Hálózatszámítási módszerek Egy hálózat lineáris, ha a paraméterei nem függnek sem az idıtıl, sem a gerjesztések nagyságától. Koncentrált paraméterő, ha minden mérete lényegesen kisebb, mint a jelterjedés hullámhosszának egynegyede a legnagyobb gerjesztı frekvencián. -
differenciál-egyenlet rendszer megoldása idıtartományban o alkalmazási terület: általános
-
komplex reprezentáció o alkalmazási terület: koncentrált paraméterő, lineáris hálózatok harmonikus üzemmódja. Kevés, rögzített körfrekvencia esetén (alapjel és néhány felharmonikus) is használható, szuperpozíció alkalmazásával. o elınyök: a differenciálási és integrálási mőveleteket algebrai mőveletekké alakítja. A komplex formalizmusban használható egyenletek és módszerek formailag megegyeznek az egyenáramú hálózatokra érvényesekkel. Kivételt képez a tekercsek közötti induktív csatolás esete, amelynek nincs egyenáramú megfelelıje.
-
Laplace transzformáció o alkalmazási terület: koncentrált paraméterő, lineáris hálózatok általános üzemmódja, amennyiben a gerjesztések idıfüggése viszonylag egyszerő alakú (létezik kompakt Laplace transzformált). o elınyök: a differenciálási és integrálási mőveleteket algebrai mőveletekké alakítja. A Laplace formalizmusban használható egyenletek és módszerek formailag megegyeznek az egyenáramú hálózatokra érvényesekkel. Kivételt képez a tekercsek közötti induktív csatolás esete, amelynek nincs egyenáramú megfelelıje. Különösen alkalmas kapcsolásokat követı tranziens folyamatok modellezésére.
Hálózati alkatrészek jellemzése -
ellenállás:
u (t ) = Ri(t )
Uˆ ( jω ) = R Iˆ( jω )
U (s ) = RI (s )
-
tekercs induktív csatolás hiányában: di Uˆ ( jω ) = jωL Iˆ( jω ) U (s ) = sLI (s ) − Li (0) u (t ) = L (t ) dt Laplace transzformáció esetén a kezdıáramnak megfelelı forrásfeszültség iránya a generátor egyezmény miatt fordított. Az a szerepe, hogy a tekercsen folyó áram (önindukciós fluxus) folytonosságát biztosítsa a kezdeti pillanatban. -
tekercs induktív csatolással (Φext: a tekercs szempontjából külsı, a tekercs által átláncolt mágneses fluxus):
ext di (t ) + dΦ (t ) Uˆ ( jω ) = jωL Iˆ( jω ) + jωΦ ext dt dt U (s ) = sLI (s ) − Li (0 ) + sΦ ext (s ) − Φ ext (0 )
u (t ) = L
-
kondenzátor:
u (0) 1 ˆ 1 I (s ) + I ( jω ) U (s ) = sC s jω C 0 Laplace transzformáció esetén a kezdıáramnak megfelelı forrásfeszültség iránya a generátor egyezmény miatt fordított. Az a szerepe, hogy a kondenzátor feszültségének folytonosságát biztosítsa a kezdeti pillanatban. t
u (t ) = u (0 ) + ∫ i (τ )dτ
Uˆ ( jω ) =
Hálózatszámítás idıtartományban
