MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta
DIPLOMOVÁ PRÁCE Libuše Tesařová
Pojem funkce v učivu střední školy Vedoucí práce: RNDr. Pavel Šišma, Dr.
Studijní program Fyzika Studijní obor Učitelství matematiky a fyziky pro střední školy 2010
Ráda bych poděkovala panu RNDr. Pavlu Šišmovi, Dr. za odborné vedení, cenné rady, připomínky, ochotu a trpělivost, se kterou se mi věnoval v průběhu zpracovávání této diplomové práce.
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci Pojem funkce v učivu střední školy vypracovala samostatně s použitím uvedených pramenů.
V Brně, dne 3. března 2010
Libuše Tesařová
.....................
Název práce: Pojem funkce v učivu střední školy Autor: Libuše Tesařová Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU Vedoucí diplomové práce: RNDr. Pavel Šišma, Dr. Abstrakt: Tato diplomová práce zachycuje vývoj vyučování pojmu funkce v českých středoškolských učebnicích po roce 1860 do současnosti. Jsou rozebírány dostupné středoškolské učebnice matematiky a následně vyhodnocován přístup k učivu tohoto tématu v různých časových obdobích. Klíčová slova: funkce, učebnice, matematika, školská reforma, historie
Title: Function in the secondary school textbooks Author: Libuše Tesařová Department od Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: RNDr. Pavel Šišma, Dr. Abstract: This thesis deals with the development of the function notion teaching in Czech secondary school‘s textbooks since 1860 till today. There are analyzed accessible secondary school‘s mathematic textbooks and afterwards there is evaluated the attitude to the curriculum of this topic during various time periods. Keywords: function, textbook, mathematics, educational reform, history
Obsah 1 Úvod
3
2 Školství a vzdělanost v českých zemích
5
2.1
Období středověku - 1848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Období 1848 - 1908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Období 1908 - 1948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Období 1948 - 1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5
Období 1976 - 1990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6
Období 1990 - současnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Vývoj pojmu funkce
15
3.1
Vývoj pojmu funkce ve vědě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2
Vývoj pojmu funkce ve vysokoškolských učebnicích a systém vzdělávání středoškolských učitelů . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3
Pojem funkce v současné středoškolské matematice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Rozbor učebnic
25
4.1
Učebnice aritmetiky z období 1848 - 1908 . . . . . . . . . . . . 25
4.2
Učebnice geometrie z období 1848 - 1908 . . . . . . . . . . . . 31
4.3
Učebnice aritmetiky z období 1908 - 1948 . . . . . . . . . . . . 33
4.4
Učebnice geometrie z období 1908 - 1948 . . . . . . . . . . . . 44
4.5
Učebnice matematiky z období 1948 - 1976 . . . . . . . . . . . 45
4.6
Učebnice matematiky z období 1976 - 1990 . . . . . . . . . . . 52
4.7
Učebnice matematiky z období 1990 - současnost . . . . . . . 58
5 Vyhodnocení učiva a učebnic
62
1
6 Autoři učebnic
66
6.1
Autoři významných vysokoškolských učebnic . . . . . . . . . . 66
6.2
Autoři významných středoškolských učebnic . . . . . . . . . . 70
7 Závěr
76
8 Literatura
77
9 Příloha
81
9.1
Ukázky textů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.2
Tabulky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2
1
Úvod
Cílem této diplomové práce je zachytit vývoj vyučování pojmu funkce na středních školách v českých zemích od roku 1860, kdy byla provedena reforma středního školství, do současnosti. Práce by tedy měla zmapovat způsob, jak bylo učivo o funkcích v dostupných, česky psaných, středoškolských učebnicích v různých časových obdobích prezentováno. Na začátek bych měla poznamenat, že pod pojmem střední školství budu v celé práci rozumět pouze všeobecně vzdělávací typy českých středních škol, tj. gymnázia, reálky, reálná gymnázia a později i reálná reformní gymnázia. Druhá kapitola práce přibližuje celkový vývoj středního školství od středověku až do současnosti. Celé období je rozčleněno na šest menších celků. Čtenář se v nich seznámí s významnými reformami a s tím, jak ovlivnily výuku matematiky s ohledem na funkce. V třetí části je stručně zachycen historický vývoj pojmu funkce. Je uvedeno, jak byl chápán a definován ve vědě a v českých vysokoškolských učebnicích v průběhu let. Krátce se hovoří i o daném pojmu v současných středoškolských učebnicích. Následně čtvrtá kapitola obsahuje vlastní rozbor středoškolských učebnic vydaných od roku 1848. Byly sledovány učebnice, ve kterých se vyskytuje učivo pojednávající o funkcích či alespoň jeho náznaky. Těchto učebnic se na tehdejších středních školách užívalo při výuce či byly vydány nově podle proběhlých reforem. Celá kapitola je rozdělena na sedm částí podle doby vydání jednotlivých knih. Pátá kapitola obsahuje vyhodnocení informací získaných v předešlých odstavcích. Vše je doplněno přehlednou tabulkou, ze které se může čtenář dovědět, jaká látka se vyskytuje v učebnicích jednotlivých časových obdobích. Podrobnější tabulky vztahující se ke konkrétním knihám jsou k nahlédnutí v příloze 3
diplomové práce spolu s ukázkami textů z některých starších učebnic. Poslední část je věnována autorům významných vysokoškolských a středoškolských učebnic matematiky. Jsou v ní uvedeny krátké životopisy a vyobrazení spisovatelů, kromě autorů současných. Věřím, že tato práce přinese přehledný, možná i překvapující, obraz o tom, jak se pojem funkce a učivo o funkcích v českých středoškolských učebnicích matematiky vyvíjel v průběhu minulého a předminulého století. V textu jsou občas používány „zastaraléÿ výrazy či fráze. Ty jsou v práci označeny nebo vysvětleny vyjma podbarveného textu, kde jsou někdy dobová označení. Převážně se jedná o starší matematickou terminologii. Diplomová práce je vysázena systémem LATEX.
4
2 2.1
Školství a vzdělanost v českých zemích Období středověku - 1848
O vlastních počátcích školství v českých zemích a o úrovni poskytovaného vzdělání nemáme mnoho pramenných dokladů. Rozvoj školství a vzdělanosti v českých zemích se odehrál pod dominantním vlivem latinské kulturní tradice středověké a raně novověké Evropy. Stejně jako jinde v Evropě bylo vzdělávání v prvních staletích existence českého státu výhradní doménou úzké vrstvy světských i řeholních duchovních, kteří si elementární vzdělání osvojovali zpravidla na některých z mála českých klášterních či biskupských škol. Na druhé straně se řadě z nich dostalo kvalitního vzdělání na některé vyhlášené katedrální škole, později i na univerzitě v blízkém i vzdálenějším zahraničí. Školská síť v českých zemích se formovala jen zvolna v závislosti na postupném upevňování ústřední moci panovníka a pokračující stabilizaci středověké společnosti. Nejstarší školou v Čechách byla zřejmě pražská katedrální škola zřízená po vzniku biskupství v roce 973. Dalšími známými školami se v 11. a 12. století staly školy při vyšehradské a olomoucké kapitule. Postupně rozšiřující síť řeholních domů si vyžádala zřizování i jiných škol než kapitulních. Byly zřizovány školy klášterní (prvním klášterem se stal konvent benediktinek na Pražském hradě založený roku 973). Důležitým momentem z hlediska rozvoje duchovního života v českých zemích v souvislosti s probíhající kolonizací ve druhé polovině 12. a 13. století znamenal příchod dalších řeholních společenství (cisterciáci, premonstráti či templáři). Vedle biskupských, kolegiátních a klášterních škol se ve 13. - 15. století hojně rozrostla především síť měšťanských farních škol. Počátky farních škol v českých zemích jsou spolehlivě datovatelné až do prvních desetiletí 13. století 5
(Znojmo 1225, Brno 1234). Kontrola nad farními školami, stejně jako nad veškerým školstvím v zemi vyjma klášterních škol, příslušela církvi, ale již od konce 13. století docházelo v některých městech k prvním úspěšným pokusům o převedení škol do městské správy. V předbělohorské době byla vybudována rozsáhlá síť městských latinských škol, která představovala hlavní složku českého školství. Městská škola byla obvykle jen nižší, vyučovala se jen základní část sedmera svobodných učení, tj. gramatika, rétorika a dialektrika. Vyšší typ školy, který si mohlo dovolit jen prosperující město, měl pět tříd. Rozvoj školství v renesanční a barokní době by byl těžko myslitelný bez rychlého a masového rozšíření knihtisku, tedy tištěných a cenově dostupných knih. Knihtisk se tak stal jedním ze základních předpokladů stoupající gramotnosti a vzdělanosti v městském i šlechtickém prostředí - stále vyjma žen a dívek. Jim nadále zůstaly uzavřeny jak univerzity, tak i gymnázia a měšťanské školy. Tereziánské a josefovské reformy znamenaly zásadní zlom ve vývoji celého rakouského školství. Největší přínos těchto reforem je možno spatřit zejména v demokratizaci a v unifikaci škol. Po zavedení povinné školní docházky pro děti ve věku od šesti do dvanácti let, tj. šestiletá, a po jejím postupném prosazení do života v první polovině 18. století totiž opouštěly třídy elementárních škol v podstatě jednotně vzdělané a vychované generace dospívající mládeže. Důležitým momentem pro zahájení zásadních reforem ve školství se stalo zrušení jezuitského řádu papežem dne 21. července 1773. V následujících třiceti letech postupně vykrystalizovala základní podoba hierarchicky organizované veřejné školské správy, jejímž prostřednictvím stát uplatňoval svůj vliv na školy všech stupňů. Řízení gymnázií bylo svěřeno jednotlivým krajským školním komisařům, kteří z titulu této funkce zastávali zároveň i
6
úřad direktora příslušných krajských gymnázií. Počátkem vlastních razantních změn ve školství monarchie se stala opatření přijímána po roce 1760, kdy byla ve Vídni zřízena studijní dvorská komise, jejímž úkolem bylo připravit reformu nižších a středních škol. Z jejího podnětu byl o čtyři roky později povolán do Vídně Johann Ignaz Felbiger (1724 1788), který následně inicioval vznik základní právní normy pro novou organizaci rakouského nižšího školství. „Všeobecný školský řád pro německé normální, hlavní a triviální školy ve spojených císařsko - královských dědičných zemíchÿ, který byl vyhlášen 6. prosince 1774 s platností od počátku následujícího roku, se stal podkladem pro organizaci obecných škol v Rakousku v podstatě až do roku 1869. Současně s reformami elementárního školství probíhaly i reformy v oblasti sekundárního školství. Vypracováním nové koncepce gymnázií v monarchii byl pověřen Gratian Marx (1721 - 1810). Jeho návrh nového školního řádu, který byl schválen v srpnu 1776, přinesl změny týkající se především přijímacích zkoušek, rozvržení a délky studia, snížení počtu tříd ze šesti na pět, skladby předmětů a sestavení rozvrhu, klasifikační stupnice, systému výuky i zkoušek. Gymnázia byla i nadále brána především jako příprava na další, univerzitní studium, a proto zůstal zachován jejich humanitní charakter včetně důrazu na klasické jazyky. Vedle němčiny a latiny se žáci učili i řecky, více místa se dostalo i matematice (ta byla ve všech ročnících), jako samostatné předměty byly zavedeny dějepis a zeměpis. Nová učební osnova zůstala v platnosti plných 29 let. V říjnu 1819 František I. odsouhlasil nový učební plán gymnázií v monarchii, který vracel rakouská gymnázia o půl století zpět. Konzervativní, starohumanisticky založený program zcela vyloučil výuku přírodních věd a vyšší matematiky. Zredukoval hodinové dotace dějepisu a zeměpisu, a naopak posílil
7
časovou dotaci klasických jazyků. Zřejmě jediným pozitivním rysem vývoje rakouského sekundárního školství v letech 1818 - 1848 bylo opětovné zavedení stejně dlouhého šestitřídního gymnázia bez výjimky v českých i rakouských zemích. Celé období od roku 1819 - 1848 bylo ve školství obdobím stagnace a úpadku.
2.2
Období 1848 - 1908
O reformě školství se diskutovalo v podstatě po celá čtyřicátá léta 19. století, konkrétní podobu tyto úvahy však získaly až v průběhu let 1848 a 1849. Dne 23. března 1848 došlo ke vzniku „ministerstva školstvíÿ, které nahradilo dosavadní studijní dvorskou komisi, zřízenou v roce 1759. Toto ministerstvo získalo název ministerstvo kultu a vyučování a takto fungovalo až do roku 1918. Nejprve se v reformě dostalo na střední školství, která vycházela z návrhu Franze Seraphina Exnera (1802 - 1853) a Hermanna Bonitze (1814 - 1888). Exner - Bonitzův „Nástin organizace gymnázií a reálek v Rakouskuÿ byl provizorně schválen 16. září 1849 (definitivně až koncem roku 1854) a stal se základem pro rozvoj středního školství v celé habsburské monarchii. Byla vytvořena osmitřídní gymnázia, která tvořila článek mezi elementární školou a univerzitou, ale i šestitřídní a později i sedmitřídní reálky. Na gymnáziích se více prostoru než dříve dostalo zeměpisu, dějepisu, matematice (vyučována v rozsahu 3,3,3,3,4,3,3,0), fyzice a přírodopisu. Gymnaziální výuka byla rozdělena do dvou čtyřletých uzavřených bloků. Z nižšího stupně bylo možné přestoupit na reálku či na učitelské ústavy. Druhou možností bylo setrvat ve studiu na vyšším stupni gymnázia a ukončit ho nově maturitou, která znamenala cestu na univerzitu. Státní maturita byla chápána jako nezbytná podmínka k univerzitnímu studiu, proto byla velmi náročná. 8
Dalším typem střední školy gymnaziálního charakteru se nově staly reálky, po roce 1849 šestitřídní. Stejně jako gymnázia měly nižší a vyšší stupeň. Reálky připravovaly své studenty pro řemeslná povolání a následně i na vysokoškolské studium technického zaměření. Počet hodin matematiky ve třech posledních ročnících reálek bylo 5,4,4 (na nižším stupni 4,4,4). Na těchto školách se ve všech ročnících v prvním pololetí probírala algebra a ve druhém pak geometrie. První šestitřídní reálka byla otevřena v Praze již 15. října 1849. V roce 1850 byla zrušena tzv. privilej studijního fondu, což bylo privilegium pro vydávání všech středoškolských učebnic. Od tohoto data mohl učebnice vydávat kdokoli, musely však být před použitím ve škole schváleny ministerstvem kultu a vyučování. Reformy z let 1848 a 1849 platily s drobnými úpravami až do šedesátých let 19. století. Nové školské zákony z let 1866 - 1874 zavedly jazykovou rovnoprávnost na českých školách v českých zemích a reálky byly rozšířeny na sedmitřídní. Teprve od roku 1866 můžeme mluvit o českém středním školství, kdy vznikla první česká gymnázia v Brně a v Olomouci. Dne 14. května 1869 byl vydán tzv. „Základní říšský školský zákon o školách obecnýchÿ, kterým byl dovršen proces formování školské soustavy. Na základě zákonu byla zavedena povinná školní docházka pro všechny děti ve věku od 6 do 14 let a dozor státu na školstvím.
2.3
Období 1908 - 1948
Snahy o reformu vyučování matematiky se ve vyspělých evropských zemích objevují již od 60. let 19. století. V roce 1872 německý matematik Felix Klein (1849 - 1925) na své přednášce uvedl, že je nutné pozvednout matematické vzdělání na vysokých i středních školách na vyšší teoretickou úroveň 9
tak, aby bylo v souladu s dosaženými vědeckými poznatky. Proto například ve Francii již roku 1902 byly do jednotného plánu školské matematiky zařazeny elementární poznatky o funkcích a prvky infinitesimálního počtu. Klein zveřejnil svůj reformní návrh na shromáždění německých přírodovědců v Meranu v roce 1905, zde byl také přijat jako tzv. „Meranský programÿ. Návrh přisuzoval matematice klíčové postavení ve středoškolském vzdělání a zastával se o rozvíjení prostorové představivosti a logického a funkčního myšlení. Dokonce na dalším shromáždění v roce 1906 ve Stuttgartu byly navrženy obsahové změny. Středoškolská matematika se měla obohatit o základy matematické analýzy; mělo dojít k zavedení a rozvíjení pojmu funkce na elementárních funkcích a prvků diferenciálního a integrálního počtu. Autorovi návrhu se podařilo prosadit vyzkoušení programu v Německu v roce 1908. České země se do reforem matematicko - přírodovědného vzdělání zapojily už od samého začátku. Hlavní roli při tom sehrála Jednota českých matematiků a fyziku. Jednota se zabývala problémy výuky matematiky, snažila se sjednotit českou matematickou terminologii a i činnost středoškolských učitelů matematiky. Ti tvořili až 49% členské základny spolku. Díky odborné i organizační činnosti dosáhla úroveň výuky matematiky na českých školách úrovně předních evropských zemí. Na Meranský program i na stuttgartský návrh u nás reagovala „Marchetova reformaÿ učebních osnov (podle ministra kultu a vyučování Marcheta) již v roce 1909, obzvláště zařazením elementárních funkcí a prvků infinitesimálního počtu do školské matematiky na reálkách a částečně i na gymnáziích. Do čtvrtého ročníku (gymnázií i reálek) byla zařazena lineární funkce, její graf a užití při řešení rovnic prvního stupně. V šestém ročníku gymnázií se objevil i graf kvadratické funkce a jeho užití při řešení kvadratických rovnic.
