p+1 7 a. 7 De Wageningse Methode 2p 7 5&6 VWO wiskunde B 3 b. 2 =8 2 Uitgebreidere antwoorden Hoofdstuk 5 2 =4 Exponentiële functies B 3⋅B
8 8 =2
p−1
7 p 14 2 2 =4 0,5 4⋅0,5 2 16 =2 =2 = 4 2
11
=2 =4
H
4⋅H
10000 =10
3
=10 =1000
Paragraaf 1 Exponentiële functies -11
1 a. Je mag wel van een artikel van 100 euro uitgaan. Bij de een krijg je: 100 → 110 → 110–11=99 Bij de ander: 100 → 90 → 99 Beide zijn goedkoper geworden Met 10% verhogen is vermenigvuldigen met 1,1; met 10% verlagen is vermenigvuldigen met 0,9. Beide vermenigvuldigen met 0,9⋅1,1=0,99, de prijs is dus met 1% verlaagd bij beiden.
b. Even duur 2 a. 4% per halfjaar is voordeliger: het tweede halfjaar ontvang je ook nog de rente over de rente van het eerste halfjaar. Of: 4% per halfjaar is per jaar vermenigvuldigen met 2 1,04 >1,08.
0 1000 c. d. e. f. 3 a. b. c. d.
1 1210
2 1331
3 1464,10
4 1610,51
1,1 7 1,1 t K(t)=1000 ⋅ 1,1 2 Groeifactor per 2 jaar is 1,1 =1,21, dus 21% 75% van 75% is 0,7575%=56,25% x y=100 ⋅ 0,75 8 100 ⋅ 0,75 ≈10 1,1; 0,75
4 a. Als er 20% verdwijnt, blijft er 80% over, dus 0,8. t b. S(t)=125 ⋅ 0,8 2 c. 125 / 0,8 ≈195,3 t d. 125 ⋅ 0,8 =1 → t=21,6 (Je kunt een tabel maken of de opmerking op blz 182 gebruiken.)
t
5 a. N(t)=1000 ⋅ 8 t 8 8 5 c. 1000 ⋅ 8 =10 → t= log 10 ≈5,537 d. Er blijft 10%=/ over. De kolonie moet 10 keer t 8 zo groot worden. 8 =10 → t= log 10≈1,107 6 a. Afnemen met 8,3%=vermenigvuldigen met 1– 8 0,083=0,917. En 0,917 =0,49998≈0,5. 8 8 2 b. 2 ⋅ 8=16 dagen, 0,917 ⋅0,917 ≈0,5 ≈0,25 t c. J(t)=100 ⋅ 0,917 t
d. 0,917 =0,01 → t=
log 0,01 ≈53,148 dagen log 0,917
Uitgebreidere antwoorden
1 49 = 343
→x =0,8−3=(0,512)−1=
-1,5
9 a. x=0,8 x= x =
2⋅11
2
1 = 0,512
3
49 =7 =7 =343 1 -B 8 = 2 = 41 83 -H 1 10000 = 1000
1 → 0,512
1
0,512 3/4 4 3 b. x=5 → x =5 =125 → x= 4 125 10 11 x=(1)−1,1 → x =(1)−11=2 =2048 → x= 10 2048 10 a. Aan de bovenkant van links naar rechts: 1, 3, 4, 2. De horizontale lijn hoort bij g=1. Als het grondtal kleiner is dan 1, krijg je een dalende functie, anders een stijgende. Hoe verder het grondtal van 1 afligt, hoe steiler de grafiek loopt. x b. Links van (0,1) ligt de grafiek van y=(11) x boven de grafiek van y=2 en rechts van (0,1) eronder. x Links van (0,1) ligt de grafiek van y=(B) onder de x grafiek van y=(1) en rechts van (0,1) erboven. 0
11 a. (0,1), want g =1 voor elk getal g>0. b. Dan is g>1. Dan is 0<g<1. Het geval g=1; dan is de functie constant. c. Heel licht dalend; bijna horizontaal. Heel licht stijgend; bijna horizontaal. 12 Stijgend, stijgend, dalend, dalend 2
13 a. De grafiek van y=x is symmetrisch in de y-as en heeft een top. x De grafiek van y=2 is stijgend en heeft een asymptoot. 100 b. 4 8 16 1024 2 5 7 9 21 201 100 c. Ja, 2 is veel groter dan 201. 14 a. 2 2 2 2 2 2,25 1,78 1,56 1,21 1,02 x b. De relatieve toenames van 2 zijn constant 2. 2 De relatieve toenames van x worden steeds kleiner en naderen 1. 15 a. 1 omhoog verschuiven, spiegelen in de x-as en dan weer 1 omhoog verschuiven. b. Nee; ja. c. y=1; y=1. d. Bereik f: y>1; bereik g: y<1.
