1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. obor přirozených čísel - vyjadřující počet prvků množiny - značíme (jsou to kladná nedesetinná čísla) 2. obor celých čísel - množina celých čísel = nedesetinná, ale kladná i záporná + nula - značíme - kladná - (=N), nezáporná 0 - kladná + nula 3. obor racionálních čísel - jsou všechna čísla, která lze napsat ve tvaru zlomku
p q
, p , q , který je v základním tvaru, to
jest p,q jsou nesoudělná - značíme - jsou-li napsána ve tvaru desetinných čísel => má konečný počet desetinných míst nebo je to číslo periodické 4. obor iracionálních čísel - jsou všechna čísla, která se nedají zapsat zlomkem => mají neukončený desetinný rozvoj (perioda se nevyskytuje) - značíme 5. obor reálných čísel - všechna čísla, která se dají zobrazit na číselnou osu - značíme , 6. výraz = zápis skládající se z čísel a písmen (označujících proměnné), která jsou spojována znaky operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování a odmocňování, popř. závorek, určujících pořadí operací. 7. a dělí b (a je dělitelem b) , značíme a|b - Nechť a,b . Říkáme, že a je dělitelem b existuje číslo k takové, že b = a . k - Pak píšeme a|b a čteme a dělí b. 8. největší společný dělitel - Největší společný dělitel čísel a1,a2 je největší číslo, kterým jsou čísla a1,a2 dělitelná beze zbytku. 9. nejmenší společný násobek - Nejmenší společný násobek čísel a1,a2 je nejmenší přirozené číslo takové, že je dělitelné čísly a1,a2 beze zbytku. 10. prvočíslo = je číslo, které má právě 2 různé dělitele. 11. číslo složené = je číslo, které má aspoň 3 různé dělitele.
2. Množiny, výroková logika 1. množina = souhrn (skupina) nějakých prvků či objektů, o kterých se dá rozhodnout, zda do dané množiny patří či nikoliv 2. sjednocení množin A B A B je množina prvků, které leží aspoň v jedné z množin A,B. 3. průnik A B A B je množina prvků, které leží zároveň v obou množinách A,B. 4. doplněk BA množiny B v množině A Je-li B A , pak doplněk BA množiny B v množině A tvoří všechny body množiny A, které v množině B neleží. 5. rozdíl A B, A \ B Rozdíl množin A B je množina všech prvků množiny A, které nepatří do B. 6. výrok = každé sdělení, o němž se dá říci, zda je pravdivé či nepravdivé. 7. konjunkce X Y = je výroková operace, která říká, že platí každý z výroků X, Y 8. disjunkce X Y = výroková operace, která říká, že platí aspoň 1 z výroků X, Y 9. implikace X Y = výroková operace , která říká, že pokud platí výrok X, platí i výrok Y, s tím, že platnost výroku X není zaručena 10. ekvivalence X Y = výroková operace, která říká, že výroky X , Y mají stejnou pravdivostní hodnotu (budˇ oba platí nebo oba neplatí). 11. kartézský součin množin A x B Kartézským součinem A x B množin A, B nazýváme množinu všech uspořádaných dvojic x, y takových, že
x A, y B . Tedy A x B = x, y , x A y B
12. relace =množina R A x B , tedy libovolná podmnožina kartézského součinu množin A, B. Relaci tvoří ty uspořádané dvojice kartézského součinu A x B, které jsou v nějakém vztahu. 13. zobrazení Zobrazením množiny A do množiny B nazýváme každou množinu uspořádaných dvojic x, y takových, pro které platí, že každému prvku x z množiny A (x A) přiřadíme právě jedno y B .
3. Funkce 1. funkce = zobrazení z množiny A do číselné množiny , takže zobrazení A B je funkcí, jestliže B . Reálná funkce reálné proměnné je předpis, který každému prvku x A přiřadí právě jedno y . 2. definiční obor = množina všech x, k nimž lze najít hodnotu y = f(x) ( tj. v zobrazení množina A). x se nazývá nezávisle proměnná funkce nebo proměnná nebo argument funkce. 3. obor hodnot = množina všech y , ke kterým existuje aspoň jedno x z definičního oboru funkce f tak, že y = f(x). y se nazývá závisle proměnná nebo funkční hodnota nebo hodnota funkce. 4. absolutní hodnota reálného čísla Je li a 0, pak a a ,
je li a 0, pak a a . Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti obrazu tohoto čísla na číselné ose od počátku 5. druhá odmocnina Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla a je takové nezáporné číslo x, pro které platí x 2 a . K jeho označení používáme symbol
a.
