1 1.1
Vektorové prostory Definice vektorového prostoru.
Poznámka: Symbolem R, resp. C budeme označovat těleso reálných, resp. komplexních čísel. Budeme předpokládat, že vlastnosti tělesa reálných, resp. komplexních, čísel jsou známa (víc podrobností se naučíte v přednášce z matematické analýzy). Příklad: 1. Geometrie. Základní středoškolská představa o tom, co je vektor, je orientovaná úsečka. Přesněji, dvě takové úsečky jsou považované za stejné, pokud jednu dostanu z druhé rovnoběžným přenosem. Základní operace, které mohu s vektory dělat, je jejich sčítání (definované geometricky pro dva vektory umístěné do stejného počátku pomocí příslušného rovnoběžníka). Nulový vektor o je ’úsečka’, která spojuje dva stejné body. Všimněte si, že pro libovolný vektor v platí v + o = v. Změníme-li u vektoru v směr na opačný (tj. pokud zaměníme počáteční a koncový bod), označíme ho −v. Pak zřejmě v + (−v) = 0. Vektor také můžeme vynásobit reálným číslem. Podrobněji, je-li a reálné číslo v je vektor, pak součin a · v je opět vektor, který má stejný směr jako v a jeho délka je a-krát delší než je vektor v. Je-li a = 0, pak součin 0 · v je (pro každé v) nulvo vektor o. Ja-li a záporné, pak součin a · v má opačný směr než v a je |a|-krát delší než je vektor v. Množina všech (geometrických) vektorů je základní příklad a inspirace pro níže uvedenou definici vektorového prostoru. 2a. Aritmetika. Množina Rn je množina všech n-tic x = (x1 , . . . , xn ) reálných čísel. Sčítání dvou prvků této množiny je definováno pomocí sčítání jejich odpovídajících komponent, násobení takovéto n-tice číslem se také definuje po složkách. 2b. Aritmetika. Množina Cn je množina všech n-tic z = (z1 , . . . , zn ) komplexních čísel. Sčítání dvou prvků této množiny je definováno pomocí sčítání jejich odpovídajících komponent, násobení takovéto n-tice komplexním číslem se také definuje po složkách. Také zde existuje nulový vektor ( o = (0, . . . , 0, opačný vektor má všechny komponenty opačné. 3. Analýza. Označme symbolem V prostor všech polynomů jedné reálné proměnné, jejichž stupeň je menší nebo roven danému přirozenému číslu k. Budeme uvažovat polynomy s komplexními koeficienty. Pak opět můžeme definovat snadno součet dvou takovýchto polynomů a také součin libovol1
ného komplexního čísla a daného polynomu. Toto je příklad, který motivuje definici vektorového prostoru nad tělesem C komplexních čísel. Je možné také uvažovat prostor V všech polynomů (bez omezení na jejich stupeň). Definice 1 Vektorový prostor Vektorový prostor V nad tělesem R(C) je množina V spolu s dvěma operacemi (zobrazeními) (i) + : V × V → V (tzv. sčítání vektorů) (ii) · : R × V → V, resp. C × V → V (násobení vektoru číslem) Prvky množiny V se nazývají vektory (budeme je typicky označovat malými písmeny latincké abecedy). Prvky tělesa R, resp. C se nazývají čísla (budeme je typicky označovat malými písmeny řecké abecedy). O těchto dvou operacích se předpokládá, že budou mít následující vlastnosti (budou splňovat následující axiomy): I.a) (x + y) + z = x + (y + z) pro všechny x, y, z ∈ V (asociativita) I.b) existuje vektor 0 ∈ V (nulový vektor) s vlastností, že pro všechny x ∈ V platí x + 0 = 0 + x = x. I.c) pro každé x ∈ V existuje prvek −x ∈ V s vlastností x + (−x) = (−x) + x = 0 (existence inversního prvku) I.d) pro všechny x, y ∈ V platí x + y = y + x (komutativita) II.a) pro všechny x ∈ V platí 1 · x = x, II.b) pro všechny α, β ∈ R(C), x ∈ V platí α · (β · x) = (αβ) · x, III.a) pro všechny α, β ∈ R(C), x ∈ V platí (α + β) · x = α · x + β · x, III.b) pro všechny α ∈ R(C), x, y ∈ V platí α · (x + y) = α · x + α · y. Poznámka. Množina V4, ve které existuje jen jedna operace (označnme ji symbolem ◦ místo +) s vlastnostmi I.a) - I.c) se nazývá grupa. Tento pojem bude v budoucnosti velmi důležitý. Budeme se mu věnovat víc, až budeme mít k dispozici více důležitých příkladů. Pokud má operace ◦ i vlastnost I.d), pak se grupa nazývá komutativní grupa, v opačném případě používáme název nekomutativní grupa. Jako cvičení si zkuste rozmyslet, že tři úvodní přiklady, které sloužily jako motivace pro definici vektorového prostoru, splňují všechny požadavky v definici vektorového prostoru. Často se místo názvu vektorový prostor užívá název lineární vektorový prostor.
