= cos245 en y P = sin245

G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg 1a

8 Goniometrie 1/12

overstaande rechthoekszijde PQ PQ ⇒ (in figuur 8.1) sin 65° = = ⇒ PQ = 1 ⋅ sin 65° ≈ 0, 91. 1 OP schuine zijde aanliggende rechthoekszijde OQ OQ = ⇒ (in figuur 8.1) cos 65° = = ⇒ OQ = 1 ⋅ cos 65° ≈ 0, 42. OP 1 schuine zijde

sin α = cos α

1b

P (0, 42; 0, 91). (zie hierboven)

2a

∠POQ = 180° − 115° = 65°; weer is PQ ≈ 0, 91 en OQ ≈ 0, 42 (zie 1a) ⇒ P ( −0, 42; 0, 91). (P in figuur 8.2a is het spiegelbeeld van P in figuur 8.1 ten opzichte van de y -as)

2b

De GR geeft cos115° ≈ −0, 42 en sin115° ≈ 0, 91. Dus x P = cos115° en yP = sin115°. ∠POQ = 245° − 180° = 65°; weer is PQ ≈ 0, 91 en OQ ≈ 0, 42 ⇒ P ( −0, 42; − 0, 91).

2c

(P in figuur 8.2b is het spiegelbeeld van P in figuur 8.2a ten opzichte van de x -as)

De GR geeft cos 245° ≈ −0, 42 en sin 245° ≈ −0, 91. Dus x P = cos 245° en y P = sin 245°.

3h

α = 360° ⇒ P (1, 0) ⇒ cos 360° = xP = 1.

3a

α = 0° ⇒ P (1, 0) ⇒ sin 0° = y P = 0.

3i

α = 450° ⇒ P (0, 1) ⇒ sin 450° = y P = 1.

3b

α = 0° ⇒ P (1, 0) ⇒ cos 0° = x P = 1.

3j

α = −90° ⇒ P (0, − 1) ⇒ cos( −90°) = x P = 0.

3c

α = 90° ⇒ P (0, 1) ⇒ sin 90° = y P = 1.

3k

α = −540° ⇒ P ( −1, 0) ⇒ sin( −540°) = yP = 0.

3d

α = 90° ⇒ P (0, 1) ⇒ cos 90° = x P = 0.

3l

α = 1 080° ⇒ P (1, 0) ⇒ cos(1 080°) = x P = 1.

3e

α = 270° ⇒ P (0, − 1) ⇒ sin 270° = yP = −1.

3m

α = 1 980° ⇒ P ( −1, 0) ⇒ sin(1 980°) = yP = 0.

3f

α = 270° ⇒ P (0, − 1) ⇒ cos 270° = x P = 0.

3n

3g

α = 360° ⇒ P (1, 0) ⇒ sin 360° = yP = 0.

3o

α = −180° ⇒ P ( −1, 0) ⇒ cos( −180°) = x P = −1. α = 990° ⇒ P (0, − 1) ⇒ sin(990°) = yP = −1.

4

P (cos110°; sin110°) ≈ P ( −0,34; 0, 94). Q (cos200°; sin 200°) ≈ Q ( −0, 94; − 0,34). R (cos( −102°); sin( −102°)) ≈ R ( −0,21; − 0, 98). S (cos( −50°); sin( −50°)) ≈ S (0, 64; − 0, 77).

5

De cirkel is een vergroting van de eenheidscirkel met factor 2. B (2 ⋅ cos 72°; 2 ⋅ sin 72°) ≈ B (0, 62; 1, 90). C (2 ⋅ cos144°; 2 ⋅ sin144°) ≈ C ( −1, 62; 1,18). D (2 ⋅ cos 216°; 2 ⋅ sin 216°) ≈ D ( −1, 62; − 1,18). E (2 ⋅ cos 288°; 2 ⋅ sin 288°) ≈ E (0, 62; − 1, 90).

6a

° = 45° ⇒ P (cos 45°, sin 45°) ≈ P (0, 71; 0, 71). t = 1 ⇒ α = 360 8 t = 2 ⇒ α = 2 ⋅ 45° = 90° ⇒ P (0, 1).

6b 6c 6d

6e

t = 3 21 ⇒ α = 3 21 ⋅ 45° = 157,5° ⇒ P (cos157,5°; sin157,5°) ≈ P ( −0, 92; 0,38). Bereken de y -waarden met de GR (bijvoorbeeld met TABLE) en vul vervolgens de tabel in (rond waar nodig af op 1 decimaal).

t

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

y P = sin(45t )

0

0,7

1

0,7

0

-0,7

-1

-0,7

0

0,7

1

0,7

0

Zie de schets hieronder (vergelijk de schets met de plot op de GR).

G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg

8 Goniometrie 2/12

7a

x P = cos α = 0, 81. De GR geeft cos −1 (0,81) ≈ 36° ⇒ (zie figuur 8.12a) α ≈ 36°.

7b

y P = sin α = 0, 94. De GR geeft sin −1 (0, 94) ≈ 70° ⇒ (zie figuur 8.12b) α ≈ 180° − 70° = 110°.

7c

x P = cos α = 0,26. De GR geeft cos −1 (0,26) ≈ 75° ⇒ (zie figuur 8.12c) α ≈ −75°.

7d

y P = sin α = −0,22. De GR geeft sin −1 ( −0,22) ≈ −13° ⇒ (zie figuur 8.12d) α ≈ 180° + 13° = 193°.

8

y P = sin α = 0, 92. De GR geeft sin −1 (0, 92) ≈ 66, 9...° ⇒ (zie figuur 8.13) α P ≈ 66, 9...°.

xQ = cos α = −0,87. De GR geeft cos −1 ( −0, 87) ≈ 150, 4...° ⇒ αQ ≈ 360° − 150, 4...° = 209,5...°. ∠POQ = αQ − α P = 209, 5... − 66, 9... ≈ 143°. 9a 9b

9c

10a

omtrek = 2π r = 2π ⋅ 1 = 2π . α = 90° ⇒ een kwart van de eenheidscirkel doorlopen. De lengte van de door P doorlopen cirkelboog is 1 ⋅ 2π = 2 π = 1 π . 2 4 4

draaiingshoek α

lengte cirkelboog b

Zie de tabel hiernaast.