10
Na reálkách dokonce již v pátém ročníku. Tyto látky nenalezneme v dřívějších osnovách (tedy před rokem 1910). S reformou bylo spojeno i vydávání nových učebnic, protože učebnice vydané před rokem 1910 již nevyhovovaly náročným požadavkům reformy. Bylo proto nezbytné sepsat nové středoškolské učebnice matematiky, které by byly v souladu s vysokoškolskými. Jednota využila zrušení tzv. privileje studijního fondu v roce 1850 a začala vydávat učebnice již od roku 1873 a postupně získala skoro monopol na vydávání učebnic, poněvadž do roku 1911 připadlo na středoškolské učebnice matematiky a fyziky 33% z celkové nakladatelské činnosti Jednoty. Spolek vydával učebnice až do roku 1948, kdy podle nového školského zákona vydávání všech učebnic převzalo Státní pedagogické nakladatelství. [10] Zásluhou Jednoty českých matematiků a fyziků měly učebnice na tehdejší dobu vysokou úroveň, byly připraveny a posuzovány vysokoškolskými odborníky a zaváděly do škol jednotnou terminologii. [8] Poslední měsíce roku 1918 přinesly nejen konec války, ale také rozpad Rakouska - Uherska. Na jeho ruinách vznikla řada států včetně Československé republiky. Říjnový státní převrat a nové státoprávní uspořádání se ve školství projevily především organizačními změnami a nacionalizací škol. Ačkoli bylo zejména v letech 1919 - 1923 schváleno a do praxe uvedeno několik důležitých zákonných norem, zůstala podstata celého školského systému v podstatě zachována. Nejvýznamnější kodifikační úpravou před rokem 1948 se v oblasti československého školství stal školský zákon z roku 1933. Změny se týkaly osnov výuky matematiky na středních školách, ty však nebyly moc výrazné a proto učebnice vydané před tímto rokem zůstaly v platnosti.
11
2.4
Období 1948 - 1976
V dubnu roku 1948 byl schválen nový školský zákon, kterým byla provedena základní úprava jednotného školství. Na pětitřídní školu národní navazovala čtyřletá jednotná střední škola. Vyšší stupeň všeobecného vzdělání umožňovala pak čtyřletá gymnázia (hodinová dotace matematiky byla 4,3,3,3), která připravovala žáky též ke studiu na školách vysokých. Ve čtvrtém ročníku gymnázia byl probírán pojem funkce a derivace funkce. Poprvé se zde hovoří o definičním oboru funkce. Matematicky přesně je definována limita funkce a jejím využitím derivace funkce. Do učiva byly rovněž zařazeny základy matematické statistiky. [9] Nový školský zákon svěřil vydávání školních učebnic a metodických časopisů Státnímu pedagogickému nakladatelství. V období 1949 - 1953 dochází k modernizaci vyučování matematiky na střední škole a gymnáziu. Šlo o jeden z prvních pokusů modernizovat učivo i po obsahové stránce. Ústřední postavou v tomto směru u nás byl Eduard Čech (1893 - 1960). Hlavní snahou Čecha a jeho spolupracovníků bylo vykládat matematiku na úrovni tehdejší vědy. V roce 1953 došlo ke zřízení osmiletých a jedenáctiletých všeobecně vzdělávacích škol, přičemž povinná školní docházka byla osmiletá. Přechod na jedenáctileté střední školy dával matematice i při zkrácení školní docházky o dva roky větší počet hodin než na předchozích třináctiletých typech škol, a to umožnilo zachovat v podstatě rozsah učiva. Pokud jde o jeho pojetí, byly dále prohloubeny požadavky na matematickou přesnost úvah. [9] Roku 1959 se KSČ usnesla na zásadách nové organizace školského vzdělávání. Základní devítiletá škola měla tvořit první cyklus školského vzdělávání, na něj měl navazovat druhý cyklus se třemi typy škol: střední všeobecně vzdělávací školy (SVVŠ), odborné školy a učiliště, školy pro pracující. V osnovách 12
SVVŠ byl kladen důraz na matematiku (hodinová dotace 4,4,4), fyziku a chemii. [15] Byly opět vydány nové učebnice, které odstranily metodické nedostatky předcházejících učebnic. Požadavky na matematickou přesnost zůstaly zachovány a výklad pojmu funkce zdůrazňoval uspořádané dvojice reálných čísel. Poprvé se také objevil termín množina. [9] K další změně došlo už 19. prosince 1969, kdy byl přijat tzv. „zákon o gymnáziíchÿ. Na místo tříletých SVVŠ byla zřízena čtyřletá gymnázia. Pro tato gymnázia nebyly ovšem ihned vydány učebnice. Učilo se podle starých učebnic pro SVVŠ. Učitelé k těmto učebnicím pouze dostali „Komentáře pro učitele k užívání učebnic pro SVVŠ v 1.(2., 3., 4.) ročníku gymnáziaÿ. Vhodné učebnice se objevují až ve druhé polovině 70. let, ve kterých jsou patrné pokusy o zjednodušení učiva a výrazné redukce probírané látky. Učebnice (sešity) byly zaměřeny monotématicky.
2.5
Období 1976 - 1990
Rozsáhlá reforma školství byla realizována roku 1976 dokumentem „Další rozvoj výchovně vzdělávací soustavyÿ. Do školského systému jím bylo zařazeno střední odborné učiliště jako nový druh střední školy. Předpis také zavedl desetiletou povinnou školní docházku (8 let na základní škole a první 2 roky na střední škole), samozřejmostí byla další změna učebních osnov. Kvůli ní vyšly nové učebnice, které byly zaměřeny monotématicky a obsahovaly trochu zjednodušené kompletní učivo matematiky. Jednalo se o sadu učebnic „Matematika pro gymnázia, sešit 1 - 8.ÿ Reformní snahy byly zahrnuty až v novém školském zákoně ze dne 22. března 1984. Tento zákon opět zrušil desetiletou povinnou školní docházku a po tomto datu byly opět vydávány nové učebnice. Ty měly celkově sjednotit a 13
formalizovat učivo na střední škole. Do této doby totiž existovaly rozdíly v prezentacích jednotlivých témat v různých učebnicích. Nově vzniklé učebnice měly být chápány jako vzor pro učebnice následující.
2.6
Období 1990 - současnost
Události z listopadu 1989 zapříčinily další změny ve školství. Dne 3. května 1990 se uzákonil nový školský zákon vycházející ze zákona z roku 1984. Opětovně dochází ke snížení povinné školní docházky z deseti let na devět. Vznikají i jiné typy škol (základní umělecké, soukromé a církevní). Tyto i stávající školy se začaly velmi odlišovat v učebních plánech a v úrovních maturitních zkoušek, proto bylo nutné vymezit standardy vzdělávání a určit osnovy pro jednotlivé typy škol (v polovině 90. let). V únoru 2001 byl vládou přijat „Národní program rozvoje vzdělávání v České republiceÿ, tzv. „Bílá knihaÿ, která zaručovala převedení kompetencí zřizovatelů do rukou samosprávních orgánů. O tři roky později se začalo mluvit o rámcovém vzdělávacím programu (RVP). Ten vymezuje povinný obsah, rozsah a podmínky výuky. Na něj navazuje školský vzdělávací program, který je čistě záležitostí ředitelů škol. Díky němu získávají školy značnou autonomii při organizaci vlastní výuky. Samozřejmě byly vydány nové učebnice pro všechny předměty. Konkrétně učebnice pro matematiku byly vydány opět pod záštitou Jednoty českých matematiků a fyziků. Sada učebnic pro gymnázia je zpracována didakticky velmi pěkně, jednotlivé díly jsou monotématické. Opět se uchýlilo ke zjednodušení výkladu (oproti učebnicím vydaným po roce 1984), ovšem samotné učivo se prohloubilo. Je také zvýrazněna úloha funkcí ve středoškolské matematice. Pro vhodnost učebnic svědčí i fakt, že jsou hojně využívány i dnes.
14
3 3.1
Vývoj pojmu funkce Vývoj pojmu funkce ve vědě
Mezi nejdůležitější pojmy matematiky můžeme určitě zařadit pojem funkce. Ten se však neobjevil najednou a nezrodil se ani definováním; formulaci samotné definice a obecnějšímu pohledu na funkční závislost předcházela staletí vývoje. I přes studium různých konkrétních změn proměnné veličiny či úvahy o pohybu nevystupuje zřetelně nikde v antickém období idea obecné funkce či proměnné veličiny. Řekové se závislostmi de facto pracovali, ale myšlenka funkční závislosti nebyla nikde explicitně vyslovena a dokonce nebyla ani pojmenována proměnná veličina. Šlo výlučně o úvahy geometrické. Mezi středověkými učenci se začala vytvářet představa o zákonech přírody jako o zákonech funkčního typu a objevovaly se i první obecnější teorie změny veličiny jako funkce času. Proměnná veličina byla chápána jako stupeň, intenzita či tok kvality. V 16. století vyžadovala rozvíjející se astronomie rozsáhlé numerické výpočty. K tomu se vhodně využily publikované tabulky logaritmů Johanem Napierem (1550 - 1617) v roce 1614. Jednalo se o odlišné logaritmy, než známe dnes. Napierův přístup však dokazuje, že porozuměl konkrétnímu funkčnímu vztahu i přes to, že obecný pojem funkce byl stále neznámý. Dosavadní matematika se zabývala studiem čísel, konstantních veličin a geometrických útvarů. Zásadní přelom pro funkce znamenalo 17. století, kdy začala nová etapa vývoje matematiky - období matematiky proměnných veličin, období studia pohybů a změn, funkčních závislostí. Pojem funkce se pozvolna oprostil od konkrétních souvislostí s kinematikou a geometrií. Stává se nezávislým pojmem a na přelomu 17. a 18. století je poprvé definován. V této době vzniká i diferenciální a integrální počet (Newton, Leibnitz). V Newto-
15
nových úvahách pokračoval až Euler v polovině 18. století a až v teorii funkcí v 19. a 20. století dochází k upřesnění idejí. [6] Poprvé pojem funkce použil pravděpodobně v roce 1673 Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 - 1716) ve svém rukopise „Methodus tangentium inversa, seu du functionibusÿ. Význam pojmu se u Leibnitze postupně vyvíjí od zcela geometrického významu po souvislost s rovnicí křivky, až po analytický výraz - takto se na funkce díval i sám Newton. Pojem můžeme nalézt i v korespondenci mezi bratry Johannem a Jacobem Bernoulliovými a Leibnitzem v letech 1692 - 1694. Zásluhou Leibnitze se do matematiky dostaly pojmy proměnná a konstantní veličina, souřadnice či parametr. Prvotní definici pojmu funkce však vyslovil Johann Bernoulli (1667 - 1748) v roce 1718 a touto definicí vstoupil pojem funkce regulérně do vědy: „Funkcí proměnné veličiny se nazývá veličina sestavená libovolným způsobem z této proměnné veličiny a konstant.ÿ Již samotný Leonhard Paul Euler (1707 - 1783) v knize „Introductio in Analysin Infinitorumÿ z roku 1748 chápe funkci jako analytický výraz reprezentovaný mocninou řadou: „Funkce proměnné veličiny je analytický výraz sestavený jakýmkoli způsobem z této proměnné veličiny a čísel nebo konstantních veličin.ÿ Tato Eulerova definice nevznikla z Bernoulliho definice pouhou záměnou dvou slov, ale znamenala výrazný obrat v nazírání na funkce. Do roku 1748 byla funkce vnímána geometricky jako křivka nebo byla vytvářena jako dráha pohybujícího se bodu. Eulerova definice byla velmi obecná a zahrnovala všechny tehdy známé funkční závislosti. Definoval funkci jako vzorec, který říká, jaké početní úkony se musí provést s hodnotami nezávisle proměnnými, 16
abychom obdrželi odpovídající hodnoty závisle proměnné. Definice není v dnešní době obecná, neboť zahrnuje jen algebraické funkce. Od Eulera pochází i dnešní nejčastější způsob označování funkcí písmenem f . [6] [7] Sylvestre Francois Lacroix (1765 - 1843) v prvním díle knihy „Traité du calcul différentiel et du calcul integralÿ v roce 1797 píše: „Každá veličina, která závisí od jedné nebo několika jiných veličin se nazývá funkcí těch druhých, když známe nebo nikoli, které operace je třeba vykonat, abychom z nich dostali tu první.ÿ Tato definice je vlastně jistou obdobou definice Eulera s tím, že Lacroix považuje za důležité zdůraznit, že způsobem, kterým se z hodnot argumentu získá funkční hodnota, nejsou předepsány žádné specifické matematické operace. [5] Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, markýz de Condorcet (1743 - 1794) byl v definování funkce ještě odvážnější a v roce 1779 napsal: „Předpokládám, že je dán jistý počet veličin x, y, z, . . . , F a že pro každou určenou hodnotu x, y, z, atd. má F jednu nebo několik určených hodnot, které jim odpovídají; říkám, že F je funkcí x, y, z,...ÿ Autor v této definici měl nejspíše na mysli implicitní vyjádření funkce F . Z předešlých definic je patrné, že se představy o pojmu funkce v průběhu druhé poloviny 18. století posouvaly do obecnější a teoretičtější polohy. Do 19. století vstoupila matematická analýza s pojmem „libovolnéÿ funkce. V jednotlivých formulacích je patrný ještě jistý ostych před úplnou obecností tohoto pojmu. Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) v knize „Théorie analytique de la chaleurÿ roku 1822 píše: 17
„Obecně je funkce f (x) posloupnost hodnot nebo ordinát, z nichž každá je libovolná. Vůbec se nepředpokládá, že se tyto ordináty řídí obecnou zákonitostí, mohou po sobě následovat libovolně a každá z nich je dána jako by byla jedinečnou veličinou.1 ÿ Fourier měl nejspíše na mysli předpis, který „prvku z definičního oboru určí funkční hodnotu funkceÿ a tento předpis ovšem není ničím určen. [5] Hlavní rozkvět pro definici a pojetí funkce nastal až na počátku 19. století, kdy se pojem funkce stal centrálním objektem matematické analýzy. Byly studovány vlastnosti funkcí, spojitost funkce a její derivace. Významnými osobnostmi té doby byli matematici Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) a Bernard Bolzano (1781 - 1848). Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 - 1859) o pojmu funkce v roce 1837 vyslovil: „Pod a a b budeme rozumět dvě pevné hodnoty a pod x proměnnou veličinu nabývající všech hodnot mezi a a b. Jestliže nyní každému x odpovídá jedno jediné konečné y a přitom tak, že když x spojitě probíhá interval od a do b, pak se y = f (x) mění rovněž spojitě, pak se y nazývá spojitou funkcí x pro tento interval.ÿ Jde sice o definici spojité funkce, ale také o určení pojmu funkce v dnešním pojetí (přiřazení hodnoty hodnotě). Podobně nahlížel na funkci i Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792 - 1856), který chápal funkci jedné proměnné jako jednoznačný vztah mezi dvěma číselnými množinami. Dirichletův a Lobačevského přístup jsou dnes brány jako klasické přístupy k pojmu funkce.
1
Ordináta je y-ová souřadnice na ose y. Dříve nazývaná i pořadnicí.
