Diferenci´aln´ı rovnice kolem n´as Petr Kaplick´y Den otevˇren´ ych dveˇr´ı MFF UK 2012
Praha, 29. 11. 2012
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
1 / 24
Pl´an
1
Let Felixe B.
2
P´ad (s odporem prostˇred´ı)
3
Newton˚ uv probl´em optim´aln´ıho aerodynamick´eho profilu
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
2 / 24
Let Felixe B.
Pl´an
1
Let Felixe B.
2
P´ad (s odporem prostˇred´ı)
3
Newton˚ uv probl´em optim´aln´ıho aerodynamick´eho profilu
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
3 / 24
Let Felixe B.
Video a motivace
Experiment´aln´ı data Skok z v´yˇsky 39 km. Doba letu 9:09 min. Z toho voln´ym p´adem 4:29 min. Po 33s dosaˇzena rychlost 1130 km h−1 (313 m s−1 ). Motivace Pˇrekonat voln´ym p´adem rychlost zvuku. Co je to rychlost zvuku a jak je velik´a?
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
4 / 24
Let Felixe B.
Standardn´ı model atmosf´ery
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
5 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
Pl´an
1
Let Felixe B.
2
P´ad (s odporem prostˇred´ı)
3
Newton˚ uv probl´em optim´aln´ıho aerodynamick´eho profilu
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
6 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
´ Uvod do modelov´an´ı s(t) . . . pozice objektu v ˇcase t Jak urˇcit rychlost objektu?
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
7 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
´ Uvod do modelov´an´ı s(t) . . . pozice objektu v ˇcase t Jak urˇcit rychlost objektu?
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
7 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
´ Uvod do modelov´an´ı s(t) . . . pozice objektu v ˇcase t Jak urˇcit rychlost objektu?
Rychlost oznaˇc´ıme v = s 0 a zrychlen´ı a = v 0 (derivace). Tyto rovnosti jsou prototypy diferenci´aln´ıch rovnic, rovnic, ve kter´ych vystupuj´ı derivace.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
7 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
´ Uvod do modelov´an´ı s(t) . . . pozice objektu v ˇcase t Jak urˇcit rychlost objektu?
Rychlost oznaˇc´ıme v = s 0 a zrychlen´ı a = v 0 (derivace). Tyto rovnosti jsou prototypy diferenci´aln´ıch rovnic, rovnic, ve kter´ych vystupuj´ı derivace. Jak vypoˇc´ıtat pohyb tˇelesa o hmotnosti m, na kter´e p˚ usob´ı s´ıla F ? 2. Newton˚ uv pohybov´y z´akon (bilance hybnosti): mv 0 = F
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
7 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
P´ad ve stratosf´eˇre
T´ıhov´a s´ıla: F = mg , kde g = 9.8 m s−2 je t´ıhov´e zrychlen´ı. Pro rychlost Felixe B. dost´av´ame diferenci´aln´ı rovnici v 0 (t) = g
pro t > 0
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou v (0) = 0, ˇreˇsen´ı je v (t) = gt.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
8 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
P´ad ve stratosf´eˇre
T´ıhov´a s´ıla: F = mg , kde g = 9.8 m s−2 je t´ıhov´e zrychlen´ı. Pro rychlost Felixe B. dost´av´ame diferenci´aln´ı rovnici v 0 (t) = g
pro t > 0
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou v (0) = 0, ˇreˇsen´ı je v (t) = gt. Po 33 s je tedy rychlost 323,4 m s−1 =1164,2 km h−1 . Coˇz odpov´ıd´a ˇc´ıslu ve zpr´avˇe o letu (1130 km h−1 ).
