Matematick´y ustav ´ Slezske´ univerzity v Opaveˇ Uˇcebn´ı texty k pˇrednaˇ ´ sce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan
9. Vektorov´e prostory Vektor je kter´ykoliv prvek nˇekter´eho vektorov´eho prostoru. Vektorov´y prostor je mnoˇzina, na n´ızˇ je zavedena abstraktn´ı algebraick´a struktura vektorov´eho prostoru. Definice. Vektorov´y prostor nad polem P je mnoˇzina, rˇeknˇeme V , spolu s a) bin´arn´ı operac´ı V × V → V , (a, b) → a + b; naz´yv´a se sˇc´ıt´an´ı; b) jedn´ım vybran´ym prvkem 0 ∈ V ; naz´yv´a se nula; c) zobrazen´ım V → V , a → −a; prvek −a se naz´yv´a opaˇcn´y k prvku a; d) zobrazen´ım P × V → V , ( p, a) → p · a; naz´yv´a se n´asoben´ı skal´arem. Pˇritom je poˇzadov´ano, aby pro libovoln´e prvky a, b, c ∈ V a p, q ∈ P platilo (1) a + b = b + a,
(5) 1 · a = a,
(2) a + (b + c) = (a + b) + c,
(6)
(3) a + 0 = a,
(7) ( p + q) · a = ( p · a) + (q · a),
(4) a + (−a) = 0,
(8)
p · (q · a) = ( p · q) · a, p · (a + b) = ( p · a) + ( p · b).
Prvky mnoˇziny V se naz´yvaj´ı vektory, prvky pole P se naz´yvaj´ı skal´ary. Podm´ınky (1)–(8) jsou axiomy vektorov´eho prostoru. Prvn´ı cˇ tyˇri znamenaj´ı, zˇ e (V, +, 0, −) je komutativn´ı grupa. Vˇsimnˇete si, zˇ e pˇri n´asoben´ı p´ısˇeme skal´ar vˇzdy vlevo od vektoru. N´asob´ıc´ı teˇcka se cˇ asto vynech´av´a. Vektorov´y prostor nad polem R resp. C se naz´yv´a re´aln´y resp. komplexn´ı vektorov´y prostor. Zobrazen´ı P × V → V , ( p, a) → p · a, zˇrejmˇe nen´ı bin´arn´ı operace (nen´ı-li P = V ). Toto zobrazen´ı se obvykle naz´yv´a vnˇejˇs´ı operace (obyˇcejn´a bin´arn´ı operace se pak m˚uzˇ e naz´yvat vnitˇrn´ı operace). Na vektorov´em prostoru tak m´ame vnitˇrn´ı operaci sˇc´ıt´an´ı a vnˇejˇs´ı operaci n´asoben´ı skal´arem. Pˇr´ıklady. 1) Re´aln´y vektorov´y prostor Eukleidovsk´e geometrie, dvourozmˇern´e i trojrozmˇern´e. Vektor je zad´an orientovanou u´ seˇckou nebo uspoˇra´ danou dvojic´ı bod˚u (poˇca´ teˇcn´ı bod, koncov´y bod). Dva vektory povaˇzujeme za totoˇzn´e, lze-li jeden pˇrev´est na druh´y rovnobˇezˇ n´ym posunut´ım. Um´ıstˇen´ı vektoru v dan´em bodˇe X dostaneme rovnobˇezˇ n´ym posunut´ım, pˇri kter´em poˇca´ teˇcn´ı bod vektoru splyne s X . (Cviˇcen´ı: Vektor je tˇr´ıda jist´e relace ekvivalence. Kter´e?) Souˇcet vektor˚u z´ısk´ame pravidlem rovnobˇezˇ n´ıka, p-n´asobek vektoru p-n´asobn´ym prodlouˇzen´ım u´ seˇcky (pˇr´ıpadnˇe se zmˇenou orientace, kdyˇz p < 0): u+v
✘✘ v ✘✘✘ ✂✂✍❅ ❅ I ❅ ❅ ❅ ✂ ❅ u ❅ ✂ ✘✘✘ ✿ ✘ ❅✂✘
0
✿ 2u ✘✘✘✘✘ ✘ ✘
✘✘✘
✘
✘ ✘✘✘ ✾ −u
9. Vektorov´e prostory
Nulov´y vektor je degenerovan´a u´ seˇcka nulov´e d´elky. Vektorov´y prostor vektor˚u v rovinˇe resp. prostoru oznaˇc´ıme E 2 resp. E 3 . Cviˇcen´ı. Demonstrujte asociativitu sˇc´ıt´an´ı vektor˚u v E 3 . Zvolte tˇri vektory u, v, w v prostoru, um´ıstˇete je do spoleˇcn´eho bodu a doplˇnte do kos´eho hranolu. Ukaˇzte, zˇ e vektor (u + v) + w tvoˇr´ı u´ hlopˇr´ıcˇ ku tohoto hranolu. Tot´ezˇ pro u + (v + w).