18
U Georga Ferdinanda Ludwiga Philippa Cantora (1845 - 1918) a Richarda Dedekinda (1831 - 1916) se objevuje ještě obecnější pohled na funkční závislost; u definice zobrazení. Na počátku 20. století je funkce definována jako speciální množina uspořádaných dvojic. [6]
3.2
Vývoj pojmu funkce ve vysokoškolských učebnicích a systém vzdělávání středoškolských učitelů
Až do roku 1849 nebylo odborné vzdělávání středoškolských učitelů nijak institucionálně zajištěno. Kvalifikace vyučujících začala být řešena až v souvislosti s již zmíněnou Exner - Bonitzovou reformou. V roce 1850 vznikaly při univerzitách první komise, jejíž členové přezkušovali všechny kandidáty učitelství. Zkušební předpisy byly několikrát měněny. Převážně vždy v souvislosti s další reformou. Úprava předpisů z roku 1911 platila až do vzniku samostatného Československa. Od roku 1897 museli být kandidáti profesury po studiu (obvykle na gymnáziu) zapsáni alespoň na sedm semestrů jako řádní posluchači filozofické fakulty; pedagogické fakulty ještě neexistovaly. Zde navštěvovali přednášky ze svého oboru spolu s přednáškami z filozofie, psychologie, pedagogiky či němčiny. Následná zkouška učitelské způsobilosti se skládala ze tří částí (domácí práce, školní písemná práce, ústní zkouška). Jejím složením skončila teoretická příprava budoucích učitelů. Po ní museli ještě uchazeči absolvovat tzv. zkušební rok na veřejné škole. Během tohoto roku nebyli nijak peněžně ohodnoceni. Po skončení zkušebního roku obdrželi adepti učitelství od ředitele školy a od vedoucího učitele vysvědčení, které je opravňovalo k výkonu učitelského povolání. Vznik českých středních škol a založení zkušební komise pro učitelství na 19
středních školách byly příčinou toho, že se postupně zaváděly české přednášky na filozofické fakultě pražské univerzity. Proto byla potřeba českých vysokoškolských učebnic. Mezi prvními autory těchto učebnic se řadí František Josef Studnička (1836 - 1903). Ten vydal v roce 1867 jednu z prvních česky psaných vysokoškolských učebnic pojednávající o vyšší matematice. Kniha se nazývá „O počtu differenciálnímÿ a měla sloužit jako podpůrný studijní text při Studničkových přednáškách matematiky na dnešní Karlově univerzitě v Praze. Studničkova kniha je rozdělena na čtyři větší celky, ovšem pro nás je zajímavá jen první část (Úvod). Obecně se zde totiž mluví o funkcích jako o závislosti jedné veličiny na druhé, popřípadě závislosti jedné veličiny na několika jiných. Nikde se však neobjevuje definice pojmu funkce. Hovoří se okrajově o „obrácenéÿ nebo-li inverzní, periodické funkci a několika typech funkcí (exponenciální, logaritmické, goniometrické, cyklometrické). Spojité a nespojité funkce jsou rozděleny podle vzhledu jednotlivých grafů. Velmi rychle je zavedena derivace funkce pomocí poměrů rozdílů sousedních hodnot závisle a nezávisle proměnné a dále pomocí limity. Není však nikde poznamenáno, co vůbec limita je. Dá se říci, že vědecké práce a ani Studničkovy přednášky nebyly náročné a podstatně nepřevyšovaly úroveň matematiky z dob Eulera. Vysokou hodnotu však měly práce a přednášky profesora na technice a docenta na univerzitě Eduarda Weyra (1852 - 1903), který spolu se Studničkou vedl přednášky z matematiky na univerzitě přes 20 let. Weyr byl mezi prvními členy Jednoty, pod jejíž záštitou v roce 1902 publikoval učebnici pro univerzitní posluchače „Počet differenciálnýÿ. Kniha dodržuje logický postup výkladu ve dvanácti kapitolách čítající celkově 416 stran. Funkce jsou zastoupeny převážně ve třetí části. Již lze objevit první náznaky definice funkce ve tvaru:
20
„Přísluší-li každé hodnotě proměnné x určitá hodnota y, pravíme, že y jest funkcí proměnné x a píšeme y = f (x); x pak sluje neodvisle proměnnou neb argumentem, y též odvisle proměnnou.ÿ S obdobou této definice se setkáme až ve středoškolských učebnicích vydaných po Marchetově reformě. Uvidíme, že učivo na univerzitě nekorespondovalo s učivem na střední škole. Weyr dále velice stručně definuje a rozebírá spojitost, inverzní funkci, rostoucí a klesající funkci, sudost, lichost, minima a maxima. Studuje vlastnosti exponenciálních a goniometrických funkcí a jim inverzních. Zmiňuje se i grafické znázornění, ale samotné grafy se neobjevují. Za zmínku stojí, že inverzní funkci nalezneme v gymnaziálních učebnicích až po roce 1948. Oba autory po jejich smrti plně nahradil Karel Petr (1868 - 1950), který začal přednášet matematiku v letním semestru šk. r. 1902/03. Především jeho zásluhou začala vzrůstat úroveň odborného vzdělání středoškolských učitelů matematiky, a to i díky jeho učebnici „Počet differenciálníÿ. Kniha byla vydána v roce 1923 na popud Jednoty po rozebrání Weyrovy knihy a měla podat úvod do matematické analýzy. Učebnice je rozdělena do tří částí. Z našeho hlediska je důležitý první blok (Základní pojmy a pomůcky). Hned na začátku je řeč o definičním oboru funkce, ten se nazýval obor veličiny proměnné x. Následně v definici pojmu funkce se nezachází do žádných podrobností. Jde o definici s přiřazením čísla x číslu y, které nazýváme funkcí proměnné x. Je zdůrazněno, že y nalezneme jedno a x lze brát pouze z daného oboru. Označení funkcí je již současné ve tvaru f (x) = y. Studují se vlastnosti funkcí jako je omezenost, ohraničenost a jednotlivé elementární funkce. Uvádí se již přesnější definice inverzní funkce. Oblíbeným autorem vysokoškolských učebnic diferenciálního a integrálního počtu nedávné doby byl Vojtěch Jarník (1897 - 1970), jehož díla se stala 21
základem matematického vzdělání několika generací mládeže na vysoké škole. Jako všechny autorovy práce vyniká i „Úvod do počtu diferenciálníhoÿ naprostou přesností a jasností v prováděných úvahách. Ke knize je připojeno velké množství cvičení, která umožní čtenáři dokonalejší pochopení a zvládnutí vyložené látky. Jarníkův Úvod měl jednu velkou přednost. Ukazoval totiž čtenáři úzkou souvislost moderních směrů v matematice s klasickou látkou jako je diferenciální počet. Definoval již zobrazení jako množinu uspořádaných dvojic, kartézský součin a zavedení funkce pomocí zobrazení má téměř dnešní podobu: „Funkcí f rozumíme množinu uspořádaných dvojic reálných čísel [x, y], jež má tuto vlastnost: Ke každému číslu x0 existuje nejvýše jedno (t.j. buďto žádné nebo právě jedno) číslo y takové, že dvojice [x0 , y] patří k množině f . Toto číslo y nazýváme pak hodnotou funkce f v bodě x0 a značíme je znakem f (x0 ). Ona čísla x, k nimž existuje číslo y tak, že dvojice [x, y] patří k množině f , tvoří jistou množinu M reálných čísel, kterou nazýváme oborem funkce f .ÿ Jsou studovány podrobně vlastnosti funkcí, konkrétní funkce a je definován i graf funkce. Dá se říci, že tento způsob zavedení funkcí se ihned projevil ve středoškolských učebnicích v souvislosti s reformami kolem roku 1959, ve kterých byl kladen důraz na matematickou přesnost a správnost. Později se na středoškolskou učebnici z tohoto období podíváme podrobněji.
22
3.3
Pojem funkce v současné středoškolské matematice
V současné školské matematice se můžeme setkat s dvojím pojetím funkce (zpravidla reálná funkce jedné reálné proměnné). První přístup můžeme označit za klasický, kdy po názorném ukázání závislostí z matematiky, fyziky či jiných oborů a po podrobném popisu těchto závislostí grafy, slovy, tabulkami nebo rovnicemi, se funkcí nazve ten předpis či pravidlo, kterým se tato závislost řídí. V definici se pak hovoří o předpisu (pravidlu), který každému prvku z jisté množiny přiřazuje právě jedno reálné číslo. Ke klasickému přístupu zavedení funkce můžeme přiřadit i funkce chápané jako proměnné veličiny závislé na jiné proměnné veličině. K zástupcům tohoto způsobu patřil Bernoulli (funkce jako veličina) či Euler (funkce jako analytický výraz). Druhý přístup nazýváme teoreticko - množinový (někdy též modernizační či množinový). Zde je funkce chápána jako množina uspořádaných dvojic (obvykle už jen reálných čísel) s jednoznačně určenou druhou složkou. Pokud je ve výuce dostatek času pro zavedení potřebné terminologie, tak se nejprve definuje kartézský součin A × B dvou množin A, B jako množina uspořádaných dvojic [x, y], kde x ∈ A (vzor) a y ∈ B (obraz). Následuje pojem binární relace z A do B jako libovolná podmnožina tohoto kartézského součinu, dále zobrazení z A do B jako binární relace z A do B, v níž ke každé první složce uspořádané dvojice existuje nejvýše jedna hodnota druhé složky. Reálná funkce je pak zobrazení (z) libovolné množiny do R. Tento způsob zavedení se objevuje již u zmíněného Dedekinda a Cantora. Pokud rozlišujeme klasické a množinové pojetí funkce, neznamená to, že by se v klasicky pojaté definici nemohl objevit pojem množina (chápán intuitivně). Mezi klasické definice patří i ty, které obsahují termín (jednoznačné) 23
přiřazení. Dodnes se můžeme v učebnicích matematiky setkat s oběma přístupy, na gymnáziích a na vysokých školách spíše převládá pojetí funkce jako zobrazení. V námi studovaných časových úsecích v následující kapitole uvidíme, že se v průběhu doby užívalo obou zavedeních ovšem různých úrovní.
24
4 4.1
Rozbor učebnic Učebnice aritmetiky z období 1848 - 1908
Funkce jako pojem se v matematice objevil až se zpožděním. Poprvé se na našem území objevil v univerzitní učebnici Stanislava Vydry „Elementa calculi differentialis et integralisÿ vydané roku 1783. Ve druhé polovině 19. století byl nejznámějším autorem středoškolních učebnic František Močník (1814 - 1892). Jeho knihy byly považovány za didakticky dobře sestavené a srozumitelné. Učivo v nich bylo velmi těsně spjato s praxí. Sám autor psal německy a v jednotlivých zemích se jeho knihy překládaly, a to i opakovaně. Z českých mohu uvést překlad Františka Aloise Hory (1838 - 1916). Jedná se o 14. vydání „Arithmetiky i algebry pro vyšší třídy škol středníchÿ, které bylo vydáno v Praze roku 1875. Učebnice je členěna na šest částí. Z funkčního hlediska je trochu zajímavá část třetí, kde jsou probírány mocniny, odmocniny a logaritmy. Nikde však není použito slovo funkce či závislost, jsou uvedeny jen vztahy pro výpočty mocnin, odmocnin a logaritmů. Byl kladen důraz na procvičování učiva a vzorců. Dalším významným překladatelem matematických učebnic byl František Josef Smetana (1801 - 1861). [9] Teprve po roce 1860 se objevila potřeba českých učebnic, jelikož do té doby se vyučovalo německy. První učebnice algebry a geometrie pro vyšší třídy gymnázií a reálek vyšly v letech 1863 - 1867 a to od Václava Šimerky (1819 - 1887) a Václava Jandečky (1820 - 1898). Václav Šimerka předložil školským úřadům ke schválení svůj rukopis učebnice algebry, který obsahoval i úvodní výklad o diferenciálním a integrálním počtu. Úřady toto zařazení neschválily, a proto Šimerka rukopis upravil a vydal svoji „Algebru čili počtářství obecné pro vyšší gymnasiaÿ (1863) a
25
dodatek této knihy pod názvem „Přídavek k Algebře pro vyšší gymnasiaÿ (1864), ve kterém se objevuje diferenciální a integrální počet. Dodatek je považován za první českou středoškolskou učebnici diferenciálního a integrálního počtu. Autor byl zřejmě prvním školským pracovníkem, který usiloval o zařazení infinitesimálního počtu a s ním souvisejícího funkčního myšlení do středoškolského učiva. Ten byl do osnov oficiálně zaveden až po Marchetově reformě. Samotný pojem funkce je v Šimerkově Algebře chápán jako algebraický výraz: „Výraz, v němž stálé a proměnné veličiny přichází, nazývá se úkon čili funkce veličin těchto.ÿ [17] Učivo je uspořádáno systematicky, ovšem ne moc přehledně. Za zmínku stojí, že se zde neprobírá absolutní hodnota čísla. Mezi dalšími autory učebnic algebry můžeme jmenovat Emanuela Taftla (1842 - 1920). Blíže se podíváme na knihu „Algebra vyšším třídám středních škol českýchÿ tohoto autora z roku 1885 (druhé upravené vydání), která se používala na gymnáziích i na reálkách až do zavedení nových osnov v roce 1908. Na reálkách se ale probíraly navíc řetězové zlomky, logaritmické a exponenciální rovnice a pravděpodobnostní počet. Učebnice se dočkala šesti vydání a byla přeložena i do bulharštiny.
Emanuel Taftl: Algebra vyšším třídám středních škol českých ÚVOD. Základní pojmy - O soustavě číselné vůbec a desetinné zvlášť - Jak počítáme čísly desítkovými - Skrácené počítání čísly desítkovými KNIHA PRVÁ. Oddělení I. - O početních úkonech čísly obecných: 26
O skladných úkonech početních - O rozkladných úkonech početních - O výsledcích úkonů početních - O veličinách a výrazích algebraických Oddělení II. - O algebraických nižších úkonech početních: O sčítání a odčítání - O algebr. výrazích složitých. (Sčítání a odčítání) O závorkách - O rovnicích a nerovnostech. (Sčítání a odčítání) - O násobení výrazů jednoduchých. (Mocniny) - O násobení výrazů složených - O návodu oddělených součinitelů - O dělení výrazů jednoduchých. (Mocniny) - O rovnicích a nerovnostech. (Násobení a dělení) - O dělení výrazů složitých Oddělení III. - O dělitelnosti čísel: O znacích dělitelnosti čísel dekadických - Jak rozvrhujeme čísla a výrazy v prvočinitele - O největší společné míře - O nejmenším společném násobku Oddělení IV. - O zlomcích obyčejných: O úkonech se zlomky obyčejnými - O souvislosti zlomkův obyčejných se zlomky desetinnými Oddělení V. - O poměrech a úměrách vůbec: O poměrech arithmetických - O poměrech geometrických - O úměrách arithmetických - O úměrách geometrických - O úměrách složitých - Jak užíváme poměrův i úměr v počtářství praktickém - O úměrnosti závislých veličin Úlohy počtu trojčlenného - Počet řetězový - Jednoduchý počet úrokový Počet spolkový Oddělení VI. - O rovnicích vůbec: Jak řešíme rovnice stupně prvního - O rovnicích stupně prvního o dvou neznámých - O rovnicích stupně prvního o několika neznámých - Jak upotřebujeme rovnic stupně prvního KNIHA DRUHÁ. Oddělení VII. - O mocninách: Jak zdvojmocňujeme dvojčleny a mnohočleny - Jak ztrojmocňujeme dvojčleny a mnohočleny 27
Oddělení VIII. - O odmocninách: Odmocniny v součinech a podílech - Odmocniny mocnin i odmocnin - Jak odmocňujeme výrazy algebraické a čísla dekadická. (Úplné mocniny) - O číslech nesměrných - O znameních kořenův - O veličinách pomyslných - Jak počítáme s odmocninami - Odmocniny v lomených výrazech - Jak stanovíme nesměrné odmocniny - O mocninách s lomeným mocnitelem - Rovnice irracionalní Oddělení IX. - O logarithmech: Jak upotřebujeme logarithmův - Jak vypočítáme logarithmy čísel - Tabulky logarithmické - Jak počítáme s logarithmy - O rovnicích exponentialných Oddělení X. - O rovnicích stupně vyššího: Jak řešíme rovnice prostě kvadratické - Jak řešíme úplné rovnice druhého stupně - O vlastnostech kořenův rovnic druhého stupně - Trigonometrické řešení rovnic druhého stupně - Jak upotřebujeme rovnic druhého stupně Rovnice exponencialné - Vyšší rovnice: A. Rovnice binomické, B. Rovnice trinomické, C. Řešení rozkladem, D. Rovnice převratné KNIHA TŘETÍ. Oddělení XI. - O rovnicích druhého stupně o dvou neznámých: Upotřebení Oddělení XII. - O řadách: O řadách arithmetických - O řadách geometrických - Jak užíváme řad geometrických - O složitém počtu úrokovém Oddělení XIII. - O řetězcích: O vlastnostech sblížených zlomkův - Jak užíváme řetězcův: A. Stanovení sblížených hodnot, B. Stanovení druhých odmocnin, C. Stanovení logarithmův, D. Řešení rovnic druhého stupně - Jak řešíme neurčité rovnice prvního stupně: A. Návod pokusný, B. Řešení dělením, C. Užitím řetězcův - Jak řešíme neurčité rovnice druhého stupně 28
Oddělení XIV. - Skladba (O skupinách): O přestavách - O obměnách - O sestavách - O binomické poučce - O vlastnostech dvoučlenných součinitelův - Jak upotřebujeme poučky dvoučlenné O řadách arithmetických n-tého stupně - O číslech obrazových KNIHA ČTVRTÁ. Oddělení XV. - O počtu pravděpodobnosti: O pravděpodobnosti vůbec - O pravděpodobnosti prosté - O pravděpodobnosti vzájemné - O pravděpodobnosti složité - O mathematické naději - Úlohy národohospodářské Oddělení XVI. - O číslech soujemných: Dvoučlenná poučka Moivre-ova
Učebnice je rozdělena na čtyři části, které jsou nazvány knihami, stejně jako v Šimerkově Algebře. Látka v obou učebnicích je uspořádána velmi podobně. Z výše uvedeného obsahu je patrné, co se v algebře (v aritmetice) koncem 19. století učilo. Obsáhle jsou probírány rovnice. Je ukázáno i řešení rovnic o dvou a třech neznámých pomocí determinantu. Nekončí se kvadratickými rovnicemi, ale jsou probrány i rovnice binomické a trinomické.2 Vše je doprovázeno velkým počtem slovních úloh na užití této látky. Na mnoha místech učebnice jsou zařazeny zajímavé historické poznámky, což ve dřívějších pracích nebylo. Probíraná látka je tím celkem vkusně oživena. Objevují se i náznaky definice přímé a nepřímé úměrnosti, např: „Ze dvou veličin (druhů veličin) jest jedna na druhé závislá, má-li změna jedné za následek též změnu druhé. I. Je-li veličina na veličině tak závislá, že se tolikráte zvětší/zmenší, kolikráte byla druhá zvětšena/zmenšena, pravíme, že příslušné ve2
Trinomické rovnice jsou algebraické rovnice vyjádřené ve tvaru x2n + pxn + q = 0.
