0. Matematika és mértékegységek

0. Matematika és mértékegységek Definiált fogalom

Meghatározás

Kör kerülete, területe

K = 2rπ [m], T = r2π [m2]

Téglalap kerülete, területe

K = 2(a+b) [m], T = ab [m2]

Derékszögű háromszög kerülete, területe

K = a+b+c [m], T = ab / 2 [m2], ahol c az átfogó

Gömb felszíne, térfogata

A = 4r2π [m2], V = 4/3 r3π [m3]

Henger felszíne, térfogata

A = 2r2π + 2r πh [m2], V = r2πh [m3], ahol h a magasság

Téglatest felszíne, térfogata

A = 2(ab+ac+bc) [m2], V = abc [m3]

Szög sin-a

sin α = szöggel szemközti befogó / átfogó

Szög cos-a

cos α = szög melletti befogó / átfogó tg α = szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó,

Szög tg-e

illetve tg 

sin  . cos 

Vektorok összeadása

Lásd ppt segédanyag!

Vektorok összeadása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben

c=a+b=(cx , cy , cz ), ahol cx = ax + bx , cy = ay + by , cz = az + bz .

Vektorok szorzása számmal

Lásd ppt segédanyag!

Vektorok szorzása számmal derékszögű Descarteskoordinátarendszerben

c= μa =(cx , cy , cz ), ahol cx = μ ax , cy = μ ay , cz = μ az .

Vektorok kivonása

Lásd ppt segédanyag!

Vektorok kivonása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben

c=a-b=(cx , cy , cz ), ahol cx = ax - bx , cy = ay - by , cz = az - bz .

Vektorok skaláris szorzása

a·b = μ = |a||b|cosγ

Vektorok skaláris szorzása derékszögű Descarteskoordinátarendszerben

μ = a·b = ax bx + ay by + az bz

Vektorok vektoriális szorzása

Lásd ppt segédanyag!

c=a×b=(cx , cy , cz ), Vektorok vektoriális szorzása derékszögű Descarteskoordinátarendszerben

ahol cx = aybz - azby , cy = azbx - axbz , cz = axby - aybx .

Vektor hosszának számítása

|a|2= a·a

Vektor hosszának számítása derékszögű Descarteskoordinátarendszerben

|a|2= a·a= ax2 + ay2 + az2

Prefixumok

Lásd ppt segédanyag!

Óra-másodperc átváltás

1 h = 60 min, és 1 min = 60 s, így 1 h = 3600 s

Köbméter-liter átváltás

1 liter = 1 dm3, vagyis 1 m3 = 1000 liter

Fok-radián átváltás

 rad     360 , illetve  rad   2 2 360

I. Mechanika Definiált fogalom Sebesség

Gyorsulás Szabadesés során megtett út

Szögsebesség

Szöggyorsulás

Meghatározás

  dr helyvektor változási gyorsasága v  dt

[m/s]

   dv d 2 r  a sebességvektor változási gyorsasága a  dt dt 2

[m/s2]

1 2 at  v 0 t a  g az iránytól függően, v0 a kezdősebesség 2 függőleges irányban h

 

d , a szög (radiánban mérve) változási gyorsasága [1/s] dt

d a szögsebesség változási gyorsasága dt

[1/s2]

Centripetális gyorsulás

a cp  v 2 / r  r 2  v , a sebesség irányának megváltozását jellemzi

Tangenciális gyorsulás

dv  r a sebesség nagyságának megváltozását jellemzi, a dt gyorsulás érintőirányú komponense Olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a magára hagyott testek megtartják eredeti mozgásállapotukat (azaz a sebességvektor állandó).

