Dinamika dan Aplikasi dari Model Epidemologi Hepatitis C Ema Hardika S. (081112005)
Abstrak Jurnal ini membahas tentang simulasi model SEIC pada transimi virus hepatitis C (VHC) yang dibangun oleh Suxia Zhang dan Yicang Zhou, 2012. Simulasi dilakukan dengan menggunakan Matlab R2013a untuk menganalisa kestabilan titik setimbang non endemik dan endemik, menguji tingkat besarnya
yang berpengaruh terhadap jumlah
populasi terinfeksi.
1. Pendahuluan Virus hepatitis C (VHC) adalah sebuah virus RNA yang tergolong family flaviviridae yang bereplikasi di sitoplasma hepatosit tetapi tidak sitopatik secara langsung. Sejak ditemukannya pada tahun 1989, VHC telah dikenal sebagai penyebab utama dari penyakit hati kronis karena ada bukti kuat yang menunjukkan hubungan antara infeksi VHC kronis menjadi sirosis dan karsinoma hepatoselular (kanker hati). WHO memperkirakan bahwa 3% dari populasi dunia telah terifeksi virus hepatitis C (VHC), setara dengan lebih dari 170 juta carrier VHC di seluruh dunia. Infeksi VHC dapat menyebabkan penyakit hati akut dan kronis dengan tingkat keparahan yang berbeda. Infeksi hepatitis C akut sulit untuk didiagnosis karena 70%-80% dari individu yang terinfeksi tidak menunjukkan gejala meski infeksi virus hepatitis C telah terjadi bertahun-tahun. Pengobatan infeksi VHC akut adalah sebuah kesempatan unik untuk mencegah evolusi untuk infeksi kronis, terutama karena beberapa penelitian menunjukkan bahwa infeksi akut sangat sensitif terhadap terapi. Hepatitis C kronis ditandai dengan masih adanya RNA VHC dalam darah selama paling sedikit 6 bulan setelah terjadinya infeksi akut. Hepatitis C kronis dapat berkembang menjadi sirosis dalam waktu 15-20 tahun dan dapat menyebabkan kanker hati setelah sekitar 10-20 tahun. Hepatitis C menular melalui darah, biasanya karena transfusi darah atau jarum suntik yang terkontaminasi virus hepatitis C (VHC). Sebagai pencegahan dan pengobatan dari penularan VHC ini dapat diberikan vaksin dan imunisasi. Namun, sampai saat ini belum ada vaksin yang memadai, dan imunisasi hepatitis C hanya disediakan untuk anak-anak usia balita. Masa inkubasi penyakit hepatitis C adalah 2-6 minggu dimana 60%-70% tanpa gejala,
10%-20% menunjukkan gejala yang tidak spesifik seperti mual, muntah, lemah, tidak nafsu makan, nyeri pada perut dan 20%-30% disertai warna kuning pada kulit (iketus). Berdasarkan uraian diatas, penulis ingin membahas tentang simulasi model SEIC untuk transmisi virus hepatitis C (HCV) (Suxia Zhang dan Yicang Zhou, 2012) dengan menggunakan software Matlab.
2. Formulasi Model Individu rentan mendapatkan infeksi VHC akut terutama melalui paparan darah yang terinfeksi penyakit VHC sementara atau VHC kronis, beralih ke periode laten rata-rata 6–10 minggu dan kemudian menjadi keadaan VHC akut yang relatif singkat dibandingkan dengan tahap kronis. Hepatitis kronis yang berkepanjangan diyakini telah berkembang ketika enzimenzim serum masih tetap abnormal selama minimal 6 bulan. Jika infeksi akut tidak berkembang menjadi infeksi kronis, host (individu yang terinfeksi) secara spontan membersihkan virus dan pulih, sehingga dapat dipertimbangkan perpindahan dari infeksi akut kembali menjadi rentan. Pada model kami, , , , VHC secara berurutan.
menyatakan kelas rentan, infeksi laten, akut, dan kronis dari
menyatakan populasi total, yaitu
. Berikut
persamaan model matematika untuk infeksi VHC: ( ( )
)
(
) (
( (
)
)
) (
)
Keterangan: : laju kelahiran alami : laju kematian alami : koefisien penyebaran (
)
: laju perpindahan dari laten ke infeksi akut : laju perpindahan dari keadaan akut ke keadaan kronis : proporsi perkembangan menuju keadaan kronis : laju perpindahan dari keadaan kronis menjadi individu rentan : laju kematian karena VHC Secara umum, fase akut lebih menginfeksi daripada fase kronis, sehingga dapat kita asumsikan
. Semua parameter pada sistem ( ) adalah non negatif, dan kita
mengambil solusi yang non negatif. Solusi sistem ( ) dengan nilai awal non negatif adalah non negatif dan ada untuk semua
.
