´ prostory 2. kapitola: Euklidovske 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu En spolu s vektorovým prostorem Vn a přiřazením, které každému bodu a z En a každému vektoru u z Vn přiřazuje bod a + u ∈ En tak, že jsou splněny následující dvě podmínky: (a) a + 0 = 0 , (a + u) + v = a + (u + v) pro každé dva vektory u, v ∈ Vn a každý bod a ∈ En ; (b) pro každé dva body a, b ∈ En existuje právě jeden vektor u ∈ V takový, že a + u = b. Tento jednoznačně určený vektor u budeme značit symbolem b − a. ˇ 2.2 Definice. Ríkáme, že podmnožina M euklidovského prostoru En je podprostorem, jestliže existuje podprostor W ≤ Vn takový, že pro každé dva body a, b ∈ M a každý vektor u ∈ W je a+u ∈ M a b−a ∈ W . Dimenzí podprostoru M rozumíme dimenzi podprostoru W . 2.3 Věta. Podmnožina M euklidovského prostoru En je podprostorem právě když je tvaru M = a+W pro nějaký (libovolný) bod a ∈ M a nějaký (vhodný) podprostor prostoru Vn . 2.4 Definice. Jednorozměrný euklidovský prostor se nazývá přímka. Dvourozměrný euklidovský prostor se nazývá rovina. Podprostor dimenze n − 1 v En se nazývá nadrovina. 2.5 Příklad. Ověřte, že množina En = Vn je vzhledem k obvyklým operacím sčítání a násobení vektorů n-rozměrným euklidovským prostorem. Přesvědčte se na obrázku, že přímky p = [0, 1] + h(1, 1)i a q = [0, −1] + h(1, 1)i jsou rovnoběžné. ˇ 2.6 Definice. Rekneme, že podprostory a + W, b + W 0 euklidovského prostoru En jsou - rovnoběžné, jestliže buď W ⊆ W 0 nebo W 0 ⊆ W ; - různoběžné, jestliže nejsou rovnoběžné a mají alespoň jeden společný bod; - mimoběžné, jestliže nejsou ani rovnoběžné ani různoběžné, tj. jestliže nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod. 2.7 Věta. Buďte A = a + W , B = b + W 0 , W 0 ⊆ W , dva rovnoběžné podprostory euklidovského prostoru En . Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) podprostory A a B jsou disjunktní; (ii) pro každý bod a0 ∈ A a každý bod b0 ∈ B je a0 − b0 ∈ / W; (iii) existuje bod a0 ∈ A a bod b0 ∈ B tak, že a0 − b0 ∈ / W. 2.8 Věta. Buďte A = a + W , B = b + W 0 dva nerovnoběžné podprostory euklidovského prostoru En . Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) podprostory A a B jsou různoběžné; (ii) pro každý bod a0 ∈ A a každý bod b0 ∈ B je a0 − b0 ∈ W + W 0 ; (iii) existuje bod a0 ∈ A a bod b0 ∈ B tak, že a0 − b0 ∈ W + W 0 , tj. a0 − b0 = u + u0 , kde u ∈ W a u0 ∈ W 0 . 2.9 Důsledek. Dvě přímky a + hui a b + hvi v E3 jsou mimoběžné právě když ha − b, u, v i = V3 , tj. právě když vektory {a − b, u, v } tvoří bázi vektorového prostoru V3 . 1
2
2.10 Příklady. 1) Určeme vzájemnou polohu přímek p = [1, 1] + h(1, 2)i a q = [4, 4] + h(2, 1)i v euklidovské rovině E2 . ˇ Rešení: Vektory u = (1, 2) a v = (2, 1) jsou zřejmě lineárně nezávislé, takže hu, vi = V2 . Podle věty 2.8 jsou tedy přímky p a q různoběžné (neboť jistě a − b ∈ hu, vi). Nalezněme průsečík c přímek p a q. Zřejmě musí platit c = a + tu = b + sv pro vhodné parametry t a s. Porovnáním ve složkách dostaneme nehomogenní soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 1 + 1 +
t 2t
= 4 + = 4 +
2s , s ,
t − 2t −
2s s
= 3, = 3,
která má řešení t = 1, s = −1 a tedy c = [2, 3] je hledaným průsečíkem přímek p a q. 2) Určeme vzájemnou polohu přímek p = [1, 2, 3] + h(2, 1, 2)i a q = [4, 3, 4] + h(1, 2, 1)i v E3 . ˇ Rešení: Přímky p a q zřejmě matice 1 2 2 1 −3 −1
nejsou rovnoběžné. Přitom a − b = (−3, −1, −1) a 1 1 2 ∼ 0 0 −1
2 1 −3 0 5 2
má hodnost 3, takže přímky p a q jsou mimoběžné podle důsledku 2.9. 3) Určeme vzájemnou polohu přímky p = [4, 3, −1] + h(1, −1, 1)i a roviny % = [9, 10, 4] + h(2, 3, 4), (4, 3, 2)i. ˇ Rešení: Označme a = [4, 3, −1], b = [9, 10, 4], u = (1, −1, 1), v = (2, 3, 4), w = (4, 3, 2). Jelikož dimhu, v, wi = 3 (ověřte!), je zcela jistě a − b ∈ hui + hv, wi, takže přímka p a rovina % jsou různoběžné podle věty 2.8. Pro společné body přímky p a roviny % musí platit 9 + 2α 10 + 3α 4 + 4α Přepišme 2 3 4
soustavu v ¯ 4 −1 ¯¯ 3 1 ¯¯ 2 −1 ¯
+ + +
4β 3β 2β
maticovém tvaru a 2 4 −5 −7 ∼ 0 6 −5 0 −6
= = =
4 + 3 − −1 +
γ, γ, γ.
proveďme elementární ¯ −1 ¯¯ −5 2 −5 ¯¯ −1 ∼ 0 1 ¯ 5 0
úpravy. 4 6 0
−1 −5 −4
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
−5 −1 . 4
Odtud již snadno spočteme, že γ = −1, β = −1, α = −1, takže přímka p protíná rovinu % v jediném bodě c = [3, 4, −2]. 4) Určeme vzájemnou polohu rovin % = [1, 13, 4, 12] + h(2, 1, 4, 3), (−1, 3, −2, 1)i a σ = [2, 3, 5, 4] + h(3, −2, 6, 2), (1, 4, 2, 4)i v euklidovském prostoru E4 . ˇ Označme a, b body určující postupně roviny % a σ a W, W 0 příslušné Rešení: podprostory prostoru V4 . Jest
3
2 −1 3 1
1 3 −2 4
4 3 −2 1 6 2 2 4
1 0 ∼ 0 0
4 2 −7 0 7 0 −14 0
4 −5 5 −10
,
takže dimW = 2, dimW 0 = 2, dim(W + W 0 ) = 2, odkud ihned plyne, že W = W 0 a roviny % a σ jsou rovnoběžné. Dále b − a = (1, −10, 1, −8), −1 3 −2 1 −1 3 −2 1 −1 3 −2 1 2 ∼ 0 ∼ 0 7 0 , 1 4 3 7 0 5 5 1 −10 1 −8 0 −7 −1 −7 0 0 −1 −2 odkud je patrné, že vektor b−a neleží ve W = W 0 , takže roviny % a σ jsou disjunktní podle věty 2.7. 5) Určeme vzájemnou polohu rovin % = [5, 6, 2, 6] + h(1, 2, 2, 1), (2, 3, −1, 3)i a σ = [4, 1, 4, 1] + h(3, 1, 2, −2), (−1, −1, 1, 1)i v E4 . ˇ Rešení: Podobně jako v předchozím příkladu máme 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 −1 3 0 −1 −5 1 0 1 ∼ ∼ 3 1 2 −2 0 −5 −4 −5 0 0 −1 −1 1 1 0 1 3 2 0 0
2 5 21 −2
1 −1 , −10 3
odkud již vidíme, že dim(W + W 0 ) = 4 a roviny % a σ jsou nutně různoběžné podle věty 2.8. Pro společné body obou rovin máme soustavu rovnic 5 6 2 6 Tedy
1 2 2 1 1 0 0 0
+ α + 2α + 2α + α
+ 2β + 3β − β + 3β
= = = =
4 1 4 1
+ 3γ + γ + 2γ − 2γ
− − + +
δ, δ, δ, δ.
¯ ¯ −1 1 2 −3 1 ¯ ¯ −5 0 −1 5 −1 ¯ ¯ 2 ∼ 0 −5 4 −3 ¯ ¯ −5 0 1 5 −2 ¯ ¯ 2 −3 1 ¯ −1 1 2 −3 1 0 1 −5 1 −5 1 ¯¯ 3 1 ∼ ¯ 0 −21 2 ¯ 19 0 0 −21 2 0 10 −3 ¯ −7 0 0 0 −43 2 3 −1 3
−3 1 −1 1 −2 −1 2 −1
¯ ¯ −1 ¯ ¯ −3 ¯ ¯ 4 ∼ ¯ ¯ −4 ¯ ¯ −1 ¯ ¯ ¯ 3 , ¯ 19 ¯ ¯ 43
odkud postupně dostáváme δ = −1, γ = −1, β = −1, α = −1, takže roviny % a σ se protnou v jediném bodě c = [2, 1, 1, 2]. 6) Určeme vzájemnou polohu rovin % = [6, 3, 9, 4] + h(2, 1, 3, 2), (3, 3, 5, 3)i a σ = [8, 3, 7, 6] + h(3, 1, 2, 3), (4, 3, 4, 4)i v E4 .