De Wageningse Methode wiskunde b 5&6 vwo Hoofdstuk 5
1
e. f(x)=4 ⇔
(32 )x = 3 ⇔ g(x)=1–3=-2
2 a.
1
1
j. 2 =2 ⋅2 =2√2 ; d(t)=(2 2 ) 11t
a + 21
2
t
16 a. a(t)=2 b. b(3)=a(11) , b(7)=a(51) , b(t)=a(t−11) d. 11 naar rechts e. c(t)=a(t+2), 2 naar links t+2 t 2 t f. 2 =2 ⋅2 =2 ⋅4 g. Verticaal met factor 4 (ten opzichte van de xas). h. d(4)=a(6) , d(5)=a(71) , d(t)=a(11t) i. Horizontaal vermenigvuldigen met factor B (ten opzichte van de y-as). 11
2
11 t
1 t
1
t
t
k. 2 =(2 ) =(2 ⋅2 ) =(2 2 ) , met regel III, I en V.
b.
a
1
= 2 2 = 2 voor alle a
2a + 0,01 2a
= 20,01 voor alle a
3 b. De grafiek van Y2/Y1 lijkt een horizontale lijn te zijn. 5 a. Door horizontale vermenigvuldiging met factor 1 ten opzichte van de y-as. De grafiek van y = 4 x is in het punt (0,1) dus 2 keer zo steil als de grafiek van y = 2 x . b. c4=2c2 6 c8=3c2 , c1=−c2 , c want 8 x = 23 x ,
2
17 a. (2,0) , y=(x–2) 2 b. (2,3) , y=(x–2) +3
1x 2
=1c2, zie de vorige opgave,
2
x
= 2 − x en
19 a. Gespiegeld ten opzichte van de y-as. b. Regel VI c. x≥5 ; x≤-5
x
x+2
x
18 b. Horizontale verschuiving 3 naar rechts. c. Verticale vermenigvuldiging met factor 7 (ten opzichte van de x-as). x−3 x x −3 Uit regel 1 (of II): 2 =2 ⋅2 =2 ⋅ 7
1
2 = 22
7 2c3⋅3
c3⋅3
−x
-c3⋅3
1x
1c3⋅3 (idem)
(kettingregel)
1
nb: x
3x = 3 2
x
c3 ⋅ 3 x ⋅ x − 3 x
x
3 + x⋅c3⋅3 (productregel)
x2
∆y ≈ 1 voor kleine waarden van ∆x; kies ∆x ∆x=0,001. 0,001 0,001 b. g − 1 ≈ 0,001 → g ≈ 1,001 → g ≈ 1000 1,001 ≈ 2,7169... 100000 ≈ 2,7182... c. g ≈ 1,00001
8 a. 20 a. Vallen samen. x x 1 x−1 b. 1 ⋅ 2 =2 : 2 =2 ; Regel II. c. Verticaal vermenigvuldigen met factor 1 (ten opzichte van de x-as). Horizontaal verschuiven 1 naar rechts. x d. Dan 2 ≥64, dus x≥6 x
21 a. De grafiek van y=8 vind je door de grafiek van x y=2 met factor 2 te vermenigvuldigen t.o.v. de yas. x 3 x 3x 8 =(2 ) =2 ; Regel III b. x≥1B, zie 19c
9 a. b. c. d. e.
2
1,5 ≈2,25 keer zo groot 4 1,25 ≈2,44 keer zo groot 10 1,1 ≈2,59 keer zo groot 100 1,01 ≈2,70 keer zo groot n 100000 e ≈ 1,00001 of algemeen e ≈ (1+ n1 ) . x
-1
-5
22 a. f(1)=1+(1–2 )=11 ; f(5)=1+(1–2 )= 63 . 32
10 De grafieken van Y1=e en Y2=nDeriv(Y1,X,X) vallen samen.
b. f(x)=1+(1–2 )=2−2−x als x≥0. c. Het rechter deel van de grafiek vind je door het linker deel te spiegelen in de y-as.
