De risicopremie van aandelen in Nederland: een analyse van 21 beursfondsen op grond van het model van Campbell

Afdeling Wetenschappelijk onderzoek en econometrie

De risicopremie van aandelen in Nederland: een analyse van 21 beursfondsen op grond van het model van Campbell H.J. de Wolff Onderzoeksrapport WO&E nr 555 September 1998

'H1HGHUODQGVFKH%DQN



DE RISICOPREMIE VAN AANDELEN IN NEDERLAND: een analyse van 21 beursfondsen op grond van het model van Campbell

H.J. de Wolff*

* De heer H.J. de Wolff was gedurende 27 april 1998 tot en met 31 augustus werkzaam als stagiair op de Afdeling Wetenschappelijk onderzoek en econometrie.

Onderzoeksrapport WO&E nr 555/9825 September 1998

De Nederlandsche Bank NV Afdeling Wetenschappelijk onderzoek en econometrie Postbus 98 1000 AB AMSTERDAM



DE RISICOPREMIE VAN AANDELEN IN NEDERLAND: een analyse van 21 beursfondsen op grond van het model van Campbell

H.J. de Wolff ABSTRACT The equity premium is analysed for 21 indiviual firms who are listed at the Dutch stock market. The analysis is based on Campbell’s model which explains the equity premium as a linear combination of the covariances between the returns and the residuals of state variables. The residuals are obtained by estimating a first order VAR. This method also takes into account the importance of human capital. The resulting equation has a multifactor form in line with arbitrage pricing theory. The degree of risk aversion is the important parameter in this equation. Estimation by means of the generalized method of moments gives plausible results for the degree of risk aversion. Key words: equity premium, individual stock market firms, risk aversion JEL Codes: G12, C23

SAMENVATTING De aandelenpremie wordt geanalyseerd voor 21 individuele Nederlandse beursfondsen met behulp van het model van Campbell. Deze methode verklaart de aandelenpremie als een lineaire combinatie van covarianties van het rendement met residuen van toestandsvariabelen. Deze residuen zijn verkregen door een eerste orde VAR te schatten. Bovendien houdt deze benadering rekening met het belang van human capital. De verkregen vergelijking heeft een multifactor gedaante zoals in de arbitrage pricing theory. De risico-aversie is de belangrijke parameter in deze vergelijking. Schattingen met behulp van de methode van gegeneraliseerde momenten leveren theoretisch plausibele waarden op voor de risico-aversie. Trefwoorden: aandelenpremie, individuele beursfondsen, risico-aversie JEL Codes: G12, C23



DE RISICOPREMIE VAN AANDELEN IN NEDERLAND: een analyse van 21 beursfondsen op grond van het model van Campbell

1 INLEIDING Op 30 januari 1985 gaf de AEX index voor het eerst een niveau van 200 aan, op 20 juli 1998 ging de index door de 1300 puntengrens heen. Meer dan een verzesvoudiging van de koersen in 15 jaar. De vraag rijst dan ook: wat zijn de drijvende krachten achter het rendement van aandelen? Een vraag die als volgt nader gespecificeerd kan worden: wat bepaalt het extra rendement van aandelen boven de risicovrije rente, de zogeheten aandelenpremie? Dit vraagstuk is door Mehra en Prescott (1985) geanalyseerd. Zij nemen als uitgangspunt het consumptie georiënteerde capital asset pricing model, en concluderen dat men een veel te hoge waarde voor de risicoaversie moet accepteren om de historische aandelenpremie te kunnen verklaren. De waarde die Mehra en Prescott vinden voor de relatieve risicoaversie, gedurende de periode 1889-1978, is 26. In de literatuur wordt meestal een risicoaversiteit van ongeveer tien als plausibel gezien, maar een waarde van rond de één is ook niet ongewoon 1. Doordat de risicoaversie ver boven de theoretisch plausibele grenzen ligt spreken Mehra en Prescott van een aandelenpremiepuzzel. Het onderzoek van Mehra en Prescott concentreerde zich op de Verenigde Staten maar onderzoek van Fase (1997) laat zien dat de aandelenpremie ook in de Europese Unie een puzzel is. In de literatuur kwamen veel reacties op de aandelenpremiepuzzel. In een eerste reeks artikelen die vlak na de introductie van de puzzel verschenen werd vooral de nadruk gelegd op het loslaten van de veronderstellingen die Mehra en Prescott maakten. Zo hebben Mankiw en Zeldes (1990) de veronderstelling van homogeniteit van de consumenten laten varen. Uit onderzoek bleek namelijk dat er een verschil in consumptiepatroon bestond tussen aandeelhouders en niet-aandeelhouders. Een andere benadering kiest Constantinides (1990), hij laat de standaard nutsfunctie varen en introduceert een nutsfunctie die het nut in periode t laat afhangen van consumptie in diezelfde periode, maar ook van consumptie in perioden daarvoor. Dit concept wordt ‘habit formation’ genoemd. Een laatste poging rond dat tijdstip komt van Rietz (1988); hij legt de nadruk op ‘market crashes’. Rietz voegt zulke crashes, met een bepaalde kansverdeling, toe aan het standaard model. Zo’n crash zou gepaard gaan met grote plotselinge veranderingen in consumptie. Rietz beweert dat een grote daling van de consumptie samengaat met een sterke daling van de uitgekeerde dividenden. Doordat zowel consumptie als uitgekeerde dividenden omlaag gaan worden beleggers dubbel getroffen. Om  1

Zie bijvoorbeeld Arrow (1971), Mehra en Prescott (1985).



deze reden zullen risicoaverse beleggers een hoger rendement eisen om gecompenseerd te worden voor verliezen ten gevolge van een market crash. In dit rapport wordt bekeken of de aandelenpremie voor 21 individuele Nederlandse beursgenoteerde fondsen een puzzel vormt. Daarbij zal met name bekeken worden welke waarde voor de mate van risicoaversie nodig is om de historische aandelenpremie te verklaren. We doen dit in hoofdstuk 3 aan de hand van een theoretisch kader dat ontwikkeld is in Campbell (1991, 1993, 1996). Deze benadering kenmerkt zich door de fundamentele manier waarop de budgetrestrictie en doelfunctie van de representatieve agent worden afgeleid. Bovendien blijft dit model redelijk verwant met het model uit het onderzoek van Mehra en Prescott, zo blijven ook hier covarianties de sleutelfactoren in de aandelenpremieformule. Hier wordt echter het model zo opgezet dat men geen consumptiedata meer nodig heeft voor de empirische implementatie. Een ander kenmerk is dat we human capital expliciet als opnemen als extra onderdeel van het marktrendement. Gebruikelijk is dat men een bepaalde aandelenindex als benadering voor het marktrendement neemt. Het marktrendement bestaat echter uit alle aandelen en andere verhandelbare en nietverhandelbare activa, zoals human capital. Richard Roll (1977) heeft dit laten zien en het staat inmiddels bekend als de Roll critique. In hoofdstuk 2 van dit rapport wordt een literatuuroverzicht gegeven van de recent verschenen pogingen om de premiepuzzel te verklaren. Zo wordt in paragraaf 2.1 het concept van ‘myopic loss aversion’ besproken. Dit is een combinatie van het feit dat beleggers meer avers zijn voor verliezen dan voor winsten, en anderzijds dat beleggers hun portefeuille frequent evalueren waardoor zij meer met eventuele verliezen worden geconfronteerd. In paragraaf 2.2 wordt vervolgens de premiepuzzel bekeken als monetaire transactiekosten een rol spelen. Deze benadering legt de nadruk op het feit dat activa ook gebruikt worden voor het uitvoeren van transacties. Deze transactieservice van verschillende typen activa dient derhalve te worden opgenomen in de analyse. Tenslotte wordt in paragraaf 2.3 de puzzel in ‘real business cycle’ modellen opgenomen. Deze modellen kunnen economische cycli creëren door schokken cq veranderingen in technologie en preferenties. Beide behandelde pogingen om de puzzel te verklaren introduceren wel een bepaald mechanisme om het onmiddellijke en frictieloze aanpassen van economische agenten tegen te gaan. Het tweede deel van het rapport is empirisch van aard. In hoofdstuk 4 worden de econometrische aspecten van de modelstructuur besproken. Zo wordt in 4.1 behandeld hoe de voorspellingen met een vector autoregressie benadering worden gemodelleerd. Daarna wordt in paragraaf 4.2 de gebruikte data besproken. De aandelenpremie die we proberen te verklaren



wordt gevormd door maandelijkse rendementen van 21 individuele fondsen vanaf januari 1975 tot december 1996.

In hoofdstuk 5 zullen de schattingsresultaten worden gepresenteerd van verschillende onderdelen van het model. Hierbij zal de nadruk liggen op de cruciale variabele in het model, namelijk de waarde van de risicoaversie. In hoofdstuk 6 volgt tenslotte de conclusie. Het blijkt dat met het model van Campbell plausibele waarden voor de mate van risicoaversie verkregen zijn, zodat voor de 21 fondsen niet van een puzzel gesproken kan worden.

2 LITERATUUROVERZICHT

In dit hoofdstuk wordt een literatuuroverzicht gegeven van de recent verschenen literatuur op het gebied van de aandelenpremie. Zo wordt allereerst in paragraaf 2.1 myopic loss aversion behandeld, wat inhoudt dat beleggers enerzijds gevoeliger zijn voor verliezen dan voor winsten en anderzijds beleggers hun portefeuille frequent evalueren. In paragraaf 2.2 wordt een monetaire verklaring van de aandelenpremie beschreven, daarbij staan transactiekosten en de transactiediensten van verschillende activa centraal. In paragraaf 2.3 wordt tenslotte een overzicht gegeven van de pogingen om de aandelenpremie te verklaren in een real business cycle model.

2.1 Myopic loss aversion

Een van de eerste pogingen uit de tweede reeks artikelen om de aandelenpremiepuzzel op te lossen kwam van Bernatzi en Thaler (1995). Zij introduceerden myopic loss aversion in hun analyse naar de premiepuzzel. Myopic loss aversion is gebaseerd op twee aspecten die afkomstig zijn uit de ‘prospect’ theorie. Deze theorie is ontleend aan de psychologie en richt zich op beslissingen onder onzekerheid 2. Het eerste aspect is ‘loss aversion’, dit houdt in dat individuen gevoeliger zijn voor verliezen dan voor winsten. Theoretisch komt dit tot uitdrukking in de nutsfunctie, welke een knik heeft in de oorsprong. De verhouding van de

 2

Zie voor een uitgebreide beschrijving van ‘prospect’ theorie, Kahnemann (1979).



richtingscoëfficiënten, aan beide zijde van de oorsprong, meet dan de mate van ‘loss aversion’. Bernatzi en Thaler postuleren de volgende vorm van de nutsfunctie: x U (x ) =   2,5x

x≥0 x <0

hier is de ratio van de twee richtingscoëfficiënten 2,5. Dit houdt in dat beleggers een verlies ruim twee keer zo zwaar voelen, qua nutsniveau, als een even grote winst. Het tweede aspect is ‘mental accounting’, dit betekent dat individuen subjectieve methodes hanteren om resultaten van beleggingen, kansspelen en dergelijke te evalueren. Er is een verschil tussen planningshorizon en evaluatiehorizon. Een huidige belegging die over 30 jaar als pensioen fungeert, heeft een planningshorizon van 30 jaar. Als deze belegger echter ieder jaar de eventuele winsten en verliezen evalueert, dan heeft de belegger een evaluatiehorizon van 1 jaar. Een belegger zal handelen alsof zijn planningshorizon gelijk is aan zijn evaluatiehorizon, in dit geval dus 1 jaar. Daarbij merken Bernatzi en Thaler op dat hoe korter de evaluatieperiode van een belegger is, hoe minder aantrekkelijk hij investeringsmogelijkheden met een hoog gemiddeld rendement en een hoog risicoprofiel, zoals aandelen, zal vinden. Dit komt doordat beleggers met een korte evaluatiehorizon hun portefeuilles vaker evalueren en dus ook vaker met eventuele verliezen worden geconfronteerd. Hierdoor ervaren zij meer risico, wat tot uitdrukking komt in een hogere verlangde aandelenpremie.

