Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

7 Na´hodny´ vektor. Neza´vislost na´hodny´ch velicˇin. Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení X : Ω → Rn , které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor. Měřitelností se rozumí, že pro X platí {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ A,

∀B ∈ Bn ,

(1)

∀x ∈ Rn .

(2)

nebo ekvivalentně {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ∈ A,

VII.2 Věta. Zobrazení X = (X1 , . . . , Xn ) : Ω → Rn je náhodným vektorem právě tehdy, jsou-li X1 , . . . , Xn náhodné veličiny. VII.3 Věta. Je-li ϕ : Rn → Rm Bn -měřitelné zobrazení a je-li X nrozměrný náhodný vektor, potom Y = ϕ(X) je m-rozměrný náhodný vektor. Pravděpodobnostní chování náhodného vektoru se popisuje (obdobně jako u náhodné veličiny) pomocí distribuční funkce a pomocí rozdělení pravděpodobností. Definice 7.4 Nechť X = (X1 , . . . , Xn ) je náhodný vektor definovaný na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P). Distribuční funkce náhodného vektoru X je reálná funkce FX definovaná na Rn vztahem FX (x1 , . . . , xn ) = P(X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn ) = P(X ≤ x),

x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn .

VII.5 Věta. [o vlastnostech distribuční funkce] Distribuční funkce FX (x1 , . . . , xn ) n-rozměrného náhodného vektoru X má tyto vlastnosti: 1. lim FX (x1 , . . . , xn ) = 1, lim FX (x1 , . . . , xn ) = 0. ∀i xi →∞

∃i xi →−∞

2. FX (x1 , . . . , xn ) je zprava spojitá v každé proměnné (při pevných hodnotách ostatních n − 1 proměnných). 3. Pro všechna ai , bi , −∞ < ai ≤ bi < ∞, i = 1, . . . , n, platí X P P(a1 < X1 ≤ b1 , . . . , an < Xn ≤ bn ) = (−1) εj FX (c1 , . . . , cn ) ≥ 0 , kde εj = 0 nebo εj = 1, (j = 1, . . . , n), cj = aj εj + bj (1 − εj ), 59

4. FX (x1 , . . . , xn ) je neklesající funkcí každé své proměnné (při pevně daných hodnotách ostatních n − 1 proměnných). VII.6 Věta. [o postačujících podmínkách pro distribuční funkci FX ] Nechť funkce G : Rn → R1 má vlastnosti 1, 2, 3 uvedené v předchozí větě. Potom existuje pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a na něm definovaný náhodný vektor X tak, že G(x1 , . . . , xn ) je jeho distribuční funkcí. Definice 7.7 Nechť X = (X1 , . . . , Xn ) je náhodný vektor definovaný na (Ω, A, P). Množinovou funkci PX definovanou na borelovské σ-algebře Bn vztahem PX (B) = P(X ∈ B),

∀B ∈ Bn ,

nazýváme rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X. Definice 7.8 Distribuční funkce FX (x1 , . . . , xn ) náhodného vektoru X se nazývá diskrétní, existuje-li konečná nebo nekonečná prostá pon sloupnost P {xm }, xm ∈ R , a odpovídající posloupnost kladných čísel {pm }, pm = 1, takové, že X FX (x1 , . . . , xn ) = pm , ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . (3) m:xm ≤x