6. třetí odmocnina
Třetí odmocnina z nezáporného čísla a je takové nezáporné číslo x , pro něž platí x 3 a . K jeho označení používáme symbol 3 a . 7. n-tá odmocnina Pro každé n je n-tá odmocnina z nezáporného čísla a takové nezáporné číslo b, pro něž platí b n a . Zapisujeme bna. Pokud upustíme od požadavku, že n-tou odmocninu zavádíme jen pro nezáporná čísla, můžeme pro lichá n rozšířit definici n-té odmocniny takto: Pro každé liché přirozené číslo je n-tá odmocnina z reálného čísla a takové reálné číslo b, pro něž platí b n a. 8. přirozená mocnina x n tj. x n kde n Pro všechna x je
x n x1.x2 .....xn .
9. celá mocnina x n tj. x n , n , spec. x n , kde n Pro všechna x 0 je x n
1 . xn
10. racionální mocnina x
p q
p
Pro všechna x je x q
q
xp .
11.lineární funkce = funkce na množině , která je dána předpisem y = ax + b, kde x, y, a, b . 12. mnohočlen (polynom) Algebraický výraz f x an x n an1 x n 1 ... a1 x a0 ,
kde
x , ai
pro
všechna
i 1, 2,...n, n , an 0 , nazýváme mnohočlenem n-tého stupně s proměnou x a koeficienty ai z oboru reálných čísel. 13. lineární lomená funkce = funkce definovaná předpisem y
ax b , kde a, b, c, d , c 0, ad bc 0. cx d
14. kvadratická funkce = funkce definovaná předpisem y ax 2 bx c, a 0. 15. exponenciální funkce = funkce definovaná předpisem y a x , kde a > 0 se nazývá základ exponenciální funkce, x . 16. logaritmická funkce = funkce inverzní k funkci exponenciální, tedy definovaná předpisem y log a x x a y , kde
a 0;1 1; je základ logaritmu. Definiční obor funkce jsou kladná reálná čísla. 17. goniometrické funkce a) sinus: Nechť x je libovolné reálné číslo, M xM , yM je bod jednotkové kružnice sestrojené v kartézské soustavě souřadnic, který leží na koncovém rameni orientovaného úhlu x.( vrchol orientovaného úhlu je v počátku soustavy souřadnic a počáteční rameno splývá s kladnou poloosou osy x). Pak funkcí sinus se nazývá funkce, ve které je každému x přiřazena souřadnice yM bodu M. b) kosinus: Nechť x je libovolné reálné číslo, M xM , yM je bod jednotkové kružnice sestrojené v kartézské soustavě souřadnic, který leží na koncovém rameni orientovaného úhlu x (vrchol orientovaného úhlu je v počátku soustavy souřadnic a počáteční rameno splývá s kladnou poloosou osy x). Pak funkcí kosinus se nazývá funkce, ve které je každému x přiřazena souřadnice xM bodu M.
