disusun untuk proses pembelajaran tengah semester pertama Tahun Pelajaran 2014 – 2015 oleh MGMP Matematika SMA Katolik Frateran Surabaya dicetak terbatas untuk kalangan sendiri © Juni 2014
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama PENGANTAR Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya. Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh. Matematika sebagai bagian dari Kurikulum 2013 harus menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi : SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN Kemampuan matematika perlu dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, akhirnya diharapkan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diarahkan dan diberanikan untuk mencari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di lingkungan sekitarnya.
MATEMATIKA WAJIB dan PEMINATAN Materi matematika wajib adalah bahan ajar yang harus dikuasai oleh setiap peserta didik kelas x, sedangkan materi matematika peminatan adalah bahan ajar yang perlu dikuasai oleh setiap peserta didik yang memilih bidang peminatan matematika dan ilmu alam dan/atau peserta didik yang memilih matematika sebagai mata pelajaran lintas pemintan.
-1-
KELAS XII
KELAS XI
KELAS X
SEBARAN MATERI MATEMATIKA KURIKULUM 2013 WAJIB
PEMINATAN
1. Eksponen dan Logaritma 2. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak 3. Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Dua Variabel, dan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel 4. Matriks 5. Relasi dan Fungsi 6. Barisan dan Deret 7. Persamaan dan Fungsi Kuadrat 8. Geometri 9. Trigonometri 10. Limit Fungsi Aljabar 11. Statistika 12. Peluang 1. Program Linier 2. Matriks 3. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers 4. Barisan dan Deret Tak Hingga 5. Hubungan Antar Garis 6. Rumus-rumus Segitiga 7. Statistika 8. Aturan Pencacahan 9. Persamaan Lingkaran 10. Transformasi Geometri 11. Turunan Fungsi 12. Integral 1. Bunga, Pertumbuhan, dan Peluruhan 2. Induksi matematika 3. Diagonal ruang, Diagonal bidang, Bidang diagonal 4. Integral
1. Fungsi Eksponensial dan Logaritma 2. Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat Dua Variabel 3. Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel 4. Pertidaksamaan mutlak, pecahan, dan irrasional 5. Geometri Bidang Datar 6. Persamaan Trigonometri
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Polinomial Irisan Kerucut Irisan Dua Lingkaran Statistika Limit Fungsi Turunan fungsi trigonometri Aplikasi Turunan Fungsi
1. 2. 3. 4.
Penerapan Matriks. Vektor Matematika Keuangan Komposisi dan transformasi geometri Dimensi Tiga Trigonometri Integral Tentu Integral Parsial
5. 6. 7. 8.
-2-
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama PENGALAMAN BELAJAR Penulisan sederhana ini bertujuan memberikan pengalaman belajar bagi peserta didik, agar nantinya dapat menentukan bidang peminatan dan/atau pemilihan mata pelajaran lintas minat yang akan diambilnya, maka beban pembelajaran matematika hingga tengah semester 1 Tahun Pelajaran 2014/2015 diatur sebagai berikut,
UNIT 1 MATERI WAJIB : Eksponen, Bentuk Akar dan Logaritma dilanjutkan MATERI PEMINATAN : Fungsi Eksponensial dan Logaritma
UNIT 2 MATERI WAJIB : Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak, Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linier Dua Variabel, dan Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel dilanjutkan MATERI PEMINATAN : Sistem Persamaan Linier dan Kuadrat Dua Variabel Secara umum materi wajib akan disajikan melalui model pembelajaran langsung dan penugasan kelompok sedangkan untuk pengajaran materi peminatan akan disajikan melalui beberapa model pembelajaran lainnya disertai penugasan individual, hal tersebut dimaksudkan agar peserta didik memperoleh pengalaman belajar komprehensif, sekaligus dapat membantu peserta didik menetapkan arah bidang peminatan belajar dan/atau pemilihan matematika sebagai mata pelajaran lintas peminatan pada semester – semester selanjutnya.
PENILAIAN Hingga Tengah Semester 1 Tahun Pelajaran 2014/2015, Ranah penilaian materi matematika wajib dan/atau peminatan meliputi : KOGNITIF (pengetahuan) adalah ranah penilaian yang mengukur tingkat penguasaan pengetahuan peserta didik meliputi : KEMAMPUAN MATEMATISASI kemampuan mentransformasi masalah yang didefinisikan dalam kehidupan sehari-hari ke dalam bentuk matematis (yang mencakup struktur, konsep, membuat asumsi, dan atau merumuskan model), atau menafsirkan, mengevaluasi hasil matematika atau model matematika dalam hubungannya dengan masalah kontekstual . KEMAMPUAN ABSTRAKSI kemampuan menemukan pemecahan masalah tanpa hadirnya objek permasalahan itu secara nyata, dalam arti peserta didik melakukan kegiatan berpikir secara simbolik atau imajinatif terhadap objek permasalahan itu. POLA PIKIR DEDUKTIF pola berfikir dengan menggunakan analisa yang berpijak dari pengertian-pengertian atau faktafakta yang bersifat umum, kemudian diteliti dan hasilnya dapat memecahkan masalah khusus. KEMAMPUAN BERPIKIR TINGKAT TINGGI (berpikir kritis, dan berpikir kreatif). Berpikir Kritis adalah berpikir secara beralasan dan reflektif dengan menekankan pada pembuatan keputusan tentang apa yang harus dipercayai atau dilakukan. Berpikir Kreatif adalah berpikir baru yang diperoleh dengan mencoba-coba dengan keterampilan berpikir lancar, luwes, orisinal, dan elaborasi.
-3-
Nilai kognitif peserta didik pada unit tertentu adalah nilai murni hasil ulangan harian / uji kompetensi, yang akan dilakukan dengan tes tertulis berbentuk pilihan ganda dan uraian dengan pembobotan skor 40 : 60 (10 butir soal bentuk pilihan ganda dan 6 butir soal uraian dengan pembagian tingkat kesukaran 3 mudah, 2 sedang dan 1 sulit. MATERI ULANGAN HARIAN 30% soal berasal dari masalah yang dibuat siswa untuk bahan diskusi kelas 40% soal berasal dari latihan uji kompetensi yang dibuat guru untuk salah satu komponen penilaian psikomotor (keterampilan menyelesaikan masalah) 30% soal berasal dari soal – soal latihan pada buku pegangan dan/atau buku penggayaan lainnya Penilaian kognitif pada raport dilakukan dengan menggunakan huruf : A – B – C – D yang dilakukan melalui bobot konversi skoring sesuai dengan tabel dibawah ini SKOR 95 – 100 88 – 94 82 – 87 75 – 81 69 – 74 62 – 68 56 – 61 49 – 55 43 – 48 < 42
SKORING 3,67 – 4.00 3,34 – 3,66 3,01 – 3,33 2,67 – 3,00 2,34 – 2,66 2,01 – 2,33 1,67 – 2,00 1,34 – 1,66 1,01 – 1,33 < 1,00
NILAI A A– B+ B B– C+ C C– D+ D
Pembobotan skoring untuk penilaian pada raport semester I / II diperoleh sesuai dengan aturan pada peraturan akademik
-4-
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama PSIKOMOTOR (keterampilan) adalah ranah penilaian yang merepresentasikan tingkat keterampilan peserta didik dalam menyelesaikan masalah matematika, ketrampilan berkolaborasi, kemampuan dan keterampilan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan. Nilai psikomotor peserta didik pada unit bahasan tertentu berasal dari skor rata – rata hasil pengamatan pengajar pada proses pembelajaran kelas, diskusi kelas dan hasil penugasan melalui komponen penilaian berikut : KOMPONEN PENILAIAN PSIKOMOTOR Kelengkapan dan kerapian catatan peserta didik terkait dengan materi pembelajaran (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Kelengkapan, kerapian dan kejelasan penyelesaian latihan uji kompetensi yang ditugaskan oleh pengajar (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Aktivitas peserta didik dalam kelompok penugasan dan diskusi (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Kemampuan dan keterampilan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan dalam diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Penilaian pada raport dilakukan dengan menggunakan huruf : A – B – C – D yang dilakukan melalui bobot konversi skoring sesuai dengan tabel dibawah ini SKORING 3,67 – 4.00 3,34 – 3,66 3,01 – 3,33 2,67 – 3,00 2,34 – 2,66 2,01 – 2,33 1,67 – 2,00 1,34 – 1,66 1,01 – 1,33 < 1,00
-5-
NILAI A A– B+ B B– C+ C C– D+ D
Pembobotan skoring untuk penilaian pada raport semester I / II diperoleh sesuai dengan aturan pada peraturan akademik
AFEKTIF (sikap) adalah ranah penilaian yang merepresentasikan keadaan khusus peserta didik terhadap proses pembelajaran yang diikutinya, cara belajar matematika, rasa percaya diri dalam belajar matematika, tanggung jawab dalam menyelesaikan tugas yang diberikan, keberanian mencoba dan kegigihan dalam menyelesaikan permasalahan matematika, kemampuan bekerjasama , penghargaan budaya dan penerimaan individu atas berbagai perbedaan yang terjadi, serta jujur dalam mengungkapkan pendapat. Nilai afektif peserta didik pada unit bahasan tertentu berasal dari skor rata – rata hasil pengamatan pengajar pada sikap dan karakter peserta didik melalui komponen berikut : KOMPONEN PENILAIAN PSIKOMOTOR Kehadiran dan fokus perhatian peserta didik pada pembelajaran kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Ketepatan waktu penyerahan tugas dan/atau pengerjaan latihan uji kompetensi yang ditugaskan oleh pengajar (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Sikap peserta didik terhadap pengajar dan rekan – rekannya pada sesi pembelajaran maupun sesi diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Kejujuran peserta didik pada pelaksanaan ulangan harian (skor : 0 – 4) Penilaian pada raport dilakukan dengan menggunakan huruf : A – B – C – D yang dilakukan melalui bobot konversi skoring sesuai dengan tabel dibawah ini SKORING 3,34 – 4.00 2,34 – 3,33 1,34 – 2,33 < 1,33
NILAI SB B C K
Pembobotan skoring untuk penilaian pada raport semester I / II diperoleh sesuai dengan aturan pada peraturan akademik
-6-
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama
UNIT 1 EKSPONEN, BENTUK AKAR dan LOGARITMA (Materi Wajib)
BILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF Bilangan berpangkat bulat positif adalah bentuk penulisan bilangan yang digunakan untuk menyederhanakan operasi perkalian berulang terhadap sebuah bilangan. Lambang bilangan berpangkat terdiri atas dua bagian yaitu : Basis (bilangan pokok) Pangkat (eksponen) didefinisikan sebagai berikut, Jika
dan n adalah bilangan bulat positif maka
SIFAT – SIFAT BILANGAN BERPANGKAT BULAT POSITIF Dibawah ini adalah sifat – sifat dasar yang berlaku pada bilangan berpangkat positif. Jika a , b Re al dan m , n adalah bilangan bulat positif dengan m n a .a a m
am
a
n
n
( m n )
a( m n ) , dengan a 0
a m n a( mn )
a . bn a n . b n n
an a , dengan b 0 b bn
BILANGAN BERPANGKAT NOL dan BILANGAN BERPANGKAT BULAT NEGATIF Dengan mempertahankan sifat – sifat bilangan berpangkat positif tersebut diatas, dapat diturunkan sifat bilangan berpangkat negative dan nol, sebagai akhibat dari system operasi aljabar terdahulu, didefinisikan berikut, dengan n bilangan bulat positif
Jika maka,
dan
CatataN PenuliS sifat – sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat positif juga berlaku untuk bilangan berpangkat bulat negatif. Bilangan berpangkat dikatakan sederhana jika dan hanya jika bagian pangkatnya adalah bilangan positif.
-7-
BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL POSITIF Dibawah ini adalah pendefinisian dari bilangan berpangkat pecahan. Jika
bn a dari
bn a bn a
maka
b n
1 n
ba
a
(dibaca b adalah akar ke-n dari a) jika kedua ruas dipangkatkan dengan
1 , maka n
1 n
1 n
dari kedua fakta tersebut, maka dapat dinyatakan hubungan antara akar ke-n suatu bilangan dengan bilangan berpangkat rasional, sebagai berikut,
dan selanjutnya CatataN PenuliS sifat – sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat bulat juga berlaku untuk bilangan berpangkat rasional
BILANGAN BERPANGKAT RASIONAL NEGATIF Dari pendefinisian terdahulu tentang bilangan berpangkat bulat negative dan bilangan berpangkat rasional positif, maka dapat pula diartikan makna dari bilangan berpangkat rasional negative, sebagai berikut
CatataN PenuliS Sifat – sifat yang berlaku pada bilangan berpangkat tersebut diatas berlaku pula pada bilangan berpangkat rasional negatif Bilangan berpangkat pecahan dikatakan sederhana atau memiliki makna jika dan hanya jika dinyatakan sebagai bilangan bentuk akar
BILANGAN RASIONAL Bilangan Rasional atau bilangan pecahan, yaitu suatu ekspresi matematika untuk p menyatakan suatu nilai yang dinyatakan sebagai dimana p , q Bulat dan q 0 . q 2 1 1 3 ; ; ; 2 ; 1,12121212 … ; adalah contoh bilangan rasional. 3 2 2
BILANGAN IRASIONAL Bilangan Irasional yaitu suatu ekspresi matematika untuk menyatakan suatu nilai, tetapi p 2 ; 3 ; tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk dimana p , q Bulat dan q 0 . q 5 ;
3
4 ; ; e ; log 2 , 3 log 10 adalah contoh bilangan irasional.