11 y’=2 ⋅ e x y’=e
Paragraaf 2 Het getal e
12 y’=2 ⋅ e
-x
x
2+ x
1 a. Bijvoorbeeld: de functie f is stijgend, dus is x−1 f‘(x)>0 voor alle x. Maar de formule x ⋅ 2 geeft negatieve waarden als x<0. b. De grafiek is stijgend, loopt naar links toe steeds vlakker naar de x-as en naar rechts steeds steiler, zo steil als je maar wilt, dus alle positieve waarden en geen andere.
Uitgebreidere antwoorden
2x
y’=e
5− 2x
y’=-2 ⋅ e
x
y’=- e x x y=1 ⋅ e , dus y’=1 ⋅ e
2
y’=2x ⋅ e x 1 y’= e x 2 x 1x
y=e , dus y’= 21 e x
13 b. Het ziet er naar uit dat ze elkaar raken in het punt met eerste coördinaat 1. Als x=1, dan zijn de 1 y-waarden gelijk: e =e⋅1 en zijn de y’-waarden gelijk, namelijk allebei e.
De Wageningse Methode wiskunde b 5&6 vwo Hoofdstuk 5
2
x
14 richtingscoëfficiënt PR=e = x
PQ ex = → RQ=1 RQ RQ
2 x
15 y’=2x ⋅ e + x ⋅ e (productregel) 1 x x ⋅ e + x e (productregel) y’= 2 x x 2 x x x x→1+e =u→u , dus y’=2u⋅e =2(1+e ) ⋅ e 1
x→1+e =u→u , dus y’=1u ⋅e = x
-1
x
2 1+ e
6 a. Afnemende stijging. b. y’ is positief en dalend.
x
⋅e
1 x
7 b. De positieve getallen; alle getallen.
16 a. e ≈ 22026 dD -0,2t+10 10 = -0,2 ⋅ e ; op t=0 geeft dit -0,2 ⋅ e b. dt ≈ -4405 c. Aan het minteken: als t groter wordt, wordt -0,2t+10 kleiner, dus wordt dan ook D kleiner. d. D=0 10
17 a. f(x) is maximaal 1, namelijk als x=0; f(x) nadert tot 0 als |x| heel groot wordt. Dus neemt f(x) alle positieve waarden aan die ≤1 zijn. b. f'(x)=-2x e 2
(-2+4x ) e x=
−x2
−x2
f"(x)=-2 e
−x2
+-2x⋅-2x e
−x2
=
, dus f"(x)=0 ⇔-2+4x =0 ⇔
Buigpunten: ( 21 2 , e1 e ) en (- 21 2 , e1 e ). Paragraaf 3 De natuurlijke logaritme 1 a. p>0 en q kan alle waarden aannemen. log 2 =x ⇔ 2 = 2 , dus x=1 -1 -3 2
b. 0 1 3
x
9 a. Het enige verschil is dat grondtal 2 is vervangen door grondtal e. b. 4,605...; klopt. 10 b. y2 is het omgekeerde van x; y2=
1 . x
ln3
11 a. e =3 b. 2 (omgekeerde van a)
3 500⋅2 =3750 ⇔ 2 =7,5 ⇔ x= x
log 7,5 ≈ 2,9 uur. log 2
4 a. Door 2 omhoog te schuiven. 2 2 2 2 Regel I: log 4x= log 4+ log x=2+ log x. b. Door verticaal met 3 te vermenigvuldigen (ten 2 3 2 opzichte van de x-as). Regel III: log x =3 ⋅ log x. c. Door te spiegelen in de x-as. 1 2 2 2 2 Regel II: log = log 1− log x=- log x. x d. Door verticaal te vermenigvuldigen met factor 1 (ten opzichte van de x-as). 2 log x 4 2 Regel IV: log x= =1 ⋅ log x. 2 log 4
Uitgebreidere antwoorden
12 a. 1 b. 1 1 c. x 13 a. 1 dy dy du du u du = ⋅ = e ⋅ = x⋅ b. dx du dx dx dx du du 1 c. x⋅ =1 → = dx dx x
1 , de richtingscoëfficiënt . x Vergelijking y= e1 x+b. De lijn gaat door (e,1), dus b=0. Vergelijking is dus y= e1 x. b. Richtingscoëfficiënt=4, dus een vergelijking is: y=4x+b. De lijn gaat door (5, ln5), dus b= -1+ln5, een vergelijking is: y=4x−1+ln5
14 a. ln'(x)=
2 a. Door spiegeling in de lijn x=y. b. x>0 ; y kan elk getal zijn. x
1 -1 -3
8 0 1 3
2
2 of x=- 21 2 .