Má-li náhodný vektor X diskrétní distribuční funkci, říkáme, že X je diskrétního typu (krátce: diskrétní) a jeho rozdělení pravděpodobností se také nazývá diskrétní. Poznámka. Funkce splňující vztah (??) vyhovuje předpokladům věty o postačujících podmínkách pro distribuční funkci a je proto distribuční funkcí nějakého náhodného vektoru. m Náhodný vektor X nabývá právě hodnot xm = (xm 1 , . . . , xn ) s pravděpodobnostmi pm = P(X = xm ). Množina M = {xm } tvoří obor hodnot diskrétního náhodného vektoru X. Funkci pm definované na M se říká pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru. X = (X1 , . . . , Xn ) je diskrétní právě tehdy, jsou-li diskrétní náhodné veličiny Xj pro každé j = 1, . . . , n. Označíme-li Mj ⊂ R1 obor hodnot náhodné veličiny Xj , j = 1, . . . , n, je M = M1 × · · · × Mn . Uvažujme osudí, ve kterém jsou kuličky n různých barev a nechť pravděpodobnost, že vybereme kuličku j-té barvy je rovna číslu pj , j = 1, . . . , n. Z osudí vybereme r-krát po jedné kuličce, po každém výběru kuličku vrátíme zpět do osudí. Označme Xj náhodnou veličinu, která je rovna počtu vybraných kuliček j-té barvy, j = 1, . . . , n, v těchto r tazích. Určete pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru X = (X1 , . . . , Xn ). VII Náhodný vektor. Nezávislost náhodných veličin.

60

Hodnoty xm = (x1m , . . . , xnm ) náhodného vektoru X jsou ty body prostoru Rn , pro jejichž souřadnice platí xjm ∈ {0, 1, . . . , r},

n X

xjm = r,

j = 1, . . . , n.

(4)

j=1

pravděpodobnostní funkce X je rovna p(xm ) = P(X = xm ) = P(X1 = x1m , . . . , Xn = xnm ) = r r − x1m r − x1m − · · · − xn−1,m ··· (p1 )x1m (p2 )x2m · · · (pn )xnm = x1m x2m xnm

=

r! (p1 )x1m · · · (pn )xnm , (5) x1m !x2m ! · · · xnm ! r kde kombinační číslo x1m udává počet možností pro výběr x1m r−x1m kuliček 1. barvy, x2m je počet možností, jak lze ve zbývajících r − x1m tazích vybrat x2m kuliček 2. barvy atd. Tyto výběry lze vzájemně kombinovat, součin kombinačních čísel udává počet těchto kombinací. Každá kombinace (posloupnost r tahů, v nichž 1. barva byla tažena právě x1m -krát, druhá barva právě x2m krát, . . ., n-tá barva právě xnm -krát) má pravděpodobnost (p1 )x1m · · · (pn )xnm , protože obsah osudí se nemění, výsledky jednotlivých tahů jsou nezávislé. Náhodný vektor X, který má pravděpodobnostní funkci p(xm ) danou vzorcem (??) a obor hodnot M = {xm }, kde souřadnice splňují (??), má tzv. multinomické rozdělení pravděpodobností s parametry r, p1 , . . . , pn . Zvláštní případy: Pro n = 2 se jedná o binomické rozdělení (dva možné výsledky pokusu), pro n = 3 se jedná o tzv. trinomické rozdělení (tři možné výsledky pokusu). Obdobně jako pro diskrétní náhodnou veličinu X platí i pro diskrétní náhodný vektor X X = (X1 , . . . , Xn ) následující vztahy: 1. P(X ∈ B) = pm , ∀B ∈ Bn , =

xm ∈B

2. Je-li ϕ(x1 , . . . , xn ) : Rn → R1 borelovská funkce, potom pro náhodnou veličinu Y = ϕ(X) platí X P(Y ≤ y) = pm , y ∈ R 1 . {m:ϕ(xm )≤y}

E(Y ) = E[ϕ(X)] =

X

ϕ(xm )pm .

m

VII Náhodný vektor. Nezávislost náhodných veličin.

