65
Verwante hoeken - Afstandsleren - Verbetersleutel
5
VERWANTE HOEKEN - Afstandsleren
Opdracht: Surf naar het wiskundewebje dat je vindt op http://home.scarlet.be/~greetvrh en kies voor het vijfde jaar en voor “Goniometrie”. Gebruik de applets 1, 2, 3, 4, 5 en 6 om de verwante hoeken te bestuderen.
5.1
Gelijke hoeken
Opdracht: Gebruik applet 1. Geef enkele voorbeelden van hoeken die gelijk zijn aan 30°
…, - 690°, - 330°, 30°, 390°, 750°, …
π 5
…,
− 19π π − 9π π π 11π π 21π π , , , , ,… 5 5 5 5 5
Definitie:
α en β zijn gelijke hoeken
⇔ β = α + k ⋅ 360 °
of β = α + k ⋅ 2 π
met k ∈ Z
Goniometrische cirkel: Meetkundige eigenschap:
De beeldpunten P en P’ van gelijke hoeken vallen samen.
y 1
P=P'
sin α
O
Formules:
α cos α
1
x
cos( α + k.360°) = cos α
cos( α + k ⋅ 2π )= cos α
sin ( α + k.360°) = sin α
sin( α + k ⋅ 2π ) = sin α
tan ( α + k.360°) = tan α
tan( α + k ⋅ 2π ) = tan α
cot ( α + k.360°) = cot α
cot( α + k ⋅ 2π ) = cot α
Goniometrische getallen worden niet gewijzigd als we er een geheel veelvoud van 360° of 2π bij optellen. In het vervolg zullen we dus k.360° en k. 2π weglaten in de formules.
Wiskunde
Greet Verhelst
66
Verwante hoeken - Afstandsleren - Verbetersleutel
5.2
Tegengestelde hoeken
Opdracht: Gebruik applet 2. Geef enkele voorbeelden van hoeken die tegengesteld zijn aan 30°
…, - 750°, - 390°, - 30°, 330°, 690°, …
π 5
…,
− 21π − 11π − π 9π 19 π , , , , ,… 5 5 5 5 5
Bereken de som van de tegengestelde hoeken en leid hieruit de definitie af.
30° + (− 30° ) = 0° π −π + =0 5 5
30 ° + ( −390 ° ) = −360 ° π − 11π − 10 π + = −2 π = 5 5 5
30° + 690° = 720° π 19 π 20 π + = = 4π 5 5 5
Definitie: Twee tegengestelde hoeken zijn twee georiënteerde hoeken waarvan de som gelijk is aan de nulhoek.
α en β zijn tegengestelde hoeken ⇔ β = − α + k ⋅ 360 ° of β = − α + k ⋅ 2 π met k∈ Z Goniometrische cirkel: Meetkundige eigenschap:
De beeldpunten P en P’ van tegengestelde hoeken zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de x-as.
y
Formules:
1
cos(- α )= cos α
P sin (- α ) = − sin α
sin α α O
cos α x 1 − α cos(− α)
tan (- α ) = − tan α cot (- α ) = − cot α
sin(− α ) P'
Wiskunde
De formules voor tangens en cotangens vind je door de definitie van tangens en cotangens te gebruiken OF met behulp van de grafische voorstelling.
Greet Verhelst
67
Verwante hoeken - Afstandsleren - Verbetersleutel
5.3
Supplementaire hoeken.
Opdracht: Gebruik applet 3. Geef enkele voorbeelden van hoeken die supplementair zijn aan 30°
…, - 570°, - 210°, 150°, 510°, 870°, …
π 5
…,
− 16 π − 6π 4 π 14 π 24 π , , , , , ... 5 5 5 5 5
Bereken de som van de supplementaire hoeken en leid hieruit de definitie af.
30° + 150° = 180° π − 6π − 5 π + = = −π 5 5 5
30 ° + ( −570 ° ) = −540 ° π − 16 π − 15 π + = = −3π 5 5 5
30° + 510° = 540° π 4π 5π + = =π 5 5 5
Definitie: Twee supplementaire hoeken zijn twee georiënteerde hoeken waarvan de som gelijk is aan de gestrekte hoek.
α en β zijn supplementaire hoeken
⇔ β = 180 ° − α + k ⋅ 360 ° of β = π − α + k ⋅ 2 π
met k ∈ Z
Goniometrische cirkel: Meetkundige eigenschap:
y
De beeldpunten P en P’ van supplementaire hoeken elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de y-as.
1 P'
sin(π − α) sin α π−α α cos(π − α) O cos α 1
Formules:
Wiskunde
De formules voor tangens en cotangens vind je door de definitie van tangens en cotangens te gebruiken OF met behulp van de grafische voorstelling.
P
x
cos(180°- α ) = − cos α
cos ( π − α ) = − cos α
sin(180°- α ) = sin α
sin ( π − α ) = sin α
tan(180°- α ) = − tan α
tan ( π − α ) = − tan α
cot(180°- α ) = − cot α
cot ( π − α ) = − cot α
Greet Verhelst
68
Verwante hoeken - Afstandsleren - Verbetersleutel
5.4
Antisupplementaire hoeken
Opdracht: Gebruik applet 4. Geef enkele voorbeelden van hoeken die antisupplementair zijn aan 30°
…, - 510°, - 150°, 210°, 570°, 930°, …
π 5
…,
− 14π π − 4π π 6π π 16π π 26π π , , , , ,… 5 5 5 5 5
Bereken het verschil van de antisupplementaire hoeken en leid hieruit de definitie af.