1 2
5 a. Die is 1/0,69≈1,45. (Als je een lijn met richtingscoëfficiënt a≠0 in de lijn y=x spiegelt, dan 1 krijg je een lijn met richtingscoëfficiënt .) a b. In (4,2) is de helling ongeveer 0,36. c. In (1,-1) is de helling ongeveer 2,86.
1 (somregel) x 2 y’= (veelvoudregel) x
15 y’=
y’=-
1 x
y’=1 ⋅
1 x
1 (want ln2x=lnx+ln2, somregel) x 1 y’= ⋅1 (kettingregel) 2+ x 2 1 2 x→x =u→lnu, dus y’=2x⋅ 2 = x x 2 ln x 1 2 x→lnx=u→u , dus y’=2u⋅ = x x
16 y’=
De Wageningse Methode wiskunde b 5&6 vwo Hoofdstuk 5
3
3 (somregel en veelvoudregel) x −lnx 1 y’ = + 2 (quotiëntregel) 2 x x 1 y’=1⋅lnx +x⋅ =lnx+1(productregel) x 2 1 y’=2x ⋅ lnx + x ⋅ =2x ⋅ lnx+x (productregel) x
b. f"(x)=
= 2
).
2x
ln 2 ⋅ x
x
e
met
= 2x
(ten opzichte van de y-as).
= gx
b. Horizontale vermenigvuldiging met factor
1 ln g
(ten opzichte van de y-as).
x
e
4
b. ln 2 2
4
log x=
log x
2
2
=
log 4 8 2 b. logx= 31 ⋅ log x c.
1
log x 2 =1 ⋅ log x 2
2
logx=-1 ⋅ log x
10 a. Verticale vermenigvuldiging met factor 2 (ten opzichte van de x-as). b. Verticale vermenigvuldiging met achtereenvolgens de factoren 1, -2, -1 en -1 (ten opzichte van de x-as). 2
11 a. logx=
ln x ln 2
5 a. 504 -0,14h b. 1015⋅e =280 ⇔ -0,14h=ln280–ln1015 dus h≈9,2 km
1 ln 2
(ten
opzichte van de x-as). 1 ln 2
⋅
1 x
1 1 ≈0,43 ⋅ x x 1 1 b. ln11 ⋅ =e x x 1 1 c. ln1e ⋅ = x x
13 a.
1 ln 10
⋅
14 a. 50−7,2 ⋅ ln790=1,961 km≈1960 meter. b. 50−7,2 ⋅ ln950=0,633 km≈635 meter. c. 50−7,2 ⋅ ln900=1,023 km≈1020 meter. 2
Uitgebreidere antwoorden
x
x
2
factor
1 b. Horizontale vermenigvuldiging met factor ln 2
x
ln2 x
h
8 a. (ln2) ⋅ 2 =(ln2) ⋅ 4=ln2 =ln16
12
( )
loge=- 0 ,114 , dus
c. lne ⋅ e =e
(ten opzichte van de y-as).
4 a. eln g ⋅x = eln g
g
b. Verticale vermenigvuldiging met factor
log 2 x
= g , dus
e x
x
( )
≈ 2 -0,20 h , dus
7 a. ln10 ⋅ 10 ≈2,3 ⋅ 10 x x b. ln 1 ⋅ ( 1 ) =-( 1 )
−11
1 a. 8 b. Horizontale vermenigvuldiging met factor 3 (ten opzichte van de y-as).
3 a. eln 2 ⋅x = eln 2
log e
6 a. e =e =(e ) =2 =y dy du dy u x = ⋅ = ln 2 ⋅ e =ln2 ⋅ 2 b. dx dx du c. c2=0,6931471806
9 a.
