(Dengan Pendekatan Vektor) Oleh: Murdanu, M.Pd

(Dengan Pendekatan Vektor)

Oleh: Murdanu, M.Pd.

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2004

SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011

1. Diberikan titik A(4,3,2) dan B( 2,3,2). Carilah persamaan vektor suatu garis yang: (a) melalui O dan A; (b) melalui B dan sejajar dengan OA ; (c) melalui A dan sejajar dengan OB ; (d) melalui A dan B. 2. Diberikan titik A(0,1,2), B(3,0,0), C( 1, 2, 1): (a) Carilah persamaan vektor garis-garis yang memuat sisi-sisi ABC; (b) Carilah persamaan vektor garis yang melalui A dan sejajar dengan BC ; (c) Carilah persamaan vektor garis yang melalui B dan sejajar dengan CA ; (d) Carilah persamaan vektor garis yang melalui C dan sejajar dengan AB . 3. Diberikan titik-titik A( 1,0,0), B(5, 1,9), dan C(9, 5,15) dan garis g dengan persamaan: x y z

g

3 2 6

2 1 3

. Selidikilah: apakah A, B, C

g?

4. Gambar berikut merupakan visualisasi dari sebuah limas beraturan T.ABCD. AB = OT = 4 sp. z T

D

A

O C

B y

x

(a) Jika P merupakan titik tengah TB , carilah persamaan vektor garis OP ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang memuat TD ! (c) Kemukakan pendapatmu tentang OP dan TD ! (d) Jika Q, R, dan S berturut-turut titik-titik tengah dari AB , AD , dan DT , carilah persamaan vektor dari PQ dan RS ! (e) Kemukakan pendapatmu tentang PQ dan RS

5. Carilah persamaan vektor dari bidang-bidang yang melalui titik-titik: (a) O(0,0,0), A(2, 3,4), B( 5, 2,1); (b) D(3,0,0), E(0,2,0), F(0,05); (c) G(0,0,4), H(1, 2,4), I(3,1,4). Apakah keistimewaan bidang-GHT ? 6. Carilah persamaan vektor dari bidang yang melalui A(3, 4,2), dan memuat vektor-vektor: a

2 3 1

dan

1 2 . 0

b

7. Carilah persamaan vektor dari bidang yang: (a) melalui garis-garis g

h

x y z

4 1 2

1 2 1

x y z

; (b) melalui titik (3, 2,1) dan memuat garis k

0 2 3 x y z

1 2 1 2 1 3

dan 2 5 1

.

Written by Mur&u, halaman 1

SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011 8. Lukiskan sebuah kubus ABCD.EFGH yang memiliki ukuran rusuk 4 sp., sedemikian, sehingga D=O (pusat sistem koordinat siku-siku), sumbu-x memuat DA , sumbu-y memuat DC , dan sumbu-z memuat DH . Carilah persamaan vektor dari: (a) bidang-sisi- ABFE dan bidang-sisi-EFGH; (b) bidang-diagonal-ABGH dan bidang-diagonal-ACGE; (c) bidang-AFH dan bidang BEG. 9. Selidikilah! Apakah titik-titik A(4, 2, 2) dan B( 7,4,4) terletak pada bidang: x y z

0 0 1

1 1 0

2 2 0

?

10. Selidikilah! Apakah titik-titik A( 1,3, 1), B(0,0, 2), C(2,0,1), dan D(5, 3,5) terletak pada satu bidang? x y z

11. Selidikilah! Apakah garis-garis: g

k

x y z

2 0 0

1 2 1

x y z

0 1 3

1 0 2

x y z

0 2 1

2 1 7

x y z 2 1 1

x y z

,h

0 4 0

2 1 0

5 2 2

1 2 0

2 0 1

,

?

terletak pada bidang

!

x y z

13. Selidikilah! Apakah garis-garis m

bidang

2 0 4

, sejajar dengan bidang

12. Tunjukkanlah bahwa garis g x y z

0 0 3

3 1 2

6 2 3 0 1 4

dan n

x y z

0 2 0

3 0 2

menembus

? Apabila kedua garis tersebut menembus bidang

tersebut, carilah koordinat-koordinat titik tembusnya! 14. Carilah koordinat-koordinat titik tembus sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z dengan bidang x y z

2 6 0

2 0 5

2 3 0

!

15. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH. Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB , BC , GH , EH . Ukuran rusuk kubus tersebut 2a sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Carilah persamaan vektor dari bidang- yang melalui P, Q, R, dan S; (b) Carilah koordinat-koordinat titik potong bidangTunjukkanlah bahwa KG

dengan AE dan CG . (c) K

AE

BE .

bidang- .


SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011 a1 a2 a3

16. Vektor-vektor a c1 c2 c3

vektor c

b1 b2 b3

dan b

d1 d2 d3

dan d

adalah vektor-vektor arah sebuah bidang- , dan vektor-

adalah vektor-vektor arah sebuah bidang- . Rumuskanlah ciri

kesejajaran antara bidang- dan bidang- dengan menggunakan determinan. 17. Selidikilah! Apakah pasangan-pasangan bidang berikut sejajar ataukah berpotongan: (a)

x y z

(b)

x y z

(c)

x y z

4 3 5

1 0 1

8 5 0

4 0 1 2 3 1

2 2 0

2 1 0

dan

x y z

4 5 1

2 3 0

dan

x y z

0 7 5

x y z

dan

4 2 3

0 1 2

3 2 1 0 6 1

0 1 1

; 2 3 2

2 5 3

;

.

18. Tunjukkanlah bahwa bidang-bidang berikut berimpit: x y z

1 1 0

2 3 0

1 0 2

x y z

dan

0 4 2

1 3 2

0 3 4

!

19. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. . Titik-titik P, Q, R, S, berturut-turut merupakan titik tengah dari AB , EH , AD , BC . Tunjukkanlah bahwa: (a) BH bidang PDE ; (b) PQ bidang

RSH ; (c) bidang-DGQ bidang-ASF.

20. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang-bidang x y z

0 2 0

1 0 2

1 2 0

dan

x y z

1 0 0

0 1 2

!

21. Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakang perpotongan antara bidang x y z

3 6 0

3 2 0

1 2 1

dengan bidang-bidang koordinat XOY, XOZ, dan YOZ.

22. Diberikan titik-titik A(3,0,1), B(5,1,1), dan C(4, 1, 1). (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A, B, dan C; (b) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui titik P(5,2,0) dan sejajar dengan bidang- ; (c) Carilah persamaan vektor garis-garis yang merupakan perpotongan antara bidang-XOZ dan bidang- , bidang-XOZ dan bidang- ; (d) Tunjukkan kedua garis tersebut saling sejajar.


SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011 x y z

23. Diketahui bidang- melalui garis-garis: g

0 0 4

0 1 0

x y z

dan h

8 0 0

0 1 0

, dan

bidang- melalui titik-titik O(0,0,0), A(6,0,3), dan B(0,3,2). Carilah persamaan vektor dari garis yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang- ! x y z

24. Bidang- memuat garis k

0 2 1

1 0 2

dan garis-garis yang sejejar dengan sumbu-z.

Carilah persamaan vektor bidang- dan persamaan vektor garis potong yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang XOY. 25. Hitunglah cosinus dari sudut antara pasangan-pasangan garis berikut: x y z

(a) g

0 3 2

x y z

(b) m

0 2

dan h

x y z

1 0 2

dan n

x y z

2 1 3

2 3

0 0 1

4 2 1

3 4 0

;

3 5 2

.

26. Garis k melalui titik-titik A( 5,8,5) dan B(5, 7,0); garis j melalui titik-titik C( 9, 7,0) dan D(6,2,3). (a) Apakah kedua garis tersebut berpotongan? (b) Apabila kedua garis tersebut: (1) Tentukanlah m (j,k); (2) Carilah koordinat dari E = j k. 27. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 2 sp. P adalah titik tengah AB dan Q BG CF . Pilihlah sebuah sistem koordinat siku-siku untuk kondisi tersebut. (a) Hitunglah cosinus dari: (1) m ( DF , DP ) ; (2) m ( DF , DG ) ; (3) m ( DF , EC ) ; (b) Buktikan bahwa DF menyilang tegaklurus, masing-masing dengan BE , BG , EG . 28. Carilah persamaan vektor garis-garis yang melalui titik (3,2,0), sejajar dengan bidang-XOZ, dan membentuk sudut berukuran

29. Diketahui sebuah garis g

1 4

x y z

dengan garis k

0 0 4

2 3 1

x y z

1 2 0

2 2 1

.

x y z

dan bidang

2 1 0

(a) Selidikilah! Apakah g bidang- ?; (b) Bidangsumbu-z = A, A h, dan h persamaan vektor dari garis h!; (c) Jelaskan hubungan antara g dan h ! 30. Diketahui bidang-

bidang- dan garis g. Buktikanlah: g

g

1 0 2

1 1 1

.

bidang- . Carilah

.

31. Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui A(3,1,0) dan tegaklurus dengan garis k

x y z

0 2 5

2 3 4

dan tentukan koordinat dari B = bidang-

k.


SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011 32. (a) Carilah persamaan vektor garis m yang melalui titik B(0,3,7) dan memotong tegaklurus garis n

x y z

0 3 2

1 1 2

;

(b) Tentukanlah koordinat S = m (c) Tentukan m BS !

n;

33. Buktikanlah, bahwa dalam kubus ABCD.EFGH: (a) AG

BDE ;

bidang

(b) AG

CFH .

bidang

34. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah EF . Pilih D berimpit dengan pusat sistem koordinat siku-siku. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui P dan tegaklurus dengan DF ; (b) Carilah persamaan vektor garis yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang BCGF. 35. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas 4 sp., dan ukuran garis tingginya m OT 4 sp. Pilihlah suatu sistem koordinat siku-siku dengan OT berimpit dengan sumbu-z. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui D dan tegaklurus dengan TB ! ; (b) Tentukan koordinat titik potong bidang- dengan TB !; (c) Carilah persamaan vektor garis-potong antara bidang- dan bidang-ABT ! 36. Tentukanlah ukuran sudut antara garis g dan bidang- yang memiliki persamaan-persamaan vektor berikut:

(a) g

x y z

1 1 2

x y z

(b) g

x y z

0 1 0

1 1 2

(c) g

x y z

8 5 7

1 1 2

3 8 5

4 0 3

dan

x y z

1 1 1

dan

x y z

dan

2 3 0 0 2 1

3 10 8

;

;

2 1 1

1 1 2

.

37. Lukislah sebuah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P adalah titik tengah FG dan Q AH DE . (a) Tentukan m ( DF , bidang

BDG ) ;

(b) Tentukan m ( BQ , bidang

ACGE ) .

38. Lukislah sebuah limas beraturan T.ABCD, dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp. O AC BD dan P adalah titik tengah CT . (a) Tentukanlah m ( BP , bidang BDT ) ; (b) Tentukanlah m ( BT , bidang

BDP ) .

39. Hitunglah cos m ( , ) yang persamaan-persamaan vektornya diberikan berikut: (a)

x y z

2 0 1

0 1 1

dan

x y z

1 0 2

0 1 1

;


SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011 (b)

x y z

2 1 5

(c)

x y z

5 1 3

0 0 1

3 1 4

0 1 2

dan

x y z

dan

x y z

1 0 2

0 0 2

0 1 0

1 2 1

; 1 1 0

.

40. Lukislah kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. P, Q, R berturut-turut merupakan titik-titik tengah dari AB , AE , BC . Tentukanlah: (a) m (bidang-DPE, bidang-DPF); (b) cos m (bidangHQR, bidang-ABC) ; (c) m (bidang-HQR, bidang-ADH); (d) m (bidang-HQR, bidang-DCG). 41. Lukislah limas beraturan T.ABCD dengan ukuran rusuk bidang alas dan tingginya 4 sp. (a) Carilah persamaan vektor bidang- yang melalui B dan tegaklurus DT ; (b) Hitunglah cos m (bidang- , bidang-DPF); (c) Tentukanlah koordinat titik potong antara DT dan bidang- ; (d) Carilah persamaan vektor garis potong antara bidang- dan bidang-BCT. 42. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan ukuran rusuk 6 sp. (a) EF terletak pada bidang- yang tegaklurus terhadap bidang-DBE; (b) Carilah persamaan vektor tiap garis potong yang merupakan perpotongan antara bidang- dan bidang-bidang koordinat; (c) adalah ukuran sudut antara bidangXOY dan proyeksi EF pada bidang DBE. Tentukanlah sin !



A. PERMUKAAN PUTAR f (x, z) 0 . Buktikan bahwa jika y 0

1. Sebuah kurva pada bidang-XOZ diwakili oleh persamaan

z > 0 sebuah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva tersebut mengelilingi sumbu-x adalah f x , y 2 2. Buktikan, bahwa f

x

2

2

y ,z

z

2

0.