In hun onderzoek stellen Bernatzi en Thaler de vraag hoe lang de evaluatieperiode moet zijn opdat beleggers indifferent zijn tussen aandelen en obligaties. Om deze vraag te beantwoorden simuleren zij prospectieve nutsniveaus van het aanhouden van aandelen en van obligaties. Zij berekenen dit nutsniveau eerst alsof de belegger het activum voor een periode van een maand in zijn portefeuille aanhoudt. Daarna verlengen zij de periode dat een activum in portefeuille wordt aangehouden stapsgewijs met een maand. De rendementen die zij in deze analyse gebruiken zijn: het reële rendement van aandelen en het reële rendement van vijfjarige obligaties. Het blijkt dat beleggers bij een evaluatieperiode van ongeveer twaalf maanden indifferent zijn tussen een portefeuille die alleen uit aandelen bestaat en een portefeuille die alleen uit obligaties bestaat.



Een kritiekpunt op de bovenstaande gedachtegang, is dat beleggers niet alles in een type activum beleggen, maar een gemengde portefeuille van zowel aandelen als obligaties aanhouden. Bernatzi & Thaler nemen dit kritiekpunt op in hun analyse door een tweede simulatie uit te voeren die, gegeven de evaluatieperiode van twaalf maanden, de optimale verdeling tussen aandelen en obligaties uitrekent. Portefeuilles die tussen de 30 en 55 procent in aandelen beleggen, generen het maximale ‘prospectieve’ nutsniveau. Dit percentage komt globaal overeen met het geobserveerde gedrag van beleggers.

De aandelenpremie is dus het gevolg van een combinatie van verliesaversie en frequente evaluatieperiodes. Verliesaversie wordt door Bernatzi en Thaler niet gezien als iets dat men kan beïnvloeden, het wordt gezien als een ‘fact of life’. De lengte van de evaluatieperioden worden daarentegen gezien als iets wat in principe door de belegger te beïnvloeden is. De belangrijke vraag is wat er gebeurd met de aandelenpremie als de lengte van de evaluatieperiode toeneemt? De onderstaande tabel laat de aandelenpremie zien voor verschillende evaluatieperioden:

Tabel 1 Aandelenpremie en evaluatiehorizon Evaluatiehorizon ______________ 1 jaar 2 jaar 5 jaar 10 jaar 20 jaar

Aandelenpremie _____________ 6,5% 4,7% 3,0% 2,0% 1,4%

Bron: Bernatzi en Thaler (1995) Mochten de beleggers dus een evaluatiehorizon hebben van een jaar, dan is met dit model de aandelenpremie verklaard. De vraag blijft natuurlijk welk aspect van de prospect theorie de primaire kracht is achter deze resultaten. Het blijkt dat verliesaversie de cruciale factor is. De resultaten hangen derhalve sterk af van de gepostuleerde nutsfunctie. In hoeverre deze nutsfunctie empirische realiteitswaarde heeft laten Bernatzi en Thaler in het midden. Een nadere analyse was hier wel op haar plaats geweest.



2.2 Een monetaire verklaring van de premiepuzzel

Een andere recente poging om de aandelenpremiepuzzel te verklaren komt van Bansal en Coleman (1996). Zij breiden de omvangrijke (monetaire) transactiekosten literatuur, van onder andere Baumol (1952), uit naar verschillende betalingswijzen. Zo onderscheiden zij in hun model drie betalingsvormen: geld, cheques en krediet. Deze betalingsvormen verschillen in hun rol met betrekking tot het doen van transacties. Als zowel chartaal geld als cheques gebruikt kunnen worden voor het uitvoeren van transacties, dan zal de marginale transactieservice van chartaal geld gelijk moeten zijn aan de nominale interestvoet die wordt betaald op de rekening waarop cheques worden geschreven. Bansal en Coleman ontwikkelen een model dat rekening houdt met deze transactiediensten van diverse soorten financiële activa. Het kopen van goederen, op een van de bovengenoemde wijzen, levert transactiekosten op. Hoe meer goederen men koopt met geld, hoe minder transactiekosten men hoeft te betalen. Koopt men echter meer goederen op krediet, of met cheques, dan zullen de transactiekosten toenemen. Algebraïsch geven Bansal en Coleman deze transactiedienstenfunctie als volgt weer:

(c, c1, c2 ) =

(

c c1 + kc2

)(1- ) /

Waarin c voor totale consumptie staat en c1 en c2 consumptie voorstelt van goederen die gekocht zijn met respectievelijk geld, cheques. Verder veronderstellen zij dat χ > 0 , α > 1, k > 0 en 0 < ω < 1, k is een parameter die het gemak van transacties weergeeft. Als k=0 dan betekent dat, dat alleen geld (c1) een transactiedienst biedt.

Uiteindelijk verkrijgen zij een vergelijking die het rendement van de transactiediensten van geld gelijk stelt aan de nominale rente plus het rendement van de transactiediensten van risicovrije financiële activa. Aandelen geven geen transactiediensten rendement. Doordat het aanhouden van aandelen geen vergemakkelijking oplevert van transacties zullen beleggers hiervoor gecompenseerd willen worden, wat tot uitdrukking komt in een hogere premie. Tabel 2 laat de resultaten zien van de door het model gesimuleerde waarden voor de aandelenpremie en de ex post reële rente:



Tabel 2 Aandelenpremie en reële rente

Ex post reële rente Aandelenpremie

Data _____ 1,12 5,02

Model _____ 4,00 2,42

Bron: Bansal en Coleman (1996). De bovenstaande resultaten zijn verkregen door de modelparameters, inclusief de waarde voor k, te schatten met de Generalized Method of Moments (GMM). De resultaten hangen sterk af van de parameter k, die het gemak van transacties weergeeft. Numerieke invuloefeningen door de auteurs met andere waarden voor k laten zien dat bij k = 2 de aandelenpremie 5,25% bedraagt en de ex post reële rentevoet 1,46% is. Dit is een andere waarde dan dat men k in de analyse meeschat, zoals dat is gedaan in tabel 2. Daar had k een waarde van 1,23. De reden om k op twee vast te prikken in tegenstelling tot de geschatte waarde van 1,23 wordt door de auteurs niet genoemd. De rol die activa vervullen bij transacties is dus van belang bij de rendementseisen die beleggers stellen aan die activa. Of het realistisch is om te zeggen dat de gehele aandelenpremie verklaard kan worden door het feit dat aandelen geen rol vervullen in het vergemakkelijken van transacties, is hoogst onzeker. 2.3 Aandelenpremie en real business cycles

Met de opkomst van de nieuw klassieke macro-economie kwam ook de ontwikkeling van de real business cycle (RBC) theorie in een stroomversnelling. De nieuw klassieke economie probeerde conjunctuurgolven te verklaren in een omgeving met volkomen concurrentie en rationele verwachtingen. RBC modellen hebben laten zien dat in deze frictieloze omgeving conjunctuurgolven kunnen ontstaan door de reactie van optimaliserende agenten op reële schokken, zoals veranderingen in technologie en preferenties.

Dit type algemeen evenwichtsmodellen is echter niet succesvol als het gaat om het verklaren van de prijsvorming van financiële activa. Het verklaren van de aandelenpremie in modellen met een productiesector, waarbij consumptie en dividend endogeen verklaard worden, is nog niet gelukt (Rouwenhorst 1995). Rouwenhorst vindt dat het moeilijker is om substantiële



risicopremies te verklaren omdat, als men consumptie endogeen maakt, deze nog gelijkmatiger wordt naarmate de risicoaversie wordt verhoogd. Dit komt omdat in het standaard één sector RBC model, de agenten hun productieplannen direct en frictieloos aanpassen om fluctuaties in consumptie te verminderen. Doordat zij de fluctuaties in hun consumptie snel en frictieloos kunnen opvangen vereisen zij een zeer kleine risicopremie. Het frictieloze en onmiddellijke aanpassen, wat inherent verbonden is aan RBC modellen, is dus een probleem als het gaat om het verklaren van de aandelenpremiepuzzel.

Een reactie in de literatuur op de onbevredigende resultaten van Rouwenhorst, kwam van Jermann (1994, 1998). Jermann analyseert een RBC model met zowel kapitaal aanpassingskosten als ‘habit formation’, en kan met dat model de historische aandelenpremie verklaren. Het concept van ‘habit formation’ is afkomstig van Constantinides (1990) en zegt dat het nut van een individu in een bepaalde periode afhangt van zijn huidige consumptieniveau ten opzichte van het consumptieniveau in het verleden. Bij ‘habit formation’ houdt de belegger dus geen rekening met zijn toekomstige consumptie. ‘Habit formation’ kan op de volgende manier in een nutsfunctie worden gegoten: 1−ψ ( C t − αC t −1 ) u (C t ) = (1 − ψ )

waarin ψ de intertemporele substitutie elasticiteit is. Ct staat voor consumptie in periode t, en de parameter α staat voor de mate waarin consumptie uit het verleden doorwerkt in het huidige nutsniveau. Als α=0 dan doet de consumptie uit het verleden er niet toe, en is de habit formation nutsfunctie omgevormd tot een standaard tijd-scheidbare nutsfunctie zoals die gebruikt werd in het onderzoek naar de premiepuzzel van Mehra en Prescott (1985). De aanpassingskosten van de kapitaalgoederenvoorraad zorgen ervoor dat de economische agenten niet meer onmiddellijk en frictieloos hun productieplannen kunnen aanpassen, maar dat er nu een realistischer aanpassingsproces plaatsvindt.

Een model met alleen kapitaal aanpassingskosten of alleen habit formation is echter niet in staat de historische aandelenpremie te verklaren. Tabel 3 laat de belangrijkste uitkomsten zien van de diverse geschatte modellen:



Tabel 3 Aandelenpremie in RBC model van Jermann

RBC zonder AC én HF RBC met AC zonder HF RBC met HF zonder AC RBC met AC én HF Historische data

Aandelenpremie ________ 0,02 0,67 0,03 6,18 6,18

Obligatiepremie ________ 0,04 0,45 0,08 5,69 1,70

Bron: Jermann (1994, 1998) , HF = habit formation, AC = aanpassingskosten.

In tabel 3 zien we dat alleen habit formation of aanpassingskosten niet voldoende zijn om de aandelenpremie te verklaren. Habit formation kan ten opzichte van het standaard RBC model zonder aanpassingskosten en habit formation, de aandelenpremie slecht met één basispunt verhogen. Aanpassingskosten van de kaptiaalgoederenvoorraad kunnen de aandelenpremie wel substantieel verhogen, maar de waarde van 0,67 blijft sterk achter bij de geobserveerde premie van 6,18. Het model met zowel kapitaal aanpassingskosten als habit formation genereert een aandelenpremie die precies even hoog is als de historisch waargenomen premie. Een belangrijke tekortkoming van dit laatste RBC model is echter dat het weliswaar de aandelenpremie verklaart, maar ook een hoge risicopremie voor lange obligaties genereert. Zo genereert het model een risicopremie van 5,69 terwijl een premie van 1,70 historisch is waargenomen. De introductie van aanpassingskosten van de kapitaalgoederen en habit formation lijkt het probleem te verschuiven van een te hoge aandelenpremie naar een, historisch gezien, te hoge obligatiepremie.

