Diskrétní náhodná veličina
November 12, 2008
INM 2008
(Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X , jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu. Například počet kvalitních výrobků ve vyrobené denní dávce 100 ks je náhodná veličina X , která může nabýt hodnoty x = 0, 1, 2, ..., 100.
INM 2008
(Diskrétní náhodná veličina) Náhodná veličina (proměnná) X se nazývá diskrétní, jestliže její obor hodnot (množina všech čísel, kterým se X může rovnat) je nanejvýš spočetná množina. To znamená, že X se buď může rovnat jen konečně mnoha hodnotám, nebo sice nekonečně mnoha hodnotám, ale tyto hodnoty lze seřadit do posloupnosti. Hodnoty, kterých diskrétní náhodná veličina může nabývat, označíme x1 , x2 , . . . a jejich počet označíme n, přičemž n může být i ∞.
INM 2008
(Pravděpodobnostní funkce) Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X je funkce p, která je definována jako p(x) = P(X = x). (Čteme: Hodnota funkce malé p v bodě malé x je rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina velké X se bude rovnat malému x.) Pro hodnoty pravděpodobnostní funkce platí n X
p(xi ) = 1.
i=1
INM 2008
(Distribuční funkce) Distribuční funkce náhodné veličiny X je funkce F , která je definována jako F (x) = P(X < x). (Čteme: Hodnota funkce F v bodě malé x je rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina velké X nabude hodnoty menší než malé x, tj. hodnoty z intervalu (−∞, x)) Pro distribuční funkci diskrétní náhodné veličiny platí F (x) =
X
p(xi ).
xi <x
INM 2008
(Vlastnosti distr. funkce) Je neklesající zleva spojitá lim F (x) = 0,
x→−∞
lim F (x) = 1.
x→∞
U diskrétní veličiny je distribuční funkce schodového tvaru - jedná se o funkci, která je po částech konstantní (na intervalech (xi , xi+1 )), pouze v bodech x1 , x2 , x3 , . . . dochází ke změně (ke schodu), kde velikost změny (= výška schodu) v bodě xk je rovna právě hodnotě p(xk ). Body vyznačené na levém konci každého ze schodů prázdným kolečkem naznačují, že funkční hodnota distribuční funkce v bodě schodu je definována ne v bodě prázdného kolečka, ale dole u paty nižšího schodu (ještě nezvýšená).
INM 2008
(Graf) y 1 y = F (x)
1
2
3
INM 2008
4
x
(Číselní charakteristiky náhodních veličin - střední hodnota diskrétní náhodné veličiny) Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny X se vypočítá jako EX =
n X
xi · p(xi ) = x1 · p(x1 ) + x2 · p(x2 ) + · · · .
i=1
Zhruba řečeno, střední hodnota náhodné proměnné udává, jaký asi bude průměr získaných hodnot náhodné proměnné při mnoha opakováních náhodného procesu.
INM 2008
(Číselní charakteristiky náhodních veličin - střední hodnota diskrétní náhodné veličiny) Pro libovolné dvě náhodné proměnné X , Y platí E(X + Y ) = EX + EY . Pro libovolné dvě nezávislé náhodné proměnné X , Y platí E(X · Y ) = EX · EY .
INM 2008
(Číselní charakteristiky náhodních veličin - rozptyl diskrétní náhodné veličiny) Pro spolehlivý popis náhodné veličiny potřebujeme znát nejenom střed kolem kterého se jednotlivé hodnoty soustřeďují, ale také jak daleko se od tohoto středu rozptylují. Rozptyl je definován jako střední hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty. Odchylku od střední hodnoty, která má rozměr stejný jako náhodná veličina, zachycuje směrodatná odchylka. DX =
n X i=1
[xi − EX ]2 pi (xi ) =
n X
xi2 pi (xi ) − (EX )2 ,
i=1
kde xi jsou hodnoty, kterých může náhodná veličina X nabývat s pravděpodobnostmi pi a EX je střední hodnota veličiny X .
INM 2008
Příklad Jaký je průměrný počet hlav padlých při n hodech mincí? Pokud hlavě mince přiřadíme hodnotu 1, máme tak n náhodných proměnných Xi ∈ {0, 1}, i = 1, . . . , n příslušejících jednotlivým hodům mince. Celkový počet hlav je dán náhodnou proměnnou X = X1 + · · · + Xn . Takže průměrný počet hlav je EX = E(X1 + · · · + Xn ) = EX1 + · · · + EXn =
1 1 n + ··· + = . 2 2 2
To přesně odpovídá našemu vnímání pravděpodobnosti jako relativní četnosti jevu.
INM 2008
Příklad (zadání) Kolik je třeba průměrně hodů mincí, aby vyšly tři stejné výsledky?
INM 2008
Příklad (řešení) Je snadno vidět, že nejdříve tři stejné výsledky mohou nastat po třech hodech a nejpozději po pěti hodech (z dvou hlav a dvou orlů pět hodů nesložíme). S jakou pravděpodobností získáme stejné výsledky při třech hodech? Jsou možnosti buď tří hlav, nebo tří orlů, takže 1 1 p(3) = 2 · = . 8 4 Až po pěti hodech získáme 3 stejné výsledky, pokud první čtyři hody budou rozděleny dva na dva (na posledním hodu pak již vlastně nezáleží).
INM 2008
Příklad (řešení, pokr.) To se může stát v 42 = 6 možnostech pro 4 hody, takže pravděpodobnost je
p(5) = 6 ·
1 3 = . 16 8
Možnost, že 3 stejné výsledky získáme po čtyřech hodech, je doplňková k předchozím dvěma a v součtu musí mít pravděpodobnost 1, proto p(4) = 1 − p(3) − p(5) = 1 −
3 1 3 − = . 4 8 8
Průměrný počet potřebných hodů je dle definice střední hodnoty N = p(3) · 3 + p(4) · 4 + p(5) · 5 =
33 3 3 15 + + = = 4, 125. 4 2 8 8
INM 2008
Příklad (varovný) Jaký je průměrný součin čísel horní a spodní stěny stejné kostky při hodech? Jak už víme, střední hodnota čísla na horní stěně je 3, 5 a dolní stěně samozřejmě taky 3, 5. Střední hodnota jejich součinu však není 3, 5 · 3, 5 = 12, 25, protože tyto dva jevy nejsou nezávislé. Místo toho střední hodnotu součinu spočítáme podle definice 1 1 1 (1 · 6 + 2 · 5 + 3 · 4 + 4 · 3 + 5 · 2 + 6 · 1) = · 56 = 9 + . 6 6 3 Proto si dávejme dobrý pozor na nezávislost jevů při násobení středních hodnot!
INM 2008