1. ábra Kirchhoff csomóponti egyenlet: i = i 2 + iC Kirchhoff hurok-egyenletek:
u g = R1i + L
di + R2 i 2 dt
0 = R2 i 2 − u C A kondenzátor árama: du iC = C C dt A hálózat mőködését leíró differenciál-egyenlet rendszer a kezdeti feltételekkel: ug di R1 1 = − i − uC + L L L dt 1 1 du C dt = C i − R C u C 2 i (0 ) = i0 u C (0 ) = u 0
Hálózatszámítás harmonikus üzemmódban – komplex reprezentáció Az 1. ábrán látható hálózat adatai: R1 = 3 Ω; R2 = 1 Ω; ωL = 4 Ω; 1/ωC = 2 Ω; ug(t) = 10 sin(ωt+π/3) V; Számítsuk ki az egyes ágakban folyó áramok erısségét és ellenırizzük a teljesítményegyensúlyt! 1. lépés: a forrás-feszültségek és -áramok felírása komplex reprezentációban:
π π jϕ Uˆ g = Uˆ g e g = 10e j1.048 = Uˆ g (cos ϕ g + j sin ϕ g ) = 10 cos + j sin = 5 + 8.66 j 3 3 2. lépés: a hálózat újrarajzolása komplex reprezentáció használatával:
2. ábra 3. lépés: a komplex hálózat-egyenletek felírása: Kirchhoff csomóponti egyenlet: Iˆ = Iˆ 2 + Iˆ C Kirchhoff hurok-egyenletek:
Uˆ g = (R1 + jωL )Iˆ + R2 Iˆ 2 0 = R2 Iˆ 2 −
1 ˆ IC jω C
4. lépés: az adott paraméter-értékek behelyettesítése (ennek a lépésnek az eredménye egy komplex együtthatójú algebrai egyenletrendszer):
Iˆ − Iˆ 2 − Iˆ C = 0 (3 + 4 j )Iˆ + Iˆ 2 = 5 + 8.66 j Iˆ 2 + 2 j Iˆ C = 0 5. lépés: az egyenletrendszer megoldása:
(4 + 4 j )Iˆ 2 + (3 + 4 j )Iˆ C = 5 + 8.66 j Iˆ 2 + 2 j Iˆ C = 0
(11 − 4 j )Iˆ C = 5 + 8.66 j (5 + 8.66 j )(11 + 4 j ) = 0.15 + 0.84 j Iˆ = C
112 + 4 2 Iˆ 2 = −2 j Iˆ C = 1.68 − 0.3 j Iˆ = 1.83 + 0.54 j
6. lépés: a teljesítmény-egyensúly ellenırzése - a forrás által generált komplex látszólagos teljesítmény: 1 ∗ ∗ S g = Uˆ g Iˆ = 6.93 + 6.57 j 2 - az ellenállásokon hıvé alakuló aktív teljesítmény: 1 1 1 1 Pf = R1 Iˆ 2 + R2 Iˆ22 = 3 1.83 2 + 0.54 2 + 1 1.68 2 + 0.3 2 = 6.93 W 2 2 2 2 - a reaktív elemeken elfogyasztott meddı teljesítmény: 1 1 ˆ2 1 1 Q f = ωLIˆ 2 − I C = 4 1.83 2 + 0.54 2 + 2 0.15 2 + 0.84 2 = 6.57 var 2 2ωC 2 2
(
)
(
(
)
)
(
)
- a teljesítmény-egyensúly: ∗ S g = Pf + jQ f 7. lépés: a keresett mennyiségek visszaalakítása idıtartományba:
0.54 Iˆ = 1.83 2 + 0.54 2 = 1.91 A; ϕ = arctan = 0.289 rad; i (t ) = Iˆ sin (ωt + ϕ ) 1.83 − 0.3 Iˆ2 = 1.68 2 + 0.3 2 = 1.71 A; ϕ 2 = arctan = −0.175 rad; i 2 (t ) = Iˆ sin (ωt + ϕ 2 ) 1.68 0.84 IˆC = 0.15 2 + 0.84 2 = 0.85 A; ϕ C = arctan = 1.396 rad; iC (t ) = Iˆ sin (ωt + ϕ C ) 0.15 Számítás-gyorsító eljárások • ekvivalens impedancia (szuperpozíció elvének alkalmazásakor különösen hasznos): 1 R2 R2 jω C Z = R1 + jωL + = R1 + jωL + 1 1 + jω R 2 C R2 + jω C
