ˆ − e2 , R= 2m rˆ
tj. platí
ˆ = 0 ˆ L] [H, ˆ = 0. ˆ R] [H,
(9.1.3)
ˆ L ˆ= Vektor impulsmomentu a Runge-Lenzův vektor jsou na sebe kolmé, tj. R· ˆ ˆ L · R = 0.
Kvadrát Runge-Lenzova vektoru je ´ ˆ ³ ˆ 2 = 2H L ˆ 2 + ~2 + e4 . R m
(9.1.4)
ˆ aR ˆ jsou existují komutační relace Mezi vektory složkami vektorů L ˆj , L ˆ k ] = i~ǫijk Lk [L ˆj , R ˆ k ] = [R ˆj , L ˆ k ] = i~ǫijk Rk [L ˆ ˆj , R ˆ k ] = i~ −2H ǫijk Lk . [R m Počítejme dále jen vázané stavy, tj. stavy s E < 0. Jelikož ˆ H|Eαi = E|Eαi
(9.1.5)
(9.1.6)
(E jsou energie, α další indexy číslující vlastní vektory), můžeme nadále naˆ → E. hrazovat ve výrazech H ˆ a Q, ˆ kde • Ukažte, že operátory L ˆ = Q
r
m ˆ R −2E
(9.1.7)
splňují komutační relace ˆj , L ˆ k ] = i~ǫijk Lk [L ˆj , Q ˆ k ] = [Q ˆj , L ˆ k ] = i~ǫijk Qk [L ˆj , Q ˆ k ] = i~ǫijk Lk . [Q
(9.1.8)
Toto jsou komutační relace pro generátory grupy SO(4). • Ukažte, že složky operátorů 1 ³ˆ ˆ ´ L+Q 2~ ´ ³ ˆ −Q ˆ ˆ = 1 L B 2~
ˆ = A
splňují
[Aˆj , Aˆk ] = iǫijk Ak ˆj , B ˆk ] = iǫijk Bk [B ˆk ] = 0, [Aˆj , B
(9.1.9)
(9.1.10)
což jsou komutační relace pro dva nezávislé impulsmomenty - generátory grupy SO(3). Toto mimo jiné ukazuje, že grupu SO(4) lze rozložit na direktní součet SO(4) = SO(3) ⊕ SO(3), a také to,že vlastní stavy můžeme hledat ve tvaru ˆ 2 |Eabi = a(a + 1)|Eabi A ˆ 2 |Eabi = b(b + 1)|Eabi, B
(9.1.11)
kde a, b = 0, 21 , 1, . . . jsou kladná polocelá čísla.
• Ukažte, že Casimirovy operátory grupy SO(4) se dají vyjádřit jako 4 ˆ2 +B ˆ 2 = − 1 − me Cˆ1 = A 2 2~2 E r ´ ³ m 1 ˆ ·R ˆ +R ˆ ·L ˆ =0 Cˆ2 = L 2~2 −2E
(9.1.12)
přičemž identická nulovost Cˆ2 plyne z výše zmíněné ortogonality vekˆ a R. ˆ torů L • Jelikož Cˆ2 = 0, dokažte, že a = b. • Dopočítejte energii a vyjádřete ji ve tvaru
me4 (9.1.13) En = − 2 2 , 2~ n kde jsme označili n = 2a + 1, takže n = 1, 2, . . . jsou přirozená čísla.
Tímto jsme určili energetické spektrum částice v Coulombickém poli jen pomocí algebraických metod a ukázali, že dynamická symetrie tohoto systému je SO(4).
9.2
Breit-Wignerovo rozdělení
Mějme stav pro který platí
|ψ(t)i = A(t)|ψ(0)i + |φ(t)i = Uˆ |ψ(0)i,
(9.2.1)
hψ(0)|φ(t)i = 0. (9.2.2) ³ ´ ˆ je operátor časového vývoje pro systém popsaný HamiltoUˆ = exp − ~i Ht ˆ niánem H. Na stav |ψ(t)i můžeme například pohlížet jako na superpozici rozpadlého a nerozpadlého jádra, přičemž A(t) udává amplitudu pravděpodobnosti, že se systém ve stavu t nerozpadne.