0°

90°

0

1 2

π

180° 270° 360°

π

2π

1 21 π

10c

P (cos 5rad, sin 5rad) ≈ P (0,28; − 0, 96). P (cos 6rad, sin 6rad) ≈ P (0, 96; − 0,28). P (cos 20rad, sin 20rad) ≈ P (0, 41; 0, 91).

11a

De door P doorlopen cirkelboog is 1 π (een kwart cirkel doorlopen) ⇒ P ligt boven in de eenheidscirkel ⇒ P (0, 1).

11b

De door P doorlopen cirkelboog is π (een halve cirkel doorlopen) ⇒ P ligt links in de eenheidscirkel ⇒ P ( −1, 0).

11c

De door P doorlopen cirkelboog is 1 1 π (driekwart cirkel doorlopen) ⇒ P ligt onder in de eenheidscirkel ⇒ P (0, − 1).

10b

2

2

graden

180

radialen

π

12a

12b

1 6

1 4

π

π

12c 2π

12d 2

12e 5 4

π

12f

12g

12h

5 4

1 3

−2 31

−2

π

12b

1 π rad = 6 1 π rad = 4

1 ⋅ 180° = 30°. 6 1 ⋅ 180° = 45°. 4

12f

12c

2π rad = 2 ⋅ 180° = 360°.

12g

5 π rad = 5 ⋅ 180° = 225°. 4 4 5 rad = 5 ⋅ 180° : π ≈ 71, 6°. 4 4 1 −2 π rad = −2 1 ⋅ 180° = −420°. 3 3

12d

2rad = 2 ⋅ 180° : π ≈ 114, 6°.

12h

−2 1 rad = −2 1 ⋅ 180° : π ≈ −133, 7°.

12a

13a 13b 13c 13d 13e 13f 13g 13h

12e

3

3

graden

180

360

30

−45

60

90

135

−75

240

300

720

400

0

210

−5

540

1

radialen

π

13a

13b

13c

13d

13e

13f

13g

13h

13i

13j

13k

13l

13m

13n

13o

13p

360° = 360 ⋅ π rad = 2π rad. 180 30° = 30 ⋅ π rad = 1 π rad. 180 6 − 45 ⋅ π −45° = rad = − 1 π rad. 180 4 60 ⋅ π 1 60° = rad = π rad. 180 3 90 ⋅ π 90° = rad = 1 π rad. 180 2 135° = 135 ⋅ π rad = 3 π rad. 180 4 − −75° = 75 ⋅ π rad = − 5 π rad. 180 12 240 ⋅ π 4 240° = rad = π rad. 180 3

13k

300° = 300 ⋅ π rad = 5 π rad. 180 3 720° = 720 ⋅ π rad = 4π rad. 180 400 ⋅ π rad = 20 π rad. 400° = 180 9

13l

0° = 0 rad.

13m

210° = 210 ⋅ π rad = 7 π rad.

13n

−5° = −5 ⋅ π rad = − 1 π rad.

13i 13j

13o 13p

180

180 36 540 ⋅ π 540° = rad = 3π rad. 180 1° = 1 ⋅ π rad = 1 π rad. 180 180

graden

180

7

18

−51, 3

1, 7

−320

1030

90

57

radialen

π

14a

14b

14c

14d

14e

14f

14g

14h

14a

7° = 7 ⋅ π rad ≈ 0,12rad. 180

14c

−51,3° =

14b

18° = 18 ⋅ π rad ≈ 0,31rad.

14d

1, 7° =

180

6

−51,3 ⋅ π rad ≈ −0, 90 rad. 180

1,7 ⋅ π rad ≈ 0, 03rad. 180

G&R havo B deel 2 C. von Schwartzenberg 14e

8 Goniometrie 3/12

−320° = −320 ⋅ π rad ≈ −5, 59 rad.

14f

180 1030 ⋅ π rad ≈ 17, 98rad. 1 030° = 180

15

Zie de tabel hieronder.

16a 16b

graden

180

radialen

π

180 57 ⋅ π rad ≈ 0, 99 rad. 57° = 180

14h

0

30

45

60

90

135

0

1 6

1 4

1 3

1 2

3 4

π

90° = 90 ⋅ π rad ≈ 1,57 rad.

14g

π

cos( 2 π ) = −0,5.

π

16c

3 cos( 2 ) ≈ 0, 79. 3

16d

π

180

240

315

360

π

1 3

3 4

2π

π

1

π

1

π

sin( 4 π ) ≈ 0, 59. 5 sin( 4 ) ≈ 0, 72. 5

16e

cos(7, 6π ) ≈ 0,31.

16f

cos(7, 6) ≈ 0,25.

17a

α = sin −1 (0, 92) ≈ 1,17.

17d

3 ) ≈ 1,39. α = cos −1 ( 17

17b

α = cos −1 (0,85) ≈ 0, 55.

17e

α = sin −1 ( 31 5) ≈ 0,84.

17c

5 ) ≈ 0, 43. α = sin −1 ( 12

17f

α = cos −1 ( 41 2) ≈ 1,21.

18a

sin −1 (0,35) = 0,35... ⇒ α = π − sin −1 (0,35) ≈ 2, 78.

18b

cos −1 ( −0,35) = 1, 92... ⇒ α = 2π − cos −1 ( −0,35) ≈ 4,35.

19

cos −1 ( −0,32) = 1, 89... ⇒ α P ≈ 1, 89 en

sin −1 ( −0, 88) = −1, 07... ⇒ αQ = π + 1, 07... ∠POQ = αQ − α P ≈ 2,32.

20a

β

Zie de figuur hiernaast. Op 23 meter hoogte ⇒ 23 − 1 − 15 = 7 meter boven de x -as.

25

α

7

sin α = 7 ⇒ α = sin −1 ( 7 ) ≈ 0, 48... (rad). 15

15

Sanne is gedraaid over een hoek van 1 π + sin −1 ( 7 ) ≈ 2, 06 radialen. 2

15

20b

Sanne is gedraaid over een hoek van 2π − Ans ≈ 4,23 radialen.

21a

Zie de plot hiernaast. ( −1 21 π ,1)

( 21 π ,1)

y = sin(x )

21b

f ( 61 π ) = f ( 56 π ) = 21 en

( − 21 π , − 1)

f (1 61 π ) = f (1 56 π ) = − 21 .