61

Definice 7.9 Distribuční funkce FX (x1 , . . . , xn ) se nazývá absolutně spojitá, existuje-li nezáporná borelovsky měřitelná funkce f (x1 , . . . , xn ) : Rn → R1 taková, že Z x1 Z xn f (t1 , . . . , tn ) dt1 . . . dtn , ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . FX (x1 , . . . , xn ) = ··· −∞

−∞

Funkce f (x1 , . . . , xn ) se nazývá hustota (rozdělení pravděpodobností) náhodného vektoru X. Má-li náhodný vektor X absolutně spojitou distribuční funkci, říkáme, že je absolutně spojitého typu (krátce: absolutně spojitý) a jeho rozdělení pravděpodobností se nazývá absolutně spojité. Poznámka. Obdobně jako u absolutně spojité náhodné veličiny platí: ∂n 1. f (x1 , . . . , xn ) = FX (x1 , . . . , xn ), skoro všude vzhle∂x1 . . . ∂xn dem k n-rozměrné Lebesgueově míře. 2. Je-li f (x1 , . . . , xn ) ≥ 0 borelovsky měřitelná funkce taková, že Z ∞ Z ∞ ··· f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn = 1, −∞

−∞

pak je hustotou nějakého absolutně spojitého náhodného vektoru. 3. Pro absolutně spojitý náhodný vektor X platí Z Z P(X ∈ B) = · · · f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn , ∀B ∈ Bn . B

4. Je-li ϕ(x1 , . . . , xn ) : Rn → R1 borelovsky měřitelná funkce, platí pro náhodnou veličinu Y = ϕ(X) Z Z P(Y ≤ y) = ··· f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn , y ∈ R1 , {x:ϕ(x)≤y} Z ∞ Z ∞ E[ϕ(X)] = ··· ϕ(x1 , . . . , xn )f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxn . −∞

−∞

Příklad 7.10 Dvourozměrné rovnoměrné rozdělení v obdélníku ha1 , b1 i× ha2 , b2 i, a1 < b1 , a2 < b2 , má náhodný vektor X = (X1 , X2 ), který má hustotu 1 , pro − ∞ < ai ≤ xi ≤ bi < ∞, i = 1, 2, f (x1 , x2 ) = (b1 −a1 )(b2 −a2 ) 0, jinde, tj. X nabývá hodnot v daném obdélníku. VII Náhodný vektor. Nezávislost náhodných veličin.

62

Příklad 7.11 Dvourozměrné normální rozdělení náhodného vektoru X = (X1 , X2 ) je charakterizováno hustotou f (x1 , x2 ) = n · exp −

1 p · 2πσ1 σ2 1 − %2

h (x − µ )2 1 (x1 − µ1 )(x2 − µ2 ) (x2 − µ2 )2 io 1 1 , − 2% + 2(1 − %2 ) σ12 σ1 σ2 σ22 (x1 , x2 ) ∈ R2 .

Značíme X ∼ N2 (µ1 , µ2 , σ12 , σ22 , %), kde µi ∈ R1 , σi > 0, i = 1, 2, |%| < 1 jsou parametry. Příklad 7.12 Regulární n-rozměrné normální rozdělení má náhodný vektor X, který má hustotu 1 1 −1 T f (x1 , . . . , xn ) = exp − (x − µ)V (x − µ) , n√ 2 (2π) 2 detV x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , kde µ = (µ1 , . . . , µn ) ∈ Rn a V = (vij )ni,j=1 je pozitivně definitní reálná matice. Označujeme X ∼ Nn (µ, V ), kde µj , vij , i, j = 1, . . . , n jsou parametry tohoto rozdělení. Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) a na něm n náhodných veličin X1 , . . . , Xn . Dokázali jsme, že X = (X1 , . . . , Xn ) je náhodný vektor a naopak, že všechny složky náhodného vektoru jsou náhodné veličiny. Odpovíme na dvě otázky: a) Známe-li rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X, můžeme jednoznačně určit rozdělení pravděpodobností libovolného podvektoru (Xi1 , . . . , Xik ), k = 1, . . . , n − 1, 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, tedy také rozdělení pravděpodobností libovolné náhodné veličiny Xi , i = 1, . . . , n? b) Známe-li rozdělení pravděpodobností všech složek X1 , . . . , Xn , lze obecně určit rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X? Definice 7.13 Náhodný vektor (Xi1 , . . . , Xik) se nazývá marginální náhodný vektor příslušný k náhodnému vektoru X, jeho distribuční funkci FXi1 ,...,Xik (xi1 , . . . , xik ) nazýváme marginální distribuční funkcí k distribuční funkci FX (x1 , . . . , xn ) a obdobně rozdělení pravděpodobností marginálního náhodného vektoru se nazývá marginální rozdělení pravděpodobností příslušné k rozdělení PX . VII.14 Věta. [o marginálním rozdělení] Nechť X = (X1 , . . . , Xn ), n ≥ 2, je náhodný vektor, potom lim FX (x1 , . . . , xn ) = FX1 ,...,Xn−1 (x1 , . . . , xn−1 ),