2) Na kaˇzd´e jednoprvkov´e mnoˇzinˇe existuje struktura vektorov´eho prostoru, dokonce nad libovoln´ym polem P. Skuteˇcnˇe, oznaˇc´ıme-li jedin´y prvek z M symbolem 0, staˇc´ı poloˇzit 0 + 0 = 0, −0 = 0 a p · 0 = 0 pro kaˇzd´e p ∈ P. Tento objekt se naz´yv´a nulov´y prostor a znaˇc´ı se symbolem 0. 3) Kaˇzd´e pole je vektorov´ym prostorem nad sebou sam´ym. Skuteˇcnˇe, poloˇz´ıme-li v definici vektorov´eho prostoru V = P, budou vˇsechny axiomy vektorov´eho prostoru d˚usledky axiom˚u pole. (Ovˇeˇrte.) Z´ısk´av´ame tak napˇr´ıklad vektorov´y prostor R nad R, vektorov´y prostor C nad C, vektorov´y prostor Q nad Q a vektorov´y prostor Z2 nad Z2 . 4) Kaˇzd´e pole je vektorov´ym prostorem nad libovol´ym sv´ym podpolem Q ⊂ P. Jedin´y rozd´ıl od pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu spoˇc´ıv´a v tom, zˇ e n´asoben´ı skal´arem je dovoleno jen pro skal´ary z Q. Z´ısk´av´ame tak napˇr´ıklad vektorov´y prostor C nad R, vektorov´y prostor C nad Q a vektorov´y prostor R nad Q. 5) Bud’ n pˇrirozen´e cˇ´ıslo, P pole. Na mnoˇzinˇe P n vˇsech uspoˇra´ dan´ych n-tic prvk˚u z P zaved’me vnitˇrn´ı a vnˇejˇs´ı operaci pˇredpisem (u 1 , u 2 , . . . , u n ) + (v1 , v2 , . . . , vn ) = (u 1 + v1 , u 2 + v2 , . . . , u n + vn ), p(u 1 , u 2 , . . . , u n ) = ( pu 1 , pu 2 , . . . , pu n ) Opˇet tak vznik´a vektorov´y prostor P n nad polem P. (Ovˇeˇrte.) Napˇr´ıklad ˇra´ dky a sloupce matic jsou prvky takov´ych vektorov´ych prostor˚u. 6) Vektorov´y prostor P n nad podpolem Q ⊂ P definujte sami. 7) Vektorov´y prostor P X vˇsech zobrazen´ı X → P, kde P je pole. Jsou-li u, v : X → P dvˇe takov´a zobrazen´ı, pak jejich souˇcet a n´asobek skal´arem p ∈ P jsou zobrazen´ı u + v : X → P a pu : X → P zaveden´a pˇredpisem (u + v)(x) = u(x) + v(x), ( pu)(x) = p · u(x). V pˇr´ıpadˇe P = R dost´av´ame prostor vˇsech re´aln´ych funkc´ı na X . Tvrzen´ı. Bud’ V vektorov´y prostor nad polem P. Pak pro kaˇzd´e dva prvky a, b ∈ V , p, q ∈ P plat´ı: (i) 0 · a = 0, (ii) (−1) · a = −a, (iii) ( p − q) · a = p · a − q · a, (iv) p · (a − b) = p · a − p · b, (v) Je-li p · a = 0, pak p = 0 nebo a = 0. Dukaz. ˚ Cviˇcen´ı 2
9. Vektorov´e prostory
Definice. (1) Bud’te u 1 , u 2 , . . . , u n vektory z vektorov´eho prostoru V nad polem P. Line´arn´ı kombinace vektor˚u u 1 , u 2 , . . . , u n s koeficienty p1 , p2 , . . . , pn ∈ P je vektor p1 u 1 + p2 u 2 + · · · + pn u n
∈ V.
ˇ (2) Rekneme, zˇ e vektory u 1 , u 2 , . . . , u n ∈ V generuj´ı vektorov´y prostor V , je-li kaˇzd´y vektor v ∈ V jejich line´arn´ı kombinac´ı, to jest, jestliˇze pro kaˇzd´y vektor v ∈ V existuj´ı skal´ary p1 , p2 , . . . , pn ∈ P takov´e, zˇ e v = p1 u 1 + p2 u 2 + · · · + pn u n . ˇ ık´ame t´ezˇ , zˇ e {u 1 , u 2 , . . . , u n } je mnoˇzina gener´ator˚u. R´ (3) Prostor V , kter´y m´a (koneˇcnou) mnoˇzinu gener´ator˚u, se naz´yv´a koneˇcnˇerozmˇern´y. Pˇr´ıklad. 1) Souˇcet vektor˚u u, v je jejich line´arn´ı kombinace s koeficienty 1, 1; rozd´ıl vektor˚u u, v je jejich line´arn´ı kombinace s koeficienty 1, −1: u + v = 1 · u + 1 · v,
u − v = 1 · u + (−1) · v.
