1.
ČÍSELNÉ OBORY, MNOŢINY..................................................................................................4
2.
INTERVALY, ABSOLUTNÍ HODNOTA..................................................................................5
3.
POMĚR ........................................................................................................................................6
4.
PROCENTA .................................................................................................................................7
5.
ALGEBRAICKÉ VÝRAZY, MNOHOČLENY..........................................................................9
6.
MOCNINY, ODMOCNINY ......................................................................................................11
6.1.
7.
Částečné odmocňování, usměrňování ........................................................................................................... 13
PLANIMETRIE .........................................................................................................................15
7.1.
Rovinné obrazce, pravoúhlý trojúhelník........................................................................................................ 15
7.2.
Shodná a podobná zobrazení v rovině........................................................................................................... 18
8.
FUNKCE ....................................................................................................................................19
8.1.
Lineární f-ce ................................................................................................................................................... 19
8.2.
Kvadratická funkce ........................................................................................................................................ 19
8.3.
Nepřímá úměrnost ........................................................................................................................................ 20
8.4.
Exponenciální funkce..................................................................................................................................... 20
8.5.
Logaritmická funkce ...................................................................................................................................... 20
8.6.
goniometrická fce .......................................................................................................................................... 20
9.
ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY .................................................................21
9.1.
Lineární rovnice ............................................................................................................................................. 21
9.2.
Soustavy lineárních rovnic ............................................................................................................................. 22
9.3.
Lineární nerovnice a jejich soustavy .............................................................................................................. 23
9.4.
Slovní úlohy ................................................................................................................................................... 25
9.5.
Kvadratické rovnice ....................................................................................................................................... 27
9.6.
Kvadratické nerovnice ................................................................................................................................... 27
9.7.
Kvadratický trojčlen a vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadr. rovnice ....................................................... 28
9.8.
Slovní úlohy vedoucí na kvadratickou rovnici ............................................................................................... 28
9.9.
Iracionální rovnice ......................................................................................................................................... 29
1
10.
EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÉ ROVNICE .........................................................31
10.1.
Exponenciální rovnice.................................................................................................................................... 31
10.2.
Logaritmus..................................................................................................................................................... 32
10.3.
Logaritmické rovnice ..................................................................................................................................... 33
11.
GONIOMETRIE ....................................................................................................................35
11.1.
Goniometrické rovnice .................................................................................................................................. 35
11.2.
Úpravy goniometrických výrazů .................................................................................................................... 36
11.3.
Sinová a kosinová věty .................................................................................................................................. 37
11.4.
Slovní úlohy na sinovou i kosinovou větu...................................................................................................... 37
12.
STEREOMETRIE ..................................................................................................................39
13.
POSLOUPNOSTI ..................................................................................................................41
13.1.
Aritmetická posloupnost ............................................................................................................................... 41
13.2.
Geometrická posloupnost ............................................................................................................................. 43
13.3.
Posloupnosti – užití ....................................................................................................................................... 43
14.
KOMBINATORIKA ..............................................................................................................45
14.1.
Variace, permutace ....................................................................................................................................... 45
14.2.
Kombinace..................................................................................................................................................... 46
14.3.
Kombinatorické rovnice, binomická věta ...................................................................................................... 47
15.
STATISTIKA .........................................................................................................................49
16.
PRAVDĚPODOBNOST ........................................................................................................50
17.
KOMPLEXNÍ ČÍSLA ............................................................................................................52
17.1.
Algebraický tvar............................................................................................................................................. 52
17.2.
Goniometrický tvar........................................................................................................................................ 53
17.3.
Moivreova věta ............................................................................................................................................. 54
17.4.
Kvadratické rovnice s imaginárními kořeny................................................................................................... 55
18.
ANALYTICKÁ GEOMETRIE ..............................................................................................56
18.1.
Vzdálenost bodů, střed úsečky ...................................................................................................................... 56
2
18.2.
Vektor ............................................................................................................................................................ 56
18.3.
Přímka v rovině, vzdálenost bodu od přímky ................................................................................................ 57
18.4. Kvadratické útvary v rovině........................................................................................................................... 59 18.4.1 Kružnice ................................................................................................................................................ 59 18.4.2 Elipsa .................................................................................................................................................... 59 18.4.3 Hyperbola ............................................................................................................................................. 60 18.4.4 Parabola ............................................................................................................................................... 62
3
1. Číselné obory, množiny 1. Zapište průnik, sjednocení, rozdíl daných mnoţin: a. {1;2;3;4;5}; {0;3;5;6} ( {3;5}; {0;1;2;3;4;5;6}; -{1;2;4}; -{0;6}) b. {-2;-3;0;7}; {-2;-3} ( {-2;-3;0;7}; {-2;-3}; - {0;7}) c. {x N; x 3}; {0;1;2;3} ( {0;1;2;3}; {1;2;3}; - {0}) d. {x Z; -2 x < 1}; {-1; 0;1} ( {-2;-1;0;1}; {-1;0}; - {-2}; - {0;1}) 3 2 2. Rozhodněte, do které z mnoţin N,Z, Q, I, R patří daná čísla: -5;π; 4; ; 0; - ; 2,38; 3 ; 2 3 3. Vypočtěte a určete, do jakých číselných oborů patří výsledky: a. (107) b. 1 + 2.3 + 4.5 + 6.7 = (69) c. (1+2).3+(4.5+6).7= (191) d. (1+2)(3+4)(5+6).7= (1617) e. (567) f. (24) g. (19 –7) : 4 –3 = (0) h. 9 – ( 9 + 6) :5 = (6) 100 .4 i. (20) 2.( 10 ) j. (20-1)+ 2-(3+4) = k. 7.(9-11) + (-7)2 .(-1) – (3-5): (-2) = 3 2 1 5 l. ( ) : (1 ) 4 3 2 6 m. 20 –(1 + 2) – (3+4) = n. [(-10) . (-3) + 3 – 13)] : (-5) – (-10).(-1) = 2 3 o. ( 1 - ) . 5 4 p. -10 + (-4) + (+3) – (-5) = 1 1 1 1 1 1 1 q. 2 3 4 5 6 7 8 3 5 7 5 r. 4 6 8 12 3 1 5 3 2 : : s. 1 : : 2 2 6 4 3 t. u. v.
5 6 2 3 2 3
1 1 : 18 5 1 5 . 2 9 1 5 . 2 9
5 6
(14) (-64) 1 (2 ) 8 (10) (-14) 9 ( ) 20 (-6) 201 (1 ) 280 3 ( ) 8 (3) ( 1
1 3
13 ) 57
5 ( ) 9
1 3
(
4
13 ) 54
2. Intervaly, absolutní hodnota 1. Zobrazte na reálné ose dané intervaly, určete jejich průnik a sjednocení a zapište je. a. <-2; 2>; (0;3) ( (0;2>; <-2;3) ) b. <1;2>; <2; 4> ( {2}; <1;4) ) c. (-5; 6>; <-5; 4> ( (-5;4>; <-5;6> ) d. (- ; 4>; <2; + ) ( <2;4>; R ) e. <-1;3>; (0; + ) ( (0;3>; <-1; + ) ) f. <-1;0); (-1; 0> ( (-1;0); <-1;0> ) 2. Zobrazte dané mnoţiny na reálné ose a zapište, je-li moţné jako interval: a. {x R; x 4} ( (- ; 4 > ) b. {x R ; -6 x 5 } ( <-6; 5) ) c. { x N; x 4} ( není interval konečná mnoţina {1;2;3} ) d. {x Z ; -6 x 5 } ( není interval konečná mnoţina{-6;-5;-4;-3; -2;-1;0;1;2;3;4} ) 3. Vypočtěte: a. -10 + +5 - -18 - 10 = (-13) b.
10
6
4
2
12 3
(3
c. 2-5 + (-0,5).(-2) - 0,8 . (-4) = d. 60 + -2 - (-3). (-4) . (-5) =
1 2
)
(0,8) (2)
4. Znázorněte na reálné ose, zapište jako interval: A1 = x R; 2 - x 5 A2 = x R; x-2 3 A3 = x R; x 2 A4 = x R; x - 1 3 A5 = x R; 1 x 5
( (-3;7) ) ( -1;5 ) ( R – (-2;2) ) ( R - -2;4 ) ( ( -5; -1 1; 5) )
5. Doplňte tabulku:
-5 < x < 2
-3 -2 -1
0
1
2
3
( - ;1
-3 -2 -1
0
1
5
2
3
3. Poměr 1. Odměna Kč 2 500,- se má rozdělit v poměru 3:2. Vypočtěte příslušné částky. (Kč1500; Kč 1000) 2. Dva studenti se mají rozdělit o prémii Kč 1760,-v poměru odpracovaných brigádnických hodin . První odpracoval 42 hodin, druhý 46 hodin. Kolik dostal kaţdý? (Kč 840;Kč 920) 3. Poliš (řidší těsto) na výrobu vánočního pečiva obsahuje vodu, droţdí, slad a mouku v hmotnostním poměru 20:4:1:15. Jakou hmotnost mají jednotlivé suroviny v 1kg poliše? (500g; 100g; 25g; 375g) 4. 5.
Výkony tří čerpadel jsou v poměru 2 : 2,25 : 2,8. Kolik litrů vody dodalo kaţdé z nich, jestliţe načerpala celkem 1 128litrů. (320, 360, 448) Délky stran trojúhelníku ABC jsou v poměru 4 : 7 : 5. Obvod trojúhelníku je 32cm. Určete délky stran. (8,14,10)
6. Sklenka pivního servisu má výšku 15cn a dţbán téhoţ souboru 27cm. Pro reklamní účely je třeba zhotovit zvětšeniny v poměru 4:3. Jaké budou výšky zvětšenin obou předmětů? (20cm; 36cm) 7. Částka Kč 800,- se má rozdělit mezi 2 sourozence v poměru 3:1. Vypočtěte, kolik dostane kaţdý? (Kč 600; Kč 200) 8. Sedm dělníků má podle normy opracovat za směnu 602 výrobků. Kolik výrobků má opracovat za tutéţ dobu 10 dělníků? (860) 9. Státní statek provede podzimní orbu se šesti traktory za 28 dní. Za kolik dní ji provede se sedmi traktory při stejném průměrném výkonu traktorů? (24) 10. Na sako je potřeba 170cm vrchového materiálu o šířce 140cm. jaká je spotřeba při šíři vrchového materiálu 150cm? (159cm) 11. 250m příze má hmotnost 9gramů. Jak je dlouhá táţ příze o hmotnosti 60gramů? (1667mm) 12. Šest slévačů odlilo ve stanovené době 800odlitků. Kolik odlitků odleje za stejných podmínek devět slévačů? (1 200) 13. Dvěma stejnými otvory se naplní bazén za 25hodin. Za kolik hodin se naplní pěti stejnými otvory? (10hod) 3 14. Přidáním 48cm syřidla se srazilo mléko za 6hodin. Kolik syřidla je třeba přidat, aby se tentýţ objem mléka srazil za 40minut? (Objem syřidla je nepřímo úměrný času) (432cm3) 15. Poměr mrtvé hmotnosti k ţivé hmotnosti hovězího dobytka je 3:5. Vypočtěte mrtvou (masnou) hmotnost krávy o ţivé váze 580kg. (348kg) 16. Hnací kolo má 21zubů a otočí se za minutu 900krát. Kolikrát za minutu se otočí hnané kolo, které má 27zubů? (700krát) 17. Jaký proud protéká rezistorem o odporu 4,8 , jestliţe při stejném napětí rezistorem o odporu 115 protéká proud 0,75A. Proud je nepřímo úměrný odporu rezistoru. (18A) 18. Primární cívka transformátoru má 48závitů a je na ní napětí 24V. Kolik závitů musí mít sekundární cívka, aby na ní bylo napětí 500V? Napětí je přímo úměrné počtu závitů. (1000)
6
4. Procenta 1. Ze 126,2 kg pleteniny odvedla střihačka 114,75 kg čisté hmotnosti. Vypočtěte procento odpadu. (9,1%) 2 2. Zedník měl omítnout za směnu 24,2m zdiva. Na kolik procent splnil plán, jestliţe za 12 směn omítl 306m2 zdiva. (zaokrouhlit na 1des.místo) (105,4%) 3. Uţíváním klesla cena přístroje o 37% na hodnotu Kč 104 454. Jaká byla jeho původní cena? (Kč 165 800) 4. Ze 356kg mouky se vyrobilo 496kg těsta. Kolik procent hmotnosti to bylo? (139,3%) 5. Hmotnost získaného telecího masa činí 64% celkové hmotnosti ţivých telat. Jaká byla hmotnost ţivých telat, ze kterých se získalo 16 830kg telecího masa? (26 297kg) 6. Knihárna zpracovala 2 905 kniţních vazeb a překročila tím plán o 4,12%. Kolik jich měla zpracovat podle plánu? (2 790) 7. Statek odevzdal celkem 4 650 tun znečištěné cukrovky. Při výkupu bylo sraţeno 4,7% celkové hmotnosti na nečistoty. Čistá cukrovka obsahovala 19,3% cukru, z něhoţ se skutečně zuţitkovalo 90%. Kolik cukru se vyrobilo z odevzdané cukrovky? (770 t) 8. Podnikatel má na skladě v prodejně v Praze zboţí za Kč 1 568 900, z toho připadá 8,6% na zboţí, které musí dodat do prodejny v Kladně. Za kolik Kč to je? (770t) 9. Za neodebrané zboţí v ceně Kč 15 500 účtoval dodavatel odběrateli pokutu 6,5% z ceny zboţí. kolik Kč pokuty zaplatí odběratel? (Kč 1007,50) 10. Statek v Bruzovicích měl výnos brambor 16,8 tun z jednoho hektaru. Statek v Kujavách měl výnos o 7% vyšší. Jaký byl průměrný hektarový výnos statku v Kujavách? (18t) 11. V obchodním domě bylo za měsíc březen prodáno o 27% více zboţí neţ v měsíci lednu. Zvýšení představovalo částku Kč 107 800. Za kolik Kč bylo prodáno zboţí v lednu? (Kč399 259) 12. Cukrovar plánuje letos výrobu 130 000 tun cukru, coţ je o 16% více neţ v loňském roce. Kolik tun cukru vyrobil cukrovar v loňském roce? (112 068,96t) 13. Místo plánovaných 250 dní trvala stavba objektu pouze 232 dny. O kolik procent se zkrátila doba výstavby? (o7,2%) 14. Místo naplánovaných 25 600 kladiv vyrobili dělníci 25 700 kladiv. O kolik procent překročili svůj plán? (0,39%) 15. Tkadlena splnila svou normu na 112% a zpracovala při tom 400kg materiálu. Kolik materiálu měla zpracovat podle normy? (357kg) 16. Válcováním se sníţila výška válcovaného kusu o 14%. Původní výška byla 230 mm. Jaká byla konečná výška? (198mm) 17. Ze 165kg pleteniny odvedla střihačka po nastříhání 147kg čisté hmotnosti. Vypočítejte odpad v %. (10,9%) 2 18. Pět učňů vyzdilo za 4 směny 212m příček. Učňovská norma byla 10m2 příček za směnu na jednoho učně. Na kolik % splnili učňovskou normu? (106%) 19. Z celkové hodnoty přístroje se po 4letech odepsalo 38%, coţ činilo Kč 1 026. Jaká byla původní cena přístroje? (Kč 2 700) 20. Denní plán těţby uhlí byl 1 625 tun. Do kolika vozů s průměrným nákladem 650kg uhlí bylo vytěţené uhlí naloţeno při splnění plánu 104%. (2 600vozíků) 21. Kolik 10 % ajatinu potřebujeme na přípravu 1,5 litru 5‰ roztoku? (75 ml) 22. Kolik 10 % ajatinu je třeba na přípravu 1,5 litru 2 ‰ roztoku? (30 ml) 7
23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.