Een andere poging om de prijsvorming van activa in een RBC model te introduceren komt van Boldrin et al. (1995). Zij ontwikkelen een twee sector model, met habit formation en technologie met een beperkt mobiliteit tussen de twee sectoren. De overeenkomst tussen het model van Boldrin et al. en dat van Jermann is, dat beide auteurs habit formation gebruiken om consumenten avers te maken tegen schommelingen in hun consumptiepatroon. Boldrin et al. gebruikt echter geen aanpassingskosten van kapitaalgoederen om het uitsmeren van consumptie te verminderen, maar introduceren beperkte arbeidsmobiliteit tussen de twee sectoren van het model. Beide methoden zorgen dat het gedrag van individuen zich niet langer frictieloos aanpast. De resultaten van hun analyse met een twee sector RBC model zijn in tabel 4 weergegeven:



Tabel 4 Aandelenpremie en RBC model Boldrin et al.

RBC geen HF, VAM RBC geen HF, BAM RBC met HF, VAM RBC met HF, BAM

Aandelenpremie ________ 0,02 0,07 0,29 4,86

Bron: Boldrin et al. (1995), HF = habit formation, VAM = volledige arbeidsmobiliteit, BAM = beperkte arbeidsmobiliteit.

In tabel 4 zien we hetzelfde patroon als in tabel 3, habit formation alleen kan de aandelenpremie wel substantieel verhogen, maar de waarde blijft nog steeds sterk achter bij de data. De introductie van uitsluitend beperkte arbeidsmobiliteit kan de aandelenpremie slechts marginaal verhogen. De verkregen aandelenpremie van ongeveer vijf procent in het model met habit formation én beperkte arbeidsmobiliteit, kan de test der empirie redelijk goed weerstaan. Echter de standaarddeviatie van het aandelenrendement in dit laatste model is 37,30 (σer) terwijl de data een standaarddeviatie laten zien van slechts 19,53 (Boldrin et al., 1995). De aandelenpremie verklaren in RBC modellen is tot nog toe slechts gedeeltelijk gelukt. De introductie van starheden in de consumptie- en productiesfeer kunnen wel een hoge premie opleveren, maar het probleem wordt vaak verschoven naar andere delen van het model. Nader onderzoek, met name op het gebied van RBC’s met een sector buitenland, in verband met internationale diversificatie is gewenst.

3 MODELSTRUCTUUR

In dit hoofdstuk zullen we de aandelenpremie in het theoretische kader gieten zoals dat ontwikkeld is door J.Y. Campbell (1991, 1993, 1996). Deze benadering kenmerkt zich door afwezigheid van consumptievariabelen in het model. Voor de empirische implementatie zijn dus geen consumptiedata nodig. Bovendien komen nieuwscomponenten en verwachtingen expliciet aan bod, en wordt bovendien de kritiek van Roll in het model ondervangen. We zullen achtereenvolgens eerst de budgetrestrictie lineair benaderen in paragraaf 3.1. In 3.2 komt dan de specificatie van de doelfunctie van de consumenten aan de orde. Daarna zal in paragraaf 3.3 een specifiek element van de analyse namelijk de afwezigheid van de



consumptiecomponent worden uitgewerkt. In 3.4 tenslotte wordt human capital geïntroduceerd als element van het model. Dit model zal als uitgangspunt dienen voor de empirische analyse in hoofdstuk 5.

3.1 Log-linearisatie van de budgetrestrictie

We beschouwen hier een economische agent die representatief is voor de gehele economie. In deze economie is al het vermogen, met inbegrip van human capital, verhandelbaar. De budgetrestrictie van deze representatieve agent ziet er als volgt uit: Wt +1 = Rm ,t +1 (Wt − C t )

(1)

hierbij staat Wt voor vermogen (wealth) en Ct voor consumptie in periode t. Rm is de opbrengst van al het geïnvesteerde vermogen, het ‘markt’-rendement. Het arbeidsinkomen komt niet expliciet voor in vergelijking (1). Dit komt omdat de marktwaarde van al het verhandelbare human capital onderdeel is van de component vermogen (W).

We nemen aan dat het toekomstige verdisconteerde vermogen in de limiet naar nul gaat, een aanname die overeenkomt met het feit dat een gulden in de toekomst minder waard is dan een gulden vandaag. We kunnen met deze aanname de budgetrestrictie (1) oplossen door middel van voorwaartse iteratie, wat de volgende relatie oplevert:

∞

Wt = C t + ∑ j =1

C t +i   i  ∏ R m ,t + j      j =1

(2)

Deze intertemporele budgetrestrictie is een niet-lineaire vergelijking, dit komt door de interactie tussen delen en vermenigvuldigen. We zullen vergelijking (2) moeten gaan benaderen. Om dit mogelijk te maken nemen we aan dat de verhouding tussen consumptie en vermogen (C/W) constant is. Dit betekent dat van het vermogen een constant deel voor consumptie wordt aangewend. Dit stelt ons in staat de intertemporele budgetrestrictie loglineair te benaderen rond de gemiddelde C/W verhouding. Deze linearisatie is ontwikkeld



door Campbell (1993, 1996). Als eerste stap in deze benadering delen we (1) eerst door Wt en nemen daarna de log van deze vergelijking:

Kleine letters betekenen dat er een logaritme van die waarde is genomen. We kunnen de ∆wt +1 = rm,t +1 + log (1 - exp(ct - wt )) (3) tweede term aan de rechterzijde van (3) beschouwen als een functie van een constante, in het onderhavige geval de constant veronderstelde C/W verhouding. We kunnen dan een eerste orde Taylor expansie toepassen om de intertemporele budgetrestrictie te benaderen 3. Als we ρ als volgt definiëren: ρ ≡ log(1 – exp(c-w)), dan kunnen we hiermee en met de eerste orde Taylor expansie, de intertemporele budgetrestrictie herschrijven tot:  1 ∆wt +1 ≈ rm,t +1 + k +  1 - (ct - wt )  ρ

(4)

hierbij is k een constante, welke direct uit de vergelijking in voetnoot 2 kan worden berekend, en 0<ρ<1. We splitsen nu de groei van het vermogen op de volgende simpele manier uiteen: ∆wt +1 = ∆ct +1 + (ct - wt )- (ct +1 - wt +1 )

(5)

Omdat we nu twee vergelijkingen hebben die beide een uitdrukking geven voor het groeipercentage van vermogen, kunnen we vergelijking (4) en (5) aan elkaar gelijk stellen. Op die manier krijgen we een differentievergelijking van de (log)C/W verhouding. Om die vergelijking op te lossen hebben we nog een extra veronderstelling nodig, namelijk dat lim ρj (ct+j - wt+j) = 0 als j naar oneindig gaat. Dit is een gevolg van het feit dat ρ kleiner dan een is en dus bij steeds hogere machten naar nul gaat. We krijgen dan de volgende uitdrukking voor de C/W verhouding: ∞

ct - wt = ∑ ρ j (rm,t + j - ∆ct + j )+ j =1

ρk 1- ρ

 3

In het algemeen kunnen we een functie als volgt loglineair benaderen:

log (1 − exp(xt )) ≈ log (1 − exp(x ))−

exp (x ) (xt − x ) 1 − exp (x )

(6)



Hiermee hebben we een log-lineaire vergelijking die bij benadering equivalent is met de nietlineaire vergelijking (2). Een probleem is echter dat vergelijking (6) een ex post relatie weergeeft.

Om dit op te lossen nemen we de verwachting van (6) om zo een ex ante relatie te verkrijgen:

∞  ρk ct - wt = Et ∑ ρ j (rm,t + j - ∆ct + j ) +  j =1  1- ρ

(7)

hierbij is Et de mathematische verwachtingsoperator. Vergelijking (7) zegt dat een hoge waarde voor de consumptie-vermogens verhouding gevolgd moet worden door hoge verwachte opbrengsten (rm,t+j) of door een lage consumptiegroei (∆ct+j). Deze vergelijking kunnen we in navolging van Campbell (1993, 1996) substitueren in (4) en (5) om zo de volgende uitdrukking te verkrijgen: ∞

∞

j =0

j =1

ct +1 - Et ct +1 = (Et +1 - Et ) ∑ ρ j rm,t +1+ j - (Et +1 - Et ) ∑ ρ j ∆ct +1+ j

(8)

De intuïtie van vergelijking (8) is als volgt: als de linkerzijde groter dan nul is, is de werkelijke consumptie in periode t+1 groter dan de verwachte consumptie in die periode. Dit kan drie redenen hebben: ten eerste als er een onverwacht rendement op het huidige vermogen is, ten tweede als er is nieuws bekend gekomen waaruit blijkt dat toekomstige rendementen hoger zullen zijn, ten derde als er een neerwaartse bijstelling van de verwachte toekomstige consumptiegroei is. Uit (8) kunnen we bovendien de verdeling van de drijvende krachten achter het consumptieniveau zien: een hoog consumptieniveau kan gehandhaafd worden door een hoog niveau van vermogen of door een hoog rendement (rm) op het vermogen. Is het niveau van vermogen niet toereikend, of schiet het rendement op vermogen tekort om het hoge consumptieniveau te financieren, dan zal hoge consumptie vandaag leiden tot lagere consumptie in de toekomst (∆ct+1+j). Men kan vermogen zien als een soort activum waarbij consumptie gelijk is aan het dividend van dit actief.



3.2 Doelfunctie van de consument

In vergelijking (8) willen we de verwachte toekomstige consumptiegroei, de component aan de rechterzijde van (8), vervangen door huidige en toekomstige activa rendementen. Dit doen we omdat we een model zonder de consumptiecomponent willen krijgen zodat we geen consumptiedata nodig hebben bij de empirische analyse. Dit geniet de voorkeur omdat consumptiedata onderhevig zijn aan meetfouten en een tijdsaggregatie bias. Om dit te realiseren, gebruiken we een doelfunctie die ontwikkeld is door Epstein en Zin (1989) en Weil (1989). Deze functie maakt een expliciet onderscheid tussen de mate van relatieve risico aversie (γ) en de intertemporele substitutie elasticiteit (ψ). In het standaard model zoals dat gebruikt is in het originele onderzoek naar de aandelenpremie van Mehra en Prescott (1985), is de relatieve risico aversie de reciproke van de intertemporele substitutie elasticiteit. Dit zijn echter twee verschillende begrippen, en zij vervullen bovendien hun eigen rol in de prijsvormingstheorie. Zo geeft de intertemporele substitutie elasticiteit de bereidheid van consumenten weer om consumptie tussen verschillende tijdstippen te substitueren. Deze maatstaf is zelfs hanteerbaar in de afwezigheid van onzekerheid. De mate van relatieve risico aversie daarentegen geeft de bereidheid van consumenten weer om consumptie te verschuiven tussen verschillende ‘toestanden’. Deze maatstaf is zelfs hanteerbaar in een model zonder een tijdsdimensie 4. De doelfunctie is als volgt gedefinieerd:

[

(

U t = (1 − β )C t(1−γ )/ θ + β EtU t1+/1θ

]

1 / θ θ / (1−γ )

)

(9)

De intertemporele substitutie elasticiteit (ψ) zit niet direct in (9), maar zit indirect in de waarde van (θ), die als volgt is gedefinieerd, θ = (1 - γ)/[1 – (1/ψ)]. Vergelijking (9) is bovendien schaal onafhankelijk. Dit houdt in dat risicopremies niet veranderen als het geaggregeerde niveau van vermogen, of de omvang van de economie, toeneemt. Epstein en Zin (1989, 1991) hebben met de log-lineaire benadering van de budgetrestrictie en de doelfunctie zogeheten Euler vergelijkingen geconstrueerd. Euler vergelijkingen zijn eerste orde voorwaarden, die het optimale pad van consumptie en portfolio’s weergeven.

 4

Campbell, Lo en MacKinlay (1997).