(1 21 π , − 1)

21c

Zie de grafiek hierboven; de toppen zijn ( −1 1 π , 1); ( − 1 π , − 1); ( 1 π , 1) en (1 1 π , − 1). (lees af in de eenheidscirkel)

21d

De nulpunten zijn − 2π , − π , 0, π en 2π . (lees af in de eenheidscirkel)

22a

Zie de plot hiernaast.

2

2

2

2

y = cos(x )

22b

Zie de grafiek hiernaast.

22c

De toppen zijn ( −2π , 1); ( −π , − 1); (0, 1); (π , − 1) en (2π , 1). (lees af in de eenheidscirkel)

22d

De nulpunten zijn − 1 1 π , − 1 π , 1 π en 1 1 π . (lees af in de eenheidscirkel)

23a

Zie beide grafieken in de figuur hiernaast.

23b

α = 1 π ⇒ in eenheidscirkel is x P = yP . 4 Dus ook α = −1 3 π , α = − 3 π en α = 1 1 π .

2

4

2

4

2

2

4

f −2π

−π

1 3

π

g

π

2π


8 Goniometrie 4/12

f (x ) = sin(x )

24c

f (x ) = sin(x ) .....verm. t.o.v. de x -as met 4

.....translatie (0, 2)

g (x ) = 2 + sin(x ) met evenwichtsstand 2.

k (x ) = 4 sin(x ) met amplitude 4.

24b f (x ) = sin(x )

24d

f (x ) = sin(x )

h (x ) = sin(x − 3). 25a

l (x ) = sin(5x ) met periode

evenwichtsstand 0

y = sin(x ) .....verm. t.o.v. de x -as met 2

y = 2 sin(x )

0

.....translatie ( −3, 0)

f (x ) = 2 sin(x + 3) 25b

0

y = sin(x )

.....verm. t.o.v. de y -as met

y = cos(3x )

periode 2π

beginpunt (0, 0)

2

2π

(0, 0)

2π

periode 2π

beginpunt (0, 0)

0

1 3

2π

(0, 0)

1 5

1 3

2π

(0,

amplitude 1

periode 2π

beginpunt (0, 1)

0

1

2 3

π

(0, 1)

0

1

2 3

π

(4, 1).

evenwichtsstand 0

amplitude 1

periode 2π

0

1 21

2π

(0, 1 21 )

0

1 21

8π

(0, 1 21 ).

evenwichtsstand 0

amplitude 1

periode 2π

1 3

h (x ) = cos(3(x − 4)) y = cos(x )

.....verm. t.o.v. de x -as met 1 21 y = 1 1 cos(x ) 2 .....verm. t.o.v. de y -as met 4 j (x ) = 1 1 cos( 1 x ) 2 4

26a

2 5

π.

1 3


25d

=

( −3, 0).

2

evenwichtsstand 0

y = cos(x )

amplitude 1

amplitude 1

evenwichtsstand 0

.....verm. t.o.v. de x -as met y = 1 sin(x ) 3 .....translatie (0, 1 ) 5 g (x ) = 1 sin(x ) + 1 3 5

25c

1 5 2π 5



y = cos(x )

1 ) 5

.

beginpunt (0, 1)

beginpunt (0, 1)

.....verm. t.o.v. de x -as met 1,2

y = 1,2cos(x )

0

1, 2

2π

(0; 1, 2)

5

1, 2

2π

( 61 π ; 6, 2).

.....translatie ( 61 π , 5)

f (x ) = 5 + 1,2cos(x − 1 π ) 6

26b

evenwichtsstand 0

y = sin(x )

amplitude 1

periode 2π

beginpunt (0, 0)

.....verm. t.o.v. de y -as met 5

y = sin( 1 x )

5 .....translatie ( − 31 π ; 0, 4) g (x ) = 0, 4 + sin( 1 (x + 1 π )) 5 3

26c

0

1

10π

(0, 0)

0, 4

1

10π

( − 31 π ; 0, 4).

evenwichtsstand 0

y = cos(x )

amplitude 1

periode 2π

beginpunt (0, 1)

.....verm. t.o.v. de x -as met 0,29

y = 0,29 cos(x )


y = 0,29 cos(3x )

1 3

0

0, 29

2π

(0; 0, 29)

0

0, 29

2 3

π

(0; 0, 29)

0

0, 29

2 3

π

( −1, 4; 0, 29).

.....translatie ( −1,4; 0)

h (x ) = 0,29 cos(3(x + 1, 4)) 26d

evenwichtsstand amplitude periode beginpunt 0 1 2π (0, 0)

y = sin(x ) .....verm. t.o.v. de x -as met 2

y = 2 sin(x )


y = 2 sin(3x )

1 3

.....translatie ( 21 π ; − 0, 8) j (x ) = −0, 8 + 2 sin(3(x − 1 π )) 2

0

2

2π

(0, 0)

0

2

2 3

π

(0, 0)

−0, 8

2

2 3

π

( 21 π ; − 0, 8).

27

y = sin(x ) .....verm. t.o.v. de y -as met 3 y = sin( 1 x ) 3 .....translatie (4; − 1, 5) f (x ) = −1,5 + sin( 1 (x − 4)). 3


8 Goniometrie 5/12

y = cos(x )

29a

a en k (x ) = sin(2x ) − 1 ;

30a

Zie de schets hiernaast.

2

y = cos(x )

28b

.....translatie ( 41 π , 4) y = 4 + cos(x − 1 π ) 4 .....verm. t.o.v. de x -as met 3 f (x ) = 3(4 + cos(x − 1 π ) = 12 + 3cos(x − 1 π ). 4 4

.....verm. t.o.v. de x -as met 3

y = 3cos(x )

.....translatie ( 41 π , 4) g (x ) = 4 + 3cos(x − 1 π ). 4

b en f (x ) = 1 1 sin(2x );

c en g (x ) = 1 1 sin(x ) + 1;

2

d en h (x ) = 2 sin(1 1 x ).

2

2

f π

2π

3π

y =−

30b

De grafiek van f snijdt de evenwichtsstand in ( 1 π , − 1 ); (1 1 π , − 1 ) en (2 1 π , − 1 ). 4

2

4

2

4

2

30c

De toppen van de grafiek van f zijn ( 3 π , 1 ); (1 3 π , − 1 1 ) en (2 3 π , 1 ).

30d

De afstand AC is precies één periode van f , dus 2π .