R1 + R2 − ω 2 R2 LC + jω (L + R1 R2 C ) = 3.8 + 3.6 j = 5.23e j 0.758 1 + jωR2 C Uˆ Uˆ j (ϕ −ϕ ) Iˆ = = e g z = 1.91e j 0.289 Z Z
Z=
• áramosztó szabály: 1 1 jω C Iˆ 2 = Iˆ = Iˆ = 1.71e − j 0.175 1 1 + jω R 2 C R2 + jω C R2 jωR2 C Iˆ C = Iˆ = Iˆ = 0.85e j1.396 1 1 + jωR2 C R2 + jωC • itt is alkalmazható az ekvivalens feszültségforrás (Thévenin), illetve ekvivalens áramforrás (Norton) módszere
Hálózatszámítás általános üzemmódban – Laplace transzformáció Fontos a tekercseken a kezdeti pillanatban folyó áram erısségének, illetve a kondenzátorok kezdeti feszültségének megfelelı források figyelembe vétele:
3. ábra A fenti ábrán elsı bekapcsoláskor a segédforrások értéke nulla. A kapcsoló nyitása után olyan tranziens folyamat indul meg, amelynek a forrásai az aktuális áram- és feszültségértékeknek megfelelı segédgenerátorok. Ebben az üzemben a tekercs árama a diódán zárul. Legyen a feszültséggenerátor egyenfeszültség-forrás: Ug = 10 V, az ellenállások: R1 = 20 Ω; R2 = 5 Ω; a tekercs induktivitása: L = 10 mH; a kondenzátor kapacitása: C = 50 µF. Számítsuk ki az áramerısségeket a kapcsoló zárása után. Állandósult állapotban nyissuk ki a kapcsolót, és számítsuk ki az áramerısségeket. a) bekapcsolást követı tranziens üzem (segédgenerátorok forrásfeszültsége nulla) Impedancia:
1 R2 s 2 R2 LC + s(L + R1 R2 C ) + R1 + R2 sC Z = R1 + sL + = R1 + sL + = 1 1 + sR2 C 1 + sR2 C R2 + sC R2
Áramerısség a tekercsben:
I (s ) = I (s ) =
U g (s ) Z
=
1 + sR2 C 1 Ug = Ug 2 Z s s s R2 LC + s(L + R1 R2 C ) + R1 + R2
[
]
0.00025s + 1 1000s + 4000000 1000s + 4000000 10 = = 2 2 s(0.0000025s + 0.015s + 25) s(s + 6000s + 10000000) s (s + 3000)2 + 1000 2
[
Áramerısség a kondenzátoron:
I C (s ) =
I C (s ) =
R2 R2 +
1 sC
I (s ) =
sR2 C R2 C I (s ) = 2 Ug 1 + sR2 C s R2 LC + s(L + R1 R2 C ) + R1 + R2
1000 (s + 3000)2 + 1000 2
]
Az R2 ellenálláson átfolyó áram erıssége:
I 2 (s ) =
I 2 (s ) =
1 sC R2 +
1 sC
I (s ) =
1 1 I (s ) = Ug 2 1 + sR2 C s s R2 LC + s(L + R1 R2 C ) + R1 + R2
[
4000000 2 s (s + 3000) + 1000 2
[
]
]
Visszaalakítás idıtartományba (elegendı az iC(t) és i2(t) függvényeket meghatározni, ugyanis i(t) a kettı összege). Az inverz Laplace transzformáció következı összefüggéseit használjuk:
L−1 1 = 1 ; L−1
(s − q )
s
= e qt cos ωt ; 2 +ω
s−q 2
L−1
ω
(s − q )
2
= e qt sin ωt . 2 +ω
iC (t ) = e −3000t sin 1000t A kondenzátoron átfolyó áram erıssége ω = 1000 rad/s körfrekvenciájú lengı jelleget mutat, amely T = 1/3000 s = 0.33 ms idıállandóval lecseng (állandósult állapotban az áramerısség nulla). • elemi törtekre bontás
I 2 (s ) =