Als we, voor het moment, aannemen dat consumptie en de prijs van activa homoskedastisch en lognormaal verdeeld zijn, dan kunnen we de resultaten van die Euler vergelijkingen als volgt weergeven 5, 6: Et ∆ct +1 = µ m + ψEt rm,t +1

Et ri ,t +1 − r f ,t +1 +

(10)

σ ii σ = θ ic + (1 − θ )σ im 2 ψ

(11)

Waarbij rf staat voor de risicovrije rente, σii = var(ri,t+1 - Etri,t+1) en σic = cov(ri,t+1 - Etri,t+1 , ct+1 – Etct+1) en σim = cov(ri,t+1 - Etri,t+1 , rm,t+1 - Etrm,t+1). De waarde van µm is constant en gerelateerd aan de variantie van de storingsterm. De veronderstelling van homoskedasticiteit zorgt ervoor dat de bovengenoemde varianties en covarianties constant zijn voor iedere observatie, de tijdsindex vervalt dus.

Vergelijking (10) geeft een lineaire relatie weer tussen de verwachte consumptiegroei en het verwachte ‘marktrendement’, met als coëfficiënt de intertemporele substitutie elasticiteit. Vergelijking (11) geeft een verklaring voor de risicopremie voor activum i. Deze premie is een gewogen gemiddelde van de covariantie van de risicopremie met consumptie (σic), met als gewicht θ, en de covariantie van de risicopremie met het marktrendement (σim), waarbij het gewicht (1-θ) is. Als θ de waarde van 1 heeft, dat wil zeggen γ=1/ψ, dan valt σim uit vergelijking (11). De aandelenpremie is dan alleen afhankelijk van de covariantie tussen de aandelenpremie en de consumptiegroei. Het model vervalt dan tot een log-lineaire variant van het consumptie georiënteerde capital asset pricing model (CCAPM).

Vergelijking (11) zou in principe gebruikt kunnen worden om empirisch de aandelenpremie te verklaren. Dit zou echter voorbijgaan aan het feit dat consumptiedata verschillende tekortkomingen hebben. Zo zijn geaggregeerde consumptiedata onderhevig aan meetfouten. Bovendien hebben consumptiedata last van een tijdsaggregatie bias. Een tijdsaggregatie bias houdt globaal in dat men veel informatie over de werkelijke consumptie verliest doordat consumptiedata gemiddelden zijn van een bepaalde tijdsinterval. Mankiw en Zeldes (1991)

 5 6

Homoskedasticiteit veronderstelt dat de variantie van de storingsterm voor elke observatie constant is. Zie voor een exacte afleiding van vergelijking (10) en (11) Campbell (1993), Epstein en Zin (1989, 1991).



hebben ook gewezen op het feit dat de consumptie van aandeelhouders verschilt met die van niet-aandeelhouders, terwijl bij geaggregeerde consumptiedata deze twee groepen niet uiteen gesplitst zijn. Een manier om de consumptiecomponent uit vergelijking (11) te halen zou dus de zuiverheid van het model ten goede komen. In paragraaf 3.3 wordt uitgelegd hoe de consumptiecomponent uit het model gesubstitueerd kan worden.

3.3 Wegsubstitueren van consumptie

De twee log-lineaire Euler vergelijkingen (10) en (11) kunnen gebruikt worden om een vergelijking te krijgen waarin geen verwijzing wordt gemaakt naar consumptie. Om dit te bereiken substitueren we (10) in de bij benadering log-lineaire budgetrestrictie (8), wat de volgende relatie oplevert:

c t +1 - E t c t +1

= (r

m ,t +1

− E t rm , t + 1

)+ (1 - ψ )(E

t +1

−

∞

E t )∑

j =1

ρ j rm , t +1+ j

(12)

De achterliggende gedachte achter (12) is als volgt: een onverwacht rendement op geïnvesteerd vermogen heeft een positief effect op consumptie. De tweede term aan de rechterzijde van (12) ligt gecompliceerder. Is ψ < 1 dan geldt dat hogere verwachte toekomstige rendementen de consumptie verhogen. Indien ψ > 1 is, dan wordt de consumptie verlaagd door het hogere toekomstige verwachte rendement. De waarde van de intertemporele substitutie elasticiteit (ψ) bepaalt dus of er netto een substitutie- of een inkomenseffect overblijft.

Vergelijking (12) laat ook zien dat de covariantie tussen activa rendementen en consumptiegroei geschreven kan worden als een covariantie met het marktrendement en een covariantie met verwachtingsaanpassingen omtrent toekomstige rendementen.

De onderstaande vergelijking laat zien op welke manier deze covarianties met elkaar gerelateerd zijn:

σ ic ≡ σ im + (1 − ψ )σ ih

(13)



Waarbij σih ≡ cov(ri,t+1 – Etri,t+1 , (Et+1 - Et )Σ∞j=1ρjrm,t+1+j ) is, de covariantie tussen een onverwacht rendement en een positieve bijstelling van toekomstige marktrendementen (goed nieuws omtrent de toekomst). De laatste stap is de substitutie van vergelijking (13) in (11) om zo een vergelijking te krijgen welke het startpunt van de empirische analyse is:

Et ri ,t +1 − r f ,t +1 +

σ ii = γσ im + (γ − 1)σ ih 2

(14)

Vergelijking (14) maakt geen verwijzing meer naar de consumptie component, maar relateert de aandelenpremie aan de covariantie met het geïnvesteerde vermogen (σim) en met de covariantie met nieuws omtrent toekomstige rendementen (σih).

Een ander belangrijk punt is de afwezigheid van de parameter voor de intertemporele substitutie elasticiteit (ψ). De afwezigheid van deze parameter staat in schril contrast met de prominente aanwezigheid van ψ in vergelijking (11). Campbell, Lo en MacKinlay (1997) verklaren deze tegenstelling door erop te wijzen dat ψ twee functies vervult in de theorie. Enerzijds reduceert een lage waarde van ψ de fluctuaties in het consumptieniveau. Anderzijds verhoogt een lage waarde van ψ echter ook de risicopremie die men eist om gecompenseerd te worden voor diezelfde fluctuaties. Deze twee tegen elkaar inwerkende krachten zorgen ervoor dat ψ uit vergelijking (14) valt. De mate van relatieve risico aversie (γ) heeft de functie van een soort wegingsfactor.

3.4 Introductie human capital

Om de aandelenpremieformule (14) empirisch gestalte te geven, is het noodzakelijk dat men het rendement van de markt (rm) kan meten. Empirische analyses van het Capital Asset Pricing Model (CAPM) en het CCAPM gebruiken allemaal een aandelenindex, zoals bijvoorbeeld de AEX index 7, als benadering voor het marktrendement 8. De markt bestaat echter uit alle aandelen, en niet alleen de 25 meest verhandelde fondsen. Bovendien behoort een variëteit aan financiële instrumenten en niet-verhandelbare activa, zoals human capital, tot de ‘markt’. Een (aandelen) index is dus een incomplete benadering van de markt. Dit punt van  7 8

De AEX index is een gewogen gemiddelde index van de 25 meest verhandelde fondsen. Zie bijvoorbeeld Hardouvelis, Kim en Wizman (1995).



kritiek is afkomstig van Roll (1977) en staat inmiddels in de literatuur bekent als de Roll critique 9. Roll laat zien dat als men deze marktindex verandert, men zeer verschillende uitkomsten krijgt voor het risicoprofiel van de beschouwde aandelen cq portefeuilles. Stambaugh (1982) geeft een rechtvaardiging voor het gebruik van aandelenindices als benadering voor de markt, door te laten zien dat bredere indices van vermogen gecorreleerd zijn met de aandelenmarktindices. Maar zelfs als de aandelenindex het rendement op financieel vermogen redelijk benadert, dan nog houdt het geen rekening met human capital. Aangezien ongeveer twee derde van het bruto nationaal product naar de factor arbeid gaat, is human capital ongeveer twee derde van het totale vermogen. Het weglaten van deze component in de analyse is dus een serieuze tekortkoming.

Campbell (1996) gebruikt een simpele manier om human capital in de analyse te introduceren. Hij splitst het marktrendement in twee componenten op de volgende manier: Rm,t +1 = (1 − υ t )Ra ,t +1 + υ t R y ,t +1

(15)

Ra staat voor het rendement op financiële activa en Ry staat voor het rendement van human capital. De waarde van υt staat voor de verhouding tussen human capital en het totale vermogen. Vergelijking (15) heeft coëfficiënten die tijdsafhankelijk zijn. Om dit probleem op te lossen, zullen we van (15) de logaritme nemen en de vergelijking lineariseren rond de gemiddelden van Ra en Ry 10. Dit levert de volgende vergelijking op: rm ,t +1 ≈ k m + (1 + υ )ra ,t +1 + υry ,t +1

(16)

waarbij km een constante is. De waarde van υ ligt tussen 0 en 1, en is het gemiddelde van de υi’s. Het rendement van human capital is echter niet direct observeerbaar. Wat we wel direct waarnemen is het geaggregeerde arbeidsinkomen (yt). Dit arbeidsinkomen kunnen we beschouwen als een soort dividend van het activum human capital. Campbell (1991) laat zien dat onverwachte rendementen van human capital op de volgende manier kunnen worden uitgesplitst:

 9

Zie onder andere Malkiel (1985). De conditionele verwachte rendementen Ra en Ry worden verondersteld gelijk te zijn.

10



∞

∞

j =0

j =1

ry ,t +1 − Et ry ,t +1 = (Et +1 − Et )∑ ρ j ∆y t +1+ j − (Et +1 − Et )∑ ρ j ra ,t +1+ j

(17)

Verwacht men in de toekomst een hoger arbeidsinkomen, dan zal dat het rendement van human capital vergroten. Verwacht men echter in de toekomst een hoger rendement op financiële activa, dan zal dit het rendement van human capital verkleinen. Dit komt omdat de toekomstige stroom arbeidsinkomen nu door een hogere waarde wordt verdisconteerd. Als we de structuur van (17) substitueren in de derde term van (16), dan levert dat de volgende uitdrukking: ∞

∞

j =0

j =1

rm,t +1 - Et rm,t +1 = (1 - v )(ra ,t +1 - Et ra ,t +1 )+ v(Et +1 − Et )∑ ρ j ∆y t +1+ j − v(Et +1 − Et )∑ ρ j ra ,t +1+ j (18)

We zien uit (18) dat het ‘markt’-rendement nu uit drie bestanddelen bestaat. Ten eerste heeft het rendement op financiële activa een positief effect op rm . Ten tweede, als υ > 0, dan heeft ook het verwachte toekomstige arbeidsinkomen een positief effect. Ten derde hebben toekomstige rendementen op financiële activa een negatief effect. Deze toekomstige rendementen op financiële activa zitten in (18) omdat we die rendementen gebruikt hebben om de toekomstige stroom van arbeidsinkomen te verdisconteren. Substitueren we deze vergelijking in vergelijking (12) dan levert dat de volgende uitdrukking:

∞

∞

j =0

j =1

ct +1 − Et ct +1 = (1 − υ )(ra ,t +1 − Et ra ,t +1 )+ υ (Et +1 − Et )∑ ρ j ∆y t +1+ j + (1 − ψ − υ )(E t +1 − E t )∑ ρ j ra ,t +1+ j (19)

Vergelijking (19) is equivalent aan vergelijking (12), maar dan met de introductie van human capital in het marktrendement. De structuur van deze twee vergelijkingen is globaal hetzelfde, alleen hebben de termen in (19) de wegingsfactor υ meegekregen. Bovendien is nu dus rm opgedeeld in ra en ry. Veranderingen in de verwachte rentestand beïnvloeden consumptie direct via hun invloed op human capital, en indirect via intertemporele substitutie. Het directe effect hangt af van de waarde van υ, en het indirecte effect hangt af van de waarde van ψ. De derde term van (20) hangt van beide elementen af. Uit deze term blijkt wel, dat als human capital belangrijk is,



oftewel υ is substantieel groter dan nul, dat de intertemporele substitutievoet, zelfs bij lage waarden, de consumptie laat dalen bij een rentestijging. Dit stemt overeen met het feit dat empirisch gezien de intertemporele substitutie elasticiteit laag is (Hall, 1988). Bovendien komt het overeen met de intuïtie dat een rentestijging de consumptie doet dalen. We kunnen nu op dezelfde manier als waarop we (14) hebben afgeleid, een aandelenpremie vergelijking maken welke rekening houdt met de component human capital in het marktrendement. Als we de covariantiestructuur van (19) in (12) substitueren dan verkrijgen we de volgende premieformule:

E t ri , t +1 − r f , t +1 +

σ ii = γ (1 − υ )σ ia + γυσ 2

iy

+ [γ (1 − υ ) − 1]σ ih

(20)

Vergelijking (20) maakt geen referentie meer naar consumptie, en splitst bovendien het marktrendement uiteen in een financieel en een human wealth gedeelte. De structuur van (20) is van het multifactor type, met hier drie covarianties als factoren (σia , σiy en σih). Aangezien υ ongeveer in de buurt van tweederde zal liggen, is het arbeidsinkomen (σiy) dus een belangrijke (risico) factor in de prijsvorming van activa. Vergelijking (20) zullen we in hoofdstuk 5 gebruiken om er de historische aandelenpremie in Nederland te analyseren.

