Prosiding Pertemuanllmiah Sains Materi 1// Serpong,20 -21 Oktober 1998
ISSN 1410-2897
PERPINDAHAN DAN GAYA SUATU SILINDER BERDINDING TIPIS DAN TERBUAT DARI BAHAN KOMPOSIT YANG DITINJAU DENGAN TEORI MOMEN LENTUR, SEMI MOMEN LENTUR DAN MEMBRAN 536 Darwin Sebayang Lembaga Penerbangan clan Antariksa Nasional, JI, Pemuda Persil No.1, Jakarta
ABSTRAK PERPINDAHAN DAN GAYA SUATU SILINDER BERDINDING TIPIS DAN TERBUAT DARI BAHAN KOMPOSffYANG DITINJAU DENGAN TEORI MOMEN LENTUR, SEMI MOMEN LENTUR DAN MEMBRAN Silinder merupakan konstruksi yang banyak dijumpai pada konstruksi roket atau pesawat. Di sini ditunjukkan pemacuan teknologi berupa penyelesaian persamaan silinder dengan menggunakan idealisasi dengan menggunakan teori membran, semi momen lentur dan momen lentur dari silinder yang terbuat dari bahan komposit. Penyelesaiannya dilakukan dengan menggunakanmetode perpindahan matrik, di mana integrasi dalam arah keliling digunakan deretFourier dan integrasi dalam arah memanjang digunakan deretLie-Magnus. Pada contoh pemakaian ditunjukkan keuntungan masing-masing teori.
ABSTRACT DEFLECTION AND FORCE OF A THIN WALLED COMPOSffE CYLINDER BASED ON BENDING THEORY, SEMI BENDING THEORY AND MEMBRAN THEORY. The cylinder with composite material is widely used in rocket and aerospaceconstruction. To analyse the stress due to load, it is required with the simple and accurate method. This paper shows the derivation of the cylinder equation using the idealisation with the help of the bending theory, semi bending theory and membran theory. The partial equation of that cylinder based on the cylinder equation were derived. The solution to the equation was done using the transfer matrix method in which the integration in the circumferential direction with the Fourier Seriesand the integration in the axial direction was done using the Lie-magnus Series. In the application of this method, it will be shown the merit each theory
1. PENDAHULUAN Suaul silinder mernpakan struktur yang banyak digunakan pacta teknik penerbangan dan Antariksa. Disamping itu kegunaannya dapat dilihat juga pada perkapalan, pacta konstruksi elemen mesin daD bangunan sipil lalnnya. Akhir-akhir ini bahan serat sebagai bahan konstrnksi sangat banyak digunakan karena sesuai dengan sifatnya, yaitu kekuatan dan stabilitasnya dapat dioptimalkan. Suatu strnktur disebut komposit. bila dia terdiri dari dua atau lebih lapis. Struktur iul dibuat dari bahan yang merniliki suat yang berlainan dari berbagai arab. Untuk menghitung tegangan pacta Laminat maka umumnya dilakukan dengan teori Kontinum. Bert [I) meninjau persamaan dasardengan menggunakan Persamaan Vlasov-StavSky yang menganggap silinder lemah geser. Whitney [2) menggunakan teori silinder Vlasov-Ambartsumyan untuk menghitung tegangan pacta suatu silinder yang terbuat dari struktur dari serat dengan meninjau tegangan normal dan perubahan bentuk normal. Dengan meninjau hipotesis pertama dan kedua daTi Kirschoff dihasilkan persamaan yang lebih sederhana misalnya persamaan Donnel atau Flugge. Persamaan Donnel banyak digunakan karena mudah daD sederhana. Tetapi barns diingat bahwa persamaan Donnel untuk bilangan Fourier lebih besar dari empat akan menghasilkan hasil yang salah. Persamaan Donnel ini