4
ˇ Rešení: Jest 2 1 3 2 2 3 3 5 3 0 ∼ 3 1 2 3 0 4 3 4 4 0
1 −3 1 1
3 2 2 −1 0 0 ∼ 5 0 0 −2 0 0
1 1 0 0
3 −2 −7 7
2 1 0 ∼ 0 0 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0, 0
takže dim(W + W 0 ) = 3 a dim(W ∩ W 0 ) = 1 podle věty o dimenzi spojení a průniku 1.15. Kromě toho a − b = (−2, 0, 2, −2), 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 ∼ 0 1 0 0, ∼ 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 −2 0 2 −2 takže a − b ∈ W + W 0 a roviny % a σ jsou různoběžné podle dim(W ∩ W 0 ) = 1, mají obě roviny společnou přímku. Podobně příkladu řešíme nehomogenní soustavu lineárních rovnic ¯ 1 3 −1 −3 2 3 −3 −4 ¯¯ 2 1 3 −1 −3 ¯ 0 0 −3 −1 2 ¯ 3 5 −2 −4 ¯ −2 ∼ 0 −4 1 5 ¯ 0 −3 −1 2 2 3 −3 −4 ¯ 2 ¯ 1 3 −1 −3 ¯¯ 0 1 0 −1 0 0 3 1 −2 ¯ −2 ∼ 0 1 0 −1 ¯ 0 0 7 7 ¯ −14 0 0 1 1
věty 2.8. Protože jako v předchozím ¯ ¯ 0 ¯ ¯ 2 ∼ ¯ ¯ ¯ −2 ¯ 2 ¯ ¯ ¯ 0 ¯ , ¯ 0 ¯ −2
která má řešení [−1, −1, −1, −1] + h(−1, 1, −1, 1)i pro koeficienty α, β, γ, δ. Pro průsečnici rovin % a σ tudíž máme a + (−1 − t)u + (−1 + t)v = b + (−1 − t)w + (−1 + t)z = [1, −1, 1, −1] + t(1, 2, 2, 1), což je parametrická rovnice průsečnice rovin % a σ. 2.11 Definice. Příčkou mimoběžek p = a + hui a q = b + hvi v euklidovském prostoru E3 rozumíme každou přímku r = c + hwi, která obě přímky protíná. V tomto případě mluvíme speciálně o příčce ve směru w nebo o příčce procházející bodem c. 2.12 Věta. Buďte p = a + hui a q = b + hvi dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E3 a buď 0 6= w ∈ V3 libovolný vektor. Příčka mimoběžek p a q o směru w existuje právě když vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé, tj. právě když vektor w neleží v lineárním obalu hu, vi. V tomto případě je příčka mimoběžek p a q určena jednoznačně. 2.13 Postup. Příčku mimoběžek p = a + hui a q = b + hvi ve směru w lze nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) ověřte, že w ∈ / hu, vi; 3) sestrojte rovinu % = a + hu, wi proloženou přímkou p a směrem hwi; 4) nalezněte průsečík c roviny % s přímkou q, % ∩ q = c; 5) přímka r = c + hwi je hledaná příčka mimoběžek p a q.
5
2.14 Příklad. Nalezněme příčku mimoběžek p = [1, 2, −1] + h(1, −1, 1)i a q = [0, 9, −2] + h(1, 0, 0)i o směru w = (1, 2, 0). ˇ Rešení: 1) Při označení z předcházející věty máme: a−b = [1, 2, −1]−[0, 9, −2] = (1, −7, 1), u = (1, −1, 1), v = (1, 0, 0). Protože 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 −1 1 ∼ 0 −1 1 ∼ 0 −1 1 , 1 −7 1 0 −7 1 0 0 −6 jsou vektory a − b, u, v lineárně nezávislé a přímky 2) Dále máme 1 0 1 0 0 1 −1 1 ∼ 0 −1 0 2 1 2 0
p a q jsou mimoběžné. 0 1 , 0
vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé a hledaná příčka existuje a je určena jednoznačně. 3) Rovina % určená přímkou p a vektorem w má tedy parametrickou rovnici % = [1, 2, −1] + α(1, −1, 1) + β(1, 2, 0). 4) K nalezení průsečíku c roviny % a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 1 + 2 − −1 +
α α α
+ β + 2β
= = =
γ 9 −2,
α −α α
+ β + 2β
−
γ
= = =
−1 7 −1.
Vidíme tedy, že α = −1, β = 3 a γ = 3, takže c = [3, 9, −2]. 5) Hledaná příčka tedy je r = [3, 9, −2] + h(1, 2, 0)i. 2.15 Věta. Buďte p = a + hui a q = b + hvi dvě mimoběžky v euklidovském prostoru E3 a buď c ∈ E3 libovolný bod, neležící na žádné z nich. Příčka mimoběžek p a q procházející bodem c existuje právě když ani jeden z vektorů c − a, c − b neleží v lineárním obalu hu, vi. V tomto případě je příčka mimoběžek p a q určena jednoznačně. 2.16 Postup. Příčku mimoběžek p = a + hui a q = b + hvi bodem c m˚ užeme nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) ověřte, že c − a, c − b ∈ / hu, vi; 3) sestrojte rovinu % = a + hc − a, ui proloženou přímkou p a bodem c; 4) nalezněte průsečík d roviny % s přímkou q, % ∩ q = d; 5) přímka r = d + hc − di = c + hc − di je hledaná příčka mimoběžek p a q. 2.17 Příklad. Nalezněme příčku mimoběžek p = [3, 3, 3]+h(2, 2, 1)i a q = [0, 5, −1] +h(1, 1, 1)i procházející bodem c = [4, 5, 3]. ˇ 1) Při označení z předchozí věty máme: a − b = (3, −2, 4), u = (2, 2, 1), Rešení: v = (1, 1, 1). Protože 1 1 1 1 1 1 2 2 1 ∼ 0 0 −1 , 3 −2 4 0 −5 1
6
jsou vektory a − b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme hu, vi = h(1, 1, 0), (0, 0, 1)i, c − a = (1, 2, 0), c − b = (4, 0, 4), takže zřejmě ani c − a ani c − b neleží v hu, vi a hledaná příčka je určena jednoznačně. 3) Rovina % určené přímkou p a bodem c má tedy parametrickou rovnici % = [3, 3, 3] + α(1, 2, 0) + β(2, 2, 1). 4) K nalezení průsečíku d roviny % a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 3 + α 3 + 2α 3
+ 2β + 2β + β
= = =
γ 5+γ −1 + γ,
α 2α
+ +
2β 2β β
− γ − γ − γ
= = =
−3 2 −4,
odkud postupně dostaneme α = 5, β = −4 a γ = 0. Průsečík d má souřadnice d = [0, 5, −1]. 5) Hledaná příčka je r = [0, 5, −1] + h(4, 0, 4)i = [0, 5, −1] + h(1, 0, 1)i. 2.18 Definice. Pn Nechť u = (u1 , . . . , un ) a v = (v1 , . . . , vn ) jsou dva vektory z Vn . ˇ Císlo u · v = i=1 ui vi nazýváme skalárním součinem vektorů u a v. Vektory u a v se nazývají ortogonální nebo kolmé, u⊥v, je-li jejich skalární součin roven nule. Jeli M ⊆ En libovolná podmnožina, pak M ⊥ = {v ∈ Vn | v ⊥u pro každé √ u ∈ M} se nazývá ortogonální doplněk množiny M . Nezáporné reálné číslo |u| = u · u se nazývá velikost vektoru u. 2.19 Definice. Nechť p = a+hui a q = b+hvi jsou dvě mimoběžky v euklidovském prostoru En a buď r = c + hwi jejich příčka taková, že r ∩ p = a, r ∩ q = b. Pak číslo |a − b| se nazývá délka příčky r. 2.20 Věta. Přímka r = c + hwi je nejkratší příčkou mimoběžek p = a + hui, q = b+hvi, právě když hwi = hu, vi⊥ , tj. právě když vektor w je kolmý k oběma vektorům u a v. 2.21 Definice. Velikost nejkratší příčky mimoběžek p a q se nazývá vzdálenost mimoběžek p a q. 2.22 Postup. Nejkratší příčku mimoběžek p = a + hui a q = b + hv i můžeme nalézt následujícím způsobem: 1) Ověřte, že přímky p a q jsou skutečně mimoběžné; 2) najděte ortogonální doplněk hwi = hu, vi⊥ ; 3) sestrojte rovinu % = a + hu, wi proloženou přímkou p a směrem hwi; 4) nalezněte průsečík c roviny % s přímkou q, % ∩ q = c; 5) přímka r = c + hwi je hledaná nejkratší příčka mimoběžek p a q; 6) nalezněte průsečík d přímky c + hwi s přímkou p, (c + hwi) ∩ p = d; 7) velikost |c − d| vektoru c − d je vzdálenost mimoběžek p a q. 2.23 Příklad. Nalezněme nejkratší příčku a určeme vzdálenost mimoběžek p = [6, 3, −3] + h(−3, 2, 4)i a q = [−1, −7, 4] + h(−3, 3, 8)i. ˇ 1) Při obvyklém označení máme: a − b = (7, 10, −7), u = (−3, 2, 4), v = Rešení: (−3, 3, 8). Protože −3 2 4 −3 2 3 −3 3 8 ∼ 0 1 4 , 7 10 −7 0 44 7
7
jsou vektory a − b, u, v lineárně nezávislé a přímky p a q jsou mimoběžné. 2) Dále máme hu, vi = h(−3, 2, 4), (0, 1, 4)i, takže řešením homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí, jejíž řádky jsou právě uvedené vektory, snadno dostaneme generátor ortogonálního doplňku w = (4, 12 − 3) vektorů u a v. 3) Rovina % určené přímkou p a vektorem w má tedy parametrickou rovnici % = [6, 3, −3] + α(−3, 2, 4) + β(4, 12, −3). 4) K nalezení průsečíku c roviny % a přímky q musíme tedy řešit následující soustavu rovnic: 6 − 3α 3 + 2α −3 + 4α
+ 4β + 12β − 3β
= = =
−1 − 3γ −7 + 3γ 4 + 8γ,
odkud elementárními úpravami postupně dostaneme −3 4 3 ¯| −7 2 12 −3 ¯| −10 2 12 −3 ¯ −10 ∼ 0 −27 −2 ¯ 27 ∼ 0 44 −3 | −44 4 −3 −8 | 7 1 0 0 2 12 −3 ¯| −10 2 12 −3 ¯| −10 ¯ −27 ∼ 0 1 0 27 0 ¯ −1 ∼ 0 1 0 2 0 0 1 0 0 1 | 0 0 0 −169 | 0
¯| ¯ |
1 −1 , 0
takže % ∩ q = c = b = [−1, −7, 4]. 5) Hledaná nejkratší příčka tedy je r = [−1, −7, 4] + h(4, 12, −3)i. 6) Nalezneme průsečík d přímek r a p, ([−1, −7, 4]+ h(4, 12, −3)i) ∩ ([6, 3, −3] +h(−3, 2, 4)i), a to řešením následující nehomogenní soustavy lineárních rovnic: −1 −7 4
+ + −
4s 12s 3s
= 6 − = 3 + = −3 +
Elementárními úpravami dostaneme 4 3 ¯| 7 4 12 −2 ¯ 10 ∼ 0 −3 −4 | −7 0
3 −11 −7
3t 2t 4t. ¯| ¯ |
7 −11 , −7
takže s = t = 1 a d = [3, 5, 1]. 7) Vzdálenost mimoběžek √ snadno. Jest |c − d| = |[−1, −7, 4] − √ p a q vypočteme [3, 5, 1]| = |(−4, −12, 3)| = 16 + 144 + 9 = 169 = 13. Příklady ke kapitole 2. 1. Určete vzájemnou polohu přímek p a q v euklidovském prostoru E2 : (a) p = [1, 3] + h(2, −1)i, q = [5, 4] + h(−4, 2)i; (b) p = [1, −2] + h(3, 2)i, q = [7, 2] + h(9, 6)i; (c) p = [3, 2] + h(2, 1)i, q = [2, 3] + h(1, 2)i. 2. Určete vzájemnou polohu přímek p a q v euklidovském prostoru E3 :
8
(a) (b) (c) (d)
p = [4, 6, 1] + h(1, −3, 2)i, q p = [2, 3, 1] + h(4, 1, −2)i, q p = [7, 0, 5] + h(2, −1, 2)i, q p = [−2, 4, −3] + h(1, 2, 3)i,
= [5, 3, 4] + h(−2, 6, −4)i; = [10, 5, −3] + h(−8, −2, 4)i; = [6, 8, 4] + h(1, 2, 1)i; q = [2, 6, 1] + h(3, 2, 1)i.