4 ECONOMETRISCHE ASPECTEN MODELSTRUCTUUR In deze sectie worden de verwachtingen uit het theoretisch kader gemodelleerd zodat deze schatbaar zijn. Dit gebeurt in paragraaf 4.1. Vervolgens worden in paragraaf 4.2 de datareeksen beschreven die gebruikt zullen worden bij de empirische invulling van het model.

4.1 Modellering van verwachtingen Om vergelijking (20) te kunnen schatten is het nodig om de verwachtingen, die in de covarianties voorkomen, te operationaliseren. We doen dit aan de hand van de vector autoregressie (VAR) benadering. De VAR methodiek wordt vaak toegepast bij voorspellingen van stelsels van onderling verbonden reeksen, en bij het analyseren van de invloed van storingen cq schokken op het stelsel van vergelijkingen. De VAR benadering modelleert de endogene variabelen als een functie van vertraagde waarden van álle



endogenen. Het aantal vertragingen van de endogenen dat men opneemt in de analyse wordt de orde van het VAR systeem genoemd. Men moet echter spaarzaam omgaan met het aantal endogenen dat men opneemt in de analyse aangezien het aantal te schatten coëfficiënten het kwadraat is van het aantal variabelen dat men opneemt. We zullen hier werken met een eerste orde VAR systeem, dat op de volgende manier geschreven kan worden: z t +1 = Az t + ε t +1

(21)

hierbij is zt een vector van toestand variabelen. Het eerste element van zt is het reële rendement van een aandelenindex. Het tweede element van z is de groei van het reële arbeidsinkomen. De overige variabelen in z zijn relevante variabelen die helpen bij het voorspellen van toekomstige rendementen op de aandelenmarkt en de groei van het toekomstige arbeidsinkomen. Paragraaf 4.2 geeft een beschrijving van de opgenomen variabelen in z. De matrix A is de zogenaamde ‘companion’ van de VAR, het bevat de geschatte parameters van het systeem. Het eerste orde VAR model waar we hier mee werken is niet restrictief omdat hogere orde VAR modellen altijd tot een eerste orde model kunnen worden teruggebracht.

Campbell (1991) laat zien dat het voordeel van deze VAR methodiek de eenvoud van de jperiode voorspellingen is:

Et z t +1+ j = A j +1 z t

(22)

Dit resultaat van de VAR benadering zullen we gebruiken om de verwachtingen in ons model te operationaliseren. We definiëren nu een vector e1 waarvan het eerste element de waarde één heeft en de overige elementen nul zijn. De vector e1 heeft evenzoveel elementen als dat er toestand variabelen zijn. Deze vector haalt het rendement op aandelen (ra) uit de toestandsvector z. Op dezelfde manier definiëren we nu een vector e2 waarbij het tweede element één is en de overige elementen nul. Deze vector haalt de groei van arbeidsinkomen (∆y) uit de (toestands) vector z.



We kunnen nu de som van de verwachtingsaanpassingen met betrekking tot het toekomstige aandelenrendement als volgt weergeven 11:

∞

(Et +1 − Et )∑ ρ j ra,t +1+ j j =1

∞

= e1’∑ ρ j A j ε t +1 j =1

= e1’ρA(I − ρA) ε t +1 −1

(23)

=λ ε

’ h t +1

Waarin λh gelijk is aan e1′ρA(I - ρA)-1, een functie van de VAR coëfficiënten van vergelijking (20). Op dezelfde manier kunnen we nu een uitdrukking verkrijgen voor de som van de verwachtingsaanpassingen op het gebied van het toekomstige arbeidsinkomen. Campbell et al. (1997) laat zien dat deze som op de volgende manier is te schrijven: ∞

(Et +1 − Et )∑ ρ j ∆yt +1+ j j =0

∞

= e2’∑ ρ j A j ε t +1 j =0

= e2’(I − ρA) ε t +1 −1

(24)

= λ’y ε t +1 Hierbij is λy gelijk aan e2′(I - ρA)-1, een functie van de VAR coëfficiënten. De beide vectoren, λh en λy, meten de invloed van de toestandvariabelen in de voorspellingen van respectievelijk het aandelenrendement en de groei van het arbeidsinkomen.

We zullen nu de invloeden van de toestandvariabelen moeten verbinden met de prijsvormingsformule (20). Om dit te bewerkstelligen definiëren we de volgende covarianties: σik ≡ cov(ri,t+1 , εk,t+1). Hierbij is εk,t+1 het element k uit vector εt+1. Dit zijn dus covarianties tussen het rendement op activum i en de residuen van de toestandvariabelen uit het VAR model. Als we deze covarianties met vergelijking (20) combineren, dan levert dat de volgende vergelijking op: Et ri ,t +1 − r f ,t +1 +

K σ ii = γ (1 − υ )σ i1 + ∑ {γυλ y ,k + [γ (1 − υ ) − 1]λh ,k }σ ik 2 k =1

 11

Campbell et al. (1996, 1997).

(25)



Deze bovenstaande vergelijking zullen we in hoofdstuk 5 gaan schatten. Aangezien het rendement op een aandelenindex het eerste element uit de toestandsvector is, geldt dat σi1 = σia. Vergelijking (25) laat zien dat de log van het extra rendement (excess return) dat aandelen opleveren ten opzichte van een risicovrije belegging een lineaire combinatie is van de covarianties van het rendement met de k factoren. Prijsvormingsformule (25) heeft de gedaante van een standaard k-factor formule, in de traditie van de arbitrage pricing theory (APT) van Ross 12. APT geeft echter geen inzicht in de totstandkoming van de risicofactoren en de prijsvorming van deze factoren. Vaak worden belangrijke macro economische variabelen opgenomen als risicofactoren in APT analyses, maar een eenduidig criterium op basis waarvan deze variabelen worden gekozen ontbreekt. De methodiek die hier gevolgd wordt geeft expliciet aan dat factoren gekozen worden op basis van hun voorspelkracht van het toekomstige arbeidsinkomen en van toekomstige aandelen rendementen. Paragraaf 4.2 geeft een overzicht van de factoren cq toestandsvariabelen die in dit onderzoek opgenomen zullen worden.

4.2 Gebruikte data

Voor dit onderzoek is gebruik gemaakt van data die lopen van januari 1975 tot en met december 1996, met een maandelijkse frequentie. De volgende reeksen maken deel uit van deze dataverzameling:

a aandelenrendement (AR) b dividendrendement (DR) c arbeidsinkomen (ARB) d risicovrije rente (RVR) e rendements ecart van lange en korte overheidsobligaties (LKO) f rendement van 21 individuele fondsen

De variabelen a t/m e worden als toestandvariabelen opgenomen in de vector zt van de VAR vergelijking (21). De variabelen die in de toestandsvector worden opgenomen zijn gekozen op  12

zie Bodie et al. (1996) voor een uitgebreide beschrijving van APT.



basis van hun voorspelkracht met betrekking tot toekomstig aandelenrendement en toekomstig arbeidsinkomen. De toestandsvariabelen in dit onderzoek, a t/m e, zijn hetzelfde als in het originele onderzoek van Campbell (1996). De variabelen onder f worden gebruikt om een historische aandelenpremie te berekenen.

4.2.1 Aandelenrendement

Voor de gehele periode is gebruikt gemaakt van de CBS All Share koersindex (1973=100) van het Centraal Bureau voor de Statistiek (CBS). Deze index behelst alle op de Amsterdamse effectenbeurs genoteerde fondsen. Het rendement van deze index betreft uitsluitend het koersrendement op maandelijkse basis. Deze index is afkomstig uit Datastream.

De waarnemingen geschieden aan het begin van iedere maand. Figuur 1 toont het verloop van het koersrendement van aandelen: Fig uur 1 CBS All Share koersrendement (%)

20

10

0

-10

-20

-30 76

78

80

82

84

86

88

90

92

94

96

In figuur 1 is de beurscrash van oktober 1987 goed te zien met een koersdaling van ongeveer 25%. Verder is het opvallend dat de koersveranderingen na oktober 1987 steeds binnen een marge van +10% en –10% zijn gebleven. Het aandelenrendement (AR) wat uiteindelijk in de toestandvector als eerste element komt is reëel gemaakt met het prijsindexcijfer voor totale consumptie.



4.2.2 Dividendrendement

Van alle bedrijven die opgenomen zijn in de CBS All Share koersindex zijn ook dividend rendementen bekend. Deze cijfers zijn opgenomen in de CBS All Share dividendrendement, die eveneens afkomstig is uit Datastream. Maandelijkse dividendrendementen worden berekend door het dividend bedrag te delen door de koers aan het begin van iedere maand. De onderstaande grafiek toont het verloop van het dividendrendement: Fig uur 2 CBS All Share dividendrendement (%)

9 8 7 6 5 4 3 2 76

78

80

82

84

86

88

90

92

94

96

Opvallend is te zien dat in figuur 2 de dividendrendementen op een historisch laag niveau staan, lager dan 3%. De grootste daling in het rendement vond plaats van halverwege 1982 tot en met begin 1984. Na een stijging van enkele jaren, daalde het dividendrendement in die relatief korte periode van 8,18% naar 4,06%. Mondiaal zijn de koersen in deze periode sterk gestegen doordat de Verenigde Staten zijn monetaire politiek versoepelde, wat een rentedaling tot gevolg had. Deze koersstijging is verantwoordelijk voor de daling van het dividendrendement, aangezien het dividendbedrag niet zoveel veranderde in deze periode. Tevens is mooi te zien dat door de ‘crash’ van oktober 1987 het dividendrendement is gestegen van 3,76% naar 5,03%. De stijging van de koersen na deze minicrash zorgde ervoor dat het dividendrendement eind 1989 weer terug is op het niveau van voor oktober 1987. Het dividendrendement (DR) wordt als derde element opgenomen in de toestandsvector z.



4.2.3 Arbeidsinkomen

Voor de reeks van het arbeidsinkomen is gebruik gemaakt van de loonsom van de gehele economie. Van deze reeks zijn kwartaalcijfers beschikbaar welke afkomstig zijn van de Afdeling Statistische informatie en rapportages (SIR) van De Nederlandsche Bank 13. Om de reeks in een maandelijkse frequentie te krijgen is de reeks geïnterpoleerd voor de tussenliggende maanden. Deze reeks wordt vanaf begin 1983 anders geregistreerd aangezien men een seizoenscorrectie heeft aangebracht. Om het verschil tussen de twee perioden te verhelpen is van de reeks na 1983 een viermaands voortschrijdend gemiddelde genomen. Het resultaat is een maandelijkse reeks die een trend in het arbeidsinkomen weergeeft. Het reële groeipercentage van het arbeidsinkomen (ARB) is de variabele die in de toestandvector als tweede element wordt gebruikt.