2) Line´arn´ı kombinace vektor˚u (1, 2, 0, 1), (2, 3, 1, 0) ∈ R4 s koeficienty 1, −2 je 1 · (1, 2, 0, 1) + (−2) · (2, 3, 1, 0) = (−3, −4, −2, 1). 3) Line´arn´ı kombinace vektor˚u u, v ∈ E 2 s koeficienty −1 a 23 : −u + 23 v ✘ ✘ ✘✂✍❅ ✘✘ ✂ ❅ I ❅ ❅ ❅ ✂ 2 v ❅ ✂ ✿ ✘ ✘❅ 3 ✘ ✘ ❅✂✘ −u
❅ I ❅
❅
u ✘✘ ✾✘✘ ✘
❅v ❅
❅
Nab´yvaj´ı-li cˇ´ısla α, β ∈ R vˇsech moˇzn´ych hodnot, prob´ıh´a vektor w = αu + βv celou mnoˇzinu E 2 . Cviˇcen´ı. Pokuste se o d˚ukaz. N´avod: Pouˇzijte rovnobˇezˇ n´e prom´ıt´an´ı. 4) Prostor R3 je generov´an napˇr´ıklad vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Skuteˇcnˇe, je-li (x, y, z) ∈ R libovoln´y vektor, pak (x, y, z) = x · (1, 0, 0) + y · (0, 1, 0) + z · (0, 0, 1) je line´arn´ı kombinace (s koeficienty x, y, z). 5) Prostor R3 je generov´an takt´ezˇ vektory (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1). Je-li (x, y, z) ∈ R3 libovoln´y vektor, pak (x, y, z) = (x − y) · (1, 0, 0) + (y − z) · (1, 1, 0) + z · (1, 1, 1) (ovˇeˇrte) je line´arn´ı kombinace s koeficienty x − y, y − z, z. 6) Prostor R3 nen´ı generov´an vektory (1, 2, 0), (3, 4, 0), (1, 1, 0). Skuteˇcnˇe, line´arn´ı kombinace s koeficienty x, y, z m´a nulovou tˇret´ı sloˇzku: x · (1, 2, 0) + y · (3, 4, 0) + z · (1, 1, 0) = (x + 3y + z, ˇ adn´y vektor s nenulovou tˇret´ı sloˇzkou nen´ı line´arn´ı kombinac´ı tˇechto vektor˚u. 2x + 4y + z, 0). Z´ 7) Prostor R3 je generov´an vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (3, 4, 5). Je-li (x, y, z) ∈ R3 libovoln´y vektor, pak (x, y, z) = x · (1, 0, 0) + y · (0, 1, 0) + z · (0, 0, 1) + 0 · (3, 4, 5) je line´arn´ı kombinace s koeficienty x, y, z, 0. V tomto pˇr´ıpadˇe m˚uzˇ eme naj´ıt dokonce nekoneˇcnˇe mnoho vyj´adˇren´ı ve tvaru line´arn´ı kombinace, a sice (x, y, z) = (x−3t)·(1, 0, 0)+(y−4t)·(0, 1, 0)+(z−5t)·(0, 0, 1)+t·(3, 4, 5), s koeficienty x − 3t, y − 4t, z − 5t, t, kde t ∈ R je parametr. (Ovˇeˇrte.) 3
3
9. Vektorov´e prostory
7) Obecnˇe, r -tice vektor˚u u 1 , . . . , u r ∈ Rs , kde u i = (u i1 , . . . , u is ), generuje Rs , jestliˇze m´a soustava u 11 x1 + · · · + u r 1 xr = v1 .. . u 1s x1 + · · · + u r s xr = vs alespoˇn jedno ˇreˇsen´ı x1 , . . . , xr pro kaˇzdou pravou stranu v1 , . . . , vr . Vskutku, soustava je ekvivalentn´ı s podm´ınkou (v1 , . . . , vs ) = x1 (u 11 , . . . , u 1s ) + · · · + xr (u r 1 , . . . , u r s ). Pˇr´ıklad. Uved’me pˇr´ıklad prostoru, kter´y nen´ı koneˇcnˇerozmˇern´y. Polynom s re´aln´ymi koeficienty ˇ ıslo n se naz´yv´a stupeˇn polynomu je v´yraz an x n + · · · + a1 x + a0 , kde an , . . . , a0 ∈ R a n ∈ N. C´ n an x + · · · + a1 x + a0 , je-li an = 0. Mnoˇzina vˇsech takov´ych polynom˚u je vektorov´y prostor R[x] vzhledem k obyˇcejn´emu sˇc´ıt´an´ı polynom˚u a jejich n´asoben´ı re´aln´ym cˇ´ıslem. R[x] ovˇsem nem´a zˇ a´ dnou koneˇcnou mnoˇzinu gener´ator˚u. Je-li totiˇz p1 , . . . , ps nˇejak´a koneˇcn´a mnoˇzina polynom˚u, pak jistˇe existuje cˇ´ıslo N , kter´e je vˇetˇs´ı neˇz stupeˇn kter´ehokoliv z polynom˚u p1 , . . . , ps . Pak zˇ a´ dn´y z tˇechto polynom˚u ani zˇ a´ dn´a jejich line´arn´ı kombinace neobsahuje x N s nenulov´ym koeficientem. Polynom x N ∈ R[n] tud´ızˇ nen´ı line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u p1 , . . . , ps .