• Užitím rozkladu operátoru identity Z ∞ |EihE|dE 1=
(9.2.3)
−∞
ověřte, že amplituda A(t) se dá vyjádřit jako Fourierova transformace hustoty pravděpodobnosti f (ω) v energetické reprezentaci Z ∞ f (ω)eiωt dt, (9.2.4) A(t) = −∞
1 2 kde f (ω) = ~ |hψ(0)|Ei|
E=~ω
.
Nechť
Γ
|A(t)|2 = e− ~ t ,
t≥0
(9.2.5)
je pravděpodobnost exponenciálního rozpadového zákona. Amplitudu vyjádříme jako Γ A(t) = e− 2~ t eiω0 t , t ≥ 0 (9.2.6) kde ω0 určuje fázi.
• Nalezněte vyjádření pro A(−t). • Inverzní Fourierovou transformací spočítejte f (ω) z A(t). Získáte BreitWignerovo rozdělení f (ω) =
Γ 1 . ¡ Γ ¢2 2π + ~2 (ω − ω0 )
(9.2.7)
2
9.3
Domácí úkol
1. Libovolné natočení vektoru xi , i = 1, . . . , 4 ve čtyřrozměrném prostoru lze popsat šesti reálnými parametry (úhly) θ1,2,3 , ω1,2,3 a vyjádřit jako ′
x = Rx,
(9.3.1)
kde ortogonální matice R má tvar à 3 ! 3 X X R = exp i θ i Mi + i ωi Ni = i=1
i=1
0 θ3 −θ2 −ω1 −θ3 0 θ1 −ω2 = exp θ2 −θ1 0 −ω3 . ω1 ω2 ω3 0
(9.3.2)
• Napište explicitní vyjádření pro matice Mi , Ni , i = 1, 2, 3. Tyto matice jsou generátory grupy SO(4) (porovnejte s předchozím cvičením). • Přesvědčte se, že platí komutační relace [Mi , Mj ] = iǫijk Mk [Mi , Nj ] = iǫijk Nk = [Ni , Mj ] [Ni , Nj ] = iǫijk Mk
(9.3.3)
(stačí na jednom příkladu pro každou komutační relaci, např. [M1 , M2 ], [M1 , N2 ], [N1 , N2 ]). Tyto komutační relace udávají strukturní koeficienty grupy SO(4). • Nalezněte, jakým maticím jsou rovny Casimirovy operátory (1)
C2 [SO(4)] = M2 + N2 (2)
C2 [SO(4)] = M2 − N2
(9.3.4)
(označili jsme M2 = M12 + M22 + M32 , podobně M2 ). 2. Breit-Wignerovo rozdělení má tvar f (ω) =
1 Γ . ¡ Γ ¢2 2π + (ω − ω0 )2
(9.3.5)
2
• Dokažte, že
Z
+∞
f (ω)dω = 1,
(9.3.6)
−∞
takže veličinu f (ω) lze považovat za hustotu pravděpodobnosti (nalezení částice s frekvencí ω). • Vypočítejte střední hodnotu energie a disperzi Z +∞ ωf (ω)dω hEi = −∞ Z +∞ 2 2 2 h∆Ei = hE i − hEi = ω 2 f (ω)dω − hEi2 . (9.3.7) −∞
• Ukažte, že šířka křivky rozdělení f (ω) v polovině výšky je rovna Γ.
10
Koherentní stavy harmonického oscilátoru
V tomto cvičení budeme navazovat na výsledky cvičení 3. Pro snazší orientaci si některé vztahy zopakujeme. Hamiltonián jednorozměrného harmonického oscilátoru 2 ˆ = pˆ + k xˆ2 H 2M 2
lze vyjádřit pomocí posunovacích operátorů ¶ µ 1 † ˆ = ~Ω a , H ˆa ˆ+ 2 p kde Ω = k/M a r r MΩ 1 a ˆ = xˆ + i pˆ 2~ 2~M Ω [ˆ a, a ˆ† ] = 1.