4.2.4 Risicovrije rente

Voor de risicovrije geldmarktrente is gekozen voor de rente op 3-maands eurodeposito’s. In dit onderzoek wordt de 3-maands euro-gulden gebruikt 14. Deze reeks is gekozen als risicovrije rente, omdat de termijn van de belegging, 3 maanden, dermate kort is dat er weinig tot geen inflatieonzekerheid is. Onderstaande grafiek laat het verloop zien van het maandelijkse rendement op 3-maands euro-gulden deposito’s: Figuur 3 rendement van 3-maands euro-gulden deposito

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2 76

78

 13 14

de SIR code van deze reeks is IRDA09KA. de SIR code van deze reeks is IKGB11MA.

80

82

84

86

88

90

92

94

96



In figuur 3 is te zien dat de risicovrije geldmarktrente vanaf ongeveer halverwege 1992 geleidelijk is gedaald naar het laagste punt van deze datareeks. Deze geleidelijke meerjarige beweging van de rente staat in schril contrast met het verloop gedurende einde jaren ’70 en begin jaren ’80. De hoge rentestanden in die tijd waren het gevolg van een oplopende inflatie ten tijde van de olie crises. De risicovrije rente (RVR) wordt als vierde element opgenomen in de toestandvector.

4.2.5 Rente ecart van lange en korte overheidsobligaties

Voor het rendements ecart van lange en korte overheidsobligaties is gebruik gemaakt van twee reeksen van het CBS. Voor de korte overheidsobligaties is gebruik gemaakt van het rendement van 3-5 jarige staatsobligaties 15.Voor de lange overheidsobligaties wordt idealiter gebruik gemaakt van het rendement op de vijf langstlopende overheidsobligaties. Deze reeks is echter pas beschikbaar vanaf januari 1984. Voor de periode van vóór 1984 wordt derhalve gebruik gemaakt van het rendement op de nieuwste drie langlopende overheidsobligaties 16. Als we het verschil tussen deze twee obligatiereeksen grafisch weergeven, geeft dat het volgende beeld van het rente ecart:

Figuur 4 rente ecart lange en korte overheidsobligaties

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

-0.5 76

78

80

82

84

86

88

90

92

94

96

 15

de SIR code van deze reeks is IKGC21MA. de SIR code van de 5 langstlopende overheidsobligaties is IKGC41MA, en van de 3 nieuwste langlopende overheidsobligaties is IKGC51MA. 16



We zien dat vanaf het begin van de datareeks tot januari 1980 het rente ecart, ook wel termijnpremie genoemd, gedaald is tot onder de nullijn. Dit betekent dat het rendement van korte overheidsobligaties hoger is dan het rendement van lange overheidsobligaties. Zo’n zelfde situatie treedt op gedurende begin 1989 tot eind 1992. Bij beide periodes kan gesproken worden over een omgekeerde rentestructuur. Daarbij moet wel aangetekend worden dat de termijnpremie hier niet ten opzichte van de drie maands rente is genomen maar ten opzichte van 3-5 jarige obligaties. Een omgekeerde rentestructuur moet dan ook tegen de achtergrond van deze definitie gezien worden. Na 1992 stijgt het rente ecart, met een dip eind 1994, naar het hoogste niveau in onze dataset. Opmerkelijk is hierbij dat de trend een stuk gelijkmatiger verloopt dan aan het einde van de jaren zeventig. Het rente ecart tussen lange en korte overheidsobligaties (LKO) is het vijfde en laatste element in de toestandvector.

4.2.6 Rendement van individuele fondsen

Om de uiteindelijk te verklaren aandelenpremie vast te stellen is een paneldataset van individuele bedrijven samengesteld 17. Deze dataset loopt, net zoals de dataset die gebruikt wordt voor het schatten van de VAR coëfficiënten, van januari 1975 tot en met december 1996. De keuze van bedrijven die opgenomen zijn in de dataset is voornamelijk gebaseerd op basis beschikbaarheid van de data. Tussen de bedrijven die zijn overgebleven na deze eerste selectie, is een verdere selectie gemaakt op basis van sectoren, dusdanig dat verschillende sectoren in de dataset aanwezig zijn. Van deze bedrijven zijn vervolgens maandelijkse dividendrendementen en koersen uit Datastream verkregen, om zo een individuele aandelenpremie te berekenen.

Tabel 5 laat een eerste omschrijving van de bedrijven zien. We zien dat voor de gehele portfolio een gemiddeld maandelijks rendement van 1,54% is behaald. Dit komt globaal overeen met een jaarlijks rendement van 20,13%. De uitgever Wolters Kluwer is een positieve uitschieter met een gemiddeld maandelijks rendement van 2,23%, waarmee dit fonds 0,7 procentpunt boven het gemiddelde zit. In negatieve zin springt

 17

Paneldata kenmerken zich door het feit dat het twee dimensies heeft: tijdreeksen en dwarsdoorsnedes (cross sectie). Oftewel men volgt de dwarsdoorsnede door de tijd heen.



Tabel 5 Rendementen van individuele fondsen Fonds

______________________ Ahold Aegon Akzo Nobel BAM Groep Fortis-Amev Gist Brocades Hagemeyer HBG Heineken Hoogovens KBB KLM Koninklijke Olie OCE Pakhoed Philips Stork Unilever Van Ommeren VNU Wolters Kluwer Gemiddeld

Gem. totaal Gem. over- Gem. rendement rendement dividend rendement _________ _________ _________ 2,160 1,586 0,250 1,843 1,269 0,410 1,388 0,814 0,340 1,701 1,127 0,450 1,761 1,187 0,420 1,300 0,726 0,310 1,664 1,090 0,380 1,667 1,093 0,490 1,574 1,000 0,240 0,967 0,393 0,220 1,225 0,651 0,410 1,407 0,833 0,190 1,760 1,186 0,150 1,464 0,890 0,330 1,013 0,439 0,380 1,228 0,654 0,380 1,341 0,767 0,230 1,570 0,996 0,410 1,165 0,591 0,460 1,941 1,367 0,390 2,229 1,655 0,320 _________ _________ _________ 1,54 0,97 0,36

Gem. koers Std.deviatie rendement totaal rendement _________ __________ 1,910 7,755 1,433 6,491 1,048 8.643 1,251 9,976 1,341 6,796 0,990 9,192 1,284 10,770 1,177 8,191 1,334 7,127 0,747 11,287 0,815 10,455 1,217 10,644 1,250 5,652 1,134 8,941 0,633 8,349 0,848 8,350 1,111 10,803 1,160 6,192 0,705 7,957 1,551 8,194 1,909 6,763 _________ __________ 1,18

Hoogovens eruit. Dit fonds behaalde ‘slechts’ een maandelijks rendement van 0,97%. De aandelenpremie (tweede kolom) voor deze 21 fondsen van januari 1975 tot en met december 1996 bedroeg 0,97%, dit komt neer op een jaarlijkse premie van 12,28%. Kolom 3 en 4 splitsen het totale rendement uit naar dividend rendement en koersrendement. De laatste kolom laat vervolgens de standaard deviatie van het rendement zien. Hoe verhoudt de hier gevonden premie zich ten opzichte van andere onderzoeken? Het antwoord op deze vraag is moeilijk te geven aangezien de premie sterk varieert in de tijd. De onderstaande grafiek laat de jaarlijkse aandelenpremie op de 21 fondsen uit tabel 5 en de aandelenpremie van de CBS All Share index zien:



Fig uur 5 jaarlijkse aandelenpremie en fondspremie 60

40

20

0

-20

-40 76

78

80

82

84

86

AANDELENPREM IE

88

90

92

94

96

FONDSPREM IE

De fondspremie in figuur 5 is de premie van de portfolio met de 21 fondsen uit tabel 5, de aandelenpremie is de premie van de markt als geheel (CBS All Share). In figuur 5 is te zien dat een portefeuille met de 21 fondsen uit tabel 5 het gedurende 1981-‘86 beter hebben gedaan dan de markt als geheel. Na 1986 houdt de fondspremie gelijke tred met de aandelenpremie, wat ook blijkt uit de correlatiecoëfficiënt van 0,86 over de gehele periode. De hoogte van de aandelenpremie is dus sterk tijdsafhankelijk, zo is de premie in 1994 rond de 14% terwijl de premie twee jaar later gestegen is tot 30%.

Bij een vergelijking met andere onderzoeken moet dus goed op de onderzochte periode worden gelet. Tabel 6 laat de aandelenpremie zien van verschillende onderzoeken.

We zien dat, voor zowel Nederland als de Verenigde Staten, aandelen over langere perioden een premie van ongeveer 6 à 7% hebben gehad. Een nadere analyse van het resultaat van het onderzoek van Van de Poll, laat zien dat de aandelenpremie in vergelijking gedurende ‘61-’80 zeer laag is geweest terwijl de periode 1981-’94 gekenmerkt werd door een zeer hoge premie. Een onderzoek wat globaal een gelijke periode bestrijkt, is dat van Fase. Hij komt op een jaarlijkse aandelenpremie van 8,5%, terwijl de dataset uit tabel 5 een jaarlijkse premie van 12,3% kent. Het verschil zit voornamelijk in het feit dat in dit onderzoek een premie wordt berekend van een set individuele bedrijven, terwijl in het onderzoek van Fase de premie van



Tabel 6 Aandelenpremies van verschillende onderzoeken Auteur __________________________ Mehra en Prescott (1985) Campbell (1996) Campbell (1996) Van de Poll (1996) Van de Poll (1996) Van de Poll (1996) Fase (1997)

Aandelenpremie (%) __________ 6,18 7,56 5,20 5,69 1,66 10,66 8,50

Periode

Land

Datatype

Frequentie

__________ 1889-1978 1952-1990 1871-1990 1828-1994 1961-1980 1981-1994 1974-1995

_____ VS VS VS NL NL NL NL

_________ tijdreeks panel tijdreeks tijdreeks tijdreeks tijdreeks tijdreeks

________ jaar maand jaar jaar jaar jaar jaar

een algemene aandelenindex wordt berekend. Het voordeel van de hier gebruikte dataset is dat het maandelijkse paneldata betreft, welke een rijkere informatieinhoud hebben dan alleen tijdreeksen. Dit komt ten eerste doordat er niet wordt geaggregeerd over de bedrijven en ten tweede hebben maandelijkse data het voordeel dat zij meer informatie opleveren dan jaarlijkse data. Daar staat tegenover dat we de analyse moeten beperken tot slechts een deel van alle bedrijven.

5 SCHATTINGSRESULTATEN

Nu het theoretische gedeelte en het data gedeelte is afgerond kunnen we het model gaan schatten. Het schatten bestaat globaal uit twee delen. Het eerste deel bestaat uit het schatten van het VAR model op basis van een kleinste kwadraten schatting (OLS). De resultaten die hieruit voortvloeien, met name de λ’s uit vergelijking (25) en de storingstermen uit de σik’s, worden vervolgens in deel twee gebruikt. Deel twee behelst een schatting van de cruciale parameter van het model, de risicoaversie (γ) uit vergelijking (25), middels de Generalized Method of Moments (GMM). Tabel 7 laat de geschatte parameters van het eerste orde VAR model zien, waarbij de reeksen a t/m e als inhoud van de toestandsvector z zijn gebruikt.