29
ličiny jsou přímo úměrné, neboli že veličiny jsou v poměru přímém, na př. zboží a cena. II. Je-li veličina na veličině tak závislá, že zvětšíme-li/zmenšímeli několikrát jednu, druhá právě tolikrát se zmenšuje/zvětšuje, pravíme, že závislé veličiny jsou převráceně úměrné, jinak též, že veličiny jsou v poměru převráceném, na př. délka a šířka obdélníka při stejném obsahu.ÿ [21] A dále se píše: „Že veličina B s veličinou A jest v přímém poměru, vyjadřujeme užitím poměrných čísel též rovnicí B = kA, při čemž jest k pro všechny k sobě příslušné hodnoty A i B veličinou stálou.ÿ [21] V dalších vydáních Taftlovi Algebry se objevuje poznámka i o kvadratické a mocninné funkci, i když není nijak přesně definována. Pokud bychom se podívali do knihy „Algebra pro vyšší třídy škol středníchÿ od Františka Machovce (1855 - 1892), zjistíme, že nám v mnoha připomíná Algebru výše popsanou. Je ovšem obsáhlejší, neboť Machovec rozšířil látku o goniometrické rovnice, determinanty, maxima a minima funkce (speciálně pro kvadratickou funkci) a o celou jednu kapitolu nazvanou „O mezíchÿ. V této části jsou diskutovány neurčité výrazy a je uvedena definice meze: „Blíží-li se hodnota nějakého proměnlivého čísla x určité hodnotě a tak, že absolutní hodnota rozdílu (a − x), tudíž i rozdíl (x − a) stává se menší nežli každé sebe menší číslo, pravíme, že jest číslo a mezí čísla x. Písemně to označujeme lim x = a.ÿ [21] Autor všechna témata probírá velmi podrobně a tím má celá kniha nakonec přes 400 stran. I přes vyšší počet stran je obsaženo málo příkladů k procvičení a je odkázáno na sbírku příkladů. 30
4.2
Učebnice geometrie z období 1848 - 1908
První česká učebnice geometrie vyšla pod názvem „Geometria pro vyšší gymnasiaÿ od Václava Jandečky (1820 - 1898). Kniha má celkově čtyři části: I. Planimetria, II. Stereometria, III. Trigonometria, IV. Analytická geometria v rovině a vyšla v letech 1864 - 1867. Třetí díl učebnice je rozdělen na dvě knihy. První kniha je věnována trigonometrii rovinné a druhá kniha trigonometrii sférické. Jandečka probírá v trigonometrii goniometrické funkce, které vysvětluje pomocí poměrů stran v pravoúhlých trojúhelnících: „...tyto poměry nabývají zvláštní důležitosti a zovou se úkony úhloměrnými či funkcemi goniometrickými.ÿ [19] Pod čarou pak autor píše: „Jsou-li dvě veličiny tak na sobě závislé, že z velikosti jedné veličiny můžeme souditi o velikosti druhé, zove se jedna úkonem či funkcí druhé; na př. obvod kruhu jest funkcí poloměru, obsah čtverce jest funkcí strany jeho atd.ÿ [19] Z této poznámky je patrné, že autor používal funkční závislosti, ale nikde v celé učebnici se o ní nezmiňuje kromě této malé poznámky. Následně pak hovoří o spojité a nespojité funkci, kde za spojitou funkci považuje funkci měnící se nepřetržitě. Čtvrtá část Geometrie pro vyšší gymnasia Analytická geometria v rovině je členěna na sedm hlav a ty dále na paragrafy. Hned první tři paragrafy propravy (úvodu) se zabývají algebraickými výrazy - jejich terminologií a souvislostí s geometrií. Je zmíněna závislost veličin v rovnicích udávající geometrický útvar. Ve 4. paragrafu je na příkladech ukázáno, jak dojít k rovnicím, které popisují vzájemnou závislost geometrických veličin (např. závislost 31
strany a výšky v rovnostranném trojúhelníku). V šestém paragrafu druhé hlavy je prostudována souvislost rovnice a křivky, jako geometrického místa bodů, které daná rovnice určuje. Konkrétní rovnice se řídí zákonem o vzájemné závislosti obou souřadnic v rovině. Jsou rozlišeny měnlivé a stálé (trvalé ) veličiny v rovnicích. V následujícím odstavci je výše uvedené aplikováno na směrnicový tvar rovnice přímky a jsou probrány její zvláštní případy, tj. y = ax, y = b, y = a. Samotné slovní spojení směrnicový tvar se v knize nepoužívá. Z funkčního hlediska je v tomto paragrafu skryta definice lineární, konstantní funkce a přímé úměrnosti a také jejích grafické znázornění. Další hlavy se zaobírají kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou. Jsou uvedeny jejich rovnice, tentokrát bez hlubšího funkčního obsahu. Jandečkova učebnice je hodně podrobná a celkem i přehledná. Nové pojmy či důležité vztahy a věty jsou psány kurzívou. Některé pojmy mají i své německé ekvivalenty. Téměř všechny věty jsou v díle dokázány a provázeny názornými obrázky. Autor dbal i na procvičování učiva a tak za každou částí je i několik úloh k procvičení. Této učebnice se na našich školách užívalo přes 40 let. Z dalších autorů učebnic geometrie můžeme připomenout Aloise Strnada (1852 - 1911) a jeho „Geometrii pro vyšší gymnasiaÿ (1893 - 1895) a „Geometrii pro vyšší školy reálnéÿ (1893, 1898, 1902). Všechny verze knih vyšly pod záštitou Jednoty českých matematiků a fyziku. Nyní se podíváme na učebnici Geometrie pro vyšší školy reálné, která vyšla v roce 1898 jako druhé upravené vydání v Praze díky nakladateli F. Kytkovi. Kniha je rozdělena na 38 větších celků a ty dále na 164 paragrafů. Rozebereme paragrafy obsahující učivo pojednávající o funkcích. Na začátku knihy ještě před obsahem je uveden ukazatel názvů (přehled pojmů), které se v práci vyskytují spolu s německými a francouzskými ekvi-
32
valenty. Je uvedena i strana, na které je daný termín blíže vysvětlen. Jde tedy o náznak dnešního rejstříku. Kapitola, ve které můžeme zaznamenat souvislost s funkcemi či funkční závislostí, je nazvána „Trigonometrie rovinnáÿ s 24 paragrafy. Hned na začátku třetího odstavce dané kapitoly se píše: „Jsou-li dvě veličiny na sobě tak závislé, že z velikosti jedné veličiny můžeme souditi o velikosti druhé, slove jedna funkcí (úkonem) druhé; ku př.: obvod kruhu jest funkcí poloměru; arc jest funkcí úhlu.ÿ [23] Jde o shodnou definici funkce, která je popsána i v Jandečkově práci, ten ji však uvedl pouze pod čarou. V dalším paragrafu s nadpisem „Vzájemnost funkcí téhož úhluÿ je poznamenáno: „Goniometrické funkce úhlu jsou veličiny na sobě závislé tak, že hodnotou jedné z nich dány též hodnoty ostatních. Závislost tuto lze vyjádřiti vzorci.ÿ [23] Následují pak známé vzorce a vztahy všech goniometrických funkcí. Další učivo je vyloženo u obou autorů obdobně. Strnad již používá pojmy směrnicová a obecná rovnice přímky, zcela ovšem chybí grafy goniometrických funkcí. Učebnice jako taková je celkem přehledná. Důležité pojmy a věty jsou zvýrazněny tučně či kurzívou. V práci je řada doplňujících obrázků, které jsou využívány k důkazům a následují za každou důležitou větou.
4.3
Učebnice aritmetiky z období 1908 - 1948
Ve středoškolských učebnicích se pojem funkce více rozvíjí až díky již zmíněnému Meranskému programu a to po roce 1905, v českých učebnicích po roce 1909. Nové učebnice reagující na Marchetovu reformu se objevily celkem 33
rychle a poprvé vyšly již v letech 1910 - 1912. Tyto učebnice i přes krátkou dobu přípravy byly velmi kvalitní, a proto se s menšími úpravami používaly na střední škole až do konce druhé světové války. Nejvýznamnějším autorem učebnic aritmetiky byl Bohumil Bydžovský (1880 - 1969) a geometrie Jan Vojtěch (1879 - 1953). Prostudujeme podrobněji učebnici Bohumila Bydžovského „Aritmetika pro IV. - VII. třídu škol středníchÿ. Jde o páté vydání z roku 1923. Kniha má dva samostatné díly, ty jsou ještě rozděleny na 14 částí a další paragrafy.
Bohumil Bydžovský: Aritmetika pro IV.-VII. třídu škol středních ÚVOD Část I. ČTYŘI ZÁKLADNÍ VÝKONY POČETNÍ § 1. Slučování Autor zde hovoří o sčítání a odečítání veličin, vše nejprve uvádí na konkrétních příkladech z praxe a následně zobecňuje. Dochází k přímé závislosti jedné proměnné na druhé proměnné ve tvaru y = a + x. § 2. Násobení a dělení § 3. Rovnice § 4. Úměrnost Na několika praktických příkladech odvozuje rovnici přímé úměrnosti y = ax a rovnici nepřímé y =
a . x
Opakovaně zdůrazňuje funkční závislosti y na x
vyjádřené těmito vztahy a definuje konstantu úměrnosti. V následujícím odstavci tyto závislosti nazývá funkcí, tj. y je funkcí x. Pojmenovává a a y jako závisle a nezávisle proměnné veličiny. V prvním vydání se objevuje i zápis y = f (x). § 5. Úměrnost v praktickém životě Část II. VLASTNOSTI CELÝH ČÍSEL 34
§ 1. Soustava desítková § 2. Jiné soustavy číselné § 3. Dělitelnost § 4. Znaky dělitelnosti § 5. Prvočísla § 6. Rozklad výrazů algebraických § 7. Největší společná míra § 8. Nejmenší společný násobek Část III. ZLOMKY § 1. Základní vlastnosti zlomků obyčejných § 2. Základní čtyři výkony § 3. Zlomky desetinné § 4. Rovnice s výrazy lomenými Část IV. ÚLOHY PRVÉHO STUPNĚ. DÍL PRVÝ § 1. Rovnice prvného stupně o jedné neznámé § 2. Poměry § 3. Úměry § 4. Rovnice prvého stupně o dvou neznámých § 5. Grafické znázorňování Začíná se grafickým znázorňováním změny kurzu čsl. koruny na peněžní burze během 13 týdnů. Hodnota kurzu v jednotlivých týdnech je zapsána v tabulce a následně se studenti učí tuto závislost vynést do grafu. Získávají 13 bodů, které postupně spojí, a obdrží lomenou čáru. Ta přehledně znázorňuje změnu kurzu v dané době. Následují další příklady grafického znázornění, např. průběh teploty vzduchu během dne. § 6. Souřadnice Zavedení soustavy souřadnic a souřadnic bodů. X-ová souřadnice bodu je nazvána úsečkou a y-ová souřadnice pořadnicí. 35
§ 7. Grafické znázornění přímé úměrnosti Teorie vyložená v předešlých paragrafech se aplikuje na grafické znázornění přímé úměrnosti o rovnici y = ax, konkrétně na y = 2x. Nejprve je utvořena tabulka s příslušnými hodnotami funkce a následně narýsován graf. Pokračuje se v dalších konkrétních příkladech a nakonec se vyslovuje věta: „Funkce vyjádřená rovnicí y = ax (přímá úměrnost) je graficky znázorněna přímkou, jež prochází počátkem a obsahuje bod (1,a).ÿ Dále se diskutuje, jaké hodnoty může nabývat konstanta přímé úměrnosti. Jsou vyneseny grafy funkcí y = 1, 5x a y = −1, 5x do jednoho obrázku a konstatuje se, že jsou souměrné podle osy y, tedy a může nabývat kladné i záporné hodnoty. Definuje se i směrnice přímky. V tomto díle učebnice není znázorněn graf nepřímé úměrnosti. Ten se objevuje až při řešení soustav rovnic o dvou neznámých. V obdobném díle od stejného autora z roku 1910 je graf zařazen již v této části a označen jako rovnoosá hyperbola. § 8. Lineární funkce Opět se vychází z fyzikálního příkladu o časovém ohřevu vody, jde tedy o závislost teploty y na čase x, nebo-li y je funkcí x, konkrétně y = 2 + 0, 5x. Funkce je nazvána lineární funkcí, neboť ve vztahu pro y se x vyskytuje v první mocnině. Znázornění se zobecňuje pro y = ax + b pomocí posouvání grafu funkce y = ax. Na konci paragrafu se objasňuje grafické řešení soustavy rovnic o dvou neznámých jako případný průsečík dvou lineárních funkcí a je řečeno, že grafem každé lineární funkce je přímka. V učebnici není zmínka o možných hodnotách x či y, ovšem ve dřívějším vydání bylo aspoň řečeno, že obě proměnné mohou nabývat hodnot od −∞ do +∞. Část V. ÚLOHY PRVÉHO STUPNĚ. DÍL DRUHÝ § 1. Úměrnost přímá a nepřímá 36
§ 2. Rovnice prvého stupně § 3. Grafické znázornění pohybu rovnoměrného Řeší se příklad vzájemných pohybů automobilů. Na osu x se vynáší doba jízdy a na osu y celková dráha. Směrnice přímky pak udává rychlost. § 4. Nerovnosti Část VI. MOCNINY A ODMOCNINY § 1. Základní výkony s mocninami § 2. Závislost mocniny na mocněnci Je udána závislost mocniny na proměnném mocněnci rovnicí y = xn . Speciálně pro y = x2 je provedeno grafické znázornění a výsledná křivka je pojmenována parabolou. Je popsána souměrnost podle osy y. Následně se přechází k obecnějšímu vyjádření funkce y = kx2 a vyslovuje se věta: „Každá funkce tvaru y = kx2 , kde k je konstanta kladná nebo záporná, je graficky znázorněna parabolou, mající vrchol v počátku a osu v ose y; tato parabola leží nad (pod) osou x, je-li k kladné (záporné). Rovnice y = kx2 vyjadřuje, že y závisí přímo úměrně na čtverci x.ÿ V jiných vydáních je znázorněn i graf funkce y = x3 . § 3. Mocnitel 0, mocnitel záporný § 4. Výpočet odmocniny § 5. Čísla iracionální § 6. Odmocňování čísel relativních § 7. Počítání odmocninami § 8. Rovnice a nerovnosti § 9. Funkce exponenciální Funkce exponenciální se objevuje při studiu závislosti mocniny na mocniteli, tj. sleduje se funkce y = ax , kde a je číslo kladné a x číslo proměnné. Tato 37
funkce se pak nazve exponenciální, je-li: a = 1, pak y = 1x = 1 pro každé x; funkce se stává konstantou, a > 1, pak se vzrůstajícím x roste také funkce y = ax , a < 1, pak y = ax je funkce klesající. Následuje grafické znázornění funkce y = 2x a y = 2−x v jednom grafu a tato křivka je pojmenována. Sleduje se i průběh této funkce a její vlastnosti. Část VII. ROVNICE DRUHÉHO STUPNĚ S JEDNOU NEZNÁMOU § 1. Kořeny rovnice § 2.Grafické řešení a rozbor úloh Studenti se v tomto paragrafu učí řešit kvadratické rovnice pomocí grafů. Postupuje se od rovnice ryze kvadratické, přes rovnici bez absolutního členu a nakonec se řeší obecný příklad. Jde o zcela nový prvek ve středoškolské látce a je mu věnován poměrně velký prostor. § 3. Imaginární čísla § 4. Kvadratická funkce Hned v úvodu této části učebnice se píše: „Řešení kvadratické rovnice je v podstatě určení těch hodnot x, pro které kvadratický trojčlen ax2 + bx + c je roven nule. Pro hlubší pochopení kvadratických úloh je však důležité, neomezovati se na tyto hodnoty, nýbrž sledovati vůbec, jak se trojčlen mění, když x nabývá různých hodnot. V tomto případě je tento trojčlen kvadratickou funkcí x; označíme jej y a píšeme y = ax2 + bx + c, přičemž x znamená proměnnou veličinu, y její funkcí.ÿ Případ, kdy b = 0 a c = 0, byl probrán u mocnin. Studenti znají graf funkce y = ax2 a teď se pomocí posouvání tohoto grafu učí sestrojit kvadratickou funkcí obecného tvaru. Jsou vyjádřeny i obecné souřadnice vrcholu paraboly. 38
Bydžovský již striktně rozlišoval kvadratický trojčlen a kvadratickou funkci. V učebnicích předešlého období toto patrné není. Část VIII. ROVNICE VYŠŠÍCH STUPNÍCH A SOUSTAVY § 1. Rovnice třetího stupně § 2. Rovnice čtvrtého a pátého stupně § 3. Trinomické rovnice § 4. Soustavy rovnic o dvou neznámých Po vyložení algebraických metod řešení soustavy rovnic o dvou neznámých se obšírněji hovoří o grafickém řešení. Nejprve se autor zaměřuje na řešení rovnic kružnice a přímky, následně rovnice hyperboly a přímky. Žáky dále seznamuje s grafem funkce y =
a x
a studuje její vlastnosti (monotónnost,
poloha v jednotlivých kvadrantech v závislosti na hodnotě a). Zavádí se i číslo nekonečně malé a nekonečně velké v souvislosti s tímto grafem. Čísla x pak mohou nabývat hodnot od −∞ do +∞. Což můžeme považovat za první náznak definičního oboru funkce. Část IX. LOGARITMY § 1. Dekadické logaritmy Připomíná se graf exponenciální funkce y = 10x a definuje se dekadický logaritmus čísla a. Následně se vyvozuje logaritmická funkce jako funkce čísla, tj. y = log x. Rozebírají se vlastnosti této funkce pro různé hodnoty čísla x a vynáší se do společného grafu s funkcí y = 10x . V jedné větě je poznamenáno, že tyto dva grafy jsou souměrné podle přímky y = x. Ještě se nemluví o inverzní funkci (ta se v učebnicích objevuje až po roce 1945). Poprvé se mluví o dekadickém logaritmu a je definována logaritmická funkce jako funkce čísla. § 2. Logaritmické tabulky I. § 3. Využití logaritmů § 4. Logaritmické tabulky II. § 5. O logaritmech vůbec 39
Objevuje se přirozený logaritmus, značí se pouze lx. § 6. Exponenciální a logaritmické rovnice Část X. MAXIMUM A MINIMUM § 1. Kvadratická funkce Tuto kapitolu můžeme chápat jako motivaci žáků pro studium problematiky diferenciálního počtu. Je diskutován vliv znaménka koeficientu a v rovnici kvadratické funkce y = ax2 + bx + c na průběh této funkce a polohu paraboly, která je jejím grafem, vzhledem k souřadnicovým osám. Mohou nastat dva případy: I. a > 0, pak je parabola znázorňující funkci otevřená směrem vzhůru. Funkce b b b v intervalu (−∞; − 2a ) klesá a v (− 2a ; +∞) roste. Pro x = − 2a nabývá funkce
nejmenší hodnoty y =
4ac−b2 , 4a
tedy svého minima.