digunakan oleh Dong, Pister daD Taylor [3] untuk menyelesaikan masalah statik daD stabilitas. Reuter [4] menggunakan teori ini untuk menghitung tegangan yang terjadi akibat tekanan dalam daD termis. Berdasarkan persamaan Donnel, JonesdaD Morgen [5] menyelesaikan masalah stabilitas daD getaran sedangkan Jones daD Henneman [6] meneliti pengaruh deformasi tekukan awal (prebuckling) terhadap tekukan suatu silinder. Bootern daD Tennyson [7] menyelesaikan stabilitas silinder yang terbuat dari bahan anisotrop daD tidak sempurna dengan menggunakan rumus Airy juga dengan persamaan Donnel. Dengan menggunakan persamaanyang sarna Uemura daDFukunawa [8] menyelidiki kondisi tegangan dalam suatu tangki akibat tekanan dalam. Whitney [9] juga menggunakan persamaan Donnel untuk menyelesaikan masalah stabilitas Cheng daD Ho [10] mengembangkan persamaan dasar untuk silinder yang terbuat dari bahan yang beriapis-lapis dengan bantuan persamaan Flugge. Sun daD Chin [11] menganalisis struktur dengan teori petal Karman. Ambartsumyan [12] meninjau beban mekanis dengan leon membran. Untuk mengembangkan teori silinder maka dikenal dengan teori silinder berdinding tebal at.'lU berdinding tipis. Sebagaibatasan antara krona silinder ditentukan berdasarkanpemandingan leba! (h) dengan jari R, misalnya menurut Novozzilov [13]
Pro.\"iding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III Serpong, 20 -21 Oktober 1998
ISSN 1410-2897
n
hk
jtOXk dz
Nox= L Pada toori silinder yang berdinding tipis beberapa besaran yang berlaku pada silinder berdinding tebal diabaikan. Anggapan yang berlaku pada penurnnan persamaan dasar silinder berdinding tipis yaitu yang dikenal dengan anggapan Kirschoff. Anggapan KirschotI yang pertama menganggap bahwa tegangan normal yang tegak lurns terhadap permukaan tengah diabaikan, karena pengarnhnya kecil diban-dingkan
k=lhk-1
(2. 5) n
Qe=
hk
r Jtezk k= I hk-l
dz
dengan perubahan bentuk atau tegangan lainnya.
Momen JX'-nampang atau aliran Momcn:
Hipotesis kedua menyatakan bahwa elemenyang tegak lurns terhadap permukaan tengahjuga sesudahbernbah bentuk tetap lurns clan tetap normal ke pada permukaan
n
hk
Mx= r
J
k= I hk-1
tengah yang berubah bentuk. Panjangnya tidak bembah. Hipotesis ini menyatakan bahwa pernbahan bentuk dalam arab geser sarna dengan Nol. Dengan ke dua rupotesis ini maka dinding silinder dianggap kaku. Vlasovl14) mengembangkan suatu teori yang dikenal dengan teori setengah membran. Dengan teori ini beberapakomponen tegangandalam arab axial silinder diabaikan dengan menganggap bahwa tegangan yang bersangkutan kecil dibandingkan dengan tegangan lainnya. Disamping pemudahan terhadap persamaan kesetimbangan digunakan juga anggapan berdasarkan geometri di mana pernbahan panjang dalam arab keliling ("9) daD pernbahan panjang geserpada bidang (Y xe) sarna dengan Nol. Dengan persamaan kesetimbangan yang sarna, Schnell 115) menganggap pula bahwa pembahan panjang dalmn arab keliling (&9) sarna dengan Dol tetapi memperhitungkan pembahan bentuk dalam geser (Y xe) baik pada hubungan geometris maupun elastomekanis. Teori ini di kenai dengan teori semi momen lentur. Berdasarkan ke dua teori ini maka sistem persmnaan ditIerensial berorde 8 berkurang menjadi 4. Persamaan ditIerensial clanjuga perpin-dahan matrik silinder yang isotrop dengan teori ini. dapat dilihat di 116) 117]. Di sini dikembangkan persamaanditIerensial untuk silinder yang terbuat dari bahan komposit yang diidealisasi dengan teori membran. momen lentur clan semi momen lentur.