Tabel 7 Eerste orde VAR schattingen Afhankelijke variabele

Regressoren:

AR(-1) ARB(-1) DR(-1) RVR(-1) LKO(-1) R kwadraat ____________________ _______ ________ _______ ________ _______ _________ AR 0,048 0,317 4,875 4,235 0,459 0,05 (-0,767) (0,696) (1,936)- (-2,017) (0,642) ARB

-0,021 (-2,688)

0,458 -0,067 (8,187) (-0,218)

-0,564 -0,082 (-2,187) (-0,937)

0,27

DR

0,000 (-0,706)

-0,002 0,958 (-0,687) (71,042)

0,020 -0,003 (1,754) (-0,771)

0,96

0,901 -0,036 (35.072) (-4,105)

0,92

-0,044 (-0,545)

0,89

RVR

0,000 (0,515)

LKO

-0,004 (-1,788)

0,007 (1,332)

0,023 (0,739)

-0,007 -0,049 (-0,385) (-0,504)

0,942 (34,22)

t-waarden staan tussen haakjes.

De eerste rij laat de voorspelvergelijking voor het aandelenrendement (AR) zien. We zien dat seriële correlatie van de eerste orde bij het aandelenrendement nagenoeg afwezig is. De coëfficiënt van AR(-1) is slechts 0.048 en is bovendien niet significant verschillend van nul. Dit betekent dat het aandelenrendement uit het verleden {AR(-1)} geen goede voorspeller is voor het toekomstige aandelenrendement {AR}. Het arbeidsinkomen uit het verleden heeft ook weinig effect op het aandelenrendement gezien de coëfficiënt van 0.317 en de bijbehorende t-waarde van 0,7. Bij het dividendrendement is het effect groter dan bij het arbeidsinkomen. Bovendien is de coëfficiënt van het dividendrendement significant bij een betrouwbaarheid van 90%. De risicovrije rente daarentegen heeft een significant negatief effect op het aandelenrendement. De R-kwadraat van deze vergelijking is met 0,05 aan de lage kant, wat neerkomt op het idee dat aandelenrendementen moeilijk tot niet te voorspellen zijn.

Bij de voorspelvergelijking van het arbeidsinkomen zijn zowel het aandelen-rendement, het arbeidsinkomen uit het verleden en de risicovrije rente significant verschillend van nul. De



bijbehorende R-kwadraat is 0,27 , wat duidt op een redelijke voorspelbaarheid van het toekomstige arbeidsinkomen. De overige drie voorspelvergelijkingen gedragen zich als persistente autoregressieve processen van de eerste orde. Zo is alleen het dividendrendement uit het verleden significant als verklarende variabele van het huidige dividendrendement. De coëfficiënt van het vertraagde dividendrendement bedraagt zelfs 0,96. Hetzelfde geldt voor het rente ecart op overheidsobligaties, met een coëfficiënt van 0,94. De risicovrije rente gedraagt zich ook als een persistent autoregressief proces. Het verschil met de andere twee vergelijkingen is, dat in dit geval ook het rente ecart een significant negatief effect heeft. De R-kwadraten zijn door de aard van het proces zeer hoog in vergelijking met de voorspelvergelijkingen van AR en ARB.

De residuen van het VAR systeem zijn erg belangrijk omdat die de nieuwscomponent van een variabele kwantificeren. Dit is te zien door vergelijking (21) te herschrijven tot de volgende vorm: zt+1 – Azt = εt+1. De voorspelling op basis van alle beschikbare informatie is Azt als deze voorspelling afwijkt van de gerealiseerde waarde (zt+1) betekent dat, dat de absolute waarde van εt+1 groter dan nul is. Het nieuws wat agenten niet in hun voorspelling hebben opgenomen, maar wel in de realisatie zit, wordt dan gekwantificeerd door de waarde van het residu (εt+1). Dit zijn de zogenaamde (voorspellings) innovaties.

De onderstaande tabel laat de innovatie (co)varianties en correlaties zien:

Tabel 8 Innovatie (co)varianties en correlaties

AR ARB DR RVR LKO

AR _____ 19,680 0,123 -0,093 -0,004 0,002

ARB _____ 0,050 0,297 -0,001 -0,050 -0,014

DR _____ -0,886 -0,046 0,001 0,000 0,000

RVR LKO _____ ______ -0,016 0,003 -0,130 -0,150 -0,029 0,005 0,003 -0,036 -0,001 0,029

Correlaties zijn vet gedrukt.

Innovaties van het arbeidsinkomen (0,29) zijn vele malen minder volatiel dan innovaties van aandelenrendementen (19,68). De variantie van innovaties van het dividendrendement is het



laagst van alle toestandsvariabelen. De negatieve correlatiecoëfficiënt van AR en DR is intuïtief goed te verklaren: als het aandelenrendement erg hoog is (de koersen zijn sterk gestegen) dan wordt het dividendrendement minder doordat men het gelijk gebleven dividendbedrag deelt door een hogere koers.

Met de VAR coëfficiëntenvector (A) kunnen we nu de in paragraaf 4.1 gemodelleerde verwachtingen kwantificeren. Daar werd de verdisconteerde som van de verwachtingsrevisie van aandelenrendementen geschreven als functie van de VAR coëfficiënten. Deze niet lineaire functies werden als volgt gedefinieerd λ′h=e1′ρA(I - ρA)-1 voor de voorspelrevisie van aandelenrendementen en λ′y=e2′(I - ρA)-1 voor de voorspelrevisie van het arbeidsinkomen. De elementen van de lambda’s meten de mate van voorspelkracht van de vijf toestandsvariabelen. De onderstaande tabel laat de elementen van beide lambda’s zien:

Tabel 9 Nieuws van toekomstig aandelenrendement en arbeidsinkomen Vector

_________ Lambda y lambda h

Schok van: ___________________________________________________________ AR ARB DR RVR LKO _____ _____ _____ ______ _____ -0,037 1,675 -4,205 -5,498 0,460 -0,013 -0,011 35,968 -24,167 0,978

Een schok van ARB en LKO heeft een positief effect op de lange termijn voorspelling van het arbeidsinkomen (λy). Bij het aandelenrendement (λh) hebben alleen de schokken van DR en LKO een positief effect op de lange termijn voorspelling. De coëfficiënt van DR is met 36 erg hoog, wat duidt op grote positieve effecten van een verhoging van het dividendrendement op het lange termijn aandelenrendement. Ter vergelijking, de resultaten van Campbell (1996) voor de Verenigde Staten laten het volgende beeld zien: de belangrijkste determinant van de lange termijn voorspelling van inkomensgroei is de huidige innovatie van het inkomen. Bovendien is er een positief effect van het rente ecart op deze voorspelling. Bij de determinanten van de lange termijn voorspelling van het aandelenrendement hebben alle variabelen, behalve AR, een significant positief effect. Ook hier heeft de coëfficiënt van DR een zeer hoge waarde.



De interpretatie van tabel 9 wordt echter bemoeilijkt door verschillen in volatiliteit en onderlinge correlaties zoals die zijn gegeven in tabel 8. Hierdoor verloopt een schok via diverse kanalen en is een individueel effect moeilijk te isoleren. Met de gegevens die we nu hebben kunnen we de verschillende nieuwscomponenten met elkaar vergelijken en interacties tussen deze componenten bekijken. Dit is nuttig omdat nieuwscomponenten een belangrijke rol spelen in het model. Door de nieuwscomponenten met elkaar te vergelijken krijgen we inzicht in de structuur en onderlinge samenhang. Tabel 10 geeft de (co)varianties en de correlaties weer tussen het huidige aandelenrendement (e1′εt+1), nieuws omtrent toekomstige aandelenrendementen (λ′hεt+1), nieuws van de huidige en toekomstige groei van het arbeidsinkomen (λ′yεt+1) en nieuws van de huidige arbeidsinkomensgroei (e2′εt+1): Tabel 10 (Co)varianties en correlaties van nieuwscomponenten

e1′εt+1 λ′hεt+1 λ′yεt+1 e2′εt+1

e1′εt+1

λ′hεt+1

λ′yεt+1

e2′εt+1

_______ 19,759 -40,459 4,214 0,123

_______ -0,860 112,450 -10,782 -0,300

_______ -0,640 0,690 2,164 0,537

_______ 0,050 -0,055 0,672 0,2298

Correlatiecoëfficiënten zijn vet gedrukt. We zien dat er een negatieve correlatiecoëfficiënt van –0,86 , bestaat tussen huidige en toekomstige aandelenrendementen. Dit betekent dat de verwachtingen van toekomstige aandelenrendementen dalen indien de markt stijgt. De correlatiecoëfficiënt tussen de huidige groei van het arbeidsinkomen en de toekomstige groei van het arbeidsinkomen is sterk positief (0,672). Dit duidt op het feit dat goed nieuws met betrekking tot het huidige inkomen een positief signaal vormt voor het toekomstige inkomen. De correlatie tussen de inkomensvariabelen (kolom 3 en 4) en de aandelenmarkt (rij 1 en 2) is laag voor het huidige arbeidsinkomen (e2′εt+1), maar hoog als ook het toekomstige arbeidsinkomen meegenomen wordt (λ′yεt+1).

We hebben nu voldoende informatie om vergelijking (25) met behulp van de verkregen VAR residuen te schatten. Het is echter handig om (25) iets te herschrijven zodat de AR component



in zijn geheel voor het sommatie teken wordt gehaald, dit levert de volgende, te schatten, vergelijking op:

ERi = {γ (1 − υ ) + γυλ y1 + [γ (1 - υ ) - 1]λ h1 }σ i1 + ∑ {γυλ yk + [γ (1 − υ ) − 1]λ hk } 5

(26)

k =2

Het overrendement (ER) van bedrijf i hangt af van vijf factoren. Deze vijf factoren zijn de covarianties van de residuen van de toestandsvariabelen uit het VAR model met het rendement. Factor 1, σi1, is dus de covariantie van de residuen van AR met het rendement. De waarde tussen de accolades voor de factoren zijn dan de risicoprijzen. De waarde van υ, de verhouding tussen human capital en totaal vermogen, wordt a priori vastgesteld.

De waarde van de risicoaversie zal middels GMM worden geschat. Deze methode is ontwikkeld door Hansen (1982). Het idee achter GMM is dat er een theoretische relatie wordt verondersteld waaraan de parameters moeten voldoen. De parameters worden zo gekozen dat de gewogen afstand tussen de theoretische relatie en de werkelijke waarde wordt geminimaliseerd. Bij de theoretische relatie wordt gebruik gemaakt van orthogonaliteits voorwaarden. Bij GMM gebruiken we instrument variabelen. Deze instrumenten moeten gecorreleerd zijn met de verklarende variabelen, maar niet met de residuen. Dat de instrumenten ongecorreleerd zijn met de residuen volgt uit de orthogonaliteitsvoorwaarden 18.

Tabel 11 laat de aldus verkregen schattingsresultaten voor vergelijking (25) zien. Tabel 11 Schattingsresultaten voor de risico-aversie Portfolio

υ

γ

__________________ 21 aandelen

___ 0

21 aandelen

1/3

21 aandelen

2/3

21 aandelen

1

Prob.

Risicoprijzen:

AR ARB DR RVR LKO ________ _______ ________ ________ _______ _______ _______ 1,22 0,00 1,210 0,003 7,845 -5,271 2,176 (8,55) 2,00 0,00 1,303 3,351 9,155 -32,165 3,623 (8,60) 5,17 0,000 1,582 5,760 11,415 -36,255 8,755 (6,18) 2,21 0,210 -0,069 3,706 -3,776 0,939 -9,029 (0,09)

t-waarden staan tussen haakjes.  18

Zie voor een uitgebreide beschrijving van de GMM methode en de theoretische fundamenten Greene (1993).