b ) II. a < 0, parabola je otevřená směrem dolů. Funkce v intervalu (−∞; − 2a b b roste a pak v (− 2a ; +∞) klesá. Zároveň funkce pro x = − 2a nabývá svého
maxima. Po tomto rozboru následuje věta: „Kvadratická funkce y = ax2 + bx + c stoupá pro ty hodnoty x, jež činí výraz 2ax + b kladným, klesá pro ty hodnoty x, jež činí tento výraz záporným. Pro tu hodnotu x, která vyhovuje rovnici 2ax+b = 0, nabývá funkce hodnoty krajní, a to při a > 0 minima, při a < 0 maxima.Tato krajní hodnota je v obou případech rovna 4ac−b2 . 4a
Výraz 2ax + b, který rozhoduje o jakosti změny funkce,
nazýváme derivací funkce. Je zřejmo, že derivace funkce y = ax2 je 2ax, derivace funkce y = x2 je 2x, derivace funkce y = bx + c je b, atd.ÿ Tímto bylo na příkladě kvadratické funkce ukázáno, jaký význam má její derivace pro průběh funkce, aniž by byla derivace funkce obecně definována. 40
V dalších odstavcích se zobecňuje pojem směrnice. Autor se dotýká i pojmu limity a nakonec vyslovuje větu: „Derivace kvadratické funkce pro určitou hodnotu proměnné je rovna směrnici tečné v příslušném bodu paraboly funkci graficky znázorňující.ÿ § 2. Funkce vyšších stupních Část XI. ŘADY § 1. Řady aritmetické § 2. Řady geometrické § 3. Příklady jiných řad a jejich použití Část XII. SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ § 1. Vzrůst kapitálu § 2. Vkládání a spoření. Renty § 3. Amortizace čili splácení § 4. Peněžní ústavy Část XIII. NAUKA O SKUPINÁCH § 1. Permutace a variace § 2. Kombinace § 3. Binomická věta Část XIV. POČET PRAVDĚPODOBNOSTNÍ § 1. Matematická pravděpodobnost § 2. Složitější případy; matematická naděje § 3. Pravděpodobnost a posteriori § 4. Úlohy pojistné aritmetiky Po přečtení obsahu obou částí učebnice je na první pohled patrná velká změna ve skladbě a hloubce učiva. Poprvé jsou v učebnici zkoumány funkce soustav41
něji v souladu s požadavkem reformy, tj. rozbíjet u žáků funkční myšlení a názornost. I když se jedná o učebnici aritmetiky, je výklad doplňován geometrickou problematikou. Tím se autorovi daří zdůrazňovat vnitřní souvislost mezi algebrou, matematickou analýzou a geometrií. Názorně je to vidět při řešení rovnic a jejich soustav, kde důsledně upozorňuje na možnosti grafického řešení (v učebnicích dřívější doby tomu tak nebylo). Proto nejprve prostudoval všechny kuželosečky, a pak na nich ukázal, jak grafické řešení soustavy lineární a kvadratické rovnice, nebo dvou kvadratických rovnic, vede k určení řešení soustavy rovnic (k určení společných bodů přímky a kuželosečky či dvou kuželoseček). Funkce jsou definovány vždy konkrétně, snad i proto se obecná definice funkce dosud na středoškolské úrovni nevyslovila. I přes to jde vlastní studium funkcí již do značné hloubky. Určují se lokální a globální extrémy na konkrétním případu kvadratické funkce. Dá se dokonce říci, že po určitou dobu se základy infinitesimálního počtu vyskytovaly v učebnicích algebry (v souvislosti s elementární teorií funkcí) i geometrie. [10] Výtkou snad může být, že Bydžovský nezahrnul do své učebnice mnoho cvičných příkladů. Omluvou může být fakt, že se sám autor odkazuje na „Sbírku úloh z matematiky pro vyšší třídy středních školÿ, kterou sepsal spolu s J. Vojtěchem a vydal pod záštitou JČM v Praze roku 1912. Sbírka má část aritmetickou a geometrickou. V jednotlivých podkapitolách je vždy uveden přesný odkaz, kde může student potřebnou teorii nalézt (např. rovnice přímky odst. 137. - 145.). Sbírka úloh není jedinou společnou knihou těchto dvou autorů. Spolupracovali i na učebnici „Mathematika pro nejvyšší třídu středních školÿ. Ta byla určena pro osmý ročník gymnázií, kde se mělo podle nových osnov již jen opakovat učivo či mírně rozšiřovat. Žáci měli získat nadhled nad probraným
42
učivem spolu s historickými a filozofickými souvislostmi. Dle toho je kniha rozdělena na tři celky a jen první část se zabývá matematikou. Pro nás zajímavým paragrafem se jeví paragraf čtvrtý, kde se rozvíjí pojem funkce a rozšiřují se znalosti infinitezimálního počtu. Na prvních řádcích této kapitoly se píše: „Proměnná y je funkcí proměnné x, když ke každé hodnotě x alespoň v určitých mezích - přísluší určitá hodnota y. Závislost y na x je zpravidla dána tím způsobem, že je udáno, jakými výkony k danému x vypočteme y. Avšak i jinak může býti dána tato závislost: na př. tabulkou (vzpomeňte tabulek funkcí; také tabulky, kterou sestrojíme pozorováním nějakého přírodního úkazu), nebo diagramem (který sestrojíme z pozorování, nebo který kreslí registrující přístroj).ÿ [28] V této definici funkce je poprvé skrytě zahrnut definiční obor funkce a také různé vyjádření funkční závislosti. Doposud se nikde neupozorňovalo, že funkce se dá vyjádřit více způsoby, i když se o jednotlivých způsobech mluvilo. Definuje se i limita funkce y = f (x), která pro nějakou hodnotu x = a nabývá neurčitého výrazu 00 . Tento neurčitý výraz je nahrazen limitou b, která se y blíží, když x se blíží a. Limitou funkce y pro x = a je pak nazvána hodnota b, lze-li absolutní hodnotu rozdílu y − b učinit libovolně malou tím, že učiníme dostatečně malou absolutní hodnotu rozdílu x − a. [28] Následně se připomíná význam derivace, funkce se rozvíjí v Maclaurinovu řadu a je definováno integrování jako výkon obrácený k derivování. Učebnice se spíše jeví jako rozšiřující literatura pro zájemce o studium na vysoké škole, protože látka místy překračuje rámec učiva střední školy.
43
4.4
Učebnice geometrie z období 1908 - 1948
Rozebereme učebnici Jana Vojtěcha. Jde o první vydání učebnice „Geometrie pro VI. třídu gymnasií a reálných gymnasiíÿ, vydané v roce 1911 v Praze. Látka je celkem přehledně rozdělena do tří kapitol, které se dále dělí na paragrafy a jednotlivé odstavce.
Jan Vojtěch: Geometrie pro VI. třídu gymnasií a reálných gymnasií ÚVOD I. ZÁKLADY: Sinus a kosinus - Tangens a kotangens - Řešení pravoúhlého trojúhelníku II. GONIOMETRIE: Funkce úhlu ostrého - Funkce úhlu obecného - Funkce součtu a součet funkcí - Hodnoty funkcí a jejich logaritmy - Rovnice goniometrické III. TRIGONOMETRIE ROVINNÁ: Řešení pravoúhlého trojúhelníku (B) - Hlavní věty trigonometrické - Řešení obecného trojúhelníku (A) - Jiné věty trigonometrické; řešení trojúhelníku (B) - Řešení trojúhelníku (C); čtyřúhelník a mnohoúhelník - Užití v praktické geometrii
V první kapitole je definována funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens ostrého úhlu pomocí poměrů stran v pravoúhlém trojúhelníku. Jsou znázor
něny grafy těchto funkcí na intervalu 0; π2 a diskutována monotónnost na tomto intervalu. Je zmínka i o oboru čísel pro sinus a kosinus (dnes hovoříme o definičním oboru hodnot). Další kapitola začíná souhrnem všech goniometrických funkcí a následuje velmi přehledné znázornění šesti funkcí ostrého úhlu v kruhu (byla myšlena 44
kružnice), jehož poloměr je 1. Definice funkcí jsou rozšířeny na interval h0; 2πi, následují grafy a mluví se o průsečících s osou x, spojitosti funkcí, intervalech monotónnosti, maximech a minimech. Objevuje se i tvrzení o periodické funkci a náznak sudosti a lichosti. V celé učebnici se pracuje s úhly ve stupňové míře, je uvedena jediná poznámka o goniometrických funkcí v obloukové míře. [24] I přes krátkou dobu, za kterou tato učebnice vznikla, se J. Vojtěchovi podařilo sepsat velmi čtivou, ucelenou a logicky uspořádanou učebnici. Dokonce se dá říci, že výrazně převyšuje středoškolské učebnice geometrie minulé doby. Autor zcela dodržel myšlenky Marchetovy reformy. Důsledně se věnuje funkčním vlastnostem goniometrických funkcí a konečně se objevují i grafy goniometrických funkcí. Učivo se prohlubuje a systematizuje. Nechybí ani řada příkladů k procvičení na závěr každého učebního celku. Celkový objem učebnice mírně vzrostl oproti dřívějším podobným učebnicím, protože autor na některých místech překročil minimum požadavků stanovených novými osnovami. Za zmínku stojí ještě jedna učebnice J. Vojtěcha „Geometrie pro VII. třídu škol středníchÿ. Jde o třetí upravené vydání z roku 1924. V této knize je na 23 stranách popsán úvod do diferenciálního a integrálního počtu. Je zde definována limita jako mezní hodnota a pečlivě studovaná goniometrická funkce a exponenciální funkce y = aebx .
4.5
Učebnice matematiky z období 1948 - 1976
V první kapitole této práce je zmínka o Eduardovi Čechovi a jeho snahách o modernizaci školské matematiky. Sám Čech je autorem několika středoškolských učebnic. Z prvních výsledků jeho reformních snah můžeme jmenovat učebnici „Matematika pro IV. třídu gymnásiíÿ vydanou v Praze již roku 1951 45
Státním nakladatelstvím učebnic. Kniha začíná úvodními poznámkami a přehlednou tabulkou s rozvrhem učiva do jednotlivých měsíců školního roku; z ní je například patrné, že od září do začátku ledna se mají žáci zabývat funkcemi a kuželosečkami a po zbytek roku matematickou statistikou. Tabulka působí velmi motivačně, jelikož studenti ihned vidí, co je čeká a na co se mohou těšit. Během čtyř měsíců by studenti měli postupně probrat pojem funkce, lineární funkci, funkci y = ax2 , lineární lomenou funkci, funkci y = sin x, lineární interpolaci, limitu funkce, derivaci funkce, fyzikální význam derivace, elipsu a hyperbolu. První kapitola pojednávající o pojmu funkce začíná větou: „Pokud nebude výslovně uveden opak, budeme se v této kapitole zabývati výlučně jen čísly reálnými.ÿ [31] Autor hned v úvodu upozorňuje, že budou probírány funkce jedné reálné proměnné. Pojmenovává závisle a nezávisle proměnné na fyzikálním příkladu a funkci nijak výrazně nedefinuje. V textu se objevuje také definice: „Říkáme, že veličina závisle proměnná je funkcí veličiny nezávisle proměnné. Slovo funkce znamená pravidlo, které každé hodnotě veličiny nezávisle proměnné přiřazuje určitou hodnotu veličiny závisle proměnné.ÿ [31] Jedná se téměř o shodnou definici, která se objevovala již v učebnicích dřívější doby. Rozdíl se však objevuje již na dalších řádcích, kde autor poznamenal, že některé funkce nejsou definovány pro všechny hodnoty nezávisle proměnné, ale pouze pro některé hodnoty, které tvoří obor funkce. A dále, že některé funkce nabývají všech reálných hodnot, ale často nabývají pouze některých reálných hodnot, které pak tvoří nějaký interval. Jde tedy o první definici 46
definičního oboru funkce a o první zmínku o oboru hodnot v českých učebnicích. Následující kapitola se zaměřuje na lineární funkci. Najdeme zde i definici grafu funkce jako skupinu (myšleno množinu) bodů [x; y], jejichž první souřadnice x probíhá definičním oborem funkce a jejichž druhá souřadnice y je vždy hodnotou funkce příslušné hodnoty nezávisle proměnné x. Grafem se rozumí i čára, kterou rovnoběžka s osou y protíná nejvýše v jednom bodě. Tím je rozuměno, že funkce může nabývat pro libovolnou hodnotu x z definičního oboru pouze jedné hodnoty y. Tuto myšlenku opět ve dřívějších pracích nenalezneme. Zcela nově je zařazena lineární interpolace. Ta je začleněna do středoškolské matematiky kvůli vazbám na fyziku, kde se hojně při vyhodnocování měření této metody využívá. Její myšlenky jsou však využity i v následujících odstavcích, kde jsou definovány limita funkce a spojité funkce. „Budiž f nějaká funkce a budiž a nějaké číslo, které samo může, ale nemusí náležet do oboru funkce; ale budeme předpokládati, že všecka čísla x 6= a, která jsou dosti blízká číslu a, náležející do oboru funkce. Budiž dále s nějaké číslo. Pravíme, že funkce f má limitu rovnou číslu s pro x → a (čteme: pro x blížící se číslu a), jestliže pro všecka čísla x 6= a dosti blízká číslu a je přibližně . f (x) = s. Je-li tomu tak, píšeme limx→a f (x) = s.ÿ [31] Dá se říci, že se jedná o první pokus o definici limity funkce v českých středoškolských učebnicích. Po definování limity je pokračováno v učivu o derivacích funkce. Zeširoka je rozebrán význam derivace ve fyzice. Dokonce jsou odvozeny vztahy pro rovnoměrně zrychlený pohyb a harmonický pohyb včetně vyjádření periody a amplitudy tohoto pohybu. Učebnice E. Čecha jsou velmi kvalitní, ale školský systém té doby jim nepřál. Vyučování matematiky 47
na vědecké úrovni se neosvědčilo z důvodu náročnosti látky na hodinovou dotaci a spolu se snížením počtu tříd na střední škole vedlo k přetěžování žáků. Kvůli nové organizaci školského vzdělávání se po roce 1959 vydávaly nové učebnice pro žáky středních všeobecně vzdělávacích škol (gymnázií). Jedná se o svazky „Matematika pro I. (II. a III.) ročník středních všeobecně vzdělávacích školÿ, které vyšly pod vedením Emila Kraemera (1910 - ). Učivo o funkcích je zařazeno do druhého ročníku. Blíže rozebereme učebnici Matematika pro II. ročník středních všeobecně vzdělávacích škol, kterou vydalo SPN v Praze roku 1964 a na které spolupracovali také Jiří Kabele, Pavel Bartoš, Berta Daňková a František Krňan. Komentovány budou kapitoly, které obsahují učivo o funkcích a učivo s nimi související.
Emil Kraemer: Matematika pro II. ročník SVVŠ ALGEBRA I. Mocniny s reálným exponentem II. Zobrazení množiny do množiny. Souřadnice bodu V této části se hovoří o množinách a jejich prvcích. Definuje se zobrazení množiny M do množiny N takto: „Jsou-li dány dvě množiny M a N a je-li dán předpis, který každému prvku množiny M přiřazuje právě jeden (tj. jediný) prvek množiny N , říkáme, že je určeno zobrazení množiny M do množiny N . Prvek a ∈ M se nazývá vzor. Jemu přiřazený prvek b ∈ N se nazývá jeho obraz.ÿ Následně se definuje i zobrazení množiny M na množinu N a uspořádaná
48
dvojice čísel. Toto učivo je zavedeno zcela nově. Souvisí s jiným pohledem na výklad pojmu funkce. III. Funkce 1. Pojem funkce Autor velmi často využívá znalosti studentů z fyziky. Na příkladu vztahu pro dráhu s volného pádu s = 21 gt2 ukazuje, jak je každému reálnému číslu t z určitého intervalu přiřazeno právě jedno reálné číslo s. Jde tedy o zobrazení množiny M , kterou tvoří prvky t, do množiny všech reálných čísel N . Následně místo označení zobrazení používá pojem funkce a definuje: „Jsou-li M a N množiny čísel a je-li každému číslu x z množiny M přiřazeno určitým předpisem právě jedno číslo y množiny N , říkáme, že je určena funkce na množině M . Množinu M nazýváme oborem funkce, x se nazývá argument funkce nebo také proměnná. Určité číslo y0 ∈ N , přiřazené danému číslu x0 ∈ M , se nazývá hodnota funkce pro hodnotu proměnné (argumentu) x0 .ÿ Jedná se o zcela novou definici pojmu funkce v českých učebnicích. Funkce je definována pomocí množin. Z dané definice vyplývá, že k určení funkce je potřeba udat předpis, kterým je každému číslu z množiny M přiřazeno právě jedno číslo z N a stanovit definiční obor funkce. Předpis je možno udat více způsoby; např. vztahem, tabulkou, grafem. Dříve se uváděl pouze předpis. 2. Graf funkce V tomto odstavci se poprvé mluví o uspořádaných dvojicích čísel [x; y], které jsou chápány jako souřadnice bodu v rovině. Grafem funkce je pak nazvána množina všech bodů roviny, jejichž první souřadnicí je hodnota proměnné a druhou souřadnicí je příslušná hodnota funkce. Je znázorněn graf funkce y = 0, 2x3 za pomoci tabulky hodnot této funkce.