xn →∞

xj ∈ R1 , j = 1, . . . , n.


63

VII.15 Věta. Nechť X = (X1 , . . . , Xn ) je náhodný vektor, FX (x1 , . . . , xn ) jeho distribuční funkce. Pro distribuční funkci náhodného vektoru (Xi1 , . . . , Xik ), k = 1, . . . , n − 1, 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n platí FXi1 ,...,Xik (xi1 , . . . , xik ) =

lim

xj →∞,∀j6=i1 ,...,ik

FX (x1 , . . . , xn ) .

Důsledek. Rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobností jeho libovolného podvektoru (Xi1 , . . . , Xik ). VII.16 Věta. Nechť X = (X1 , . . . , Xn ) je diskrétní náhodný vektor, p(x), x ∈ M = M1 × · · · × Mn , jeho pravděpodobnostní funkce. Pro pravděpodobnostní funkci pj (xj ), xj ∈ Mj , j = 1, . . . , n, náhodné veličiny Xj platí X X X X p(x1 , . . . , xn ), xj ∈ Mj , j = 1, . . . , n. ··· ··· pj (xj ) = x1 ∈M1

xj−1 ∈Mj−1 xj+1 ∈Mj+1

xn ∈Mn

Poznámka. 1. Tvrzení lze zřejmě zobecnit pro marginální pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (Xi1 , . . . , Xik ), k = 2, . . . , n − 1, 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n. Sčítání hodnot pravděpodobnostní funkce p(x) náhodného vektoru X bychom provedli pro všechna xj ∈ Mj , ∀j 6= ir , r = 1, . . . , k. 2. Má-li X = (X1 , X2 ) konečný počet hodnot, lze pravděpodobnostní funkci zapsat do tabulky. Označme pro zjednodušení zápisů pij = P(X1 = x1i , X2 = x2j ), kde x1i označuje i-tou hodnotu náhodné veličiny X1 a x2j označuje j-tou hodnotu náhodné veličiny X2 . X2 Q Q X 1Q

x11 .. . x1i .. . xP 1r

x21 p11 .. .

... ...

pi1 .. . pr1

... ...

x2j p1j .. .

... ...

pij .. . prj

... ...

x2s p1s .. . pis .. . prs

P(X2 = x21 ) . . . P(X2 = x2j ) . . . P (X2 = x2s )

P P(X1 = x11 )

.. .

P(X1 = x1i )

.. .

P(X1 = x1r )

1

Hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí jsou v posledním řádku event. sloupci, tedy na okrajích tabulky. Odtud pravděpodobně vznikl název marginální rozdělení. Pro n = 2 je jednodušší zapisovat náhodný vektor symbolem (X, Y ), M = M1 × M2 , M1 = {x1 , . . . , xr }, M2 = {y1 , . . . , ys }. Do tabulky zapisujeme čísla pij = P(X = xi , Y = yj ). VII Náhodný vektor. Nezávislost náhodných veličin.

64

Příklad 7.17 V osudí je 12 losů, z nich 2 vyhrávají 1. cenu, 4 vyhrávají 2. cenu a 6 losů nevyhrává. Vybereme náhodně 2 losy. Označme X — počet tažených losů, které vyhrávají 1. cenu, Y — počet tažených losů, které vyhrávají 2. cenu. Určete pravděpodobnostní funkci náhodného vektoru (X, Y ), marginální rozdělení pravděpodobností a distribuční funkci tohoto náhodného vektoru. Obor hodnot náhodného vektoru (X, Y ) je množina M = {(xi , yj ) : 0 ≤ xi ≤ 2, 0 ≤ yj ≤ 2, 0 ≤ xi + yj ≤ 2} . 4 2 6 pij = P(X = xi , Y = yj ) =

xi

yj

2−xi −yj 12 2

(xi , yj ) ∈ M.