-8-
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama BILANGAN BENTUK AKAR Bilangan Bentuk Akar adalah salah satu ekspresi matematika yang menyatakan suatu nilai yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional, atau secara sederhana adalah suatu nilai yang dinyatakan sebagai n p (dibaca akar ke-n dari p) dimana p Re al dan n 2 , dengan n Bulat Positif
Definisi : CatataN PenuliS
untuk n = 2 maka derajat dari bentuk akarnya tidak dituliskan. misal
5
3 12 adalah bentuk akar sejati sebab 12 tidak dapat dinyatakan sebagai x3 dengan x Bulat 3 8 adalah bukan bentuk akar sejati sebab 8 dapat dinyatakan sebagai x3 dengan x Bulat
MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR BERDERAJAT DUA Suatu bentuk akar berderajat dua ( a ) dikatakan sederhana jika dan hanya jika bilangan dibawah tanda akar adalah bilangan prima atau hasil perkalian bilangan – bilangan prima yang berbeda, misalnya 10 sebab (= 2 . 5 adalah perkalian bilangan prima yang berbeda) Maksudnya : 2 , 10 adalah salah satu contoh bilangan bentuk akar yang sederhana TEORI
Untuk
maka
dan
OPERASI ALJABAR PADA BENTUK AKAR BERDERAJAT DUA Jika maka ?
dan c adalah bilangan rasional positif dan
? ?
?
BENTUK AKAR KHUSUS ab 2
ab
=
a
b , dengan a > b
ab 2
ab
=
a
b
-9-
MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN DUA
BENTUK
AKAR
DERAJAT
Suatu pecahan dikatakan sederhana jika penyebutnya adalah bilangan bulat atau dengan kata lain jika suatu pecahan masih mengandung bentuk akar pada bagian penyebutnya, maka harus diupayakan suatu operasi yang lazim disebut merasionalkan penyebut. Prinsip utama dari merasionalkan penyebut suatu pecahan adalah mengalikan penyebutnya dengan bentuk sekawannya yaitu sebuah bentuk yang akan menghasilkan bilangan rasional jika dilakukan operasi perkalian terhadapnya
PENGANTAR LOGARITMA Menentukan nilai x yang memenuhi persamaan pangkat sederhana tentunya bukanlah hal yang sulit mengingat hal tersebut mestinya sudah dipahami dengan baik melalui pembelajaran sebelumnya. Jika diketahui
2x 8
maka tentu jawabnya adalah x = 3, tetapi Bagaimana
dengan masalah menentukan nilai x yang memenuhi persamaan
2x 9
LOGARITMA Definisi : , dengan
Tanda : dibaca “ekuivalen” (boleh dinyatakan sebagai / boleh ditulis sebagai) Untuk logaritma dengan basis 10 umumnya tidak dituliskan ( log 7 10log 7 )
SIFAT – SIFAT LOGARITMA Jika x , y > 0 , a > 0 dan a ≠ 1 , maka berlaku :
log 1 0
(1)
a
(2)
a
log a 1
(3)
a
log a x x
(4)
a
(5)
a
(6)
a
log ( xy ) alog x alog y
(7)
a
log x n n . alog x
a
log x
x
log ( xy ) alog x alog y
(8)
a
(9)
a
(10) (11)
log x
p
log x
p
log a
1 x
log a
log x . xlog y alog y
an
log x n alog x
am
log x n mn . alog x
- 10 -
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama Dikerjakan pada buku catatan
(AKTIVITAS KELAS)
Dibawah ini adalah contoh soal terkait materi bahasan tersebut diatas. Pembahasan contoh soal berikut akan dilakukan oleh pengajar pada pembelajaran kelas, tetapi tidak tertutup kemungkinan bagi anda untuk mencoba menyelesaikannya terlebih dahulu.
Tentukan bentuk sederhana dari : 1. 128 2. 3
294
1 2 27 4. 4 3 5. 2 8 6. 5 3 48 2 27 7. 4 7 28 63 5 7 8. 12 32 2 3 4 2 3.
9. 10.
6 x 96
12.
74 3
16. 17. 18.
11
2
2
2
2
2
28 x 24 4
23. Tentukanlah
2 6
1000
500
x3
nilai
dari
nilai
dari
500
x 16 125
1
nilai 1 3
27. Tentukanlah
2
1 9
21
8 27
dari
1 4
nilai 31
1 16
dari 41
28. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam notasi ilmiah
8 ,5 x 10 11
4 x 102 : 2,5 x 107
3 3 3
4
2
4 8 1 9 27 81
2 2
x 16
1 2
3 3
1
14 x 8
4
26. Tentukanlah
2 6 2
22. Tentukanlah
2
16 6 7 2 14. 2
2
1 3
8 3 27 3 21 3 64
13.
15.
21. Tentukanlah nilai dari 2
2
32 5 24
16 6 7 1 20. 1 2 3
24. Tentukanlah nilai dari 27 3 25. Tentukanlah nilai dari
108 3 2 x2 3
11.
3 7
19.
2 2
29. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam notasi ilmiah 24.000.000.000 x 0 ,000000000000006 0,0000018 x 120.000.000
30. Nyatakan hasilnya dalam bentuk 31
akar 2 x 31. Nyatakan hasilnya dalam bentuk akar
x
21
. 2x2 x
1
10
39. Jika log 3 a , log 5 b dan
2 2
log
1 16
2
35. Tentukan bentuk sederhanakan dari :
2.9 log 2 3.9 log 3 9log 36 36. Tentukan bentuk sederhanakan dari :
log
3
2
1 2 33. Tentukanlah nilai dari log 16
25
log 3 . 3log 8
6 Tentukanlah nilai dari log 3 2
5 .
2 2
32. Tentukanlah nilai dari log 8
2.3 log
2. log 10 log 3 2. log 5
38. Jika log 3 a dan log 5 b .
2x 3
34. Tentukanlah nilai dari
37. Tentukan bentuk sederhanakan dari : 2 2 2 2
3
5
log 7 c , Tentukanlah nilai dari :
3
log 14
40. Jika
2
log 3 a ,
3
log 5 b
dan
log 7 c , Tentukanlah nilai dari : log 21 5
1 9
12
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama Pengajar matematika adalah orang yang dapat berperan sebagai fasilitator proses pembelajaran, sehingga bahan belajar atau permasalahan pembelajaran tidak selalu harus berasal dari pengajar sebab peserta didik juga memiliki kemampuan dan kesempatan dalam mengakses informasi dari berbagai sumber belajar. Pembelajaran matematika selain ditujukan untuk meningkatkan keterampilan peserta didik dalam berkolaborasi dan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan, juga ditujukan sebagai sarana pembentukan sikap, oleh karena itu pada setiap sesi pengajaran suatu unit bahasan akan selalu terdapat sesi diskusi kelompok dimana bahan diskusi dapat disediakan oleh pengajar maupun disediakan oleh peserta didik. (PENUGASAN)
KOMPONEN PSIKOMOTOR & AFEKTIF
KELOMPOK
NOMOR ABSENT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 , 11 , 21 , 31 2 , 12 , 22 , 32 3 , 13 , 23 , 33 4 , 14 , 24 , 34 5 , 15 , 25 , 35 6 , 16 , 26 , 36 7 , 17 , 27 , 37 8 , 18 , 28 , 38 9 , 19 , 29 , 39 10 , 20 , 30 , 40
dilaksanakan diskusi kelas.
Sebelumnya terlebih dahulu ditentukan kelompok sebagai berikut : MEMBUAT PERMASALAHAN Masing – masing kelompok membuat / menuliskan satu buah soal sesuai materi bahasan tersebut diatas disertai penyelesaiannya. DISTRIBUSI Pada waktu yang telah disepakati, soal tersebut (hanya soalnya saja) diberikan kepada masing – masing kelompok lainnya dan guru pengajar. PENYELESAIAN Dengan durasi waktu 15 menit setiap kelompok menyelesaikan semua soal yang telah diterimanya. DISKUSI Dengan arahan pengajar sebagai moderator, fasilitator dan evaluator
PENILAIAN Aktivitas peserta didik dalam kelompok penugasan dan diskusi (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Ketepatan waktu penyerahan tugas dan/atau pengerjaan latihan uji kompetensi yang ditugaskan oleh pengajar (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Kemampuan dan keterampilan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan dalam diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Sikap peserta didik terhadap pengajar dan rekan – rekannya pada sesi pembelajaran maupun sesi diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4)
13
FUNGSI EKSPONENTIAL dan LOGARITMA (Materi Peminatan)
PERSAMAAN EKSPONEN adalah persamaan dengan variabel yang terletak pada bagian pangkatnya. Secara umum permasalahan utamanya adalah menentukan nilai pengganti variabel sedemikian hingga diperoleh pernyataan yang benar.
PERSAMAAN BERBENTUK a
Jika
1
dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = 0
PERSAMAAN BERBENTUK a Jika
f(x)
ap
dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = p
PERSAMAAN BERBENTUK a Jika
f(x)
a g( x )
dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = g(x)
PERSAMAAN BERBENTUK a
Jika
f(x)
b f(x)
dengan a > 0 dan a ≠ 1 ; b > 0 dan b ≠ 1, ; a ≠ b maka f(x) =0
PERSAMAAN BERBENTUK a Jika maka,
f(x)
f(x)
b g( x )
dengan a > 0 dan a ≠ 1 , b > 0 dan b ≠ 1, dan a ≠ b (i) (ii)
f(x) =0 dan g(x) =0 Kedua ruas ditarik logaritma, selanjutnya menentukan nilai x
PERSAMAAN BERBENTUK h( x )
f(x)
h( x ) g ( x )
Jika maka, (i) (ii) (iii) (iv)
f(x) = g(x) h(x) = 1 h(x) = – 1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya bernilai ganjil / genap pada saat bersamaan h(x) = 0 dengan syarat keduanya bernilai positif
14
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama PERSAMAAN BERBENTUK f ( x ) Jika maka,
(i) (ii)
h( x )
g( x )h( x )
f(x) = g(x) h(x) = 0 dengan syarat f(x) 0 dan g(x) 0
PERSAMAAN EKSPONEN MENYANGKUT BENTUK KUADRAT Jika persamaan eksponen dapat diubah
menjadi
bentuk
maka, lakukan pemisalan atau dengan menggunakan variabel lain, sehingga persamaan eksponen akan berubah menjadi persamaan kuadrat . Lakukan penyelesaian untuk menentukan nilai variabel baru y, dan selanjutnya tentukan nilai x melalui persamaan
FUNGSI EKSPONEN Fungsi eksponen adalah aturan yang memetakan setiap bilangan x Real kepada a dengan a > 0 dan a 1.
x
Bentuk Umum : gambar grafik fungsi eksponen f ( x ) a gambar di bawah ini,
x
, dengan a 0 dan a 1
seperti
sumbu y
(0,1)
sumbu x
15
Berdasarkan kedua gambar tersebut, dapatlah dipahami beberapa hal dibawah ini : Domain dari fungsi eksponen adalah semua bilangan real x, sedangkan range fungsi tersebut adalah semua bilangan real positif y. Grafik fungsi eksponen memotong sumbu y dititik (0 , 1). Grafik fungsi eksponen semuanya terletak diatas sumbu x dan tidak pernah memotong sumbu x atau dapat dinyatakan bahwa fungsi eksponen memiliki asimot datar pada sumbu x.
Untuk f ( x ) a , a 1 maka fungsi tersebut monoton naik. x
2 sehingga, jika x1 > x2 maka a 1 a Hal inilah yang menjadi dasar untuk membuat keputusan berkaitan dengan masalah pertidaksamaan eksponen.
f(x )
f(x )
Jika a > 1 dan diketahui
maka f(x) > g(x) atau
Jika a > 1 dan diketahui
maka f(x) < g(x)
Untuk f ( x ) a x , 0 a 1 maka fungsi tersebut monoton turun. 2 sehingga, jika x1 > x2 maka a 1 a Hal inilah yang menjadi dasar untuk membuat keputusan berkaitan dengan masalah pertidaksamaan eksponen.
f(x )
f(x )
Jika 0 < a < 1 dan diketahui
maka f(x) < g(x) atau
Jika 0 < a < 1 dan diketahui
maka f(x) > g(x)
PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN adalah pertidaksamaan dengan variabelnya terletak pada bagian pangkat dimana secara umum permasalahan utamanya adalah menentukan nilai pengganti variabelnya sedemikian hingga diperoleh pernyataan yang benar. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen yang sederhana, gunakan teori pengambilan keputusan tersebut diatas. Catatan Penulis upayakan selalu menggunakan bilangan berpangkat dengan basis bilangan yang lebih besar dari pada 1, agar tidak dikacaukan dengan perlu tidaknya tanda pertidaksamaan berputar. Kadang masalah pertidaksamaan eksponen dikaitkan dengan bentuk kuadrat, sehingga pada penyelesaiannya memerlukan variabel lain untuk melakukan penyederhanaan masalah.
