0. Matematika és mértékegységek Definiált fogalom
Meghatározás
Kör kerülete, területe
K = 2rπ [m], T = r2π [m2]
Téglalap kerülete, területe
K = 2(a+b) [m], T = ab [m2]
Derékszögű háromszög kerülete, területe
K = a+b+c [m], T = ab / 2 [m2], ahol c az átfogó
Gömb felszíne, térfogata
A = 4r2π [m2], V = 4/3 r3π [m3]
Henger felszíne, térfogata
A = 2r2π + 2r πh [m2], V = r2πh [m3], ahol h a magasság
Téglatest felszíne, térfogata
A = 2(ab+ac+bc) [m2], V = abc [m3]
Szög sin-a
sin α = szöggel szemközti befogó / átfogó
Szög cos-a
cos α = szög melletti befogó / átfogó tg α = szöggel szemközti befogó / szög melletti befogó,
Szög tg-e
illetve tg
sin . cos
Vektorok összeadása
Lásd ppt segédanyag!
Vektorok összeadása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben
c=a+b=(cx , cy , cz ), ahol cx = ax + bx , cy = ay + by , cz = az + bz .
Vektorok szorzása számmal
Lásd ppt segédanyag!
Vektorok szorzása számmal derékszögű Descarteskoordinátarendszerben
c= μa =(cx , cy , cz ), ahol cx = μ ax , cy = μ ay , cz = μ az .
Vektorok kivonása
Lásd ppt segédanyag!
Vektorok kivonása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben
c=a-b=(cx , cy , cz ), ahol cx = ax - bx , cy = ay - by , cz = az - bz .
Vektorok skaláris szorzása
a·b = μ = |a||b|cosγ
Vektorok skaláris szorzása derékszögű Descarteskoordinátarendszerben
μ = a·b = ax bx + ay by + az bz
Vektorok vektoriális szorzása
Lásd ppt segédanyag!
c=a×b=(cx , cy , cz ), Vektorok vektoriális szorzása derékszögű Descarteskoordinátarendszerben
ahol cx = aybz - azby , cy = azbx - axbz , cz = axby - aybx .
Vektor hosszának számítása
|a|2= a·a
Vektor hosszának számítása derékszögű Descarteskoordinátarendszerben
|a|2= a·a= ax2 + ay2 + az2
Prefixumok
Lásd ppt segédanyag!
Óra-másodperc átváltás
1 h = 60 min, és 1 min = 60 s, így 1 h = 3600 s
Köbméter-liter átváltás
1 liter = 1 dm3, vagyis 1 m3 = 1000 liter
Fok-radián átváltás
rad 360 , illetve rad 2 2 360
I. Mechanika Definiált fogalom Sebesség
Gyorsulás Szabadesés során megtett út
Szögsebesség
Szöggyorsulás
Meghatározás
dr helyvektor változási gyorsasága v dt
[m/s]
dv d 2 r a sebességvektor változási gyorsasága a dt dt 2
[m/s2]
1 2 at v 0 t a g az iránytól függően, v0 a kezdősebesség 2 függőleges irányban h
d , a szög (radiánban mérve) változási gyorsasága [1/s] dt
d a szögsebesség változási gyorsasága dt
[1/s2]
Centripetális gyorsulás
a cp v 2 / r r 2 v , a sebesség irányának megváltozását jellemzi
Tangenciális gyorsulás
dv r a sebesség nagyságának megváltozását jellemzi, a dt gyorsulás érintőirányú komponense Olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a magára hagyott testek megtartják eredeti mozgásállapotukat (azaz a sebességvektor állandó).