(2.1.4)
n
Me=
(2.1.6)
(2
.7)
hk
JO"ek zdz
L k=lhk-1
(2.1.8)
(2.1.9) n
hk
Mox = r
J tOXk zdz
k=lhk-1
(2
10)
2.2. Perubahan bentuk penampang tengah dengan kondisi tidak berubah bentuk berbunyi sebagaiberikut: &x = u,x V,9 +W
(2.2.1 )
Untuk kelengkungan permukaan tegangan akibat perubahan akibat lentur daIam arab memanjang K x ' perubahan bentuk dalam arab tegak lurus KO daD perubahan bentuk akibat torsi KxO. Dalam hal ini
diambil
kelengkungan permukaan berdasarkan
Donnel-Muchtari-Vlasov [18] :
2. METODOLOGI DAN TEORI 2.1 Definisi aliran ~aya dan aliran momen n
Nx=
hk
L
J O'Xk
k=1 hk-1
n
Z
R
(2.2.2)
(2. 1)
hk
No= L
jao
k= 1 hk-1
n
Nxo=
(1+- ) dz
L
k
dz
hk
(2.1.2)
( )
J txOk I+~
k=lhk-1
Dan.,in .\'ehayang
R
2.3. Persamaan kesetimbangan
Berdasarkananggapanyang berlaku pacta dz
(2. 3)
idealisasisilinder denganteori momenlentur, semirnomen lentur daD membran, maka ditunjukkan persamaan
341
I
Prosiding Pertemuan Ilmiah ..\'ains Materi /II Serpong, 20 -21 Oktoher 1998
ISSN1410-2897
kesetimbanganyang berlaku untuk masing-masingteori. 2.3.1. Persamaan kesetimhangan herdasarkan teori momen lentur
Hubunganelastomekanissilinder berdinding tipis berdasarkanleon momen lentur dapat dituliskan sebagai berikut:
.Persalnaankesetimbanganaliran gayadalam arab x Nxo,o
R Nx'x"'-=-Px
.(21.1)
-PersaJnaan kesetirnbangan aliran gaya dalam arab e
NxO 'x +~+.9-!!.= R R
p0
(2.3.2)
-Persanman kesetirnbangan aliran gaya dalam arab z:
~
~
(2.3.3)
R -Qx'x-~-R=Pr -Kesetimbangan --~-, M,'A,v-~ QA
momen terhadap smubu x:
Me,e R = me
(2.3.4)
-Kesetimbangan momen terhadap sumbu 8:
Qx
-~.
Mxe,o_-
JVJx'x-~=mx
R
(2.3.5)
2.3.2. Persamaankesetimbanganberdasarkanteori semimomenlentur
2.3.3. Persamaankesetimbanganberdasarkanteori membran
Dari hubungan elastomekanis di alas maka dapat diturunkan hubunganelastomekanis berdasarkan teorisemi momen lentur daDmembran.
2.4.1. Hubunganelastomekanissilinder berdinding tipis denganteori semimomenlentur Teori se~ momen lentur menyatakan bahwa ditinjau dalam arab x kondisi tegangan membran daD dalam arab kondisi teganganutuh [14] [16]. Anggapan ini berdasarkankepada kaidah Vlasov, di mana kelengkungan suatu silinder berdinding tipis dalam arab keliling lebih dominan dibandingkan dengan dalam arab memanjang. Apabila suatu silinder isotrop diperkuat dengan Stringer und Ringe secara orthotrop, maka berlaku kaidah Vlassov, apabila penguat dalam arab keliling samaatau lebih kuat dari pada dari penguat dalam arab memanjang. Sebagai mana teori setengab membran atau setengah momen lentur berdasarkan kaidah Vlassov tersebut, bahwa ~diabaikan daDjuga Mx = Qx = 0 .Untuk menurunkan hubungan eJastomekanis berdasarkan teori setengah momen lentur dengan menganggap bahwa tegangan dalam arab e lebih dominan daripada dalam arab x, maka pengaruh momen dalam arab memanjang (Mx), momentorsi (Mx.e ) daD gaya lintang dalam arab x (Qx ) pada Persamaan2.4.1 diabaikan. Dengananggapan ini, maka baris dan kolom ke empatdaDke enam diabaikan.Dengan demikian dapat diperoleh hubungan elastomekanis berdasarkanteori setengahmomen lentur sebagaiberikut: C11
C12
C16
K12
Ne
";12
C22
C26
K22
Nxe
C16
C26
C66
K26
Me
K12
K22
K26
D22~
"Nx
Yxo &x f &0
(2.4.2) KO
Dibandingkan dengan struktur Laminat yang simetris di sini terjadi Kekakuan keterkaitan K12'K22daD K26 . Bila ditinjau hubungan elastomekanis (pers. 2.4.2), maka dapat dikenal bahwa kulit silinder yang anisotrop simetris dengan keterkaitan kekuatan diperkuat. 2.4.2.