31a

1 2

4

2

evenwichtsstand 0

y = sin(x )

4

2

4

2

amplitude 1

periode 2π

beginpunt (0, 0)

0

3

2π

(0, 0)

2

3

2π

( 41 π , 2).


y = 3sin(x )

.....translatie ( 41 π , 2) f (x ) = 2 + 3sin(x − 1 π ) 4

31b

g (x ) = 4 + 2 sin(x − 1 π ) evenwichtsstand 4 amplitude 2 periode 2π beginpunt ( 31 π , 4).

3

h (x ) = sin(3(x − 1 π ))

31c

evenwichtsstand 0 amplitude 1 periode 23π = 32 π beginpunt ( 21 π , 0).

2

32

π

2π

f

32

f (x ) = −2 + 3sin(3x + π ) = −2 + 3sin(3(x + 1 π )) 3

evenwichtsstand − 2 amplitude 3 periode 23π = 23 π

beginpunt ( − 31 π , − 2).


33

f (x ) = 1 + 3cos(2x + 1 π ) = 1 + 3cos(2(x + 1 π )) evenwichtsstand 1 amplitude 3 periode 22π = π

3

33

6

beginpunt ( − 61 π , 4).

f


34a

A = 40 + 25 sin(π (t − 1 1 )) evenwichtsstand 40 amplitude 25 periode 2ππ = 2 beginpunt (1 21 , 40).

2

Zie hiernaast.

34b

34c

A = 30 (intersect) ⇒ t ≈ 0, 63 ∨ t ≈ 1,37 (met periode 2 ⇒ ) ∨ t ≈ 2, 63 ∨ t ≈ 3,37 ∨ t ≈ 4, 63 ∨ t ≈ 5,37. A < 30 (zie een plot) ⇒ 0, 63 < t < 1,37 ∨ 2, 63 < t < 3,37 ∨ 4, 63 < t < 5,37. dA De helling in beginpunt is   ≈ 78, 5.  dt t =1,5

−π

π


8 Goniometrie 6/12

N = 1, 5 cos( 2 π (t − 0,5)) + 3, 5 3 evenwichtsstand 3, 5 amplitude 1, 5 periode 22π = 62ππ = 3 3

π

beginpunt (0, 5; 5).


35b

N = 4 (intersect) ⇒ t ≈ 1, 09 ∨ t ≈ 2, 91 (periode 3 ⇒ ) ∨ t ≈ 4, 09 ∨ t ≈ 5, 91 ∨ t ≈ 7, 09 ∨ t ≈ 8, 91. N > 4 (zie een plot) ⇒ 0 < t < 1, 09 ∨ 2, 91 < t < 4, 09 ∨ 5, 91 < t < 7, 09 ∨ 8, 91 < t < 10.

35c

dN  De helling in het snijpunt met de verticale as is  ≈ 2, 72.  dt t =0

35d

dN  De grootste helling is  ≈ 3,14. (midden tussen het minimum bij t = 1 en het maximum bij t = 3, 5)  dt t =2,75

36a

De evenwichtsstand is 5 + 1 = 6 = 3, de amplitude is 5 − 1 = 4 = 2 (of 5 − 3 = 2) en de periode is 2 5 π − 5 π = 2π . 2

36b f (x ) = 3 + 2 sin(x 37a

2

− 1 π ). Dus 3

2

a = 3, b = 2, c = 1 en d

2

6

6

= 1 π. 3

De evenwichtsstand is 60 + −20 = 40 = 20 = a , de amplitude is 60 − −20 = 80 = 40 = b (of 60 − 20 = 40) en 2

2

2

de periode is 80 − 30 = 50 = 2π ⇒ c = 2π = π . c

50

2

25

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor x = 0 ⇒ d = 0. Een passende formule met een sinus is: y = 20 + 40 sin( π x ). 25

37b

De grafiek gaat door een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor x = 12 1 ⇒ d = 12 1 ( 41 periode na x = 0). Een passende formule met een cosinus is: y = 20 + 40 sin( π (x − 12 1 )). 25

38a

2

2

2

De evenwichtsstand is 100 + −220 = −120 = −60 = a , de amplitude is 100 − −220 = 320 = 160 = b (of 100 − −60 = 160) en 2

2

2

de periode is 7 − 0,2 = 6, 8 = 2π ⇒ c = 2π = 10π . c

6,8

2

34

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor t = 4 ⇒ d = 4. Een passende formule met een sinus is: N = −60 + 160 sin( 10π (t − 4)). 34

38b

De grafiek gaat door een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor t = 4 + 1 ⋅ 6, 8 = 5, 7 ⇒ d = 5, 7 ( 41 periode na t = 4). 4

Een passende formule met een cosinus is: N = −60 + 160 cos( 10π (t − 5, 7)). 34

39a

f (x ) = 1 + 2 sin(x )

g (x ) = −1 + 3sin(x − 1 π )

evenwichtsstand 1 amplitude 2 periode 2π beginpunt (0, 1).

evenwichtsstand − 1 amplitude 3 periode 2π beginpunt ( 31 π , − 1).

f

3

g

39b

f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ 2, 62 ∨ x ≈ 4, 05. f (x ) > g (x ) (zie plot/grafiek) ⇒ 0 ≤ x < 2, 62 ∨ 4, 05 < x ≤ 2π .

39c

s (x ) = a + b sin(c (x − d )) s (x ) (optie maximum) ⇒ top (2,21; 4,36) s (x ) (optie minimum) ⇒ top (5,35; − 4,36). 4,36 + − 4,36 Evenwichtsstand a ≈ = 0 (of 1 − 1 = 0), 2 amplitude b ≈ 4,36 − 0 = 4,36 en de periode is (net als bij f en bij g ) 2π = 2π ⇒ c = 1. c

(of de periode is (5, 35 − 2, 21) × 2 = 3, 14 × 2 = 6, 28)

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor s (x ) = 0 (intersect) ⇒ x ≈ 0, 64 ⇒ d ≈ 0, 64. Een passende formule is s (x ) ≈ 4,36 sin(x − 0, 64).

π

2π


8 Goniometrie 7/12

40a

s (x ) = a + b cos(c (x − d )) s (x ) (optie maximum) ⇒ top (0,26; − 2,20) s (x ) (optie minimum) ⇒ top (3, 40; − 7,80). −2,20 + −7,80 Evenwichtsstand a ≈ = −5 (of − 3 − 2 = −5), 2 amplitude b ≈ −2,20 − −5 = 2,80 en de periode is (net als bij f en bij g ) 2π = 2π ⇒ c = 1 (of de periode is (3, 40 − 0, 26) × 2 = 3, 14 × 2 = 6, 28). c De grafiek gaat door een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor x ≈ 0,26 ⇒ d ≈ 0,26. Een passende formule is s (x ) ≈ −5 + 2,80 cos(x − 0,26).