Inerciarendszer
at
Newton II. (Erő-) axiómája Hatás-ellenhatás (Newton III. axiómája)
törvénye
F ma
[N]
Ha az A test a B testre FAB erőt fejt ki, akkor B test is erőt fejt ki az A testre. Ezen FBA erő azonos nagyságú, de ellentétes irányú az eredeti
FBA FAB
FAB erővel: Ha az anyagi pont egyidejűleg több hatásnak is ki van téve, azaz több erő hat rá, akkor együttes hatásuk egyetlen ún. eredő erővel helyettesíthető. Az eredő erő az egyes erők vektori összege
Szuperpozíció elve
n Fe = å Fi i =1
Súrlódási erő
FS Fny
Newton-féle gravitációs erő
Két tömeg közti vonzás, erőtörvénye: F =
G m g Fx Dx
Súlyerő Rugóerő Csillapított mozgásegyenlete
m1 m 2 r2
rezgőmozgás
Impulzus Impulzustétel
Dx x mx I mv
[kg·m/s]
d I =åF dt , azaz tömegpont impulzusának idő szerinti deriváltja
egyenlő a rá ható összes erő eredőjével Munka
Kinetikus (mozgási) energia Munkatétel
r2 W1,2 F dr , az erő elmozdulás szerinti integrálja, vagy állandó erő r1 esetén W F r Fr cos [J] Ek
1 mv 2 2
[J]
W=E k a test mozgási energiájának megváltozása egyenlő a testre ható eredő erő munkájával
Teljesítmény
P
dE egységnyi idő alatt közölt energia dt
Teljesítménytétel
P
dE k dt , a tömegpontra ható erők teljesítménye megegyezik a
[W]
tömegpont kinetikus energiájának változási gyorsaságával. Hatásfok
Konzervatív erő
E hasznos E befektetett
Olyan erő, amely általa a testen A és B pont között végzett munka független attól, milyen úton jut a test A-ból a B-be
A test potenciális (helyzeti) energiája a B pontban az a munka, amelyet a kérdéses erő végez, ha a B-ból abba az A pontba megy a test, amelyben a potenciális energiát nullának választottuk.
Potenciális energia
Helyzeti energia
E p =mgh
[J]
Rugóerő potenciális energiája
Ha az egyensúlyi helyzethez képest
x -lel nyújtottuk meg:
1 E p (x) Dx 2 2
Mechanikai energia-megmaradás
Konzervatív erőtérben E=E k +E p =állandó
Centripetális erő
A testre ható erők eredőjének a pályavonalra merőleges komponense: Fcp =ma cp =m
v2 mr2 r
Erőkar
az erő hatásvonalának a (rögzített) tengelytől való távolsága
Forgatónyomaték vektor
M rF
Impulzusmomentum (perdület)
L r I mr v
[Nm] [kg·m2/s]
egyszerűbb esetben L=mrv mr 2 dL M dt
Perdület-tétel Tehetetlenségi tömegpontra
nyomaték
mr 2
[kg·m2]
Forgó mozgás alapegyenlete
M
Harmonikus rezgőmozgás
x(t)=Asin(t+) , ahol A az amplitúdó, δ a fáziseltolás, ω pedig a körfrekvencia
Gyengén csillapított rezgőmozgás
x(t) Ae t sin(t ) , ahol k , 02 2 és 0 2 D / m
Hullámmozgás
A = A0 sin (kx - t )
Sűrűség definíciója
Általában lim V0 m(V)
2m
V
homogén anyageloszlás esetén m / V Tömegközéppont helyvektora
Impulzus-tétel rendszerekre
(súlypont)
tömegpont-
m r m r i i i i , tömegpontok esetén, vagy rs 1 rdV m m V mi folytonos anyageloszlás esetén rs
d I = å F i , vagyis az impulzus idő szerinti deriváltja egyenlő azt dt
összes külső erő eredőjével A dinamika alapegyenlete tömegpont-rendszerekre
[kg/m3]
å Fi = matkp
Tömegközépponti tétel
Pontrendszer tömegközéppontja úgy mozog, mintha a rendszer egész tömege a tömegközéppontban lenne egyesítve és az összes külső erő erre a pontra hatna.