Dengan pendekatan matriks generasi berikutnya, kita bisa mendapatkan basic reproductive number (
)
(
)(
(
)
)(
)(
)
dimana (
),
(
)
Titik setimbang non endemik dari model transmisi virus hepatitis C (VHC) adalah sebagai berikut: (
)
(
)
Titik setimbang endemik dari model transmisi virus hepatitis C (VHC) adalah sebagai berikut: (
)
dimana
(
)
( (
)(
)(
) )
(
)(
)
Jelas bahwa hanya ada satu tititk setimbang non endemik saat setimbang endemik yang unik jika
. Karena
, dan ada titik , kita dapat
mempelajari perilaku dinamis dari sistem ( ) pada himpunan invarian positif {(
)
}
3. Metode Metode yang digunakan dalam simulasi model transmisi virus hepatitis C (VHC) adalah ODE 4 dan 5 menggunakan Matlab R2013a. Berikut adalah program untuk simulasi model transmisi virus hepatitis C (VHC):
3.1 Program Utama:
3.2 Simulasi Non Endemik
3.3 Simulasi Endemik
4. Pembahasan 4.1 Potret antara prevalensi VHC terhadap waktu untuk titik setimbang non endemik
Dari grafik diatas, dapat dilihat bahwa untuk
, nilai prevalensi
individu sehat/rentan bertambah kemudian stabil di hari ke-26 dengan nilai prevalensi
menuju titik setimbangnya pada nilai
, nilai prevalensi individu yang berada
pada tahap laten mengalami penurunan kemudian stabil di hari ke-2 dengan nilai prevalensi menuju titik setimbangnya yaitu
, nilai prevalensi individu terinfeksi
VHC akut mengalami penurunan kemudian stabil di hari ke-3 dengan nilai prevalensi menuju titik setimbangnya yaitu
, dan nilai prevalensi individu terinfeksi VHC
kronis mengalami kenaikan kemudian menurun pada hari ke-2 dan mencapai kestabilan di hari ke-8 dengan nilai prevalensi menuju titik setimbangnya yaitu
.
4.2 Potret antara prevalensi VHC terhadap waktu untuk titik setimbang endemik
Dari grafik diatas, dapat dilihat bahwa untuk
, nilai prevalensi
individu sehat/rentan naik kemudian turun dan mencapai kestabilan di hari ke-46 dengan nilai prevalensi menuju titik setimbangnya pada nilai
, nilai prevalensi
individu yang berada pada tahap laten mengalami penurunan kemudian stabil di hari ke-2 dengan nilai prevalensi menuju titik setimbangnya yaitu
, nilai prevalensi
individu terinfeksi VHC akut mengalami penurunan kemudian stabil di hari ke-8 dengan nilai prevalensi menuju titik setimbangnya yaitu
, dan nilai prevalensi
individu terinfeksi VHC kronis mengalami kenaikan kemudian stabil di hari ke-46 dengan nilai prevalensi menuju titik setimbangnya yaitu
.
5. Simpulan Ada beberapa hal yang dapat dipelajari dari model SEIC pada transmisi virus hepatitis C (VHC), antara lain: a. Titik setimbang non endemik akan stabil asimtotis jika endemik akan stabil asimtotis jika ( b. Semakin besar
)(
, dan titik setimbang
dengan )
(
)(
)(
)
maka tingkat prevalensi infeksi VHC akan semakin tinggi,
begitu pula sebaliknya.
Daftar Pustaka Suxia Zhang dan Yicang Zhou, “Dynamics and application of an epidemmiological model for hepatitis C” Mathematical and Computer Modelling 56 (2012): 36-42. Anonim, tanpa tahun, “Penyakit Hepatitis C”, http://penyakithepatitisc.com/, diakses tanggal 29 Juni 2014.