Hubungan elastomekanis silinder berdin-
dingtipis berdasarkanteori membran 2.4. Hubun~anclastomckanis
Berdasarkan anggapanyang berlaku terhadap teori membran, maka anggapanyang berlaku pada teori
iI
Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III Serpong, 20 -21 Oktober 1998
ISSN 1410-2897
setengah momen lentur ditambah dengan Momenpotongan Mo dan gaya lintang Qodibanding dengan gaya potongan Nx' No' Nxo diabaikan, sehingga teori membrandalam arab tangensial sernata-matamerupakan masalah lempengan. Batasan ini ekuivalen dengan Hipotesis, bahwa distribusi tegangan merata terhadap
ketebalan dinding. Dengan demikian hubungan elastomekanis dapat disederhanakan sebagaiberikut:
![
]!
Nx No
= CI2 Cll
C22 C12
C26 C16
&X &0
Nxe
C'6
C26
C66
1xo
atau dalam bentuk matrik keluwesan hubungan elastomekanisdapatdituliskan sebagaiberikut: jll
812
816
822
826
16
826
866J
N9 NX
(2.4.4) Nx9
3. PENYELESAIAN SILINDER
PERSAMAAN
Dengantujuan menurunkan perpindahan rnatriks suatukeadaandaIam arah tertentu misalnya, daIamkasus ini mengambilnyadaIam arah memanjang,makaditunmkan persamaan differensial dalam arab memanjang sehingga semua besaran dan tumnannya dalam arab keliling, di mana suatu keadaan ujung secara lengkap disajikan. Bila arab perpindahan di ambil dalam arab sumbu x. maka persamaan differensial dapat dituliskan sebagaiberikut {U(8)}.x = rA(8) I {U (8)} + {P(8)}
(3.1)
Dengan menggunakan persamaan kesetimbangan hublmgan elastomekanisdan hubungankinematis maka dengan melakukan beberapa operasi pembahan dapat diperoleh persamaan differensial suatu silinder. Di bawah ini ditunjukkan konsep-konsep yang berkaitan dengan penumnan persamaan masing-masing teori
3.1. Penurunandifferensial parsielherdasarkanteori momenlentur Dari persamaan kesetimbangan, hubungan elastomekanis daD hubungan kinematis berdasarkan teori Momen lentur besaran perpindahan u, v, w, Px daD PedaD besaran gaya Nx' Nxe' Mx' Qx' Mxe' Ne dan Qe tidak diketahui. Karena arah perpindahan dalam sumbu x, maka besaran keadaan dalam vektor keadaan U berisi ~e' Ne, Me daD Qe bukan anggota besaran keadaan, karena besaran tersebut tergantung kepada sumbu q. Momen torsi Mxe diturunkan dengan menggunakan gaya pengganti Kirchhoff dengan besaran berikut ini:
Danvin ,~eba.vang
geser
penggantl:
Mxe Nxe
=Nxe
+-
(3. 1)
R
GayaI intangpengganti: Q: =Qx+~
(3.1.2)
Dengan demikian vektor keadaanberbunyi sebagai berikut: u, N
(2.4.3)
)12
.' Gaya
(3.1.3) Persamaandifferensialberdasarkanteori lentur dapat dilihat di Lampiran1. 3.2. Persamaandifferensial berdasarkan teon semi momenlentur Berdasarkan teori semi momenlentur daD membran, perpindahan radial w daD turunannya tidak terdapatpada besarankeadaan.Harga w kemudian akan diperoleh daTi besaran keadaan yang lain, apabila besaran lainnya sudah diperoleh, tidak tergantung apakah perpindahan radial tersebut diperoleh daTi kondisi batas atau tidak. Kondisi ini merupakan konsekuensi daTi pada tidak lengkapnya teori semi roomeD lentur atau teori membran. Dengan demikian vektor keadaan {U} berdasarkan teori membran daD semi momenlentur hanya mengandung: {U