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
8 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
Standardn´ı model atmosf´ery
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
9 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
P´ad ve stratosf´eˇre s odporem prostˇred´ı
2. Newton˚ uv pohybov´y z´akon mv 0 = F ,
kde F = F1 + F2
F1 = mg . . . t´ıhov´a s´ıla F2 . . . odporov´a s´ıla prostˇred´ı
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
10 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
P´ad ve stratosf´eˇre s odporem prostˇred´ı
2. Newton˚ uv pohybov´y z´akon mv 0 = F ,
kde F = F1 + F2
F1 = mg . . . t´ıhov´a s´ıla F2 . . . odporov´a s´ıla prostˇred´ı Newton˚ uv odporov´y vzorec S´ıla F2 o velikosti |F2 | = 12 CSρv 2 p˚ usob´ı proti rychlosti pohybu. C . . . odporov´y souˇcinitel S . . . pr˚ uˇrez objektu ρ . . . hustota prostˇred´ı
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
10 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
P´ad ve stratosf´eˇre s odporem prostˇred´ı 2 Pro rychlost Felixe B. dost´av´ame diferenci´aln´ı rovnici v0 = g −
CSρv 2 2m
pro t > 0
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou v (0) = 0. Konstanty urˇc´ıme n´asledovnˇe: ρ = 0, 02 kg m3 , C = 1, S = 0, 5 m2 , m = 120 kg.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
11 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
P´ad ve stratosf´eˇre s odporem prostˇred´ı 2 Pro rychlost Felixe B. dost´av´ame diferenci´aln´ı rovnici v0 = g −
CSρv 2 2m
pro t > 0
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou v (0) = 0. Konstanty urˇc´ıme n´asledovnˇe: ρ = 0, 02 kg m3 , C = 1, S = 0, 5 m2 , m = 120 kg. 1 2 CSρ Rovnici lze explicitnˇe vyˇreˇsit. Oznaˇc´ıme-li K = 2mg , plat´ı v (t) =
1 e 2gKt − 1 . K e 2gKt + 1
Po dosazen´ı dostaneme: v (33) = 1123 km h−1 (ve zpr´avˇe 1130 km h−1 ). Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
11 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
P´ad ve stratosf´eˇre s odporem prostˇred´ı 3 Rychlost letu v ˇcase [0, 40] s
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
12 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
Standardn´ı model atmosf´ery
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
13 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
P´ad tˇesnˇe nad moˇrem Pro rychlost Felixe B. dost´av´ame diferenci´aln´ı rovnici 1 0 v = 1 − K 2v 2 g
pro t > 0
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou v (0) = 0. Na povrchu Zemˇe je hustota vzduchu asi ρ = 1.26 kg m−3 . Lze spoˇc´ıtat, ˇze rychlost Felixe B. se s rostouc´ım ˇcasem vˇzdy bl´ıˇz´ı hodnotˇe v+∞ = 1/K . S konstantami ρ = 1, 26 kg m−3 , C = 1, S = 1 m2 , m = 120 kg je v+∞ = 155 km h−1 . Pouˇzije-li pad´ak o ploˇse 25 m2 , bude v+∞ = 31 km h−1 .
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
14 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
Brˇzdˇen´ı bez pad´aku
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
15 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
Modelov´an´ı cel´eho letu Pohyb se st´ale ˇr´ıd´ı rovnic´ı v0 = g −
CSρv 2 2m
pro t > 0
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou v (0) = 0, ale nyn´ı je hustota vzduchu z´avisl´a na pozici Felixe B. Hustotu atmosf´ery urˇc´ıme pomoc´ı: ρ(s) = ρ0 exp((ρ0 g (s − 39000)/p0 ), kde ρ0 = 1.26 kg m−3 , g = 9.8 m s−2 , p0 = 101325 Pa.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
16 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
Modelov´an´ı cel´eho letu Pohyb se st´ale ˇr´ıd´ı rovnic´ı v0 = g −
CSρv 2 2m
pro t > 0
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou v (0) = 0, ale nyn´ı je hustota vzduchu z´avisl´a na pozici Felixe B. Hustotu atmosf´ery urˇc´ıme pomoc´ı: ρ(s) = ρ0 exp((ρ0 g (s − 39000)/p0 ), kde ρ0 = 1.26 kg m−3 , g = 9.8 m s−2 , p0 = 101325 Pa. V´ıme: s 0 = v a dost´av´ame pro s rovnici s 00 = g −
CSρ0 exp((ρ0 g (s − 39000)/p0 )(s 0 )2 2m
t>0
s poˇc´ateˇcn´ı podm´ınkou s(0) = 0, s 0 (0) = 0. Tuto rovnici uˇz neum´ım ˇreˇsit analyticky a proto pouˇzijeme numerick´y software. Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
16 / 24
P´ ad (s odporem prostˇred´ı)
Pr˚ ubˇeh cel´eho letu
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
17 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Pl´an
1
Let Felixe B.
2
P´ad (s odporem prostˇred´ı)
3
Newton˚ uv probl´em optim´aln´ıho aerodynamick´eho profilu
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
18 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Modelov´an´ı Jak urˇcit odporov´y souˇcinitel? Newton (1685) ˇreˇsil n´asleduj´ıc´ı probl´em: naleznˇete tˇeleso s minim´aln´ım odporem vzduchu. Co to je minim´aln´ı odpor vzduchu?