,

Hodnoty pij uspořádáme do tabulky yj Q xQi Q 0 1

2 P

0

1

2

5 22 2 11 1 66 28 66

4 11 4 33

1 11

0

0

32 66

6 66

P 45 66 20 66 1 66

0

= P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) 1

P(Y = 0) P(Y = 1) P(Y = 2)

Do následující tabulky zapíšeme hodnoty distribuční funkce X X F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) = pij , (x, y) ∈ R2 , {i,j:xi ≤x,yj ≤y)}

PP y ∈ x ∈PPP(−∞, 0)

(−∞, 0) h0, 1) h1, 2) h2, ∞)

0 0 0 0

h0, 1) h1, 2) h2, ∞) 0 0 0 5 22 9 22 28 66

13 22 59 66 60 66

15 22 65 66

1

VII.18 Věta. Nechť X = (X1 , . . . , Xn ) je absolutně spojitý s hustotou f (x1 , . . . , xn ). Potom je náhodná veličina Xj , j = 1, . . . , n, absolutně spojitá s hustotou Z Z fj (xj ) = · · · f (x1 , . . . , xn ) dx1 . . . dxj−1 dxj+1 . . . dxn , xj ∈ R1 . Rn−1

Poznámka. 1. V bodech, kde nelze f1 (x1 ) určit, protože v nich neexistuje derivace F10 , lze hustotu f1 libovolně dodefinovat, obvykle v těchto bodech pokládáme hustotu za nulovou. VII Náhodný vektor. Nezávislost náhodných veličin.

65

2. Tvrzení předchozí věty můžeme přirozeně zobecnit na libovolný podvektor (Xi1 , . . . , Xik ) náhodného vektoru X, pouze zápis je složitější. Např. pro n = 3, X = (X1 , X2 , X3 ) je Z ∞Z ∞ Z ∞ f (x1 , x2 , x3 ) dx1 dx2 . f (x1 , x2 , x3 ) dx2 , f3 (x3 ) = f13 (x1 , x3 ) = −∞

−∞

−∞

Příklad 7.19 Určete simultánní hustotu f (x1 , x2 ) a marginální hustoty f1 (x) a f2 (x), má-li náhodný vektor X = (X1 , X2 ) rovnoměrné rozdělení ve čtverci C s vrcholy (0, 1), (1, 0), (−1, 0), (0, −1) Rovnoměrné rozdělení ve čtverci C znamená,R že hustota je nad C ∞ R∞ konstantní a mimo C nulová. Protože musí platit −∞ −∞ f (x1 , x2 ) dx1 dx2 = 1, je třeba zvolit 1 , pro (x1 , x2 ) ∈ C, f (x1 , x2 ) = 2 0, jinde.  0, pro |x| ≥ 1,  R x1 +1 1 dx2 = x1 + 1, pro − 1 < x1 ≤ 0, f1 (x1 ) = −x1 −1 2   R −x1 +1 1 dx2 = 1 − x1 , pro 0 < x1 < 1, 2 x1 −1 Odpověď na druhou otázku z úvodu této sekce *) je záporná: Marginálními distribučními funkcemi (pravděpodobnostními funkcemi event. hustotami) není jednoznačně určena (simultánní) distribuční funkce náhodného vektoru, jak ukazuje následující příklad. Příklad 7.20 Nechť X = (X1 , X2 ), Y = (Y1 , Y2 ) jsou diskrétní náhodné vektory se stejným oborem hodnot M = {0, 1}×{0, 1} a s pravděpodobnostními funkcemi zadanými v tabulkách P X2 Q Q 0 1 X 1Q 1 1 1 = P(X1 = 0) 0 4 4 2 1 1 1 1 = P(X2 = 1) 4 4 2 P 1 1 1 2 2 P(X2 = 0) P(X2 = 1) Y2 Q YQ 1 Q