40b

v (x ) = a + b sin(c (x − d )) v (x ) (optie minimum) ⇒ top (2, 64; − 2, 47) v (x ) (optie maximum) ⇒ top (5, 78; 0, 47). 0,47 + −2,47 Evenwichtsstand a ≈ = −1 (of − 3 − −2 = −1), 2 amplitude b ≈ 0, 47 − −1 = 1, 47 en de periode is (net als bij f en bij g ) 2π = 2π ⇒ c = 1 (of de periode is (5, 78 − 2, 64) × 2 = 3, 14 × 2 = 6, 28). c De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor v (x ) = 1 (intersect) ⇒ x ≈ 4,21 ⇒ d ≈ 4,21. Een passende formule is v (x ) ≈ −1 + 1, 47 sin(x − 4,21).

41a

T = 21, 5 + 6,5 sin( 1 π (t − 4))

6 evenwichtsstand 21, 5 (°C) amplitude 6, 5 (°C) periode 21 π = 12ππ = 12 (mnd = 1 jaar) 6

π

beginpunt (4; 21, 5).

Zie hiernaast. 41b

T = 25 (intersect) ⇒ t ≈ 5, 0... ∨ t ≈ 8, 9... T > 25 (intersect) ⇒ 5, 0... < t < 8, 9...

41c

De stijging is het sterkst bij het passeren van de evenwichtsstand. De sterkste stijging is  dT  ≈ 3, 40 °C per maand. Dit is (ongeveer) 0,8 °C per week.  dt t = 4

41d

De evenwichtsstand a = 17,5; de amplitude b = 17, 5 − 15 = 2,5 en de periode is 12 = 2π ⇒ c = 1 π .

Dus gedurende 8, 9... − 5, 0... maanden of (ongeveer) 115 dagen.

Z

c

6

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand voor t = 2 (1 maart) + 3 ( 41 periode) = 5 ⇒ d = 5. 42a

De amplitude b = 25 en de periode is 8 = 2π ⇒ c = 2π = 1 π .

42c

y P ' = y P = 25 sin( 1 πt ).

42b

Op t = 0 is P '(0, 0) en op t = 2 is P '(0, 25).

42d

t = 6, 5 ⇒ y P ' = 25 sin( 1 π ⋅ 6,5) ≈ −23,1.

43a

c

8

u = 0,2 sin(6πt ) = b sin( 2π t ) ⇒ de amplitude b = 0,2

4

0, 2

4

4

u

T

en 6π = 6π = 21π ⇒ de trillingstijd T = 1 seconde 1

3

3

t

en de frequentie f = 3 Hertz. 43b

1 3

De periode (de trillingstijd) is 1 seconde. 3

Zie de grafiek van u over twee perioden hiernaast. −0, 2 44

u = 3sin(60πt ) ⇒ de amplitude b = 3 en de frequentie f = 30 Hertz (t = 1 ⇒ u = 3 sin(60π ) = 3 sin(30 ⋅ 2π ). De frequentie f = 30 Hertz ⇒ de trillingstijd T = 1 seconde. 30

45

u = 0,8 sin(440 ⋅ 2πt ) = 0,8 sin(880πt ).

46

u1 = 3sin(0, 03 ⋅ 2πt ) = 3 sin(0, 06πt ) met t in ms en u in mm. (3 rondgangen in 100 ms ⇒ 0,03 rondgangen in 1 ms). met t u2 = 4 sin(0, 025 ⋅ 2πt ) = 4 sin(0, 05πt ) met t in ms en u in mm. (2,5 rondgang in 100 ms ⇒ 0,025 rondgangen in 1 ms).

47a

T = 75 ⇒ h = (2 + 20) + 20 sin( 2π ⋅t ) = 22 + 20 sin( 2 πt ).

47b

= 22 + 20 sin( 2 ⋅ π ⋅ 25) ≈ 39,3 (m). 75

75

t = 25 ⇒ h

75

in ms


8 Goniometrie 8/12

47c

h = 22 + 20 sin( 2 πt ) = 32 (intersect) ⇒ t = 6,25 ∨ t = 31,25. 75 h > 32 (zie een plot) gedurende 31,25 − 6,25 = 25 seconden.

48a

hA = 22 + 20 sin( 1 πt ) = 22 + 20 sin( π t ) = 22 + 20 sin( 2π ⋅t ) ⇒ omlooptijd (of trilingstijd of periode) T = 60 (sec).

48b

Na 60 ⋅ 60 = 1 ⋅ 60 = 10 seconden. 360 6

49a

xQ = 20 cos(30π (t − 1 )) en xR = 20 cos(30π (t − 2 )). 45 45

49b

xQ = 20 cos(30π (t + 2 )) en xR = 20 cos(30π (t + 1 )). 45 45

50a

h1 = 20 + 18 sin( 2π t ) ofwel h1 = 20 + 18 sin( 1 πt ).

50b

Stoeltje 2 heeft een faseachterstand van 1 (periode) op stoeltje 1, dat is 1 ⋅ 90 = 3, 75 sec .

30

30

60

90

30

45

24

Dus h 2 = 20 + 18 sin( 1 π (t − 3, 75)) en h 22 = 20 + 18 sin( 1 π (t − 78, 75)). 45

51a

hB = 22 + 20 sin( 1 π (t − 10)).

48c

24

45

De periode van P (en ook van Q en R ) is 50 seconden.

P (t = 12, 5) heeft 12,5 seconden voorsprong op Q (t = 25) ⇒ het faseverschil tussen P en Q is 12,5 = 1 . 50

4

R (t = 5) heeft 7,5 seconden voorsprong op P (t = 12, 5) ⇒ het faseverschil tussen P en R is 7,5 = 15 = 3 . Het faseverschil tussen Q en R is

50

12,5 7,5 20 2 + = = . 50 50 50 5

100

20

51b

uP = 2 sin( 2π t ) = 2 sin( 1 πt ); uQ = 2 sin( 1 π (t − 12, 5)) en uR = 2 sin( 1 π (t + 7, 5)). 50 25 25 25

51c

R en Q snijden elkaar bij t = 15 (blokje Q gaat omhoog) en t = 40 (blokje Q gaat omlaag). We zoeken dus t = 40.