Kolika % roztok vznikne smícháním 2 litrů 5 % roztoku a 3 litrů 20 % roztoku? (14% ) Kolik 10 % persterilu potřebujeme na přípravu 0,5 litru 3 ‰ roztoku? (15 ml) Do 200 ml 10% ajatinu jsme nalili 4,8 litrů vody. Jak koncentrovaný roztok vznikl? Po nalití 4 litrů vody do 10 % ajatinu vznikl 5 ‰ roztok. Kolik bylo ajatinu? Kolik vody musíme nalít do 100 ml 10 % ajatinu, aby vznikl 5 ‰ roztok? Kolika % roztok vznikne smícháním 4 litrů 10 % roztoku a 6 litrů 5 % roztoku? (7 %) Dělník vyrobil o 30 součástek více neţ předepisovala norma. Normu tím překročil o 20 %. Kolik součástek měl vyrobit podle normy? (150) Po sráţce 10 % z hrubé mzdy činila čistá mzda 1 080,- Kč. Vypočtěte hrubou mzdu. (1200,-) V lahvi je 600 ml 2 % roztoku. Kolik vody bychom museli přilít, aby vznikl 5 ‰ roztok? (1800ml) Po 10 % zdraţení stojí výrobek 165,- Kč. Kolik stál před zdraţením? (150,-) 200 ml 8% octa bylo doplněno do 4 litrů vodou. Kolika ‰ roztok vznikl? (4‰)
8
5. Algebraické výrazy, mnohočleny 1. Vypočtěte: a. kontrolu proveďte dosazením za proměnnou x = 1; y= 2; 8x - -(2y + 4y) + 6x + 4x = (6(x+y); 18) ; 4 3 2 2 3 2 b. 6 a - 2a + a - 4a + 3a – (2a + 3a) + 4 = ( 6a4 + a3 + a2- 3a + 4) c. 9r - - -(2s + 4r) + 2s - 3r = (8r) d. 3u – (5u + 1).2 –2u = (-9u-2) (-4w+4w2) (27x3-90x2+60x+25) (-36x2+135x-125) (63x -125) (-45x2+78x+25)
e. (3w – 5w) . ( 1.2 –2w)= f. (3x-5) [(3x-5)3x-5]= g. (3x-5)[3x-5(3x-5)]= h. 3x-5[3x-5(3x-5)]= i. 3x-5[(3x-5)3x-5]= j. k. l. 2. Vypočtěte, pomocí vzorců umocněte: a. (x-2)2 b. (2x-3)2 c. (3x+2)2 d. (5x+2z)2 e. (a+2)(a-2) + (a+2)2 - (a-2)2 f. (3x+y)(3x-y)- (3x+y)2 + (3x-y)2 g.
(x2-4x+4) (4x2-12x+9) (9x2+12x+4) (25x2+20xz+4z2)
(a2+8a-4) (9x2-12xy – y2)
h. 3. Rozloţte na součin: a. 15x2 y3 – 5xy b. 75a5 b3 + 25a4 b3 – 5a2 b2 c. q 3 q 2 q 1
( 5xy(3xy2 -1) ) ( 5a2 b2(15a3 b + 5a2 b – 1) )
d. 2 x 2 y 10 x 3 y 2 e. 4a 2 8a 4 f. 3a 2 b 2 6a 3b 4. Vypočtěte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: a b a b a. ( 1) : ( 1) a b a b a b a b 1 2 1 4 ): 2 b. ( 2 2 (2 a).( 2 a) (a 2) (a 2) a 4 a2 1 a2 ).( ) c. (1 + ´1 a 2 1 a 2
d.
1
3a 2 1 a2 1 a 1 a 1 9
(1; a b; a 0) 4
;a
2)
(
1 ;a 1 a2
1)
(
2a 1 ;a a 1
(
a
2
4
a
)
x
e.
x
y y
x x
g.
y
=
y y
1 f.
x
1 x 1 1 x a b a b
x
y
1 1 x= 1 1 x a b a : a b b
b = a
h.
i.
j.
5x
5 x 2
1
1 x2 1 x2 1 x x2 x
x
2
1
1 2x 1
x 1 x
5. Dělte, udejte podmínky a proveďte zkoušku: a) (6 x 2
3x 18 ) : (2 x 3)
b) (6t 2 11t 10 ) : (3t c) (2 x 2
2)
x 6) : (2 x 3)
6. Je dán výraz:
- Určete, pro která reálná x je tento výraz definován. - Určete, pro která z těchto x má hodnotu 0. - Vypočtěte jeho hodnotu pro x = –6.
10
6. Mocniny, odmocniny 1. 22.8. (
1 ) 2 5
(210)
2. (4.3-2) : (5-1.23) 2 9 3. ( ) 3 : ( ) 1 3 4 1 1 4. ( ) 2 .( ) 1 .( 5) 2 5 25 2 10 .10 3 ) 1 (výsledek mocninou čísla 10) 5. ( 6 6 2 10 .10 .10 2 3.3 2 6. 2 .3.33 21 .10 2 7. (počítej pomocí a.10n) 2 14 .10
5.10 1.2.10 3 8. (počítej pomocí a.10n) 2 4.10
9.
12 .10 3 8.10 .3.10 2
(10-1) (
1 ) 35
2 ( .10 4 ) 2
3
( 17 b12 )
1
1
1
( 36 x19 )
11. x 3 .x 9 .x 12 2
1
( m 2 .6 m )
12. m 2 .m 1 .m 3 1 2
13. 2.(2.2 )
15.
(52)
1 ( .10 2 ) 2
10. b 3 .b 4
14.
2
5 ( ) 2
(počítej pomocí a.10n)
2
5 ) 3 .2 3 ( )5 2
(
1 2
1 2
( 8 27 )
a 3
a2
x .3 x 2 .4 x 3
(x. 12 x11 )
16. 4 b.3 b 17. 2 8: 2 6 = 18. (-3)10: (-3)7 = 19. (102)5 = 20. (10 . 10 2 . 103 ) : ( 102 . 103 ) = 21. (143.282):(24.73)= 22. (12-1.42) : 3-3=
(3 b ) (22) (-3)3 (1010) (10) (72) (4.32)
2 x. y 1 (3.x. y ) ): 3 2 23. ( 3. x 2 . y x .y
33 6 6 ( .x . y ) 2
2
11
24.
25.
26.
27.
28.
64 3 9 3 18 2 = 16 3 24 3 27 3
103 20 4 50 16 2 503
=
29.
30. 2.10 3.4.10 5 25 .10 3 : 31. 0,00008 0,005
32. (
x 3.y 4 1 x2 .y 1 2 ) :( 3 2 ) x4 .y 3 x .y
33. (
64000000 2 0,000009 2 ) :( ) 0,000008 27000000
(32 . 82 .1048)
0,49 =
34.
a 5b 2
35.
=
a 3b 4 a 3b
36.
=
a 2b 3 3
3x
37. 38.
(2)
9x 2 =
3
2x 2
3
a
4
a
4
a
3
a
4
a
3
a
3
a
4
a
39.
40.
4x = =
=
41. 12
42. ( 43.
a 4 .b 3 2 a 4 .b 3 2 ) :( 3 5 ) a 5 .b 6 a .b
5
3
4 : 2
3
5
2 = 8
(5 2 )
1
a 3 .a
44.
(a. 3 a 2 )
=
2 2
( a .a )
3
1 2
45.
46.
(2.10 .5 2 ) 2 3
5. 10 a .a
2
)
2
a 5 .b 6 . b
1
(
5
( 22 .54 .
a
1 3
3
2.
2
5)
=
5 12
47.
1
3
a 4 .b 3 .3 a 4 48. a.
3
b2 = a. a.b
2x3 3x 4 6 x 3 : .6 3y 2 4y5 y2
49.
a 2 .4 a 3
3
50.
a.3 a .a
2 3
51. 52. a3 a 1
3
a a
a6 a 5
1
53. x 4 x 6 3 x
6.1. Částečné odmocňování, usměrňování 75 ; 180 ; 112 ;
Částečně odmocněte: 3
8=2
3
27
3
3
24 3
54
60 ; 147 ;
2.3 3 ;
3
3.3 2 ;
13
32 ; 3
3
40 ;
320 ; 3
405 ;
448 ;
56 ; 3 104 ;
81 ; 3 108 ;
3
243 ;
3
297 ;
63 ;
1) Částečně odmocněte a vypočtěte: 20 - 3. 125 + 7.
45 + 180 =
b) 4. 27 - 5. 12 + ( 3 -
3 )2 – 2. 75 =
a) 5.
c) 3. 180 - 2. 32 + 4.
d) 7.
e) 3. 28
2. 112
f) 4. 27
5. 12
(31 5 )
72 - 128 ) =
5. 175 (3
( 12 - 14 3 )
20 - 125 =
45 + 12. 50 -(2.
(22 3 )
3) 2
(44
252 2. 75
Usměrněte, popř.částečně odmocněte:
6
6
( 2. 3
3
2
2 2 2
2
2 2
2)
= = =
2
2 3
2
3
2
6
(5-2. 6 )
15
( 2. 3
3
7
5
7
5
5)
(6-2. 35 )
2
3
15
10
6
3
6
3
(
5 ) 5
(3 2 . 2 )
(
3. 3 ) 2
6
(
3. 3 ) 2
5 2 2 3 2
(
17 2 16 ) 7
(
9 5 3 ) 6
(
9.( 3 2 2 ) ) 2
3. 6 8 3. 3
2 1
(
3
1
.(3 2 3 )
2 2
2 1
2
1
)2
14
2)
7. Planimetrie 7.1. Rovinné obrazce, pravoúhlý trojúhelník 1. Vypočtěte obsah trojúhelníku, vnitřní úhly a výšky troj.ABC, jeli dáno: a=20; b=65; c=75. (S=600; 14°15´; 53°08´;112°37´;….) 2. Jakou vodní plochu má hladina kruhového rybníku o průměru 68m? (3631,68) 3. Podlaha má tvar obdélníku o délce 4,82m a šířce 3,56m. Do místnosti vedou dvoje dveře, kaţdé o šířce 90cm. Podél stěn s vyjímkou dveří se poloţí obvodová podlaţní lišta. Vypočtěte délku lišty a obsah podlahy. (14,96m; 17,16 m2) 4. Vypočtěte obsah trojúhelníku ABC, je-li a=18; b= 24; = 590. (185,15) 5. Pozemek tvaru obdélníku o rozměrech 11,5m a 9m chceme oplotit. Kolik metrů pletiva budeme potřebovat, počítáme-li 6,5m na bránu(vjezd)? (Připočtěte 7% na ztráty.) 6. Na osetí 1ha se spotřebuje 180kg osiva. Kolik se spotřebuje na osetí pole tvaru lichoběţníku o základnách 224m a 196m a výšce 126m. (1ha= 10 4m2). (476kg) 7. Výška a rovnoběţné strany lichoběţníku mají velikosti v poměru 2:3:5, obsah lichoběţníku je 512cm2. Určete velikost výšky a velikost rovnoběţných stran (základen), (16, 24, 40) 8. Vypočítejte obsah mezikruţí, je-li r1=8cm; r2= 5cm. (122,5 cm2) 9. Vypočtěte obsah, (obvod a poloměr kruţnice opsané i vepsané) pravidelného desetiúhelníku o straně 11,6 cm. (S = 1035,3 cm2,o = 116 cm,r = 18,77 cm, ρ = 17,85 cm) 10. Vypočtete obsah a obvod obrazců: (o= 106; S=372) (o=116; S=560)
8
o = 25,12, S = 50,24
5
o = 9,42, S = 7 o = 56, S = 189 3
14
o = 32, S = 18,88 14
15
11. jeden čtverečný metr střechy je potřeba 26 raţených tašek. a) Kolik tašek bude potřeba na střechu tvořenou dvěma stejnými obdélníky o rozměrech 8m a 3m? b) Kolik tašek bude potřeba na střechu tvořenou čtyřmi shodnými rovnoramennými trojúhelníky o základně délky 4m a výšce 2,7m? (odpad zanedbejte) c) Kolik tašek se musí koupit v případě b), počítá-li se s 13% odpadu? (1248 tašek; 562 tašek; 636 tašek) 12. Vypočítejte obsah obdélníku, je-li jeho obvod 24 a jedna jeho strana má velikost 7,2. (34,56) 13. Zahrada má tvar obdélníku a má obvod 130m a obsah 800,25m 2. Vypočítejte rozměry zahrady. (48,5m; 16,5m) 2 14. Pozemek ve tvaru obdélníku má obsah 600m a jedna jeho strana je dlouhá 30m. Kolik sloupků potřebujeme k ohrazení pozemku, má-li být vzdálenost mezi sloupky 2,5m? (40 sloupků) 15. Vypočítejte výšku v lichoběţníku ABCD, mají-li základny velikost a=28cm, c=21cm a je-li obsah S=1 764cm2. (72cm) 16. Jakou dráhu urazí za 24 hodin konec sekundové ručičky, která je 5cm dlouhá? (452,389m) 17. Vypočtěte obvod a obsah rovnoramenného lichoběţníku o stranách a = 10 cm, b = 5 cm, c = 4 cm. (o = 24 cm, S = 28 cm2) 18. Délka strany pravidelného pětiúhelníku je 6 cm. Vypočtěte jeho obvod, obsah, poloměr kruţnice vepsané, poloměr kruţnice opsané. (o = 30 cm, S = 62 cm2, r = 5,1 cm, ρ = 4,13 cm) 19. Ve čtverci o straně 5 cm je vepsána kruţnice. Vypočítejte obvod a obsah této kruţnice. (o = 15,7 cm, S = 19,6 cm2) 20. V kosočtverci jsou dány délky úhlopříček: u = 8 cm, v = 6 cm. Vypočtěte jeho obvod a obsah. (o = 20 cm, S = 24 cm2) 21. Délka strany pravidelného osmiúhelníku je 4 cm. Vypočtěte jeho obvod, obsah, poloměr kruţnice vepsané, poloměr kruţnice opsané. (o = 32 cm, S = 76,8 cm2, r = 5,2 cm, ρ = 4,8 cm) 22. Vypočítejte obvod kruţnice, je-li obsah kruhu 78,5 cm2. (31,4 cm) 23. Pravoúhlý trojúhelník ABC má přeponu c = 20 cm a výšku vc = 8 cm. Jak velké úseky vytíná výška vc na přeponě c ? (16cm a 4 cm) 24. Oplocený pozemek má tvar lichoběţníku, kde velikosti rovnoběţných stran jsou 106 a 72 m, vzdálenost těchto stran je 46 m a velikost úhlu mezi základnou a jedním ramenem je 57o. Vypočítejte obsah pozemku a délku plotu. (S = 4094 m2, o = 280 m) 25. Kolem kruhového rybníčku o průměru 4 m je 2 m široký záhon. Jaká je plocha a jaký je obvod tohoto záhonu? (S = 37,7 m2, o = 25 m) 26. Jaký je sklon ţebříku délky 8,9m, který je svým horním okrajem opřen o okraj zdi vysoké 8,4m? (700 40´) 27. Ţebřík 8,5m dlouhý je umístěný ve studni a svým dolním koncem vzdálen 0,9m od stěny studně. Horní část ţebříku je opřena o stěnu studně. Jak velký úhel svírá ţebřík se dnem studně? (83055´) 28. Štít střechy tvaru rovnoramenného trojúhelníku má šířku 12,8m. Sklon střechy je 38 0. Vypočtěte výšku v štítu. (5m) 29. Vypočtěte počet schodů z jednoho patra do druhého, je-li třeba překonat výšku 3,27m se sklonem 250 a jednotlivé schody jsou široké 0,27m. (26 schodů)
16
30. Průměrný úhel stoupání letadla je 11020´a jeho průměrná rychlost je 450 km/hod. Jak vysoko letadlo vystoupí za 5,5 min? (8,106 km) 31. Paty dvou sousedních telegrafních tyčí mají výškový rozdíl 10,5m. Jak dlouhé vodiče spojují oba sloupy, je-li sklon svahu 39030´? (16,5m) 32. Vodorovná vzdálenost mezi stromky, které se vysazují ve stráni se sklonem 19 022´, je 5m. V jaké vzdálenosti vykopete jámy, kdyţ vzdálenosti měříte na tomto svahu? (5,3m) 33. Jak vysoká je budova, která na vodorovnou dlaţbu stín dlouhý 50,5m pod úhlem 54021´? (70,4m) 34. Jak dlouhé úhlopříčky má obdélník ABCD, jehoţ strany mají délky AB = 2,5dm; BC = 14cm. (28,65cm) 35. Určete výšku rovnoramenného trojúhelníku ABC, je-li délka jeho základny 4,6cm a délka jeho ramene 9,7cm. Vypočtěte i jeho obsah a velikost úhlu leţícího při základně. (v=9,4; S= 21,62; 75°42´) 36. Důlní chodba má délku 25 m, výškový rozdíl mezi oběma jejími konci je 5,3 m. Vypočtěte její sklon. (12°14´) 37. Měřící přístroj teodolit umístěný na břehu řeky ve výšce 50 metrů nad hladinou zaměřil dalekohled na okraj protějšího břehu řeky a byla změřena odchylka od svislého směru 64°26´. Jak široká je řeka v měřeném místě? (104,5m) 38. Dalekohled měřícího přístroje je 1,7m nad vodorovnou rovinou a je vzdálen 185m od paty komína. Vypočtěte výšku komína, je-li změřen výškový úhel 29°22´. (105,8m) 39. Z pozorovací věţe ve výšce 105m nad hladinou moře je zaměřena loď v hloubkovém úhlu 1°49´. Jak daleko je loď od věţe? (3 310,5m) 40. Z pozorovací místa vidíme patu věţe v hloubkovém úhlu 0°35´a vrchol věţe ve výškovém úhlu 0°52´. Horizontální rovina prochází patou věţe a pozorovatelna je ve výšce 20m nad touto rovinou. jek vysoká je věţ? (49,7m) 41. Dvě pozorovací místa a pata komína leţí v jedné horizontální rovině a navíc spojnice pozorovacích míst prochází patou komína. Vrchol komína je 105m nad vodorovnou rovinou a je pozorován z obou míst ve výškových úhlech 46°25´a 26°33´. Určete vzdálenost obou pozorovatelen. (310,07m) 42. Dalekohled teodolitu je 1,6m nad horizontální rovinou, kde jsou paty stoţárů. Pozorovací místo leţí mezi stejně vysokými stoţáry ve vzdálenosti 25m od prvního. Vrchol prvního stoţáru vidíme ve výškovém úhlu 54°28´a vrchol druhého ve výškovém úhlu 28°18´. Jaká je vzdálenost obou stoţárů? (90m) 43. Na hmotný bod působí dvě k sobě kolmé síly o velikostech F1= 74,5N, F2= 43,6N. Vypočtěte velikost výslednice F a úhly, které svírají síly Fa F1, Fa F2. 44. (86,32N; 30°20´; 59°40´) 45. Sílu o velikosti F=100N rozloţte na dvě kolmé sloţky F1, F2 tak, aby úhel mezi silami F a F1 byl 43°52´. (69,3N, 72,09N) 46. Ve svahu se sklonem 30° se mají usadit sloupy ve vodorovné vzdálenosti 10 m od sebe. V jaké vzdálenosti se musí vykopat díry? (11,5 m) 47. Kolik metrů pletiva potřebujete k oplocení pozemku ve tvaru čtverce, který má stejný obsah jako sousední pozemek ve tvaru obdélníku se stranami 16 m a 9 m dlouhými? (48 m)
17
48.