3. Určete vzájemnou polohu dvou rovin % a σ v euklidovském prostoru E3 : (a) % : [2, −3, 4] + h(2, −1, 3), (1, 3, −4)i, σ : [4, 1, 10] + h(3, 2, −1), (1, −4, 7)i; (b) % : [7, 2, 5] + h(1, −3, 2), (4, 2, −1)i, σ : [1, 6, 2] + h(5, −1, 1), (3, 5, −3)i; (c) % : [6, 4, 11] + h(1, 2, 3), (3, 1, 5)i, σ : [10, 4, 7] + h(3, 2, 1), (5, 1, 3)i. 4. Určete vzájemnou polohu přímky p a roviny % v euklidovském prostoru E3 : (a) p : [6, 5, 4] + h(3, 1, 5)i, % : [4, 4, 2] + h(2, 3, 1), (1, −2, 4)i; (b) p : [3, 1, 2] + h(2, 3, −1)i, % : [11, −1, 12] + h(3, 1, 2), (−1, 2, −3)i; (c) p : [6, 5, 3] + h(2, 1, 2)i, % : [6, 9, 1] + h(3, 1, 5), (1, 5, −3)i. 5. Určete vzájemnou polohu rovin % a σ v euklidovském prostoru E4 : (a) % : [4, 6, 6, 4] + h(2, 1, 4, 3), (1, 3, 2, 4)i, σ : [2, 5, 4, 3] + h(3, 4, 6, 7), (1, −2, 2, −1)i; (b) % : [4, 5, 7, 3] + h(1, −2, 1, 2), (3, −1, 5, 5)i, σ : [6, 4, 4, 5] + h(3, 2, −3, 1), (5, 3, 1, 4)i; (c) % : [5, 11, 10, 12] + h(1, 3, 2, 4), (2, 7, 5, 3)i, σ : [3, 2, 9, −2] + h(−2, −4, −1, 1), (3, 5, 7, −8)i; (d) % : [7, 5, 10, 10] + h(2, 1, 3, 2), (3, 3, 4, 3)i, σ : [2, 9, 7, 13] + h(−1, 2, 1, 3), (1, 6, 3, 5)i; (e) % : [6, 2, 4, 9] + h(4, 7, 8, 11), (−1, 7, −2, 6)i, σ : [5, −1, 2, 5] + h(3, 14, 6, 17), (1, 8, 2, 9)i. 6. Určete vzájemnou polohu podprostorů v euklidovském prostoru E4 : (a) p : [4, 5, 6, 7] + h(2, 9, 9, 15)i, σ : [3, 3, 2, 4] + h(1, 3, 2, 4), (−1, 1, 2, 4), (2, 5, 5, 7)i; (b) p : [3, 5, 3, 7] + h(1, 2, 4, 3)i, σ : [6, 21, 17, 34] + h(1, 6, 7, 11), (3, 8, 7, 11), (0, 1, 1, 2)i; (c) % : [1, 2, 3, 4] + h(1, 2, 1, 2), (2, 4, 3, 5)i, σ : [7, 9, 11, 13] + h(3, 1, 4, 2), (5, 5, 7, 7), (4, 3, 5, 4)i; (d) % : [5, 12, −7, 13] + h(1, 4, −4, 5), (3, 5, −1, 4)i, σ : [9, 6, 1, 11] + h(2, −1, 1, 3), (5, 2, 3, 3), (1, 2, −1, 1)i; (e) % : [11, 2, 6, 1] + h(1, 2, 1, 2), (2, −1, 1, −1), (1, 1, −1, 1)i, σ : [3, −4, 4, −3] + h(3, 1, 2, 1), (2, 3, 0, 3), (4, 1, −1, 1)i; (f) % : [5, 4, 4, 4] + h(1, 2, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (2, 3, 0, 3)i, σ : [11, 6, 4, 4] + h(4, 3, 1, 2), (6, 2, 2, 1), (5, 4, 0, 3)i.
(a) (b) (c) (d)
7. V E3 nalezněte příčku mimoběžek p a q o směru w: p = [4, 5, 8] + h(2, 1, 3)i, q = [4, 3, 2] + h(1, 1, −1)i, w = (−1, 2, 2); p = [1, 2, 3] + h(3, 5, 1)i, q = [3, 2, 1] + h(2, 2, 3)i, w = (3, 1, 8); p = [3, 5, 6] + h(3, 2, 2)i, q = [4, 0, 3] + h(1, 4, 0)i, w = (1, 3, 5); p = [2, −1, −1] + h(1, 2, 3)i, q = [4, 6, 1] + h(1, 1, −1)i, w = (2, −1, 2).
8. V E3 nalezněte příčku mimoběžek p a q procházející bodem c: (a) p = [6, 2, 6] + h(1, 1, −2)i, q = [5, 1, 8] + h(3, 5, 3)i, c = [−3, −11, 6];
9
(b) p = [2, 0, 3] + h(1, 2, 3)i, q = [4, 2, 3] + h(2, 3, 1)i, c = [1, −4, −2]; (c) p = [2, −2, 0] + h(3, 4, 1)i, q = [4, 4, 0] + h(2, 3, 1)i, c = [−4, −1, −5]; (d) p = [4, 2, −2] + h(1, 2, 3)i, q = [6, 4, 2] + h(4, 1, 3)i, c = [−1, 2, −3]. 9. V E3 nalezněte nejkratší příčku mimoběžek p a q a spočtěte jejich vzdálenost: (a) p = [3, 6, 6] + h(4, −1, −3)i, q = [3, −6, −7] + h(2, 1, −6)i; (b) p = [8, 5, 9] + h(4, −2, 3)i, q = [−3, −2, −4] + h(4, −3, 6)i. ˇ Rešení: 1. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečík [1, 1]. 2. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečík [3, 2, 1]; (d) mimoběžné. 3. (a) Rovnoběžné různé; (b) rovnoběžné splývající; (c) různoběžné, průsečnice [2, 1, 3] + h(2, −1, 2)i. 4. (a) Přímka je rovnoběžná s rovinou a neleží v ní; (b) přímka leží v rovině; (c) přímka protíná rovinu v bodě [2, 3, −1]. 5. (a) Rovnoběžné různé; (b) mimoběžné; (c) různoběžné, průsečík [2, 1, 3, 5]; (d) různoběžné, průsečnice [2, 1, 3, 5] + h(1, 2, 1, 1)i; (e) roviny splývají. 6. (a) Rovnoběžné různé; (b) různoběžné, průsečík [2, 3, −1, 4]; (c) rovina % leží v nadrovině σ; (d) různoběžné, průsečnice je přímka [1, 3, −2, 4] + h(2, 1, 3, −1)i; (e) rovnoběžné různé; (f) různoběžné, průnik je rovina [1, 1, 1, 1]+h(2, −1, 1, −1), (1, 1, −1, 1)i. 7. (a) [3, 2, 3] + h(−1, 2, 2)i; (b) neexistuje; (c) [5, 4, 3] + h(1, 3, 5)i; (d) [2, 4, 3] + h(2, −1, 2)i. 8. (a) Neexistuje; (b) [1, −4, −2] + h(1, 3, 4)i; (c) [−4, −1, −5] + h(3, 1, 2)i; (d) [−1, 2, −3] + h(3, 1, 2)i. 9. (a) [7, 5, 3] + h(3, 6, 2)i, vzdálenost 14; (b) [1, −5, 2] + h(3, 12, 4)i, vzdálenost 13.