[
4000000
s (s + 3000 ) + 1000 2 =
2
( A + B )s
2
]
=
A Bs + C + = s (s + 3000)2 + 1000 2
+ (6000 A + C )s + 100000000 A
[
s (s + 3000) + 1000 2 2
]
együttható-azonosítással:
A + B = 0 6000 A + C = 0 10000000A = 4000000
A = 0.4 0.4 0.4s + 2400 − I 2 (s ) = B = −0.4 s (s + 3000)2 + 1000 2 C = −2400
• inverz Laplace transzformáció
I 2 (s ) =
0.4 s + 3000 1000 − 0.4 − 1.2 2 2 s (s + 3000) + 1000 (s + 3000)2 + 1000 2
i2 (t ) = 0.4 − 0.4e −3000t cos 1000t − 1.2e −3000t sin 1000t
i (t ) = iC (t ) + i2 (t ) = 0.4 − 0.4e −3000t cos1000t − 0.2e −3000t sin 1000t Az áramerısségeknek állandó és lengı jellegő összetevıi vannak. Az ω = 1000 rad/s körfrekvenciájú lengés T = 0.33 ms idıállandóval lecseng. Egyenáramú (állandósult) állapotban a tekercs rövidzár, a kondenzátor megszakítás.
Állandósult állapoti értékek:
i∞ = lim i (t ) = 0.4 A = t →∞
iC∞ = lim iC (t ) = 0
Ug R1 + R2
t →∞
i2 ∞ = lim i 2 (t ) = 0.4 A t →∞
u C∞ = R2 i 2∞ = 2 V b) állandósult állapot (egyenáramú üzem) beállta utáni kikapcsolást követı tranziens üzem
4. ábra A generátorok forrásfeszültségét az elızı pontban meghatározott állandósult állapoti értékek adják:
U L 0 = Li (0) = 0.01 H ⋅ 0.4 A = 0.004 Vs U C 0 = u C (0) = 2 V
A Kirchhoff egyenletek megoldása:
I = I 2 + I C U L 0 = (R1 + sL )I + R2 I 2 U 1 C 0 = R2 I 2 − IC sC s
I = I 2 + I C 0.004 = (20 + 0.01s )I + 5I 2 2 20000 = 5I 2 − IC s s
0.4s + 1400 I (s ) = (s + 3000)2 + 1000 2 0.4s + 2400 I 2 (s ) = (s + 3000)2 + 1000 2 1000 I C (s ) = − (s + 3000)2 + 1000 2
• inverz Laplace transzformáció i2 (t ) = 0.4e −3000t cos 1000t − 1.2e −3000t sin 1000t
iC (t ) = −e −3000t sin 1000t i (t ) = iC (t ) + i 2 (t ) = 0.4e −3000t cos1000t − 2.2e −3000t sin 1000t Állandósult állapoti értékek:
i∞ = lim i (t ) = 0 ; iC∞ = lim iC (t ) = 0 ; i2 ∞ = lim i 2 (t ) = 0 ; u C∞ = R2 i2∞ = 0 t →∞
t →∞
t →∞
Modellezzük az alábbi áramkör (Pearson-Anson relaxációs oszcillátor) mőködését:
A neonlámpát egy kapcsolóval és egy belsı ellenállással helyettesítjük. A kapcsoló bekapcsol, amikor a lámpára esı feszültség eléri a gyújtási értéket és kikapcsol, amikor az áramerısség az ionizációhoz szükséges minimális érték alá csökken. Legyen az alábbi kapcsolásban a tápfeszültség Ug = 120 V; a gyújtási feszültség (a kapcsoló zárási határa) Ui = 80 V; a vezetés fenntartásához szükséges minimális áramerısség (a kapcsoló nyitási határa) Imin = 3 mA; a lámpa vezetési ellenállása R2 = 1 kΩ; az elıtétellenállás R1 = 9 kΩ, a kondenzátor kapacitása C = 10 µF. Számítsuk ki a kondenzátor feszültségének idıbeli változását.