Forgatónyomaték vektor Impulzusmomentum tömegpont-rendszerekre
tétel
M rF
[Nm]
dL Mi dt i
vagyis az impulzusmomentum idő szerinti deriváltja
egyenlő azt összes külső erő forgatónyomatékának eredőjével Forgó mozgás alapegyenlete
M
Munkatétel rendszerre
W=E k ,
Tökéletesen egyenletei
tömegpont-
rugalmas
vagyis tömegpontrendszer kinetikus energiájának megváltozása egyenlő az összes külső és belső erők munkájával
ütközés Impulzus-megmaradás:
m1v1 (A) m2 v2 (A) m1v1 (B) m2 v2 (B) Energia-megmaradásból:
m1v12 (A) m 2 v 22 (A) m1v12 (B) m 2 v 22 (B) Tökéletesen rugalmatlan ütközés Impulzus-megmaradás: egyenletei m1v1 (A) m 2 v 2 (A) m1v1 (B) m 2 v 2 (B) Az ütközés után együtt mozognak:
v1 (B) v 2 (B) Tehetetlenségi definíciója
nyomaték Tömegpontok esetén = å mi ri 2 , folytonos anyag esetén = ò r 2 dV
[kg·m2]
V
Tömegpont nyomatéka
tehetetlenségi
= mr 2 [kg·m2]
Homogén rúd nyomatéka
tehetetlenségi
Középpontján áthaladó tengelyre: = ml 2 / 12
Henger tehetetlenségi nyomatéka Steiner-tétel
Végén áthaladó tengelyre: = ml 2 / 3 = mR 2 / 2
A súlyponttól d távolságra lévő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték:
Merev test Merev test egyensúlyának feltételei
d = s + md 2
Olyan test, amelynek bármely két pontja közti távolság állandó
åF =0 Nyomatékegyenlet å M = 0 Az erők egyensúlya
i
i
Nyomás
p lim A0
F(A) , állandó erőhatás esetén p F A A
[Pa]
Hidrosztatikai nyomás Arkhimédész törvénye
A folyadék súlyából származó nyomás, p H =gh
[Pa]
Folyadékba mártott testre felhajtóerő hat, amelynek nagysága egyenlő a test által kiszorított (azaz a test bemerülő részével egyenlő térfogatú) folyadék súlyával. Haladó mozgás (1 dim)
Forgó mozgás
Változó
x
φ
(szög)Sebesség
vx
ω
(szög)Gyorsulás
ax
β
Tehetetlenség
m
θ
A (szög)gyorsulás oka
Fx=max
M=θβ
Impulzus(momentum)
px=mvx
L= θω
Kinetikus energia
½ mvx2
½ θω2
Munka
FxΔx
MΔφ
Teljesítmény
Fxvx
Mω
II. Termodinamika Definiált fogalom
Meghatározás
Kvázisztatikus folyamat
Olyan folyamat, amely lényegében egyensúlyi állapotok sorozatán át vezet
Extenzív állapotjelző
Olyan állapotjelző, amely két rendszer egyesítésével összeadódik
Intenzív állapotjelző
Olyan állapotjelző, amely két rendszer egyesítésekor kiegyenlítődik
Közölt hő
Makroszkópikus elmozdulás és munkavégzés nélküli, a részecskék rendezetlen mozgásával kapcsolatos energiaátadás [J]
Fajhő
Jele: c, ahol Q cm T
Mólhő
Jele: C, ahol Q Cn T
Térfogati munka
W *
V2
pdV
a gáz által a környezetén végzett munka, amíg a gáz
V1
térfogata V1-ről V2-re változik Belső energia
a részecskék egymáshoz képesti (relatív) mozgásához tartozó kinetikus energia plusz a részecskék egymással való kölcsönhatásához tartozó potenciális energia
egyensúlyi rendszerben adott hőmérsékleten minden egyes szabadsági fokra időátlagban ugyanannyi energia jut: E 1 kT
Ekvipartíció tétele
2
Szabadsági fok
az egymástól független energiatárolási lehetőségek
Egy rendszer belső energiája
Eb =
f f NkT , vagy E b = nRT 2 2
[J]
Hőmérséklet
két test közül az a magasabb hőmérsékletű, amelyiknek átlagosan több energia jut egy szabadsági fokára [K]
A hőtan első főtétele
E b =Q+W
Ideális gáz állapot-egyenlete
pV NkT , vagy pV nRT
Izoterm állapotváltozás definíciója és egyenletei
T áll., pV áll.