10
´ch prostor˚ u 3. kapitola: Podprostory euklidovsky 3.1 Definice. Nechť u = (x1 , x2 , x3 ) a v = (y1 , y2 , y3 ) jsou dva vektory z euklidovského prostoru E3 . Vektorovým součinem těchto vektorů rozumíme vektor u × v = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ). 3.2 Příklad. Vektorový součin vektorů u = (−3, 2, 4) a v = (−3, 3, 8) je podle předchozí definice vektor w = (4, 12, −3). 3.3 Definice. Připomeňme, že pro čtvercovou matici A = (aij ) stupně n algebraickým doplňkem prvku aij rozumíme číslo Aij = (−1)i+j Mij , kde Mij je subdeterminant dílčí matice matice A stupně n − 1 vzniklé z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. 3.4 Poznámka. Nechť u = (x1 , x2 x3 ) a v = (y1 , y2 , y3 ) jsou dva vektory z E3 . Označíme-li symbolem A matici
x1 A = y1 a31
x2 y2 a32
x3 y3 , a33
pak ve světle předcházejících dvou definic vidíme, že u × v = (A31 , A32 , A33 ). 3.5 Věta. Nechť u, v jsou dva vektory z euklidovského prostoru E3 . Pak platí: (i) u × v = −(v × u) = (−v) × u = v × (−u); (ii) u × v = 0 právě když vektory u, v jsou lineárně závislé; (iii) (u × v)⊥u; (u × v)⊥v; (iv) jestliže vektory u a v jsou lineárně nezávislé, pak hu, v i⊥ = hu × v i 3.6 Věta. Množina všech řešení netriviální nehomogenní lineární rovnice
(*)
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b
je nadrovina v En . Přitom je-li tato nadrovina tvaru a+W , kde a = [z1 , z2 , . . . , zn ], pak (z1 , z2 , . . . , zn ) je řešením rovnice (∗) a W je množina všech řešení příslušné homogenní rovnice a1 x1 + · · · + an xn = 0. Jinými slovy: W = h(a1 , . . . , an )i⊥ . 3.7 Věta. Nechť a+W je nadrovina v euklidovském prostoru En . Je-li ortogonální doplněk W ⊥ generován vektorem (a1 , a2 , . . . , an ), pak a + W je množinou všech řešení nehomogenní lineární rovnice
(*)
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b,
kde b = a1 z1 + · · · + an zn , a = [z1 , . . . , zn ].
11
3.8 Příklady. 1) Najděme nadrovinu danou rovnicí 2x + 3y − 4z + t = 2. ˇ Rešení: Hledáme h(2, 3, −4, 1)i⊥ , neboli řešíme příslušnou homogenní rovnici, tj. rovnici s pravou stranou 0 místo 2. Vektory (−1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, 0), a (−3, 2, 0, 0) jsou zřejmě lineárně nezávislá řešení této rovnice, takže % = [1, 1, 1, 1]+h(−1, 0, 0, 2), (2, 0, 1, 0), (−3, 2, 0, 0)i vzhledem k tomu, že bod [1, 1, 1, 1] je zřejmě řešením dané rovnice. Poznamenejme, že místo bodu [1, 1, 1, 1] bychom mohli vzít bod [0, 1, 0, −1], či [1, 0, 0, 0], či kterékoliv jiné řešení dané nehomogenní rovnice. 2) Najděme rovnici nadroviny % = a + W , jestliže a = [3, 2, −1, 1] a W = h(1, 2, 3, 20), (2, −1, 4, 17), (3, 2, −2, 4)i. ˇ Rešení: Ortogonální doplněk W ⊥ nalezneme jako řešení homogenní soustavy lineárních rovnic s maticí, jejíž řádkové vektory jsou právě dané generátory nadroviny W . Tedy 1 2 3 20 1 2 3 20 1 2 3 20 2 −1 4 17 ∼ 0 −5 −2 −23 ∼ 0 5 2 23 ∼ 0 0 47 188 0 −4 −11 −56 3 2 −2 4 1 2 0 8 1 0 0 2 1 2 3 20 0 5 0 15 ∼ 0 1 0 3 ∼ 0 1 0 3 , 0 0 1 4 0 0 1 4 0 0 1 4 takže W ⊥ = h(2, 3, 4, −1)i a hledaná rovnice je 2x + 3y + 4z − t = 7, kde pravou stranu dostaneme dosazením bodu a do levé strany rovnice. 3.9 Věta. Je-li a + W podprostor dimenze n − k v euklidovském prostoru En , pak existuje k nadrovin %1 , . . . , %k tak, že a + W = %1 ∩ · · · ∩ %k . Speciálně tedy lze podprostor a + W popsat nehomogenní soustavou k lineárně nezávislých lineárních rovnic. 3.10 Postup. Nehomogenní soustavu lineárních rovnic, která popisuje daný n−krozměrný podprostor a + W v En lze nalézt například touto metodou: 1) Nalezneme W ⊥ = hu1 , . . . , uk i, kde ui = (ai1 , . . . , ain ); 2) Napíšeme rovnice ai1 x1 + · · · + ain xn = ai , kde ai1 z1 + · · · + ain zn = ai , a = [z1 , . . . , zn ]; 3) i-tá rovnice této soustavy je rovnicí nadroviny %i . Pn 3.11 Věta. Je-li j=1 aij xj = ai , i = 1, . . . k, nehomogenní soustava lineárních rovnic hodnosti k, pak množina všech řešení této soustavy je podprostor a + W euklidovského prostoru En dimenze n − k. 3.12 Příklady. 1) Popišme rovnicemi rovinu % = [2, 1, 1, 3]+h(1, 3, 2, 4), (2, 4, 1, 3)i v euklidovském prostoru E4 . ˇ Pomocí elementárních úprav na dané vektory dostaneme Rešení: µ ¶ µ ¶ µ ¶ 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 ∼ ∼ . 2 4 1 3 0 −2 −3 −5 0 2 3 5
12
ˇ Rešením této soustavy dostáváme W ⊥ = h(7, −5, 0, 2), (5, −3, 2, 0)i, takže rovina % je popsána soustavou dvou rovnic 7x − 5y 5x − 3y
+ +
2z
2t = =
15 9,
kde pravé strany rovnic dostaneme dosazením souřadnic daného bodu a = [2, 1, 1, 3] do levých stran soustavy. 2) V euklidovském prostoru E4 nalezněme podprostor % popsaný nehomogenní soustavou lineárních rovnic: 2x + 3y 3x + 2y
+ z + 4y
ˇ Rešení: Pomocí elementárních úprav na ¯ µ ¶ µ 1 2 3 1 2 ¯¯ 4 ∼ 2 3 2 4 1 ¯ 3 µ 1 −1 3 −1 0 5 −5 4
+ +
2t t
= 4 = 3.
matici soustavy dostaneme ¯ ¶ −1 3 −1 ¯¯ −1 ∼ 3 1 2 ¯ 4 ¯ ¶ ¯ −1 ¯ ¯ 6 .