49. 50. 51.
Délka strany pravidelného šestiúhelníku je 6 cm. Vypočtěte jeho obvod, obsah, poloměr Kruţnice vepsané, poloměr kruţnice opsané. (o = 36 cm, S = 93,6 cm2, r = 6 cm, ρ = 5,2 cm) Pravoúhlému trojúhelníku o stranách a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm je opsána kruţnice. Jaký je její obvod a obsah? (o = 15,7 cm, S = 19,625 cm3) Lanovka má přímou trať o délce 1450 m s úhlem stoupání 35°. Jaký je výškový rozdíl mezi horní a dolní stanicí? (832 m) Střecha má sklon 45°. Kolik barvy je potřeba na natření štítu střechy se základnou 10 m, jestliţe se 1 kg barvy natřou 4 m2 plochy? (6,25 kg)
7.2. Shodná a podobná zobrazení v rovině 1/ a) Sestrojte libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC b) Nalezněte jeho těţiště T c) Sestrojte trojúhelník A´B´C´ jako obraz trojúhelníka ABC v posunutí o vektor 2/ a) Sestrojte libovolný lichoběţník ABCD se základnami AB a CD b) Sestrojte k němu lichoběţník A´B´C´D´ osově souměrný podle osy BC 3/ a) Sestrojte libovolný obdélník ABCD b) Nalezněte průsečík jeho úhlopříček P c) Sestrojte obdélník A´B´C´ D´jako obraz obdélníka ABCD v otočení R(P ; 45°) 4/ a) Sestrojte libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC b) Z jeho středních příček vytvořte trojúhelník KLM c) Sestrojte středově souměrný trojúhelník K´ L´ M´ jako obraz trojúhelníka KLM se středem souměrnosti ve vrcholu C. 5/ a) Sestrojte libovolný lichoběţník ABCD se základnami AB a CD b) Nalezněte průsečík jeho úhlopříček P c) Sestrojte k němu lichoběţník A´B´C´D´ v posunutí o vektor 6/ a) Sestrojte libovolný ostroúhlý trojúhelník ABC b) Sestrojte výšku na stranu c c) Sestrojte trojúhelník A´ B´C´ jako obraz trojúhelníka ABC osově souměrný podle výšky vc .
18
8. Funkce 8.1. Lineární f-ce 1/ Sestrojte graf fce: f1: y = 2x+1
D(f1) = R
;
f3 : y = x + 1
D(f3) = (-
;
D (f5 ) = R D(f7 ) = R
f5 : y = -
2 x 3
f7 : y = -1
2/ Sestrojte graf funkce y
f2: y = -x +3 1 f4 : y = - x - 1 3
D(f2) =
;
f6 : y = -x
D(f6) =
;
f8 : y =
3 4
-1; 3
D (f4 ) =
D(f8 ) = (- -3
6x 3 , nalezněte souřadnice průsečíků s osami x a y, vyznačte
v grafu bod M jako funkční hodnotu pro x 1 . 3/ Sestrojte graf funkce y 3x 6 , nalezněte souřadnice průsečíků s osami x a y, vyznačte v grafu bod M jako funkční hodnotu pro x 1. 4/ Průměrná spotřeba Škody Felicie je 7 litrů benzinu na 100 kilometrů. Před cestou má řidič v nádrţi 38 litrů. - Sestavte rovnici závislosti mnoţství m benzinu v nádrţi (v litrech) na počtu ujetých kilometrů k. - Po kolika ujetých kilometrech zbývá řidiči v nádrţi ještě 5 litrů? (
, po 471 km)
8.2. Kvadratická funkce 1/ Sestrojte graf funkce určete průběh a souřadnice vrcholu paraboly g1: y = 2x2 g2: y = - 2x2 g3: y = O,5x2 + 1 g4: y = 3x2 -2 g5: y = -x2 +2 g6: y = -0,3x2 –1 g7: y = x2 + 2x – 3 g8: y = x2 - 6x +9 g9: y = x2 - 4x + 13 g10: y = -x2 + 2x – 2 2/ Sestrojte graf funkce y x 2 2 x 3 , nalezněte souřadnice vrcholu a průsečíků s osami x a y (V = [-1;-4], Px1 = [-3;0], Px2 = [1;0], Py = [0;-3]) 2 3/ Sestrojte graf funkce y x 2 x 3 , nalezněte souřadnice vrcholu a průsečíků s osami x a y 4/ Sestrojte graf funkce y
x
2
(V = [1;-4], Px1 = [3;0], Px2 = [-1;0], Py = [0;-3]) 4 x 3 , nalezněte souřadnice vrcholu a průsečíků s osami x a y (V = [-2;-1], Px1 = [-3;0], Px2 = [-1;0], Py = [0;3])
19
8.3. Nepřímá úměrnost Sestrojte graf funkce: 1 k1: y = k2: y = x 1,5 k5: y = k6: y = x
1 x 1,5 x
k3: y =
2 x
k4: y =
2 x
8.4. Exponenciální funkce Sestrojte graf funkce : u1: y = 2x
u2: y = 3x
u3: y = O,5x
1 u4: y = ( ) x 2
1 u5: y = ( ) x 3
2 u6: y = ( ) x 5
u7: y = 1,2x
u8: y = 2,5x
v3: y = log0,5 x
v4: y = log 1/3 x
8.5. Logaritmická funkce Sestrojte graf funkce: v1: y = log2 x v2: y = log3 x
8.6. goniometrická fce Sestrojte graf funkce :
y
2 cos x
y
2 sin
y
2 sin x
3 x
4 2
y 1 sin 2 x
20
9. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy 9.1. Lineární rovnice Řešte rovnice, proveďte zkoušku, popř. podmínky řešitelnosti 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
x2 – 3x + 1 + x = x2 + 13 x2 –3x + 2 – (x-3)(x-4) –5 = 0 (3u-1)(1-u) = (u-1)(3-u) –2u2 – 2u 2x2 +x+3 –(x-1)2 = x2 +5 2a2 –3a + 2,1 – (2+a)2 = a2 +a –33,9 (3x)2 –x+2 = 2(x2 –x) + 7x2 +5 10x 48 2(6 x)
8. 5x 1
(-6) (3,75) (-1) (1) (4) (3) (5)
3( x 5)
(2)
9. 2(a 3) 3(2a 1)
7 6a
(2)
10. 4(b 2) 3(3b 1)
5 8b
(2)
11. 3(c 4) 4(2c 2)
24 7c
(2)
12. 2(d 3) 3(2d
4 6d
(2)
x 3x 2x 14. x
13.
15. 16. 17. 18. 19.
2 2 5 3
2)
1
(2) 1 4
2
5 9 1 1 x x 1 2 5 2 2 x 3x 6 x 1 1 K 3 0 2 3 8K 2 5 0 4 X 11X 2 8V 4 4 3V 15 3 V 5
20. x-1-
x2 5 x 3
(2) 1 ) 2 1 ( ) 2
(
(2) (-2)
O
(-1)
3 x 2 17 x O 7 3x x 2 3x 4 5x 6 + =24-x 3 5 7 2( x 4) 3x 13 3(2 x 3) + = -7 3 8 5 x 10 3 =2+ x 7 x 7 x 7 x 5 + =2 x 5 x 7
21. 6 -
(1)
22.
(17)
23. 24. 25.
(49) (NŘ) (6) 21
2x 5 4x 5 =0 3x 4 6 x 1 x 3 x 2 7x 1 27. + =2+ 2 x 1 x 3 x 2x 3 x 2 x 1 1 3x 28. + =0 x 3 3 x x2 9 8x 3 3 29. + = 2 +4 2 x 3 x 2 x 3x
26.
30. x 1 2x 31. x 1 32. x
x
(-5) (1) 1 5
2x 2 2x 2
1 4
x 1
1 4
2x 2
33. 2x 2
(-15)
1 3 , 2 2
x 1 x
34. |x - 2| + |2x + 2| = 2|x| 35. 2x 4
x 3
2
(NŘ)
x 5
(1;7)
9.2. Soustavy lineárních rovnic - o dvou neznámých: Metodou substituční vypočtěte: 3x+y=33 2x+y=7 2x-2y=30 3x-4y=-6 ( 12 -3 ) (23) Metodou sčítací vypočtěte: x+4y=37 7x+3y=100 2x+5y=53 14x+6y=200 (97) x;y R
4x+3y=6 2x+y=4 ( 3 -2 )
x+15y=53 3y+y=27 (83)
3y-5y=11 6x-10y= 22 x;y R
x=-3y+20 x=5y+12 ( 17;1
Libovolnou metodou vypočtěte: 2x+7y-18 =4(x+y) (x+4)(y-2)= (x-5)(y+4) 5x-4y-13=2(x-y) (x+6)(y-1)=(x-1)(y+2) ( 15;16 ( 8;4
(x+3)(y+5)=(x+1)(y+8) (2x-3)(5y+7)=2(5x-6)(y+1) ( 3;1
x 1 3
y 2 4
2( x y ) 5
4 x 3y
9x 2 y
x 3 4
y 3 3
2y x
3 2x y
9 x y 1
( 11 6 )
22
7
( 1;-1
2x+3y=1 3x+2y=9 ( 5;-3
2x 5 x 4
y 1 1 y 2
3x 1 2 y 9 1 x 1 y 2
( 5;3
- o třech neznámých: 2x+3y-z=5 2x-y-2z=3 3x-2y+2z=5 x+2y+z=5 4x-y+3z=11 3x-2z=7
5x+5y+z=2 3x-4y-3z=1 2x-y-z=1
7x+6y+7z=100 x-3y+z=0 3x-y-2z=0
( 1;2;3
( 1;-1;2
( 3;5;7
3y x 3x z 3z y
z 1 y 1 x 1
( 1;3;-2 2 2
( 1;1;1
2
9.3. Lineární nerovnice a jejich soustavy Řešte v R, řešení znázorněte a zapište jako interval: 1.
2 -3 < 5x –11 5
2. x 3
40 , 23
2( x 1)
(5;∞)
3. 2 x 1 3( x 1)
(2;∞)
4. 3x 2
4( x 1)
(-6;∞)
5. 2 x 2
3( x 1)
(-5;∞)
6.
2x -5 > -6 3
7. x+2
-4 -
2 x 3
(-∞ ;-
3x 4 2x 1 3x 2 9. x <x+ 3 6 12x 1 1 10. >x+ 4 6
8. 10x +
5 2
(-3/2; ∞ )
3( x 1)
<-
18 > 5
22 ; ) 25
(-∞ ; 0) (
23
5 ; ) 24
Řešte v N: 1. 3x-2 < 2(0,1x +3) x 1 2. x<-x + 2,4 6 3. 5x-2 4(x-1) – 2 4. (x-3)2 + (x+1)2 < 2x2 –6x+13 3x 1 5 6 x 3x 5. 8 4 2 2 7x 1 5 3x 6. +6 > 5x3 2 2x 1 x 3 x 2 7. < 33 2 3 8. 2x
1;2 0
1 1;2;3;4 1;2;3;4;5;6 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10
x 1
4- x
x 1 3x
3- x
2 , 5
10. x 1 2x
3- x
1 , 2
11. 1 x
x 3
9.
2x
,
5 4
(2;∞)
Řešte soustavu nerovnic: 1 2 x 1 3x 1. < 3 4 1-x -6x
(1/17;1>
2. 2(3x-1) < 3(4x+1) +16 4(2+x) < 3x+8
(-7/2;0)
1 +2x 2 3 2+x > 7x + 2 2 4. (x+1) +7> (x-4)2
3. 3-x
(1+x)2
4 7 ( ; > 5 6
(2x-1)2 +7
24
9.4. Slovní úlohy 1. Po dvoře pobíhá 31 slepic a králíků. Mají 31 hlav a 96 nohou. Kolik je na dvoře slepic a kolik je tam králíků? (14 slepic, 17 králíků) 2. Tři kartáčníci zhotovili za týden 604 štětců. Druhý jich udělal o 15 a třetí o 25 více neţ první. Kolik kartáčů zhotovil kaţdý z kartáčníků za týden? (188 ks, 203 ks, 213 ks) 3. Jedna balička zabalí určité mnoţství zboţí za 12hodin, druhá balička totéţ zboţí za 7,5hodiny. Za jak dlouho by zabalily totéţ zboţí obě baličky společně? (asi za 4hod 37 min) 4. 45litrů moštu se stočilo do 40 lahví. Některé byly o objemu 1litru, jiné o objemu 1,5litru. Kolik bylo kterých? (30 ks litrových a 10ks) 5. Z místa A vyjel do do B cyklista prům.rychlostí 20km/hod. Za 45minut vyjel z A do B motocyklista prům.rychlostí 44km/hod. Oba do místa B dojeli současně. Určete vzdálenost AB. (27,5km) 6. Na dráze délky 275km vyjedou z krajních bodů v 8hodin proti sobě dvě motorky. První jede rychlostí 60km/hod, druhá 50km/hod. V kolik hodin a kde se setkají? (v 10:30 hodin, první ujede 150km) 7. Jirka vyjel na chatu o 15minut později neţ jeho otec. Jirka jede prům.rychlostí 55km/hod, jeho otec rychlostí 48km/hod. Jak je vzdálena chata, dojedou.li oba současně? (asi 94,286km) 8. Otec vyjel na chatu ráno v 7 hodin. V 7.30 hodin za ním vyjel Milan prům. rychlostí 60km/hod. Otec jel průměrnou rychlostí 48km/hod. V kolik hodin dostihne Milana otce? (v 9:30hod) 9. Ve dvou zásilkách došlo dohromady 46kg hřebíků. První zásilka měla o 8kg větší hmotnost neţ druhá zásilka. Hmotnost obalů obou zásilek byla stejná. Určete hmotnost hřebíků z kaţdé zásilky. (27kg, 19kg) 10. Trojice brigádníků dostala zvláštní odměnu Kč 2 000,-. Peníze si rozdělily takto: první dostal dvakrát více neţ druhý, druhý dostal třikrát více neţ třetí. Kolik dostal kaţdý? (Kč 1 200, Kč 600, Kč 200) 11. Sud o objemu 3hl byl stočen do 375 lahví. Některé z nich měly objem 0,7l a některé měly objem 1l. Kolik bylo lahví kaţdého druhu? (250lahví 0,7l; 125lahví 1l) 12. Ocelová tyč dlouhá 3 m se má rozdělit na dvě nestejné části tak, aby jedna část byla o 3 dm větší neţ druhá. Určete délku obou částí. (1,4m a 1,7 m) 13. Ve dvou sudech bylo 90 kg suroviny. V jednom bylo o 8 kg více neţ ve druhém. Kolik suroviny bylo v kaţdém sudu? (41 a 49) 14. Ve dvou nádrţích bylo 1 309 hl oleje. V jedné bylo 4,5krát více neţ ve druhé. Kolik hl bylo v kaţdé nádrţi? (238 a 1071) 15. Dělník odvezl za 4 dny 156 vozíků, a to tak, ţe kaţdého následujícího dne odvezl o 2 vozíky více neţ v předchozím dnu. kolik vozíků odvezl první den? (36) 16. Tři brigádníci pracovali na stavbě. Protoţe dva z nich během práce onemocněli, vykonal brigádník A 1,5krát tolik, co brigádník B a brigádník B 3,5krát tolik co brigádník C. Jak se rozdělili o částku Kč 11 232, kterou dostali za práci? (6048+4032+1152) 17. Ve dvou zásilkách přišlo dohromady 280 knih. První ze zásilek obsahovala o 20 knih více neţ druhá zásilka. Kolik knih bylo v kaţdé zásilce? (130 a 150) 18. Tričko stojí Kč 150,-, šátek dvaapůlkrát méně. Kolik šátků je moţno koupit za Kč 240.-? (4)
25
19. Za 50 lístků do divadla a do kina škola zaplatila Kč 1600,-. Lístek do kina stál Kč 25,-, do divadla Kč 35,-. Kolik lístků do kina a do divadla škola koupila? (15 a 35) 20. 1 kg bonbónů stojí Kč 120,-, 1 kg lízátek stojí Kč 180,-. Má se namíchat směs 20 kg bonbónů a lízátek po Kč 160,-/kg. Vypočtěte hmotnost obou sloţek. (13,33 +6,66) 21. Do 300 lahví o objemu 0,7 l a 1 l bylo stočeno 240 litrů vína. Kolik kterých lahví bylo? (200 a 100) 22. Pokladník vydal Kč 15 500,- v bankovkách po Kč 50,- a po Kč 100,-. Kolik bylo kterých bankovek, bylo-li jich celkem 255? (200 a 55) 23. Škola zaplatila částku Kč 79 968,- za 2 tituly knih, celkem za 374kusů. Kniha do ANJ stála Kč 241,-, do RUJ Kč 195,-. Kolik bylo kterých? (153 a 221) 24. Cyklista vyjel z Havířova směrem na Brno ve 12 hodin průměrnou rychlostí 25 km/h. V 15 hodin z Havířova týmţ směrem motorka rychlostí 45 km/h. Kdy a kde dohoní motorka cyklistu? (v 18,45 hod. a 168,75 km daleko) 25. Z místa A vyjel do místa B cyklista průměrnou rychlostí 20 km/ hod. Za 45 minut vyjel z A do B motocyklista průměrnou rychlostí 44 km/ hod. Do místa B dojeli současně. Určete vzdálenost AB. (27,5 km) 26. Z jednoho konce trati 160 km dlouhé vyjede traktor průměrnou rychlostí 20 km/ hod, z druhého konce současně motocyklista průměrnou rychlostí 60 km/ hod. Kdy a kde se setkají? (za 2 hod. 40 km od traktorového konce) 27. Z místa A vyjede směrem k B cyklista v 6 hodin a jede průměrnou rychlostí 18 km/ hod. V 7 hodin týmţ směrem z A do B moped průměrnou rychlostí 30 km/ hod. Kde a za jak dlouho dostihne moped cyklistu? (za 1,5 hod. a 45 km daleko) 28. V jedné skupině bylo o 8 ţáků více neţ ve druhé. Po přijetí dvou nových ţáků do kaţdé skupiny jich bylo v první skupině dvakrát více neţ ve druhé. Kolik ţáků bylo ve skupinách? (14 a 6) 29. Dvojramenná páka je 3 m dlouhá. Zatíţíme-li ji na jednom konci 6 kg a na druhém 9 kg bude v rovnováze. V jaké vzdálenosti od konce je podepřena? (1,2 m) 30. Sud o objemu 3 hl byl stočen do 375 lahví. Některé z nich měly objem 0,7 litrů a některé 1 litr. Kolik bylo kterých lahví? (250 a 125) 31. Dědeček je dnes 4krát starší neţ jeho vnuk. Před 2 lety byl dědeček o 6 let mladší, neţ byl pětinásobek věku vnuka. Kolik jim je let? (14 a 56) 32. Oplocený pozemek ve tvaru obdélníka má mít jednu stranu o 5 metrů delší, neţ druhou. Na oplocení máme k dispozici 50 m pletiva. Jaké bude mít pozemek rozměry? (15 a 10) 33. Anička s Pepíčkem byli na pouti. Anička se svezla 3x na labutích, Pepíček 4x na lochnesce. Protoţe jízda na lochnesce je o 5 Kč draţší, koupil ještě Aničce za 10 Kč cukrovou vatu. Dohromady utratili 100 Kč. Kolik stála jedna jízda na labutích a kolik na lochnesce. (10 a 15 Kč) 34. Obvod obdélníka je 28 cm. Zmenšíme-li stranu a dvakrát a stranu b třikrát, zmenší se obvod o 16 cm. Určete délky stran. (8 a 6) 35. Zahrada má tvar pravoúhlého trojúhelníku o obsahu 100 m 2. Délka jedné z kratších stran je 10 m. Kolik metrů pletiva je potřeba k jejímu oplocení? (52,3 m) 36. Strany obdélníku jsou v poměru 3:2, jeho obvod je 30 cm. Jak jsou strany dlouhé? (9 a 6)
26
9.5. Kvadratické rovnice 4 1 1. 2 x 10 x 25 25 x 2 4 2. 3+x = 1+ 2 x 2 3. x 4 x 0 4. x 2 3x 0 5. 2 x 2 6 x 4 0 6. 2 x 2 4 x 2 0 7. 2s 2 4 0 2 8. 3r 9 0 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.