(10.0.8)
(10.0.9)
(10.0.10)
Operátory hybnosti a souřadnice lze pomocí těchto vztahů vyjádřit jako r ¢ 2~ ¡ 1 a ˆ+a ˆ† xˆ = 2 MΩ ¢ ¡ 1√ (10.0.11) ˆ−a ˆ† . pˆ = 2~M Ω a 2
Mezi normalizovanými vlastními stavy Hamiltoniánu |ni s energiemi En = ~Ω(n + 1/2), n = 0, 1, . . . lze pomocí posunovacích operátorů přecházet: √ a ˆ† |ni = n + 1|n + 1i √ a ˆ|ni = n|n − 1i. (10.0.12)
10.1
Normalizace. Poissonovo rozdělení energie
Definujme koherentní stav jednorozměrného harmonického oscilátoru |zi = e−
|z|2 2
∞ X zn √ |ni, n! n=0
(10.1.1)
přičemž z je libovolné komplexní číslo a |ni je vlastní stav harmonického oscilátoru s energií En .
• Nalezněte normalizaci koherentního stavu. Ukažte, že hz|z ′ i = e−
|z−z ′ |2 +i|z||z ′ | sin(φ′ −φ) 2
,
(10.1.2)
kde jsme vyjádřili z = |z|eiφ . Tyto stavy nejsou navzájem ortogonální, což znamená, že báze je přeurčená. • Ukažte, že rozdělení energií v koherentním stavu je Poissonovo, tj. že lze psát λn −λ Pn = |hn|zi|2 = e (10.1.3) n! a nalezněte λ. • Na základě vlastností Poissonova rozdělení nalezněte, čemu se rovná ˆ střední hodnota energie v koherentním stavu Ez ≡ hz|H|zi.
10.2
Vlastní stav operátoru a ˆ
• Ukažte, že pro posunovací operátor aˆ platí a ˆ|zi = z|zi.
(10.2.1)
To znamená, že koherentní stav je vlastním stavem tohoto operátoru s vlastní hodnotou z. Operátor a ˆ není hermitovský, proto jsou jeho vlastní hodnoty komplexní. • Ukažte, že neexistuje žádný vlastní stav posunovacího operátoru aˆ† . • Pomocí Campbell-Baker-Hausdorffovy formule (2.5.2) ukažte, že koherentní stav lze vyjádřit také v tomto tvaru: |zi = ezˆa
10.3
† −z ∗ a ˆ
|0i.
(10.2.2)
Střední hodnoty operátorů
• Pomocí vyjádření Hamiltoniánu pomocí posunovacích operátorů (10.0.9) a vztahu (10.2.1) nalezněte střední hodnotu energie systému nacházejícím se ve stavu |zi a porovnejte s výsledkem příkladu 10.1. • Určete střední hodnoty operátorů polohy a hybnosti (tj. hz|ˆ x|zi a hz|ˆ p|zi) a vyjádřete pomocí nich číslo z. • Určete střední kvadratickou odchylku operátorů souřadnice a hybnosti (tj. hz| (∆ˆ x)2 |zi a hz| (∆ˆ p)2 |zi) a pomocí nich ukažte, že koherentní stavy minimalizují relace neurčitosti.
10.4
Časový vývoj
• Nalezněte vyjádření koherentního stavu v čase t, tj. |z(t)i = Uˆ (t)|zi,
(10.4.1)
kde Uˆ je operátor časového vývoje. • Určete střední hodnoty operátorů polohy a hybnosti v čase t (tj. hz(t)|ˆ x|z(t)i a hz(t)|ˆ p|z(t)i). Ukažte, že časový vývoj koherentního stavu lze znázornit jako elipsu v grafu, kde na osy vynášíme hˆ xi proti hˆ pi. To je konzistentní s klasickou teorií. • Nalezněte podmínku pro hodnotu z, za které bude elipsa v klasickém případě a v kvantovém pro střední hodnoty stejná.