}'x
=
{v,u,N
x,N
x(J}T
(3.2.1)
Untuk memperoleh vektor keadaan berdasarkan teori ini dapat dilakukan dengan menggunakan hipotesis kekuatan atau geometris. Bila digunakan hipotesis kekuatan maka hubungan w dengan besaran keadaan lainnya dilakukan dengan meninjau hubungan elastomekanis (pers 2.4.2). Dengan menganggap bahwa Ne jauh lebih besar daTi kondisi keadaan lainnya, maka diperoleh hubungan perpindahan w dengan besaran lainnya sebagaiberikut: w=--RuC12 C22
'x
U,o -- C26 C22 (v 'x +- R ) +K
22 -w,oo R
Persamaan differensial berdasarkan teori ini Qdpat. dilihat di lampiran2. 3,3. Persamaan diffcrensial panic! bcrdasarkan teon mernbran
Persamaandifferensial parsial berdasarkan teori membran dapat diperoleh dengan menggunakanke tiga persamaankesetimbangan (persamaan kesetimbangan dalam arab x, 8, daD z, hubungan elastomekanis (Persamaan2.4.4) daD hubungan kinematis (persamaan 2.2.1). Dengan menggunakan hubungan elastomekanis, yaitu hubungan antara matrik kekakuan daD hubungan kinematis. atau dengan menggunakan hipotesis bahwa kekakuandalam arab keliling sangatbesarakan diperoleh persamaan differensial yang sarna dengan persarnaan differensial yang diturunkan dari semi momenlentur.Bila 343
(rUm
ProsidingPertemuanIlmiah SainsMateri III Serpong, 20 -21 Oktober 1998
ISSN1410-2897
elastomekanis yang digunakan adalah Matriks kelu-
wesan dan hubungan kinematis, maka diperoleh persamaandifferensial secara lebih mudah. Persamaan differensial ini ditunjukkan di lmnpiran 3
00
00
Ne(x,8)= L Nemcosm8+ LN9m sinm8 m=O
m=o
00
l
00
3.4. PembahanpersamaandifTerensial parsiaJmenjadi persamaandifferensialbiasa
Me (x,8)= L Memcosm8+LMemsinm81
Untuk mengubah persamaandifferensial parsiel yang diturunkan menjadi persamaan biasa maka haruslah Matriks [A] daD{V} hanya terganmng kepada koordinat yang disesuaikan dengan arab koordinat yang dipilih. Untuk mengubah persarnaandifferensial parsial menjadi persamaanbiasa digunakan deretFourier. Deret Fourier untuk perpindahan daDGaya dimnjukkan pada PeTs.3.4.1,3.4.2 daD3.4.3. Dapat ditambahkan di sini hanya ditinjau besaran simetris.
Qe(x,8)= L Qemsinm8+ LQemcosm8
m=O
m=O
00
00
m=O
m=O
(3.4.2) daD besaranbeban
00
00
Pr(x?9)= L Pnncosm9+ LPnnsinm8 (3.4.3) m=O
OC'
00
di mana Um,Vm,Wm""'Pnn
v(x,e)= Lvmsinme+ Lvmcosme m=O ",
00
m=O 00
Nx(x.e)= LNxm cosme+ LNxm sinmfl m=()
m=O
00
00
Nxe(x,e)= LNxm sinmfl+ LNxem cosmfl m=() 00
m=O
,
00
kepada Koordi~at x. Persamaan biasa tersebut ditunjukkan pada PeTs. 3.4.4 di mana vektor beban P diambil sebagaikolom tambahanpada matriksdifferensial:
w(x,e)= Lwm cosmfl+ Lwm sinm8 m=() 00
Urn VIm
m=O
}
"!:i! ,
00
m=O
,x
00
Mx(x,9)= LMxmcosme+ LMxm sinmfl m=O oc..