1 x 5
0
(0;13) (0) (0;-4) (0;3) (2;1) (1) (NŘ)
x2 x2 4x
5 x 11 5 7 x 17 7 5 12 1 x x 2 x 3 x 1 4 x 3 x 5 5 3x 3 5 x 5 3 5 x 5 3x 2 x 3 x 6 1 2 x 3 x 6 5 5 3 7 0 x 2 x 3 x 1 1 4 x 2 20 0 x 4 x 4 x 2 16 6 5 6 x 1 x 1 x 2 2 7 3 1 x x 1 x
(2;-2) (5;-2/3) (9;4) (7;1/7) (9;-42) (-3+ 30 ; -3- 30 ) (8;-5) (4;1/5) (9/4;-1/3 )
9.6. Kvadratické nerovnice Řešte pomocí „nulových bodů“ 1. x2 –5x +6 0 2. x2 -5x-14 0 3. x2 +4x +3 0 4. x2 -x- 56 < 0 5. x2 -15x + 56 < 0 6. x2 -12x+20 0 2 7. 3x -19x + 6 < 0 8. 2x2 +3x -5 0 9. 3x2 -2x-1 0 10. 6x2 –7x +2 0
(- ;2 > <3; ) (- ;-2 ) (7; ) <-3;1 > (-7;8) (7;8) (- ;2 ) (10; ) (1/3; 6) <-5/2;1 > (- ;-1/3 ) (1; ) (- ;1/2 > <2/3; ) 27
9.7. Kvadratický trojčlen a vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadr. rovnice Rozloţte na součin, zkraťte a uveďte podmínky řešitelnosti: 1.
x2 x2
7 x 12 8 x 15
(
x x
4 ; x R5
2.
x2 x2
4x 5x
(
x x
2 ;x R 3
(
2 x 18 ;x R 3x 21
4 6
2 x 2 8 x 90 3. 3 x 2 36 x 105
Rozloţte na součin: 1. 4x2+12x-216 2. 2x2-5x+2 3. 3x2-2x-1
(4(x-6)(x+9)) ((2x-1)(x-2)) ((3x+1)(x-1))
Určete dané koeficienty kvadratické rovnice, aby kořeny těchto rovnic byla čísla: 1. x2+bx+c=0 x1,2 = 18;-12 (b = -6, c = -216) 2 2. ax +bx+4=0 x1,2 = 2;2/3 (a = 1/3, b = -8) 2 3. ax +bx+504=0 x1,2 = 14;-36 (a = -1, b = -22) 2 4. x +bx+c=0 x1,2 = 8;9 (b = -17, c = 72) 2 5. 5x +bx+c=0 x1,2 = 4;-2/5 (b = -18/25, c = -8/25) Nezapomeňte na zkoušku!! 9.8. Slovní úlohy vedoucí na kvadratickou rovnici Součet dvou čísel je 79, součet jejich druhých mocnin je 4225. Určete tato čísla. (63;16) Součet dvou čísel je 143, součet jejich druhých mocnin je 13 037. Určete tato čísla. (34;109) Určete tři čísla o poměru 3:4:5, jejichţ součet druhých mocnin je 1250. (±15; ±20; ±25 ) Pravoúhlý trojúhelník, jehoţ odvěsny jsou v poměru 5:12, má přeponu dlouhou 26m. Jak veliké jsou odvěsny. Vypočtěte obsah tohoto trojúhelníku. (10m; 24m; 120m 2) 5. Rozdíl odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku je 14, přepona je 26. Určete délku odvěsen a určete jeho obsah. (10 a 24, S = 120) 6. Rozdíl dvou různých čísel je 21; dvojnásobek součtu jejich druhých mocnin je 2 842. Určete tato čísla. (35 a 14) 7. Součet dvou různých čísel je 49; dvojnásobek rozdílu jejich druhých mocnin je 2 058. Určete tato čísla. (35 a 14) 8. Součet odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku je 17, přepona je 13. Určete délku odvěsen a určete jeho obsah. (12,5; 30.) 9. Určete rozměry obdélníku, jehoţ obsah je 6084 a jehoţ délka je o 65 větší neţ šířka.(52;117) 10. Určete poloměr a obvod kruhu, jehoţ obsah je 200 cm 2. (r=7,98 cm; 50,14 cm) 11. Obvod obdélníku je 85m, délka úhlopříčky je 32,5m. Určete délky stran obdélníku. (30m;12,5m) 12. V pravoúhlém trojúhelníku je jedna odvěsna o 1m kratší neţ přepona, druhá odvěsna je o 2m kratší neţ přepona. Určete délky všech stran trojúhelníku. (3m;4m;5m) 13. Poměr délek stran obdélníku je 12:5. Délka úhlopříčky je 65cm. Určete délky stran obdélníku. (60cm; 25 cm) 28 1. 2. 3. 4.
14. Rotační válec má povrch 96cm2, výšku 8cm. Určete průměr jeho podstavy. (3,2 cm) 15. Kruhový záhon byl zvětšen tak, ţe se jeho poloměr zvětšil o 3m. Spotřeba substrátu na zvětšený záhon byla (při stejné výšce vrstvy jako před zvětšením) devětkrát větší neţ dříve. Určete původní poloměr záhonu. (1,5m) 16. Součet čitatele a jmenovatele neznámého zlomku je 49. poměr zlomku a zlomku k němu 147 21 obráceného je 9 : 16. Určete zlomek. (; ) 196 28 5 17. Součet dvou čísel je 15, součet čísel k nim převrácených je . Určete obě čísla. (9a 6; 6a9) 18 18. Dvě síly, které působí v pravoúhlém trojúhelníku jsou v poměru 8 : 15. Jejich výslednice je síla F=34N. Určete velikosti obou sloţek. (16N; 30N) 19. Délka obdélníku je o 12cm větší neţ jeho šířka. Zmenšíme-li kaţdý jeho rozměr o třetinu, zmenší se obsah o 60cm2. Určete rozměry obdélníku. (6;18) 20. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka jedné odvěsny o 2 cm kratší neţ délka přepony a délka druhé odvěsny je o 4 cm kratší, neţ délka přepony. Vypočtěte jeho obvod. (24 cm) 21. Obvod obdélníka je 28 cm, délka jeho úhlopříčky je 10 cm. Vypočtěte jeho obsah. (48 cm2) 9.9. Iracionální rovnice
– je NUTNÁ zkouška 1.
12
2.
7
x x
x
(3)
x 1
(3)
x 1 5
3. x-
2x
4. 21 +
(8)
7
5. 1 - 1 5 x
x x
6. 2 x
5
x
7. 4 x
6
x 1
8.
3x
(0)
2
(4) (19)
7 16
9. 6x - 13 x 10.
(28)
2 x 9 3
(83) 6 0
4 x 3 2
11.
2x
3
12.
3x 1
x
13.
2x
x 1
14.
x
15.
2x
4
16.
2x
5
17.
2( x 3)
18.
x2
19.
4x 3 2
2
4x 1
6 5
(4/9;9/4)
x
(9)
4
(2)
4 1
(5)
2
(-1;15)
1 x
8
(4) 5 1
(20)
x 1
(10)
3 x
6x 9
(3)
4
(7;-1)
x 1 2
(7)
29
20. x +
x2
2x
5
22. 10
x
23.
7x 8
24.
3x
25.
x 1
21.
7
9
21
(75/7)
x 1 8
(10)
6
10
x
(±6)
2
5x
4
(4;8)
x 1 2x
3
2
(-1;3)
5
(3)
30
10. Exponenciální a logaritmické rovnice Exponenciální rovnice
10.1.
Řešte v R a proveďte zkoušku: 1. 22x-1 = 8 1 2. 5 2u 81 3 3. 0,25x = 16 1 4. 3x 81 5. 45-x = 4x+3 6. 9 x 1. 7. 8.
3x
2x
3 3x
3
23
x
8
x
(-2) (-4) (1) (6)
2x
1 9
3x
43
(9/2)
3 2 x .27
1
27 3
92
(2)
(-1)
x 2x
16
2x 3
(-18)
2
5x 9. 25 x
25 3 5 4 x
5
10. 23 x 1.4 8 x 1. 11. 0,25.
1 4
12. 2 x
2x
1
1 2
(-8;2)
x
(2)
2x
1 2
1 1
2x
3
21 8
(-2)
13. 9x-1 . 32x-1 = 27 14. 3-5 . 273x-2 = 813x-7 15. 9 x
2
5x 3
3x
2
(3/2) (17/3)
4x 2
(-4;-2)
16. 3 x 3 9 17. 35m-8 = 9m-3
(4/3) (2/3)
18. 2x-4 = ( 2 ) 2 3 x 19. 26x . 2-(9+x) = 23x-5
(2) (2)
20. 5 2 x
1
25 x
21. 32 x
3
9x
1
1
1 2
6 6
(NŘ)
2
22. 2x -6x-2,5 = 16 2 2 23. 4 . 2x = 23x 24. 33 .272x-3 = 81 3x-5 25.
2 x . 3x
26. ( 1 -
5 ) 9
2 3x 2
(7;-1) (1;2) ( 7/3 )
36 9 ( )x 4
(4) 3 5
(-1/4) 31
100 . 0,001 1000 x
27.
1
(1/6)
28. x 3 x 3 .2 x 3 x 2 .8 9 9 29. 83x-1 . 5 –2 = 0,04 30. a(2x+1)(x-2) = 1 31. 3x+3x+1 = 108 32. 2x+2 –2x = 96 33. 3x+2 +3x-1 = 28 34. 5x+1 –5x-1 = 24 35. 7x+2 +2.7x-1 = 345 36. 3.2x-20 = 2x-1 10 37. 3x+3x+2 = 3 x x-2 38. 5 +3.5 =140 39. 3x+2 –3x-24 = 0 40. 52x-10.5x =375 41. 32x-12.3x+27=0 10.2.
(8) (1/3) (-1/2) (3) (5) (1) (1) (1) (3) (-1) (3) (1) (2) (2;1)
Logaritmus
1. Určete logaritmus: log2 2 5;
log 3 27;
log0,516;
log5
log10 10-2;
log2 42;
1 ; 5
log3 27-1;
log 3 1 ; 3
log2 1 ; 8
[5;3;-2;4;-3;-1;-3;-4;-1/2]
2. Určete neznámou: log3 x=4;
log2 x =5;
log3x=-1;
log4x=-2;
log4x=
1 ; 3
log5x = -
[81;32;1/3;1/16; 3 4 ;
log2x=0;
loga3=1;
loga1000 =3; loga16 =2;
loga3=3;
loga
loga 1 =-3; 27
1 1 = 3 3
loga
1 =3; 8
1 ;4;1] 5
loga 0,01=-2; loga 4=-2;
[3;10;4;3;1/2;10;1/2;
32
1 ; log4x=1; 2
3
3 ;1/27;]
3. Vypočti pomocí vět o logaritmování: (3) (-2)
1. log 20+log 50 2. log 0,1 20 – log 0,1 0,2 81 3. log3 7 + log3 ( ) 7 4. log5 50 – log5 2 5. log 4 + log 25 6. log 0,12 + log 0,15 - log 0,10,1 7. 3. log 24 + log 22 – 4 . log 22 8. log0,5 6 + log0,54 - log0,56 9. 4. log6 3 + 5. log6 2 - log6 12 10. 2. log 4 3 +5. log 4 2 - log 4 18 11. 3. log 62 + 4. log 63 - log 618 1 12. 2 log 3 27 log 3 1 log 3 log 3 3 27 10.3.
(4) (2) (2) (-2) (3) (-2) (3) (2) (2) (-1)
Logaritmické rovnice
Vypočtěte a proveďte zkoušku: Pozor na podmínky řešitelnosti!! 1. (-3) 2. (13) 3. log (x+1) – log(x-1) = log 4 (5/3) 4. log 10 ( x+2) + log 10 ( x-7) = 2. log 10 ( x-4) (10) 5. log (x+4) = log (3x-1) (2,5) 6. (NŘ) 7. (NŘ) 2 8. log2 (3+x) = log2 (x –17) (5) 9. log5 (4-3.x) = log5 1 (1) 10. log2 (y+2) + log2 (y+14) = log2 64 (2) 5 11. 2. log7 (x-1) = 0,5 . (log 7 x – log 7 x) ( po zkoušce 12. log 100 – log 5 = log y (20) 13. log (3x-1) –log (2x+2) = -1. log 2 (1) 14. log (4x-2) – log 3 = log 10 (8) 15. 2. log5 (x-2) = log 5 (14 –x) (5) 16. log (x+13) – log (x-3) = log 10 –log 2 (7) 9 17. log (x+2) – log (x-1) = log 100 – log 4 ( ) 8 18. log (7x+6) = log10 + log (3x-4) (2) 2 19. (log x) + 2. log x –3 = 0 (0,001 ; 10) 2 20. (log 3x ) – 3. log 3x –10 =0 (3-2 ; 35 ) 21. ( log 5 x )2 – 2. log5 x +1 = 0 (5) 2 22. ( log 2 x ) +5. log2 x +6 = 0 (2-2 ; 2-3 ) 23. ( log 7x )2 – 2. log7 x -3 = 0 (7-1 ; 73 ) 24. ( log 5 x )2 – 8. log5 x +16= 0 (54) 25. ( log 2 x )2 –121 = 0 (211 ; 2-11 ) 33
nemá řešení)
26. ( log 4 x )2 – log4 x -6 = 0 27. ( log 6 x )2 –6. log6 x -91 = 0 28. log(x-9) + 2. log x
29. log
5
2x 1
log 2 x
(43 ; 4-2 ) (6-7 ; 613 )
2
(13)
3 1 log 30
(6)
1 log( x 9) log 2 x 1 1 2 31. log3(x+1) + log3(x+3) = 1 1 2 1 32. 5 log x 1 log x
30.