Vidíme tedy, že bod a = [0, 2, 0, −1] je ˇrešením nehomogenní soustavy, zatímco (1, −4, 0, 5) a (−2, 1, 1, 0) jsou dvě lineárně nezávislá řešení příslušné homogenní soustavy a hledaný podprostor je rovina % = [0, 2, 0, −1]+h(1, −4, 0, 5), (−2, 1, 1, 0)i. 3.13 Definice. Nechť % = a + W je nadrovina v En . Pak W ⊥ = hwi nazýváme směrem normály nadroviny % a každý nenulový vektor z hwi nazýváme vektorem normály nadroviny %. Je-li b bod nadroviny %, pak přímku b + hwi nazýváme normálou nadroviny % v bodě b. 3.14 Poznámka. Je-li a1 x1 + · · · + an xn = b rovnice nadroviny % = a + W v En , pak víme, že W = h(a1 , . . . , an )i⊥ , tedy h(a1 , . . . , an )i = W ⊥ . Jinými slovy, w = (a1 , . . . , an ) je vektor normály nadroviny %. 3.15 Definice. Buď a1 x1 + · · · + an xn = b rovnice nadroviny % v En a buď c = (z1 , . . . , zn ) bod neležící v %. Pak w = (a1 , . . . , an ) je normálový vektor nadroviny % a přímka c + hwi protne nadrovinu % v bodě d. Velikost |c − d| vektoru c − d se nazývá vzdálenost bodu c od nadroviny %. 3.16 Poznámka. Při označení z předchozí definice přímka c + hwi protne nadrovinu % v bodě d = c + tw, kde t dostaneme z rovnice: a1 (z1 + ta1 ) + · · · + an (zn + tan ) = b, Pn b − i=1 ai zi Pn tedy ai zi + t a2i = b a t = . 2 i=1 ai i=1 i=1 Máme tedy: v ¯ Pn ¯u n Pn ¯ i=1 ai zi − b ¯ uX | i=1 ai zi − b| 2 t ¯ ¯ |d − c| = |tw| = |t||w| = ¯ Pn ai = pPn . 2 ¯ 2 i=1 ai i=1 ai i=1 n X
n X
13
3.17 Příklady. 1) Určeme vektor normály nadroviny % v E4 dané rovnicí: 2x − y + 3z − 5u = 11. ˇ Rešení: Vektor normály je w = (2, −1, 3, −5). 2) Určeme vektor normály nadroviny % v euklidovském prostoru E4 dané parametricky % = [1, 8, 3, −2] + h(2, 3, 1, 4), (3, 1, 4, 2), (1, 4, 3, 2)i. Určeme dále normálu nadroviny % procházející bodem c = [11, 15, 0, −4] a nalezněme její průsečík d s nadrovinou %. ˇ Rešení: Musíme nalézt ortogonální doplněk W ⊥ . Jest 1 4 1 4 3 2 2 3 1 4 3 1 4 2 ∼ 0 −5 −5 0 ∼ 0 1 0 −11 −5 −4 0 0 1 4 3 2
3 1 6
2 0 , −4
odkud snadno dostaneme, že w = (4, 2, −2, −3) je hledaný vektor normály. Parametrická rovnice normály nadroviny % procházející bodem c je [11, 15, 0, −4] + h(4, 2, −2, −3)i. Kromě toho nadrovina % má rovnici 4x + 2y − 2z − 3u = 20, takže parametr t0 průsečíku dostaneme snadno dosazením: 4(11 + 4t) + 2(15 + 2t) − 2(0 − 2t) − 3(−4 − 3t) = 20. Tedy 86 + 33t = 20, t0 = −2 a d = [3, 11, 4, 2]. 3) Určeme vzdálenost bodu [2, −1, −2, 2] od nadroviny % euklidovského prostoru E4 dané rovnicí 2x − 4y − 8z + 4t = 12. ˇ Rešení: Dosazením do vzorce dostáváme |
Pn |2 · 2 − 4 · (−1) − 8 · (−2) + 4 · 2 − 12| 20 i=1 ai zi − b| p √ = =√ = 2. Pn 2 4 + 16 + 64 + 16 100 a i=1 i
4) Určeme vzdálenost bodu [3, 2, 2, −2] od nadroviny % dané parametricky % = [4, 3, −2, −1] + h(8, 7, −7, −7), (4, −7, −7, −7), (16, 7, −7, 7)i v euklidovském prostoru E4 . ˇ Rešení: Nejprve nalezneme vektor normály w a rovnici dané nadroviny. Jest 8 7 −7 −7 4 −7 −7 −7 4 −7 −7 −7 ∼ 0 21 7 7 ∼ 16 7 −7 7 0 35 21 35 4 −7 −7 −7 4 −7 −7 −7 4 −7 −7 −7 0 3 1 1 ∼ 0 3 1 1 ∼ 0 3 1 1 . 0 5 3 5 0 0 4 10 0 0 2 5 Tedy w = (7, −2, 10, −4), 7x − 2y + 10z − 4t = 6 je rovnice dané nadroviny a dosazením do vzorce dostaneme hledanou vzdálenost: Pn | i=1 ai zi − b| 39 |21 − 4 + 20 + 8 − 6| pPn = = 3. = √ 2 13 49 + 4 + 100 + 16 i=1 ai
14
Příklady ke kapitole 3. 1. Spočtěte vektorový součin vektorů z E3 : (a) u = (2, 3, −5) a v = (3, 2, 4); (b) u = (2, 1, 3) a v = (−1, 3, −2); (c) u = (2, −4, 3) a v = (1, − 65 , 25 ). 2. Nalezněte parametrické vyjádření nadroviny v En dané rovnicí: (a) x − 2y + z = 3; (b) 2x − 3y + z − 2t = 5; (c) 3x − y + 2z − t − 2u = 7. 3. Nalezněte rovnici nadroviny v En dané parametricky: (a) %: [2, 1, 1] + h(4, 1, 3), (1, 1, 1)i; (b) %: [1, 1, 3, 1] + h(4, −1, −2, 2), (2, 5, −4, 3), (1, 2, 1, 2)i; (c) %: [2, 1, 1, 2] + h(2, 1, 1, 3), (1, 3, 5, 7), (3, −2, −4, −2)i. 4. Podprostor euklidovského prostoru En zadaný parametricky popište soustavou lineárních rovnic: (a) % : [1, 1, 1, 1] + h(5, 4, −22, −11), (5, −29, 11, 22)i; (b) % : [1, 2, 3, 4, 5] + h(2, 1, 3, 2, 1), (−1, 3, 2, 4, 3), (3, −2, 1, −3, −2)i; (c) % : [1, −1, 1, 0, 2] + h(2, −3, −1, −2, 2), (1, −1, 2, −1, 3)i. 5. Podprostor euklidovského prostoru En zadaný soustavou lineárních rovnic popište parametricky: (a) x − 2y + 3z + 2t = 4, 2x − y + 5z + 3t = 9; (b) 2x − 3y + z − 2t + u = −1, 3x + y − z + 2t − 3u = 2; (c) 2x + y − z − 2t + 3u = 3, 3x − y + 2z + 3t − 2u = 5, x − y + 2z − t + u = 2. 6. Nalezněte vektor normály nadroviny v En dané rovnicí: (a) 2x − y + 3z = 1; (b) 3x − y + 2z − 2t = 5; (c) 2x − 3y − z − 3t = −4. 7. Nalezněte vektor normály nadroviny v En zadané parametricky: (a) [1, 1, 2] + h(1, 2, 3), (1, 1, 1)i; (b) [2, 1, 1, 3] + h(3, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 2), (1, −2, −7, 1)i; (c) [−2, 1, 1, 2] + h(−2, 1, 1, 9), (1, −2, −1, −4), (3, −2, 2, 5)i. 8. Nalezněte směr normály nadroviny v En dané rovnicí: (a) x + 2y + 3z = 9; (b) 2x − y − 3z + t = 15; (c) 3x + y − 2z − 4t = 19. 9. Nalezněte normálu nadroviny % v En dané rovnicí, která prochází bodem c a nalezněte její průsečík d s nadrovinou %: (a) x − 3y + 2z = 7, c = [−2, 7, −6];
15
(b) 2x + 4y − z − 3t = 3 c = [5, 10, −1, −4]; (c) 4x + y − 3z + 2t = 4, c = [13, 4, −8, 7]. 10. Nalezněte normálu nadroviny % v En zadané parametricky, která prochází bodem c a nalezněte její průsečík d s nadrovinou %: (a) [4, 1, −2] + h(4, 2, −1), (1, 4, 5)i, c = [5, −5, 5]; (b) [5, 4, 3, 2] + h(2, −3, 4, 5), (3, 2, −1, −1), (1, −2, 1, 2)i, c = [−2, 7, −8, 13]; (c) [1, 1, −5, 4] + h(4, 2, 8, 3), (1, 1, 3, 1), (−2, 3, 1, 2)i, c = [0, −8, −2, 6]. 11. Určete vzdálenost bodu c od nadroviny % dané rovnicí: (a) 4x − 7y + 4z = 1, c = [6, −17, 5]; (b) 2x − y + 4z − 2u = 2, c = [−5, 6, −15, 11]; (c) 4x − 10y + z − 2u = −40, c = [13, −10, 10, −20]. 12. Určete vzdálenost bodu c od nadroviny % zadané parametricky: (a) [1, 1, 1] + h(4, 1, −3), (2, 2, 3)i, c = [20, −10, 13]; (b) [1, 2, 1, 5] + h(4, 5, 1, 3), (−4, −3, 2, 10), (2, −6, 4, −5)i, c = [20, −11, −14, 8]; (c) [1, 2, −3, −2] + h(1, 1, 0, 1), (1, 2, 2, 1), (1, 1, 2, 2)i, c = [17, −7, 5, −7]. ˇ Rešení: 8 1. (a) u×v = (22, −23, −5); (b) u×v = (−11, 1, 7); (c) u×v = (2, 11 5 , 5 ). 2. (a) [3, 0, 0] + h(1, 0, −1), (2, 1, 0)i; (b) [2, 0, 1, 0] + h(1, 0, 0, 1), (−1, 0, 2, 0), (3, 2, 0, 0)i; (c) [1, 0, 2, 0, 0] + h(2, 0, 0, 0, 3), (1, 0, 0, 3, 0), (2, 0, −3, 0, 0), (1, 3, 0, 0, 0)i. 3. (a) 2x + y − 3z = 2; (b) 3x + 2y + z − 4t = 4; (c) 2x − y + 3z − 2t = 2. 4. (a) 7x + 5y + 5t = 17, 18x + 5y + 5z = 28; (b) y − u = −3, x + y − z = 0; (c) 7x + 5y − z = 1, 7x + 4y − u = 1, x + t = 1. 5. (a) [6, 0, 0, −1] + h(−7, 1, 3, 0), (−4, 1, 0, 3)i; (b) [3, 0, 0, 7, 7] + h(2, 5, 11, 0, 0), (4, 10, 0, −11, 0), (8, 9, 0, 0, 11)i; (c) [1, 1, 1, 1, 1]+ h(2, −15, −9, −1, 0), (3, −29, −17, 0, 2)i. 6. (a) (2, −1, 3); (b) (3, −1, 2, −2); (c) (2, −3, −1, −3). 7. (a) (1, −2, 1); (b) (2, −3, 1, −1); (c) (3, 2, −5, 1). 8. (a) h(1, 2, 3)i; (b) h(2, −1, −3, 1)i; (c) h(3, 1, −2, −4)i. 9. (a) [−2, 7, −6] + h(1, −3, 2)i, d = [1, −2, 0]; (b) [5, 10, −1, −4] + h(2, 4, −1 − 3)i, d = [1, 2, 1, 2]; (c) [13, 4, −8, 7] + h(4, 1, −3, 2)i, d = [1, 1, 1, 1]. 10. (a) [5, −5, 5] + h(2, −3, 2)i, d = [1, 1, 1]; (b) [−2, 7, −8, 13] + h(1, −2, 3, −4)i, d = [1, 1, 1, 1]; (c) [0, −8, −2, 6] + h(2, 3, −1, −2)i, d = [4, −2, −4, 2]. 11. (a) 18; (b) 20; (c) 22. 12. (a) 21; (b) 27; (c) 20.