sin x cos x cos x d) kotangens: je funkce daná rovnicí y sin x c) tangens: je funkce daná rovnicí y
18. funkce inverzní Nechť funkce y = f(x) je prostá v D(f). Inverzní funkce k funkci f je funkce 1. D f 1 H f
f 1 , pro kterou platí:
2. Každému y D f 1 je přiřazeno právě to x D f , pro které je f x y. Platí D(f) = H(f-1), H(f) = D(f-1). Grafy obou funkcí jsou souměrné podle přímky y = x. 19. cyklometrické funkce a) arkussinus x je funkce inverzní k funkci sin x . D (arcsin x) = 1;1 , H(arcsin x)=
b)
; 2 2 arkuskosinus x je funkce inverzní k funkci cos x . D(arccos x) = 1;1 , H(arccos
x)= 0, . c)
arkustangens x je funkce inverzní k funkci tg x . D(arctg x) = ; , H(arctg x)=
, . 2 2 d)
arkuskotangens x je funkce inverzní k funkci cotg x . D (arccotg x) = ; ,H(arccotg
x)= 0; . 20.funkce prostá Funkce y = f(x) se nazývá funkce prostá, jestliže pro všechna x1,x2 D(f) , pro něž x1 x2 , platí f(x1) f(x2) . 21. funkce sudá x D f : x D f f x f x
22. funkce lichá x Df : x Df f x f x
23. funkce periodická existuje číslo p 0 takové, že pro všechna x D(f) platí x p D f f x p f x . 24. funkce omezená a) shora na množině M D(f), když h takové, že pro x M : f x h b) zdola na množině M D(f), když d takové, že pro x M : f x d c) na množině M D(f), když d , h takové, že pro x M : d f x h 25. funkce rostoucí na množině M = x1 , x2 M : x1 x2 f x1 f x2
26. funkce klesající na množině M = x1 , x2 M : x1 x2 f x1 f x2 27. funkce neklesající na množině M = x1 , x2 M : x1 x2 f x1 f x2 28. funkce nerostoucí na množině M = x1 , x2 M : x1 x2 f x1 f x2
4. Rovnice, nerovnice 1. rovnice
= zápis rovnosti dvou výrazů, v němž je třeba určit hodnotu proměnné tak, abychom po dosazení vypočítané hodnoty za proměnnou dostali pravdivý výrok. 2. řešení rovnice = hodnota proměnné x v rovnici, která danou rovnici splňuje, tj. která po dosazení změní
rovnici v rovnost 3. nerovnice
= zápis nerovnosti dvou výrazů, v němž je třeba určit hodnotu proměnné tak, abychom po dosazení vypočítané hodnoty za proměnnou dostali pravdivý výrok 4. řešení nerovnice = hodnota proměnné x, která po dosazení změní nerovnici v nerovnost. 5. rovnice s parametrem = množina rovnic pro jednotlivé hodnoty parametru 6. řešení rovnice s parametrem Řešit rovnici s parametrem p znamená určit množiny všech řešení rovnice odpovídající jednotlivým hodnotám parametru p. 7. rovnice binomická je rovnice tvaru xn = a, kde n , a , x . 8. rovnice reciproká je rovnice tvaru an xn an1 xn 1 ... a1 x a0 =0, kde ak=an-k, nebo ak= - an-k 9. rovnice iracionální obsahuje neznámou v základu odmocniny
5. Planimetrie 1. shodné zobrazení přiřazuje každému bodu X roviny (nazývanému vzor) právě jeden bod X’ (nazývaný obraz) tak, že každá úsečka XY se zobrazí na úsečku s ní shodnou. Shodná zobrazení jsou: identita, středová souměrnost, osová souměrnost, rotace a posunutí 2. podobné zobrazení přiřazuje každému útvaru roviny útvar s ním podobný, tj. pro každý obraz X'Y' úsečky XY platí, že X'Y' = k.XY, kde reálné číslo k je koeficient podobnosti. 3. středová souměrnost S ( S ) Je jednoznačně určena středem souměrnosti S. Je to shodné zobrazení, které každému bodu X S roviny přiřadí právě jeden bod X’ roviny tak, že platí: a) S SX b) SX SX / Bod S je samodružný bod. 4. osová souměrnost O (o) Je jednoznačně určena osou souměrnosti o. Je to shodné zobrazení, které každému bodu X o roviny přiřazuje právě jeden bod X’ roviny tak, že platí: a) XX o b) Xo X o Body na ose souměrnosti o jsou samodružnými body. 5. rotace R (S; ) Je jednoznačně určena středem rotace (otočení) S a orientovaným úhlem otočení . Je to shodné zobrazení, které každému bodu X S roviny přiřadí právě jeden bod X’ roviny takový, že platí: a) SX SX b) XSX Bod S je samodružným bodem.
6. Orientovaná úsečka AB je úsečka, jejíž krajní body mají stanovené pořadí A – počáteční, B – koncový.
7. translace (posunutí) T AB
Je jednoznačně určeno orientovanou úsečkou AB . Je to shodné zobrazení, které každému bodu X roviny přiřadí právě jeden bod X roviny takový, že platí:
a) XX je souhlasně rovnoběžná s AB b) XX AB
Posunutí nemá samodružné body.