(3;11/3) (0) (103;102)
3
33. 10 log y 0,001 34. log3(1-x) = log3 (x+16-x2) log x 35. lox 1
(0,1) (-3)
1
(10
9 )-log7x = log7(x-3) 4 37. log(x-1)+log(x+1) =3.log2 +log(x-2)
36. log7(2x-
1 2
)
(9/2) (3;5)
38. 3.logx +logx4 –log 3 x 5 39. log4 (x+3) – log4 (x-1) = 2 – log48
( 4 103 ) (5)
40.
(11)
41. 42.
(2) (2)
34
11. Goniometrie 1. určete základní velikost daných úhlů, určete kvadrant, ve kterém se nachází a určete jejich hodnotu pro funkce sin, cos, tg, cotg: 25 9 25 31 43 29 31 , , , , , 6 4 3 3 4 6 2 Goniometrické rovnice
11.1.
Vypočtěte goniometrické rovnice: 1. cos(300 +x) = -0,86
(119°20´+ k.360°; 180°40´+9 k. 360°) 5 ( 2k , 2k ) 3 3 5 ( 2k , 2k ) 6 6
2. 2.cos2x –7cosx +3=0 3. 1+sinx=3(1-sinx) 4.
tgx 1 2
3
1 tgx
(
5. sin(x+30°)=0,5
(
1 3 7. cos(2x+45°) = 0,6 5 8. cos2x= 8
6
k ) 2k ,
2k )
(130°56´+k.180°, 4°4´+k.180°) (25°40´+k.180° , 154; 20´+ k.180 )
2
(
3
0
(
11. cos2 x sin 2 x cos x
0
( (2k 1)
0
6
4 3
k ,
10. cos2 x sin 2 x sin x
12. sin 2x cos x
2 3
(9°13´+k.180°)
6. tg2x=
9. 4 cos2x
6
2k ,
2
(
14. 2cos2x +5cosx -3=0
(
15. 3cotg x =
3
(
16. tg2x =
3
(
2 3 3 3
k
2
(0+k 2 ,
18. 3tg2 x -
(
35
4
2k ,
3 2
,
)
k )
2
2k )
,k )
k )
17. cos2x –cos x = 0 3 tg x = 0
5 6
7 11 2k , 2 6 6 3 k , k ) 4 5 2k , 2k ) 3
( (2k 1)
13. 3.cotg2 x+3.cotgx =0
k )
2 ,
3 2
2k )
2k )
19.
3. cot g 2 x 4. cot gx
3
0
k ) 3 2 4 (0+2k , 2k , 2k ) 3 3 (90; +k.360° , 270; +k.360° ) (0 2k , 2k )
(
20. 2cos2 x =cos x +1 21. cos2x –sin2x +1=0 22. 2sin2x = cos2x-1 23. 6cos2x +sinx –5=0
11.2.
k ,
(30°+k.360°, 150°+k. 360°, 199°28´+k.360°, 340°32´+k.360°) (30°+k.360°, 150°+k.360°) 1 5 2k , 2k ) ( (2k 1) , 2 6 6
24. 2.cos2 x –3sinx =0 25. 2 sin 2x 2 cos x
6
0
Úpravy goniometrických výrazů
Zjednodušte výrazy, popř. uveďte podmínky řešení (definiční obor): 1. sin2x cosx + cos3x 2. (1-sinx)(1+ sinx) 1 3. 1 cos2 x 4.
(cosx) (cos2x) (tg2x)
1 sin 2 x 1 cos 2 x
(cotg2x)
cos 2 x 5. 1 sin x 6. sinx+cosxtgx 7. sinx cosx(tgx + cotgx) 8. (sinx + cosx)2-(sinx –cosx)2 sin x 9. cotgx + 1 cos x cos x cos x 10. 1 sin x 1 sin x
(1-sinx) (2sinx) (1) (2) 1 ( ) sin x 2 ( ) cos x
36
11.3.
Sinová a kosinová věty
1. Určete zbývající strany a úhly v trojúhelníku ABC, jeli dáno: a) a=37 cm; = 44 10´; = 33 16´ (102°34´; 29 cm, 52 cm) b) b = 44 cm ; = 100° 10´; = 71°11´ (8°39´; 46 cm, 7 cm) c) b = 38 cm; = 14 14´; = 74 15´ (91°31´; 9 cm, 37 cm) d) c = 48,5 cm; = 72 28´; = 55 49´ (51°43´; 58,9 cm, 51,1 cm) e) c = 154 cm; = 5 10´; = 10 14´ (164°36´; 52,2 cm, 103 cm) f) a= 13,8 cm; b = 14,4 cm; = 72°10´ (65°48´; 42°02´, 10,1 cm) g) b= 5,4 cm; c = 6,8 cm; = 24°11´ (31°03´; 124°46´, 10,8 cm) h) a = 65 cm; b = 46 cm; = 42°35´ (28°37´; 108°48´, 90,9 cm) i) b= 14,5 cm; c = 25,8 cm; = 54°28´ (nemá řešení) j) b = 13,4 cm; c = 16,3 cm; = 70°12´ (59°08´; 50°40´, 14,9 cm) k) a = 5,2 dm; c = 8,8 dm; = 52°08´ (27°48´; 100°04´, 11 cm) l) a = 40m; = 26 38´; = 89 40´ (63°42´; 89,2 cm, 80 cm) m) b = 225mm; = 107 35´; = 30 40´ (41°45´; 420,5 cm, 293,7 cm) n) b = 79,5cm; = 65°20´; = 54°40´ (60°; 75,8 cm, 71,4 cm) o) c = 210 mm; = 62 32´; = 48 56´ (68°32´; 200,2 cm, 170,1 cm) p) a = 165; = 40°50´; = 69°20´ (69°50´; 114,9 cm, 164,5 cm) q) b = 722; = 108°40´; = 49°25´ (21°55´; 1469 cm, 1833 cm) r) c = 3,54; = 35°50´; = 52°45´ (91°25´; 2,6 cm, 4,45 cm) 2. Určete velikost úhlů v trojúhelníku ABC a velikost stran, je –li dáno: a) a = 7; b = 4; = 38° (4,6; 109°23´;32°37´) b) b = 32; c= 40; = 100°21´ (55,5;34°32´;45°07´;) c) a = 10,9; c = 15,2; = 67° (14,8;42°31´;70°29´) d) b = 51,32; c = 34,76; = 89°57´ (61,96;55°55´;34°08´) e) a = 16; b = 25; c = 36; (22°20´;36°25´;121°15´) f) a = 4,2; b = 3,8; c = 5,5; (49°40´;43°37´;86°43´) g) a = 5; b = 6; c = 7; (44°25´;57°07´;78°28´) 11.4. Slovní úlohy na sinovou i kosinovou větu 1. V jakém zorném úhlu se jeví předmět 70m dlouhý pozorovateli, který je od jednoho jeho konce vzdálen 50m a od druhého konce 80m? (60°) 2. Určete velikost zorného úhlu, pod nímţ vidí pozorovatel předmět 12m dlouhý, je-li od jednoho konce vzdálen 15m a od druhého 24m? (24°9´) 3. Dvě obce A,B odděleny lesem; obě viditelné z obce C, která je s oběma spojena přímými cestami. Jak dlouhá je projektovaná cesta z A do B, je-li AC = 2 003m; BC = 1 593m a ABC = 63°23´? (2 122,2m) 4. Cíl C je pozorován ze dvou dělostřeleckých pozorovatelen A,B, které jsou od sebe vzdáleny 975m, přitom BAC = 63°; ABC = 48°. Vypočítejte AC . (776m) 5. Dvě důlní štoly vychází ze stejného místa P v šachtě a svírají úhel o velikosti 51°45´. Délky štol jsou: PQ = 479m; PR = 796m. Vypočítejte délku spojovací štoly QR . (625m) 37
6. Dvě přímé ţelezniční trati se sbíhají ve stanici pod úhlem o velikosti 64°20´. Z této stanice vyjely současně dva vlaky, kaţdý po jiné trati. Jeden jel rychlostí 11 m .s -1 a druhý rychlostí 15 m.s-1. Jak daleko byly od sebe za jednu hodinu a 16 minut? (64,98 km) 7. Jsou dány velikosti sil P=84,5N a Q= 47,8N. Síly P a Q svírají úhel o velikosti 56°40´. Jak veliká je jejich výslednice R a jaké úhly svírá síla R se silami P a Q ? (117,75N; 36°50´;19°50´) 8. Sílu o velikosti F = 2 217,6 N je třeba rozloţit na dvě sloţky, které s ní svírají úhly o velikostech = 46°32´a = 54°12´. Vypočítejte velikosti sloţek F1 a F2. (1830,6N; 1 638,1N) 9. Síly o velikostech F1 = 42N a F2 = 35N působí ve společném bodě a svírají úhel o velikosti 77°12´. Jak veliká je výsledná síla F? ( ?60,32N ?) 10. Sílu o velikosti F = 300N rozloţte na sloţky F1 , F2 . První sloţka svírá se silou F úhel o velikosti 47°14´a druhá úhel o velikosti 18°53´. Určete velikosti sil F1 , F2 . (106,2N; 240,9N) 11. Po přímé cestě jede vojenská kolona. Radiolokátorem leţícím v místě A mimo cestu bylo zjištěno, ţe vzdálenost místa A od čela kolony C je 14 350m, vzdálenost místa A od konce kolony Z je 13 840m a velikost úhlu CAZ je 13°32´. Vypočítejte délku kolony. (3360m) 12. Dvě rovné silnice spolu svírají úhel 40°. Z průsečíku silnic vyjedou ve stejný okamţik auto a cyklista. Auto jede po jedné silnici rychlostí 10 m/s, cyklista po druhé rychlostí 5 m/s. Jaká je jejich přímá vzdálenost po 20 s jízdy? (139 m) 13. Na poušti Turban jsou tři oázy. Z oázy Džufra vycházejí dvě cesty k oázám Kufra a Salama, které svírají úhel 60°. Z Dţufry do Kufry dorazí velbloud za 8 hodin, z Dţufry do Salamy za 12 hodin. Za jak dlouho dorazí z Kufry do Salamy? (cca 10,5 hod)
38
12. Stereometrie 1. Délky hran kvádru jsou v poměru a:b:c = 1:2:3, tělesová úhlopříčka má délku u t = 504 . Vypočtěte objem a povrch kvádru. ( 1296; 792) 2. Vypočtěte hmotnost krychle o hraně délky 15cm vyrobené z dubového dřeva ( ( 2,7kg) 800kg.m -3). 2 3. Povrch kvádru je 1714 cm , hrany podstavy mají délku 25cm, 14cm. Vypočtěte obsah pláště. (1014cm2) 4. Délky hran kvádru jsou v poměru 2:4:6. Vypočtěte jejich délky, víte-li, ţe povrch kvádru je 5 632m2. ( 16m;32m;48m) 3 5. V bazénu tvaru kvádru je 150m vody. Určete rozměry dna, je-li hloubka vody 250cm a jeden rozměr dna je o 4m větší neţ druhý. (6m;10m) 6. Vypočtěte objem kolmého hranolu, je-li délka výšky 12cm, podstava je trojúhelník se stranami o délkách 9cm, 10cm, 11cm. (509cm2) 7. Je dán rotační válec: a. r=5cm; v=10cm; vypočítejte Spl, S, V. (314cm2, 471cm2, 785cm3) b. Spl= 400cm2,v = 8cm; vypočítejte r,V. (7,96cm, 1592cm3) c. Spl= 1m2;r = 10cm; vypočítejte v, V. (0,32m, 0,25m3) d. V= 0,5m3; r = 0,6m; vypočítejte v, S. (0,44m, 3,93m2) 8. Válcová cisterna má délku 8m a obsahuje 40m 3 benzínu. Jaký je její vnitřní průměr? (2,52m) 9. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška. Jaký je průměr a výška válce o objemu 1litr? (0,74dm; 2,325dm) 10. Je dán kolmý pravidelný trojboký jehlan: a. a=5cm; v = 8cm; vypočtěte V, S. (28,87cm3; 71,8cm2) b. V = 173,2cm3; v = 12cm; vypočtěte a,vs. (10cm, 13,3cm) 11. Je dán kolmý pravidelný jehlan: a. Čtyřboký: a= 6,5cm; vs = 7,5cm; vypočtěte V, Spl. (83,4cm3; 87,9cm2) b. Čtyřboký: V = 212m3; a = 7,2m; vypočtěte v, vs. (12,27n, 13,28m) 12. Vypočtěte objem a povrch pravidelného šestibokého hranolu (pomocí tabulek), je-li dáno: a. Délka podstavné hrany = 5,5cm; výška hranolu je 18cm(1414,6cm 3;751,2cm2) b. Poloměr opsaný podstavě =8cm; výška hranolu je 28cm (4655,8cm3; a=r=8cm; 1676cm2) c. Poloměr vepsaný podstavě =9cm; výška hranolu je 8cm (2244,74cm3;a=10,4;1060cm2) 13. Vypočtěte objem a povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu o podstavné hraně a=84cm a boční hraně b=130cm. ( 271 979cm3; 27 724,78cm2) 14. Vypočtěte objem a povrch pravidelného čtyřbokého jehlanu o boční hraně b=7,4cm a výšce v=5,9cm. (78,47cm3; 124,444cm2) 15. Vypočtěte povrch a objem pravidelného komolého čtyřbokého jehlanu o podstavných hranách a1= 16cm, a2= 7cm, jehoţ výška je v=15cm. (2085cm3; 1025,381cm2) 16. Pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV má podstavnou hranu 8 cm a tělesovou výšku 10 cm. a) vypočtěte úhel, který svírá boční hrana s rovinou podstavy (51°20´) b) určete průsečík (jestli existuje) roviny podstavy a roviny DEV. (přím.DE) 17. Pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV má podstavnou hranu 8 cm a tělesovou výšku 3 cm. a) vypočtěte délku stěnové výšky (5 cm) b) určete vzájemnou polohu rovin ABC a DAC. (totoţné) 39
18. Obvod podstavy rotačního válce je tak velký, jako jeho výška. Jaký je průměr a výška válce o objemu 1 litr? (d = 7,4 cm; v = 23,2 cm) 19. Hrnec má průměr 10 cm. Jaký průměr má stejně vysoký hrnec, má-li dvojnásobný objem? (14,1 cm) 20. Vypočtěte objem nádoby tvaru pravidelného komolého čtyřbokého jehlanu, jehoţ dolní podstavná hrana má délku 24 cm, horní podstavná hrana má délku 56 cm a boční strana má 36 cm. (54 352 cm3) 21. Vypočtěte povrch a objem rotačního kuţele o poloměru podstavy r=6cm a výšce v= 12cm. (452 389cm3; 365,99cm2) 22. Do kvádru se čtvercovou podstavou o hraně 1 m a výšce 2 m je vepsán válec. O kolik je objem tohoto válce menší, neţ objem kvádru? (o 0,43 m3) 23. Vypočtěte povrch a objem rotačního kuţele, který má poloměr podstavy r=9,6cm a stranu s=14cm. (983,453cm3; 711,759cm2) 24. Vypočtěte povrch a objem rotačního kuţele, jehoţ strana s=4,8cm svírá s rovinou podstavy úhel (37,869cm3; 79,37cm2) 48 44´ . 25. Vypočtěte povrch a objem rotačního komolého kuţele, jehoţ poloměry podstav jsou 6m a 4m a jehoţ výška je 5m. (397,935cm3; 332,543cm2) 26. Povrch rotačního komolého kuţele je S= 7 497m2. Průměry podstav jsou 56m a 42m. Určete výšku kuţele. (22,644138m) 2 27. Povrch krychle je 150 cm . Jaký je povrch válce, který je do ní natěsno vloţen? (117,75 cm2) 28. Kvádr ABCDA´B´C´D´ má délky hran |AB| = 4 cm, |BC| = 5 cm, |AA´| = 3 cm. Určete: a) vzdálenost hran |BC| a |D´A´| (5 cm) b) vzájemnou polohu přímek AB a A´C´ (mimoběţky) 29. Vypočtěte objem a povrch koule o poloměru r=10,365cm. (4 644,2cm3;1 346,1 cm2) 30. Objem koule je 100cm3. Určete její povrch. (104,188cm2) 31. Povrch koule je 100cm2. Určete její objem. (94,03cm3) 32. Vypočítejte povrch a objem Země, předpokládáme-li, ţe má tvar koule s délkou rovníku 40 000km. (1,08.10-12 km3 ; 509 295 818 km2 ) 33. Poloměr koule je 1dm a hmotnost 1kg. Určete její hustotu. (238,732 kg.m -3 ) 34. Jakou hmotnost má těleso tvaru činky sloţené ze dvou koulí o průměru 10cm a příčky tvaru válce o poloměru 1,2cm a délce 25cm. Hustota tělesa je 780kg.m -3. (0,905kg)
40
13. Posloupnosti Napište prvních 6 členů posloupnosti: 1. an = (2n+1):n 1 2n 2. an= n 2 n 3. an= (-1)n . 2 n 1 n2 1 4. an = (-1)n+1 . 2 n 1 5. an= 6-n 6. an = n(2n-1) 7. an = 0,4. 1-(-1)n
(3;2/5;7/3;9/4;11/5;13/6;) (-1/3;-3/4;-1;-7/6;-9/7;-11/8;) (-1/2;2/5;-3/10;4/17;-5/26;6/37;) (0;-3/5;8/10;-15/17;24/26;-35/27;) (5;4;3;2;1;0) (1;6;15;28;45;….) (0,8;0;0,8;0;0,8;0) ( 1 , 1 ,3, 1 , 5 , 3 ) 2 2 8 4 32 32 (0,2,6,12,20,30)
-n
8. an = n.2
9. an = n.(n-1) Napište prvních 6 členů posloupnosti dané rekurentně: 1. an+2 = an+1 - an ; je-li a1 =1;a2=2 2. an+2 = an+1 + an ; je-li a1 =0; a2=1 3. an+2 = 2an+1 - 3an ; je-li a1 =4;a2=2 a 4. an+2 = n 1 ; je-li a1 =1;a2=2 an 5. 6. 7. 8.