51d

Tijdens de eerste 50 sec. (één periode) gaan alle drie de blokjes omhoog voor 0 < t < 5. Dus 10% van de tijd.

52a

Rol II draait in tegenwijzerrichting en draait twee keer zo snel als rol I ⇒ frol II = 4.

52b

x P = 10 cos(2 ⋅ 2πt ) = 10 cos(4πt ) en yP = −10 sin(4πt ). xQ = 15 − 5 cos(8πt ) en yQ = −5 sin(8πt ).

xQ xP

yP

52c

Zie de grafieken van x P , xQ , yP en yQ hiernaast.

52d

De punten P en Q raken elkaar als xP = xQ of als P en Q beide in het punt (10, 0) op de x -as zitten. Dat is bij t = 0, t = 0, 5 en t = 1. De grafieken van x P en xQ raken elkaar dan.

53a

3 januari loopt van t = 2 tot t = 3. A = 55 000 − 250t + 1200 sin(πt ) met de optie maximum op 2, 3 geeft Amax ≈ 55 578 (km voor t ≈ 2, 48).

53b

De hoogste toppen komen steeds lager te liggen.

54a

Het aantal perioden is

54b

A ≈ 379 338 + 24 998 sin(77, 7t ) want a = 354340 + 404336 = 379 338, b = 404 336 − 379 338 = 24 998, c = 2π × (aantal perioden) ≈ 77, 7 en d = 0.

yQ

365,2422 ⋅ 24 ≈ 12,368. 708 + 44 60

2

54c

3,8 cm = 3, 8 × 10 −5 km

54d

387 309 − 354 340 = 32 996 (km). Jaarlijks neemt de afstand aarde-maan met 3,8 ⋅ 10 −5 km toe. ≈ 868 miljoen jaar. Dus het duurt 32 996 −5 3,8⋅10

55 tot en met 60 wordt aan de lezer overgelaten.

⇒ d = 379 338 + 3, 8 ⋅ 10 −5t .


8 Goniometrie 9/12

Diagnostische toets D1

° = 120° A(cos 40°; sin 40°) ≈ A(0, 77; 0, 64). De draaiingshoek van A naar B (alsook van B naar C en van C naar A ) is 360 3 B (cos160°; sin160°) ≈ B ( −0, 94; 0,34). C (cos 280°; sin 280°) ≈ C (0,17; − 0, 98).

D2a

yA = sin α = 0, 9. De GR geeft sin −1 (0, 9) ≈ 64° ⇒ (zie figuur 8.58) α ≈ 116°.

D2b xB = cos α = 0, 9. De GR geeft cos −1 (0, 9) ≈ 26° ⇒ (zie figuur 8.58) β ≈ −26°. ∠AOB ≈ 116° + 26° = 142°. D3a

P (cos (10), sin (10)) ≈ P ( −0, 84; − 0, 54).

D3b P (cos (5 1 π ), sin (5 1 π )) = P (cos (1 1 π ), sin (1 1 π )) = P (0, − 1). 2

2

D4b

3 π rad = 4 1 π rad = 5

D4c

0, 6rad = 0, 6 ⋅ 180° : π ≈ 34, 4°.

D4a

2

2

3 ⋅ 180° = 135°. 4 1 ⋅ 180° = 36°. 5

D5b D5c D5d

270° = 270 ⋅ π rad = 3 π rad.

180 2 − 60 ⋅ π −60° = rad = − 1 π rad. 180 3 150° = 150 ⋅ π rad = 5 π rad. 180 6 330° = 330 ⋅ π rad = 11 π rad. 180 6

D6a α = sin −1 (0, 73) ≈ 0,82. D7a

y = sin(x )

… 3 4

…

D7b

D4f

2 π rad = 2 ⋅ 180° = 120°. 3 3 2 rad = 2 ⋅ 180° : π ≈ 38,2°. 3 3

graden

180

270

−60

−70

radialen

π

…

…

…

D5e

40° = 40 ⋅ π rad = 2 π rad.

D5f

−70° = −70 ⋅ π rad = − 7 π rad.

180

9

180

18

D6c α = sin −1 ( 1 2) ≈ 0, 79.

− 1 π ). 2

2

y = sin(x ) .....verm. t.o.v. de y -as met

y = sin(2x )

.....translatie ( 21 π , 2)

2 3

0,6

π

7

y = 3 ⋅ sin(x )

D8

π

D6b α = cos −1 ( 6 ) ≈ 0, 54.


f (x ) = 2 + 3 ⋅ sin(x

180

radialen

D4e

D4d 26π rad = 26 ⋅ 180° = 4 680°. D5a

graden

1 2

.....translatie ( 41 , −3)

f (x ) = −3 + sin(2(x − 41 )).

y = cos(x ) .....translatie ( 3 π , 1) 4 y = 1 + cos(x − 3 π ) 4 .....verm. t.o.v. de y -as met 4 y = 1 + cos( 1 x − 3 π ) 4 4 .....verm. t.o.v. de x -as met − 2 f (x ) = −2(1 + cos( 1 x − 3 π )) = −2 − 2cos( 1 x − 3 π ) 4 4 4 4 ofwel f (x ) = −2 − 2 cos( 1 (x − 2π )). 4

D9a f (x ) = 4 + 2 sin(π (x − 1)) evenwichtsstand 4 amplitude 2 periode 2ππ = 2

beginpunt (1, 4). (zie de grafiek hiernaast)

D9b f (x ) = 5 (intersect) ⇒ x ≈ −2,83 ∨ x ≈ −2,17 ∨ x ≈ −0, 83 ∨ x ≈ −0,17 ∨ x ≈ 1,17 ∨ x ≈ 1,83 ∨ x ≈ 3,17 ∨ x ≈ 3,83. f (x ) ≥ 5 (zie een plot/de grafiek) ⇒ −2, 83 < x < −2,17 ∨ − 0,83 < x < −0,17 ∨ 1,17 < x < 1,83 ∨ 3,17 < x < 3,83.  dy  D9c De helling is   ≈ 6,28.  dx  x =1


8 Goniometrie 10/12 D10b f (x ) = a + b sin(c (x − d )) met a = −10, b = 20 en c = 1 π .

D10a f (x ) = a + b sin(c (x − d )) met evenwichtsstand a = −10, amplitude b = 10 − −10 = 20 en de periode is 40 − 10 = 30 = 2π ⇒ c = 2π = 1 π . c

30

15

De grafiek gaat een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor x = 17 1 ⇒ d = 17 1 .