49
3. Lineární funkce Autor obecně definuje lineární funkci a jako speciální případ určuje přímou úměrnost ve tvaru y = kx, kde k 6= 0. Na konkrétních grafech vyvozuje vlastnosti funkce (rostoucí, klesající). Dochází následně i k obecné větě popisující rostoucí a klesající funkci. Tu pak dokazuje vůči různým hodnotám koeficientu k. V řešených příkladech této kapitoly se objevuje i příklad na sestrojení grafu funkce s absolutní hodnotou. 4. Kvadratická funkce Vzpomíná se na funkci určenou předpisem y = ax2 známou již ze základní školy. Ukazuje se, že jde o speciální případ kvadratické funkce y = ax2 +bx+c, jejímž oborem je množina všech reálných čísel. Následně jsou opět studovány vlastnosti této funkce a uveden její graf. 5. Grafické řešení kvadratické rovnice Toto téma je obdobně vyloženo v učebnicích dřívější doby, zde je uvedeno jen na řešených příkladech jako možnost přibližného řešení kvadratické rovnice. 6. Nepřímá úměrnost Opět je uvedena definice nepřímé úměrnosti. Je zdůrazněno, že definičním oborem funkce jsou všechna reálná čísla kromě nuly. Graf je tentokrát znázorněn i pro záporný koeficient k. V poznámce na konci kapitoly je nepřímá úměrnost brána jako zvláštní příklad racionální lomené funkce. IV. Logaritmy Jsou probírány exponenciální a logaritmické funkce. V definici exponenciální funkce není vyjmuta hodnota a = 1, i když se píše, že grafem funkce y = 1x není exponenciální křivka. Graf logaritmické funkce je odvozen díky grafu exponenciální funkce o stejném základu, protože obě křivky jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Tvrzení o souměrnosti je pečlivě dokázáno.
50
V této učebnici se ještě nemluví o inverzní funkci, avšak slovo inverze se v učebnicích vydaných v období 1948 - 1976 objevuje, ale nedefinuje. Samotná definice logaritmické funkce vypadá takto: „Pro libovolný kladný základ z 6= 1 existuje, ke každému kladnému reálnému číslu x právě jedno reálné číslo y, y = logz x. Tímto předpisem je určena funkce na množině všech kladných reálných čísel.ÿ Podrobně se ještě studuje logaritmické pravítko, je zařazen i větší počet barevných obrázků vyobrazující konkrétní situace na logaritmickém pravítku. V. Vektor v rovině VI. Komplexní čísla VII. Kvadratická rovnice VIII. Opakování GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Úvod I. Goniometrická funkce ostrého úhlu. Opakování II. Goniometrická funkce Studenti se seznamují s úhly v obloukové míře. Goniometrické funkce jsou definovány pomocí jednotkové kružnice, jak to známe dnes. Grafům těchto funkcí je věnováno více času a jsou studovány pečlivěji. III. Vztahy mezi goniometrickými funkcemi IV. Goniometrické rovnice V. Trigonometrické řešení trojúhelníku
Za každou kapitolou učebnice jsou cvičení pro studenty. Kniha, i když nijak výrazně obsáhlá, je psána pro žáka velmi srozumitelně, ale jde spíše o mini-
51
mum, které musí být značně doplněno učitelem. Učivo je logicky a metodicky dobře uspořádané, doplněné řadou poznámek. Zcela chybí učivo infinitezimálního počtu. To je zřejmě zapříčiněno úpravou osnov a zkrácením povinné školní docházky.
4.6
Učebnice matematiky z období 1976 - 1990
Učebnice vydané po roce 1984 se měly stát univerzálním vzorem pro učebnice následující. Byly psány formou definice - věta - důkaz - příklad. Tento systém je však typický spíše pro dnešní vysokoškolské učebnice. Učivo bylo oproti předešlému mírně rozšířeno. Podíváme se na takovou učebnici blíže. Půjde o knihu Oldřicha Odvárka (1938 - ) „Matematika pro II. ročník gymnáziíÿ, která vyšla v prvním vydání v Praze roku 1985. Učebnice už není monotématická a kromě kapitol o funkcích obsahuje i partie týkající se kombinatoriky, goniometrie a geometrie v prostoru. S O. Odvárkem na ni spolupracovali Miloš Božek, Marta Ryšánková a Jozef Smida. Podrobněji se podíváme na kapitoly pro nás zajímavé.
Oldřich Odvárko: Matematika pro II. ročník gymnázií 2. Základní vlastnosti funkcí (Odvárko) Na první stránce kapitoly je uveden graf konkrétní funkce a jsou uvedeny vlastnosti této funkce (sudost, omezenost, monotónnost). Obrázek má působit na studenty motivačně pro celou nadcházející kapitolu. 2.1 Pojem funkce Hned na prvních řádcích autor udává množinovou definici funkce s tím, že se odkazuje na znalosti nabyté již na základní škole. Definice částečně připomíná zavedení funkcí v učebnicích předcházející doby, kde se již zobrazení vyskytovala. Dříve však byly za obě množiny brány pouze množiny čísel a 52
nebylo v definici specifikováno o jaké číselné množiny jde. V nynější definici se bere libovolná množina M a množina všech reálných čísel R s tím, že množina M je konečně označována za definiční obor funkce (dříve pouze obor funkce). „Nechť M je libovolná množina, R množina všech reálných čísel. Funkcí se nazývá každé zobrazení f množiny M do množiny R. Množinu M nazýváme definiční obor funkce f a značíme ji D(f ).ÿ Pod definicí je připomenuto, co je zobrazení množiny A do množiny B pomocí uspořádaných dvojic a kartézského součinu těchto dvou množin. Až potom se poznamenává, že se budou probírat jen ty funkce, v nichž množina M je podmnožinou množiny R všech reálných čísel. Berou se tedy v úvahu jen funkce, které lze chápat jako výsledek realizace nějakého předpisu, podle kterého jsou reálným číslům jednoznačně přiřazována opět reálná čísla. Můžeme tedy říci, že tato učebnice obsahuje zatím nejobecnější definice pojmu funkce. Konečně se objevuje i korektní matematický zápis funkce, např. √ g = {[x, y] ∈ R+ x} a uvádí se i stručnější zápisy funkcí a různé 0 × R; y = způsoby zadání funkcí (předpisem, tabulkou, grafem). Připomíná se i definice grafu funkce ze základní školy. 2.2 Definiční obor a obor hodnot funkce V této části se objevuje první definice oboru hodnot funkce s klasickým dnešním značením. Dříve se mluvilo jen o definičním oboru. „Nechť je dána funkce f . Množina všech y ∈ R, ke kterým existuje aspoň jedno x ∈ R tak, že g = [x, y] ∈ f , se nazývá obor hodnot funkce f . Označujeme jej H(f ).ÿ Žáci si zde procvičují určování hodnot funkce v bodě.
53
2.3 Sudá a lichá funkce V dosud okomentovaných středoškolských učebnicích matematiky, které se zabývaly funkcemi, se okrajově vyskytla lichost či sudost funkce. Nikde však zatím nebyla pojmenována. Mluvilo se jen o souměrnosti grafu dle nějaké osy, popřípadě se hovořilo o znaménkách funkčních hodnot. Definice těchto vlastností ale chyběla. Autor si toho byl nejspíše vědom, protože zde uvedl jak definici, tak i podrobněji rozebírá dané vlastnosti na několika příkladech. 2.4 Rostoucí a klesající funkce Mluví se o podmínkách, kdy je funkce klesající či rostoucí na množině. Ta se potom rozšiřuje na celý definiční obor. Zcela nově se definuje prostá funkce, o té se dříve nehovořilo. Je dokázána věta:„Je-li funkce rostoucí nebo klesající, pak je prostá.ÿ V celém odstavci není ani jeden graf funkce, je pouze chaoticky odkazováno na grafy funkcí znázorněných dříve. Působí to neuspořádaným dojmem a student musí hodně listovat. 2.5 Funkce omezená v množině Je patrné další upřesnění definice omezené funkce v množině a omezené funkce. Uvádí se řada příkladů. 2.6 Maximum a minimum funkce na množině I když se definice omezené funkce objevovala již dříve, přesnější definice maxima a minima funkce na množině nalezneme pouze náznakově v učebnicích vydaných těsně po Marchetově reformě. V minulém období se o maximech a minimech u funkcí nehovořilo snad kvůli zjednodušení učiva. V probírané učebnici se uvádí definice, jenž má stejnou podobu jako definice v současných učebnicích. Poprvé se mluví o ostrém maximu/minimu. 2.7 Periodická funkce Za zmínku stojí, že je periodičnost řazena již mezi obecné vlastnosti funkcí. Doposud byla probírána až u goniometrických funkcí jako jejich speciální 54
vlastnost a nezdůrazňovalo se, že periodickou funkcí může být i jiná funkce než goniometrická. 3. Racionální funkce. Mocniny a odmocniny (Odvárko) 3.1 Lineární funkce Klasicky se definuje lineární funkce, nemluví se o přímé úměrnosti. Objevuje se náznak definice směrnice přímky, ale není pojmenována. 3.2 Vlastnosti lineárních funkcí Vlastnosti funkcí probraných dříve se aplikují na lineární funkci. Zjištěné vlastnosti jsou podrobně dokazovány. Na konci je přehledná tabulka obsahující soupis všech vlastností funkce v závislosti na koeficientu včetně příslušného grafu. 3.3 Grafy funkcí s absolutními hodnotami Poprvé je podrobně řešeno sestavování grafů funkcí s absolutními hodnotami pomocí nulových bodů. Dříve jen okrajově jednodušší příklady v rámci jiných kapitol. Nikde ale není poznamenáno, co je funkce absolutní hodnota. 3.4 Kvadratická funkce a její vlastnosti Probrána obdobně jako v učebnicích dřívějších. Grafy složitějších funkcí se řeší pomocí posouvání grafu funkce y = x2 . Na konci je jako souhrn přehledná tabulka se všemi dokázanými vlastnosti funkce. 3.8 Lineární lomená funkce Je pojednáno v samostatné kapitole o lineární lomené funkci, jejímž speciálním případem je nepřímá úměrnost. Z definice jsou vyjmuty zvláštní případy, kdy funkce přejde do lineární funkce. 3.10 Inverzní funkce Korektní definice inverzní funkce se objevuje až v tomto studovaném období. Dříve se sice o inverzi mluvilo, ale ne jako o funkci, spíš se sledovala souměrnost mezi jednotlivými grafy. Nebyly udávány podmínky, za jakých existuje k funkci inverzní funkce. Odvárko k tomuto tématu avšak přistupuje svědomitě 55
a nejprve studentům připomněl jejich znalosti z fyziky (vztah mezi dráhou volného pádu tělesa a dobou, po kterou se těleso pohybovalo). Tento vztah je velmi oblíbený mezi autory učebnic v jednotlivých obdobích, protože se velmi často objevuje, např. u kvadratických funkcí. Následně hovoří o uspořádaných dvojicích funkce f a dvojicích vytvořených záměnou pořadí jednotlivých složek. Vše doplňuje názornými obrázky a příklady. Dochází k označení: „Je-li f funkce, pak symbolem f −1 budeme značit množinu všech uspořádaných dvojic [y, x] ∈ R × R, pro kterou platí [y, x] ∈ f −1 právě tehdy, když [x, y] ∈ f .ÿ Pokračuje s konkrétními příklady a vyvozuje z nich obecnou větu, že funkce f musí být prostá, aby k ní existovala funkce inverzní. Tu obměnou dokazuje a závěrem shrne v definici:„Nechť f je prostá funkce. Funkce f −1 se nazývá funkce inverzní k funkci f .ÿ Diskutují se ještě vlastnosti obou funkcí (definiční obor, obor hodnot, monotónnost). Až v samotném závěru se upozorňuje na to, že grafy těchto funkcí jsou souměrně sdruženy podle přímky o rovnici y = x. Tato vlastnost je podrobně dokázána. 4. Exponenciální a logaritmická funkce (Odvárko) 4.1 Exponenciální funkce V definici exponenciální funkce je již vyjmuta hodnota a = 1. Vlastnosti funkce jsou diskutovány pro různé hodnoty základu a (a > 1; 0 < a > 1). Ty jsou pak spolu s grafem opět shrnuty do závěrečné tabulky. 4.3 Logaritmická funkce Autor si vybudoval již dostatečný aparát potřebný k definování logaritmické funkce (inverzní funkce). Proto ho mohl jednoduše aplikovat na exponenciální funkce různých základů a vyslovit definici:
56
„Nechť a je kladné číslo různé od jedné. Logaritmickou funkcí o základu a se nazývá funkce, která je inverzní k exponenciální funkci y = ax .ÿ Vlastnosti funkce vyplynuly z definice inverzní a exponenciální funkce, proto se nemusela tato látka dále rozebírat. Vše je velmi srozumitelné a přehledné. Předcházející autoři učebnic takovou možnost neměli a museli vše vysvětlovat složitěji, tedy pro studenta náročněji. 4.6 Dekadické logaritmy a numerické výpočty Stále se používá logaritmické pravítko, a tak mu je v knize věnována dvojstrana, což je o poznání méně než například v učebnicích z let 1908 - 1948. 4.7 Přirozený logaritmus Z praktických důvodů je zavedeno Eulerovo číslo a s ním související přirozená exponenciální a logaritmická funkce. 5. Goniometrie (Odvárko, Ryšánková) 5.3 Funkce sinus a kosinus Funkce sinus a kosinus jsou rovnou definovány pro libovolný argument. Nepoužívá se tedy rozšíření definice na obecný argument, jak tomu bylo dříve. Z definice a jednotkové kružnice vyplývá, že funkce jsou periodické, liché či sudé, omezené a monotónní na intervalech. Dále je věnován prostor grafům funkcí sinus a kosinus. Jsou uvedeny i příklady na sestrojení grafů s posunutím. 5.4 Funkce tangens a kotangens Funkce jsou zde definovány jako podíly funkcí již probraných. Podrobně se rozebírají definiční obory obou funkcí. Dále je ukázáno, že tangens i kotangens jsou funkce liché. Podobně jako u sinu a kosinu také zde následují grafy funkcí tangens a kotangens, společně s vyšetřováním jejich dalších vlastností. Na závěr je uvedena přehledná tabulka, ve které jsou shrnuty základní 57
vlastnosti čtyř goniometrických funkcí. 5.6 Složená funkce Poprvé se objevují složené funkce a s nimi jejich definice. Nejprve se určují všechny uspořádané dvojice [x, y] ∈ R × R, pro které platí: Existuje z ∈ R takové, že [x, z] ∈ f1 a [z, y] ∈ f2 . Autor se ideu složené funkce pokouší vysvětlit na konkrétním příkladu s uspořádanými dvojicemi celých čísel. Následně uvádí definici: „Nechť f , g jsou funkce. Funkcí složenou z funkcí g, f (v tomto pořadí) se nazývá funkce, která se označuje g ◦ f a pro kterou platí: a) jejím definičním oborem je množina všech těch x ∈ D(f ), pro která je f (x) ∈ D(g); b) pro každé x ∈ D(g ◦ f ) je (g ◦ f )(x) = g(f (x)).ÿ
Tato učebnice se podobně jako učebnice druhé poloviny 70. let vyznačuje pokusy o zjednodušení učiva a omezování některých kapitol. Na druhou stranu zavádí do té doby částečně či zcela opomíjenou definici oboru hodnot funkce, definici sudé a liché funkce, prostou funkci, inverzní funkci a složené funkce. Na příliš složitou teorii učebnice důraz neklade, spíše se snaží, aby žáci uměli dobře aplikovat nabyté znalosti. Velká část učebnice je spíše aplikačního rázu.
4.7
Učebnice matematiky z období 1990 - současnost
Věstník ministerstva školství obsahuje seznam všech učebních textů a učebnic, které byly schváleny ministerstvem. Tyto učebnice mohou být používány na školách spolu s dalšími knihami, které nejsou v rozporu s rámcově vzdělávacím plánem. O jejich použití rozhodují jednotliví ředitelé škol, avšak téměř 58
výlučně je na středních školách (gymnáziích) používána řada monotématických učebnic nakladatelství Prometheus. Jde o vydavatelství, které je pod záštitou Jednoty českých matematiků a fyziků, a proto jsou učebnice sestaveny vysoce kvalifikovanými odborníky, metodiky a didaktiky. Díky tomu jsou velmi pěkně zpracovány nejen po didaktické stránce. Oproti učebnicím vydaným po roce 1984 se navrátilo k (pro žáky) přijatelnější formě výkladu. Opustilo se od výrazného matematického formalismu, těžké teorie, složitých vztahů i obtížných důkazů a tím mohlo být některé učivo prohloubeno. Přitom se studentům dostává většího prostoru pro přemýšlení nad souvislostmi mezi jednotlivými částmi probírané látky. Podívejme se nyní na první vydání učebnice „Matematika pro gymnázia, Funkceÿ, které vyšlo v nakladatelství Prometheus v roce 1994. Autorem této knihy je stejně jako v minulém studovaném období Oldřich Odvárko. Komentovány budou pouze partie, které jsou vyloženy jinak či jiným způsobem než v učebnici Matematika pro II. ročník gymnázií z roku 1985.