2
1.2
Vektorové podprostory, faktorprostor
Definice 2 Vektorový podprostor Nechť V je vektorový prostor nad tělesem R(C) Řekneme, že množina W ⊂ V je vektorový podprostor V , pokud W je vektorový prostor při stejných operacích, které byly definovány ve V. Lemma 1 Vlastnosti podprostoru Podmnožina W ⊂ V je podprostor, pokud W + W ⊂ W, R.W ⊂ W (C.W ⊂ W ). Důkaz: Výše uvedené podmínky jsou podmínky pro to, aby sčítání a násobení bylo dobře definováno, mělo hodnoty opět ve W. To, že pak toto sčítání a násobení číslem splňuje všechny požadované vlastnosti je už jen důsledkem toho, že vzniklo restrikcí ze sčítání a násobení ve V, kde tyto všechny vlastnosti platí. 2 Příklad: Nechť vektorový prostor V je rovina, jak vypadají všechny podprostory v prostoru V ? Nakreslete si je! Jsou to všechny přímky procházející počátkem (které mají - v intuitivním smyslu - dimensi 1) pak podprostor {0}, skládající se z jednoho bodu, a to počátku; a nakonec celý Prostor V (který má ’dimenzi 2’).
1.3
Lineární kombinace, generátory
Definice 3 Nechť V je vektorový prostor na tělesem R (C). Uvažujme konečnou množinu vektorů x1 , . . . , xn ∈ V. Řekneme, že vektor v ∈ V je lineární kombinace vektorů x1 , . . . , xn , pokud existují čísla α1 , . . . , αn ∈ R(C) taková, že v = α1 .x1 + . . . + αn . Řekneme, že lineární kombinace je triviální, pokud všechny koeficienty αi , i = 1, . . . , n jsou rovny nule. Nechť M je libovolná podmnožina V. Lineární obal L(M ) množiny M je množina všech lineárních kombinací všech konečných podmnožin x1 , . . . , xn množiny M. Pokud pro množinu M ⊂ V platí, že L(M ) = V, pak řekneme, že množina M generuje V. Prvky množiny M se nazývají generátory V. Řekneme, že vektorový prostor V je konečně generovaný, pokud existuje konečná množina M ⊂ V, která ho generuje.
3
Lemma 2 Lineární obal L(M ) množiny M ⊂ V je vektorový podprostor. Je to nejmenší vektorový podprostor V, který obsahuje M. Je to průnik všech lineárních podprostorů V, které obsahují množinu M. Důkaz: a) L(M ) je podprostor: Stačí ověřit, že L(M ) je uzavřeno na sčítání a násobení číslem (ověřte! - použijte přitom definici množiny L(M )). b) L(M ) je vektorový podprostor a obsahuje M. Je-li N jiný takový podprostor, pak všechny lineární kombinace prvků z M zřejmě patří do N a tedy L(M ) ⊂ N. Prostor L(M ) je tedy nejmenší vektorový podprostor obsahující množinu M. c) Označme symbolem N průnik všech lineárních podprostorů V, které obsahují množinu M. Chceme ukázat, že N = L(M ). Dokážeme obě inkluse. Chci dokázat, že L(M ) ⊂ N. Prostor L(M ) je nejmenší podprostor, obsahující M. Je tedy částí každého podprostoru obsahujícho M, a tedy i jejich průniku N. Chci dokázat, že N ⊂ L(M ). Víme, že L(M ) je podprostor a obsahuje M. Je to tedy jeden z podprostorů, ze kterých se bere průnik v definici N. Tedy L(M ) obsahuje průnik N. 2 Příklad: Rozmyslete si, jak vypadá lineární obal různých dvojic či trojic vektorů v trojrozměrném prostoru. Rozmyslete si, jak může vypadat množina, která generuje daný dvojrozměrný podprostor v třírozměrném prostoru. Kolik může mít nejméně prvků? Rozmyslete si totéž pro jednorozměrný podprostor v třírozměrném prostoru.