ˇ Definice. Rekneme, zˇ e vektory e1 , e2 , . . . , en ∈ V jsou line´arnˇe nez´avisl´e, jestliˇze z rovnosti x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en = 0,
kde x1 , x2 , . . . , xn ∈ P,
ˇ plyne x1 = x2 = · · · = xn = 0. Rekneme, zˇ e vektory e1 , e2 , . . . , en ∈ V jsou line´arnˇe z´avisl´e, jestliˇze nejsou line´arnˇe nez´avisl´e. Pˇr´ıklad. 1) Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) prostoru R3 jsou line´arnˇe nez´avisl´e. Skuteˇcnˇe, poloˇzme x · (1, 0, 0) + y · (0, 1, 0) + z · (0, 0, 1) = (0, 0, 0). Na lev´e stranˇe t´eto rovnosti m´ame vektor (x, y, z), a ten je roven vektoru (0, 0, 0) pr´avˇe tehdy, kdyˇz x = y = z = 0. 2) Vektory (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) prostoru R3 jsou rovnˇezˇ nez´avisl´e. Skuteˇcnˇe, poloˇzme opˇet x · (1, 0, 0) + y · (1, 1, 0) + z · (1, 1, 1) = (0, 0, 0). Na lev´e stranˇe je vektor (x + y + z, y + z, z), a ten je nulov´y pr´avˇe tehdy, kdyˇz x = y = z = 0 (ovˇeˇrte). 3) Vektory (3, 2, 1), (3, 1, 0), (6, 3, 1) jsou line´arnˇe z´avisl´e. M´ame totiˇz (3, 2, 1) + (3, 1, 0) − (6, 3, 1) = (0, 0, 0), pˇriˇcemˇz koeficienty 1, 1, −1 nejsou vˇsechny nulov´e. 4) Libovoln´a n-tice vektor˚u obsahuj´ıc´ı nulov´y vektor je line´arnˇe z´avisl´a. Je-li napˇr. u 1 , . . . , u n−1 , 0 takov´a n-tice, pak 0u 1 + · · · + 0u n−1 + 1 · 0 = 0 je nulov´a line´arn´ı kombinace s koeficienty 0, . . . , 0, 1, kter´e nejsou vˇsechny nulov´e. 5) Obecnˇe, r -tice vektor˚u u i = (u i1 , . . . , u is ) z Rs je nez´avisl´a, pr´avˇe kdyˇz m´a soustava u 11 x1 + · · · + u r 1 xr = 0 .. . u 1s x1 + · · · + u r s xr = 0 pr´avˇe jedno ˇreˇsen´ı, a sice x1 = · · · = xr = 0. Cviˇcen´ı. Libovoln´a podmnoˇzina line´arnˇe nez´avisl´e mnoˇziny vektor˚u je line´arnˇe nez´avisl´a. Dokaˇzte.
Definice. B´aze vektorov´eho prostoru je libovoln´a n-tice jeho line´arnˇe nez´avisl´ych gener´ator˚u. Tvrzen´ı. Bud’e1 , e2 , . . . , en b´aze vektorov´eho prostoru V . Pak pro kaˇzd´y vektor v ∈ V existuje pr´avˇe jedna n-tice skal´ar˚u x1 , x2 , . . . , xn ∈ P takov´a, zˇe v = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en . 4
9. Vektorov´e prostory
Dukaz. ˚ Necht’e1 , . . . , en generuj´ı V . Bud’v ∈ V . Pak existuj´ı koeficienty x1 , x2 , . . . , xn takov´e, zˇ e v = x1 e1 + · · · + xn en . Necht’ jsou vektory e1 , . . . , en nav´ıc line´arnˇe nez´avisl´e. Dokaˇzme jednoznaˇcnost. Je-li y1 , . . . , yn jin´a n-tice koeficient˚u takov´a, zˇ e v = y1 e1 + · · · + yn en , pak 0 = v − v = (x1 e1 + · · · + xn en ) − (y1 e1 + · · · + yn en ) = (x1 − y1 )e1 + · · · + (xn − yn )en . Z line´arn´ı nez´avislosti vektor˚u e1 , . . . , en pak plyne x1 − y1 = · · · = xn − yn = 0, a tedy x1 = y1 , . . . , xn = yn , coˇz se mˇelo dok´azat. Cviˇcen´ı. Zformulujte a dokaˇzte obr´acen´e tvrzen´ı.
Definice. Skal´ary x1 , x2 , . . . , xn z pˇredchoz´ıho tvrzen´ı se naz´yvaj´ı souˇradnice vektoru v v b´azi e1 , e2 , . . . , en . Pˇr´ıklad. 1) Vektory (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) tvoˇr´ı b´azi prostoru R3 . Souˇradnice vektoru (x, y, z) = x · (1, 0, 0) + y · (0, 1, 0) + z · (0, 0, 1) jsou x, y, z. 2) Pˇri zmˇenˇe b´aze se mˇen´ı souˇradnice. Trojice vektor˚u (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) je jin´a b´aze t´ehoˇz prostoru R3 . Je-li (x, y, z) ∈ R3 libovoln´y vektor, pak (x, y, z) = (x − y) · (1, 0, 0) + (y − z) · (1, 1, 0) + z · (1, 1, 1) (ovˇeˇrte). Tud´ızˇ , vektor (x, y, z) m´a v t´eto nov´e b´azi souˇradnice x − y, y − z, z.