an+1 = an - an-1 ; je-li a1 =1; an+1 = 4an ; je-li a1 =3; an+1 = an –1,5 ; je-li a1 =3,5; a1 = -1, a2 = -3, an+2 = (an + an+1).0,5
(1;2;1;-1;-2;-1;) (0;1;1;2;3;5;) (4;2;-8;-22;-20;26;) (1/2;1/4;1/2;2;4;2;) (1;2;1;-1;-2;-1;) (3;12;48;192;768;…;) (3,5;2;0,5;-1;-2,5;…;) (-1; -3; -2; -2,5; -2,25)
9. a1 = 2, a2 = 3, an+2 = an - an+1
(2,3,-1,4,-5,9) (5,9,13,17,21,25)
10. a1 = 5, an+1 = an + 4 11. a1=1,an+1=2an 12. a1=3,an+1=an+2
(1,2,4,8,16,32,64) (3,5,7,9,11,13,15)
13. a1=1,an+1=an+2n+1
(1,4,9,16,25,36)
Aritmetická posloupnost (an) n=1 (dále jen AP) A) Napište prvních 5 členů AP a určete, kdy je rostoucí a kdy klesající: 1. a1=2; d= 1 (2;3;4;5;6) 2. a1=4; d= -2 ( 4;2;0;-2;-4) 3. a1=3; d= 0,5 (3;7/2;4;9/2;5) 4. a1=-3/4 ; d= ¼ (-3/4;-1;-5/4;-3/2;-7/4) 5. a1=-3; d= 2 (-3;1;1;3;5) rostoucí 6. a1=5; d= -2 (5;3;1;-1;-3) klesající 7. a1=1/2; d= ½ (1/2;1;3/2;2;5/2) rostoucí 13.1.
41
8. a1=-1/2; d= ¾ 9. a1=7; d= -3 10. a1=3/5; d= -2/5
(-1/2;1/4;1;7/4;5/2) rostoucí (7;4;1;-2;-5) klesající (3/5;1/5;-1/5;-3/5;-1) klesající
B) V AP určete daný člen, popř. součet prvních n-členů: 1. a1=1;d=2 ; a10 (19) 2. a1=-3;d=-2 ; a15 (-31) 3. a1=1/2 ;d=1/3 ; a9 (19/6) 4. a1=3;d=4 ; a12 ;s15 (47; 465) 5. a1=-1;d=-2 ; a7; ;s20 (-13; -400) 6. a5=9; d=7 ; a3 ; (-5) 7. a10=20;d=-3 ; a21 ;s21 (-13;357) 8. a100=1;d=0,1;s21 (-165,9) 9. a6=-3; a15 = -8; d; a10 (-5/9; -47/9) 10. a20=35; a30 = 55; s135 ( 17 685) 11. a2=5; a3 = -2; s64 (-13 344) 12. a4=7; a8 = -1; s84 (-5 880 ) C) Určete a1, d a proveďte zkoušku: 1. a2 +a6 = 18 a4 +a9 = 38 2. a2+a6 = 32 a4+a5 = 36 3. a2+a7= -1 a3-a5= 6 4. a1-a8= 14 a3+2a2=7 D) 1.
(-3; 4) (4;4) (10;-3) (5;-2)
Určete číslo x tak, aby čísla a1 - a3 tvořila tři následující členy AP: a1
x2
x
a2
x2
4x 4
a3
16
2.
V AP je a1
3.
Tři čísla, která tvoří 3 následující členy AP mají součet 60 a součin 7500. Určete je. [15,20,25 nebo 25,20,15] V AP je a1 3, d 4 .kolik členů musíme sečíst, aby byl součet větší neţ 250? [11] Šestý člen aritmetické posloupnosti s diferencí rovnou 4 je 40, kolikátý člen je roven číslu 100 ? [ 21] Třetí člen aritmetické posloupnosti je 12, devátý je -12. Kolik členů je potřeba sečíst, aby jejich součet byl 0 ? [11] Pátý člen aritmetické posloupnosti s diferencí rovnou -2 je 30, kolikátý člen je roven číslu -8 ? [24.]
4. 5. 6. 7.
20; d
[x1 = 1;x2 = -8]
4 , kolikátý člen je roven 100?
42
[21]
13.2. A) 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Geometrická posloupnost (an) n 1 (dále je GP)
Napište prvních 5 členů GP a určete, zda je rostoucí, klesající: a1=2; q = 2; ( 2;4;6;8;10) rostoucí a1=3; q = -2; ( 3;1;-1;-3;-5) klesající a1=-4 q = ½ (-4;-2;-1;-1/2;-1/4; ) klesající a1=1/4 ; q = -1/2; (1/4;-1/8;1/16;-1/32;1/64 ) a1=1 ; q = 1/2; (1/21/41/81/16) klesající a1=16 ; a2 = 24 (36;54;81) rostoucí
7. a4=4
; a6 = 80;
8. a3 = 8; a7 = 128; B) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
5 2. 5 ;1/5; ; 4; 8. 5 ; 80) 50 5 (2;4;8;16;32; 2;-4;8;-16;32) rostoucí;
(
V GP určete daný člen, popř. součet prvních n- členů: a5=1; q= 3; a8 ( 27) a5= 9; a7=1; a13 (1/729) a9=36; q= -1/2; a2 (-4 608) a4= -8/3; a6 = -32/3; a1; s6 (-1/3; -21; 1/3;-7) a3=18; a6 = 486; q;a1; a7 (3;2;1 458) a4= 54; a7 = 1 458; a10 (39 366) a1=2; a6= 486; s6 (728) a5 =16; a8 =128;a7; s7 (64; 127) a1 =1/16; a5= 16; q; s10 ( 4; 349525/16; -209715/16)
C) Určete a1; q a proveďte zkoušku: 1. a1 –a2 = 4 a2 –a4 = 3
(q= ½; -3/2; a1 = 8; 8/5; )
2. a1+a2 = -4 a2 –a4 = 24/25 ( q = 6/5; -1/5; a1 = -20/11; -5) 3. Vypočítejte an a sn geometrické posloupnosti, je-li dáno: a1 = 1,5 , q = 2, n = 6 [a6 = 48, s6 = 94,5] 4. Vypočítejte an a sn geometrické posloupnosti, je-li dáno: a1 = 16 , q = 0,5 , n = 5 [a5 = 1, s5 = 31] 13.3. 1. 2. 3.
4.
Posloupnosti – užití
Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 12 cm. Vypočtěte strany, obvod a obsah. (9;12;15;36;54) Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Přepona je 30 cm. Určete odvěsny. (18;24) Trubky jsou srovnány v osmi řadách nad sebou tak, ţe vrchní řada má 13 trubek a kaţdá další řada o 1 trubku více. Kolik je všech trubek? Kolik je trubek ve třetí řadě odshora? (132;15) Tři čísla, která tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti, mají součet 60 a součin 7 500. Která čísla to jsou? (15;20;25;;25;20;15) 43
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12. 13.
14.
15.
Pětistupňový kotouč má nejmenší průměr d= 100 mm, největší D= 340 mm. Určete ostatní, tvoří-li tyto průměry aritmetickou posloupnost. (160;220;280) Najděte aritmetickou posloupnost, v níţ součet prvních tří členů je 27 a součet dvojmocí týchţ členů je 275. (5;9;13;;13;9;5) Dělník vyrobí za směnu 26 součástek. Kolik součástek vyrobí celkem za 18 dní, bude-li kaţdý den zvyšovat počet výrobků o jeden? (621) Konzervy jsou sestaveny do řad nad sebou tak, ţe počet konzerv klesá od nejniţší po nejvyšší řadu o stejný počet. Ve spodní řadě je 28 konzerv, v horní řadě je 7 konzerv. Ve všech řadách je celkem 140 konzerv. Určete počet řad a počet konzerv ve třetí řadě shora. (8 řad; 13) Tři čísla po sobě jdoucí tvoří aritmetickou posloupnost, dvojnásobek jejich součtu je 228 a jejich součin je 53 010. určete tato čísla. (31;38;45) Trubky jsou srovnány do 26 řad, v horní řadě je 54 trubek, v kaţdé další je o 1 trubku více. Kolik je všech trubek? Kolik trubek je v 10.řadě shora? (1 729; 63) Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost, přepona je 56 m. Určete odvěsny a obsah trojúhelníku. (33,6; 44,8; 752,64) Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 48 cm. určete strany pravoúhlého trojúhelníku, obvod a obsah. (36; 48; 60; 144,864) Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Kratší odvěsna je 36 dm. Určete strany pravoúhlého trojúhelníku, obvod, obsah. (36; 48; 60; 144,864) 1 Součet prvních 11 členů GP je 683. Vypočtěte první a poslední člen, je-li q= . ( 1 024; 1) 2 Součet prvních n členů GP je 6141, první člen je 3, poslední člen je 3 072. Vypočtěte počet členů a kvocient této posloupnosti. (q=2; n=11) 3 ] 2
16.
Mezi čísla 8 a 27 vloţte pět čísel tak, aby vznikla geometrická posloupnost.
17.
Přičteme-li k číslům 2,7,17 totéţ číslo vzniknou 3 po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Určete je. [5, 10, 20] Mezi čísla 8 a 128 vloţte tři čísla tak, aby vznikla geometrická posloupnost. [ q = 2] Dělník vyrobí za směnu 35 součástek. Kolik součástek by vyrobil za 16 dní, kdyby zvyšoval svůj výkon o 2 součástky denně? (800) Cena nového zařízení je 86 400 Kč. Opotřebením se ročně znehodnotí o 20%. Jaká bude jeho hodnota po 10-ti letech? (9277) Počet obyvatel města vzrostl za 10 let z 56 000 na 72 800. Jaký byl roční přírůstek obyvatel v procentech? (2,9) V cirkusu jsou místa k sezení pro diváky v jednom sektoru uspořádána tak, ţe v kaţdé vyšší řadě je o jedno místo víc neţ v předchozí. Kolik míst je v sektoru o 22 řadách, jestliţe je v první řadě 8 míst? [407] Ţelezné roury jsou srovnány v 10 řadách nad sebou tak, ţe vrchní řada má 15 trubek a kaţdá další řada o 1 více. Kolik je všech trubek? [195]
18. 19. 20. 21. 22.
23.
44
[q =
14. Kombinatorika 14.1.
Variace, permutace
1. Kolik trikolór je moţno sestavit ze čtyř barev? V kaţdé trikolóře se můţe barva vyskytovat jen jednou. (24) 2. V prvním ročníku se vyučuje 12 předmětům. Kaţdý předmět se učí nejvýše jednu hodinu denně . Kolika způsoby se dá sestavit rozvrh hodin na jeden den, je-li v témţe dni 6 různých předmětů? (665 280) Kolika způsoby se dá sestavit rozvrh hodin na jeden den, je-li v témţe dni 6 různých předmětů a matematika se učí 1.hodinu? (55 440) Kolika způsoby se dá sestavit rozvrh hodin na jeden den, je-li v témţe dni 6 různých předmětů a učí se matematika? (332 640) 3. Kolik trojciferných přirozených čísel lze napsat pomocí číslic 1,2,3,4,5 tak, aby se ani jedna číslice neopakovala? (60) 4. Kolik všech přirozených čísel lze napsat pomocí číslic 1,2,3,4,5 tak, aby se ani jedna číslice neopakovala? (325) 5. Kolik trojciferných přirozených čísel lze napsat pomocí číslic 1,2,3,4,5 menších neţ 400 tak, aby se ani jedna číslice neopakovala? (36) 6. Kolik přirozených čísel lze napsat pomocí číslic 1,2,3,4,5 menších neţ 400 tak, aby se ani jedna číslice neopakovala? 7. Kolika způsoby lze umístit na polici 7 různých knih? (5040) 8. Kolika způsoby můţe vyběhnout 6 závodníků na trať? (720) 9. Kolika způsoby si můţe 5 osob rozdělit funkci předsedy, místopředsedy, pokladníka, nástěnkáře a mluvčího? (120) 10. Kolik čtyřciferných přirozených čísel lze sestavit z číslic 2,4,6,8 tak, aby se ţádná číslice neopakovala? (24) 11. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro třídu, v které se vyučuje 12 předmětům, má-li na tento den připadnout 6 různých jednohodinových předmětů? (665280) 12. Značky Morseovy abecedy jsou jedno aţ pětičetné skupiny skládající se z teček a čárek, ve kterých záleţí na pořadí. Určete počet všech trojčetných značek. (8) 13. Kolik přirozených čísel menších neţ 5 000 lze vytvořit z číslic 0,3,4,5, jestliţe se ţádná číslice neopakuje ? (49) 14. Kolik různých 5 ti korálkových náramků se dá vytvořit z 8 ţlutých a 10 modrých korálků? (32) 15. Pro 13 účastníků soutěţe je připravena zlatá, stříbrná a bronzová medaile. Kolika způsoby mohou být tyto medaile rozděleny? (1716) 16. Kolik přirozených čísel větších neţ 400 lze vytvořit z číslic 0,3,4,5, jestliţe se ţádná číslice neopakuje? (30) 17. Mezi osmi knihami jsou tři historické romány, které chceme uloţit v knihovně vedle sebe. Kolik je způsobů uloţení knih za této podmínky? (4320) 18. Kolik přesmyček lze vytvořit ze slova STAROSTA ? (5040) 19. Kolika způsoby je moţno posadit do řady 6 dětí, jestliţe Roman s Ivetou chtějí sedět vedle sebe? (1440) 45
20. O telefonním čísle svého spoluţáka si Vašek zapamatoval to, ţe je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje ţádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu. (420)
14.2.
Kombinace
1. Ve třídě je 30 ţáků, z nichţ 3 budou zkoušeni. Kolikerým způsobem je to moţné? (4 060) 2. Ve třídě je 22 dívek a 9 chlapců. Kolikerým způsobem je moţno sestavit delegaci, v níţ by byly: a. dvě dívky a dva chlapci? (8316) b. Tři dívky a jeden chlapec? (13 860) c. 1 dívka a dva chlapci? (792) 3. V urně je 8 bílých a 10 černých koulí. Kolikerým způsobem je moţno vytáhnout: a. Dvě bílé a jednu černou kouli (280) b. Dvě bílé a dvě černé koule, (1260) c. Tři bílé a dvě černé koule, (2520) d. Dvě bílé a tři černé koule? (3360) e. Tři koule stejné barvy? (176) 4. Učitel má k dispozici 15 snadných příkladů a 12 obtíţnějších příkladů. Kolik písemných prací můţe sestavit, má-li na písemnou práci vybrat : a. 2 snadné a 2 obtíţnější příklady, (6930) b. snadné a 1 obtíţnější příklady, (5460) c. 4příklady stejné obtíţnosti? (1860) 5. V kolektivu je 18 muţů a 16 ţen. Má být vybráno na rekreaci 7 osob. a. Kolikerým způsobem je to moţné, mají-li být vybráni 4 muţi a 3 ţeny? (1713600) b. Kolikerým způsobem je to moţné,mají-li být nejvýše 2 ţeny? (1357008) 6. Na sněhové pláni stojí 6 domů. Kolik cestiček musí vyházet, aby se dostal kaţdý ke kaţdému přímo? (15) 7. Kolika způsoby je moţné ze 7 chlapců a 4 děvčat sestavit šestičlenné druţstvo tak, aby v něm byla alespoň dvě děvčata? (371) 8. Zkoušející má k dispozici 20 geometrických a 30 aritmetických příkladů. Na písemnou zkoušku má vybrat 1 geometrický a 2 aritmetické příklady. Kolik je moţností sestavení zkoušky? (8700) 9. Na potápějící se lodi je 10 muţů a 6 ţen. Do člunu se vejde 8 lidí. Kolika způsoby se mohou nalodit, jestliţe: a) mají být zachráněny všechny ţeny? (45) b) má být zachráněna polovina muţů a polovina ţen? (5040) 10. Do nemocnice přivezli 5 pacientů se zlomenou nohou a 6 pacientů se zlomenou rukou. Kolika způsoby je moţno obsadit 4 lůţkový pokoj, jestliţe na něm mají být: a) právě 2 pacienti se zlomenou rukou? (150) b) maximálně jeden se zlomenou nohou? (115) 11. V rovině je dáno 8 bodů. Kolik přímek lze jimi určit, jestliţe ţádné tři z nich neleţí v jedné přímce? Kolik přímek je určeno, leţí-li právě 4 body na jedné přímce? (28 a 23)
46
1. Vyjádřete jediným kombinačním číslem -
Kombinatorické rovnice, binomická věta
14.3.