Inerciarendszer

at 

Newton II. (Erő-) axiómája Hatás-ellenhatás (Newton III. axiómája)

törvénye

  F  ma

[N]

Ha az A test a B testre FAB erőt fejt ki, akkor B test is erőt fejt ki az A testre. Ezen FBA erő azonos nagyságú, de ellentétes irányú az eredeti

  FBA   FAB

FAB erővel: Ha az anyagi pont egyidejűleg több hatásnak is ki van téve, azaz több erő hat rá, akkor együttes hatásuk egyetlen ún. eredő erővel helyettesíthető. Az eredő erő az egyes erők vektori összege

Szuperpozíció elve

n   Fe = å Fi i =1

Súrlódási erő

FS  Fny

Newton-féle gravitációs erő

Két tömeg közti vonzás, erőtörvénye: F = 

G  m g   Fx  Dx

Súlyerő Rugóerő Csillapított mozgásegyenlete

m1 m 2 r2

rezgőmozgás

Impulzus Impulzustétel

   Dx  x mx   I  mv

[kg·m/s]

 d  I =åF dt , azaz tömegpont impulzusának idő szerinti deriváltja

egyenlő a rá ható összes erő eredőjével Munka

Kinetikus (mozgási) energia Munkatétel

 r2   W1,2   F  dr , az erő elmozdulás szerinti integrálja, vagy állandó erő  r1   esetén W  F  r  Fr cos  [J] Ek 

1 mv 2 2

[J]

W=E k a test mozgási energiájának megváltozása egyenlő a testre ható eredő erő munkájával

Teljesítmény

P

dE egységnyi idő alatt közölt energia dt

Teljesítménytétel

P

dE k dt , a tömegpontra ható erők teljesítménye megegyezik a

[W]

tömegpont kinetikus energiájának változási gyorsaságával. Hatásfok

Konzervatív erő



E hasznos E befektetett

Olyan erő, amely általa a testen A és B pont között végzett munka független attól, milyen úton jut a test A-ból a B-be

A test potenciális (helyzeti) energiája a B pontban az a munka, amelyet a kérdéses erő végez, ha a B-ból abba az A pontba megy a test, amelyben a potenciális energiát nullának választottuk.

Potenciális energia

Helyzeti energia

E p =mgh

[J]

Rugóerő potenciális energiája

Ha az egyensúlyi helyzethez képest

x -lel nyújtottuk meg:

1 E p (x)  Dx 2 2

Mechanikai energia-megmaradás

Konzervatív erőtérben E=E k +E p =állandó

Centripetális erő

A testre ható erők eredőjének a pályavonalra merőleges komponense: Fcp =ma cp =m

v2  mr2 r

Erőkar

az erő hatásvonalának a (rögzített) tengelytől való távolsága

Forgatónyomaték vektor

   M  rF

Impulzusmomentum (perdület)

     L  r  I  mr  v

[Nm] [kg·m2/s]

egyszerűbb esetben L=mrv  mr 2   dL  M dt

Perdület-tétel Tehetetlenségi tömegpontra

nyomaték

  mr 2

[kg·m2]

Forgó mozgás alapegyenlete

M  

Harmonikus rezgőmozgás

x(t)=Asin(t+) , ahol A az amplitúdó, δ a fáziseltolás, ω pedig a körfrekvencia

Gyengén csillapított rezgőmozgás

x(t)  Ae t sin(t  ) , ahol   k ,   02   2 és 0 2  D / m

Hullámmozgás

A = A0 sin (kx - t )

Sűrűség definíciója

Általában   lim V0 m(V)

2m

V

homogén anyageloszlás esetén   m / V Tömegközéppont helyvektora

Impulzus-tétel rendszerekre

(súlypont)

tömegpont-

  m r m r  i i   i i , tömegpontok esetén, vagy rs  1 rdV m m V  mi folytonos anyageloszlás esetén  rs 

 d  I = å F i , vagyis az impulzus idő szerinti deriváltja egyenlő azt dt

összes külső erő eredőjével A dinamika alapegyenlete tömegpont-rendszerekre

[kg/m3]

  å Fi = matkp

Tömegközépponti tétel

Pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer egész tömege a tömegközéppontban lenne egyesítve és az összes külső erő erre a pontra hatna.

