Differenciál - és integrálszámítás
(Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7)
Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár
Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Debrecen, 2005
A tárgy neve: Differenciál- és integrálszámítás (előadás) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László A tárgy oktatója: Dr. Maksa Gyula Óraszám/hét: 3 Kreditszám: 4 A számonkérés módja: kollokvium
Tematika: Egyváltozós valós függvények differenciálása. Diffrenciálási szabályok. Középértéktételek. Határfüggvény és összegfüggvény differenciálása. Elemi függvények diffrenciálhányadosai. Magasabbrendű deriváltak. Taylor-sorok. Függvényvizsgálat a differenciálszámítás eszközeivel. Primitív függvény, módszerek a primitív függvények meghatározására. Egyváltozós valós függvények Riemann-integrálja. Integrálhatósági feltételek. A Riemannintegrál alapvető tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula. Az integrálfüggvény folytonossága, differenciálhatósága. A Riemann-integrál néhány alkalmazása.
Ajánlott irodalom: Császár Ákos: Valós Analízis I-II, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1999. Lajkó Károly: Analízis II, Debreceni Egyetem, Matematikai és Informatikai Intézet, Debrecen, 2003. Lajkó Károly: Kalkulus I, Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Debrecen, 2003. Lajkó Károly: Kalkulus I. példatár, Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Debrecen, 2003. Leindler László-Schipp Ferenc: Analízis I, Tankönyvkiadó, Budapest, 1990. Makai Imre: Diffrenciál- és integrálszámítás, egyetemi jegyzet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1992. Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1978. Szász Pál: A diffrenciál- és integrálszámítás elemei I, Typotex Kiadó, 2000.
A tárgy részletes tematikája: 1.hét: A differenciálhányados, jobb- illetve baloldali differenciálhányados, példák. A differenciálhányados geometriai és fizikai jelentése. Differenciálhatóság és lineáris approximáció. Differenciálhatóság és folytonosság. Műveleti szabályok: összeg, számszoros, szorzat illetve hányados differenciálhányadosa. 2.hét: Láncszabály, az inverz függvény differenciálhányadosa. Példák. A helyi szélsőérték fogalma, létezésének szükséges feltétele. A differenciálszámítás középértéktételei: Rolle, Lagrange, Cauchy és Darboux tétele. 3.hét: A határátmenet és a differenciálhatóság felcserélhetősége. Függvénysorok tagonkénti differenciálása. A derivált sor konvergenciasugara. Magasabbrendű differenciálhányadosok.
4.hét: Az exponenciális-, a logaritmus-, a hatvány- és a trigonometrikus függvények differenciálhányadosai. Az arcus-, a hiperbolikus- és az area függvények differenciálhányadosai. 5.hét: Differenciálható függvények létezésének elegendő feltétele.
monotonitásának
vizsgálata.
Helyi
szélső-érték
6.hét: Differenciálható függvények konvexitásának vizsgálata. Inflexió. Nevezetes egyenlőtlenségek: a súlyozott számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség, Hölder egyenlőtlenség, Minkowski egyenlőtlenség. 7.hét: A L’Hospital szabály és alkalmazásai. Taylor tétele, Taylor sorok. 8.hét: Az exponenciális-, a logaritmus-, a trigonometrikus-, a hiperbolikus- és a hatványfüggvények Taylor sorai. A helyi szélsőérték létezésének elegendő feltétele többször differenciálható függvények esetén. 9. hét: Primitív függvény. (Határozatlan integrál.) Elemi függvények primitív függvényei. Integrálási szabályok: függvények összegének, számszorosának integrálja. Parciális integrálás. Helyettesítéses integrálás. 10.hét: Integrálási módszerek: racionális törtfüggvények integrálása, parciális törtekre bontás. Racionalizáló
helyettesítések.