m=() 00
Am,a
Pm
Am
Pm
Um
0
1
1
A
U
m
}
(3.4.4)
= Vektorkeadaansimetris
U m = Vektorkeadaanantimetri
Qx(x,8)= LQxmcosmfl+LQxmsinm8 nI=O
Am Am,s 0
00
f3x(x,fI)= LPxm cosmfl+ Lf3xm sinm8 m=()
hanya tergantung
kepada x .Bila deret Fourier PeTs.3.4.1 daD PeTs.3.4.2 ataupun turunannya dimasukkan ke dalam Persamaan differensial parsial maka akan diperolehpersamaanbiasa. Dengan membandingkan Koefisien bilangan hannonis akan diperoleh sistem persarnaan Ullom untuk setiap besaran bilangan m, yang sekarang hanya tergantung
m=O 00
u(x,e) = L umcosmfl+ L umsinme m=()
m=O
A
m=()
Am = BagianMatriks Differensialsimetris Am = Bagian Matriks Differensial yang Antimetris 3.4.1)
Fungsi perpindahan dan aliran gaya, yang dituliskan pada refS 3.3. 1 merupakan besaran yang tergantung kepada koordinat tangensial (8) dan aksial (x) Untuk mengubah persamaan differensial parsial tersebut menjadi persamaan biasa maka Matriks [A] daD {V} harus hanya tergantung kepada koordinat yang dipilih. Untuk mengubah persamaan differensial parsial menjadi persamaanbiasa di sini digunakan deret Fourier. Derel Fourier untuk perpindahan daD Gaya ditunjukkan pada refs. 3.4.1, 3.4.2 daD 3.4.3. Besaran tanda segitiga merupakan besaran simetri daD tanda gelombang menunjukkan besaranantimetri. Besaranyang bukan merupakan vektor keadaan berlaku sebagaiberikut:
A
~
A-
Am,a, Am,s = Keterkaitan antara U m daD U m Pm = P nn
= Beban Mantel yang simetri
Pm= Pnn
= Beban mantel yang antimetri
Untuk menonnalisasikan besarankeadaan maka besaran v und Nxayang terdapat pactapersamaan biasa berdasarkan teori semi momen lentur dan membran diubah menjadiva dan Nxea"Dengan dernikian diperoleh besaran yang hanya mempakan fungsi cos me untuk amplitudo yang simetris atau fungsi sin me untuk amplitudo yang tidak simetris" Disamping itu vektor keadaan untuk kedua teori amplitudo gaya (Nx dan Nxa) dinormaliser dengan kekakuan geseracuan C" danjarijari acuan Rb" Dengan demikian semua anggota
Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III .\'erpong, 20 -2l Oktober 1998
ISSN 1410-2897
mempunyai dimensi yang sarna, meskipun kekakuan masing-lnasing elementidak tergantung satusarnalain. Kekakuan acuan ini C11 diberlakukan pada vektor keadaanjuga pada matrik differensial. Hal ini berlaku untuk silinder dengan kekakuan dalam arab memanjang atau beban permukaan berbeda. Dengan demikian vektor keadaan pada ke dua ujung dapat diperoleh dengan perkalian matriks, karena terdapat suatu kesatuanantara vektor keadaan kedua ujung. Untuk ke dua toori diberlakukan juga besaran keadaan v dibagi dengan m2 untuk setiap sistem persamaan biasa dan besaran keadaan Nxe menjadi Nxe.esehingga besaran keadaanmenjadi ve 1m2dan -mNxe sebagaiganti dari v dan NxlJ.Dengan demikan perpindahan matriks simetris terhadap sumbu lintang. Konvegensi deret matrik menjadi lebihbaik. Untuk selanjutnya vektor keadaan berdasarkan teori semi momen lentur dan membran betbunyi sebagai berikut:
Hal ini merupakan masalah kondisi barns,yang ditinjau tidak sajapada titik awal tetapi juga pada kondisi akhir Integrasi. Fungsi Matriks yang dimaksud di atas yaitu eAx menghasilkan Matrik perpindahan yang diperoleh dari Matrik Differensial A dengan menggunakan lterasi Picard, di mana Matriks A dengan Koeffisien konstan sebagai Jumlah suatu deret Matrik yang tak terhingga. Dengan menjumlahkan Matriks tersebut dapat diperoleh sebagaiberikut:
Dengan mengembangkanMatriks eAxdiperoleh:
di mana yang dikenal sebagai"Matriks Perpindahan". Matriks perpindahan berarti peubahan besaranvektor keadaanU daTix dari 0 ke 1. Ke dua ujung dihubungkan {U,'=Jrnvtrn2 uRhNx/C..! (3.4.5) dengan bantuan matrik perpindahan selurnh daerah. l-lnRbNx9/C11 J Penyelesaiansistempersamaan differensial yang Besarankeadaanyang berlaku berdasarkanteori momen tidak homogen (pers 3.5.4) misalnya dapat dilakukan lentur: dengan memvariasikanKonstanta (Lagrange) (19], (20]. Dengan demikan dapat diperoleh penyelesaian sistem , VURhNx/CllRhNxe/CllW {V} = 2 (3.4.6) persamaan differensial biasa yang tidak homogen. woxMx IRh CII RhQx ICII Dengan cara penyelesaiandi alas secara umum deret di alas cepatkonvergen. Untuk perhitungan yang ril deret matrik ini akan berhenti sesudahdicapai titik ketelitian = d ( ) / d(x./L) dan L panjang silinder. di mana { yang diberikan. Untuk menghindari kesulitan numeris ini maka struktur di bagi alas elemen kecil. lumlah 3.5. Penyelesaian sistempersamaandifferensialbiasa elemendaDpanjang elemen diperoleh daTipengalaman. Disamping itu untuk menghindari kesulitan itu dapat Persamaanbiasa yang diperoleh untuk setiap juga dilakukan dengan menyelesaikan dengan sistem persamaandifferensial biasa tersebut dapat penyelesaianseluruhnya yang secaradetail dapat dilihat dinyatakansebagaiberikut: di (15]
j
-dy d = A(x)y + P(X)dx
(3.5.1)
4. PENGUNAAN TEORI, BASIL DAN Persamaan differensialordepertamadengankonstanta PEMBABASAN x
koefisienA dapatdiselesaikansebagaiberikut: ~dv = Ay
,
(3.5.2)
Untuk mengetahui kemungkinan terjadi kesulitan numeris maka ditinjau pengaruhjumlah potongan penampang perpindahan Matriks dengan berbagai teori. Sebagai contoh dilakukan perhitungan besaran
Denganmemisahkanfaktor peubahdaDmengintegrasi keadaan pada tabung yang dibebani oleh beban persamaanberikut ini (16]. (17) dy -= Y
A dx
(3..5 3)
diperoleh penyelesaian umum y = C eAx dengan C sebagaikonstanta pilihan yang bebas. Dengan memasukkan kondisi batas x = 0 diperoleh konstanta Yo. Dengan demikian penyelesaian persamaan homogen dapat diutliskan sebagaiberikut:
y =e
Ax
Yo
Danvin ,\'ehayang
(3.5.4)
hidrostatis. Tabung tersebut memenuhi persyaratan yang harns dipenuhi oleh ketiga teori. Kedua ujung tabung masing ditutup oleh tutup. Tutup tersebut kaku pada bidangnya sendiri tetapi lemah tegak lurns terhadapnya. Kondisi barns untuk kedua ujung untuk setiap bilangan gelombang Nxo=Nxl =0 berikut Vo =vl = 0 Kondisi penuh terletak pada sudut 90°. Dengan kondisi ini maka beban tekanan dalam deret Fourier:
345
+ ~'~ ~
Prosiding Pertemuan Ilmiah ,\'ains Maieri III Serpong, 20 -2/ Oktoher /998
ISSN1410-2897
m~ 0 Gambar.
I. Struktur
Tangki
Air
sebagai
contoh
p=yR(-O.318+0.500s8-0.212cos28+0.042400s48O.0177cos68) (4.1) di mana tekanan adalah fungsi jari-jari dan y berat spesifik cairan tersebut. Penelitian dilakukan dengan perhitungan dengan berbagai teori (Jumlah panjang perpindahan untuk panjang tertentu silinder). Agar hubungan elastomekanis berlaku untuk masing-masing teori maka diambil struktur Laminat untuk seTal Karbon sebagai beriktlt: Laminat 1 :-(0"/90"/90"/90"), .Lmninat 2:-(45"/-45"/45")., Laminat 3: -(0"/45"/90"),. Latninat 4: -(25"/50"/75"/100") Tanda ( ), menunjukkan struktur Laminat yang simetri. Tanpa lndeks berartijurnJall Laminat satu. Data Material yang digunakan adalah E, = 135. 108daN/m2 .E2 = 9.0. 108daN/m2. G'2 = 4,0.108 daN/ m2 , ~I = 0.3. Jari-jari silinder 400 rom. tebal silinder
Untuk menyelidiki pengamh panjang perpindahanterhadapbesarankeadaanmaka dipilih variasi jurnlah potonganuntuk berbagaistruktur Laminatdan leon(IihatTabeI4.1).