Forgatónyomaték vektor Impulzusmomentum tömegpont-rendszerekre

tétel

   M  rF

[Nm]

  dL   Mi dt i

vagyis az impulzusmomentum idő szerinti deriváltja

egyenlő azt összes külső erő forgatónyomatékának eredőjével Forgó mozgás alapegyenlete

 M  

Munkatétel rendszerre

W=E k ,

Tökéletesen egyenletei

tömegpont-

rugalmas

vagyis tömegpontrendszer kinetikus energiájának megváltozása egyenlő az összes külső és belső erők munkájával

ütközés Impulzus-megmaradás:

m1v1 (A)  m2 v2 (A)  m1v1 (B)  m2 v2 (B) Energia-megmaradásból:

m1v12 (A)  m 2 v 22 (A)  m1v12 (B)  m 2 v 22 (B) Tökéletesen rugalmatlan ütközés Impulzus-megmaradás: egyenletei m1v1 (A)  m 2 v 2 (A)  m1v1 (B)  m 2 v 2 (B) Az ütközés után együtt mozognak:

v1 (B)  v 2 (B) Tehetetlenségi definíciója

nyomaték Tömegpontok esetén  = å mi ri 2 , folytonos anyag esetén  = ò  r 2 dV

[kg·m2]

V

Tömegpont nyomatéka

tehetetlenségi

 = mr 2 [kg·m2]

Homogén rúd nyomatéka

tehetetlenségi

Középpontján áthaladó tengelyre:  = ml 2 / 12

Henger tehetetlenségi nyomatéka Steiner-tétel

Végén áthaladó tengelyre:  = ml 2 / 3  = mR 2 / 2

A súlyponttól d távolságra lévő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:

Merev test Merev test egyensúlyának feltételei

 d =  s + md 2

Olyan test, amelynek bármely két pontja közti távolság állandó 

åF =0 Nyomatékegyenlet å M = 0 Az erők egyensúlya

i

i

Nyomás

p  lim A0

F(A) , állandó erőhatás esetén p  F A A

[Pa]

Hidrosztatikai nyomás Arkhimédész törvénye

A folyadék súlyából származó nyomás, p H =gh

[Pa]

Folyadékba mártott testre felhajtóerő hat, amelynek nagysága egyenlő a test által kiszorított (azaz a test bemerülő részével egyenlő térfogatú) folyadék súlyával. Haladó mozgás (1 dim)

Forgó mozgás

Változó

x

φ

(szög)Sebesség

vx

ω

(szög)Gyorsulás

ax

β

Tehetetlenség

m

θ

A (szög)gyorsulás oka

Fx=max

M=θβ

Impulzus(momentum)

px=mvx

L= θω

Kinetikus energia

½ mvx2

½ θω2

Munka

FxΔx

MΔφ

Teljesítmény

Fxvx

Mω

II. Termodinamika Definiált fogalom

Meghatározás

Kvázisztatikus folyamat

Olyan folyamat, amely lényegében egyensúlyi állapotok sorozatán át vezet

Extenzív állapotjelző

Olyan állapotjelző, amely két rendszer egyesítésével összeadódik

Intenzív állapotjelző

Olyan állapotjelző, amely két rendszer egyesítésekor kiegyenlítődik

Közölt hő

Makroszkópikus elmozdulás és munkavégzés nélküli, a részecskék rendezetlen mozgásával kapcsolatos energiaátadás [J]

Fajhő

Jele: c, ahol Q  cm T

Mólhő

Jele: C, ahol Q  Cn  T

Térfogati munka

W  *

V2

 pdV

a gáz által a környezetén végzett munka, amíg a gáz

V1

térfogata V1-ről V2-re változik Belső energia

a részecskék egymáshoz képesti (relatív) mozgásához tartozó kinetikus energia plusz a részecskék egymással való kölcsönhatásához tartozó potenciális energia

egyensúlyi rendszerben adott hőmérsékleten minden egyes szabadsági fokra időátlagban ugyanannyi energia jut: E  1 kT

Ekvipartíció tétele

2

Szabadsági fok

az egymástól független energiatárolási lehetőségek

Egy rendszer belső energiája

Eb =

f f NkT , vagy E b = nRT 2 2

[J]

Hőmérséklet

két test közül az a magasabb hőmérsékletű, amelyiknek átlagosan több energia jut egy szabadsági fokára [K]

A hőtan első főtétele

E b =Q+W

Ideális gáz állapot-egyenlete

pV  NkT , vagy pV  nRT

Izoterm állapotváltozás definíciója és egyenletei

T  áll., pV  áll.