1.4
Lineární nezávislost, base, dimenze
Definice 4 Řekneme, že konečná množina vektorů x1 , . . . , xn ve V je lineárně nezávislá, pokud jediná lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna nulovému vektoru, je triviální lineární kombinace. Tedy musí platit: pokud existují čísla α1 , . . . , αn taková, že α1 .x1 + . . . + αn .xn = 0, pak α1 = . . . = αn = 0. Řekneme, že konečná množina M lineárně závislá, pokud není lineárně nezávislá. 4
Řekneme, že konečná množina M je base vektorového prostoru V, pokud M je lineárně nezávislá a generuje V. Řekneme, že vektorový prostor V má dimenzi n, pokud existuje base V, která má n prvků. Řekneme, že vektorový prostor V má nekonečnou dimenzi, pokud není konečně generovaný. Příklad: Nakreslete si lineárně nezávislé skupiny vektorů v rovině a v prostoru. Kolik jich nejvíce může být? Najděte příklady basí roviny a prostoru. Ukažte, že prostor všech polynomů má nekonečnou dimenzi. Poznámka. Nejznámější Steinitz je Wilhelm Steinitz, který se narodil v Praze v roce 1834. V roce 1886 porazil svého soupeře Zuckertota v prvním oficiální souboji o titul šachového mistra světa. Titul ztratil v souboji s E. Laskerem (výborný matematik!)v roce 1894. Živil se šachem, zemřel chudý v roce 1900. Steinitzovu větu formuloval a dokázal H. Grassmann (1809-1877, Stetin, Germany), který ve své knize probírá v překvapivě moderním jazyce to, co my nyní. (Věta se jmenuje po Ernstu Steinitzovi, který ji publikoval v roce 1913). Věta 1 (Steinitz) Nechť L(x1 , . . . , xm ) = L(y1 , . . . , yn ). Nechť navíc je množina {x1 , . . . , xm } nezávislá. Pak m ≤ n. Důsledkem Steinitzovy věty je, že libovolné dvě base konečně generovaného vektorového prostoru mají stejný počet prvků (jsou-li {x1 , . . . , xm } a {y1 , . . . , yn } dvě base, pak použitím Steinitzovy věty dostanu pro jednu i pro druhou dostanu, že m ≤ n a současně n ≤ m. Dimenze vektorového prostoru je tedy dobře definována. Lemma 3 1. Je-li množina M ⊂ V lineárně nezávislá, pak totéž platí pro každou její podmnožinu. 2. Je-li množina M lineárně závislá, platí totéž pro každou množinu M ′ ⊂ V, která ji obsahuje. 3. Množina M je lineárně závislá právě když existuje vektor x ∈ M , který lze vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních, tj. takový, že x je roven lineární kombinaci nějaké konečné podmnožiny M ′ ⊂ M vektorů. 5
Poznámka: Nakreslete si v rovině nebo v prostoru příklady množin M a M ′ takových, že: Množina M je lineárně nezávislá, množina M ′ je lineárně závislá, a M ⊂ M ′. Důkaz: 1. Je-li množina vektorů M = {x1 , . . . , xm } lineárně nezávislá, pak i každá její podmnožina M ′ je také lineárně nezávislá. Důvod proto je jednoduchý: pro pohodlí předpokládejme, že jsou vektory množiny M uspořádány tak, že podmnožina M ′ je právě množina M ′ = {x1 , . . . , xn }, n < m. Pokud Pn αj xj = 0, pak můžeme definovat αi = 0, i = n + 1, . . . , m a zřejmě j=1 P platí m j=1 αj xj = 0, a tedy podle definice nezávislosti musí být αi = 0 také pro všechny i = 1, . . . , n. Z toho pak plyne, že také množina vektorů M ′ je nezávislá. 2. Pro důkaz ekvivalence je třeba dokázat dvě implikace: a) Je-li M lineárně závislá, pak podle definice existuje lineární kombinace α1 x1 +. . .+αn xn , která je rovna nulovému vektoru, ale ne všechny koeficienty αi jsou nula. Předpokládejme, že j-tý koeficient je nenulový. Pak ale xj =
−1 [α1 x1 + . . . + αj−1 xj−1 + αj+1 xj+1 + . . . + αn xn ]. αj
b) Pokud jeden z vektorů, například j-tý vektor, vyjádřím pomocí ostatních, tj. pokud xj = α1 x1 + . . . + αj−1 xj−1 + αj+1 xj+1 + . . . + αn xn , pak zřejmě α1 x1 + . . . + αj−1 xj−1 − xj + αj+1 xj+1 + . . . + αn xn = 0, tedy podle definice je M lineárně závislá. 3. Třetí část tvrzení je přímým důsledkem druhé části tvrzení. 2 Příklad: Nakreslete si příklad, kde množina M se skládá ze dvou vektorů v prostoru a množina M ′ vznikne přidáním jednoho vektoru k množině M. Rozmyslte si, že je možné, aby množina M byla lineárně nezávislá a množina M ′ byla lineárně závislá. Lemma 4 Nechť M je konečná podmnožina vektorů ve V a y ∈ V. Pak L(M ) ⊂ L(M ∪ {y}) a rovnost v této inklusi nastane právě když y ∈ L(M ).
6
Důkaz: Pokud nastane v inklusi rovnost, pak zřejmě y ∈ L(M ). Naopak, pokud y ∈ L(M ), pak lze y napsat jako lineární kombinaci prvků z M a každou lineární kombinaci prvků z M ∪ y lze dosazením za y napsat jako lineární kombinaci prvků z M. 2
7