0

1 P

0

1 8 3 8 1 2 P(Y2 =

P

1

0)

3 8 1 8 1 2 P(Y2 =

1 2 1 2

= P(Y1 = 0) = P(Y2 = 1) 1

1)

Jednorozměrná rozdělení náhodných veličin X1 , Y1 a X2 , Y2 jsou shodná, ale náhodné vektory X, Y mají odlišné pravděpodobnostní funkce a tedy také distribuční funkce. *) Známe-li

rozdělení pravděpodobností všech složek X1 , . . . , Xn , lze obecně určit rozdělení pravděpodobností náhodného vektoru X?


66

Již jsme ukázali, že k určení distribuční funkce FX (x1 , . . . , xn ) náhodného vektoru X = (X1 , . . . , Xn ) nestačí znalost marginálních distribučních funkcí FXj (x), j = 1, . . . , n, jednotlivých složek tohoto vektoru. Distribuční funkce FX je ovlivněna ještě dalším faktorem: závislostí náhodných veličin X1 , . . . , Xn . V aplikacích se užívají zejména nezávislé náhodné veličiny, jejichž definice je odvozena od nezávislosti určitých náhodných jevů. Nezávislost náhodných veličin je pojem, který je specifický pro teorii pravděpodobnosti. Definice 7.21 Nechť X = {X1 , . . . , Xn } resp. X = {X1 , X2 , . . .} je systém náhodných veličin. Řekneme, že náhodné veličiny tohoto systému jsou nezávislé, jestliže pro libovolná reálná x1 , . . . , xn resp. libovolná reálná x1 , x2 , . . . jsou nezávislé náhodné jevy (X1 ≤ x1 ), . . . , (Xn ≤ xn ) resp. (X1 ≤ x1 ), (X2 ≤ x2 ), . . ., tj. platí-li ∀k ≥ 2 a každou k-tici náhodných veličin (Xi1 , . . . , Xik ) vybranou ze systému X F(Xi1 ,...,Xik ) (x1 , . . . , xk ) =

k Y

FXij (xj ),

∀(x1 , . . . , xk ) ∈ Rk ,

(6)

j=1

kde F(Xi1 ,...,Xik ) (x1 , . . . , xk ) je distribuční funkce náhodného vektoru (Xi1 , . . . , Xik ) a FXij (x) je distribuční funkce náhodné veličiny Xij , j = 1, . . . , k. Poznámka. Z definice nezávislosti je zřejmé, že platí tvrzení: Jsou-li náhodné veličiny v systému X nezávislé, jsou nezávislé také náhodné veličiny v libovolném podsystému X1 ⊂ X. VII.22 Věta. Nechť F(X1 ,...,Xn ) (x1 , . . . , xn ) je (simultánní) distribuční funkce náhodného vektoru X = (X1 , . . . , Xn ) a FXj (x), j = 1, . . . , n, marginální distribuční funkce náhodné veličiny Xj , j = 1, . . . , n. Náhodné veličiny X1 , . . . , Xn jsou nezávislé právě tehdy, když ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . (7) VII.23 Věta. Nechť X1 , . . . , Xn jsou nezávislé náhodné veličiny a nechť ϕj (x) : R1 → R1 , j = 1, . . . , n, jsou borelovsky měřitelné funkce. Potom jsou náhodné veličiny Y1 = ϕ1 (X1 ), . . . , Yn = ϕn (Xn ) také nezávislé. VII.24 Věta. Diskrétní náhodné veličiny X1 , . . . , Xn jsou nezávislé právě tehdy, když pro pravděpodobnostní funkci pX náhodného vektoru X = (X1 , . . . , Xn ) a marginální pravděpodobnostní funkce pj náhodných veličin Xj , j = 1, . . . , n, platí F(X1 ,...,Xn ) (x1 , . . . , xn ) = FX1 (x1 ) · · · FXn (xn ) ,

pX (x1 , . . . , xn ) = p1 (x1 ) · · · pn (xn ) ,

∀(x1 , . . . , xn ) ∈ M1 ×· · ·×Mn = M, (8) kde Mj je obor hodnot náhodné veličiny Xj , j = 1, . . . , n. VII Náhodný vektor. Nezávislost náhodných veličin.