Tvrzen´ı. Bud’ e1 , e2 , . . . , en nˇejak´a b´aze vektorov´eho prostoru V ; vˇsechny souˇradnice bud’te vztaˇzeny k t´eto b´azi. Bud’te x1 , x2 , . . . , xn ∈ P souˇradnice vektoru u ∈ V , y1 , y2 , . . . , yn ∈ P souˇradnice vektoru v ∈ V . Pak jsou x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn souˇradnice vektoru u + v. Bud’ d´ale p ∈ P libovoln´y skal´ar. Pak jsou px1 , px2 , . . . , pxn souˇradnice vektoru pu. Dukaz. ˚ Cviˇcen´ı. Bˇezˇ nˇe m´a vektorov´y prostor v´ıce baz´ı, pokud m´a alespoˇn jednu. Ukaˇzme, zˇ e poˇcet vektor˚u b´aze vektorov´eho prostoru je konstanta nez´avisl´a na volbˇe konkr´etn´ı b´aze. K tomu budeme potˇrebovat pomocn´a tvrzen´ı. Definice. Element´arn´ı u´ prava koneˇcn´e n-tice tvoˇren´e vektory u 1 , . . . , u n ∈ V je: (1) vyn´asoben´ı i-t´eho vektoru nenulov´ym skal´arem c ∈ P \ {0}; (2) pˇriˇcten´ı c-n´asobku j-t´eho vektoru k i-t´emu; (3) v´ymˇena i-t´eho vektoru s j-t´ym. Pˇritom vznikaj´ı po ˇradˇe n-tice (u 1 , . . . , u i−1 , cu i , u i+1 , . . . , u n ), (u 1 , . . . , u i−1 , u i + cu j , u i+1 , . . . , u j , . . . , u n ), (u 1 , . . . , u i−1 , u j , u i+1 , . . . , u j−1 , u i , u j+1 , . . . , u n ). Ke kaˇzd´e z tˇechto u´ prav existuje u´ prava inverzn´ı, kter´a je rovnˇezˇ element´arn´ı u´ pravou (ovˇeˇrte): (1 ) vyn´asoben´ı i-t´eho vektoru nenulov´ym skal´arem c−1 ∈ P \ {0}; (2 ) pˇriˇcten´ı −c-n´asobku j-t´eho vektoru k i-t´emu; (3 ) v´ymˇena i-t´eho vektoru s j-t´ym. 5
9. Vektorov´e prostory
ˇ Definice. Rekneme, zˇ e dvˇe n-tice vektor˚u jsou ekvivalentn´ı, jestliˇze jedna vznikne z druh´e koneˇcnou posloupnost´ı element´arn´ıch u´ prav. Cviˇcen´ı. Ukaˇzte, zˇ e pr´avˇe zaveden´a relace mezi n-ticemi vektor˚u je reflexivn´ı, symetrick´a a tranzitivn´ı. Pˇr´ıklad. Uvaˇzujme o matici typu r/s nad polem P. Jej´ı ˇra´ dky jsou s-tice prvk˚u pole P, tj. vektory z prostoru P s . Cel´a matice je pak r -tic´ı takov´ych s-tic, tedy s-tic´ı vektor˚u z prostoru P s . Element´arn´ı u´ pravy t´eto r -tice vektor˚u jsou pr´avˇe element´arn´ı ˇra´ dkov´e u´ pravy dan´e matice.
Tvrzen´ı. Necht’ je n-tice u 1 , . . . , u n ∈ V ekvivalentn´ı s n-tic´ı v1 , . . . , vn ∈ V . Pak n-tice u 1 , . . . , u n generuje V pr´avˇe tehdy, kdyˇz n-tice v1 , . . . , vn generuje V . Dukaz. ˚ Necht’ v1 , . . . , vn generuj´ı V , ukaˇzme, zˇ e pak i u 1 , . . . , u n generuj´ı V . Ovˇeˇrme to napˇr´ıklad pro druhou u´ pravu. Necht’vi = u i + cu j a vl = u l pro l = i. Bud’ w ∈ V libovoln´y vektor. Existuj´ı koeficienty p1 , . . . , pn takov´e, zˇ e w = p1 v1 + · · · + pn vn . Pak w = p1 u 1 + · · · + pi (u i + cu j ) + · · · + p j u j + · · · + pn u n = p1 u 1 + · · · + pi u i + · · · + ( pu i + p j )u j + · · · + pn u n je line´arn´ı kombinace vektor˚u u 1 , . . . , u n . Pro ostatn´ı u´ pravy obdobnˇe. Opaˇcn´a implikace vypl´yv´a z pr´avˇe dok´azan´e, protoˇze n-tice u 1 , . . . , u n vznik´a z n-tice v1 , . . . , vn inverzn´ı u´ pravou. V´ysledek zˇrejmˇe plat´ı i pro libovolnou posloupnost element´arn´ıch u´ prav. Tvrzen´ı. Necht’ je n-tice u 1 , . . . , u n ekvivalentn´ı s n-tic´ı v1 , . . . , vn . Vektory u 1 , . . . , u n jsou