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
19 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Modelov´an´ı Jak urˇcit odporov´y souˇcinitel? Model Newton (1685) ˇreˇsil n´asleduj´ıc´ı probl´em: naleznˇete tˇeleso s minim´aln´ım odporem vzduchu. Co to je minim´aln´ı odpor vzduchu? Pˇredpoklady: ˇr´ıdk´a tekutina, elastick´a sr´aˇzka, z´akon zachov´an´ı hybnosti Pˇr´ıklady: C = 12 pro kouli, C = 1 pro plochou desku Jak asi vypad´a optim´aln´ı tvar? Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
19 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Aplikace
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
20 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Matematick´a formulace probl´emu (osov´a symetrie) Hled´ame funkci w tak, aby w (0) ≥ 0, w (M) = R, w 0 ≥ 0 na (0, M) R M (t)w 0 (t)3 w (0)2 byl C = 0 w1+w 0 (t)2 dt + 2 minim´aln´ı
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
21 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Matematick´a formulace probl´emu (osov´a symetrie) Hled´ame funkci w tak, aby w (0) ≥ 0, w (M) = R, na (0, M) R M (t)w 0 (t)3 C = 0 w1+w 0 (t)2 dt + minim´aln´ı
Funkce w w0
≥0
w (0)2 2
byl
Probl´em lze pˇrev´est na ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice na (0, M) w (t)
w 0 (t)3 c = 0 2 2 (1 + w (t) ) 2
pro vhodn´e c > 0.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
21 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Osovˇe symetrick´a ˇreˇsen´ı ˇ sen´ı lze nal´ezt v parametrick´em tvaru: Reˇ t(z) = c2 ( z12 + lg z + w (z) =
c 2
(1+z 2 )2 z3
3 4z 4
+ A),
.
Konstanty c a A jsou urˇceny poˇzadavky t(1) = 0, w (M) = R.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
22 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Nesymetrick´a ˇreˇsen´ı Pokud vynech´ame pˇredpoklad osov´e symetrie, budeme ˇreˇsit n´asleduj´ıc´ı probl´em. Bud’ K kruh o polomˇeru R. Najdˇeme w : K → [0, M] tak, ˇze w avn´ı R je konk´ 1 aln´ı K 1+|∇w (x)|2 dx je minim´ Je optim´aln´ı ˇreˇsen´ı osovˇe symetrick´e?
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
23 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Nesymetrick´a ˇreˇsen´ı Pokud vynech´ame pˇredpoklad osov´e symetrie, budeme ˇreˇsit n´asleduj´ıc´ı probl´em. Bud’ K kruh o polomˇeru R. Najdˇeme w : K → [0, M] tak, ˇze w avn´ı R je konk´ 1 aln´ı K 1+|∇w (x)|2 dx je minim´ Je optim´aln´ı ˇreˇsen´ı osovˇe symetrick´e? Brock, Ferone, Kawohl (1996)-ˇreˇsen´ı nen´ı nikdy osovˇe symetrick´e Lachand-Robert, Peletier (2001)-explicitn´ı tvar ˇreˇsen´ı
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
23 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Z´avˇer
Pomoc´ı Newtonov´ych z´akon˚ u jsme modelovali p´ad v prostˇred´ı (s odporem).
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
24 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Z´avˇer
Pomoc´ı Newtonov´ych z´akon˚ u jsme modelovali p´ad v prostˇred´ı (s odporem). Naˇsli jsme optim´aln´ı aerodynamick´y profil.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
24 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Z´avˇer
Pomoc´ı Newtonov´ych z´akon˚ u jsme modelovali p´ad v prostˇred´ı (s odporem). Naˇsli jsme optim´aln´ı aerodynamick´y profil. Zjistili jsme, ˇze nˇekter´a “zˇrejm´a” fakta nejsou pravdiv´a.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
24 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Z´avˇer
Pomoc´ı Newtonov´ych z´akon˚ u jsme modelovali p´ad v prostˇred´ı (s odporem). Naˇsli jsme optim´aln´ı aerodynamick´y profil. Zjistili jsme, ˇze nˇekter´a “zˇrejm´a” fakta nejsou pravdiv´a. I v klasick´ych matematick´ych probl´emech je moˇzn´e dos´ahnout nov´ych v´ysledk˚ u.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
24 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Z´avˇer
Pomoc´ı Newtonov´ych z´akon˚ u jsme modelovali p´ad v prostˇred´ı (s odporem). Naˇsli jsme optim´aln´ı aerodynamick´y profil. Zjistili jsme, ˇze nˇekter´a “zˇrejm´a” fakta nejsou pravdiv´a. I v klasick´ych matematick´ych probl´emech je moˇzn´e dos´ahnout nov´ych v´ysledk˚ u. Diferenci´aln´ı rovnice jsou kolem n´as (na MFF UK).
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
24 / 24
Newton˚ uv probl´ em optim´ aln´ıho aerodynamick´ eho profilu
Z´avˇer
Pomoc´ı Newtonov´ych z´akon˚ u jsme modelovali p´ad v prostˇred´ı (s odporem). Naˇsli jsme optim´aln´ı aerodynamick´y profil. Zjistili jsme, ˇze nˇekter´a “zˇrejm´a” fakta nejsou pravdiv´a. I v klasick´ych matematick´ych probl´emech je moˇzn´e dos´ahnout nov´ych v´ysledk˚ u. Diferenci´aln´ı rovnice jsou kolem n´as (na MFF UK). Dˇekuji V´am za pozornost.
Petr Kaplick´ y (KMA MFF UK)
Diferenci´ aln´ı rovnice kolem n´ as
24 / 24