16
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama Dikerjakan pada buku catatan
(AKTIVITAS KELAS)
Dibawah ini adalah contoh soal terkait materi bahasan tersebut diatas. Pembahasan contoh soal berikut akan dilakukan oleh pengajar pada pembelajaran kelas, tetapi tidak tertutup kemungkinan bagi anda untuk mencoba menyelesaikannya terlebih dahulu. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen dibawah ini : 1.
2 2 x
2.
2 2 x 7
3.
9x 3
2
2
3x 5
x
1
1 32
27 x
2
1
1 2 x 1 22
32 5. x 2 8 x 4 32 4.
6. 7 7.
x 2 5 x 6
8x
2
5 x 6
x 2 7 x 112 x 5 x 2 7 x 115 x 2 x 2 x 5x 1 1 x 2 5 x 9x 4 x 3 2 x 3x 4 x 3 2
8.
2
9.
5 x 3 x 1 30 2 x 1 2 x 3 0 11. 2 10. 5
12. 9
x 2 3x 2
2
2
x 2 3 x 1 9 x 2 3 x 10.3x 2 3 x 20 0
13. 9 4.3 5 x
x
4 3
x
1 9x
0
Tentukan himpunan penyelesaian perstidakamaan eksponen dibawah ini : 14. 2
2 x2 9 x
1 15. 2 1 16. 8 17.
x2
1 32
1 4
4 x 6
2 x x2
2x
2
3 x 5
x 2 2 x 32 x1 x 2 2 x 3x3
2 x1 8.6 x 2 0 2 x1 5.2 x1 8 0 19. 2 18. 6
x4 x 20. 2 2 2
17
32 0
Pengajar matematika adalah orang yang dapat berperan sebagai fasilitator proses pembelajaran, sehingga bahan belajar atau permasalahan pembelajaran tidak selalu harus berasal dari pengajar sebab peserta didik juga memiliki kemampuan dan kesempatan dalam mengakses informasi dari berbagai sumber belajar. Pembelajaran matematika selain ditujukan untuk meningkatkan keterampilan peserta didik dalam berkolaborasi dan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan, juga ditujukan sebagai sarana pembentukan sikap, oleh karena itu pada setiap sesi pengajaran suatu unit bahasan akan selalu terdapat sesi diskusi kelompok dimana bahan diskusi dapat disediakan oleh pengajar maupun disediakan oleh peserta didik. (PENUGASAN)
KOMPONEN PSIKOMOTOR & AFEKTIF
KELOMPOK
NOMOR ABSENT
1 2 3 4 5 6 7 8
1 , 9 , 17 , 25 , 33 2 , 10 , 18 , 26 , 34 3 , 11 , 19 , 27 , 35 4 , 12 , 20 , 28 , 36 5 , 13 , 21 , 29 , 37 6 , 14 , 22 , 30 , 38 7 , 15 , 23 , 31 , 39 8 , 16 , 24 , 32 , 40
Sebelumnya terlebih dahulu ditentukan kelompok sebagai berikut : MEMBUAT PERMASALAHAN Masing – masing kelompok membuat / menuliskan dua buah soal sesuai materi bahasan tersebut diatas disertai penyelesaiannya. DISTRIBUSI Pada waktu yang telah disepakati, soal tersebut (hanya soalnya saja) diberikan kepada masing – masing kelompok lainnya dan guru pengajar. PENYELESAIAN Dengan durasi waktu 25 menit setiap kelompok menyelesaikan semua soal
yang telah diterimanya. DISKUSI Dengan arahan pengajar sebagai moderator, fasilitator dan evaluator dilaksanakan diskusi kelas.
PENILAIAN Aktivitas peserta didik dalam kelompok penugasan dan diskusi (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Ketepatan waktu penyerahan tugas dan/atau pengerjaan latihan uji kompetensi yang ditugaskan oleh pengajar (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Kemampuan dan keterampilan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan dalam diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Sikap peserta didik terhadap pengajar dan rekan – rekannya pada sesi pembelajaran maupun sesi diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4)
18
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama PERSAMAAN LOGARITMA adalah persamaan dengan variabel terletak pada bagian numerus atau basis logaritma, dengan permasalahan utama menentukan nilai pengganti variabelnya sedemikian hingga diperoleh pernyataan yang benar. PERSAMAAN BERBENTUK log f ( x ) log p a
a
Jika
dengan f(x) > 0 , p > 0 , a>0 dan a≠1 , maka f(x) = p
PERSAMAAN BERBENTUK log f ( x ) log g( x ) a
a
Jika
dengan f(x) > 0 , g(x) > 0 , a>0 dan a≠1 , maka f(x) = g(x)
PERSAMAAN BERBENTUK
f(x)
log g( x ) f ( x )log h( x )
Jika
dengan f(x) > 0 , g(x)>0 ,h(x)b > 0 dan f(x)≠1 , maka g(x) = h(x)
PERSAMAAN BERBENTUK log f ( x ) log f ( x ) a
b
Jika
dengan f(x) > 0 , a>0 , b > 0 dan a≠1 , maka f(x) = 1
PERSAMAAN BERBENTUK a
f(x)
b g( x )
Persamaan berbentuk
CatataN PenuliS Biasakan melakukan pemeriksaan terhadap jawaban yang diperoleh, dengan cara mensubstitusikannya kepada soal awal, sebab tidak selalu nilai x yang diperoleh melalui pengerjaan adalah jawaban dari soal tersebut.
19
FUNGSI LOGARITMA Mengingat fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen, maka gambar grafik fungsi logaritma dapat diperoleh dengan mencerminkan fungsi eksponen f ( x ) a dengan a 0 dan a 1 terhadap garis y = x seperti gambar di bawah ini,
sumbu y
x
,
y=x
(0,1)
(1,0)
sumbu x
Berdasarkan gambar tersebut, dapatlah dipahami beberapa hal dibawah ini : Domain dari fungsi logaritma adalah bilangan real x positif, sedangkan range fungsi tersebut adalah semua bilangan real y. Grafik fungsi logaritma memotong sumbu x dititik (1 , 0). Grafik fungsi logaritma semuanya terletak dikanan sumbu y dan tidak pernah memotong sumbu y atau dapat dinyatakan bahwa fungsi logaritma memiliki asimot tegak pada sumbu y.
20
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama
Untuk f ( x ) log x , a 1 maka fungsi tersebut monoton naik. a
sehingga, jika x1 > x2 maka log f ( x1 ) log f ( x2 ) Hal inilah yang menjadi dasar untuk membuat keputusan berkaitan dengan masalah pertidaksamaan logaritma a
a
Jika a > 1 dan diketahui
maka f(x) > g(x) atau
Jika a > 1 dan diketahui
maka f(x) < g(x)
SELARAS DENGAN HAL TERSEBUT DIATAS,
Untuk f ( x ) log x , 0 a 1 maka fungsi tersebut monoton turun. a
sehingga, jika x1 > x2 maka log f ( x1 ) log f ( x2 ) Hal inilah yang menjadi dasar untuk membuat keputusan berkaitan dengan masalah pertidaksamaan logaritma a
a
Jika 0 < a < 1 dan diketahui
maka f(x) < g(x) atau
Jika 0 < a < 1 dan diketahui
maka f(x) > g(x)
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Masalah utama pertidaksamaan logaritma adalah menentukan nilai pengganti variabelnya. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma yang sederhana, gunakan teori pengambilan keputusan tersebut diatas, untuk lebih mudahnya upayakan selalu menggunakan logaritma dengan basis bilangan yang lebih besar dari pada 1, agar tidak dikacaukan dengan perlu tidaknya tanda pertidaksamaan berputar. CatataN PenuliS Sebelum melakukan penyelesaian soal – soal yang berkaitan dengan pertidaksamaan logaritma, sebaiknya terlebih dahulu melakukan pengerjaan berkaitan dengan syarat – syarat logaritma yang harus dipenuhi.
21
Dikerjakan pada buku catatan
(AKTIVITAS KELAS)
Dibawah ini adalah contoh soal terkait materi bahasan tersebut diatas. Pembahasan contoh soal berikut akan dilakukan oleh pengajar pada pembelajaran kelas, tetapi tidak tertutup kemungkinan bagi anda untuk mencoba menyelesaikannya terlebih dahulu. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma dibawah ini : 1. 2. 3. 4.
1 3 log 3
log x 6 3log x 2 2
2 x 3
log x 2 3 x 2
log 5 x 10
2 x 3
log x 2 4 x 3 7 log x 2 4 x 3
6.
5
7.
3
9.
log 2 x 5 3log x 2 4 x 4 2 0 log 3 x 2 2.log x 1 log5 x 3 3
5.
8.
2 x 3 21
log 2 x 3log x 2 3 0
x 3
log x
x3 100
log x 2
3
log x
15
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma dibawah ini : 10.
2
11.
2
log x 2 7 x 2log 18
log ( x 2 3 x 2 ) 2log ( 10 x )
1 2 12. 2 log ( x
8)0
1 1 2 2 13. log ( 3 x 1 ) log ( 2 x 3 )
1 2 14. 3 log( x 1 2 15. 5 log ( x
6 x 11 ) 1 0 2x 3 ) 1
22
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama Pengajar matematika adalah orang yang dapat berperan sebagai fasilitator proses pembelajaran, sehingga bahan belajar atau permasalahan pembelajaran tidak selalu harus berasal dari pengajar sebab peserta didik juga memiliki kemampuan dan kesempatan dalam mengakses informasi dari berbagai sumber belajar. Pembelajaran matematika selain ditujukan untuk meningkatkan keterampilan peserta didik dalam berkolaborasi dan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan, juga ditujukan sebagai sarana pembentukan sikap, oleh karena itu pada setiap sesi pengajaran suatu unit bahasan akan selalu terdapat sesi diskusi kelompok dimana bahan diskusi dapat disediakan oleh pengajar maupun disediakan oleh peserta didik. (PENUGASAN)
KOMPONEN PSIKOMOTOR & AFEKTIF
Sebelumnya terlebih dahulu ditentukan kelompok sebagai berikut : 1 , 8 , 15 , 22 , 29 , 36 MEMBUAT PERMASALAHAN Masing – masing 1 kelompok membuat / menuliskan dua buah soal 2 , 9 , 16 , 23 , 30 , 37 2 sesuai materi bahasan tersebut diatas disertai 3 , 10 , 17 , 24 , 31 , 38 3 penyelesaiannya. 4 , 11 , 18 , 25 , 32 , 39 4 DISTRIBUSI Pada waktu yang telah disepakati, 5 , 12 , 19 , 26 , 33 , 40 5 soal tersebut (hanya soalnya saja) diberikan 6 , 13 , 20 , 27 , 34 kepada masing – masing kelompok lainnya dan 6 guru pengajar. 7 , 14 , 21 , 28 , 35 7 PENYELESAIAN Dengan durasi waktu 25 menit setiap kelompok menyelesaikan semua soal yang telah diterimanya. DISKUSI Dengan arahan pengajar sebagai moderator, fasilitator dan evaluator dilaksanakan diskusi kelas. KELOMPOK
NOMOR ABSENT
PENILAIAN Aktivitas peserta didik dalam kelompok penugasan dan diskusi (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Ketepatan waktu penyerahan tugas dan/atau pengerjaan latihan uji kompetensi yang ditugaskan oleh pengajar (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Kemampuan dan keterampilan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan dalam diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Sikap peserta didik terhadap pengajar dan rekan – rekannya pada sesi pembelajaran maupun sesi diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4)
23
(Dikerjakan Pada Buku Latihan)
LATIHAN UJI KOMPETENSI
Uji standar kompetensi ”UNIT 1” akan dilaksanakan guna melakukan penilaian akhir terhadap penguasaan siswa terhadap unit bahasan bersangkutan. Selesaikan secara mandiri latihan uji dibawah ini, agar anda mendapat gambaran bentuk dan materi yang akan diujikan sebab setidaknya 40% soal uji kompetensi berasal dari butir – butir soal dibawah ini. SelamaT BelajaR A. PILIHAN GANDA Pilihlah satu jawaban yang paling tepat
1. Nilai dari 81 27 729 ........ a. b. c. d. e.
5.
17 8 21 8 27 8 28 8 29 8
( 9 5 )( 2 5 1 ) 5 1 a. 5 5 b. 6 5 c. 19 d. 10 5 e. 19 5
2. 2 175 5 343 63 3 112 ........ a. 34 7
6.
5 4 ........ 2 3 32 3 a. 6 73 3
b. 32 7
b. 6 31 3
31 7 d. 30 7 e. 29 7
c. 6 71 3
c.
d. 6 73 3 e. 6 31 3
3. 6 xy 3 y 4 y 2 x 75x 2 y 3 128xy 2 .. 7....Bentuk
b. x 2 y 2 5 x d. 5 x 2 2 xy
c. 11 10
e. xy 3 y 4 y 2 x
a. b. c. d. e.
dari
a. -45 b. 11 2 10
c. 2 xy 3 x
sederhana
3 45( 10 1 ) adalah . . . . 1 2 5
a. xy 2 x 2 y xy
4.