16
ziny 4. kapitola: Konvexn´i mnoˇ 4.1 Definice. Podmnožina M euklidovského prostoru En obsahující alespoň dva body se nazývá konvexní, jestliže pro každé dva různé body a, b ∈ M je celá úsečka ab obsažena v množině M . Mezi konvexní množiny budeme z důvodu jednodušší formulace výsledků počítat i jednoprvkové podmnožiny prostoru En a množinu prázdnou. Nechť a, b jsou dva různé body z En . Pak b−a je nenulový vektor z Vn a přímka p určená body a a b má parametrickou rovnici p = a + hb − ai, tj. každý bod x přímky p lze zapsat ve tvaru x = a + t(b − a) pro nějakou reálnou hodnotu parametru t. Přitom bodu a odpovídá hodnota parametru t = 0 a bodu b hodnota parametru ´ t = 1. Usečka s krajními body a, b je tedy popsána následovně: ab = {x ∈ En | x = a + t(b − a), 0 ≤ t ≤ 1}. Provedeme-li formálně naznačené úkony, dostaneme a + t(b − a) = (1 − t)a + tb, kde 1 − t + t = 1 a 1 − t, t ≥ 0. Jinak řečeno, jsou-li a, b dva různé body z En , pak množina {λa + µb | λ, µ ≥ 0, λ + µ = 1} je právě úsečka ab. 4.2 Příklady. 1) Množina bodů M = {[x, y] | x2 +y 2 ≤ 9} v E2 je zřejmě uzavřený kruh o poloměru 3 se středem v počátku. Ukažme, že M je konvexní množina. ˇ Rešení: Buďte a = [x1 , y1 ], b = [x2 , y2 ] libovolné body z kruhu M a buď c = y12 ≤ 9, x22 + y22 ≤ 9 [λx1 + µx2 , λy1 + µy2 ] libovolný bod úsečky ab. Mámep tedy x21 +p 2 2 a ze známe Cauchyovy nerovnosti také |x1 x2 +y1 y2 | ≤ x1 + y1 x22 + y22 ≤ 9. Pak ale (λx1 + µx2 )2 + (λy1 + µy2 )2 =λ2 x21 + 2λµx1 x2 + µ2 x22 + λ2 y12 + 2λµy1 y2 + µ2 y22 = λ2 (x21 + y12 ) + 2λµ(x1 x2 + y1 y2 ) + µ2 (x22 + y22 ) ≤ 9λ2 + 18λµ + 9µ2 = 9(λ + µ)2 = 9, bod c leží v uzavřeném kruhu M a množina M je konvexní. 2) Ukažme, že množina M popsaná soustavou nerovností y − 2x ≤ 0, 2y − x ≥ 0, xy ≤ 2 v euklidovské rovině E2 není konvexní. ˇ Rešení: V množině M zřejmě leží body a = [1, 2] a b = [2, 1] (načrtněte obrázek!). Střed s úsečky ab má zřejmě souřadnice s = 12 a + 12 b = [ 32 , 32 ]. Tento bod vyhovuje první nerovnosti, neboť 32 −3 = − 32 < 0, vyhovuje i druhé nerovnosti 3− 23 = 32 > 0, avšak 32 · 32 = 94 > 2 takže třetí nerovnost není splněna. Střed úsečky ab tedy neleží v M a množina M tudíž není konvexní. 4.3 Definice. Buďte a1 , . . . , ak body z euklidovského prostoru En . Každý bod Pk Pk x ∈ En takový, že x = i=1 λi ai , i=1 λi = 1, λi ≥ 0, se nazývá konvexní lineární kombinace bodů a1 , . . . , ak . 4.4 Věta. Průnik libovolného systému konvexních množin je konvexní množina. 4.5 Věta. Je-li M ⊆ En konvexní podmnožina a a1 , . . . , ak jsou libovolné prvky množiny M , pak každá konvexní lineární kombinace těchto bodů leží v množině M .
17
4.6 Definice. Buď K ⊆ En libovolná podmnožina. Průnik všech konvexních podmnožin prostoru En obsahujících množinu K budeme nazývat konvexní obal množiny K. Konvexní obal množiny K budeme označovat symbolem K(K). 4.7 Věta. Je-li K libovolná podmnožina v En , pak konvexní obal K(K) je právě množina všech konvexních lineárních kombinací konečných počtů bodů z množiny K. 4.8 Definice. Buď M ⊆ En neprázdná podmnožina. Bod a ∈ En se nazývá hraniční bod množiny M , jestliže každé jeho ε-okolí obsahuje jak body z M , tak body z komplementu En \ M . Připomeňme, že pro kladné reálné číslo ε, ε-okolím bodu a ∈ En rozumíme množinu {b ∈ En | |a−b| < ε}. Podmnožina M prostoru En se nazývá uzavřená, jestliže obsahuje všechny své hraniční body. Nakonec říkáme, že podmnožina M v En je ohraničená (omezená), jestliže existuje takové kladné reálné číslo ε, že množina M je obsažena v ε-okolí bodu [0, . . . , 0]. 4.9 Definice. Bod c konvexní podmnožiny M euklidovského prostoru En se nazývá krajní bod (extremální bod, vrchol) množiny M , jestliže c není vnitřním bodem žádné úsečky ab, a, b ∈ M , tj. c nelze vyjádřit ve tvaru c = λa + µb, a, b ∈ M, λ > 0, µ > 0, λ + µ = 1. 4.10 Věta. Nechť M je konvexní, uzavřená a ohraničená podmnožina v En a buď M ∗ množina všech jejích extremálních bodů. Pak K(M ∗ ) = M . 4.11 Definice. Konvexní polyedr je neprázdná, konvexní, uzavřená a ohraničená podmnožina euklidovského prostoru En mající pouze konečný počet extremálních bodů. 4.12 Věta. Je-li M konvexní polyedr v En s krajními body a1 , . . . , ak , pak každý bod a ∈ M lze vyjádřit jako konvexní lineární kombinaci jeho krajních bodů, tj. a=
k X i=1
λi a i ,
k X
λi = 1, λi ≥ 0, i = 1, . . . , k.
i=1
Poznamenejme, že toto vyjádření není obecně jednoznačné, jak je patrné z příkladu obdélníka o vrcholech a, b, c, d, jehož střed s lze vyjádřit jednak jako s = 1 1 1 1 2 a + 2 c, jednak jako s = 2 b + 2 d. 4.13 Věta. Každá neprázdná, ohraničená, uzavřená a konvexní množina v En má alespoň jeden extremální bod. 4.14 Věta. Konvexní obal množiny {a1 , . . . , am } v En je konvexní polyedr o nejvýše m krajních bodech. 4.15 Definice. Nechť % je nadrovina v euklidovském prostoru En . Nadrovina % dělí En na dva poloprostory, jejichž společnou hranicí je nadrovina %. Tyto poloprostory jsou buď otevřené nebo uzavřené podle toho, zda k nim hraniční nadrovina patří, či nikoliv. Tedy, je-li w normálový vektor nadroviny %, pak P1 = {b ∈ En | b = a + tw, t ≥ 0, a ∈ %} je jeden z uzavřených poloprostorů a P2 = {b ∈ En | b = a + tw, t ≤ 0, a ∈ %}
18
je druhý z nich. Podobně Q1 = {b ∈ En | b = a + tw, t > 0, a ∈ %} je jeden z otevřených poloprostorů a Q2 = {b ∈ En | b = a + tw, t < 0, a ∈ %} je druhý z nich. 4.16 Věta. Buď a1 x1 + · · · + an xn = b rovnice nadroviny v En . Pak množina P1 = {(z1 , . . . , zn ) ∈ En |
n X
ai zi ≥ b}
i=1
tvoří jeden z uzavřených poloprostorů a P2 = {(z1 , . . . , zn ) ∈ En |
n X
ai zi ≤ b}
i=1
tvoří druhý z nich. Nahradíme-li neostré nerovnosti ostrými, dostaneme popis příslušných otevřených poloprostorů. 4.17 Věta. Konvexní polyedr v En je průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů. Naopak, je-li průnik konečného počtu uzavřených poloprostorů euklidovského prostoru En ohraničený, je tento průnik konvexní polyedr. 4.18 Poznámka. Předchozí dvě věty nám vlastně dávají možnost popsat každý konvexní polyedr pomocí (konečné) soustavy nerovností. Stačí totiž napsat rovnice jednotlivých hraničních nadrovin a poté vybrat příslušnou nerovnost, tj. příslušný poloprostor. Podrobný postup spolu s obrácenou úlohou je popsán v následujících dvou příkladech. 4.19 Příklady. 1) V euklidovské rovině popišme soustavou nerovností konvexní obal bodů: a1 = [1, 1], a2 = [3, 0], a3 = [4, 2], a4 = [2, 4]. ˇ Rešení: Označme uij = ai − aj směrový vektor přímky pij procházející body ai a aj a nij vektor normály této přímky. Máme tedy: u12 u23 u34 u41
= (−2, 1), = (−1, −2), = (2, −2), = (1, 3),
n12 n23 n34 n41
= (1, 2), = (2, −1), = (1, 1), = (3, −1),
takže odpovídající přímky mají rovnice p12 : x + 2y = 3, p34 : x + y = 6,
p23 : 2x − y = 6, p41 : 3x − y = 2.