30° − 210° = −180° π 6π − 5 π − = = −π 5 5 5
30° − ( − 510 ° ) = 540 ° π − 4π 5π − =π = 5 5 5
30° − 930° = −900° π 16 π − 15 π − = = −3 π 5 5 5
Definitie: Twee antisupplementaire hoeken zijn twee georiënteerde hoeken waarvan het verschil gelijk is aan de gestrekte hoek.
α en β zijn antisupplementaire hoeken
⇔ β = 180 ° + α + k ⋅ 360 ° of β = π + α + k ⋅ 2 π
met k ∈ Z
Goniometrische cirkel: Meetkundige eigenschap:
De beeldpunten P en P’ van antisupplementaire hoeken zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de oorsprong.
y 1
P
sin α π+α
cos(π + α) O
α cos α 1 sin(π + α)
x
De formules voor tangens en cotangens vind je door de definitie van tangens en cotangens te gebruiken OF met behulp van de grafische voorstelling.
P'
Formules:
Wiskunde
cos(180°+ α ) = - cos α
cos ( π + α ) = - cos α
sin(180°+ α ) = - sin α
sin ( π + α ) = - sin α
tan(180°+ α ) = tan α
tan ( π + α ) = tan α
cot(180°+ α ) = cot α
cot ( π + α ) = cot α
Greet Verhelst
69
Verwante hoeken - Afstandsleren - Verbetersleutel
5.5
Complementaire hoeken
Opdracht: Gebruik applet 5. Geef enkele voorbeelden van hoeken die complementair zijn aan 30° …, - 660°, - 300°, 60°, 420°, 780°, …
π 5
…,
− 37π π − 17π π 3π π 23π π 43π π , , , , ,… 10 10 10 10 10
Bereken de som van de complementaire hoeken en leid hieruit de definitie af.
30° + 60° = 90° 30 ° + ( −660 ° ) = −630 ° π − 17 π − 15 π − 3π + = = 5 10 10 2
30° + 420° = 450° π 43 π 45 π 9π + = = 5 10 10 2
Definitie: Twee complementaire hoeken zijn twee georiënteerde hoeken waarvan de som gelijk is aan de positieve rechte hoek.
α en β zijn complementaire hoeken
⇔ β = 90° − α + k ⋅ 360 ° π of β = − α + k ⋅ 2π 2
met k ∈ Z
Goniometrische cirkel: Meetkundige eigenschap:
y 1
De beeldpunten P en P’ van complementaire hoeken zijn elkaars spiegelbeeld ten opzichte van de rechte y = x, dit is de eerste bissectrice.
P'
y=x
De formules voor tangens en cotangens vind je door de definitie voor tangens en cotangens te gebruiken OF met behulp van de grafische voorstelling.
sin(90° − α) 90° − α P α cos α 1 O cos(90° − α ) sin α
Formules:
x
cos(90°- α ) = sin α sin(90°- α ) = cos α tan(90°- α ) = cot α cot(90°- α ) = tan α
Wiskunde
π − α = sin α 2 π sin − α = cos α 2 π tan − α = cot α 2 π cot − α = tan α 2 cos
Greet Verhelst
70
Verwante hoeken - Afstandsleren - Verbetersleutel
5.6
Anticomplementaire hoeken.
Opdracht: Gebruik applet 6. Geef enkele voorbeelden van hoeken die anticomplementair zijn aan 30°
…, - 600°, - 240°, 120°, 480°, 840°,…
π 5
…,
− 33π π − 13π π 7π π 27π π 47π π , , , , ,… 10 10 10 10 10
Bereken het verschil van de anticomplementaire hoeken en leid hieruit de definitie af. - 600° - 30° = - 630° -240° - 30° = -270° 120° - 30° = 90°
− 13π π π − 15 π − 3π - = = 10 5 10 2
27π π π 25 π 5 π = = 10 5 10 2
Definitie: Twee anticomplementaire hoeken zijn twee georiënteerde hoeken waarvan het verschil gelijk is aan een rechte hoek.
α en β zijn anticomplementaire hoeken
⇔ β = 90 ° + α + k ⋅ 360 ° π β = + α + k ⋅ 2π 2
met k ∈ Z
Goniometrische cirkel: Meetkundige eigenschap:
De beeldpunten P en P’ van de anticomplementaire hoek zijn elkaars beeld na een rotatie over een rechte hoek.
y 1
P’
P
sin( 90 ° + α )
sin α
90° + α α
cos(90° + αO )
Formules :
cos α
1
cos(90°+ α ) = - sin α sin(90°+ α ) = cos α tan(90°+ α ) = - cot α cot(90°+ α ) = - tan α
Wiskunde
De formules voor tangens en cotangens vind je door de definitie van tangens en cotangens te gebruiken OF met behulp van de grafische voorstelling.
x
π + α = - sin α 2 π sin + α = cos α 2 π tan + α = - cot α 2 π cot + α = - tan α 2 cos
Greet Verhelst