.......
27 125 x
15 23 3 15 41 3 15 23 15 41 15 41
3 20 ........
d. 10 5 2 e. 10 10 55 8. 3 25 x 3 0 ,2 x 3 3125 ......... a. 25 b. 15 c. 10 d. 7 e. 6
24
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 9. Jika
diketahui
2 1,414
maka 3 1,732 6 ........ 3 2 a. b. c. d. e.
nilai
dan
13. Jika x = 216 dan y = 64 maka nilai
dari
dari x
adalah …….
6
14.
4 4 10 8 3 2
a 1 b 1
3
2 1 x 2 y 3 z 2 8 ....... 4 1 1 1 3 2 3 x y z 4
c. 16 18
11.
4
d. 7 91 e. 21 91
a. 2 81 b. 4 32
a 1b ab 1
y
b. 7 91 c. 79
10. Bilangan dibawah ini yang memiliki nilai terbesar adalah …….
e.
3
a. 21 91
0,778 2,368 3,146 7,706 8,024
d.
2
a. 64x3yz5 b. = …….
a. a b b. a b c. a b
c.
yz 10 64 x 4 32 yz 6 x y z 2
d.
1 ab 1 e. ab
e.
d.
32 x 64 x 2 y3 z5
15. Nilai x yang memenuhi persamaan
4 2 x 3 64 adalah ……. 12.
2 2 a. b. c. d. e.
25
21 23 1
3
6
72 11 3 3
3 6 65 66 68 125 126
a. = …….
b. c. d. e.
81 18 27 18 12 18 6 18 4 18
16. Nilai x yang memenuhi persamaan
16 4 x 5 2
a. b. c. d. e.
2 x 20
646 3 x adalah …….
–2 –1 0 1 2
x 37 20 3
17. Diketahui
y 37 20 3
x a. b. c. d. e.
1 2
y
1 2
dan
20. Nilai x yang memenuhi 2x-1 =3x+3 adalah a.
1 3 log 16
b.
2 3 log
54
c.
1 3 log
25
d.
2 3 log 18
e.
1 5 log
.......
5 21. Jika x log 32 4
4 3 7 3 4 9 7 13 10 13
b. c. d. e.
b. 8 log x 4 c.
4
log x 8
d. 4 log 8 x e.
x
log 8 4
ekuivalen dengan
1 8 1 2 4 2 16 2
22. Nilai dari 0 ,5 log 32 2 ........ a. 11 2 5 b. 2 c. d.
a. 8 log 4 x
maka x = .........
1 a. 16
18. Jika log 2 = 0,3010 , log 3 = 0,4771 maka log ( 3 2 x 3 ) ....... a. 0,1505 b. 0,1590 c. 0,2007 d. 0,3389 e. 0,3891
19. Bentuk 4 x 8 ……..
32
maka
2 11 2 5
e. 5
4 4 23. Nilai dari 4 2 log 2 2 log 5 =...... a. 128 b. 100 c. 42 d. 4 e. 4- 2
26
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 24. Jika 3.3 log y 3 log ( x 1 ) 4 maka a. y = x – 3 b. y2 = 2x + 2 c. y2 = - 4 ( x + 1 ) d. y3 = 4 ( x + 1 ) e. y3 = 4 ( x – 1 )
25. 3log 5 . 625log 27 = ……. a. 9 b. 3 c. 43 3 4 1 9
d. e.
2
26.
log 5 2.4 log 5 2
log 3 . 3log 5
e.
= …….
27. Jika 5 log 8 p , maka nilai dari
27
log 0 ,125 ........
a. b. c. d. e.
2p p –p ½p 1 p
log 20 =....... x y a. 2x x 2y b. 3x x y c. 3x 2x 2 y d. 3 3( x y ) e. x
y
2 3 1 2
0 ,2
8
29. Jika a log x 3 dan 3a log y 3
a. 3 b. 2 c. 32 d.
28. Jika 3log 4 x , 3log 5 y , maka
maka nilai dari x ....... a. 81 b. 27 c. 9 d. 3 e. 1 30. Nilai k yang memenuhi persamaan
x a x a 1
a x a 1 a x k 1
adalah
....…. a. a b. 3a c. 2a 1 d. 3a 1 e. a 2 a 31. Nilai 3 5 x 9 27
a.
1 5
b. c. d. e.
4 5 –5 –4
x
yang 1 x 3 1
memenuhi
adalah .......
32. Diketahui
1 3 243 Jika
3x
35. Jika m dan n adalah akar – akar
3 x2 3
x0 memenuhi
maka nilai 1
2 3
persamaan 9 x
1 . 9
persamaan
,
3 x0 .... 4
3 16 1 1 4 3 1 4 1 2 3 3 2 4
a. 1 b. c. d. e.
33. Nilai-nilai 2
3 x 4
yang
memenuhi
2
1 x1 ; x 2 9 2 9 d. x1 1 ; x 2 2 7 e. x1 1 ; x 2 2
34. Hasil kali semua memenuhi x 3 2 x 2 3 x 6
adalah ... a. 4 b. 2 c. –2 d. –3 e. –4
x
10
maka
nilai m + n = ...... a. – 2 b. 0 c. 1 d. 1½ e. 2 persamaan 2 x 2 3 x 9 maka nilai a + b = ....... a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 e. 9
c.
4
3
.3
36. Jika a dan b adalah akar – akar
10 x 2 x 3 adalah …..... 9 a. x1 1 ; x 2 2 7 b. x1 1 ; x 2 2 1000x
10
2
3 x2 9 x1 810
37. Jika
3 a. b.
x 3
= ..
1 9 1 3
c. 1 d. 3 e. 9 38. Jumlah
5
nilai x yang persamaan 4 x 2 4 x 8
0
maka
a. b. c. d. e.
x1
2 1
akar-akar
5
2 x
30 adalah
0 1 2
39. Jumlah nilai 3
persamaan
4 x y
1 243
x dan
yang
memenuhi
x 7 y 25 2
adalah ....... a. 28 b. 17 c. 28 d. 17 e. 1
28
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 40. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan
2
x 1
3
y 1
2 x1 3 y 7 ; 1 maka nilai x y
adalah …..... a. 0 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5
43. Grafik y ( 4 )2 x memotong grafik
y 2 2 x di titik yang berordinat a. b.
1 16 1 12
c. 2 d. 4 e. 16 44. Jarak
41. Jika
f n 2 n2 6 n4
dan
g n 12 n1 , n bilangan asli, maka f n ..... g n 1 a. 32 1 b. 27 1 c. 18 1 d. 9 2 e. 9
42. Grafik fungsi y 2 x1 ( 2 ) x 3 memotong sumbu x di titik dengan absis x = …. 9 a. 2log 4 b. c. d. e.
29
2log 9
4 10log 9 4 3 2log 2 2log 3 2
y2
kedua
2 x 1
5( 2 )
titik potong kurva 2x
2
dengan
sumbu-x adalah ....... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 45. Kurva
y 3 x 1 ( 91 ) x
dibawah kurva saat a. x < 2 b. x > 1 c. x < 1 d. x > 0 e. x < 0
berada
y 3 x 1 pada
46. Diketahui f ( x ) 2 5 x 2 x 12 , f ( x1 ) f ( x2 ) 0 jika maka x1 x2 …. a. 6 b. 5 c. 4 d. – 5 e. – 6
47. Nilai
x
yang
pertidaksamaan adalah ....... a. 1 < x < 3 atau b. 0 < x < 1 atau c. 0 < x < 3 atau d. 1 < x < 3 atau e. 0 < x < 1 atau
memenuhi
5
x3
3x 1 9
x 2 3x 2
4
x
64
memenuhi
adalah .......
4
2 x 2 3 x 5
a.
b. c. d. e.
x
yang
memenuhi
<x<2
2 < x <
1 2 2 < x < 21 1 <x< 5 2 2
22 x
2
x1
d.
1 3 log 2
53. Nilai
8 a. b. c. d. e.
x 1
1 1 1 1 1
x
24 + + + + +
6 4 6 4 6
x 1
yang
memenuhi
adalah .......
2log3 2log3 3log2 3log2 5log2
54. Nilai x yang memenuhi persamaan
3.2 4 x 2 2 x 10 0 adalah a. 2 log 5 2 log 3 penyelesaian
9 , x R adalah ….... x 2
a. {x 1 < x < 2} b. {x 2 < x < 1} c. {x x < 1 atau x > 2}
c.
1 2 log 3
e. 3log 6
1 adalah .......
50. Himpunan 2
( 8 ) adalah ....... { x 0 x 1} { x 0 x 1} { x 0 x 1} { x 0 x 1} { x 0 x 1} { x 0 x 1} { x 0 x 1} { x 0 x 1} { x 0 x 1} { x 0 x 1}
b. 3log 2
<x<2 1 2
x
3
a. 2 log 3
64
1 2
penyelesaian
43 x
2
1 c. x 5 atau x 2 1 d. x atau x 5 2 1 e. x atau x 5 2 nilai
a. b. c. d. e.
x
2
52. Jika 6 x 1 maka nilai x 3 yang memenuhi adalah .......
1 x5 2
49. Semua
d. {x x < 2 atau x > 1} e. {x x < 0 atau x > 1} 51. Himpunan
1 2
a. 5 x b.
25
x>4 x>2 x>4 x<0 x>3
48. Nilai x yang pertidaksamaan
1 3
x2
3
b. c. d.
1 ( 2log 5 2 log 3 ) 2 1 2 log 5 2 log 3 2 2 log 5 21 2 log 3
e. 2(log 5 log 3 )
30
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 55. Jika
1 3 log
2 x 3
maka nilai x
1 2
yang memenuhi persamaan tersebut adalah ……. a. 23 3 4 3 8 3
b. c.
3 3
d. 2 3 e.
3
, maka xy =…. a.
3 4
b. c. d. e.
7 8 12 16
4
log( 3 x 3 y 3 ) 1 2 log x log y
2
2 log x 1 4
Jika akar-akar persamaan di atas adalah x1 dan x2 , maka x1 x2 a. 5
2 log x
1 2 1 4 4 1 2 2 1 2 4
maka a. x y 10 3 x y
c.
xy 2
d.
c.
e.
e.
57. Jika
4
dan 2
persamaan x1
a. b.
x2
penyelesaian
log x 1 x
2
log 2
log x2 x 2 log x1 ........ …. 5 2 3 2
c. 1 d. 3 e.
2 5 2
maka
x
memenuhi
persamaan
log 4log x 4 log 4log 4log 16 2
maka 16 log x sama dengan : a. 4 b. 2 c. 1 d. – 2 e. – 4 61. Jika x 1 dan persamaan 5 10 log x 10 10log x
10 log x
x1 x2 …. a. b. c. d. e.
31
10 3 x y 10 3 2 x y 10 3
60. Jika
x1
10 3
b.
b. 4
d.
22x 4
59. Jika x dan y memenuhi persamaan
56. Diketahui
58. Jika log( 2 x y ) 1 dan 2 y
5 6 60 110 1100
x2
memenuhi
5 10log x
maka
62. Penyelesaian 3
persamaan
:
log( 9 x 18 ) 2 x adalah p dan
q, maka p q …. a. 3log 2 b. 3log 9 c. 3log 18 d. 3log 216 e. 3log 726
66. Nilai x yang memenuhi persaman 2
log 2log( 2 x1 3 ) 1 2log x
adalah …. a. log b. c. d.
2 3
2log3 3log2
1 atau 3
e. 8 atau
1 2
63. Hasil kali semua nilai x yang memenuhi persamaan
24 2 log 64 2( x 40 x ) 0 adalah …. a. b. c. d. e.
144 100 72 50 36
64. Hasil 3
log x
a. b.
akar-akar
( 2 3log x )
15
persamaan
adalah ….
1 9 1 3
65. Dari
persamaan
log( 2 x 8 ) 3( log 4 ) 1 0 1 dan 3 x 4 y diperoleh y = …. 81 x
1 0 –1 –2 –3
log( x 2 x 12 )
( x 4 )2 ( x 3 )2
68. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan
(log( x 2 ))2 log( x 2 )3 maka nilai | x1 x2 | …. a. 0,9 b. 0,81 c. 0,09 d. 0,01 e. 0,009
c. 1 d. 3 e. 9
a. b. c. d. e.