0 adalah sebuah persamaan permukaan yang diperoleh

dengan memutar kurva yang persamaannya

f (x, z) 0 mengelilingi sumbu-z, dan jika y 0

diandaikan bahwa x > 0. 3. Tentukanlah persamaan permukaan yang diperoleh dengan memutar kurva yang mengelilingi sumbu yang ditunjukkan, kemudian lukiskan permukaan tersebut! 2

a)

x

b)

x

c)

x

d)

9y

e)

9y

f)

y 2

y 2

16 z , sumbu-x 0

g)

16 z , sumbu-z 0

h)

y z

2

16 0

2

4z x

2

4z

z

4y 0

2

0

2

z

y

i)

y z

36

j)

x

2

, sumbu-z

36

k)

x

2

, sumbu-y

, sumbu-x

l)

sin x , sumbu-y 0

cos x , sumbu-x z 0

, sumbu-x

0

x

3x

2

y

2y

x

e 0

, sumbu-y 2

4y z 0 2

4y z 0

z x

4 0

16

, sumbu-x

16

, sumbu-y

0

, sumbu-z

B. PERMUKAAN SILINDER DAN KERUCUT Lukislah permukaan silinder, kerucut, atau sebuah permukaan putar yang dituliskan persamaannya berikut (pilihlah sumbu putarnya) 1. x2 + y2 = 16

6. x = ez

11. y2 + z2 = 4

16. x = cos z

2. y – 3 = 0

7. y2 – z2 = 49

12. z = sinh x

17. 9x2 + 4y2 = 36

3. x2 – 4z = 0

8. z = cosh x

13. 4x2 – 9z2 = 36

18. z2 + x2 = 4

4. 4x2 – y2 = 16

9. x = tg y

14. z2 – 16y = 0

19. y2 – 9z2 = 16

5. y = sin x

10. y = x

15. 2x – 3y = 6

20. z2 – 9y = 0

21. x2 – y2 = z2

26. 4x2 + z2 = 16

31. x2 + y2 = 25

36. z + 2y – 6 = 0

22. y2 = 4z

27. z2 + 4y = 0

32. z2 + 4y2 = 4

37. x2 + y2 = z2


SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011 23. x2 – y2 + x – y – 6 = 0

28. x2 – 4yz = 0

33. xy = 5

38. 4y2 + 9z2 = 36

24. xy = yz

29. x – 3y + 3 = 0

34. z2 – y2 = 0

39. x2 = 4y

25. y2 + z2 = 16

30. 9z2 + 9y2 = x2

35. xz + yz = 0

40. y2 – z2 = 16x2

C. BOLA 1. Tentukan persamaan bola dengan pusat dan jari-jarinya diberikan berikut: a) Bola A( 1,2,3), 4)

c) Bola(B(3,1, 2), 1)

e) Bola(D(2,0, 3), 5)

b) Bola(O(0,0,0), 6)

d) Bola(C( 1, 1,0), 3)

f) Bola(E(0, 4,1), 10)

2. Tentukan pusat dan jari-jari bola-bola berikut ! a) Bola

x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – 6z – 11 = 0

b) Bola

2x2 + 2y2 + 2z2 – 4x + 6z – 3 = 0

c) Bola

x2 + y2 + z2 + 2y – 4z – 4 = 0

d) Bola

3x2 + 3y2 + 3z2 – x + 7y + 3z – 3 = 0

e) Bola

x2 + y2 + z2 – 6x + 4z – 36 = 0

3. Diameter sebuah bola adalah ruasgaris dengan ujung-ujung (5,2, 1) dan ( 3,4,7) Tentukan persamaan bola tersebut ! 4. Sebuah bola melalui titik-titik (2,1,3), (1, 1,2), dan ( 1,3, 1). Pusat bola tersebut terletak pada bidang 3x + y – z – 2 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut! 5. Sebuah bola melalui titik-titik (2, 1,1), dan (1,3,2). Pusat bola tersebut terletak pada garis 3x + 6 = 2y – 3 = 3z. Tentukan persamaan bola tersebut! 6. Sebuah bola berpusat di titik ( 2,3,1) dan menyinggung bidang 2x – y + 2z – 7 = 0. Tentukan persamaan bola tersebut! 7. Sebuah bola berpusat di titik (1,1, 3) dan menyinggung bidang x – 2y – 2z – 7 = 0 pada titik (3, 1, 1). Tentukan persamaan bola tersebut! 8. Sebuah bola melalui titik-titik (1, 1,2), dan (2,1,1). Pusat bola tersebut terletak pada garis x = y + 3 = z + 1. Tentukan persamaan bola tersebut! 9. Sebuah bola menyinggung bidang 2x – y + 2z + 3 = 0 dan berpusat di titik (3,1,5). Tentukan persamaan bola tersebut! D. ELLIPSOIDA 1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) x2 + 4y2 + 16z2 = 144