line´arnˇe nez´avisl´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz jsou vektory v1 , . . . , vn line´arnˇe nez´avisl´e. Dukaz. ˚ Opˇet staˇc´ı dok´azat jednu z implikac´ı pro jednotliv´e element´arn´ı u´ pravy. Bud’te tedy vektory u 1 , . . . , u n line´arnˇe nez´avisl´e. Pod´ame d˚ukaz, zˇ e vektory v1 , . . . , vn vznikl´e pˇri druh´e u´ pravˇe jsou line´arnˇe nez´avisl´e. Necht’vi = u i + cu j a vl = u l pro l = i. Zkoumejme rovnost 0 = x1 v1 + · · · xn vn = x1 u 1 + · · · + xi (u i + cu j ) + · · · + x j u j + · · · xn u n = x1 u 1 + · · · + xi u i + · · · + (cxi + x j )u j + · · · xn u n . Vektory u 1 , . . . , u n jsou line´arnˇe nez´avisl´e, a proto jsou vˇsechny koeficienty posledn´ı line´arn´ı kombinace nulov´e, tj. x1 = · · · = xi = · · · = cxi + x j = · · · = xn = 0. Jelikoˇz xi = 0, m´ame x j = cxi + x j = 0. Ostatn´ı u´ pravy analogicky. Tvrzen´ı. Necht’vektory v1 , . . . , vn generuj´ı prostor V , necht’jsou jin´e vektory u 1 , . . . , u m ∈ V line´arnˇe nez´avisl´e. Pak n ≥ m. Dukaz. ˚ Vektory u 1 , . . . , u m maj´ı podle pˇredpokladu vyj´adˇren´ı u i = pi1 v1 + · · · + pin vn , i = 1, . . . , m. Uvaˇzujme o matici
p11 .. P= .
···
pm1 · · ·
p1n .. . pmn 6
9. Vektorov´e prostory
typu m/n. Proved’me ˇra´ dkov´e u´ pravy, kter´e matici P pˇrevedou na schodovit´y tvar P . Tyt´ezˇ element´arn´ı u´ pravy bud’teˇz provedeny s vektory u 1 , . . . , u m ; upraven´ym vektor˚um u 1 , . . . , u m pak odpov´ıd´a matice P (ovˇeˇrte). Pˇripust´ıme-li, zˇ e m > n, pak posledn´ı ˇra´ dek matice P bude nulov´y. Vektory u 1 , . . . , u m jsou opˇet nez´avisl´e, ale u m = 0, coˇz je spor. Dusledek. ˚ Jsou-li v1 , . . . , vn a u 1 , . . . , u m dvˇe b´aze vektorov´eho prostoru V , pak n = m. Definice. Dimenze vektorov´eho prostoru V je poˇcet vektor˚u (libovoln´e) jeho b´aze. Vektorov´y prostor dimenze n se naz´yv´a n-rozmˇern´y. Zapisujeme n = dim V . O nulov´em vektorov´em prostoru {0} ˇr´ık´ame, zˇ e je 0-rozmˇern´y. Rozˇs´ıˇr´ıme-li vhodnˇe naˇse definice, dos´ahneme toho, zˇ e i nulov´y prostor {0} bude m´ıt b´azi. Bude j´ı pr´azdn´a mnoˇzina ∅ (nebo 0-tice) vektor˚u. Skuteˇcnˇe, dohodneme-li se, zˇ e souˇctem pr´azdn´e mnoˇziny sˇc´ıtanc˚u bude nula, bude 0 line´arn´ı kombinac´ı. Nez´avislost pr´azdn´e mnoˇziny vektor˚u pak plyne z toho, zˇ e vˇsechny koeficienty z pr´azdn´e mnoˇziny koeficient˚u jsou nulov´e. Pˇr´ıklad. (1) Vektorov´y prostor P n nad polem P je n-rozmˇern´y. Jednou z baz´ı je n-tice (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), (0, 0, . . . , 1). (2) Vektorov´y prostor C nad polem R je dvourozmˇern´y. Jednou z moˇzn´ych baz´ı je dvojice 1, i. Co jsou souˇradnice vektoru z = a + bi ∈ C v t´eto b´azi? Nad polem C je vektorov´y prostor C samozˇrejmˇe jednorozmˇern´y, jednu z moˇzn´ych baz´ı tvoˇr´ı vektor 1. Vid´ıme, zˇ e dva vektorov´e prostory mohou m´ıt r˚uzn´e dimenze, pˇrestoˇze maj´ı stejn´e mnoˇziny vektor˚u. (3) Vektorov´y prostor Cn nad polem R je 2n-rozmˇern´y. Jednou z mnoha baz´ı je 2n-tice (1, 0, . . . , 0), (i, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), (0, i, 0, . . . , 0), (0, 0, . . . , 1), (0, 0, . . . , i).