Oldřich Odvárko: Matematika pro gymnázia, Funkce 1. Funkce a její graf 1.1 Definice funkce Definice je zde zjednodušena oproti definici daného pojmu v učebnicích vydaných po roce 1984. Tam se mluvilo přímo o zobrazení množiny do množiny s tím, že se následně vše celkem podrobně vysvětlilo a dále se pracovalo jen s množinami či podmnožinami reálných čísel. V námi probírané učebnici se ale za definici považuje:
59
„Funkce na množině A ⊂ R je předpis, který každému číslu z množiny A přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množina A se nazývá definiční obor funkce.ÿ Jde tedy již o užší definici, protože A je číselná množina, konkrétně podmnožina množiny R. V textu učebnice je následně menším písmem poznamenáno, že se dá funkce definovat i jinak. A že vyložená definice je speciálním případem zobrazení. 1.3 Obor hodnot funkce V definici oboru hodnot funkce f není zdůrazněno, že prvky x a y jsou uspořádané dvojice. Mluví se jen o funkční závislosti y na x. 2. Lineární funkce V definici lineární funkce se hovoří i o přímé úměrnosti. Nejprve jsou použity grafy těchto funkcí při řešení rovnic, nerovnic a jejich soustav a až potom se probírají některé vlastnosti (rostoucí, klesající, prostá funkce). Zvlášť se definuje rostoucí a klesající funkce v intervalu (dříve v množině). Žáci nejsou dosud seznámeni se všemi na střední škole probíranými vlastnostmi funkcí, ty se probírají až v další kapitole. Proto se domnívám, že studenti nezískávají kompletní přehled o lineární funkci. Dle mého názoru je didakticky vhodnější přístup učebnice z roku 1985, kdy se nejprve vyložily všechny možné vlastnosti funkcí a pak se jednotlivé druhy funkcí zkoumaly. Výklad obou knih se v tomto směru shoduje až od kvadratických funkcí, kdy vždy na konci probíraného celku je přehledná tabulka s přehledem vlastností dané funkce včetně grafu. 3. Funkce s absolutními hodnotami Krátce je pojednáno o absolutní hodnotě reálného čísla, o funkci absolutní hodnota a o funkcích s absolutními hodnotami. Vzorově jsou sestrojeny grafy
60
některých těchto funkcí. Následují další vlastnosti funkcí (sudost, lichost, omezenost, minima a maxima). 7. Exponenciální a logaritmické funkce Tyto partie jsou téměř totožné s obdobnými odstavci v dřívější Odvárkově učebnici. V obou pracích jsou dokonce použity i stejné vzorové příklady. Dá se z toho usuzovat, že styl dané kapitoly se v dřívější době osvědčil a autor se nebál daný postup použít znovu.
V učebnici Matematika pro gymnázia, Funkce nejsou zahrnuty periodické, složené a goniometrické funkce. Ty ovšem nalezneme v jiném dílu sady učebnic, konkrétně v „Matematice pro gymnázia, Goniometrieÿ, kde jsou diskutovány podobně jako v učebnici předešlého období. Dokonce kniha v úvodní kapitole shrnuje již známé základní poznatky o funkcích a jejich vlastnosti.
61
5
Vyhodnocení učiva a učebnic
V předcházejících dvou kapitolách jsme si mohli povšimnout, že vývoj pojmu funkce na vysokých školách a na školách gymnazijního typu po roce 1860 úplně nekorespondoval. Zatímco se v českých univerzitních učebnicích o pojmu funkce začalo mluvit na přelomu 19. a 20. století, na středoškolské úrovni až v první třetina 20. století. Tento posun byl pak v polovině minulého století vyrovnán, i když byl samozřejmě výklad pojmu na střední škole úměrně zjednodušen. Z rozboru učebnic můžeme vidět, že se pojem funkce až do roku 1908 ve středoškolských učebnicích matematiky pořádně nevyskytoval, téměř výhradně se neobjevují grafy funkcí. Nemluví se ani moc o vlastnostech funkcí a funkce jako takové jsou brány jako závislost jedné veličiny na druhé. Klasická definice tohoto pojmu se ve vědě a na univerzitní půdě již používala, ale do středního školství ještě definice zavedena nebyla. To změnila až reforma školství. Do středoškolské literatury ale nebylo zavádění funkcí a poznatků o nich (jak je známe dnes) po roce 1909 tak rychlé. Dle požadavků reformy se u studentů rozvíjelo funkční myšlení. Objevovaly se první pokusy o definici pojmu funkce a jejího definičního oboru. Byly rozebírány téměř všechny typy funkcí včetně cyklometrických a konečně se objevily i grafy funkcí. Funkce byly poprvé zkoumány soustavněji, včetně vlastností konkrétních funkcí (monotónnost, omezenost, spojitost a částečně i sudost a lichost). Můžeme říci, že v první polovině 20. století se učivo o funkcích plně začlenilo do středoškolské látky. Před rokem 1976 se nově definovalo zobrazení množiny do množiny a s ním související funkce. Jednalo se o první náznaky množinového pojetí funkcí ve středoškolských učebnicích. Grafy funkcí byly popisovány jako množiny uspořádaných dvojic reálných čísel. Z vyšší matematiky dosud nepřešla znalost 62
inverzní a prosté funkce. Proto se autoři školních učebnic museli bez nich obejít a definovat logaritmickou funkci jinak než dnes. V padesátých letech minulého století se tedy v matematických knihách objevily oba přístupy k definování funkcí (klasický a modernizační přístup). V 80. letech minulého století došlo nejspíše k největší preciznosti ve středoškolské matematické literatuře, objevuje se pouze (alespoň v námi sledovaných učebnicích) množinová definice pojmu funkce spolu s kartézským součinem. Dostává se na definici oboru hodnot, sudosti a lichosti funkce. Poprvé se objevuje prostá a složená funkce. Logaritmické funkce jsou konečně definovány pomocí inverzní funkce, která je sama upřesněna. V následujícím období pak došlo k odklonu od matematického formalismu a opět se objevují oba přístupy k pojmu funkce. Následují přehledné tabulky, ve kterých se může čtenář dovědět, jaké konkrétní učivo o funkcích se vyskytuje v učebnicích jednotlivých časových obdobích, jejichž rozbor byl proveden ve čtvrté kapitole. Z důvodu rozsáhlosti tabulek jsou na tomto místě pouze výsledky výskytu učiva v jednotlivých dobových úsecích. Tabulka je sestavena tímto způsobem: pokud se dané téma v příslušném časovém úseku objevilo alespoň jednou, bylo zaznamenáno, že se učivo probíralo, popř. částečně probíralo. V příloze jsou pak k nahlédnutí podrobné tabulky s konkrétními učebnicemi z jednotlivých obdobích. V tabulkách je užíváno tří symbolů: √
učivo se v učebnicích daného období vyskytuje,
∼ učivo se v učebnicích daného období vyskytuje pouze okrajově, χ učivo se v učebnicích daného období nevyskytuje.
63
Tab. 5.1: Celkový výskyt učiva, 1. část
64
Tab. 5.2: Celkový výskyt učiva, 2. část
65
6 6.1
Autoři učebnic Autoři významných vysokoškolských učebnic
František Josef Studnička František Josef Studnička se narodil 27. června 1836 v Janově u Soběslavi, avšak studoval na gymnáziu v Jindřichově Hradci. Již od mládí tíhl k matematice a fyzice, proto po gymnáziu v roce 1857 odešel na filozofickou fakultu vídeňské univerzity tyto předměty studovat. Vysokou školu o čtyři roky později dokončil, získal doktorát filozofie a zároveň vykonal zkoušku učitelské způsobilosti pro matematiku a fyziku. Byl oprávněn vyučovat tyto předměty na střední škole, čehož využil jako suplující profesor na německém vyšším gymnáziu v Českých Budějovicích. V roce 1864 vyhrál konkurz na místo dočasného docenta vyšší matematiky a analytické mechaniky na pražské polytechnice. Již v srpnu roku 1866 byl po smrti profesora G. Skřivana jmenován řádným profesorem matematiky. Později přešel na Karlo - Ferdinandovu univerzitu a jako řádný profesor vedl přednášky z matematiky. Po rozdělení univerzity na českou a německou část přijal v roce 1882 místo děkana české filozofické fakulty. Později zastával i post rektora. Na pražské univerzitě Studnička setrval až do své smrti dne 21. února 1903. Díky JČM vydal řadu svých středoškolských a vysokoškolských učebnic matematiky („O počtu differencialnímÿ, „O počtu integrálnímÿ ).
66
Eduard Weyr Eduard Weyr se narodil 22. června 1852 v Praze. Po dokončení střední školy začal navštěvovat přednášky matematiky na německé polytechnice v Praze. Těch se zúčastňoval nejprve jako host a od roku 1868 již jako řádný student. Po rozdělení školy v roce 1869 zůstal na českém ústavu a stal se studentem F. J. Studničky a J. Šolína. Nejen díky svému mimořádnému matematickému nadání získal státní stipendium, které mu umožnilo v říjnu 1872 odcestovat na stáž do Göttingenu. Tam sepsal svoji disertační práci, na základě které po návratu v roce 1873 získal titul doktora filozofie. Téhož roku odjel na další stipendijní pobyt do Paříže, kde navštěvoval přednášky Ch. Hermita (teorie funkcí) a J. A. Serreta (infinitesimální počet). Dne 14. ledna 1876 nastoupil funkci mimořádného profesora české polytechniky. V té době byl již Eduard Weyr ve vědeckých kruzích důvěrně znám. Svědčí o tom řada nabídek světových univerzit. Všechny však odmítl a roku 1881 byl jmenován řádným profesorem české techniky v Praze. Od školního roku 1891/92 přednášel na technice i na české univerzitě, kde svými přednáškami z geometrie doplňoval základní kurz matematiky vedený F. J. Studničkou. V říjnu 1903 měl být jmenován řádným profesorem na české univerzitě v Praze. Této pocty se však již nedočkal, protože 22. července ho postihl záchvat mrtvice a následující den v Záboří zemřel. Pod záštitou JČM publikoval řadu svých prací, například známou učebnici pro univerzitní posluchače a zájemce o studiu na vysoké škole „Počet differenciálnýÿ (vydaná v roce 1901 v Praze).
67
Karel Petr Karel Petr se narodil 14. června 1868 ve Zbyslavi u Čáslavi. V Čáslavi vystudoval gymnázium a ve studiu pokračoval na Karlo - Ferdinandově univerzitě v Praze. Již na gymnáziu velmi tíhl k matematice, proto si ji s fyzikou vybral jako studijní obor. Vysokou školu završil složením zkoušky učitelské způsobilosti v roce 1893. Následně pracoval jako středoškolský profesor matematiky a fyziky v Chrudimi, Brně, Olomouci a Přerově. V roce 1902 se habilitoval pro vyšší analýzu a teorii forem na české vysoké škole technické v Brně. O rok později přednášel již jako mimořádný profesor v Praze. Řádným profesorem matematiky na Karlo - Ferdinandově univerzitě byl jmenován až roku 1908. O třicet let později mu byl udělen čestný doktorát Karlovy univerzity a Masarykovy univerzity v Brně. Karel Petr se zabýval problematikou z oblasti analytické teorie čísel, numerické matematiky a geometrie. Významnými díly jsou jeho učebnice diferenciálního a integrálního počtu. „Počet integrálníÿ vyšel dříve než „Počet differenciálníÿ. Obě knihy se staly ve své době základními učebnicemi matematické analýzy. Matematik zemřel v Praze ve věku 82 let dne 14. února 1950.
68
Vojtěch Jarník Dne 22. prosince 1897 se v Praze narodil další významný český matematik 20. století, spisovatel a profesor Vojtěch Jarník. Jako student navštěvoval první českou reálku v Ječné ulici v Praze. Vysokoškolské studium matematiky a fyziky započal v roce 1915 na Karlově univerzitě a o několik let později složil zkoušky učitelské způsobilosti z obou předmětů. Již v průběhu studia na vysoké škole byl asistentem profesora J. Vojtěcha na české technice v Brně. V roce 1921 obhájil doktorát s práci „O kořenech funkcí Besselovýchÿ a odešel na přírodovědeckou fakultu Karlovy univerzity k profesorovi K. Petrovi. Během osmi let na univerzitě se zúčastnil i studijních pobytů v Göttingenu u profesora E. Landaua. V roce 1929 byl Vojtěch Jarník jmenován mimořádným profesorem matematiky na Karlově univerzitě. O šest let později se stal řádným profesorem. Na škole zůstal až do roku 1967, kdy tři roky před svou smrtí (22.září 1970) odešel do penze. V letech 1935 - 1950 zastával funkci vedoucího redaktora matematické sekce „Časopisu pro pěstování matematiky a fyzikyÿ. Vojtěch Jarník se velmi zajímal o historii matematiky, studoval dílo Bernarda Bolzana. Hlavní náplní jeho práce se však stala teorie čísel a matematická analýza. V oboru matematické analýzy byla a je přínosem jeho čtyřdílná učebnice, která se stala základem matematického vzdělání několika generací mládeže nejen na vysoké škole. Nejprve v roce 1938 vydal „Úvod do počtu integrálníhoÿ, což bylo pokračování „Úvodu do počtu diferenciálníhoÿ od Kösslera. Později vydal sám i „Úvod do počtu diferenciálníhoÿ, který rozšířil o počet integrální. Vznikla tak čtyřsvazková učebnice diferenciálního a integrálního počtu. 69
6.2
Autoři významných středoškolských učebnic
Václav Šimerka Václav Šimerka byl český matematik, fyzik, filozof a kněz. Narodil se 20. prosince 1819 ve Vysokém Veselí. Absolvoval gymnázium v Jičíně a pak odešel na filozofickou fakultu do Prahy. V roce 1845 úspěšně ukončil i teologii v Hradci Králové a byl vysvěcen na kněze. Duchovní povinnosti vykonával až do roku 1822 ve Žlunicích u Jičína. Pak odešel opět do Prahy studovat fyziku. V té době již měl absolvovanou zkoušku učitelské způsobilosti z matematiky a z fyziky ji složil později. Nějaký čas vyučoval na gymnáziu v Českých Budějovicích jako suplující profesor. V roce 1862 odešel jako farář do Slatiny u Žamberka. U této profese již zůstal až do své smrti dne 26. prosince 1887. I když Václav Šimerka na učitelské dráze nesetrval výrazně dlouho, napsal řadu významných prací. V roce 1863 napsal „Algebru čili počtářství obecnéÿ. K učebnici patří ještě dodatek o infinitezimálním počtu nazvaný „Přídavek k algebřeÿ. Tato kniha je považována za první česky psanou středoškolskou literaturu o vyšší matematice. Četné jsou i autorova díla publikovaná ve vědeckých či odborných časopisech. Z prací otisknutých v Časopise pro pěstování matematiky a fyziky můžeme jmenovat práce s názvem „Součty celých v lomené aritmetické posloupnostiÿ či „Zbytky z aritmetické posloupnostiÿ.
70
Václav Jandečka Václav Jandečka se narodil 25. srpna 1820 v Poběžovicích u Pardubic. Vystudoval gymnázium v Hradci Králové, a pak odešel do Prahy na filozofickou a právnickou fakultu. Již ve svých 29 letech se stal profesorem matematiky a fyziky na gymnáziu, které sám navštěvoval jako student. Své předměty vyučoval v češtině, což v té době nebylo ještě obvyklé. V roce 1871 odešel do Písku na post ředitele gymnázia, nějaký čas zastával i funkci školního inspektora. Vypracoval se až na školního radu a roku 1880 byl povolán do zemské školní rady jako zástupce zemského školního inspektora pro reálné předměty. Na této pozici setrval až do 1884, kdy odešel na penzi. Zemřel 5. března 1898 v Novém Bydžově. Václav Jandečka byl aktivním členem Jednoty českých matematiků a fyziků a v roce 1870 byl zvolen jejím čestným členem. Z jeho prací můžeme uvést známou čtyřdílnou učebnici „Geometrie pro vyšší gymnasiaÿ. S Josefem Dastichem (1835 - 1870) napsal „Logikuÿ a je autorem i několika příspěvků z geometrie a fyziky v „Riegrově slovníku naučnémÿ.
71
Jan Vojtěch Jan Vojtěch se narodil 5. srpna 1879 v Kyjově. V letech 1890 - 1898 navštěvoval české klasické gymnázium v Uherském Hradišti a po jeho absolvování odešel do Prahy studovat matematiku na filozofickou fakultu Karlo - Ferdinandovy univerzity. Zde také 13. prosince 1902 úspěšně odpromoval a složil zkoušky učitelské způsobilosti z matematiky a fyziky. Již během svého studia působil na střední škole v Praze a po studiích působil i v Olomouci a Lipníku nad Bečvou. Nejdéle setrval na II. české státní reálce v Brně. V srpnu 1909 se habilitoval na České vysoké škole technické v Brně pro matematiku, kde se nakonec stal roku 1920 řádným profesorem. O tři roky později odešel na vysokou školu inženýrského stavitelství Českého vysokého učení technického v Praze, kde setrval déle než 25 let až do své penze. Zemřel 19. ledna 1953. Během svého působení na středních školách napsal sérii učebnic geometrie pro vyšší třídy gymnázia a reálek. Spolu s Bohumilem Bydžovským sepsal „Mathematiku pro nejvyšší třídu reálekÿ. Z vysokoškolských Vojtěchových učebnic můžeme uvést „Základy matematiky ke studiu věd přírodních a technickýchÿ, která vyšla celkem v sedmi vydáních a roku 1926 byla rozšířena o „Přehled vyšší matematikyÿ. Ve své vědecké činnosti se zabýval teorií transformací a jejich grup, teorií rovinných křivek šestého stupně a projektivní geometrií. Vedle toho se zajímal i o popularizaci, historii a didaktiku matematiky.