15

2

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor x = 10 ⇒ d = 10. Een formule: f (x ) = −10 + 20 sin( 1 π (x − 10)).

2

Een formule: f (x ) = −10 + 20 cos( 1 π (x − 17 1 )). 15

2

15

D11a u = 3sin(10πt ) = 3sin(5 ⋅ 2π ) ⇒ de amplitude b = 3 cm, de frequentie f = 5 Hertz en de trillingstijd T = 1 sec. 5

D11b Zie de grafiek van u hiernaast. D11c 0,2 periode is 0,2 ⋅ 1 = 0,2 ⋅ 0,2 = 0, 04 (sec). 5

Dus uQ = 3sin(10π (t − 0, 04)). D12a De afstand AB = 212 + 1002 = 10 441 (m). De omtrek van het vat (2π r) is 2π ⋅ 0,25 = 0,5π (m). Het aantal omwentelingen is

10441 ≈ 65. 0,5π

D12b Eén omwenteling duurt (aflezen in figuur 8.60b) 2 sec. ⇒ na 65,... × 2 ≈ 130 sec. is het vat in B . D12c Er wordt dus 10 441 meter afgelegd in 130,1... sec. ⇒ de snelheid is

10441 m/s ≈ 2,83 km/u. 130,1...

Gemengde opgaven 8. Goniometrie G34a P (cos(2), sin(2)) ≈ P ( −0, 42; 0, 91). G34b P (4 cos(5), 4 sin(5)) ≈ P (1,13; − 3,84). G34c P (6cos(1 1 π ), 6 sin(1 1 π )) ≈ P ( −4,85; − 3,53). 5

5

G34d P (8cos( −5 1 π ), 8 sin( −5 1 π )) ≈ P ( −6, 93; 4). 6 6 G35a y = sin(x )

en


y = cos(x ) .....verm. t.o.v. de x -as met 4

y = 3sin(x )

y = 4 cos(x )

.....translatie ( 31 π , 2) y = 2 + 3sin(x − 1 π ) 3 .....verm. t.o.v. de y -as met 21 f (x ) = y = 2 + 3sin(2x − 1 π ) 3 of f (x ) = 2 + 3 sin(2(x − 1 π )). 6

.....translatie ( − 61 π , − 1) g (x ) = −1 + 4 cos(x + 1 π ). 6

G35b f (x ) = 2 + 3sin(2(x − 1 π )) evenwichtsstand 2 amplitude 3 periode 22π = π

beginpunt ( 61 π , 2).

6

Zie de grafieken hiernaast. f

en

g (x ) = −1 + 4 cos(x + 1 π ) evenwichtsstand − 1 amplitude 4 periode 2π beginpunt ( − 61 π , 3).

π

2π

6

G35c f (x ) = 0 (intersect) ⇒ x ≈ 0,16 ∨ x ≈ 2, 46 ∨ x ≈ 3,30 ∨ x ≈ 5, 60. (dit zijn de nulpunten)

G35d f (x ) = g (x ) (intersect) ⇒ x ≈ 0, 42 ∨ x ≈ 5,18. f (x ) < g (x ) (zie een plot/grafiek) ⇒ 0 ≤ x < 0, 42 ∨ 5,18 < x ≤ 2π .

g


8 Goniometrie 11/12

G36a h = 2, 4 + 0, 6 sin(0,51(t − 3)) evenwichtsstand 2,4 amplitude 0, 6 2π ≈ 12, 32 periode 0,51 beginpunt (3; 2, 4). Teken nu zelf de grafiek van h . (gebruik een plot een TABLE)

G36b De maxima op 2 mei zijn 1 periode en 1 1 periode na het beginpunt. 4

4

Dus bij t = 3 + 1 ⋅ 2π = 6, 0... ⇒ om 6:05 en bij t = 3 + 1 1 ⋅ 2π = 18,3... ⇒ om 18:24. 4 0,51

4 0,51

G36c In 1 dag zitten bijna twee perioden. Dus op 5 mei de eerste keer bij t = 3 + 6 1 ⋅ 2π − 3 ⋅ 24 (zoeken we niet) 4 0,51

en de tweede keer bij t = 3 + 7 1 ⋅ 2π − 3 ⋅ 24 ≈ 18, 40 ⇒ om 20:19. 4 0,51

G36d h = 2, 9 (intersect met 0 < t < 12) ⇒ t = 4, 9... (om 4:56) ∨ t = 7,2... (om 7:14). h > 2, 9 (zie een plot/grafiek) ⇒ tussen 4:56 en 7:14.

G37a u = 5 sin(2πt ) evenwichtsstand 0 dm amplitude 5 dm periode 22ππ = 1 sec

beginpunt (0, 0).

Zie de grafiek hiernaast. G37b Per seconde (trilling) wordt 4 ⋅ 5 = 20 dm afgelegd. Dus in één minuut 60 ⋅ 20 = 1200 dm ofwel 120 meter. G37c De snelheid op tijdstip t = 1,2 is  du  ≈ 9, 71 (dm/s).  dt t =1,2 G38a In de figuur G.19 is dat 6 500 − 1 500 = 5 000 (cm3 ). G38b In figuur G.18 is de periode 6 seconden ⇒ 10 ademhalingen per minuut. Het minuutvolume is 10 ⋅ 500 = 5 000 (cm3 , dus 5 liter). In figuur G.19 is de periode 15 seconden ⇒ 4 ademhalingen per minuut. Het minuutvolume is 4 ⋅ 5 000 = 20 000 (cm3 , dus 20 liter). De verhouding van het minuutvolume bij de ademritmes van figuur G.18 en figuur G.19 is 5 000 : 20 000 = 1 : 4. ) = 4000 + 3500 = 3 750; b ( = amplitude) = 4 000 − 3 750 = 250; 2 2π ( = periode ) = 2π = 1 π en d = 0 (sinus gaat stijgend door de evenwichtsstand voor t = 0) ⇒ V = 3 750 + 250 sin( 1 πt ). 6 3 3 = a + b cos(c (t − d )) met a ( = evenwichtsstand) = 6500 + 1500 = 4 000; b ( = amplitude) = 6500 − 4 000 = 2 500; 2 2π ( = periode ) = 2π = 2 π en d = 15 (cosinus heeft maximum voor t = 15 ) ⇒ V = 4 000 + 2500 cos( 2 π (t − 15 )). 4 15 15 4 15 4