Mezi line´arn´ı z´avislost´ı a generov´an´ım je bl´ızk´y vztah. Tvrzen´ı. Vektory v1 , . . . , vn vektorov´eho prostoru V jsou line´arnˇe z´avisl´e pr´avˇe tehdy, kdyˇz alespoˇn jeden z nich je line´arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch, tj. pr´avˇe kdyˇz existuje index i takov´y, zˇe vi je line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn . Dukaz. ˚ Necht’ jsou vektory v1 , . . . , vn line´arnˇe z´avisl´e. To znamen´a, zˇ e existuj´ı koeficienty c1 , . . . , cn , ne vˇsechny rovn´e nule, takov´e, zˇ e c1 v1 + · · · + cn vn = 0. Je-li ci = 0, potom m˚uzˇ eme vyj´adˇrit vi jako 1 vi = − (c1 v1 + · · · + ci−1 vi−1 + ci+1 vi+1 + · · · + cn vn ), ci a tud´ızˇ vi je line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn . Naopak, je-li vi line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vn , pak m´ame vi = c1 v1 + · · · + ci−1 vi−1 + ci+1 vi+1 + · · · + cn vn , naˇceˇz c1 v1 + · · · + ci−1 vi−1 − vi + ci+1 vi+1 + · · · + cn vn = 0 s nenulov´ym koeficientem −1 u vi . Tvrzen´ı. Vektory v1 , . . . , vn vektorov´eho prostoru V jsou line´arnˇe z´avisl´e, pr´avˇe kdyˇz alespoˇn jeden z nich je line´arn´ı kombinac´ı pˇredchoz´ıch, tj. pr´avˇe kdyˇz existuje index i takov´y, zˇe vi je line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u v1 , . . . , vi−1 . 7
9. Vektorov´e prostory
Dukaz. ˚ Postupujme jako v d˚ukazu pˇredchoz´ıho tvrzen´ı, jenom koeficient ci = 0 vyberme s nejvyˇssˇ´ım moˇzn´ym indexem. To znamen´a, zˇ e potom ci+1 = · · · = cn = 0; zbytek je zˇrejm´y. (Jako cviˇcen´ı rozeberte podrobnˇe pˇr´ıpad i = 1, kdy bude mnoˇzina pˇredch´azej´ıc´ıch vektor˚u pr´azdn´a.) Opaˇcn´ym smˇerem: Tvrzen´ı je speci´aln´ım pˇr´ıpadem pˇredchoz´ıho. Dˇr´ıve jsme definovali koneˇcnˇerozmˇern´y vektorov´y prostor jako takov´y, kter´y m´a koneˇcnou mnoˇzinu gener´ator˚u. Ukaˇzme, zˇ e pak uˇz m´a i b´azi. Tvrzen´ı. Kaˇzd´y koneˇcnˇerozmˇern´y vektorov´y prostor m´a b´azi. Dukaz. ˚ Ukaˇzme, zˇ e z mnoˇziny gener´ator˚u m˚uzˇ eme vybrat line´arnˇe nez´avislou cˇ a´ st. Bud’te v1 , . . . , vn gener´atory prostoru V . Vyˇskrtnˇeme z tohoto seznamu vektor v1 jestliˇze v1 = 0. D´ale postupnˇe pro i = 2, . . . , n vyˇskrtnˇeme vektor vi , pr´avˇe kdyˇz je line´arnˇe z´avisl´y na pˇredchoz´ıch. Zb´yvaj´ıc´ı vektory bud’te vi1 , . . . , vir , ˇr´ıkejme jim vybran´e vektory. Vyˇskrtnut´ım line´arnˇe z´avisl´eho vektoru se vlastnost generov´an´ı nezmˇen´ı (ovˇeˇrte podrobnˇe), a proto vybran´e vektory generuj´ı V . D´ale ukaˇzme, zˇ e vybran´e vektory vi1 , . . . , vir jsou nez´avisl´e. Jinak by totiˇz alespoˇn jeden z nich, ˇreknˇeme vi j , byl line´arn´ı kombinac´ı pˇredchoz´ıch vybran´ych vektor˚u vi1 , . . . , vi j−1 , a t´ım sp´ısˇe vˇsech vektor˚u v1 , . . . , vi j−1 , a musel by b´yt vyˇskrtnut, coˇz je spor. Definice. 1. Minim´aln´ı mnoˇzina gener´ator˚u vektorov´eho prostoru V je mnoˇzina vektor˚u, kter´a generuje V , ale zˇ a´ dn´a jej´ı vlastn´ı podmnoˇzina negeneruje V . 2. Maxim´aln´ı line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina vektor˚u vektorov´eho prostoru V je line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina vektor˚u z V , kter´a nen´ı vlastn´ı podmnoˇzinou zˇ a´ dn´e line´arnˇe nez´avisl´e mnoˇziny. Tvrzen´ı. Bud’te u 1 , . . . , u n ∈ V vektory. Pak jsou n´asleduj´ıc´ı podm´ınky ekvivalentn´ı. (i) u 1 , . . . , u n je b´aze ve V ; (ii) {u 1 , . . . , u n } je minim´aln´ı mnoˇzina gener´ator˚u vektorov´eho prostoru V ; (iii) {u 1 , . . . , u n } je maxim´aln´ı