∫ R(cos x, sin x)dx
és
∫ R ( x,
ax 2 + bx + c )dx
típusú
integrálok, ahol R racionális törtfüggvény, a, b, c pedig adott valós számok. 11.hét: A Riemann-integrál fogalma, geometriai jelentése. Alsó- és felső integrál. Összeg és számszoros integrálhatósága és integrálja. A Riemann-kritérium és következményei: folytonos, illetve monoton függvények integrálhatósága. A leszűkítés integrálhatósága. Az integrál additivitása. 12.hét: Az abszolút érték, a szorzat illetve a hányados integrálhatósága. Középértéktétel a Riemann-integrálra. Az integrál monotonitása. A Riemann-integrál és a határátmenet. A Newton-Leibniz-formula. Területszámítás. 13.hét: Az integrálfüggvény folytonossága, differenciálhatósága. Integrálási szabályok: parciális és helyettesítéses integrálás. 14.hét: A Riemann-integrál néhány további alkalmazása: görbék ívhossza, forgástestek térfogata, forgásfelületek felszíne, fizikai alkalmazások (nyomatékok, súlypont).
A tárgy neve: Differenciál- és integrálszámítás (gyakorlat) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László A tárgy oktatója: változó Óraszám/hét: 3 Kreditszám: 3 A számonkérés módja: gyakorlati jegy
Tematika: Ld. elmélet Ajánlott irodalom: Ld. elmélet, továbbá Gyemidovics B.P.: Matematikai analízis feladatgyüjtemény, Tankönvkiadó, Budapest, 1966. Lajkó Károly: Kalkulus II. példatár, Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Debrecen, 2004. Rimán János: Matematikai analízis feladatgyüjtemény I-II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1992. Szabó Tamás: Kalkulus példatár és feladatsorok, Polygon, Szeged, 2000.
A tárgy részletes tematikája: 1.hét: A differenciálhányados, jobb- illetve baloldali differenciálhányados kiszámítása a definíció alapján. Példa csak egyetlen pontban differenciálható függvényre. Példa folytonos függvényre, amely előre adott véges sok pontban nem differenciálható. Az érintő egyenletének felírása konkrét függvények esetén megadott pontokban. 2. hét: A műveleti szabályok alkalmazása: összeg, számszoros, szorzat illetve hányados differenciálhányadosa. Többtényezős szorzat differenciálása. Példák a láncszabály és az inverz függvény differenciálási szabályának alkalmazására. 3.hét: A differenciálszámítás középértéktételeinek alkalmazásai: polinomok zéróhelyei, Lipschitz-típusú egyenlőtlenségek igazolása néhány elemi függvényre. 4.hét: Példák, amelyekben a határátmenet és a differenciálás sorrendje nem cserélhető fel. Nevezetes függvények magasabbrendű differenciál-hányadosainak meghatározása. Leibniz tétele szorzatfüggvény magasabbrendű differenciálhányadosainak kiszámítására. 5.hét: Adott differenciálható szélsőértékhelyek meghatározása.
függvények
monotonitásának
vizsgálata.
Helyi
6.hét: Adott differenciálható, illetve kétszer differenciálható függvények konvexitásának vizsgálata. Inflexiós helyek meghatározása. 7.hét: Zárthelyi dolgozat az első hat hét anyagából.
8.hét: A L’Hospital szabály és alkalmazásai. Közvetlen alkalmazások és a 0 ⋅ ∞,1∞ , ∞ 0 ,,határozatlan alakok”. 9.hét: Nevezetes függvények Taylor sorainak felírása és konvergenciájának vizsgálata. A helyi szélsőértékek meghatározása többször differenciálható függvények esetén. 10.hét: Adott függvények primitív függvényeinek meghatározása az integrálási szabályok (függvények összegének, számszorosának integrálja, parciális integrálás, helyettesítéses integrálás) segítségével. 11.hét: Racionális törtfüggvények integrálása a parciális törtekre bontás módszerével.
∫ R(cos x, sin x)dx
és
∫ R ( x,
ax 2 + bx + c )dx típusú integrálok kiszámítása adott R
racionális törtfüggvény és adott a, b, c valós számok esetén. 12.hét: Példák olyan függvénysorozatokra illetve függvénysorokra, amikor a Riemannintegrál és a határátmenet nem cserélhető fel. A Riemann-integrál kiszámítása a NewtonLeibniz-formula segítségével. Terület-számítás. 13. hét: Zárthelyi dolgozat a 8.-12. hét anyagából. 14. hét: A Riemann-integrál néhány további alkalmazása: görbék ívhosszának, forgástestek térfogatának, forgásfelületek felszínének kiszámítása. Nyomatékok kiszámítása. Síklemezek, görbedarabok, forgástestek és forgásfelületek súlypontjának meghatározása.