67

Příklad 7.25 Diskrétní náhodný vektor (X, Y ) má pravděpodobnostní funkci danou tabulkou P Q QY 4 5 6 X Q 1 0.2 0.1 0.1 0.4 = P(X = 1) 2 0.1 0.2 0 0.3 = P(X = 2) 3P 0.1 0 0.2 0.3 = P(X = 3) 0.4 = P(Y = 4) 0.3 = P(Y = 5) 0.3 = P(Y = 6) 1 Jsou náhodné veličiny X, Y nezávislé? Podle předchozí věty jsou tyto veličiny nezávislé právě tehdy, když pro každé políčko tabulky platí, že simultánní pravděpodobnost v něm uvedená je součinem příslušných marginálních pravděpodobností. Protože např. P(X = 1, Y = 4) = 0.2 6= P(X = 1) · P(Y = 4) = 0.4 · 0.4 = 0.16 je zřejmé, že náhodné veličiny X, Y nejsou nezávislé. VII.26 Věta. Spojité náhodné veličiny X1 , . . . , Xn jsou nezávislé právě když pro hustotu fX (x1 , . . . , xn ) náhodného vektoru X = (X1 , . . . , Xn ) a marginální hustoty fj (x) náhodných veličin Xj , j = 1, . . . , n, platí fX (x1 , . . . , xn ) = f1 (x1 ) · · · fn (xn ) pro skoro všechna (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . (9) Příklad 7.27 Náhodný vektor (X1 , X2 ) má hustotu x1 + x2 , je-li (x1 , x2 ) ∈ (0, 1) × (0, 1), f (x1 , x2 ) = 0, jinde. Rozhodněte, zda jsou X1 , X2 nezávislé. Řešení: Určíme nejprve marginální hustoty R1 (x1 + x2 ) dxj = xi + 21 , ∀xi ∈ (0, 1), 0 fi (xi ) = 0, ∀xi 6∈ (0, 1), i, j = 1, 2. Rovnost f (x1 , x2 ) = x1 +x2 = f1 (x1 )·f2 (x2 ) = x1 x2 + 21 (x1 +x2 )+ 14 je ve čtverci (0, 1)×(0, 1) splněna pouze pro body úsečky {(x1 , x2 ) : x2 = 21 }, tedy na množině míry nula. Náhodné veličiny X1 , X2 nejsou proto nezávislé. VII.28 Věta. Konstanta a libovolná náhodná veličina X jsou nezávislé. Důkaz. Konstanta c je taková náhodná veličina Y , pro kterou platí P(Y = c) = 1. Je-li y < c, je P(X ≤ x, Y ≤ y) = P((X ≤ x)∩∅) = P(∅) = 0 = P(X ≤ x)P(Y ≤ y), ∀x ∈ R1 . Je-li y ≥ c, je P(X ≤ x, Y ≤ y) = P((X ≤ x) ∩ Ω) = P(X ≤ x) = P(X ≤ x) · 1 = = P(X ≤ x)P(Y ≤ y),

∀x ∈ R1 ,


68

a podle věty ?? jsou X, Y nezávislé. VII.29 Věta. Nechť jsou X1 , X2 nezávislé spojité náhodné veličiny, f1 (x), f2 (x) jejich hustoty. Nechť ϕ : R2 → R1 je borelovsky měřitelná, Y = ϕ(X1 , X2 ) a nechť G je distribuční funkce náhodné veličiny Y. Z ∞ Z ∞ Platí a) EY = ϕ(x1 , x2 ) f2 (x2 )dx2 f1 (x1 )dx1 = −∞