Snadno se nyní nahlédne (načrtněte obrázek), že daný konvexní polyedr je popsán soustavou nerovností: p12 : x + 2y ≥ 3,
p23 : 2x − y ≤ 6,
19
p34 : x + y ≤ 6, p41 : 3x − y ≥ 2. 2) Podmnožina euklidovského prostoru E2 popsaná soustavou nerovností x + y ≥ 1,
1 2x
− y ≤ 0,
2x − y ≥ 0
je konvexní, ale není polyedrem, neboť, jak se snadno přesvědčíte z obrázku, není ohraničená. 4.20 Definice. Bod, který je průnikem n lineárně nezávislých hranic konvexní množiny K se nazývá pseudovrchol. Každý krajní bod konvexní množiny je pseudovrchol, ale nikoliv naopak. 4.21 Příklad. Ověřme, že množina bodů v euklidovské rovině popsaná následující soustavou nerovností je konvexní polyedr a nalezněme všechny jeho vrcholy a pseudovrcholy: 2x − y ≥ 2; x + y ≥ 7; x + 4y ≥ 10; x − 2y ≤ 10; 2x + 5y ≤ 38. ˇ Rešení: Nahradíme-li nerovnosti rovnostmi, dostaneme celkem 5 přímek, které označíme p1 , p2 , p3 , p4 a p5 . Označíme-li Pij průsečík přímek pi a pj , dostaneme celkem 10 pseudovrcholů. P12 P13 P14 P15 P23
= [3, 4] = [2, 2] = [−2, −6] = [4, 6] = [6, 1]
P24 P25 P34 P35 P45
= [8, −1] = [−1, 8] = [10, 0] = [34, −6] = [14, 2]
Snadno se nahlédne (načrtněte obrázek), že P12 , P23 , P34 , P45 , P15 jsou právě všechny vrcholy daného konvexního polyedru. 4.22 Definice. Body a0 , a1 , . . . , ar z En se nazývají lineárně nezávislé, jsou-li vektory a1 − a0 , . . . , ar − a0 z Vn lineárně nezávislé. 4.23 Poznámka. Není obtížné ověřit, že v předchozí definici není nutné “odečítat” bod a0 od bodů ostatních, ke stejnému výsledku dospějeme, jestliže použijeme kterýkoliv z bodů a0 , . . . , ar . 4.24 Definice. Nechť a0 , . . . , ar jsou lineárně nezávislé body z euklidovského prostoru En . Množina ϕr (a0 , . . . , ar ) = {x =
r X i=0
λi a i |
r X
λi = 1, λi ≥ 0}
i=0
se nazývá r-rozměrný simplex. Body a0 , . . . , ar se nazývají vrcholy simplexu a (r + 1)-tice (λ0 , . . . , λr ) jednoznačně určená bodem x jsou barycentrické souřadnice bodu x. Každá s-tice vrcholů, s < r určuje s-rozměrný simplex, tzv. s-rozměrnou stěnu simplexu ϕr (a0 , . . . , ar ).
20
4.25 Věta. Každý simplex je konvexní polyedr. r 4.26 P Poznámka. Podle definice Prsestává simplex ϕ (a0 , . . . , ar ) právě ze všech bodů r x = i=0 λi ai , kde λi ≥ 0 a i=0 λi = 1. Speciálně tedy je λ0 = 1 − λ1 − · · · − λr , takže x = a0 + λ1 (a1 − a0 ) + · · · + λr (ar P − a0 ). Odtud ihned vidíme, že x ∈ r ϕr (a0 , . . . , ar ) právě tehdy, když x − a0 = i=1 λi (ai − a0 ), kde λ1 , . . . , λt , λ1 + · · · + λt ∈ h0, 1i. Naopak tedy bod x ∈ En nenáleží simplexu ϕr (a0 , . . . , ar ) právě když buď vektor x − a0 není lineární kombinací vektorů a1 − a0 , . . . , ar − a0 , nebo Pr takovou lineární kombinací jest, x−a0 = i=1 λi (ai −a0 ), avšak aspoň jedno z čísel λ1 , . . . , λr , λ1 + · · · + λr nenáleží intervalu h0, 1i.
4.27 Příklad. Ukažme, že body a0 = [1, 2, 3, 4], a1 = [2, 3, 2, 3], a2 = [2, 1, 2, 5], a3 = [0, 1, 5, 6], a4 = [0, 3, 4, 5] jsou vrcholy čtyřrozměrného simplexu v euklidovském prostoru E4 . 32 (a) Zjistěme, zda bod a = [1, 2, 23 7 , 7 ] je bodem simplexu; 11 16 27 (b) zjistěme, zda bod b = [ 7 , 7 , 7 , 6] je bodem simplexu; (c) určeme, kolik stěn má daný simplex; (d) napišme vektorovou rovnici stěny určené body a1 , a3 , a4 ; (e) napišme vektorovou rovnici stěny určené body a0 , a1 , a3 , a4 ; 11 44 (f) určeme barycentrické souřadnice bodu c = [ 79 , 16 9 , 3 , 9 ]; 35 49 (g) určeme barycentrické souřadnice bodu d = [1, 17 9 , 9 , 9 ]; 19 (h) jaké podmínce musí vyhovovat souřadnice x3 bodu e = [ 98 , 13 8 , x3 , 4 ], aby tento bod ležel ve stěně simplexu určené body a0 , a1 , a2 , a3 ; 29 45 (i) jaké podmínce musí vyhovovat souřadnice x2 bodu f = [ 13 8 , x2 , 8 , 8 ], aby 4 tento bod byl bodem simplexu ϕ (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ). ˇ Rešení: Máme ověřit, že dané body jsou lineárně nezávislé, tj. že vektory a1 − a0 = (1, 1, −1, −1), a2 − a0 = (1, −1, −1, 1), a3 − a0 = (−1, −1, 2, 2), a a4 − a0 = (−1, 1, 1, 1) jsou lineárně nezávislé. Tedy 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 −1 2 0 1 0 0 1 −1 −1 1 0 −2 0 ∼ ∼ , −1 −1 2 2 0 0 1 1 0 0 1 1 −1 1 1 1 0 2 0 0 0 0 0 1 a vektory jsou skutečně lineárně nezávislé. (a) Ve smyslu poznámky 4.26 máme vektor a − a0 = (0, 0, 72 , 47 ) vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů ui = ai − a0 , i = 1, 2, 3, 4. Z rovnosti λ1 u1 + λ2 u2 + λ3 u3 + λ4 u4 = (0, 0, 72 , 47 ) dostaneme nehomogenní soustavu lineárních rovnic, kterou řešíme: ¯ ¯ 1 1 −1 −1 ¯¯ 0 1 1 −1 −1 ¯¯ 0 1 −1 −1 1 ¯ 0 0 −2 0 2 ¯¯ 0 ∼ ¯ 2∼ −1 −1 2 1 ¯¯ 7 0 0 1 0 ¯¯ 72 −1 1 2 1 ¯ 47 0 2 1 0 ¯ 74 ¯ 1 1 −1 −1 ¯¯ 0 0 1 0 −1 ¯ 0 . ¯ 0 0 1 0 ¯¯ 27 0 0 0 2 ¯ 2 7
Tedy λ1 = 72 , λ2 = 17 , λ3 = 27 , λ4 = 71 , λ1 + λ2 + λ3 + λ4 = 67 , takže bod a náleží danému simplexu.
21
(b) Podobně jako v v případě (a) máme ¯ 1 1 −1 −1 ¯¯ 47 1 −1 −1 1 ¯ 2 ¯ 7 ∼ −1 −1 2 1 ¯¯ 67 −1 1 2 1 ¯ 14 7
1 0 0 0
1 −2 0 2
−1 0 1 1
¯ −1 ¯¯ 2 ¯¯ 0 ¯¯ 0 ¯
4 7 − 27 10 7 18 7
.
Nyní je již zřejmé, že bod bod b nenáleží danému simplexu, neboť z třetího řádku vidíme, že koeficient λ3 = 10 7 neleží v intervalu < 0, 1 >. (c) Každá trojrozměrná¡ stěna je určena čtveřicí bodů z množiny {a ¢ ¡ 0¢, a1 , a2 , a3 , a4 }, takže celkem máme 54 = 5 trojrozměrných stěn. Podobně je 53 = 10 stěn ¡¢ ¡¢ dvojrozměrných, 52 = 10 stěn jednorozměrných a 51 = 5 stěn dimenze nula, tj. bodů. Celkem tedy má daný simplex 30 stěn. (d) “Bodová” rovnice má tvar x = αa1 +βa3 +γa4 , kde α, β, γ ≥ 0 a α+β+γ = 1. Tedy α = 1 − β − γ a vektorová rovnice má tvar x = a1 + β(a3 − a1 ) + γ(a4 − a1 ), β, γ, β + γ ≤ 1, neboť β + γ = 1 − α ∈< 0, 1 >. (e) Podobně jako prve máme x = λ0 a0 + λ1 a1 + λ3 a3 + λ4 a4 = a0 + λ1 (a1 − a0 ) + λ3 (a3 − a0 ) + λ4 (a4 − a0 ), λ1 , λ3 , λ4 , λ1 + λ3 + λ4 ∈< 0, 1 >. (f) Ve smyslu poznámky 4.26 máme vyjádřit vektor c − a0 = (− 29 , − 92 , 96 , 89 ), jako lineární kombinaci vektorů u1 , u2 , u3 , u4 , tj. máme řešit nehomogenní soustavu lineárních rovnic. Jest ¯ ¯ 1 1 −1 −1 ¯¯ − 29 1 1 −1 −1 ¯¯ − 29 1 −1 −1 1 ¯ − 2 0 −2 0 2 ¯¯ 0 9 ¯ 6 ∼ 4 . −1 −1 2 ¯ 1 ¯ 0 0 1 0 ¯¯ 9 9 8 6 −1 1 2 1 ¯ 0 2 1 0 ¯ 9
9
4 9 , λ2
Odtud již postupně dostáváme λ3 = λ2 − λ3 − λ4 = 91 , takže c = [ 91 , 29 , 19 , 94 , 19 ]. (g) Podobně jako v (f) máme 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 −1 2 1 −1 1 2 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
0 − 19 8 ∼ 9 13 9
=
1 9 , λ1
1 1 0 −2 0 0 0 2
−1 0 1 1
=
1 9 , λ4
=
2 9 , λ0
−1 2 0 0
5 Tedy λ3 = 98 , λ2 = 18 . Pak ale λ1 + λ2 + λ3 + λ4 ≥ λ2 + λ3 = 4 d nenáleží simplexu ϕ (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ).