10( x 2 x 12 )
adalah … a. – 2 b. – 1 c. 0 d. 1 e. 2 kali
x
67. Jumlah semua akar persamaan :
1 , 100
69. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan 2
2
log x
( 1 log x )
2
maka
nilai
x1 x2 …. 1
a. 2 4
1
b. 2 2
1
c. 4 2
1
d. 4 4 e. 6 41
32
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 70. Hasil kali nilai x yang memenuhi
x 2. log x 6 1000 1000 x2 10
persamaan adalah a. 106 b. 10 4 c. 10 3
1 2log x
71. Himpunan memenuhi
x
1
5
semua
log x 2 1
nilai
x1
persamaan
x
x 1 2
adalah a. { x x bilangan real } b. { x 1 < x < 1 } c. { x 0 < x < 1 } d. { x x > 0 } e. { x x < 1 atau x > 1 } 72. Jika
dan 2log x 2 4
2log x
5
yang
log x 2 1
2
log 4 x
4
2log x
24 22 2 2 2 4 2 8
73. Nilai x yang memenuhi adalah a. x 100 b. x 10
1 c. 0 x 100 1 1 d. x 100 10 e. 2 x 10
33
2 x log 4 x x
log 2 x
1 2
,
a. b. c. d. e.
yang 1
2log x 1
memenuhi
1 adalah ….
x < 1 atau x > 2 1<x<2 0<x<2 x < 2 atau x > 3 0 < x < 1 atau x > 2
log( x
x2 memenuhi
a. b. c. d. e.
x
76. Himpunan 2 12
maka nilai x1 x2 a. b. c. d. e.
penyelesaian log x log( x 3 ) log 4 adalah a. {x 2 x 6} b. {x x 6} c. {x 0 < x 6} d. {x 0 < x 2} e. {x 0 < x 2 atau x 6}
75. Nilai
d. 10 2 e. 10
2
74. Himpunan
x
penyelesaian ) 3 adalah ......
{ x R x 2 atau x 6 } { x R 0 < x 2 atau x 6 } { x R x < 0 atau 2 x 6 } { x R 1 x 2 atau x 6 } {xR2x6}
77. H i m p u n a n
penyelesaian 2 log( x 2 ) log( 2 x 1 ) adalah …. a. { x 1 x 5 } b. { x 2 < x 5 } c. { x 2 < x 3 atau x 5 } d. { x x 5 } e. { x 2 < x 52 atau 3 x 5}
78. Himpunan semua x yang memenuhi pertaksamaan
log 4 log( x 3 ) log x 2 … a. b. c. d. e.
{x x 6} {x 3 < x 2 atau x 6} {x| 3 < x 2 atau x 6} {x 0 < x 6} {x x 2 atau x 6}
adalah
B. URAIAN Selesaikanlah secara singkat, jelas dan tepat
1. Sederhanakan operasi bilangan berpangkat berikut a. 2 5 2 9 212 b.
5 6 25 2 125
a b c 4
c. d.
3
b c 3
b3 27 a 5
37 7 3 2 ( 42 )3
2. Dengan
menggunakan
sifat
bilangan
( p )3 ( q )2 r 3 2 pqr 3 2 3 12( qr )2 3 ( p q )
berpangkat,
sederhanakan
bentuk
.
3. Hitunglah hasil operasi bilangan berpangkat
2
q 4 ; ( 2 p ) 2 ( 3q )3 p 3 p 2 q ( 3 )4
untuk p 4 dan q 6 .
4. Tentukan hasil
( 2 n 2 ) 2 2 2 2 2 n 2 2 2 n 2
5. Misalkan kamu diminta mencari 7 64 . Berapa banyak perkalian yang kamu lakukan untuk mencapai hasil akhir? Bandingkan dengan teman lain. Pemenang adalah yang berhasil menggunakan perkalian paling sedikit. Coba tuliskan prosedur pengalian untuk menghitung 7 64 . Apakah prosedur tersebut dapat digunakan untuk pangkat positif berapapun? 6. Berdasarkan
7
1234
7
2341
sifat
7
3412
angka
7
4123
7,
tentukan
bilangan
satuan
dari
tanpa menghitung nilainya!
7. Tentukan bilangan satuan dari 7 , berdasarkan sifat angka 7, tanpa menghitung tuntas! Selanjutnya gunakan soal tersebut berdasarkan sifat angka 2,3,4,5,8,9, tentukan juga angka satuan yang diperoleh bilangan-bilangan tersebut yang dipangkatkan. 26 62
34
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 8. Sederhanakan
5 1 a 3b 2 7 1 a6 b2
2 3 a 3b2 2 a 3b
!
f ( x2 x ) 9. Jika f ( x ) b , b konstanta positif, maka .... f ( x 1) x
10. Bagaimana cara termudah untuk mencari
3 2008 ( 10 2013 5 2012 2 2011 ) 5 2012 ( 6 2010 3 2009 2 2008 )
11. Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut
2a 3 a 4 2 b. 4 2 xy c. x y a.
12. Sederhanakanlah
13. Jika
4 3 5 3 2 2 1 3 2
2 3 a b 6 , tentukan nilai dari a b ! 2 3
14. Sederhanakan
21 8 5
3
15. Nyatakan b dalam a dan c pada
b c 3
abc
c a 16. Bentuk 4 49 20 6 dapat disederhanakan menjadi ....
17.
35
54 14 5 12 2 35 32 10 7 ....
?
18. Tulis bentuk pangkat a. log 0 ,01 2
1 b. 2 log 3 2
3 c. 0 ,5 log 0,0625 4 19. Sederhanakan
1 log ab 2 b. a log 2 x 3( alog x a log y ) a. log a log b
20. Jika 2 log 3 a dan 3log 5 b , tentukan a. 2 log 15 b. 4 log 75 21. Buktikan log 1 0 dan log 10 1 22. Jika b a 4 , a dan b bilangan real positif, tentukan nilai a log b b log a
23. Jika a log b 4 , c log b 4 dan a,b,c bilangan positif, a, c 1 , tentukan nilai
a
1 4 2 log ( bc )
24. Sederhanakan bentuk-bentuk eksponen berikut ini! a. b.
34
x5
1 6 25 3
1 6 25 6
3
2 3 x 2 x y c. 1 y3 a 4 3 a 2b 2 d. ab 2
2
a 3 2 b5 2 e. 3 a 4b 2
3
36
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 25. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut! 2 a. 3 x 5 x 6 1
8 2 x 3 1
b. c.
x 2 4 x 5 3 3 x 1
d. 125
2 x 3
1 625
2 e. 5 x 5 x 3 0 ,008
23 x 1 8 x 1 1 x 2 x 9 g. 3 9 1 2 x 4 3 h. 3 9 f.
9x
i.
2
2 x
27 1 2 x 1
j.
1 3. 27
k.
4 3 x 2 8 x 2 1 5 20
243
26. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut! a. 32 x 3 81x 1 2
x b. 2
c.
3
d.
45 x 8 2 x 1
4
x4
27
f.
x 3
1
g.
27
1 32
x 2 4
e.
4
1 32 x 1 2
3 x 7
6x
7 x 1 32
x 5
64
3 22 x
2 1 h. 5 x 2 x 5
5
37
3 x 1
27. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut! a. 23 x 6 33 x 6 b. 2 x 3 7 x 3 c.
5x
2
3 x 4
3 x 2
25x 1
1258 x 8 2 1 e. 7 x 8 x 9 2 49 x 2 d. 25
f.
3x
2
6 x 8
3
5x
2
6 x 8
3 2 3 2 g. 2 x 6 x 5 x 3 x 6 x 5 x
h. 7 x 1 23 x 2
4 x 3 5 2 x j. 7 5 x 2 8 x 1 x k. 4 2 x 64 204 i.
l.
7 2 x 1 2 7 x 1 7 0
28. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut! a. b. c. d. e.
2 x 4 5 x 2 x 4 32 x 2 x 5 x 2 x 53 x4 6 x 34 x2 6 x 32 x6 2 x 3 x 3 x 1 x 3 x 4 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
x 2 4x5 x 2 4x 2 x5 x 3x 1 x 3x 1 x 7 x 10 x 7 x 10 x 2 6 x 8x4 x 2 6 x 8x 4 x x 3x 15 x 3x 15 x 2 x 1x3 x 2 x 1x 3 2
f. g. h.
2 x 1
2
3 x 2
2
x 5
2
5 x 4
2
2
i. j.
x 2 2
2
x
2
2
k. l.
x
2
5x 5
2 x 3
m. x 3 x 10 2
x 2 5x 5
3 x 2
x 3 9 x
x 3 x 10 2
3 x 2 8 x
38
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 29. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut! a. b. c.
x 23 x6 2 x 4 3 x6 3 x 52 x1 6 x 22 x1 2 2 2 x x 16 x 5 x 16
f.
x 2 4 x2 x4 x 5 2 x4 x 2 3x 1x 9 x 2x 9 2 x 2 6 x 13x 27 x 2 3x 193x 27
g.
4 x 3 x
d.
2
e.
2
2
h.
x
2
2
12
3 x 18
2
2 x 23 x
x 2 1
2
12
2x x 3 2
x 2 1
30. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut!
a. 4 3 x 3 9 2 2 x 3 8 0 b. 5 x 6
5 x 5 0
2 2 x 12 2 x 32 0 d. 3 2 x 2 82 3 x 9 0 e. 2 3 x1 9 x 7 0 f. 3 5 x 3 x 36 c.
31. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen berikut! 2 a. 2 x 3 x 1 32
b. 35 2 x x 31 x 2
6 x x2
c.
5
d.
5
e. 2 f.
1 g. 5 1 2
h. i.
39
x3
2 x 3
1 3
1 9
25
x
5 2
3 x2 x 25 4
8 x 3
4 x2
1 9
1 125
5 x 2
x 1
1 4
4 x 3
2 x 4
1 27
3 2 x
32. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut! a. 2 log4 x 8 4
b. 4 log x 2 4 4 log 5 c. logx 3 logx 2 log 2 d. 2 logx 2 2logx 3 1 e. 2 logx 2 2log x 3 f.
5
log x 5 log5 x 4 1
g. 7 logx 57 logx 1 1 h. 2 logx 4 2logx 6 3
i.
2
log 2 x 2 4 x 3 2 log6 x 9 0
j.
2
logx 1 log5 x 2 logx 2 3 2
33. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut! a. 2 logx 2 2logx 3 2 log2 x
3 log3 x 2 4 x 4 3 log2 x 2 3 x 2
b. 3 log2 x 2 3 log x 2 3 x 4
c. d. logx 1 logx 2 log3 x 3
34. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut! a. 3 log4 x 3 4 log4 x 3
2 logx 2 8 3logx 2 8 0
b. 5 log x 2 x 11 6 log x 2 x 11 c.
35. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma berikut!
a. x 2 log x 2 3 x 2 x 2 log8 2 x
b. x 2 log x 2 10 x 25 x 2 log7 x c. 6 x log x 3 3 x 2 x 6 1
d. 2 x 5 log2 x 1 2 x 5 logx 4
40
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 36. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma berikut! a. 4 log2 x 6 2
1 2 logx 2 5 x 4 2 1 2 logx 2 4 x 4 2
b. 2 log x 2 5 x 6 1 c. d.
e. 3 log2 x 3 3logx 3 0 f.
2
logx 2 2logx 3 3
g. 4 log 4 x 4 2 x
h. log x 4 x 4 log5 x 10 i. logx 4 logx 8 log2 x 16 j. k.
41
2
2log x2 32 log x 1 2log x 2 3 logx 2 3 x 4 3 log2 x 10
UNIT 2 PERSAMAAN – PERTIDAKSAMAAN LINEAR dan NILAI MUTLAK (Materi Wajib)
PERSAMAAN LINEAR LINEAR SATU VARIABEL (PLSV)
adalah persamaan yang berbentuk ax b 0 dengan a, b R dan a ≠ 0. Sebagai keterangan x disebut variable, a disebut koefisien dari variable x, dan b adalah konstanta.
PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PLDV)
adalah persamaan yang berbentuk ax by c 0 dengan a, b R, dan a dan b tidak keduanya nol. Sebagai keterangan x dan y disebut variable, a disebut koefisiaen dari variable x, b disebut koefisien dari variable y dan c adalah konstanta.
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR Secara umum persamaan linear dapat dinyatakan sebagai kurva berupa garis lurus pada sistem koordinat kartesius. Perlu dipahami bahwa garis lurus tersebut merupakan kumpulan titik-titik tak berhingga banyaknya yang memenuhi persamaan tersebut atau dalam bahasa yang lebih sederhana dapat dinyatakan bahwa penyelesaian suatu persamaan linear adalah kumpulan titik – titik yang membentuk sebuah garis lurus tertentu.
KETIDAKSAMAAN adalah ekspresi matematika yang menyatakan hubungan dua buah bilangan a b a b
a p a p ap a p ap a p a p
b p b p bp untuk p 0 b untuk p 0 p bp untuk p 0 b untuk p 0 p b p
a p b p ap bp a b p p ap bp a p
b p
untuk
p 0
untuk
p 0
untuk
p0
untuk
p0
Secara lebih singkat dan sederhana dapat dinyatakan bahwa : Tanda Ketidaksamaan Hanya Berputar Jika Dilakukan Perkalian / Pembagian Dengan Bilangan Negatif
42
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABLE (PtLSV)
adalah pertidaksamaan yang berbentuk ax b 0 , ax b 0 , ax b 0 atau ax b 0 dengan a, b R dan a ≠ 0. Sebagai keterangan x disebut variable, a disebut koefisien dari variable x, dan b adalah konstanta.
PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (PtLDV)
pertidaksamaan yang berbentuk ax by c 0 , ax by c 0 , ax by c 0 atau ax by c 0 dengan a, b R, dan a dan b tidak keduanya nol. Sebagai keterangan x dan y disebut variable, a disebut koefisiaen dari variable x, b disebut koefisien dari variable y dan c adalah konstanta. adalah
PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR Secara umum pertidaksamaan linear dapat dinyatakan sebagai sebuah daerah atau bidang luasan pada sistem koordinat kartesius. Perlu dipahami bahwa bidang luasan tersebut merupakan kumpulan titik-titik tak berhingga banyaknya yang memenuhi pertidaksamaan tersebut atau dalam bahasa yang lebih sederhana dapat dinyatakan bahwa penyelesaian suatu pertidaksamaan linear adalah kumpulan titik – titik yang membentuk suatu bidang luasan tertentu. (perlu diperhatikan titik – titik pada pembatas termasuk dalam penyelesaian / tidak, bergantung dari tanda ketidaksamaan permasalahan)
HARGA MUTLAK Modulus / Harga Mutlak suatu bilangan real x adalah nilai tidak negatif dari suatu bilangan, dinyatakan dalam lambang matematika | x | dan didefinisikan sebagai berikut,
SIFAT-SIFAT HARGA MUTLAK Jika a Re al dengan a 0 1. 2.
a a x a
x
x a x a atau x a
3.
x
y
4.
x
x2
5.
x
2
x y 2
2
6.
x.y
7.
x y
8.
xy
x y
9.
x y
x y
x . y x
y
x2
PERSAMAAN atau PERTIDAKSAMAAN HARGA MUTLAK adalah persamaan atau pertidaksamaan yang memuat Harga Mutlak.
43
Dikerjakan pada buku catatan
(AKTIVITAS KELAS)
Dibawah ini adalah contoh soal terkait materi bahasan tersebut diatas. Pembahasan contoh soal berikut akan dilakukan oleh pengajar pada pembelajaran kelas, tetapi tidak tertutup kemungkinan bagi anda untuk mencoba menyelesaikannya terlebih dahulu. 1. Tentukan / lukiskanlah penyelesaian persamaan linear berikut d. 3 x 2 y 6 0 a. 2 x 4 0 b. 4 y 6 0 c. 2 x 3 y 6 0 2. Tentukan / lukiskanlah penyelesaian pertidaksamaan linear berikut d. 3 x 2 y 6 0 a. 2 x 4 0 b. 4 y 6 0 c. 2 x 3 y 6 0 3. Tentukan / lukiskanlah penyelesaian persamaan harga mutlak berikut a. x 3 0 d. y x 3 b.
x3 0
e.
y x3
c.
y x
f.
y x3 2
4. Tentukan / lukiskanlah penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak berikut a. x 3 0 d. y x 3 b.
x3 0
e.
y x3
c.
y x
f.
y x3 2
44
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama Pengajar matematika adalah orang yang dapat berperan sebagai fasilitator proses pembelajaran, sehingga bahan belajar atau permasalahan pembelajaran tidak selalu harus berasal dari pengajar sebab peserta didik juga memiliki kemampuan dan kesempatan dalam mengakses informasi dari berbagai sumber belajar. Pembelajaran matematika selain ditujukan untuk meningkatkan keterampilan peserta didik dalam berkolaborasi dan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan, juga ditujukan sebagai sarana pembentukan sikap, oleh karena itu pada setiap sesi pengajaran suatu unit bahasan akan selalu terdapat sesi diskusi kelompok dimana bahan diskusi dapat disediakan oleh pengajar maupun disediakan oleh peserta didik. (PENUGASAN)
KOMPONEN PSIKOMOTOR & AFEKTIF
KELOMPOK
NOMOR ABSENT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 , 2 , 21 , 22 3 , 4 , 23 , 24 5 , 6 , 25 , 26 7 , 8 , 27 , 28 9 , 10 , 29 , 30 11 , 12 , 31 , 32 13 , 14 , 33 , 34 15 , 16 , 35 , 36 17 , 18 , 37 , 38 19 , 20 , 39 , 40
dilaksanakan diskusi kelas.
Sebelumnya terlebih dahulu ditentukan kelompok sebagai berikut : MEMBUAT PERMASALAHAN Masing – masing kelompok membuat / menuliskan satu buah soal sesuai materi bahasan tersebut diatas disertai penyelesaiannya. DISTRIBUSI Pada waktu yang telah disepakati, soal tersebut (hanya soalnya saja) diberikan kepada masing – masing kelompok lainnya dan guru pengajar. PENYELESAIAN Dengan durasi waktu 15 menit setiap kelompok menyelesaikan semua soal yang telah diterimanya. DISKUSI Dengan arahan pengajar sebagai moderator, fasilitator dan evaluator
PENILAIAN Aktivitas peserta didik dalam kelompok penugasan dan diskusi (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Ketepatan waktu penyerahan tugas dan/atau pengerjaan latihan uji kompetensi yang ditugaskan oleh pengajar (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Kemampuan dan keterampilan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan dalam diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Sikap peserta didik terhadap pengajar dan rekan – rekannya pada sesi pembelajaran maupun sesi diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4)
45
SISTEM PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN LINEAR (Materi Wajib)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) Bentuk umum system persamaan linear dengan dua variable x dan y adalah
a1 x b1 y c1 .......... .( 1 ) a 2 x b2 y c2 .......... ( 2 ) dengan a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 Bilangan Re al ; a1 dan b1 tidak keduanya nol; a 2 dan b2 tidak keduanya nol.
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) adalah pasangan nilai (x,y) yang memenuhi persamaan-persamaan yang ada pada system persamaan tersebut. Secara geometris penyelesaian SPLDV menyatakan titik persekutuan antara dua buah garis lurus yang mewakili persamaan linear dua variabel tersebut. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dapat digunakan beberapa metode berikut : METODE SUBSTITUSI Secara umum menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi adalah berupaya menyatakan salah satu persamaan sebagai bentuk y = …… atau x = ….. , Selanjutnya, Menggantikan bentuk aljabar yang diperoleh pada persamaan lainnya, sehingga terbentuk persamaan dengan satu variable saja, selanjutnya menentukan nilai variable tunggal tersebut. METODE ELIMINASI Prosedur utama menyelesaikan SPLDV dengan metode substitusi adalah menghilangkan salah satu variable dari system dengan cara mengalikan persamaan (1) dengan suatu bilangan dan persamaan (2) dengan suatu bilangan yang lain, sedemikian hingga koefisien salah satu variabelnya bernilai sama. Selanjutnya kurangkan jika keduanya bertanda sama atau tambahkan jika keduanya berlainan tanda, sehingga harga dari variable lainnya akan ditemukan. Selanjutnya lakukan hal yang sama pada variable kedua. METODE GABUNGAN (ELIMINASI – SUBSTITUSI) Dengan membandingkan kedua prosedur tersebut diatas, terlihat kesederhanaan penyelesaian jika dilakukan penggabungan, yang pertama melakukan eliminasi selanjutnya mensubtitusikan nilai yang diperoleh kedalam salah satu persamaan. Untuk mengingatkan kembali permasalahan tersebut, sengaja diselesaikan contoh soal yang sama dengan metode campuran.
46
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama METODE DETERMINAN Menyelesaikan SPL Dua Variabel dengan metode determinan adalah pengembangan metode penyelesaian agar anda memahami bagaimana cara alat hitung elektronik yang beredar di pasaran diprogram untuk menentukan jawaban suatu SPL Dua Variabel.
a1 x b1 y c1 a 2 x b2 y c2
Jika x dan y adalah penyelesaian dari
maka,
c1 c x 2 a1 a2
b1 b2 b1 b2
dan
y
a1 a2 a1 a2
c1 c2 b1 b2
Catatan Penulis : DETERMINAN ordo (2x2) Sebelum bahasan menyelesaikan SPL Dua Variabel dengan metode determinan, maka perlu dipahami pengertian determinan, yaitu nilai dari suatu jajaran bilangan
a b c d
a b yang didefinisikan sebagai, Det. c d
=
a b c d
= ad – bc
METODE GRAFIK Secara umum menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik adalah mencari koordinat titik persekutuan dari kedua buah garis lurus bersangkutan, karena pada hakekatnya persamaan linear ax + by = c adalah sebuah garis lurus, sehingga untuk melukiskannya perlu ditentukan dua buah titik sembarang sebagai titik bantu.
BANYAKNYA PENYELESAIAN VARIABEL (SPLDV)
SISTEM
PERSAMAAN
LINEAR
DUA
Banyaknya penyelesaiaan SPLDV serta kedudukan dua buah garis yang mewakili kedua buah persamaan linear tersebut dapat dirangkum dalam table berikut Banyaknya Syarat Yang Harus Kedudukan Kedua Garis Penyelesaian Dipenuhi a1 b1 Satu Berpotongan a2 b2 Tidak Ada Tak Berhingga Banyaknya
47
Sejajar Berimpit
a1 a2
b1 c1
b
c
a1 a2
b1 c1
2
b
2
2
c
2
SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) Bentuk Umum system persamaan linear dengan tiga variable x, y dan z adalah
a1 x b1 y c1 z d 1 a xb yc z d 2 2 2 2 a3 x b3 y c3 z d 3 dengan a1 , a2 , a3,b1 , b2 , b3,c1 , c2 , c3,d1 , d 2 , d 3 bilangan real; a1 , b1 , c1 tidak ketiganya nol, a2 , b2 , c2 tidak ketiganya nol.
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) adalah pasangan nilai (x,y,z) yang memenuhi persamaan-persamaan yang ada pada system persamaan tersebut. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel digunakan beberapa metode berikut : METODE GABUNGAN (ELIMINASI – SUBSTITUSI) Untuk menentukan penyelesaian system persamaan linear tiga variable, cara yang umum digunakan yaitu metode gabungan karena effisien dalam pengerjaannya. Langkah utamanya adalah menurunkan derajat masalah dari SPL Tiga Variabel menjadi SPL Dua Variabel dengan melakukan suatu upaya / operasi aljabar untuk menghilangkan salah satu variable pada system. METODE DETERMINAN Menyelesaikan SPL Tiga Variabel dengan metode determinan adalah salah pengembangan metode penyelesaian sistem persamaam linear, agar anda memahami bagaimana cara alat hitung elektronik yang beredar di pasaran diprogram untuk menentukan jawaban suatu SPL Tiga Variabel.
a1 x b1 y c1 z d 1 Jika x , y dan z adalah penyelesaian dari SPL tiga variabel a 2 x b2 y c 2 z d 2 a3 x b3 y c3 z d 3 Dy D D maka, x x , y , Z z D D D dengan,
x
d1 d2
b1 b2
c1 c2
d3
b3
c3
a1 a2
b1 b2
c1 c2
a3
b3
c3
, y
a1
d1
c1
a1
b1
d1
a2
d2
c2
a2
b2
d2
a3 a1 a2 a3
d3 b1 b2 b3
c3 c1 c2 c3
a3 b3 a1 b1 a 2 b2 a3 b3
d3 c1 c2 c3
, z
48
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) adalah sistem yang terdiri dari beberapa buah pertidaksamaan linear dua variabel
PENYELESAIAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu daerah atau bidang luasan pada sistem koordinat kartesius yang memenuhi setiap pertidaksamaan dari system tersebut. Perlu dipahami bahwa bidang luasan tersebut merupakan kumpulan titik-titik tak berhingga banyaknya yang memenuhi setiap pertidaksamaan dari system tersebut atau dalam bahasa yang lebih sederhana dapat dinyatakan bahwa penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear adalah kumpulan titik – titik yang membentuk suatu bidang luasan tertentu. (perlu diperhatikan titik – titik pada pembatas termasuk dalam penyelesaian / tidak termasuk dalam penyelesaian, bergantung dari tanda ketidaksamaan permasalahan) Dikerjakan pada buku catatan
(AKTIVITAS KELAS)
Dibawah ini adalah contoh soal terkait materi bahasan tersebut diatas. Pembahasan contoh soal berikut akan dilakukan oleh pengajar pada pembelajaran kelas, tetapi tidak tertutup kemungkinan bagi anda untuk mencoba menyelesaikannya terlebih dahulu.
x 2 y 5 dengan 4 x y 2
1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel : menggunakan : a. Metode grafik b. Metode Substitusi c. Metode Eliminasi
d. Metode Gabungan e. Metode Determinan
2. Tanpa melakukan penyelesaian, tentukan banyaknya anggota himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berikut:
2x 3 y 7 4 x 2 y 10
a.