Z

∞

−∞

Z

∞

ϕ(x1 , x2 ) f1 (x1 )dx1 f2 (x2 )dx2 ,

= −∞

Z ∞ Z pokud EY existuje. b) G(y) = −∞

Z

∞

f2 (x2 )dx2 f1 (x1 )dx1 =

{x2 :ϕ(x1 ,x2 )≤y}

Z

=

f1 (x1 )dx1 f2 (x2 )dx2 , −∞

(10)

−∞

y ∈ R1 . (11)

{x1 :ϕ(x1 ,x2 )≤y}

VII.30 Věta. Jsou-li X1 , X2 nezávislé, spojité náhodné veličiny s hustotami f1 , f2 , je Y = X1 + X2 spojitá náhodná veličina a pro její hustotu g(y) platí Z ∞ f2 (y − t)f1 (t) dt . g(y) = −∞

Příklad 7.31 Nechť X1 , X2 jsou nezávislé a nechť X1 ∼ N(µ1 , σ12 ), X2 ∼ N(µ2 , σ22 ). Dokažte, že Y = X1 + X2 má normální rozdělení N(µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ). Řešení: Užijeme tvrzení předchozí věty o hustotě součtu g(y) dvou nezávislých, náhodných veličin. V našem případě n (x − µ )2 o 1 i fi (x) = √ exp − , i = 1, 2 . 2 2σi σi 2π Tedy Z ∞ f2 (y − x)f1 (x) dx = g(y) = −∞

=

1 2πσ1 σ2

∞ 1 (y − x − µ2 )2 (x − µ1 )2 exp − + dx . 2 σ22 σ12 −∞

Z

Užijeme-li rovnost y − x − µ2 = [y − (µ1 + µ2 )] − (x − µ1 ), lze výraz v hranaté závorce v exponentu zapsat ve tvaru [y − (µ1 + µ2 )]2 2(x − µ1 )(y − [µ1 + µ2 ]) (x − µ1 )2 (σ12 + σ22 ) − + = σ22 σ22 σ12 · σ22 !2 p σ12 + σ22 σ1 (y − (µ1 + µ2 )) (y − (µ1 + µ2 ))2 p . = (x − µ1 ) − + σ1 · σ2 σ12 + σ22 σ2 σ12 + σ22

V =


69

Označme výraz v první závorce symbolem C(x), potom Z ∞ 1 2 1 1 [y − (µ1 + µ2 )]2 e− 2 C (x) dx , g(y) = exp − 2 2 2πσ1 σ2 2 σ1 + σ2 −∞ √ 2 2 σ +σ odtud substitucí z = C(x), dz = σ11σ2 2 dx dostaneme Z ∞ 1 2 1 [y − (µ1 + µ2 )]2 1 exp − e− 2 z dz = g(y) = p 2 2 2 2 2 σ1 + σ2 2π σ1 + σ2 −∞ [y − (µ1 + µ2 )]2 1 , exp − =√ p 2 2(σ12 + σ22 ) 2π σ1 + σ22 což je hustota rozdělení N(µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ). VII.32 Věta. Nechť X1 , X2 jsou nezávislé náhodné veličiny s hustotami f1 , f2 a nechť f2 (x) = 0 pro x ≤ 0. Potom má náhodná veličina X1 Y =X hustotu 2 Z ∞ g(y) = xf1 (yx)f2 (x) dx, ∀y ∈ R1 . 0

VII.33 Věta. Nechť jsou X, Y nezávislé náhodné veličiny, které mají střední hodnoty E(X), E(Y ) a nechť existuje E(X · Y ). Potom platí E(X · Y ) = E(X) · E(Y ) . VII.34 Věta. Jsou-li X1 , . . . , Xn nezávislé náhodné veličiny s konečnými druhými momenty (Xj ∈ L2 (Ω, A, P), j = 1, . . . , n), potom platí n n X X var Xj = var(Xj ) . j=1

j=1


70

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Recommend Documents