21 18
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
= 1 − λ1 −
0 − 19 8 . 9 13 9
> 1, takže bod
(h) Má-li bod e ležet ve stěně určené body a0 , a1 , a2 , a3 , musí být vektor e − a0 = ( 18 , − 38 , x3 − 3, 34 ) ležet v lineárním obalu hu1 , u2 , u3 i. Odtud dostáváme nehomogenní soustavu lineárních rovnic ¯ ¯ 1 1 1 1 −1 ¯¯ 1 1 −1 ¯¯ 8 8 ¯ 1 −1 −1 ¯ − 38 − 48 ∼ 0 −2 0 ¯ ¯ −1 −1 2 ¯ x3 − 3 0 0 ¯ x3 − 23 . 1 8 ¯ ¯ 7 3 0 2 1 ¯ −1 1 2 ¯ 4 8 Tedy z druhého řádku máme λ2 = 14 , odkud z posledního řádku λ3 = 38 . Třetí 3 13 řádek nyní dává x3 − 23 8 = 8 , tedy x3 = 4 . Konečně z prvního řádku dostaneme
22
λ1 = 18 − 14 + 38 = 14 , λ1 + λ2 + λ3 = 78 , takže ve stěně určené body a0 , a1 , a2 , a3 leží 13 19 bod e = [ 98 , 13 8 , 4 , 4 ]. (Kromě toho jsme zjistili, že tento bod má barycentrické souřadnice e = [ 18 , 14 , 14 , 38 , 0].) (i) Podobně jako v předchozím případě máme ¯ 5 1 1 −1 −1 ¯¯ 1 1 8 1 −1 −1 1 ¯ x2 − 2 0 −2 ∼ ¯ 5 −1 −1 2 0 0 1 ¯¯ 8 13 ¯ −1 1 2 1 0 2 8 Vidíme, že λ3 = 54 > 1, takže bod f = [ 13 8 , x2 , ϕ (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) pro žádné reálné číslo x2 . 4
−1 0 1 1
−1 2 0 0
29 45 8 , 8 ]
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
5 8
x2 − 5 4 9 4
21 8
.
nenáleží simplexu
Příklady ke kapitole 4. 1. V euklidovské rovině popište soustavou nerovností konvexní obal bodů: (a) a1 = [−2, 2], a2 = [−1, 2], a3 = [−1, −2], a4 = [1, −1], a5 = [2, 1], a6 = [2, 4], a7 = [4, 2], a8 = [3, −1]; (b) a1 = [−3, −2], a2 = [1, 4], a3 = [1, 2], a4 = [4, 1], a5 = [2, −1], a6 = [−1, −1], a7 = [−1, 3]; (c) a1 = [−1, −2], a2 = [1, 2], a3 = [−2, −2], a4 = [2, −1], a5 = [1, 1], a6 = [−1, 3], a7 = [1, −4]; (d) a1 = [−1, −1], a2 = [−2, −4], a3 = [1, 1], a4 = [4, −3], a5 = [−4, −2], a6 = [−2, −2], a7 = [1, −2], a8 = [−1, 2]; (e) a1 = [−4, 3], a2 = [3, −1], a3 = [−2, 2], a4 = [2, 3], a5 = [1, 4], a6 = [1, 1], a7 = [−2, −3]. 2. Ověřte, že množina bodů v euklidovské rovině popsaná následující soustavou nerovností je konvexní polyedr a nalezněte všechny její vrcholy a pseudovrcholy: (a) x + y ≤ 3, 2x − y ≤ 3, 2x + 3y ≥ −1, x − y ≥ −3, y ≤ 2; (b) x + 2y ≤ 5, 2x − y ≤ 5, y ≥ −1, x ≥ −1, x − 2y ≥ −3; (c) x + 3y ≤ 5, 3x − y ≤ 5, x + 3y ≥ −5, 2x + y ≥ −5, x − 2y ≥ −5; (d) x + y ≤ 4, 3x + y ≤ 8, x − 4y ≤ 7, 3x + y ≥ −5, 2x − 3y ≥ −7; (e) 2x − 3y ≥ −10, x − y ≥ −4, 2x + y ≥ −5, x + 5y ≥ −7; (f) x + 2y ≤ 5, x + y ≤ 3, 2x − y ≤ 3, x − 3y ≤ 4, 3x + 2y ≥ −10, 2x − 3y ≥ −11. 3. Ukažte, že body a0 = [2, 1, 4, 3], a1 = [3, 2, 3, 4], a2 = [3, 3, 5, 2], a3 = [4, 0, 5, 5], a4 = [1, 2, 6, 4] jsou vrcholy čtyřrozměrného simplexu v euklidovském prostoru E4 . 4. Zjistěte, zda daný bod leží v simplexu ϕ4 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) z příkladu 3: 8 23 18 (a) a = [ 13 5 , 5 , 5 , 5 ]; 5 (b) b = [ 2 , 2, 21 4 , 4]; 7 19 15 (c) c = [ 11 , , 4 4 4 , 4 ]. 5. Určete souřadnice daného bodu v E4 , víte-li, že jeho barycentrické souřadnice vzhledem k simplexu ϕ4 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) z příkladu 3 jsou: (a) a = [ 29 , 29 , 19 , 29 , 29 ];
23
(b) b = [ 17 , 27 , 17 , 27 , 17 ]; (c) c = [ 14 , 18 , 41 , 18 , 41 ] 6. Určete barycentrické souřadnice daného bodu vzhledem k simplexu ϕ4 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) z příkladu 3: 13 9 29 (a) a = [ 23 8 , 8 , 2 , 8 ]; 16 11 33 25 (b) b = [ 7 , 7 , 7 , 7 ]; 16 41 31 (c) c = [ 26 9 , 9 , 9 , 9 ]; 7. Určete neznámou souřadnici bodu a tak, aby bod ležel ve stěně simplexu ϕ4 (a0 , a1 , a2 , a3 , a4 ) z příkladu 3 určené danou množinou bodů: (a) a = [3, 32 , x, 72 ], {a0 , a1 , a2 , a3 }; 21 (b) a = [ 13 5 , x, 5 , 4], {a0 , a1 , a3 , a4 }; 5 13 13 (c) a = [ 2 , 6 , 3 , x], {a0 , a1 , a2 , a4 }. ˇ Rešení: 1. (a) x − 2y ≥ −6, x + y ≤ 6, 3x − y ≤ 10, x − 4y ≤ 7, 4x + y ≥ −6; (b) 5x − 2y ≥ −11, x − 2y ≥ −7, x + y ≤ 5, x − y ≤ 3, x − 5y ≤ 7; (c) x + 2y ≤ 5, 3x + y ≤ 5, 3x − y ≤ 7, 2x + 3y ≥ −10, 5x − y ≥ −8; (d) x + 2y ≤ 3, 4x + 3y ≤ 7, x − 6y ≤ 22, x + y ≥ −6, 4x − 3y ≥ −10; (e) x − 5y ≥ −19, x + y ≤ 5, 4x + y ≤ 11, 2x − 5y ≤ 11, 3x + y ≥ −9; 2. (a) vrcholy: [1, 2], [2, 1], [1, −1], [−2, 1], [−1, 2], pseudovrcholy: [10, −7], [0, 3], [6, 9], [ 52 , 2], [− 72 , 2]; (b) vrcholy: [1, 2], [3, 1], [2, −1], 11 [−1, −1], [−1, 1], pseudovrcholy: [7, −1], [−1, 3], [−1, −7], [ 13 3 , 3 ], [−5, −1]; (c) vrcholy: [2, 1], [1, −2], [−2, −1], [−3, 1], [−1, 2], pseudovrcholy: [−4, 3], [0, −5], [3, 4], [−5, 0]; (d) vrcholy: [2, 2], [1, 3], [3, −1], [−1, −2], [−2, 1], pseudovrcholy: 3 9 17 17 37 49 21 [ 23 5 , − 5 ], [− 2 , 2 ], [ 11 , 11 ], [− 5 , − 5 ]; (e) není konvexní polyedr (není ohraničená), 5 71 4 9 1 vrcholy: [−2, 2], [−3, 1], [−2, −1], pseudovrcholy: [− 25 8 , 4 ], [− 13 , − 13 ], [− 2 , − 2 ]; 11 7 (f) vrcholy: [1, 2], [−1, 3], [2, 1], [1, −1], [−2, −2], [−4, 1], pseudovrcholy: [ 5 , 5 ], 1 15 25 13 1 2 17 4 29 19 [ 23 5 , 5 ], [− 2 , 4 ], [ 4 , − 4 ], [−16, 19], [− 5 , 5 ], [− 7 , − 7 ], [5, 7], [−15, − 3 ]. 3. Vektory u1 = a1 − a0 = (1, 1, −1, 1), u2 = a2 − a0 = (1, 2, 1, −1), u3 = a3 − a0 = (2, −1, 1, 2), P4 u4 = a4 −a0 = (−1, 1, 2, 1), jsou lineárně nezávislé. 4. (a) Ano (a−a0 = 15 i=1 ui ); P4 (b) ne (b − a0 = 41 u1 + 14 u2 + 41 u3 + 12 u4 ); (c) ano (c − a0 = 14 i=1 ui ). 5. 13 41 34 20 10 31 27 19 7 19 27 (a) a = [ 23 9 , 9 , 9 , 9 ]; (b) b = [ 7 , 7 , 7 , 7 ]; (c) c = [ 8 , 4 , 4 , 8 ]. 6. (a) 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 a = [ 8 , 4 , 4 , 4 , 8 ]; (b) b = [ 7 , 7 , 7 , 7 , 7 ]; (c) c = [ 9 , 9 , 3 , 9 , 9 ]. 7. (a) x = 17 4 ; (b) x = 75 ; (c) x = 19 . 6