3x 2 y 6 3 x 2 y 12
b.
c.
x 2 y 5 x 2 y 5
x y z 6 3. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel : 3 x 2 y z 2 2 x 3 y 2 z 2 dengan menggunakan : a. Metode Gabungan
b. Metode Determinan
4. Tentukan/ lukiskanlah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear tiga variabel :
x 0 ; y 0 6 x 5 y 30 5 x 7 y 35 3 x y 9
49
SISTEM PERSAMAAN LINEAR – KUADRAT (Materi Peminatan)
SISTEM PERSAMAAN LINEAR – KUADRAT DUA VARIABEL (SPLKDV) adalah system persamaan yang tersusun atas sebuah persamaan linear dan sebuah persamaan berderajat dua, dengan berbagai bentuk umum, Contoh Bentuk-Bentuk SPLKDV Dalam Variable x dan y Bentuk SPLKDV
Bentuk Kurva
a1 x b1 y c1 .......... .........( 1 ) 2 y a 2 x b2 x c2 .......... ( 2 ) dengan a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 Bilangan Re al ; a1 dan b1 tidak keduanya nol; a2 0
Garis lurus dan Parabola
a1 x b1 y c1 .......... .........( 1 ) 2 x a2 y b2 y c2 .......... ( 2 ) dengan a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 Bilangan Re al ; a1 dan b1 tidak keduanya nol; a2 0
Garis lurus dan Parabola
a1 x b1 y c1 .......... .......... .......... .( 1 ) 2 2 ( x a2 ) ( y b2 ) c2 .........( 2 ) dengan a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 Bilangan Re al ; a1 dan b1 tidak keduanya nol
Garis lurus dan Lingkaran
Catatan Penulis Terdapat bentuk kurva yang lain untuk persamaan derajat dua misalnya elips, hiperbola dan lainnya. Namun pada jenjang kelas X peminatan hanya disajikan permasalahan yang menyangkut garis dan parabola saja
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR – KUADRAT DUA VARIABEL adalah pasangan nilai (x,y) yang memenuhi persamaan-persamaan yang ada pada system persamaan tersebut. Secara geometris penyelesaian SPLKDV menyatakan titik persekutuan antara kurva yang mewakili persamaan dua variabel tersebut. Untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear kuadrat dua variabel digunakan metode substitusi : Nyatakan persamaan linear ke bentuk y = … atau x = … Substitusi persamaan itu ke persamaan derajat dua sehingga diperoleh PKG Selesaikan PKG maka akan diperoleh nilai dari variable x atau y. Jika yang disubstitusi y = … maka akan diperoleh nilai variable x, sedangkan jika yang disubstitusi x = … maka akan diperoleh nilai variable y. Cari nilai variable lain yang belum diketahui dengan cara mensubstitusi variable yang sudah diketahui nilainya ke persamaan linear.
50
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama BANYAKNYA PENYELESAIAN SPLKDV Banyaknya penyelesaian SPLKDV ditentukan oleh nilai Diskriminan Persamaan Kuadrat Gabungan (PKG) dari persamaan – persamaan penyusunnya. PKG diperoleh dengan cara mensubstitusi persamaan linear ke persamaan derajat dua. Banyaknya Penyelesaian Bisa Dilihat Sesuai Table Berikut Banyaknya Penyelesaian
Nilai Diskriminan
Hubungan yang terjadi
Dua
D>0
Berpotongan
Satu
D=0
Bersinggungan
Tidak Ada
D<0
Tidak berpotongan dan tidak bersinggungan
Dikerjakan pada buku catatan
(AKTIVITAS KELAS)
Dibawah ini adalah contoh soal terkait materi bahasan tersebut diatas. Pembahasan contoh soal berikut akan dilakukan oleh pengajar pada pembelajaran kelas, tetapi tidak tertutup kemungkinan bagi anda untuk mencoba menyelesaikannya terlebih dahulu. 1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linearkuadrat dua variabel berikut dan
gambarkan grafiknya:
2x y 2
2 y x 5x 6
2. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linearkuadrat dua variabel berikut dan
y 2 x 14 2 y x 4x 5
gambarkan grafiknya:
3. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (0 , 1) dan menyinggung parabola
y x2 2x 1 4. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan x y 5 0 dan bersinggungan dengan parabola y x 2 5 x 3 5. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus terhadap bersinggungan dengan parabola y x 2 2 x 3
51
x 4 y 1 0 dan
Pengajar matematika adalah orang yang dapat berperan sebagai fasilitator proses pembelajaran, sehingga bahan belajar atau permasalahan pembelajaran tidak selalu harus berasal dari pengajar sebab peserta didik juga memiliki kemampuan dan kesempatan dalam mengakses informasi dari berbagai sumber belajar. Pembelajaran matematika selain ditujukan untuk meningkatkan keterampilan peserta didik dalam berkolaborasi dan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan, juga ditujukan sebagai sarana pembentukan sikap, oleh karena itu pada setiap sesi pengajaran suatu unit bahasan akan selalu terdapat sesi diskusi kelompok dimana bahan diskusi dapat disediakan oleh pengajar maupun disediakan oleh peserta didik. (PENUGASAN)
KOMPONEN PSIKOMOTOR & AFEKTIF
KELOMPOK
NOMOR ABSENT
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 , 14 , 27 , 40 2 , 15 , 28 3 , 16 , 29 4 , 17 , 30 5 , 18 , 31 6 , 19 , 32 7 , 20 , 33 8 , 21 , 34 9 , 22 , 35 10 , 23 , 36 11 , 24 , 37 12 , 25 , 38 13 , 26 , 39
Sebelumnya terlebih dahulu ditentukan kelompok sebagai berikut : MEMBUAT PERMASALAHAN Masing – masing kelompok membuat / menuliskan materi bahasan sistem persamaan kuadrat – kuadrat disertai satu buah contoh permasalahan disertai penyelesaiannya DISTRIBUSI Pada waktu yang telah disepakati, materi bahasan sistem persamaan kuadrat – kuadrat disertai satu buah contoh permasalahan diberikan kepada masing – masing kelompok lainnya dan guru pengajar. DISKUSI (I) Dengan arahan pengajar sebagai fasilitator dan evaluator dilaksanakan diskusi kelas dengan menunjuk salah satu kelompok sebagai penyaji dan satu peserta didik sebagai moderator. PENYELESAIAN Setiap kelompok menyelesaikan semua soal yang telah
diterimanya. DISKUSI (II) Dengan arahan pengajar sebagai moderator, fasilitator dan evaluator dilaksanakan diskusi kelas. PENILAIAN Aktivitas peserta didik dalam kelompok penugasan dan diskusi (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Ketepatan waktu penyerahan tugas dan/atau pengerjaan latihan uji kompetensi yang ditugaskan oleh pengajar (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Kemampuan dan keterampilan berkomunikasi dengan bahasa lisan maupun tulisan dalam diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4) Sikap peserta didik terhadap pengajar dan rekan – rekannya pada sesi pembelajaran maupun sesi diskusi kelas (skor : 0 – 1 – 2 – 3 – 4)
52
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama (Dikerjakan Pada Buku Latihan)
LATIHAN UJI KOMPETENSI
Uji standar kompetensi ”UNIT 2” akan dilaksanakan guna melakukan penilaian akhir terhadap penguasaan siswa terhadap unit bahasan bersangkutan. Selesaikan secara mandiri latihan uji dibawah ini, agar anda mendapat gambaran bentuk dan materi yang akan diujikan sebab setidaknya 40% soal uji kompetensi berasal dari butir – butir soal dibawah ini. SelamaT BelajaR
A. PILIHAN GANDA Pilihlah satu jawaban yang paling tepat 1. Pertidaksamaan 2 x a
x 1 ax 2 3
mempunyai penyelesaian x > 5. Nilai a adalah .... a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 2. Nilai terbesar dari x yang memenuhi
x a. b. c. d. e.
3x 3x 1 adalah .... 4 8 2
1 –1 –2 –3 –4
3. Himpunan
penyelesaian
b. c. d. e.
53
x x 3 atau x 2, x R x 6 x 2 atau x 3, x R x x 2 atau x 3, x R x x 3 , x R
penyelesaian
pertidaksamaan x 5 x 6 adalah 2
.... a. b. c. d. e.
x x x x x
6 x 1
3 x 2
6 x 3 atau 2 x 1
6 x 5 atau 0 x 1
5 x 3 atau 2 x 0
2x 7 1 dipenuhi oleh .... x 1 2 x 8 x 8 atau x 2 8 x 1 atau x 1 2 x 1 atau 1 x 8 x 8 1 atau 1 - 2 x 1 atau x 1
5. Nilai dari a. b. c. d. e.
pertidaksamaan x 2 2 6 2 x 0 adalah .... a. x - 2 x 3, x R
4. Himpunan
6. Himpunan
penyelesaian
x2 1 adalah .... x2
1 1 x 2 2 b. x 3 x 1 a. x
x 1 x 1 d. x x 2 1 e. x x 2 c.
1 2
dari
7. Pertaksamaan
x3 1 dipenuhi x 1
oleh .... a. x < 8 b. x < 3 c. x < – 3 d. x < 1 e. x < – 1 8. Nilai
x
yang
memenuhi
x 2 x 1 2 0 adalah .... –1<x<3 x 1 atau x 3
1 x 3 3 x 1
x 3 atau x 1
9. Nilai
yang memenuhi 5 x 1 4 x 2 adalah ....
x
1 a. x 3 b.
1 x1 3 1 d. x 2 c.
e.
x < – 1 atau x
1 2
10. Nilai x yang memenuhi ketaksamaan
x2 a. b. c. d. e.
4 x 2 12 adalah ....
–4<x<8 –2<x<6 x < – 2 atau x > 8 x < – 4 atau x > 8 x < – 2 atau x > 6
12. Jika ( x0 , y0 ) adalah penyelesaian dari
2 x y 4 maka nilai x0 – y0 = ....... x y 5 a. b. c. d. e.
–2 –1 0 1 2
13. Jika suatu sistem persamaan linear
ax by 6 2ax 3by 2
mempunyai
penyelesaian x = 2 dan y = 1, maka nilai dari a2 + b2 = ……. a. 2 b. 4 c. 5 d. 8 e. 11
x>1
2
2 y x 2 0 2 x y 6 0
system persamaan
maka nilai dari x + y = …… a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
2
a. b. c. d. e.
11. Jika (x , y) adalah penyelesaian dari
14. Jika ( x0 , y0 ) adalah penyelesaian dari
5 y 3 x xy maka x0 + y0 = ....... 2 y x 7 xy a. b. c. d. e.
1 6 2 6 3 6 4 6 5 6
54
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 15. Jika
x0 , y0
penyelesaian
dari
2 3 x y 5 maka nilai 4x0y0 = …. 3 4 16 x y a. b. c. d. e.
16 8 4 1 ¼
x3 5 y 9 2 maka nilai x + y = y 9 x2 10 3 0 …… a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
4 ( x y ) 64 maka nilai x + y = …… ( 2 x y ) 2 8 0 1 2 3 4
penyelesaian
a. b. c. d. e.
–2 –1 0 1 2 x
yang
persamaan
memenuhi
sistem
log x 2 log y 3 11 4 7 log x log y 25
adalah …. a. 10 b. 100 c. 1.000 d. 10.000 e. 100.000
4 ( x y ) 64 maka nilai 2x0 + y0 ( 2 x y ) 2 8 adalah …… a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
x y 7 2 y x 3 x 10
22. Jika penyelesaian penyelesaian
x 2 xy y 2 7 adalah ….. 2 x y 1 a. 2,3,1,3 b. 2,3, 1,3 c. 2,3,1,3 d. 2,3,1,3 e. 2,3, 1,3
55
adalah
21. Jika ( x0 , y0 ) adalah penyelesaian dari
17. Jika (x , y) adalah penyelesaian dari
18. Himpunan
(x,y)
5 x 2 y 1 125 , maka nilai x+y = …. x y 2
20. Nilai
16. Jika (x , y) adalah penyelesaian dari
a. b. c. d. e.
19. Jika
adalah (x1 , y1) , (x2 , y2) maka nilai dari x1 + x2 adalah …. a. 3 b. 2 c. –1 d. –2 e. –3
y 8 4x x2 23. Jika penyelesaian 2 y x 2x adalah (x1 , y1) , (x2 , y2) maka nilai dari x1 + x2 + y1 + y2 = …. a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14
20 y 20 x xy 27. 12 z 12 y yz maka z : x : y = …. 10 10 x z 1 a. b. c. d. e.
2:4:3 2:4:5 1:2:4 1:2:5 2:3:4
24. Jika ( x0 , y0 , z0 ) adalah penyelesaian
2 x y 5 dari y 2 z 3 maka x0 + y0 = ....... x z 1 a. 6 b. 5 c. 4 d. 3 e. 2 25. Jika (x , y , z) adalah penyelesaian
6 x 5 y 2z 2 4 x y 3 z 10 maka x + y + z 5 x 3 y 7 z 13 adalah …… a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 26. Jika ( x , y , z ) adalah penyelesaian
x y z 7 3 3 y2 x z 4 2 2 6 maka x – y – z = …. x y z 6 4 3 1 a. b. c. d. e.
–7 –5 1 7 13
28. Pada tahun 2002 usia seorang anak sama dengan seperempat usia ibunya. Jika pada tahun 2006 usia anak tersenut sama dengan sepertiga usia ibunya, maka tahun kelahiran anak tersebut adalah ....... a. 1988 b. 1990 c. 1992 d. 1994 e. 1996 29. Diketahui hasil penjumlahan dua buah bilangan adalah 28. Jika selisih kedua buah bilangan tersebut adalah 12, maka salah satu bilangan tersebut adalah ...... a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11 30. Persamaan garis lurus yang melalui titik potong antara x + 2y = 4 dan 5x – y = 3 serta tegak lurus terhadap x + y – 4 = 0 adalah ….. a. x – y = 0 b. x – y – 1 = 0 c. x – y + 1 = 0 d. x + y – 1 = 0 e. x + y + 1 = 0
56
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 31. Perbandingan antara umur A dan B sekarang adalah 3 : 4. Enam tahun yang lalu perbandingan umur mereka adalah 5 : 7, maka perbandingan umur mereka enam tahun yang akan datang adalah ....... a. 8 : 11 b. 7 : 9 c. 2 : 3 d. 11 : 13 e. 8 : 9
32. Antara pukul 05.00 dan 05.30, jarum panjang dan jarum pendek suatu jam tangan akan berimpit pada 05. ....... 1
a. 27 11 menit 2
b. 27 11 menit c.