Izochor állapotváltozás definíciója és egyenletei

Izobár állapotváltozás definíciója és egyenletei

E b  0, W *  Q  nRT ln

p  áll. T f f E b  Q  nRT  Vp, W *  0 2 2

V  áll.,

p  áll., E b 

Adiabatikus állapotváltozás definíciója és egyenletei

V2 V1

V  áll. T

f nRT, W *  pV  nRT, Q  E b  W * 2

Q  0,   1 

2 f

TV 1  áll., pV   áll.,

p 1  áll. T

III. Elektrosztatika Definiált fogalom Coulomb-erő Vákuum permittivitása Elektromos térerősség

Meghatározás Nagysága: FC = k 0 

1 4 k

2 Q1Q 2 9 Nm , ahol k  9  10 r2 C2

 8,85 1012

Nm 2 C2

az elektromos térerősség megadja a kérdéses pontba helyezett pozitív egységnyi töltésre ható erőt, irány és nagyság szerint. Az irány a pozitív   F E töltésre ható erő irányával egyezik meg: [N/C] Q

két pont közötti az egységnyi próbatöltésen a két pont között a mező által végzett munka:

Feszültség

B   WAB    Edr Q A

U AB

[V]

A definíció következménye, hogy:  E   grad U Homogén elektromos térben:   U  E  d [V] Ha az elmozdulás párhuzamos a térerősséggel:

U  Ed Az elektrosztatikus mező I. alaptörvénye





 E  dr  0 ,

ha egy zárt görbén végigmegy a próbatöltés, a mező

g

összesen nulla munkát végez Kapacitás

C

Q U

[F]

Kondenzátor

Két vezető test elszigetelve egymástól, amelyet sokszor töltés tárolására használnak

Elektromos dipólus

Egy pozitív Q ponttöltésből és egy ugyanolyan nagyságú negatív ponttöltésből (-Q) áll, melyek távolsága  . Ha  kicsiny a feladatban előforduló egyéb távolságokhoz képest, akkor pontszerű dipólusról beszélünk.

Elektromos dipólmomentum Dipólusra nyomaték

ható

forgató-

Töltésközéppont helyvektora

  p  Q

   M forg  p  E  r tkp 

 Q r  ii

Q

i

Polarizációvektor

Az anyag átlagos polarizáltságát jellemzi:   p [C/m2] P  lim V  0 V

Elektromos indukcióvektor

   D  0E  P

Elektromos szuszceptibilitás

Megadja, hogy elektromos térben milyen erősen polarizálódik az anyag:   P   0  E ,

Relatív permittivitás

Megadja, hányszor nagyobb az illető szigetelő vagy dielektrikum permittivitása a vákuuménál:  r  1  

[C/m2]

Abszolút permittivitás

  0 r

Elektromos fluxus

Megadja a felületet átdöfő elektromos indukcióvonalak előjeles számát,   pontosabban:    DdA A

Homogén elektromos térben:     D A Ha a felület merőleges az indukcióra:

  DA Az elektrosztatika alaptörvénye

II. Azaz (elektrosztatikai) Gauss törvény: zárt rögzített felületre az elektromos fluxus egyenlő a felületben foglalt összes töltéssel.

  DdA Q   A

Síkkondenzátor kapacitása

Kondenzátor energiája

C   0 r WC 

Elektrosztatikus energiája

mező

Elektrosztatikus energiasűrűsége

mező

A d

Q2 1 1  QU  CU 2 2C 2 2

 1 DEdV [J]  2 V Homogén elektromos térben [J] 1  WE  DEV 2 WE 

1  DE 2 [J/m3] Ha a polarizációvektor arányos a térerősséggel  wE  E 2 2 Vákuumban  wE  0 E 2 2 wE 

Félkövér és dőlt betű: beugróban szerepel, ahol a job oldali sávban is jelölve van, ott a beugróban csak az adott változat fog szerepelni, de a vizsgán kelleni fog az általános is! Félkövér betű: alapvető fogalmak, a tételek mellett ezek szerepelnek kérdésként Fontos kiemelni, hogy az anyag nem tartalmaz minden összefüggést, ami a vizsgára kell!