line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina vektor˚u vektorov´eho prostoru V . Dukaz. ˚ (i) ⇒ (ii): B´aze je jistˇe line´arnˇe nez´avisl´a. Pˇrid´an´ım libovoln´eho dalˇs´ıho vektoru v se nez´avislost poruˇs´ı, protoˇze v je line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u b´aze. (Rozeberte podrobnˇe.) (ii) ⇒ (i): Staˇc´ı uk´azat, zˇ e maxim´aln´ı line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina {u 1 , . . . , u n } generuje V . Bud’ v libovoln´y vektor z V , mnoˇzina {u 1 , . . . , u n , v} je podle definice line´arnˇe z´avisl´a, takˇze existuj´ı koeficienty x1 , . . . , xn , y, ne vˇsechny nulov´e, splˇnuj´ıc´ı x1 u 1 + · · · + xn u n + yv = 0. Kdyby y = 0, pak by sˇlo o rovnost x1 u 1 +· · ·+xn u n = 0, z n´ızˇ by plynulo x1 = · · · = xn = 0 = y, coˇz jsme vylouˇcili. Proto y = 0 a vektor v lze vyj´adˇrit jako v = −y −1 · (x1 u 1 + · · · + xn u n ). Tud´ızˇ , {u 1 , . . . , u n } generuje V . ˇ adn´a vlastn´ı podmnoˇzina {u i1 , . . . , u ir } ale negeneruje V . (i) ⇒ (iii): B´aze jistˇe generuje V . Z´ Skuteˇcnˇe, zˇ a´ dn´y ze zbyl´ych vektor˚u u j ∈ {u i1 , . . . , u ir } nem˚uzˇ e b´yt line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u u i1 , . . . , u ir , protoˇze by to znamenalo, zˇ e mnoˇzina {u i1 , . . . , u ir , u j } je line´arnˇe z´avisl´a. (iii) ⇒ (i): Staˇc´ı uk´azat, zˇ e minim´aln´ı mnoˇzina gener´ator˚u {u 1 , . . . , u n } je line´arnˇe nez´avisl´a. Pˇripust’me opak, tj. zˇ e mnoˇzina {u 1 , . . . , u n } je z´avisl´a. Pak lze ten z vektor˚u u i , kter´y je line´arn´ı kombinaci ostatn´ıch, vypustit. (Rozeberte podrobnˇe.) 8
9. Vektorov´e prostory
Tvrzen´ı poskytuje dvˇe alternativn´ı definice b´aze, kter´e se cˇ asto pouˇz´ıvaj´ı. M´a t´ezˇ d˚uleˇzit´e d˚usledky. Dusledek. ˚ Bud’ V n-rozmˇern´y vektorov´y prostor. Pak (1) libovoln´ych n line´arnˇe nez´avisl´ych vektor˚u u 1 , . . . , u n ∈ V tvoˇr´ı b´azi ve V ; (2) libovoln´ych n gener´ator˚u u 1 , . . . , u n ∈ V tvoˇr´ı b´azi ve V . Dukaz. ˚ (1) V prostoru V existuje n gener´ator˚u, takˇze line´arnˇe nez´avisl´ych vektor˚u v nˇem mus´ı b´yt ≤ n. Mnoˇzina {u 1 , . . . , u n } m´a n prvk˚u, a proto je maxim´aln´ı line´arnˇe nez´avislou mnoˇzinou, cˇ ili baz´ı. (2) V prostoru V existuje n line´arnˇe nez´avisl´ych vektor˚u, takˇze gener´ator˚u v nˇem mus´ı b´yt ≥ n. Mnoˇzina {u 1 , . . . , u n } m´a n prvk˚u, a proto je minim´aln´ı mnoˇzinou gener´ator˚u, cˇ ili baz´ı. Dusledek. ˚ Bud’te u 1 , . . . , u k libovoln´e line´arnˇe nez´avisl´e vektory n-rozmˇern´eho vektorov´eho prostoru V . Pak je lze doplnit do b´aze u 1 , . . . , u k , u k+1 , . . . , u n . Dukaz. ˚ V pˇr´ıpadˇe, zˇ e vektory u 1 , . . . , u k generuj´ı V , tvoˇr´ı b´azi. Jinak existuje vektor u k+1 ∈ V , kter´y nen´ı line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u u 1 , . . . , u k , naˇceˇz jsou vektory u 1 , . . . , u k , u k+1 line´arnˇe nez´avisl´e, protoˇze u k+1 nen´ı line´arn´ı kombinac´ı pˇredchoz´ıch vektor˚u. Opakov´an´ım t´ezˇ e u´ vahy z´ısk´ame line´arnˇe nez´avisl´e vektory u 1 , . . . , u k , u k+1 , u k+2 . Po s kroc´ıch obdrˇz´ıme line´arnˇe nez´avisl´e vektory u 1 , . . . , u k , u k+s . Po n − k kroc´ıch budeme m´ıt n line´arnˇe nez´avisl´ych vektor˚u, kter´e budou tvoˇrit b´azi podle pˇredchoz´ıho d˚usledku. Cviˇcen´ı. Necht’je kaˇzd´y z vektor˚u v1 , . . . , vn ∈ V line´arn´ı kombinac´ı vektor˚u u 1 , . . . , u m ∈ V . Jestliˇze v1 , . . . , vn generuj´ı V , pak u 1 , . . . , u m t´ezˇ generuj´ı V . Dokaˇzte.
9