8. stejnolehlost H (S;) se středem S a koeficientem ( 0) je zobrazení, které bodu S přiřazuje bod S a bodu X S přiřazuje bod X’ tak, že SX SX , přičemž bod X’leží na polopřímce SX, je-li >0, a bod X’ leží na polopřímce opačné k SX, je-li <0. 9. úhel část roviny, kterou získáme jako průnik dvou polorovin s hraničními přímkami a, b, jež jsou různoběžné. 10. konvexní mnohoúhelník je takový, který s každými dvěma body A, B obsahuje i celou úsečku AB. 11. Ortocentrum je průsečík výšek v trojúhelníku. 12. Těžiště trojúhelníka je průsečík těžnic, kde těžnice je úsečka spojující vrchol se středem protější strany. 13. Střed kružnice opsané trojúhelníku je průsečík os jeho stran. 14. Střed kružnice vepsané trojúhelníku je průsečík os jeho úhlů. 15. Tětivový čtyřúhelník ABCD je takový čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici (platí v něm ). 16.Tečnový čtyřúhelník ABCD je takový, kterému se dá vepsat kružnice (platí v něm a+c=b+d). 16. Středový úhel příslušný tětivě AB je úhel ASB , kde S je střed kružnice, která má tětivu AB. 18.Obvodový úhel příslušný tětivě AB je úhel AVB , kde V je bod ležící na kružnici, která má tětivu AB.
7. Matice 1. matice (m x n) je tabulka čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců. 2. Determinant čtvercové matice je číslo vytvořené z této matice následujícím postupem: je to součet všech možných tzv. členů determinantu, přičemž člen determinantu je součin čísel vybraných po jednom z každého řádku a každého sloupce matice, jemuž je ještě přiřazeno znaménko podle znaménka permutace řádkových a sloupcových indexů těchto čísel. Obsahuje-li tato permutace sudý počet transpozic, tj. v řádku
sloupcových indexů stojí větší číslo před menším v sudém počtu případů, má tato permutace znaménko kladné. V opačném případě má znaménko záporné. 3. Hodnost matice
je maximální počet jejích lineárně nezávislých řádků (sloupců). 4. Trojúhelníková matice
je matice, která má pod hlavní diagonálou samé nuly.
8. Vektory 1. Vektor
je množina všech stejně velkých a souhlasně orientovaných úseček. Umístěním vektoru pak rozumíme libovolnou z těchto orientovaných úseček. 2. Kolineární body (vektory) body A,B,C (vektory u, v ) jsou kolineární, jestliže leží v jedné přímce. 3. Komplanární body A,B,C,D (vektory u,v,w) jsou komplanární, jestliže leží v jedné rovině. 4. Skalární součin – geometrická definice: u .v u . v . cos
, kde
u , v
jsou velikosti vektorů u,v , cos je úhel, který spolu vektory u,v svírají
algebraická definice: Je-li u u1 , u 2 , u 3 , vv1 , v2 , v3 , pak u .v u1.v1 u 2 .v2 u 3 .v3 5. Vektorový součin geometrická definice: u x v je vektor z těchto vlastností: a) Má směr kolmý na rovinu určenou vektory u, v b) Má orientaci podle pravidla pravé ruky c) Jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory u,v algebraická definice: u x v u 2 .v3 u 3 .v3 , u3 .v1 u1 .v3 , u1 .v2 u 2 .v1 6. Smíšený součin vektorů u, v, w je součin skalární a vektorový, tedy
u. v xw
7. Lineární kombinace vektorů u, v je libovolný vektor z k1u k2 v 8. Lineární závislost (nezávislost) vektorů vektory u, v nazýváme lineárně závislými, jestliže existuje k R takové, že v k .u
11. Diferenciální a integrální počet 1. Limita funkce v bodě lim f x A 0 0 x ( 0 x a f ( x) A xa
2. derivace funkce v bodě x0 lim
f ( x ) f ( x0 ) y lim x 0 x x x0
. Jejím geometrickým významem je směrnice tečny ke grafu funkce y=f(x) v bodě x0, takže rovnice této tečny je y y 0 f ' ( x 0 ). x x0 . Fyzikální význam derivace je okamžitá rychlost. je speciální případ limity, totiž
x x0