3
27 11 menit 4
d. 27 11 menit e.
5
27 11 menit
33. Diketahui A dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu 2 jam dan B dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu 3 jam. Jika pekerjaan tersebut dikerjakan secara bersama – sama maka akan selesai dalam ....... jam a. 2 21 b. 1 c.
6 5
d. 51 e. 1
57
1 2
34. Kopi arabica harganya $ 9,6 per ons dan kopi robusta $ 12 per ons. Untuk mendapatkan kopi yang harganya $ 10 per ons, maka kedua jenis kopi tersebut harus dicampur dengan perbandingan ........ a. 2 : 1 b. 3 : 1 c. 3 : 2 d. 4 : 2 e. 5 : 1 35. Dua buah mobil akan menempuh jarak 450 km. Kecepatan mobil kedua adalah 15 km / jam lebih cepat dari kecepatan mobil pertama. Jika waktu tempuh mobil pertama adalah satu jam lebih lama daripada mobil kedua, maka kecepatan rata-rata kedua buah mobil tersebut adalah ....... km / jam a. 97,5 b. 92,5 c. 87,5 d. 85,0 e. 82,5 36. Sebuah pabrik sepatu memiliki 3 buah mesin : A , B dan C. Dalam sehari ketiga mesin tersebut dapat memproduksi 295 pasang sepatu. Jika hanya mesin A dan B yang bekerja maka akan diproduksi 205 pasang sepatu, dan jika hanya mesin A dan C yang bekerja maka akan diproduksi 185 pasang sepatu. Jika yang bekerja hanya mesin B dan C, maka akan diproduksi ......... pasang sepatu. a. 170 b. 175 c. 180 d. 190 e. 200
37. Jika pembilang suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 1 maka nilai pecahan tersebut menjadi sama dengan 21 , tetapi jika pembilangnya ditambah 1 dan penyebutnya dikurangi 2 maka nilai pecahan tersebut menjadi sama dengan 53 . Jika pembilang maupun penyebutnya ditambah 3 maka nilai pecahan tersebut menjadi sama dengan ....... a. b. c. d. e.
1 2 1 3 1 4 1 5 1 6
38. Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c melalui titik (-1,10), (1,4) dan (2,7). Maka nilai a, b dan c berturut-turut adalah ….. a. 2, – 3, 5 b. 2, 3, 5 c. 2, 3, – 5 d. 2, – 3, – 5 e. 2, 3, 5 39. Pak agus bekerja selama 6 hari dengan 4 hari diantaranya lembur mendapat upah Rp. 74.000,- Pak Bardi bekerja selama 5 hari dengan 2 hari diantaranya lembur mendapat upah Rp. 55.000,- Pak Agus, Pak Bardi dan Pak Dodo bekerja dengan upah yang sama, jika pak dodo bekerja 5 hari dan terus menerus lembur, maka upah yang diterimanya adalah ……. a. Rp. 60.000,b. Rp. 65.000,c. Rp. 67.000,d. Rp. 70.000,e. Rp. 75.000,-
40. Ani, Nia, dan Ina pergi bersama – sama ke toko buah. Ani membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan I kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Ina membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp 80.000,00. Harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk seluruhnya adalah …. a. Rp 37.000,00 b. Rp 44.000,00 c. Rp 51.000,00 d. Rp 55.000,00 e. Rp 58.000,00
41. Jika absis titik potong parabola y = x2 + px + 2 dan y = x2 + 4x – 3 adalah 2, nilai p sama dengan …. a. ½ b. 1 c. 1½ d. 2 e. 3
42. Dua tahun yang lalu umur seorang ayah sama dengan 6 kali umur anaknya. Jika delapan belas tahun yang akan datang umur ayahnya sama dengan dua kali umur anaknya, maka pada saat ini umur anaknya adalah ........ tahun a. 5 b. 6 c. 7 d. 8 e. 9
58
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 43. Kereta api I meninggalkan stasiun dengan kecepatan 40 km/jam. Dua jam kemudian kereta II meninggalkan stasiun dengan kecepatan 60 km/jam menuju arah yang sama. Kereta api II menyusul kereta api I di suatu tempat yang dari stasiun pemberangkatan jaraknya … km a. 240 b. 260 c. 275 d. 300 e. 400 44. Sebuah bilangan terdiri atas dua angka. Nilai bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah kedua angka. Angka satuan dikurangi angka puluhan sama dengan 2. Bilangan tersebut terletak diantara …. a. 1 dan 5 b. 6 dan 10
c. 11 dan 15 d. 16 dan 20 e. 21 dan 25 45. Jika A, B, dan C bekerja bersama, mereka dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalarn 2 hari. Jika A dan C bekerja bersama untuk menyelesaikan pekejaan itu maka diperlukan waktu 3 hari. Jika B dan C bekerja bersama untuk menyelesaikan pekerjaan itu maka diperlukan waktu 3,6 hari. Lama waktu yang diperlukan masing - masing oleh A, B, dan C jika mereka bekerja sendiri-sendiri adalah …… a. 4 hari , 5 hari , 6 hari b. 4 hari , 6 hari , 8 hari c. 4 hari , 6 hari , 7 hari d. 4 hari , 7 hari , 8 hari e. 4 hari , 7 hari , 9 hari
B. URAIAN Selesaikanlah secara singkat, jelas dan tepat Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut : 1. x 2 1 9. 5 x 10 5 x 10 2.
2x 3 5
3.
6 2x 4
4.
x3 8
5.
4 8 x 10
12. x 2 x 4 8
6.
x4 x4
7.
3x 6 6 3x
13. 2 x 2 9 x 7 12
8.
8 2x 2x 8
10. x 2 x 3 27 11. 2 x 2 14 x 30 10
Tentukan bentuk sederhana penjumlahan dan pengurangan tanda mutlak di bawah ini untuk interval 6 x 10 . 14. x 5 2 x 8 16. 6 2 x x 3 15. 2 x 12 6 x
59
Tentukan semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan nilai mutlak berikut. 17. x 2 32. 2 x 2 15 3 18. x 4
19. x 2 20. 2 x 1 9 21. 3 x 1 8 22. 2 x 1 5 23. 3 x 4 8 24. 3 x 1 x 2 25. x 2 1 2 x 26. x 2 2 x 1
1 x 2 28. 2 x 3 x 1 27. 2 x
33. x 2 2 x 4 4 34. x 2 5 x 4 10
x 1 1 x3 x3 36. 1 x 1 2x 5 37. 3 x2 3x 1 38. 2 x4 35.
2
39. x 2 4 x 2 3 0
29. 2 x 1 5 x
40. x 3 5 x 3 6 0
30. x 2 17 8
41. x 2
2
4 x 2 12
31. 2 x 2 5 3
42. x 3
2
4 x 3 12
2
Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan substitusi.
2 x y 1 0 x y 7 0
43.
4 x 7 y 1 0 7 x y 15 0
44.
Tentukanlah himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan eliminasi.
6 x 8 y 34 x 10 y 17
45.
2 x y 1 0 2 x y 5 0
46.
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode gabungan substitusi dan eliminasi.
3 x 2 y 10 9 x 7 y 43
47.
x 2 y 3 1 2 48. 3 x6 y 2 1 3 5
Selesaikan SPLDV berikut dengan metode grafik.
2 x 3 y 6 x 3y 3
49.
x 2y 9 5 x 2 y 27
50.
60
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama Tentukan penyelesaiannya menggunakan determinan matriks.
2 x 3 y 11 5 x 3 y 23
2 x 5 y 15 3 x 4 y 11 x2 4 y3 53. Jika xo dan yo adalah penyelesaian dari persamaan berikut Tentukan y4 x 8 3 51.
52.
nilai 7xo + 2yo .
ax by 13 adalah ( 2,1 ) . Tentukan nilai a + b 2ax by 11
54. Penyelesaian persamaan
3 2 x y 9 , tentukan nilai x ! y x 4
55. Jika diketahui 56. Tentukan
himpunan
penyelesaian
5 x ( y 1 ) 3 x 2 ( 3 y 1 ) 20 2 2 x 3 ( 2 y 1 ) 5 x y
dari
sistem
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut eliminasi – substitusi
persamaan
dengan metode gabungan
x 2 y z 7 57. 2 x y z 4 x y z 3
2 x 2 y 3 z 22 60. 3 x y 4 z 19 5 x y 2 z 21
2 x 2 y 3 z 22 58. 3 x y 4 z 19 5 x y 2 z 21
x 2 y z 7 61. 2 x y z 4 x y z 3
x 2 y z 7 59. 2 x y z 4 x y z 3
2 x 2 y 3 z 22 62. 3 x y 4 z 19 5 x y 2 z 21
Tentukanlah penyelesaian dari SPLTV berikut menggunakan determinan matriks.
x 2 y z 7 63. 2 x y z 4 x y z 3
61
berikut
2 x 2 y 3 z 22 64. 3 x y 4 z 19 5 x y 2 z 21
Tentukanlah penyelesaian dari sistem persamaan berikut
1 1 x y 2 2 1 65. 3 y z 112 x z 1 1 1 2 x 3 y 5 z 1 3 1 2 66. x y z 4 3 5 2 1 2 x y 1z 2 2 3 5
4 2 3 x y z 1 4 4 3 67. 2 x y z 8 2 6 1 x y z
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut
y 2x 3 2 yx x y 0 69. 2 y x 3x y x 1 70. 2 y x 5x 4 x y 3 71. 2 y x 4x 3 68.
x y 6
72. 2 2 x y 26
2x y 2
73. 2 2 x 2 y 12
x y 4
74. 2 y 4x
x y 2
75. 2 2 x xy 2 y 4
76. Harga 2 koper dan 5 tas adalah Rp 600.000,00 , sedangkan harga 3 koper dan 2 tas yang sama adalah Rp 570.000,00. Tentukan harga sebuah koper dan dua tas ! 77. Tujuh tahun yang lalu umur Ayah sama dengan enam kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang ,dua kali umur Ayah sama dengan lima kali umur Budi ditambah sembilan tahun. Berapakah umur Ayah sekarang? 78. Sebuah bilangan pecahan jika pembilangnya ditambah dengan 4 maka pecahan
3 . Jika penyebut dari pecahan tersebut dikurangi dengan 13 maka 7 1 pecahan tersebut menjadi . Tentukan jumlah penyebut dan pembilang pecahan 2 tersebut bernilai
tersebut! 79. Tiga ons kopi dan empat ons mentega berharga Rp 12.500,00 . Dua bulan kemudian harga kopi meningkat 5 % dan mentega meningkat 10 % , sehingga jumlah harganya menjadi Rp 13.525,00. Berapa harga 1 ons kopi dan 1 ons mentega?
62
Bahan Ajar Tengah Semester Pertama 80. Leo secara bergantian berlari pelan dan berjalan ke sekolahnya setiap hari. Ia berjalan dengan kecepatan rata-rata 3 km / jam dan berlari pelan dengan kecepatan 6 km / jam. Jarak rumah ke sekolahnya adalah 6 km dan ia menempuhnya dalam 1,5 jam. Berapa jauh ia berlari dalam perjalanan itu? 81. Adi , Ali dan Arman berbelanja di sebuah toko swalayan. Adi membeli 3 unit barang A, 4 unit barang B, dan 1 unit barang C. Adi harus membayar Rp 83.000,00. Ali membeli 6 unit barang A, 2 unit barang B dan 1 unit barang C. Ali harus membayar Rp 86.000,00. Arman membeli 2 unit barang A, 5 unit barang B, dan 10 unit barang C. Arman harus membayar Rp 158.000,00. Jika Silvia membeli 5 unit barang A, 4 unit barang B dan 3 unit barang C, berapa jumlah uang yang harus dibayar Silvia? 82. Diketahui tiga bilangan a,b,dan c. Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan 16. Bilangan kedua ditambah 20 sama dengan jumlah bilangan yang lainnya.Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan yang lain dikurangi empat. Tentukanlah bilangan-bilangan itu !. 83. Suatu bilangan terdiri dari tiga angka, jumlah ketiga angka itu sama dengan 9. Nilai bilangan itu sama dengan 14 kali jumlah ketiga angkanya. Angka ketiga dikurangi angka kedua dan angka pertama sama dengan 3. Tentukan bilangan itu!. 84. Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c melalui titik- titik ( 1,4 ), ( - 2 ,18 ), dan ( 3,13 ). Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut ! 85. Jika A,B, dan C bekerja bersama-sama ,mereka dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 2 hari. Jika A dan C bekerja bersama untuk menyelesaikan pekerjaan itu maka diperlukan waktu 3 hari. Jika B dan C bekerja bersama untuk menyelesaikan pekerjaan itu maka diperlukan waktu 3,6 hari. Berapa lama waktu yang diperlukan masing-masing oleh A,B, dan C jika mereka bekerja sendiri-sendiri?
63