5. ábra a) kondenzátor-feltöltési folyamat Akkor kezdıdik, amikor az i2 áramerısség az ionizációhoz szükséges határ alá esik. Ekkor a kapcsoló kinyit, az i2 áramerısség nulla lesz, a kondenzátor feszültsége:
U 0 = u C (0) = R2 I min A Kirchhoff-egyenletek rendszere:
I = I C ; I 2 = 0 1 U g U 0 s − s = R1 + sC I C
I C (s ) = C
U g −U0 sR1C + 1
=
U g −U0 R1
1 s+
1 R1C
A töltıáram és a kondenzátoron mért feszültség képlete idıtartományban:
iC (t ) =
U g −U0 R1
−
e
t R1C
;
u C (t ) = U g − R1iC (t ) = U g − (U g − U 0 )e
−
A folyamat addig tart, amíg a feszültség eléri a gyújtási értéket:
U g − (U g − U 0 )e
−
t1 R1C
= Ui
t1 = R1C ln
U g − R2 I min U g −Ui
= 73 ms
t R1C
= 120 − 40e
−
t 0.09 s
V
b) kondenzátor-kisülési folyamat Akkor kezdıdik, amikor a feszültség a kondenzátoron eléri a gyújtási értéket. Ekkor a modellben a kapcsoló zár, a kondenzátor feszültsége:
U 0 = u C (0) = U i A Kirchhoff-egyenletek rendszere:
I = I C + I 2 U 1 g Ui − = R1 I + IC s s sC U i 1 s = − sC I C + R2 I 2
U g R1 + R2 − Ui R1 R1 R2 I C (s ) = R + R2 s+ 1 R1 R2 C Ug Ug U Ui s i + − U g 1 R2 R1 + R2 R2 R1 R2 C = + I 2 (s ) = R + R2 R + R s R + R 1 2 2 s+ 1 s s + 1 R1 R2 C R1 R2 C U g −Ui Ug U R2 s + Ug − i U g 1 R1 (R1 + R2 ) R1 R1 R1 R2 C I (s ) = = + R + R2 R1 + R2 s R + R2 s+ 1 s s + 1 R1 R2 C R1 R2 C
Az áramerısségek idıtartományban, valamint a kondenzátor feszültsége: R +R U g R1 + R2 − R11R2C2 t U i e − iC (t ) = R R R 1 1 2 R +R Ug U g − R11R2C2 t Ui e + − i2 (t ) = R1 + R2 R2 R1 + R2 R +R U i − R11R2C2 t i (t ) = U g + R2U g R (R + R ) − R e R + R 1 2 2 1 1 1
u C (t ) = R2 i2 (t ) = R +R
R2U g − R11R2C2 t e = + Ui − R1 + R2 R1 + R2 R2U g
= 12 + 68e
−
t 0.009 s
V
A folyamat addig tart, amíg az i2 áramerısség az ionizáció fenntartásához szükséges minimális értékre csökken, amikor kialszik a lámpa és helyreáll a szigetelı állapot (a kapcsoló nyit):
Ug U e + i − R1 + R2 R2 R1 + R2 Ug
R +R − 1 2 t2 R1R2C
= I min
Ug Ui − RRC R R1 + R2 t 2 = 1 2 ln 2 = 12 ms Ug R1 + R2 I min − R1 + R2
A lengés periódusa:
Ug Ui − U −R I R2 R R1 + R2 2 min g T = t1 + t 2 = R1C ln + ln 2 Ug U g −Ui R1 + R2 I min − R1 + R2
= 85 ms