De resultaten in tabel 11 zijn verkregen met White’s gewichtenmatrix, zodat de resultaten robuust zijn voor heteroskedasticiteit van onbekende vorm 19. De instrumenten die gebruikt zijn in de analyse zijn: CBS All Share index en de korte rente 20.We zien dat de risicoaversie stijgt voor hogere waarden van υ, bij een υ van 1 daalt de risicoaversie echter weer. Bovendien is bij een υ van 1 de parameter voor de risicoaversie niet meer significant verschillend van nul. Als we υ op theoretische gronden vast zouden stellen, dan zou een waarde van 2/3 plausibel zijn. Dit is globaal het aandeel van arbeid in het bruto nationaal product 21. Bij deze waarde krijgen we een risicoaversie van 5,17 voor de periode 1975:1-1996:12. De bijbehorende t-waarde is 6,18, wat erop duidt dat de risicoaversie significant van nul verschilt. De situatie waarin υ ofwel 0 ofwel 1 is zijn beide zeer extreem. Is υ gelijk aan 0, dan is er een situatie waarin human capital geen rol speelt. Is υ gelijk aan 1, dan is er een situatie waarin financieel vermogen geen rol speelt. In deze laatste situatie wordt de risicoprijs, de premie van de risicofactor, AR negatief wat theoretisch niet plausibel is. Dit komt doordat het financiële vermogen in deze situatie geen rol speelt. De kolommen waarin de risicoprijzen staan vermeld zijn gelijk aan de waarde van de berekening tussen de accolades in vergelijking (25). We zien dat bij oplopende waarden voor υ de risicoprijs van ARB toeneemt. Dit komt omdat bij hogere waarden van υ het financiële vermogen aan belang inboet. Voor de risicoprijs van AR zien we een omgekeerd patroon. De hoogte van de risicoprijs van AR neemt toe naarmate υ toeneemt. Dit komt wederom door het verdelingseffect dat υ op zich neemt. Hoe hoger υ des te belangrijker wordt human capital en dus ook de risicoprijs (ARB).

Concluderend kunnen we stellen dat de hier gevolgde methodiek waarden voor de risicoaversie geeft die niet uitzonderlijk hoog zijn. Voor alle waarden van υ blijven ze binnen de theoretisch plausibele marge van 1 tot 10. Aldus kunnen we concluderen dat voor Nederland niet gesproken kan worden van een puzzel. De resultaten zijn in vergelijking met vergelijkbaar Amerikaans onderzoek aan de lage kant. Zo komt in het onderzoek van Campbell (1996) de risicoaversie uit op 15 bij (υ=0), 21 (bij υ=2/3) en 17 (bij υ=1). Het opnemen van meerdere covarianties in de prijsvormingsformule, in plaats van slechts één  19

Zie Greene (1993). De instrumenten zijn als volgt gespecificeerd: covariantie van de CBS All Share index met het rendement van de individuele fondsen en covariantie van de korte rente met het rendement van de individuele fondsen. 21 Zie ook Campbell (1996). 20



zoals in het CCAPM, levert betere schattingen op voor de risicoaversie. Daar komt nog bij dat het werken met voorspellingen de realiteitswaarde van het model ten goede komen.

6 CONCLUSIE

De aandelenpremiepuzzel houdt de gemoederen al zo’n 13 jaar bezig. In die tijd zijn er veel theoretische amenderingen geweest. Zoals de literatuurstudie heeft laten zien zijn er theoretisch elegante benadering bedacht op de puzzel op te lossen. Zo zijn de pogingen om de puzzel te verklaren in RBC modellen slechts ten dele succesvol. Men kan weliswaar de aandelenpremie verklaren maar vaak verschuift het probleem. Zo is in het onderzoek van Jermann weliswaar de aandelenpremie verklaard maar ontstaat er een veel te hoge premie op obligaties. De introductie van ‘myopic loss aversion’ kan de aandelenpremie verklaren doordat beleggers hun portfolio frequent evalueren. Hierdoor worden zij vaker met verliezen gecompenseerd waardoor zij een hogere risicopremie vereisen. Dit resultaat heeft zijn oorzaak meer in het extreme modelleren van naïeve beleggers dan in theoretische plausibiliteit. De derde hier behandelde benadering beschouwt de aandelenpremie in een situatie met transactiekosten. Doordat het aanhouden van aandelen geen vergemakkelijking oplevert van transacties zullen beleggers hiervoor gecompenseerd willen worden, wat tot uitdrukking komt in een hoge premie. Zij kunnen met dit model de aandelenpremie verklaren, maar of het realistisch is om te stellen dat de gehele premie verklaard kan worden door het feit dat aandelen geen rol vervullen in het vergemakkelijken van transacties is hoogst onzeker.

De benadering die in deze scriptie gekozen is om de aandelenrendementen voor Nederland mee te analyseren wijkt af van de bovenstaande benaderingen. Het bouwt voort op de methode van Mehra en Prescott en voegt daar een aantal nieuwe elementen aan toe. Zo werden verwachtingen, en met name de nieuwscomponenten (residuen), expliciet gemodelleerd middels een eerste orde vector autoregressie. Tevens werd het model zo opgezet dat men geen consumptiedata meer nodig heeft voor de empirische implementatie. Dit had tot voordeel dat de tijdsaggregatie bias en andere meetfouten, die in consumptiedata zitten, niet in het model werden opgenomen. Bovendien werd human capital in het model geïntroduceerd. Dit om rekening te houden met het feit dat het marktrendement voor een



groot deel uit human capital bestaat en niet alleen uit een selecte groep aandelen (AEX aandelen index). Op deze manier werd tegemoet gekomen aan de Roll critique.

Het resultaat van dit model was een prijsvormingsformule met een multifactor gedaante. De factoren zijn, in de traditie van Mehra en Prescott, covarianties met residuen van de toestandsvariabelen. Doordat we residuen nemen krijg je voorspellingsinnovaties in je model. De prijsvormingsformule is voor Nederland geschat. De te verklaren historische aandelenpremie is in deze scriptie berekend voor 21 individuele bedrijven en loopt van januari 1975 tot december 1996. De gemiddelde aandelenpremie gedurende deze periode voor een portfolio met deze 21 fondsen bedroeg 0,96% op maandbasis (12,15% op jaarbasis). De mate van risicoaversie die men krijgt om de aandelenpremie te verklaren hangt af van de vooraf vastgestelde waarde van υ. Dit is de verhouding tussen human capital en het totale vermogen. Als we υ op theoretische gronden zouden vaststellen, is een waarde van 2/3 plausibel omdat dit het aandeel van arbeid in het bruto nationaal product. Bij deze verhouding krijgen we een risicoaversie van 5,17. Deze waarde ligt binnen de theoretische plausibele grenzen 1 en 10. Er zijn ook schattingen gedaan met andere waarden van υ. Bij een waarde van 0 geeft de mate van risicoaversie een waarde van 1,22. Bij een waarde van 1/3 geeft de mate van risicoaversie een waarde van 2 aan en bij een υ van 1 geeft de risicoaversie een waarde van 2,21. Hierbij moet opgemerkt worden dat bij υ=1 de risicoaversie niet meer significant verschillend van nul is. De waarde van υ heeft een verdelingseffect tussen het belang van financieel vermogen en human capital. Bij een waarde van 1 dan is er een situatie waarin financieel vermogen geen rol speelt. Is υ gelijk aan 0, dan is er een situatie waarin human capital geen rol speelt. Beide situaties zijn zeer extreem.

Concluderend kunnen we stellen dat de hier gevolgde methodiek waarden voor de risicoaversie geeft die niet uitzonderlijk hoog zijn. Voor alle waarden van υ blijven ze binnen de theoretisch plausibele marge. Voor Nederland geldt dus dat gedurende januari 1975 en december 1996, voor de 21 individuele fondsen, geen sprake is van een aandelenpremiepuzzel op individueel niveau.



GERAADPLEEGDE LITERATUUR

Arrow, K.J., 1971, Essays in the theory of risk bearing, North-Holland, Amsterdam. Baumol, W.J., 1952, The transactions demand for cash: an inventory theoretic approach, Quarterly Journal of Economics 66, blz. 545-556. Bansal, R., en W.J. Coleman II, 1996, A monetary explanation of the equity premium, term premium and risk-free rate puzzles, Journal of Political Economy 104, blz. 1135-1171. Bernatzi, S., en R.H. Thaler, 1995, Myopic loss aversion and the equity premium puzzle, Quarterly Journal of Economics 110, blz. 73-92. Bodie, Z., A. Kane en A.J. Marcus, 1996, Investments, third edition, Irwin, Boston. Boldrin, M., L.J. Christiano en J.D.M. Fisher, 1995, Asset pricing lessons for modeling business cycles, NBER Working Paper nr.5262. Campbell, J.Y., 1991, A variance decomposition for stock returns, The economic Journal 101, blz. 157-179. Campbell, J.Y., 1993, Intertemporal asset pricing without consumption data, The American Economic Review 83, blz. 487-512. Campbell, J.Y., 1996, Understanding risk and return, Journal of Political Economy 104, blz. 298-345. Campbell, J.Y., A.W. Lo en A.C. MacKinlay, 1997, The econometrics of financial markets, Princeton University Press, Princeton, NJ. Chiang, A.C., 1984, Fundamental methods of mathematical economics, third edition, McGraw-Hill, Singapore Constantinides, G.M., 1990, Habit formation: A resolution of the equity premium puzzle, Journal of Political Economy 98, blz. 519-543. Epstein, L. en S. Zin, 1989, Substitution, risk aversion, and the temporal behavior of consumption and asset returns: a theoretical framework, Econometrica 57, blz. 973-969. Epstein, L. en S. Zin, 1991, Substitution, risk aversion and the temporal behavior of consumption and asset returns: an empirical analysis, Journal of Political Economy 99, blz. 263-286. Fase, M.M.G., 1997, De risicopremie op aandelen in de Europese Unie, Maandschrift economie 61, blz. 474-483. Greene, W.H., 1993, Econometric analysis, second edition, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.



Hall, R.E., 1988, Intertemporal substitution in consumption, Journal of Political Economy 96, blz. 339-357. Hansen, L.P., 1982, Large sample properties of generalized method of moments estimators, Econometrica 50, blz. 1029-1054. Hardouvelis, G.A., D. Kim en T.A. Wizman, 1995, Asset pricing models with and without consumption: an empirical evaluation, CEPR Discussion Paper nr. 1262. Jermann, U.J., 1994, Asset pricing in production economies, manuscript, Wharton school, University of Pennsylvania Jermann, U.J., 1998, Asset pricing in production economies, Journal of Monetary Economics 41, blz. 257-275. Kahneman, D. en A. Tversky, 1979, Prospect theory: an analysis of decision under risk, Econometrica 47, blz. 263-291. Malkiel, B.G., 1985, A random walk down Wall Street, fourth edition, W.W. Norton, New York. Mankiw, N.G. en S.P. Zeldes, 1990, The consumption of stockholders and non-stockholders, NBER Working Paper nr.3402. Mehra, R. en E.C. Prescott, 1985, The equity premium: a puzzle, Journal of Monetary Economics 15, blz. 145-161. Poll, W. van de, 1996, Risicopremie van Nederlandse aandelen: een puzzle?, Onderzoeksrapport WO&E, nr. 458. Rietz, T.A., 1988, The equity risk premium, a solution, Journal of Monetary Economics 22, blz. 117-131. Roll, R., 1977, A critique of the asset pricing theory’s tests: part I: on past and potential testibility of the theory, Journal of Financial Economics 4, blz. 129-176. Rouwenhorst, G.K., 1995, Asset returns and business cycles. In: Cooley, T.F. (ed.), Frontiers of business cycle research, blz. 294-330. Stambaugh, R.F., 1982, On the exclusion of assets from tests of the two parameter model: a sensitivity analysis, Journal of Financial Economics 10, blz. 237-268. Weil, P., 1989, The equity premium puzzle and the risk-free rate puzzle, Journal of Monetary Economics 24, blz. 401-421.