1. Vyřešte, uveďte podmínky řešitelnosti a proveďte zkoušku: - ( 34 ).( xx 11 ) ( 53 ).( xx 1 ) ( 32 ).( 42 ) 0
(2)
-
( xx 24 ) ( xx 35 ) 16
(7)
-
30x! = (x+2)! ( 2x ) ( xx 13 ) ( 64 ) ( 04 )
(4) (5)
-
( 14 ).( xx 11 ) ( 64 )
( xx 1 ).( 52 ) ( 32 )
(2)
-
( 12 ).( xx 2 ) ( xx 12 )
( 42 ).( 32 ) ( 36 )
(5)
-
( xx 2 ) ( xx 1 )
-
( xx 2 ) ( xx 1 )
5x 2
(4)
x2 1 2 x x 1 6 ( 2 ) ( x 3 ) ( 4 ) ( 04 )
6 5
x 2 x 4
4 2
) ( )(
x 1 x 3
)
(NŘ) (5)
9 1
6( )
(5)
2(10 8 )
(5)
-
( )(
-
x 1 (10 ( 53 )( xx 24 ) 9 )( x 3 )
-
( xx 12 ) ( xx 24 )
4
(4)
-
( xx 13 ) ( xx 24 )
9
(5)
-
x!=380(x-2)!
-
(n 6)! (n 4)! n (n 4)! (n 5)!
-
10 17 n (n 1)!
-
( x 3)! ( x 1)! ( x 2)!
-
( 3x ) ( 3x 2 ) ( 3x 4 )
-
( x 3)! ( x 1)! ( x 2)!
(20)
4 (n 1)!
5n 80
(5)
0
(2)
3
(3) x 3 176 2
(6)
3
(3)
47
-
( x 4)! ( x 2)! ( x 3)!
3
(4)
2. Určete pátý člen binomického rozvoje mocniny: 1 - (x - )11 x 2 8 - ( x2 ) x - devátý člen (3- 3 )12
3247695 (330 x 3 ) (1120 x 4 )
(3247695)
3)7
-
čtvrtý člen
(-2 +
-
čtvrtý člen
(-3+ 2 ) 6
-
šestý člen
( 4x
(1680 3 ) ( 1080 2 )
1 8 ) 3x
3584 243 x 2
3. Pomocí binomické věty umocněte: 2) 5
-
( 2
-
(a-3)6=
(a 6 18 a 5 135 a 4
-
2 (3x2- ) 4 x
(81x 8
-
(3. 2
-
( 2
2. 3 ) 4
-
( 5
3) 7
-
(x3
2 y) 5 =
( x15 10 x12 y 40 x 9 y 2
-
(2 x
y 3 )5
(32 x 5
-
1,2 5 =
(2,48832)
-
2,15 =
(40,84101)
2. 3 ) 5
(0,06897577)
216x 5
540 a 3 1215 a 2 1458 a 729 )
216x 2
192 x
81 ) x4
(0,286023729) (17,65714881) (0,008262611252) 80 x 4 y 3
48
80 x 3 y 6
80 x 6 y 3
80 x 3 y 4
40 x 2 y 9 10 xy 12
32 y 5 ) y 15 )
15. Statistika 1. Vypočítejte průměrný počet osob ošetřovaných na stanici první pomoci, bylo-li v lednu ošetřeno celkem za 31 dní 286 nemocných, v únoru za 28dní 252 nemocných, v březnu za 30 dní 272 nemocných. (9 osob) 2. Průměrný hektarový výnos cukrovky je na statku 32,4 tun, na druhém 29,1 tun a na třetím 36,5 tun. a) Vypočítejte průměrný výnos ze všech tří statků, mají-li přibliţně stejnou rozlohu sklizňové plochy. (32,7 t; ) b)Jaký bude celkový průměrný výnos na všech statcích další rok, kdyţ předpokládáme stejné výnosy, ale na prvním statku je zaseto 150ha, na druhém je zaseto 80ha a na třetím 121ha? (33,1 t; ) 3. Průměrný hektarový výnos brambor je 15,9t na 125ha, 13,5t na 80ha, 12,3t na 20ha. Vypočítejte průměrný hektarový výnos, určete modus a medián. (14,7t;modus=15,9t; medián=15,9t(113.člen)) 4. První dělník nalakuje skříňku za 4 minuty, druhý za 6 minut a třetí za 3 minuty. a. Vypočítejte průměrnou pracnost lakování skříňky. (harmonický průměr) (4min) b. Kolik skříněk nalakují všichni tři dělníci za hodinu? (45 skříněk) 5. 7 studentů vysázelo po 8 stromcích, 5 studentů po 9 stromcích, 4 studenti po 7 stromcích a 9 studentů po 11 stromcích. Kolik vysázených stromků připadá průměrně na jednoho studenta? Určete modus a medián. (9 stromků, modus=11 stromků; medián= 9 stromků) 6. Ve třídě 3.A měli ţáci následovanou měsíční absenci: u 10 ţáků to bylo 25 hodin, u 5 ţáků to bylo 37 hodin, u 8 ţáků to bylo 59 hodin, u 9 ţáků to bylo 36 hodin. Určete průměrnou absenci, modus a medián.
(x
38,46 , med
49
59 , mod
25 )
16. Pravděpodobnost 1. Jaká je pravděpodobnost, ţe při jednom hodu hrací kostkou padne: a. Číslo 6? (1/6) b. Sudé číslo? (1/2) c. Sudé nebo liché číslo? (1) 2. Jaká je pravděpodobnost, ţe při hodu 2 hracími kostkami padne: a. Součet 6? (5/36; 13,9%) b. Součet 7? (6/36; 16,7%) 3. Jaká je pravděpodobnost, ţe při hodu 3 hracími kostkami padne: a. Součet 10? (27/216; 12,5%) b. Součet 11? (27/216; 12,5%) c. Součet 9? (25/216; 11,6%) d. Součet 12? (25/216; 11,6%) 4. Ze třídy, ve které je 14 chlapců a 17 dívek, byla vybrána náhodně skupina 5 studentů. Jaká je pravděpodobnost, ţe mezi nimi byli: a. Dva chlapci a tři dívky, b. Tři chlapci a dvě dívky, c. Čtyři chlapci a jedna dívka? (0,3642; 0,29135; 0,10015) 5. V urně je 8 bílých a 6 černých koulí. Náhodně vytáhneme 4 koule. Jaká je pravděpodobnost, ţe mezi nimi budou: a. 2 bílé, b. 3 bílé, c. 4 bílé koule? ( 0,4196; 0,33566; 0,0699) 6. V sérii 40 výrobků je 5 zmetků.Náhodně vybereme tři výrobky. Jaká je pravděpodobnost, ţe mezi nimi budou: a. Dva zmetky, b. Jeden zmetek, c. ţádný zmetek? ( 0,0354; 0,3011; 0,66245) 7. V osudí je 12 lístků bílých, 10 červených a 14 zelených. Náhodně vybereme 6 lístků. Jaká je pravděpodobnost, ţe mezi nimi budou: a. 2 bílé, 2 červené a 2 zelené, b. 1 bílý, 2 červené a 3 zelené, c. 3 bílé, 1 červené a zelené lístky? (0,13876; 0,1009; 0,10278) 8. V urně je 5bílých a 7černých kuliček. Vytáhneme náhodně 3kuličky. Jaká je pravděpodobnost, ţe budou mít tutéţ barvu? (0,2045) 9. V sérii 28 výrobků jsou 3 zmetky. Jaká je pravděpodobnost, ţe mezi 4 náhodně vybranými výrobky bude nejvýše jeden zmetek? (0,9548) 10. V sérii 45 výrobků je 5 zmetků. Jaká je pravděpodobnost, ţe mezi 4 náhodně vybranými výrobky budou nejméně 3 zmetky? ( 0,00272) 11. V osudí je 10 bílých, 5černých a 6zelených kuliček. Náhodně vytáhneme 4 kuličky. Jaká je pravděpodobnost, ţe nimi budou nejméně 2 černé? (0,228) 12. V urně je 5černých, 7bílých a 8 zelených koulí. Náhodně vybereme 3 koule. Jaká je pravděpodobnost, ţe budou mít tutéţ barvu? ( 0,0886) 13. V urně máme 10 červených, 5 modrých a 15 bílých kuliček. Jaká je pravděpodobnost, ţe dvě náhodně vytaţené kuličky budou červené? (0,1034) 50
14. Z balíčku 32 hracích karet náhodně vytáhneme 5 karet. Jaká je pravděpodobnost, ţe všechny karty budou ţaludy? (0,1129) 15. U klasifikační zkoušky z matematiky si ţák tahá 4 otázky z 30. K tomu, aby prospěl musí správně zodpovědět alespoň 2 otázky. S jakou pravděpodobností zkoušku udělá, jestliţe umí 80 % učiva? (0,9819) 16. Třídu navštěvuje 25 ţáků, z toho 10 chlapců. Jeden ţák dnes chybí. Jaká je pravděpodobnost, ţe chybí dívka? (0,6) 17. V balíčku karet je 104 normálních karet a 4 ţolíci. Náhodně vytáhnu jednu kartu. Jaká je pravděpodobnost, ţe to bude ţolík? (0,037) 18. V krabici je 5 bílých, 3 ţluté, 4 červené a 6 modrých kuliček. Náhodně vytáhnu jednu kuličku. Jaká je pravděpodobnost, ţe bude modrá? (0,333) 19. Na nádraţí stojí 4 vlaky, jeden z nich jede mým směrem. Jaká je pravděpodobnost, ţe nastoupím do toho špatného? (0,75) 20. Student si má vytáhnout tři z deseti otázek. Je připraven na pět otázek. K úspěšnému zvládnutí zkoušky musí zodpovědět dvě otázky správně. Určete pravděpodobnost toho, ţe: a) student zkoušku udělá (0,5) b) nevytáhne ţádnou otázku, kterou umí (0,0833)
51
17. Komplexní čísla 17.1.
Algebraický tvar
1. Upravte a v algebarickém tvaru vyjádřete,vypočtěte absolutní hodnotu: a) (3+2i)-(7+i)=
(-4+i; 17 )
b) (8-6i)+(-2i+7)=
(18-8i;
388 )
c) –i+2i(3-4i)=
(8+5i;
89 )
d) (2-3i)(2+i)=
(7-4i; 65 )
e) (3i-7)(8+i)=
(-59+17i;
f) (3-2i)(5-4i)(2-i)=
(-8-51i;
2665 )
g) 6i)1-i)(3i+2)=
(-6+30i;
936 )
3770 )
h) (1-2i)[7-5i-(3-4i)]= (2-9i; 85 ) 2. Vyjádřete v algebraickém tvaru čísla,vypočtěte absolutní hodnotu: 3 2i 5 1 a) ( i) 1 i 2 2 1 i 1 7 b) ( i) 3 4i 25 25 2 3i 11 10 c) ( i) i 4 17 17 (1 i )( 2 i )(3 2i ) 15 d) ( +5i) 2 (1 i ) 2 e) f) g) h) i)
1 i 2 i 4 2 i ( ).(1 2i) 2 1 i 1 i (1-i)2= (1-i)3= 2(-3+4i)-3(6-i)=
3 i) 5 11 23 ( i) 2 2 (-2i) (-2(1+i)) (-24+11i)
(
1 5
(2+ 2i. 3 )
j) i(1-i. 3 )( 3 i )
7 3i 7 3i 40 ( i) 3 7i 3 7i 49 3. Najděte komplexní čísla, pro kerá platí dané rovnosti, vyjádřete v algebraickém tvaru: 2 3 a) 5z=2-3i ( i) 5 5 b) (1+i)z=2i (1+i)
k)
c) (8-3i)z= 1+i 2 d)
2z 3 2i
(
0,1
8 3 2 73
3 8 2 ) 73
(0,15+0,1.i)
52
Goniometrický tvar
17.2.
1. Určete základní argument daného komplexního čísla: a) a=4+4i 3
(
) 3 7 ( ) 6 7 ( ) 4 5 ( ) 4 ( )
b) b=- 3 i c) c=2-2i 2 (1 i )
d) d= e) f=3,1 f)
3 2
g
3 i 2
(
5 ) 3
( ) 2 3 ( ) 2
g) k=24i h) l=-0,021.i 2. Napište v goniometrickém tvaru: a) komplexní čísla z příkladu 1 kapitoly 17.1. b)
1
c)
5
d)
2( 3
2 2 i. sin ) ) 3 3 (5(cos0+i.sin0)) 7 7 (4(cos +i.sin )) 6 6 1 ( (cos i sin ) ) 3 3 3 3 3 (2(cos )) i sin 4 4 11 11 ( 2 3 (cos )) i sin 6 6
3.i
(2.(cos
i)
e)
1 (1 i 3 ) 6
f)
2 (1 i )
g) 3 i 3 h) 3. a) b) c) d)
1 i 1 i Napište v algebraickém tvaru: u=20.(cos 15°+isin15°) 7 7 v=6(cos i sin ) 4 4 2 2 5 2 (cos i sin ) 3 3 3 3 3(cos i sin ) 2 2
(cos270°+isin270°)
(19,32+5,18i) ( 3 2 3 2i ) ( 2,5 2 ( 3i )
53
2,5 6i )
17.3.
Moivreova věta
1. Uţitím Moivreovy věta určete: a. z= ( 3 i ) 4 b. z=(1+i)5
(-8+8 3 i) (-4-4i)
c. z= (
1 2
3 3 i) 2
(1)
d. z= (
2 2
2 4 i) 2
(-1)
e. z= (cos i sin ) 4 4 4
(-1)
f. z= (cos i sin ) 6 3 3
(1)
1 g. z= ( 3 i) 2 h. z=
2 (1 i ) 2
5
1 ( ( 2
6
(i)
i. z= (1+i)10 j. z= (- 2
(32i) i. 2 )
4
(-16)
k. z= ( 3 i ) 6 l. z= (1-i)5
(-64) (-4+4i)
2. Vypočtěte uţitím Moivreovy věty an, je-li : 15 5i 1 3i a. a (3 i)( 1 2i) a n=5 1 2i i 5 5 (a=-1-i;a= 2 (cos i sin ); a 5 4 4 (1 i )( 2 2i )(3 i ) b. a a n=3 (1 i ) 2
4 4i)
(a=2-6i; a= 2. 10 (cos 228 27´ i sin 228 27´); a 3 c. a
3 i))
208 ,11 143 ,8i )
(1 i )( 4 4i )(5 i ) a n=3 (1 i ) 2
(a=-4+20i; a= 4. 26 (cos 101 19´ i sin 101 19´); a 3
54
4738 ,48 7038 ,33i )
Kvadratické rovnice s imaginárními kořeny
17.4. 1.
Řešte kvadratické rovnice v C: 5 5 i; i) 3 3
a. 9x2+5=0
(
b. 2x2-x+3=0
(
c. 5x2+13x+9=0
(
d. x2-2x+2=0 e. x2-14x+50=0
(7+i;7-i)
1 i 23 ) 4
13 i 11 ) 10 (1 i )
2
f. x -6x+11=0
(3 i 2)
g. 3x2+6x+12=0
(-1 i 3 )
h. i. j. k. l.