Paragraaf 4 Bij andere grondtallen
3
2
≈0,87, dus L=1015 ⋅ 0,87
u
⇔ lnx=11 → x=e ,het buigpunt is (e , 11e
1
= 2 − 0,14 h ⋅
-0,14
g=e
x4 f"(x)=0 ⇔ - x − 2 x (1 − ln x ) =0 ⇔ -1–(2– lnx)=0
3 3 2 a. 3 log 2 ⋅x = 3 log 2 = 2 x b. Horizontale vermenigvuldiging
log e ⋅ -0,14
g
g. Dan g
=0 → x=e → de top is (e, e1 ) x2 - x − 2 x (1 − ln x )
11
)
log e -0,14 h
-0,20 ⋅ h
1 − ln x
11
2
L=1015 ⋅ 2 -0,06 ⋅ h , ( 10 log e ⋅-0,14 ⋅ = 10 −0,06 ) d. L=1015 ⋅ 10 e. Het getal dat er moet komen staan nomen we
18 a. L=102,3−4,3ln80a−0,03a. Als a toeneemt, nemen 4,3ln80a en 0,03a beide toe en neemt L dus af. b. L=86,5−4,3ln100v + 0,16v. -4,3 4,3 L’ = +0,16=0 als v= ≈26,875. Met de v 0,16 grafiek blijkt dat L dan inderdaad minimaal is. -4,3 -4,3 ⋅ a +0,16= +0,16 hangt niet af c. L’ = av v van a. De waarde van v waarvoor L’=0 (en L minimaal is) hangt dus ook niet af van a. 19 a. f'(x)=
(
-0,14h
c. e
17 y’=2+
d.7,2⋅lnL=7,2⋅
2
log L log e
=
7,2 2
log e
2
log L ,
dus
2
h=50−4,99 ⋅ logL
De Wageningse Methode wiskunde b 5&6 vwo Hoofdstuk 5
4
e. f.
7,2 ≈16,58, dus h=50−16,58 ⋅ logL log e 7,2 7,2 1/7,2 = 1 ⇔ g =e, dus g=e ≈1,15, dus g log e 1,15
h=50− logL g. h=50−7,2 ⋅ lnL → lnL=6,94−0,14h → 6,94–0,14h 6,94 –0,14h -0,14h L=e =e ⋅e ≈1033 ⋅ e ; klopt redelijk. 2
2
15 x→x +1=u→ logu=y, dan y'=2x⋅
1 ln 2
1 ⋅ , dus u
2x 2 x +1 1 2 2 2 y'= ln12 ⋅ want log(ex)= loge+ logx x 1− x 3 x→ = u → logu=y, dan 1+ x 1 + x -(1 + x ) − (1 − x ) 1+ x -2 y'= ln13 ⋅ ⋅ = ln13 ⋅ ⋅ 2 1− x 1 − x (1 + x )2 (1 + x ) 1 -2 -2 = ln13 ⋅ ⋅ = ln13 ⋅ 1− x 1+ x 1− x2 1 y'= ln110 ⋅ 21 ⋅ , want log ex = 21 log e + 21 log x . x
y'= ln12 ⋅
p
p
c. P=(p,2 ); f'(p)=ln2 ⋅ 2 . Omdat de raaklijn f (p ) p door de oorsprong gaat, geldt =ln2 ⋅ 2 → p
2p p 2 =ln2 ⋅ 2 → p= ln12 = loge. p 4 a. f(x)=0 → lnx(lnx–2)=0 → x=1 of x=e , dus 2 (1,0) en (e ,0) 2
b. f'(x)= (e,-1).
2 ln x 2 2 ln x − 2 – = ; f'(x)=0 → x=e; top: x x x
4 − 2 ln x
; f''(x)=0 ⇔ lnx=2, dus x=e x 22 → buigpunt: (e ,0). 2 2 f'(e )= 22 , dus buigraaklijn: y= 22 x+b; (e ,0) ligt c. f''(x)=
2
e
e
op de lijn → b=-2 → buigraaklijn: y= d. f(x)=3 → (lnx) –2lnx–3=0 3 1 3)(lnx+1)=0 → x=e of x=e− . 2
2 e2
x–2.
→
(lnx–
5 A(x) is de afstand in het kwadraat van punt (x,f(x)) tot O. A(x)=x + 4e −2 x . A(x) minimaal → A'(x)=0 2
2
⇔ 2x– 16 x ⋅ e −2 x =0⇔ 2x(1– 8 e −2 x )=0 ⇔ 2
2
x=0 of e −2 x =7. 2
1
Paragraaf 5 Gemengde opgaven
x=0 voldoet niet, dus e −2 x =7 → 2x =ln8 →
1 1 dy dy = . Als x=1, dan = . Als a>1, ln a ⋅ x ln a dx dx ligt P onder de x-as. De richtingscoëfficiënt van de OP 3 2 1 raaklijn is dan = . Dus =3. Dus a=e . ln a 1 1 Als a<1, ligt P boven de x-as. De richtingscoëffi1 =-3. Dus ciënt van de raaklijn is dan -3. Dan ln a
x=±
2
-2
a=e . x
x
2 a. f'(x)=2 +2 ⋅ ln2 ⋅ x=2 (1+ln2 ⋅ x); 2 f'(x)=0 ⇔ 1+ln2 ⋅ x=0 ⇔ x=- ln12 =- loge met rex
gel IV. p p+2 b. p ⋅ 2 =(p+2) ⋅ 2 →p=(p+2)⋅22 → p=4p+8 → p=-2B. 2x
3 a. g(x)=2 =f(2x), dus horizontale vermenigvuldiging met factor 1 (ten opzichte van de y-as). 3x h(x)=2 =f(3x), dus horizontale vermenigvuldiging met factor 2 (ten opzichte van de y-as). b. 1 A
D
C
1 2
2
ln 8 .