10.5
Domácí úkol
• Nalezněte vlnovou funkci ψz (x) ≡ hx|zi koherentního stavu harmonického oscilátoru v x-reprezentaci. Vyjděte z toho, že platí a ˆ|zi = z|zi,
(10.5.1)
takže zψz (x) = hx|ˆ a|zi. Dosaďte vyjádření operátoru aˆ pomocí xˆ a pˆ v x-reprezentaci a vyřešte vzniklou diferenciální rovnici pro ψz (x). • Vlnovou funkci ψz (x) nanormujte. • Dosaďte vyjádření z=
r
MΩ 2~
µ hˆ xi +
i hˆ pi MΩ
¶
(10.5.2)
a přesvědčte se, že hustota pravděpodobnosti |ψz (x)|2 nalezení částice v bodě x odpovídá Gaussovskému vlnovému balíku. Určete jeho disperzi σ. • Nalezněte hustotu pravděpodobnosti v čase t. Dokažte, že se stále bude jednat o gaussovský vlnový balík, jehož disperze σ se s časem nemění (vlnový balík se nerozplývá) a jehož střední hodnota kmitá okolo počátku s klasickou frekvencí Ω.
11
Dráhový integrál
Propagátor částice, pohybující se v potenciálu V (x), lze formálně zapsat ve tvaru Z i G(xf , tf ; xi , ti ) = Dx(t)e ~ S[x(t)] (11.0.3) x(ti,f )=xi,f
kde S[x (t)] =
Z
ti
tf
·
¸ 1 2 mx˙ (t) − V (x) dt 2
(11.0.4)
je akce trajektorie x(t) a Dx(t) je míra integrace. Pro praktické výpočty se používá diskrétní verze tohoto integrálu, která zní ·³ ¸N Z m ´d/2 G(xf , tf ; xi , ti ) = lim dd x1 . . . dd xN −1 ∗ (11.0.5) N →∞ 2π~iδτ ( ¸) N · i X m xk − xk−1 δτ − V (xk−1 ) . ∗ exp ~ k=1 2 δτ
Zde d je dimenze prostoru, δτ ≡ (tf − ti )/N a x0 ≡ xi , xN ≡ xf . V tomto cvičení odvodíme vztah pro dráhový integrál libovolného systému s maximálně kvadratickou akcí (integrál (11.0.5) bude v tomto případě Gaussovský).
11.1
Gaussovský integrál
1. Nechť A je reálná, symetrická, pozitivně definitní matice. Dokažte, že pak platí ¶− 21 ¶ µ µ Z A 1 T d (11.1.1) d x exp − x Ax = det 2 2π (d je dimenze prostoru).
2. Nechť navíc b je libovolný vektor, c libovolný skalár. Označme K(x) = 1 T x Ax + b · x + c. V tomto případě se přesvědčte, že 2 µ µ ¶ ¶− 12 Z A 1 T −1 d −K(x) exp d xe = det b A b−c . (11.1.2) 2π 2 3. Ukažte, že poslední uvedený integrál lze také vyjádřit takto: ¶− 12 µ Z A d −K(x) (11.1.3) e−Kstac , d xe = det 2π
kde Kstac je stacionární bod výrazu K(x), tj. bod, pro který ∇K(x) = 0.
Tento výsledek vlastně znamená, že počítáme-li propagátor systému s maximálně kvadratickou akcí, dá se vyjádřit jen pomocí akce klasické trajektorie (pro klasickou trajektorii je akce extremální).
11.2
Dráhový integrál pro volnou částici
Spočítejte dráhový integrál (11.0.5) pro volnou částici (V (x) = 0). • Nalezněte vyjádření pro matici A na spočítejte její determinant. • Nalezněte vyjádření pro vektor b a dále relevantní elementy inverzní matice A−1 potřebné pro výpočet výrazu 21 bT A−1 b. • Dopočítejte propagátor volné částice.