Izochor állapotváltozás definíciója és egyenletei
Izobár állapotváltozás definíciója és egyenletei
E b 0, W * Q nRT ln
p áll. T f f E b Q nRT Vp, W * 0 2 2
V áll.,
p áll., E b
Adiabatikus állapotváltozás definíciója és egyenletei
V2 V1
V áll. T
f nRT, W * pV nRT, Q E b W * 2
Q 0, 1
2 f
TV 1 áll., pV áll.,
p 1 áll. T
III. Elektrosztatika Definiált fogalom Coulomb-erő Vákuum permittivitása Elektromos térerősség
Meghatározás Nagysága: FC = k 0
1 4 k
2 Q1Q 2 9 Nm , ahol k 9 10 r2 C2
8,85 1012
Nm 2 C2
az elektromos térerősség megadja a kérdéses pontba helyezett pozitív egységnyi töltésre ható erőt, irány és nagyság szerint. Az irány a pozitív F E töltésre ható erő irányával egyezik meg: [N/C] Q
két pont közötti az egységnyi próbatöltésen a két pont között a mező által végzett munka:
Feszültség
B WAB Edr Q A
U AB
[V]
A definíció következménye, hogy: E grad U Homogén elektromos térben: U E d [V] Ha az elmozdulás párhuzamos a térerősséggel:
U Ed Az elektrosztatikus mező I. alaptörvénye
E dr 0 ,
ha egy zárt görbén végigmegy a próbatöltés, a mező
g
összesen nulla munkát végez Kapacitás
C
Q U
[F]
Kondenzátor
Két vezető test elszigetelve egymástól, amelyet sokszor töltés tárolására használnak
Elektromos dipólus
Egy pozitív Q ponttöltésből és egy ugyanolyan nagyságú negatív ponttöltésből (-Q) áll, melyek távolsága . Ha kicsiny a feladatban előforduló egyéb távolságokhoz képest, akkor pontszerű dipólusról beszélünk.
Elektromos dipólmomentum Dipólusra nyomaték
ható
forgató-
Töltésközéppont helyvektora
p Q
M forg p E r tkp
Q r ii
Q
i
Polarizációvektor
Az anyag átlagos polarizáltságát jellemzi: p [C/m2] P lim V 0 V
Elektromos indukcióvektor
D 0E P
Elektromos szuszceptibilitás
Megadja, hogy elektromos térben milyen erősen polarizálódik az anyag: P 0 E ,
Relatív permittivitás
Megadja, hányszor nagyobb az illető szigetelő vagy dielektrikum permittivitása a vákuuménál: r 1
[C/m2]
Abszolút permittivitás
0 r
Elektromos fluxus
Megadja a felületet átdöfő elektromos indukcióvonalak előjeles számát, pontosabban: DdA A
Homogén elektromos térben: D A Ha a felület merőleges az indukcióra:
DA Az elektrosztatika alaptörvénye
II. Azaz (elektrosztatikai) Gauss törvény: zárt rögzített felületre az elektromos fluxus egyenlő a felületben foglalt összes töltéssel.
DdA Q A
Síkkondenzátor kapacitása
Kondenzátor energiája
C 0 r WC
Elektrosztatikus energiája
mező
Elektrosztatikus energiasűrűsége
mező
A d
Q2 1 1 QU CU 2 2C 2 2
1 DEdV [J] 2 V Homogén elektromos térben [J] 1 WE DEV 2 WE
1 DE 2 [J/m3] Ha a polarizációvektor arányos a térerősséggel wE E 2 2 Vákuumban wE 0 E 2 2 wE
Félkövér és dőlt betű: beugróban szerepel, ahol a job oldali sávban is jelölve van, ott a beugróban csak az adott változat fog szerepelni, de a vizsgán kelleni fog az általános is! Félkövér betű: alapvető fogalmak, a tételek mellett ezek szerepelnek kérdésként Fontos kiemelni, hogy az anyag nem tartalmaz minden összefüggést, ami a vizsgára kell!