G38c V = a + b sin(c (t − d )) met a ( = evenwichtsstand =

c G38d V

c

max + min 2

G38e V = a + b sin(c (t − d )) met a ( = evenwichtsstand) = 4 200 (gegeven); b ( = amplitude) = 2 500; (de periode van één ademhaling is 1 21 = 23 seconde, want er zijn 40 ademhalingen per minuut ⇒ ) 2π c ( = periode ) = 2π = 20 π = 4 π en d = 3 (deze sinus heeft beginpunt voor t = 41 ⋅ 23 ). 1,5 15 3 8 Dus V = 4 200 + 2 500 sin( 4 π (t − 3 )). 3 8

G38f 4 200 + 2 500 sin( 4 π (t − 3 )) = 6 000 ⇒ t ≈ 0,56... ∨ t ≈ 0, 93... 3

8

Per ademhaling 0,36... sec. ⇒ per minuut 40 ⋅ Ans ≈ 14, 6 sec. G39a De omtrek van het rad (2π r ) is 2π ⋅ 20 = 40π m. De snelheid is 40π m/ min ⇒ (ongeveer) 40π ⋅ 60 : 1000 = 2, 4π ≈ 7,5 km/u. G39b h = a + b cos(ct ), want op t = 0 is het bakje in het hoogste punt. Evenwichtsstand a = 23, amplitude b = 20 en de periode is 60 = 2π ⇒ c = 2π = 1 π . c

Een passende formule is h M = 23 + 20 cos( 1 πt ).

60

30

30

G39c 12 van de 36 bakjes eerder ⇒ de fasevoorsprong is 12 = 1 . Hierbij hoort t = 1 ⋅ 60 = 20. Dus h W = 23 + 20 cos( 1 π (t + 20)). 30

36

3

3


8 Goniometrie 12/12

G39d Zie de grafieken hiernaast. G39e h M = h W (intersect) ⇒ t = 20 ∨ t = 20 + 60 = 80. (het bakje van Willeke stijgt).

hM

hW

G40a f (x ) = a + b sin(c (x − d )) met evenwichtsstand a =

3,5 + −1,5 = 1, amplitude 2

b = 3,5 − 1 = 2, 5 en de periode is 1 1 π = 2π ⇒ c = 21π = 6π = 1, 5. c

3

De grafiek gaat stijgend door de evenwichtsstand (beginpunt van sinus) voor x Een passende formule is f (x ) ≈ 1 + 2,5 sin(1,5(x − 1 π )).

1 π

= 1 π ⇒ d = 1 π. 3 3

3

4π

3

G40b N (t ) = a + b cos(c (t − d )) met evenwichtsstand a = 40 + 0 = 20, amplitude b = 40 − 20 = 20 en de periode is (7 − 1) × 2 = 12 = 2π ⇒ c = 2π = 1 π . c

2

De grafiek gaat een hoogste punt (beginpunt van cosinus) voor t = 1 ⇒ d = 1. Een passende formule is N (t ) ≈ 20 + 20 cos( 1 π (t − 1)).

12

6

6

G41a De omtrek van het wiel (2π r ) is 2π ⋅ 34 = 68π cm. (de snelheid van 18 km/u = 5 m/s = 500 cm/s) Dus per seconde 500 ≈ 2,34 keer rond. 68π

G41b h = a + b sin(ct ), want op t = 0 is de ventiel helemaal rechts (op de evenwichtstand en heeft een positieve draairichting). Evenwichtsstand a = 34, amplitude b = 30 en de frequentie is 500 = c ⇒ c = 1000π = 500 = 250 . 68π

Een passende formule is h = 34 + 30 sin( 250 t ).

2π

68π

34

17

17

G41c Lees in figuur G.22 af: het wiel draait één keer rond in 1 seconde ⇒ twee keer rond in 1 seconde. 2

De snelheid is 2 ⋅ 68π = 136π cm/s. Dit is (ongeveer) 15,4 km/u. G41d Lees in figuur G.22 af: in 1 seconde 30 cm gestegen. Er is dan 136π cm afgelegd.

AB 2 + BC 2 = AC 2 ⇒ AB 2 = AC 2 − BC 2 ⇒ AB = AC 2 − BC 2 = (136π )2 − 302 .

136π

30

De helling is BC ≈ 0, 07 = 7%. AB

G42a De lengte van de baan is 2π ⋅ 30 + 2π ⋅ 50 = 160π (cm). De snelheid van de trein is 160π ≈ 21 cm/s.

wissel

24

G42b y P = 30 sin( 2 πt ) (0 < t < 4, 5). (de periode is 9

3 8

⋅ 24 = 9 =

2π c

⇒c =

2π 9

=

2 9

π)

G42c Voor 4, 5 < t < 12 is de amplitude 9. (bij t = 12 is de halve baan afgelegd) ≈ −92 705 (negatief) ⇒ de spanning V neemt af. G43a De helling op tijdstip t = 0, 05 is  dV   dt t =0,05 G43b V = 300 sin(100πt ) (optie maximum) ⇒ (eerste maximum na t = 0 voor) t = 0, 005. V * = 60 sin(100πt − 25) (optie maximum) ⇒ (eerste maximum na t = 0 voor) t ≈ 0, 0046. V * bereikt 0, 005 − 0, 0046 = 0, 0004 seconden eerder het maximum. G44a y = 3 + 3sin(0, 469x ) = 3, 8

(met intersect de twee snijpunten naast één top) ⇒

x ≈ 0,57555 of x ≈ 6,12294. Dus de breedte van het blokje is (ongeveer) 5, 5 (cm). G44b SQ = 552 + 67 2 ≈ 86, 68. S ligt even hoog als P ; hetzelfde aantal golven; even hoge toppen; enz. De nieuwe grafiek is een horizontale uitrekking van G.26 met factor verm. y -as,

86,68 67

y = 3 + 3sin(0, 469x ) → y

86,68 . 67

55 cm

= 3 + 3sin(0, 469 ⋅ 67 x ). 86,68

Dus een mogelijke formule is y = 3 + 3sin(0,363x ).

67 cm

= cos245 en y P = sin245

Recommend Documents