72
Bohumil Bydžovský Přední český matematik a univerzitní profesor Bohumil Bydžovský se narodil 14. března 1880 v Duchcově. Kvůli zaměstnání otce se často stěhovali na místa s různými jazyky (francouzština, němčina, angličtina a italština). Později své jazykové znalosti ale využil. Po akademickém gymnáziu v Praze, které ukončil v roce 1898 s vyznamenáním, odešel na filozofickou fakultu Karlovy univerzity studovat matematiku a fyziku. Nakonec byl 30. listopadu 1903 promován doktorem filozofie. Rok po studiu se oženil s Ph. Dr. Marii Komínkovou a zplodil s ní dva syny. Bydžovský vyučoval na řadě středních škol a později působil jako docent na Karlově univerzitě v Praze. Až do roku 1917 vypomáhal s přednáškami i na Českém vysokém učení technickém. Tohoto roku se stal mimořádným profesorem Karlovy univerzity a o tři roky později řádným profesorem. Po válce byl zvolen rektorem. Z pravomoci tohoto postu zřizuje pedagogickou fakultu, která přinesla učitelům možnost vysokoškolského vzdělání. Na škole působil až do roku 1957, kdy v 78 letech odešel na trvalý odpočinek do Veselí nad Lužnicí a nakonec 6. května 1969 v Jindřichově Hradci zemřel. Na poli Jednoty českých matematiků a fyziků sestavil v roce 1909 komisi pro sepsání nových, nejen středoškolských, učebnic. Sám se do této činnosti zapojil a napsal učebnice aritmetiky pro vyšší ročníky středních škol (např. „Aritmetika pro V. - VII. třídu středních školÿ ) a spolu s Janem Vojtěchem i sbírku příkladů („Sbírka úloh z matematikyÿ ). Bohumil Bydžovský byl i vynikajícím autorem vysokoškolských učebnic (např. „Úvod do analytické geometrieÿ, „Základy theorie determinantů a matic a jejich užitíÿ ).
73
Eduard Čech Eduard Čech se narodil 29. června 1893 ve Stračově. Byl to významný český matematik 20. století uznávaný i v zahraničí. Absolvoval gymnázium v Hradci Králové a v roce 1912 nastoupil na filozofickou fakultu Karlo - Ferdinandovy univerzity v Praze ke studiu matematiky a deskriptivní geometrie. Kvůli válečné situaci musel studium přerušit a nastoupit do armády, kde sloužil tři roky. Naštěstí nebyl přímo na frontě, a tak se mohl věnovat aspoň studiu jazyků (italština, němčina a ruština). Na konci války se vrátil na univerzitu a vysokoškolská studia řádně dokončil. Lákalo ho učitelské povolání, a tak složil zkoušky učitelské způsobilosti pro matematiku a deskriptivní geometrii. Během praxe na řadě reálkách v Praze zvládl sepsat odbornou práci „O křivkovém a plošném elementu třetího řáduÿ, díky které získat titul doktora filozofie. V roce 1923 byl jmenován mimořádným profesorem matematiky na Masarykově univerzitě v Brně, kde se uvolnilo místo po smrti Matyáše Lercha. Měl přednášet algebru a analýzu. Tyto oblasti matematiky nebyly zrovna jeho středem zájmu, ale brzy do nich pronikl. V roce 1928 byl jmenován řádným profesorem. Od roku 1931 se začal intenzivněji zabývat topologií a již během tří let sepsal práce, ve kterých položil základy této moderní matematické disciplíny. Po konferenci o kombinatorické topologii v Moskvě obdržel nabídku rok přednášet v matematickém středisku Institute for Advanced Study v Princetonu. V roce 1936 se z USA vrátil a založil v Brně topologický seminář. Spolek fungoval i během války až do roku 1941, kdy byl jeden z členů zatčen gestapem. Období do konce války využil Čech k sepsání několika knih a středoškolských učebnic. Z učebnic můžeme jmenovat „Aritmetiku pro I., II., III. třídu střed74
ních školÿ a „Geometrii pro I., II., III a IV. třídu středních a měšťanských školÿ. V roce 1944 vyšly ještě „Poznámky k učebnicím aritmetiky a geometrie středních školÿ. Čechovy učebnice byly dlouho vzorem i pro pozdější autory. Pro středoškolské učitele organizoval i semináře ze středoškolské a elementární matematiky. Dne 6. září 1946 byl jmenován řádným profesorem na přírodovědecké fakultě Karlovy univerzity v Praze a stal se vůdčí osobností matematického života tehdejšího Československa. Během let vznikala řada odborných ústavů, ve kterých obsadil ředitelské posty. Avšak v roce 1954 odešel na nově zřízenou matematicko - fyzikální fakultu, kde zřídil matematický ústav Karlovy univerzity. V té době obdržel další pozvání do Princetonu a do Cambridge, ovšem politická situace v zemi mu nedovolila vycestovat. Na konci svého života se snažil o založení cizojazyčného matematického časopisu „Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinaeÿ. První číslo časopisu vyšlo v roce Čechova úmrtí. Zemřel 15. března 1960 v Praze. Převážná část vědeckých prací Eduarda Čecha je z oblasti diferenciální geometrie a topologie. V roce 1932 publikoval první nekombinatorickou definici kohomologie, která jej proslavila a dnes je označována za Čechovu kohomologii. Celkem publikoval 12 prací z obecné topologie. První vyšla již roku 1930. V roce 1936 vydal svoji známou a úspěšnou knihu „Bodové množinyÿ. Rok před svoji smrtí vypsal „Topologické prostoryÿ, kde shrnul dosavadní poznatky o topologii a rozšířil je o výsledky z brněnského topologického semináře.
75
7
Závěr
Prostudováním učebnic matematiky pro střední školy, které se průběžně při výuce používaly od roku 1860 do současnosti, mohu říci, že se učivo o funkcích značně vyvíjelo. Významným mezníkem v celém vývoji byl rok 1908, od kterého se učivo o funkcích zavádělo a následně rozšířovalo a prohlubovalo. Celá snaha o seznámení žáků se základy matematické analýzy nakonec vyvrcholila zavedením infinitezimálního počtu do středoškolské výuky. Po roce 1949 se ve středoškolské matematice začaly objevovat dva přístupy k definování pojmu funkce. V jednom z případů jsou funkce chápány jako speciální druh zobrazení. Sledované učivo si postupem času vyčleňovalo stále větší oblast ve školské výuce. Dnes je funkcím věnováno více prostoru a funkční myšlení provází téměř všechny oblasti matematiky. Schopnosti nabytých při studiu příslušných partií žáci značně využívají ve fyzice, biologii, chemii, ale i v dalších disciplínách. Vždyť hlavně ve fyzice jsou fyzikální zákony skoro vždy vyjádřeny funkční závislostí a často se znázorňují i graficky. Věřím, že tato práce bude přínosem nejen pro mé budoucí povolání učitele, ale možná i pro studenty učitelství matematiky. Neboť při studování starých i novějších středoškolských matematických knih si člověk teprve uvědomí, že téměř nic není tak přímočaré a jasné. Že i matematické učivo (nejen o funkcích) procházelo někdy bouřlivým vývojem. Domnívám se, že tato diplomová práce vystihla hlavní proud vývoje pojmu funkce v českých středoškolských učebnicích matematiky vydaných po roce 1860. Bylo by však i zajímavé srovnat tento vývoj s knihami německými, které vycházely od začátku minulého století. To by však bylo nad rámec této práce, a proto jej přenechávám pro další zpracování. 76
8
Literatura
[1] NOVOTNÝ, M. Dějiny vyššího školství a vzdělanosti na jihu Čech od středověkých počátků do současnosti. České Budějovice: Jihočeská universita, 2006. [2] KÁDNER, O. Vývoj a dnešní soustava školství. Díl I. Praha: Sfinx, 1929. [3] KÁDNER, O. Vývoj a dnešní soustava školství. Díl II. Praha: Sfinx, 1931. [4] LOMTATIDZE, L. Historický vývoj pojmu křivka. Brno: CERM, 2007. [5] SCHWABIK, Š. Několik postřehů k vývoji matematické analýzy v 19. století, In: Matematika v 19. století. Dějiny matematiky, sv.3. Praha: Prometheus, 1996. [6] KOPÁČKOVÁ, A. Fylogeneze pojmu funkce, In: Matematika v proměnách věků II, Dějiny matematiky, sv.16. Praha: Prometheus, 2001. [7] MIKULČÁK, J. Metodika vyučování matematice na školách II. cyklu, Část speciální. Praha: SPN, 1968. [8] MIKULČÁK, J. Metodika vyučování matematice na školách II. cyklu, Část všeobecná. Praha: SPN, 1964. [9] ŠEDIVÝ, J. Antologie z učebnic matematiky, období 1860-1960. Praha: SNP, 1988. [10] POTŮČEK, J. Vývoj vyučování matematice na českých středních školách v období 1900 - 1945. Plzeň: Pedagogické centrum Plzeň, 1998. [11] KÁDNER, O. Pedagogika, školství a jejich dějiny. Praha: SNP, 1981. 77
[12] ŠEDIVÝ, J. O modernizaci školské matematiky. Praha: SNP, 1977. [13] BYDŽOVSKÝ, B. Naše středoškolská reforma. Praha: Profesorské nakladatelství a knihkupectví, 1937. [14] POTŮČEK, J. Vývoj vzdělávání učitelů elementárních a středních škol, In: Matematika v proměnách věků I, Dějiny matematiky, sv.11. Praha: Prometheus, 1998. [15] VESELÝ, F. 100 let Jednoty československých matematiků a fyziků. Praha: SPN, 1962. [16] VESELÁ, Z. Česká střední škola od národního obrození do druhé světové války. Praha: SPN, 1972. [17] ŠIMERKA, V. Algebra čili počtářství obecné pro vyšší gymnasia. Praha: Dr. E. Grégr, 1863. [18] ŠIMERKA, V. Přídavek k Algebře pro vyšší gymnasia. Praha: Dr. E. Grégr, 1864. [19] JANDEČKA, V. Geometria pro vyšší gymnasia -Trigonometria. Praha: I. L. Kober, 1865. [20] JANDEČKA, V. Geometria pro vyšší gymnasia - Analytická geometria v rovině. Praha: I. L. Kober, 1888. [21] TAFTL, E. Algebra vyšším třídám středních škol českých. Klatovy: Max. Čermák, 1885. [22] MACHOVEC, F. Algebra pro vyšší třídy škol středních. Praha: F. Tempský, 1888. [23] STRNAD, A. Geometrie pro vyšší školy reálné. Praha: F. Kytka, 1898. 78
[24] VOJTĚCH, J. Geometrie pro VI. třídu gymnasií a reálných gymnasií. Praha: JČM, 1911. [25] VOJTĚCH, J. Geometrie pro VII. třídu škol středních. Praha: JČMF, 1924. [26] BYDŽOVSKÝ, B. Aritmetika pro IV. - VII. třídu škol středních. Díl I. a II. Praha: JČMF, 1923. [27] BYDŽOVSKÝ, B., VOJTĚCH, J. Sbírka úloh z matematiky pro vyšší třídy středních škol. Praha: JČM, 1912. [28] BYDŽOVSKÝ, B., VOJTĚCH, J. Mathematika pro nejvyšší třídu reálek. Praha: JČM, 1912. [29] PLAČEK, F. Vývoj vyučování analytické geometrie. Diplomová práce. Brno: MU, 2006. [30] ČERVENÝ, M. Vývoj vyučování goniometrických funkcí v českých matematických učebnicích. Diplomová práce. Brno: MU, 2007. [31] ČECH, E. Matematika pro IV. třídu gymnasií. Praha: Státní nakladatelství učebnic, 1951. [32] KRAEMER, E. Matematika pro II. ročník středních všeobecně vzdělávacích škol. Praha: SPN, 1964. [33] ODVÁRKO, O. Matematika pro II. ročník gymnázií. Praha: SPN, 1985. [34] SAFOREK, M. Středoškolské učebnice matematiky po roce 1910. Diplomová práce. Brno: MU, 2003. [35] SKŘIVÁNKOVÁ, M. Středoškolské učebnice matematiky do roku 1910. Diplomová práce. Brno: MU, 2001. 79
[36] Časopis pro pěstování matematiky a fyziky, roč. 1903, 1909 - 1912, 1923, 1925, 1934, 1947, 1952, 1953, 1970. [37] RIEČAN, B. Matematika pro IV. ročník gymnázií. Praha: SPN, 1987. [38] ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia, Funkce. Praha: Prometheus, 1994. [39] ODVÁRKO, O. Matematika pro gymnázia, Goniometrie. Praha: Prometheus, 2001. [40] HRUBÝ, D., KUBÁT, J. Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet. Praha: Prometheus, 1997. [41] STUDNIČKA, F. J. O počtu differencialním. Pro vysoké školy zejmena technické. Praha: Slavík & Borový, 1878. [42] WEYR, E. Počet differenciálný. Praha: JČM, 1902. [43] PETR, K. Počet differenciální (část analytická). Praha: JČMF, 1923. [44] JARNÍK, V. Úvod do počtu diferenciálního. Praha: Československá akademie věd, 1953. [45] URL: www.math.muni.cz/math/biografie
80
9
Příloha
9.1
Ukázky textů
V předcházejících kapitolách je zpracováno, jak se učivo o funkcích vyvíjelo a jak bylo prezentováno na středních školách. Tento vývoj je však lépe patrný z konkrétních ukázek výkladů v učebnicích. Můžeme se zaměřit na pojem funkce či jeho definici, jak byly prezentovány žákům středních škol. Následující stránky jsou zpracovány tak, že je nejprve uvedena titulní strana učebnice, která byla užívána k výuce tématu a jejíž rozbor je uveden ve čtvrté kapitole. Poté následuje ukázka textu právě z uvedené publikace. Bohužel z učebnic vydaných před rokem 1908 nemůžeme uvést žádnou, protože se funkce neprobíraly. Příslušné ukázky budou vyobrazeny bez dalších komentářů. Jsou zde uvedeny tyto středoškolské učebnice: I) BYDŽOVSKÝ, B.: Aritmetika pro IV. - VII. třídu škol středních. Praha: JČMF, 1923 II) BYDŽOVSKÝ, B., VOJTĚCH, J.: Mathematika pro nejvyšší třídu reálek. Praha: JČM, 1912 III) KRAEMER, E.: Matematika pro II. ročník středních všeobecně vzdělávacích škol. Praha: SPN, 1964 IV) ODVÁRKO, O.: Matematika pro II. ročník gymnázií. Praha: SPN, 1985 V) ODVÁRKO, O: Matematika pro gymnázia, Funkce. Praha: Prometheus, 2007.
81
BYDŽOVSKÝ, B.: Aritmetika pro IV. - VII. třídu škol středních období 1908 - 1948 82
83
BYDŽOVSKÝ, B., VOJTĚCH, J.: Mathematika pro nejvyšší třídu reálek období 1908 - 1948
84
85
KRAEMER, E.: Matematika pro II. ročník SVVŠ období 1948 - 1976
86
87
ODVÁRKO, O.: Matematika pro II. ročník gymnázií období 1976 - 1990
88
89
ODVÁRKO, O: Matematika pro gymnázia, Funkce období 1990 - současnost
90
91
9.2
Tabulky
V předcházejících kapitolách je zpracováno, jak se pojem funkce a učivo o funkcích vyvíjely a jak vše bylo prezentováno na středních školách. Tento vývoj byl popsán v páté kapitole a shrnut v přehledné tabulce. Ta vznikala při podrobném studiu jednotlivých středoškolských učebnic vydaných postupně v časových obdobích 1848 - 1908, 1908 - 1948, 1948 - 1976, 1976 - 1990, 1990 - současnost. V učebnicích byly sledovány pojmy či přístupy související s funkcemi a jejich výskyt byl zaznamenáván do tabulek. Výsledky z učebnic v jednotlivých časových úsecích jsou zde uvedeny v 10 tabulkách (2 tabulky pro 1 období), které jsou řazeny podle stáří knih a jsou v nich užívány tyto symboly: √
učivo (pojem) se v dané učebnici vyskytuje,
∼ učivo (pojem) se v dané učebnici vyskytuje pouze okrajově, χ učivo (pojem) se v dané učebnici nevyskytuje. Následují tabulky výskytu učiva o funkcích v učebnicích z období: I) 1848 - 1908 II) 1908 - 1948 III) 1948 - 1976 IV) 1976 - 1990 V) 1990 - současnost
92
Tab 9.1: Výskyt učiva v období 1848 - 1908, 1. část
93
Tab 9.2: Výskyt učiva v období 1848 - 1908, 2. část 94
Tab 9.3: Výskyt učiva v období 1908 - 1948, 1. část
95
Tab 9.4: Výskyt učiva v období 1908 - 1948, 2. část
96
Tab 9.5: Výskyt učiva v období 1948 - 1976, 1. část
97
Tab 9.6: Výskyt učiva v období 1948 - 1976, 2. část
98
Tab 9.7: Výskyt učiva v období 1976 - 1990, 1. část
99
Tab 9.8: Výskyt učiva v období 1976 - 1990, 2. část
100
Tab 9.9: Výskyt učiva v období 1990 - současnost, 1. část
101
Tab 9.10: Výskyt učiva v období 1990 - současnost, 2. část
102