e) x2 + 9y2 + 9z2 = 81

b) 9x2 + y2 + 4z2 = 36

f) 4x2 + 9y2 + 4z2 = 1

c) 16x2 + 9y2 + 4z2 = 144

g) 5x2 + 25y2 + 25z2 = 25

d) 4x2 + 4y2 + 9z2 = 36

h) x2 + y2 + 4z2 = 4


SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011 2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut! 2 a) 9 x

z

2 b) 9 x

z

2 c) 5 x

y

4y

2

4y

2

z 0

2 f) 25 y

2 g) 4 x

z

; sumbu putarnya sumbu-y

15

2

0

4

2

z

2


0

; sumbu putarnya sumbu-z

625


0 3y

2

z

2


0

16

12

; sumbu putarnya sumbu-x

0

2 h) 25 y

x

36

0

2 e) x

x

2

3z

4z 0

y


0

2 d) y

x

36

0

625


0

E. PARABOLOIDA ELLIPTIK 1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) 4x2 + 9y2 = 4z

d) 3x2 + z2 – 27y = 0

b) 9x2 + 4z2 = 36y

e) 2z2 + y2 – 18x = 0

c) z2 + 4y2 – 12x = 0

f) 4x2 + 9y2 = –27z

2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut! 2 a) x

z

2 b) x

z

2 c) 4 y

x

2 d) 4 y

x

2 e) 2 x

y

6y

0


6y

0


0

0 9z

0


9z

0


0

0

25 z 0

0



SOAL – SOAL LATIHAN GEOMETRI ANALITIK RUANG PROGRAM STUDI MATEMATIKA TAHUN AKADEMIK 2010/2011 2 f) 6 z

x

2 g) 9 y

z

2 h) 5 y

z

15 y

0


0 24 x

0


12 x

0


0

0

F. HIPERBOLOIDA 1. Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) 4x2 + 9y2 b) 36y2

9z2 = 36

g) 4z2 + 9y2

16x2 + 9z2 = 144

h) 4x2

x2 = 64

y2

16z2 = 16

c) 4x2 + 9y2

z2 = 36

i) y2

d) 9x2 + 4z2

16y2 = 144

j) 9z2 – 16x2

e) 16y2 + 9z2

4x2 = 36

f) 4z2 – x2 + 4y2 – 16 = 0

2z2 + 4x2 + 16 = 0 y2 + 25 = 0

k) 5x2 – 15z2 + y2 + 25 = 0 l) y2 + 3x2

9z2 + 27 = 0

2. Tentukan persamaan permukaan putar dari kurva-kurva dan sumbu putarnya dituliskan berikut! 2 a) 2 x

z

2 b) x

y

2 c) 4 y

x

2 e) 3 z

x

2 f) 3 z

x

2 g) y

z

2 h) y

z

4

0

z 0

2

9

9z



2

36


0

2 d) 16 z

y

2

3y

25 x

2

25

0 5y

2

5y

2

15


15


0

0 x

2

x

2

1


1


0

0




G. PARABOLOIDA HIPERBOLIK Lukislah tiap-tiap persamaan berikut! a) 9x2

y2 = 4z

d) 16y2

b) 4x2

16z2 + 25y = 0

e) 2z2

c) y2 z2 = x

f) 25 y2

9z2 = –144x 5x2 = 10y x2 = 100z

H. PERMUKAAN YANG DIBENTUK OLEH GARIS-GARIS LURUS Selidikilah tiap-tiap permukaan yang dibentuk oleh garis-garis lurus berikut! 1. z = xy 2. 9x2 – 4y2 = z 3. 9x2 + 4y2 – z2 = 36 4. y2z2 – y2 + 9x2 = 0


(Dengan Pendekatan Vektor) Oleh: Murdanu, M.Pd

Recommend Documents