11.3
Dráhový integrál částice v homogenním poli
Mějme jednorozměrný případ částice pohybující se v homogenním poli. Systém je popsaný Hamiltoniánem ˆ = 1 pˆ2 − F xˆ H 2m
(11.3.1)
• Rozložme libovolnou trajektorii x(t) s okrajovými podmínkami x(ti,f ) = xi,f na x(t) = xkl (t) + xq (t), (11.3.2) kde xkl splňuje výše uvedené okrajové podmínky a pro xq platí xq (ti,f ) = 0. Nalezněte akci takovéto trajektorie pro případ obecného potenciálu V (x). Využijte přitom toho integrace per partes a skutečnosti, že klasická trajektorie je řešením klasické pohybové rovnice. • Nalezněte totéž pro případ homogenního pole a ukažte, že výraz pro trajektorii xq (t) je stejný jako v případě volné částice. • Nalezněte klasickou trajektorii xkl (t) částice pohybující se v homogenním poli při okrajových podmínkách xkl (ti ) = xi , xkl (tf ) = xf a spočítejte její akci.
• Napište výraz pro diferenciální operátor odpovidající matici A z Gaussovského integrálu (11.1.1). Jelikož je tento operátor stejný jako v případě volné částice, bude normalizační faktor dráhového integrálu v obou případech stejný. Oba výrazy se budou lišit akcí v exponenciále. • Vyjádřete finální tvar propagátoru.
11.4
Domácí úkol
Cílem této úlohy je spočítat propagátor jednorozměrného harmonického oscilátoru daného Hamiltoniánem ˆ = 1 pˆ2 + 1 M Ω2 xˆ2 . H 2M 2
(11.4.1)
Budeme sledovat stejné kroky jako v případě propagátoru částice v homogenním poli. Potenciál je kvadratický, propagátor bude tedy úměrný i
(11.4.2) G(xf , tf ; xi , ti ) ∼ e ~ Skl h i (označili jsme Skl ≡ S xkl (t)|xkl (ti,f )=xi,f , což je akce pro klasickou trajektorii s okrajovými podmínkami xkl (ti ) = xi , xkl (tf ) = xf ). • Nalezněte klasickou trajektorii xkl (t) částice pohybující se v poli harmonického oscilátoru při okrajových podmínkách xkl (ti ) = xi , xkl (tf ) = xf . • Nalezněte rychlosti vi = x˙ kl (ti ), vf = x˙ kl (tf ). • Rozložme libovolnou trajektorii x(t) s okrajovými podmínkami x(ti,f ) = xi,f na x(t) = xkl (t) + xq (t), (11.4.3) kde xkl splňuje výše uvedené okrajové podmínky a pro xq platí xq (ti,f ) = ˆ který odpovídá matici A Gaus0. Nalezněte diferenciální operátor A, sovské integrace, a na prostoru funkcí xq nalezněte jeho vlastní čísla. ˆ
A • Jelikož det 2π nekonverguje, regularizujte jej vydělením determinantem ˆ d2 volné částice det A2π0 , kde Aˆ0 = ~i m dt 2 , a dopočítejte. Můžete využít vztah ∞ · ³ x ´2 ¸ sin x Y 1− = . (11.4.4) kπ x k=1
• Ukažte, že porovnáním s propagátorem volné částice, kde má diferenciální operátor tvar Aˆ0 , můžete propagátor harmonického oscilátoru vyjádřit ve tvaru v u r u det Aˆ0 i m 2π ~ S[xkl (t)] t G(xf , tf ; xi , ti ) = e (11.4.5) 2π~i (tf − ti ) det Aˆ 2π
Dosaďte, dopočítejte akci klasické trajektorie a napište konečný výsledek.
Díky regularizaci máme v rukou prostředek, který výrazně zjednodušuje výpočet dráhového integrálu. Nemusíme již uvažovat jeho diskrétní vyjádření. Dalším krokem je Van Vleckova formule, která říká, že propagátor Gaussovského systému lze vyjádřit jen pomocí akce klasické trajektorie s ¶ µ ¶ µ i −1 ∂ 2 Skl exp Skl . (11.4.6) G(xf , tf ; xi , ti ) = det 2π~i ∂xi ∂xf ~ • Ukažte, že Van Vleckova formule reprodukuje propagátor volné částice, propagátor částice v homogenním poli a propagátor částice v poli harmonického oscilátoru.