x+1
ln2
x+1
x+1+ln2
6 a. 2e = e ⋅e = e 2x x+1+ln2 b. f(x)=0→ e = e → 2x=x+1+ln2 → x=1+ln2. 2x x+1 2x x+1 c. f'(x)=2e –2e ; f'(x)=0 → e =e → 2 2 2 2x=x+1 → x=1; f(1)=e –2e =-e . 2x x+1 2x x+1 d. f''(x)=4e –2e ; f''(x)=0 → 2e =e → 2x+ln2 x+1 e =e → 2x+ln2=x+1 → x=1–ln2.
7 a. Voor x<0 geldt g(x)=ln(-x); g'(x)=-1 ⋅
1 1 = -x x
→ g'(-1)=-1 → vergelijking raaklijn: y=-x–1. b. P=(p,0). f(p)=0→ln(2p+4)=0→2p+4=1→p=-11. 1 f'(x)= → f'(-11)=2, raaklijn heeft x+2 vergelijking y=2x+b en raaklijn gaat door (-11,0), dus vergelijking is y= 2x+3. c. P
Q
R
B
Uit a volgt AC=1AB en AD=2AB. → AD=B en CD=2.
Uitgebreidere antwoorden
Neem aan: R=(r,g(r)), danQ=(-r,g(-r)) en P=(-3r,f(-3r)). Er geldt f(-3r)=g(r), dus ln(-6r+4)=lnr, dus
De Wageningse Methode wiskunde b 5&6 vwo Hoofdstuk 5
5
-6r+4=r → r= 74 → a=g(r)=ln 74 .
1
8 a. f'(x)=
x
–
2 e , 12
1 ; f'(x)=0 → x= x en x≠0 → x
x=1. f(1)=2. De extreme waarde is 2. 1 1 − x +2 b. f''(x)=+ 2 = ; 2x x x 2x 2 f''(x)=0→ x =2→x=4. Buigpunt: (4,4–ln4) ; f'(4)=3, dus vergelijking buigraaklijn: y=3x+3–ln4. 9 a. Q P
OQ =1; verder OQ=1, OP dusOP=2; opp. ∆OPQ=1 ⋅ 1 ⋅ 2=1. b. -1x
f'(x)=-1e
1
e
; f'(0)=-1, dus
4 e voor alle x>0
3
3
e 4
2
5 e , e1 2 e , e1
e,
6 ln3 0
ln2, ln1 0
e
25
e
7 2 10, 100 ln3 3 1, log2 8
1 5
=
1 5
5
y=e
A
C
B
Stel A=(a,f(a))m, dan f(a)=e, dus a=-2. B=(b,f(b)); a=-2, dus b=2; g(2)=e,
p 2 =e, dus p =
1e 2
dus
2.
10 a. Het gemiddelde van f(x) en g(x) is 1, dus 2 f(x)+g(x)=2, dus g(x)=2–f(x)=2–(lnx) . b. Snijpunt links van de lijn: B=(b,f(b)); dan 2 2 f(a)=f(b) → (lna) =(lnb) → lnb=-lna =ln a1 , dus b= a1 . c. a– 1 =4K ⇔ a –4Ka–1=0 ⇔(a–5)(a+4)=0, 2
a
dus a=5 (want a ligt rechts van 1). Rekentechniek 1
y1= 2 log e + 2 log x , dus y 1 en z1 verschillen een constante. a Dat y2=z2 volgt uit de regel: loga−logb=log . b y3=1(logex)= 1loge+1logx, dus y 3 en z3 verschillen een constante. e 2 3 1e
2 2e 1e 2 3 e , 12
e
Uitgebreidere antwoorden
2e e −1
De Wageningse Methode wiskunde b 5&6 vwo Hoofdstuk 5
6