3x 2
6x 4 3
2
0
( 3 i) (+3i;-3i) (-7+2i;-7-2i) (5+i;5-i) (2+2i;2-2i)
2
2x -2x+10=(x-1) 3x2+14x+50=2x2-3 4x2-24x+86=(x+3)2-1 x2-5x+10=-x+2
m. 2x2-1=3x2+4
( i 5)
55
18. Analytická geometrie 18.1. Vzdálenost bodů, střed úsečky 1. Zjistěte velikosti stran trojúhelníku ABC, je-li A =[3; 2]; B= -1;-1 ; C = 11;-6 . (5; 8. 2 ;13) 2. Dokaţte, ţe trojúhelník ABC je pravoúhlý: A= 0;0 ; B= 3;1 ; C= 1;7 . 3. Bod A[-1;-3] se přemístil do bodu B= [4;2] po úsečce AB. Jakou vzdálenost překonal? ( ) 4. Zjistěte délku úsečky AB, která má střed v počátku os souřadnic a je-li A = [6;-2;3]. (14) 5. Který z bodů M=[3;4]; N=[12;-5]; P=[7;-24]; Q=[-6;-8] je od počátku O nejdále? (P) 6. Zjistěte velikosti stran trojúhelníku KLM a velikosti těţnic v tomto trojúhelníku. K=[-5;-6]; L=[7;-2]; M=[1;6]. 7. Poštovní velbloud vyráţí z oázy Djafra, která má souřadnice [-2;1] do oázy Kufra, jejíţ souřadnice jsou [6;-5]. V polovině cesty je velbloudorest „U dvou hrbů“. Jaké jsou jeho souřadnice a jak je z velbloudorestu daleko do Kufry? ([2;-2], 5) 8. V Zapadákově bydlí Novákovi, jejichţ dům má souřadnice [-3;-3] a Bláhovi, jejichţ souřadnice jsou [3;5]. Přesně mezi nimi bydlí Liškovi. Jaké souřadnice má dům Lišků a jak to mají Liškovi daleko k Bláhům? ([0;1], 5) 18.2. Vektor 1. Porovnejte velikosti vektorů AB, AC ,je-li A= -1;5;1 ; B= 1;1;-2 a C = -3;3;2 . ( AB = 29 ; AC =3; AB
AC .)
2. Vektor u =(u1;u2;u3 ) má velikost 12. Zjistěte u3, je-li u1=3 a u2 = 9. (u3 = 3 6 ) 3. Vektor a = (a1;a2) má stejnou velikost jako vektor BC, kde B= 1;0 ; C = -2;3 . Zjistěte a1, je-li a2=-3. (a1= 3) 4. Jsou dány vektory a=(3;-2);b = (4;3); určete c=a+b; d=a-c. ( (7;1); (-1;-5) ) 5. Určete, zda vektory u = XY; v= KL jsou lineárně závislé, je-li K= -2,3 ; L= 0;-1 ; X= 17/3;5/3 ; Y= 5;3 . (ANO) 6. Vypočítejte úhel dvou vektorů: a. u =(1;-2); v = (2;1) (90°) b. u =(-2;-1); v = (-1;-3) (45°) c. u =(1;1;1); v = (2;0;3) (36°48´) 7. Vrcholy trojúhelníku ABC jsou A= 1;2;-3 ; = 0;1;2 ; C= 2;1;1 . Vypočítejte délky stran AB, AC a úhel při vrcholu A. ( AB = 3. 3 ; AC = 3. 2 ; 24°42´) 8. Vypočítejte vnitřní úhel při vrcholu C v trojúhelníku ABC, je-li A= -2;3 ; = -2;-1 ;C= 1;1 . (67°23´) 9. Vypočti, pro kterou hodnotu x platí, ţe a=(1;-2;3) a b=(4;x;-2) jsou na sebe kolmé. (-1) 10. Určete chybějící souřadnici vektoru u = (?;1) tak, aby byl kolmý k vektoru v AB , kde A = [3;3], B = [4;-2] (5)
56
18.3.
Přímka v rovině, vzdálenost bodu od přímky
1. Napište všechny tři tvary rovnice přímky dané body: A = [1;1] a B = [3;5] (např.: x=1+2t, y=1+4t; 2x-y-1=0; y=2x-1) 2. Napište parametrické vyjádření přímky určené bodem A -7;1 a vektorem u=(7;2) (x=-7+7t;y=1+2t). 3. Napište parametrické vyjádření přímky, která prochází bodem M= 3;3 a je rovnoběţná s přímkou AB, kde A = 0;7 -2;2 . (x=3-2t; y=3-5t) 4. Zjistěte, zda dané body leţí na přímce x=1-t; y=3t. -3;7 0;3 -5;18 -14;-1 2;3 . ( ne, ano, ano, ne, ne) 5. Napište parametrické vyjádření těţnic trojúhelníku ABC, je-li B C . (x=-3,5t; y=4t;; x= 2-0,5s; y= 7+4,5s;; x= 5+4r;y= 1-4,5r) 6. Napište parametrické vyjádření přímky určené bodem A a směrovým vektorem s, je –li: a) A = [3;-2] ; s = (1;-3); (x=3+t, y=-3-2t) b) A [-4;0]; s = (5;7) (x=-4+5t, y=7t) 7. Určete parametrické vyjádření přímky,obecnou rovnici a směrnicový tvar, která je určena body a určete velikost směrového úhlu: a) A = [3; -1]; B = [5;7] (x=3+2t,y=-1+8t; 4x-y-13=0; y=4x-13; 75°57´) b) A = [4;2]; B= [-4;3] (x=4-8t,y=2+t; x+8y-20=0; y=-x/8-2,5; 7°7´) c) A= [-4;3]; B= [0;5] (x=-4+4t,y=3+2t; x-2y+10=0, y=x/2+5; 26°33´) 8. Napište parametrické vyjádření přímky, je-li dáno: přímka prochází bodem A = [-3;2] a je rovnoběţná s přímkou CD, C= [-1;3]; D= [-1;0] (např.: x=-3,y=2-3t) 9. Ověřte, zda bod N leţí na přímce vyjádřené v parametrickém vyjádření: a) N= [10;-26]; x = 4 – 2t; y = -5 + 7t (ANO) b) N = [0; 5]; x = -t ; y = 2t (NE) 10. Určete vzájemnou poloho přímek p a q a v případě různoběţnosti úhel, který svírají p: x – 2y + 3 = 0 q: x = 3 + 2t; y = 1 + t (rovnoběţné) 11. Zjistěte, jakou vzájemnou polohu přímku zaujímají: a) přímka b: x = 3 + 2t; y = 1 - 3t; přímka c: x = 1 +6t; y = 2 –9t; (rovnoběţné růz.) b) přímka p: x= 4-2t; y= 5 –3t; přímka q: x = 4r; y= 6r; (rovnoběţné růz.) c) přímka a: x= 5 +t; y = -8 +2t; přímka b: x = 9 –2r; y= -4r. (rovnoběţné tot.) 12. Zjistěte vzájemnou polohu přímek a případné průsečíky a odchylku: a) p: x= 3-4t q: x= 1+8r (rovnoběţné různé) y= 4+3t y = 5-6r b) p: x= 2+5t q: x= 2-3s (kolmé, P=[4,2;0,3]) y= -1+3t y = 4+5s c) a: 2x-6y+5=0 b: 3x-9y+7=0 (rovnoběţné různé) d) a: 2x+3y-7=0 b: x=2+3t; y=1-2t (rovnoběţné totoţné) e) a: x-3y+2=0
b: 3x-5y-1=0
57
(různoběţné, P=
;12°31´)
13. Vypočítejte odchylku přímek: a) 5x+y-20=0; 3x-2y+7=0 b) x=b, y=-18+3b; x=-s, y=7+2s; c) 2x+y-7=0; x-2y+4=0
(45°) (45°) (90°)
14. Zjistěte vzdálenost dvou rovnoběţek: a) x=3-2t, y=1+t; x+2y-10=0 b) x=3-4t, y=2+t; x=-4r, y=1+r 15. Určete velikosti výšek v trojúhelníku ABC, je-li: 16. Určete velikosti výšek v trojúhelníku ABC, je-li:
C 7;8
.
(5;5;
5. 2 ) 2
5;-2 C -3;-6 .
18 . 74 18 . 26 ; ) 37 13 17. Z vršku [2;8] do údolí [-1;-4] teče potok. Jak daleko od potoka stojí lípa, která má
(3,6. 5 ;
souřadnice [3;-1]? 18. Krtek vyvrtal rovný tunel od jabloně [4;-2] k třešni [2;5]. Jak dlouhá bude nejkratší odbočka ke švestce [-1;1]? 19. Souřadnice vrcholů čtyřúhelníku ABCD jsou: A = [-3;-1] B = [1;2] C = [-2;6] D = [-6;3]. Vypočtěte úhel, který svírá strana AB a úhlopříčka BD (135°)
58
18.4.
Kvadratické útvary v rovině
18.4.1 Kružnice 1. Napište středový a obecný tvar rovnice kruţnice, je-li dáno: a) S=[7;-3], r=6; b) A=[3;5]; B=[-1;3], kde A,B jsou krajní body průměru kruţnice; c) S=[ 5;-5], M=[6;-1], kde M k. 2. Určete střed a poloměr kruţnice: x 2
y2
2
2
3. Určete střed a poloměr kruţnice: x
y
2x 4 y 4
0
6 x 4 y 23
(S = [-1;2], r = 1)
0
(S = [3;2], r = 6) 4. Napište rovnici kruţnice, víte-li, ţe úsečka AB je její průměr. A=[-1;5], B=[3;7] ( 5. Napište rovnici kruţnice, která prochází bodem A = [3;-2] a jejíţ střed má souřadnice S= [0;2] 6. Rozhodněte o vzájemné poloze bodů a kruţnice. Kruţnice má střed S=[-1;2] a poloměr 5; A=[-3;0]; B=[0;5]; C=[4;2]; D=[2;7]; E=[-2;3]. (A,B,E - vnitřní, D - vnější, C k) 7. Body A=[6;yA]; B=[-8;yB]; C=[2;yC] leţí na kruţnici o poloměru 10, střed je v počátku. Určete neznámé souřadnice. 8. Zjistěte vzájemnou polohu přímky a kruţnice případné průsečíky: a) 4x-3y-20=0;
x2+y2=25;
b) x-2y+5=0; c) 4x-3y-25=0; d) x-2y-18=0;
x2+y2=25; x2+y2=25; x2+y2=25;
(vnější přímka) (vnější přímka)
9. Stanovte číslo c tak, aby přímka x+2y+c=0 byla tečnou kruţnice x2+y2=4. 10. Určete číslo c tak, aby přímka 3x+4y+c=0 byla tečnou kruţnice x 2+y2=25. 18.4.2 Elipsa 1. Napište rovnici elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic, je-li: a) a=4;b=3 b) a=10; b=8; c) b=3;e=4; d) a+b=9; e=3; b=3; F1F2 =6 (není elipsa – kruţnice) 2. Zjistěte velikost poloos elipsy, výstřednost elipsy dané rovnicí: a) 9x2 +25y2=225; b) x2+y2=100; (není elipsa – kruţnice) 3. Napište rovnici elipsy se středem v bodě S=[3;2], je-li: a) a=4;b=3 b) a=5;b=3; c) b=4; e=3; 59
( 2 5)
4. Napište obecnou rovnici elipsy, znáte-li souřadnice ohnisek E = [-1;1], F = [5;1] a hlavního vrcholu A = [-3;1]. Elipsu načrtněte. 5. Napište obecnou rovnici elipsy, znáte-li souřadnice ohnisek E = [-3;1], F = [5;1] a hlavního vrcholu B = [6;1]. Elipsu načrtněte. 6. Určete souřadnice vrcholů a ohnisek elipsy: . Elipsu načrtněte 7. Určete souřadnice vrcholů a ohnisek elipsy: . Elipsu načrtněte 8. Zjistěte souřadnice středu, velikosti poloos a výstřednost u elipsy dané rovnicí 9(x+2)2 + (y-1)2 = 144 9. Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A=[-2;1]; B=[2,5;1] a elipsy dané rovnicí 3x2+8y2=24. (A – vnitřní, B – vnější) x2 10. Zjistěte vzájemnou polohu 25 a) 4x+5y-26=0
y2 9
1 a přímky (případné průsečíky):
(vnější přímka)
b) 4x+5y-25=0 c) 4x+5y-24=0. 11. Zjistěte vzájemnou polohu přímky x+2y-25=0 a elipsy 4x2+9y2=900.
(vnější přímka)
18.4.3 Hyperbola 1. Napište středovou rovnici hyperboly, je-li střed v počátku soustavy souřadnic, určete souřadnice ohnisek a vrcholů hyperboly, určete rovnice asymptot: a. vedlejší poloosa = 3; F1 F2 = 10; hlavní osa=x; b. a=6; e=9; o1=x; c. a=4; b=5; o1=x; d. a=7; e=8; o1=x; e. e=13; a+b=17; o1=x; 2. Napište obecnou rovnici hyperboly, souřadnice ohnisek, vrcholů hyperboly a rovnice asymptot, je-li dáno: a. S= [5;-3]; b=6; e=10; o1 x; b. b=3; e=5; S= [0;0]; F1F2 y; c. 25(x-3)2-16(y-7)2=400; d. S=[1;-2]; e=5; a=4; o1 x; e. e=6; b=4; F1F2 y; S= [0;0] 60
3. Zjistěte souřadnice středu hyperboly, výstřednost a velikosti poloos, ohniska, vrcholy hyperboly, je-li dáno: a. 9x2-16y2=144; b. 9(x-5)2-16(y+3)2=144 c. –x2 +4y2 =16 d. 9 x2 +36y2 =324;
4. Napište rovnici hyperboly, jejíţ ohniska leţí na ose x souměrně dle počátku, a která prochází body a. A =[ 3 2 ;5 ]; B=[ 3 5 ;10 ] b. A=[5;3]; B=[8;-10]; c. Napište rovnici hyperboly, jsou-li známy souřadnice ohnisek E = [-3;1], F = [7;1] a velikost vedlejší poloosy b = 3. d. Napište rovnici hyperboly, jsou-li známy souřadnice vrcholů A = [-1;2], B = [5;2] a excentricita e =5. 5. Určete velikosti poloos, výstřednost, souřadnice středu, vrcholů a ohnisek hyperboly:
9 x 2 16 y 2
36 x 32 y 124
0 . Načrtněte.
6. Určete velikosti poloos, výstřednost, souřadnice středu, vrcholů a ohnisek hyperboly:
9x 2
25 y 2
18 x 100 y 316
0 . Načrtněte.
7. Napište rovnici hyperboly, která prochází bodem A=[6;- 10 ] , střed má v počátku soustavy souřadnic, její hlavní osa = ose x a velikost vedlejší poloosy je
8.
8. Určete vzájemnou polohu hyperboly a přímky, také případné průsečíky: a. 4x2-y2=64 10x -3y-32=0; 2 2 b. x -4y =7 x-y-2=0; c. x2-4y2=8
x-2y-2=0;
d. 9x2-4y2-18x-16y+29=0
x=1-t; y=1+t;
e. 4x2-9y2=72
2x-y-8=0;
f. 8x2-18y2=144
2x-y-8=0;
g. 16x2-9y2=144
20x-9y-18=0;
h. 9x2-4y2=36
x=3-t; y=-1+t;
61
18.4.4 Parabola 1. Parabola má rovnici, určete souřadnice ohniska, vrcholu paraboly, bodu D(průsečík řídící přímky a osy paraboly), rovnici řídící přímky d, parametr p, je-li dáno: a. y2=10x; b. y2=12x; c. y2=-6x; d. y2=-4x; e. x2=8y; f. x2=-12y; 2. Napište rovnici paraboly, rovnici řídící přímky, souřadnice bodu D, je-li dáno: a. V= [0;0]; F=[0;-4]; b. V=[0;0]; F=[3;0]; c. V=[0;0]; F=[-3;0]; d. V=[0;0]; F=[-2;0]; e. V=[0;0]; F=[0;7]; f. V=[0;0]; a prochází bodem A=[2;4]; g. V=[0;0]; a prochází bodem B=[-2;-1]; h. V=[0;0]; a prochází bodem M=[1;-2]; 3. Napište rovnici paraboly, je-li dáno: a. V=[-1;1]; a prochází bodem X=[2;2] i. a osa x ii. osa y b. V=[3;-2]; a prochází bodem X=[5;-3] i. a osa x ii. a osa y c. V=[2;3]; a prochází bodem X=[-4;1] i. a osa x ii. a osa y 4. Rovnice řídící přímky paraboly je y = 3 a vrchol má souřadnice V = [-1;1]. Napište její obecnou rovnici. 5. Rovnice řídící přímky paraboly je x = 3 a ohnisko má souřadnice F = [-1;1]. Napište její obecnou rovnici. 6. Určete souřadnice vrcholu a ohniska paraboly . Parabolu načrtněte. 7. Určete souřadnice vrcholu a ohniska paraboly
62
. Parabolu načrtněte.
8. Určete vzájemnou polohu přímky a paraboly, také případné průsečíky: a. y2= 4x x-2y+3=0; 2 b. y = 9x 3x-7y+30=0; c. y2=6x
6x-y=12;
d. y2=10x
2x+2y+5=0;
e. x2= 12y
2x-3y-4=0;
f. x2= 12y g. y2=8x h. y2=7x
x+2y=0; x=2; y+3,5=0
9. Určete reálné číslo c tak, aby přímka 2x+y+c=0 byla tečnou paraboly y2=6x. 8 10. Určete reálné číslo c tak, aby přímka 3x-y+c=0 byla tečnou paraboly x2= y. 3
63
