DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa:

1. © Bércesné Novák Ágnes


Algebrai alapok: Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy HH H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,bH elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy H-beli elemet. Melyek műveletek az alábbiak közül? - +, -, *, :, R, Z (C) -ben? -sík egybevágósági transzformációinak halmazában a kompozíció? - skalárszorzat - vektoriális szorzat -vegyes szorzat Def.: Egy H-n értelmezett * művelet asszociatív, ha bármely a,b,cH-ra a*(b*c)=(a*b)*c teljesül.

© Bércesné Novák Ágnes


Példa: Mátrixok szorzása asszociatív, de nem kommutatív Def.: Egy H-n értelmezett * művelet kommutatív, ha bármely a,bH-ra a*b=b*a teljesül.



Def.: Bal oldali egységelemnek egy olyan ebH elemet nevezünk, amelyre minden aH-val eb*a=a teljesül. Def.: Jobb oldali egységelemnek egy olyan ejH elemet nevezünk, amelyre minden aH-val a*ej=a teljesül. Def.: Az eH elem egyégelem (vagy kétoldali egységelem), ha mind bal, mind pedig a jobb oldal egységelem, azaz minden aH-ra e*a=a*e=a. Def.: Összeadás esetén az egységelemet nullelemnek vagy nullának nevezzük, és 0-val jelöljük. Példák: Az alábbiak közül melyik művelet, komm., asszoc, egységelemes, inverzelemes? - páros számok/páratlan számok: +,-,* - N és nulla halmazban: max (x, y), min(x,y), legkisebb-közös-többszörös(x,y)



-

sík eltolásai, sík forgatásai adott, rögzített pont körül Def.: Az aH elem bal oldali inverzén (vagy röviden balinverzén) egy olyan abH elemet értünk, amelyre ab-1*a=e. Def.: Az aH elem jobb oldali inverzén (vagy röviden jobbinverzén) egy olyan ajH elemet értünk, amelyre a* aj-1=e. Def.: Az aH elem inverze (vagy kétoldali inverze) egy olyan a-1H elem, amely az a-nak mind a bal, mind pedig a jobb oldali inverze, azaz a-1*a= a*a-1=e. Tétel: Legyen értelmezve H—n egy asszociatív művelet. Ha a kétoldali inverzek léteznek, akkor ab=aj=a-1 (az inverz kétoldali és egyértelmű) Biz.: ab-1=ab-1*e=ab-1* (a*aj-1)= (ab-1*a) *aj-1=a j-1



Def.: Csoport: Egy G nemüres halmazt csoportnak nevezünk, ha értelmezve van G-n egy asszociatív művelet, létezik egységelem és minden elemnek van inverze. (0. a,bG és a*bG, zártság, a művelet definíciójából következik!!!) 1. (a*b)*c=a*(b*c) 2. Létezik eG, e*a=a minden a-ra 3. létezik a-1G, és minden aG esetén igaz, hogy a-1*a=e ( Ha 4. a*b=b*a, akkor kommutatív, vagy Abel-csoport)



Példák csoportra:      

sík-tér egybevágósági transzformációi vektorok + egész számok + racionális számok + valós számok + nm-es mátrixok +, {{-1,1},}

Tétel: a, x, yG-re, (a*x=a*y) x=y (x*a=y*a) x=y (G mert lehet, hogy G nem kommutatív!) Biz.: x=e*x=ab-1*a*x= ab-1*a*y=e*y=y A másodikat ehhez hasonlóan, hf. Tétel: a, x, yG ax=bx=(ab-1)b, illetve (xa=bx=b(aj-1) Biz .: x=e*x= ab-1*(a*x)= ab-1 b. A másikat ehhez hasonlóan hf.



Def.: Egy T legalább kételemű halmazt kommutatív testnek nevezünk, ha:  Értelmezve van T-n két művelet – egyiket összeadásnak, másikat szorzásnak hívjuk.  Az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem, és minden elemnek létezik ellentettje.  A szorzás asszociatív és kommutatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik ( a szorzásra vonatkozó, azaz multiplikatív) inverze.  bármely a, b, c T-re a*(b+c)=a*b+a*c teljesül. Ezeket a tulajdonságokat szokás testaxiómáknak is nevezni. Az elnevezésben a „kommutatív” jelző a szorzás kommutativitására utal. Ha a szorzás kommutativitását nem kötjük ki, akkor nemkommutatív ill. ferdetestről beszélünk. Példák: -Q, R, C, a+bSQRT(2), 2x2 mátrixok közül az aik=0, kivéve a22=x alakúak



Def: Struktúra, részstruktúra, csoport-részcsoport? Félcsoport: egyetlen asszociatív művelet Def.: Egy R nemüres halmazt gyűrűnek nevezünk, ha  értelmezve van R-en két művelet – az egyiket összeadásnak, a másikat szorzásnak hívjuk,  az összeadás asszociatív és kommutatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje (vagyis K csoport),  a szorzás asszocatív,  a két műveletet a disztributiv szabály kapcsolja össze, pontosabban a szirzás disztibutív az összeadásra nézve: bármely a,b,c R –re a*(b+c)=a*b+a*c és (b+c)*a=b*a+c*a teljesül.



Példák: - n x n-es mátrixok gyűrűje a szokásos + és . műveletekre - a páros számok (kommutatív) gyűrűje a szokásos + és * műveletekre

Az alábbi, sárgával jelölt rész a Lineéris algebra tárgyhoz tartozik, s teljesség kedvéért említjük itt is. Def.: A V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk a T test felett, ha az alábbi kikötések, ún. vektortéraxiómák teljesülnek: A V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, bármely u,v V elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u+v-vel jelöllünk. Az összeadás kommutatív csoport. A T test és a V halmaz között értelmezve van a skalárral való szorzás (miért nem művelet?) az alábbi módon: bármely T és uV elempárhoz egyértelműen hozzárendelünk egy V-beli elemet, amelyet u-val jelölünk. (Művelet ez?) © Bércesné Novák Ágnes


 Bármely ,  T és vV esetén: (+)v=v+v  Bármely T és v, uV esetén: (u+v)=u+v  Bármely ,  T és vV esetén: ()v=(v)  Bármely vV esetén: 1v=v, ahol 1 a T test egységeleme (azaz amellyel minden T-re 1=1=). Pl.:sík, tér vektorai, nm-es mátrixok A vektortéraxiómák következményei:  a műveletek általános tulajdonságaiból azonnal következik, hogy a nullvektor (0) és minden vektornak az ellentettje egyértelmű



 elvégezhető a kivonás, azaz bármely u, vV vektorhoz egyértelműen létezik olyan wV vektor, amelyre v+w=u, ezt w=u-v-vel jelöljük.  az összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt a többtagú összegek esetén a zárójelek elhagyhatók, és a tagok sorrendje is tetszőlegesen átírható.  0.v=0, 0=0 (bizonyítás is kell!)



Def.: Egy T test feletti V vektortér egy nemüres WV részhalmazát altérnek nevezzük a V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon T test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre (pontosabban ezeknek a műveleteknek a W-re történő megszorításaira) nézve. Tétel: Egy T test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha:  u, vWu+vW  vW, TvW.


DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

Recommend Documents