1,8mIll. Besaran keadaandaTi silinder yang terbuat daTi Material isotrop atau ortotrop (0"/90"/90"/0"), akibat beban radial simetris maka persamaandifferensial biasa berbunyi sebagaiberikut: I
[Am
~l
0
AI
... .,..
(4.2)
{g:t+{p;}
.
[
A
~m
Urn
=
A ~m
Am.s
]{
A
A
-!-n,a
~m
Am
Urn
..A Baglan keterkaltan
}
{ +
A
p~
2)
Jumlah potongan matrik perpindahan
Teori
inat 4
TMl
30
TMSL
10
TM
Pada Persamaan4..2 b.1gianketerkaitanakibat sifatbahan Ortotrop hilang. Untuk struktur Laminat (45"/-45"/45")" (0"/45"/90") dan (25"/50"/75"/100") persamaan differensial (Pers. 4.3.5) berbunyi sebagaiberikut:
{ },
Tabel 4.1 Pengaruh jumlah penampang (UR
Pada perhitungan besaran keadaan struktur laminat (0°/90°/90°/0°), dengan teori Membran, semi momenlentur dan momenlentur tidak terjadi kesulitan numeris. Aliran gaya normal daD aliran gaya geser terhadappanjang denganjurnlah potongan sarnadengan 10hasilnya sarna(lihat gbr4. 1 dan 4.2).
}
Pada (4.3)
.mengatasi Am.s dan A m." l~unculoPad:
Persamaan4.3.karcna pada struktur Lammat (45 1~5 1 45°), kekakuan C16daD C26daD kekakuan keterk~ltan ada. Beda Laminat (24°/50°/75°/100°)dengan Laml-nat (45°/-45"/45") terletak pada besar quadran keterkaitan daD pelat dibandi ngkan dengan quadran piringan.
Lamin,at
perhitungan
~en~an
teori
besaran m?men
keadaan lentur
untuk timbul
struktur kesulitan
numens. bllajumlah perpmdahansamadengan8. Untuk kesulitan numeris ini maka jumlah perpindahanditambahdari 8 menjadi 16atau 3~.Dcngan jurnlah potongansebanyak16 kesulitan numens tersebut sudahdapatdiatasi (lihat Gambar 4.3 dan4.4). . Kesulitan numeris tidak terjadi pada leon membran, karena kuadran keterkaitan daD pelat diabaikan. Kesuiitan numerisjuga tidak teljadi pada teori semi momenlentur, karena beberapa besaran kwadran
keterkaitan daD pelat diabaikan. Artinya orde besar
346
Darwin Sehayang
~ ~ ""
Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III Serpong, 20 -21 Oktober 1998
ISSN 1410-2897
Nx tda (E.()2 N'1II1l)
l£
komponen masing-masing matriks differensial sarna. Untuk stmktur Laminat maka dengan teori momen lentur memerlukan jumlah potongan 30 agar kesulitan numeris itu hilang. Tetapi teori semi momen lentur hanya
-
;~ ;
Jr-
membutuhkan 10 potongan penampang (Karena -I -2 -3
0
200
400
(iX)
I«X>
t<XXJ
120
KroUimt berja1m\ x (mm) Gamhar
4.
Aliran geserterhadappanjangsuatu silinder yang terhuat dari hahan ortotrop (0°/90°1 900/00)s
Nx(E.{)2NIno)
terbatasnyatempat maka gambarnyatidak ditampilkan). Dari contoh yang disajikan di atas maka dapat disimpul kan bahwa dibandingkan dengan teori membran daD semi momenlentur rnaka teori momen lentur memerlukan lebih banyak jumlah potongan. Dengan demikian bila besar momenlentur dalam arab memanjang tidak dibutuhkan maka digunakan teori semi momen lentur. Perhitungan yang menggunakan teori momen lentur memerlUkanjumlah potonganyang lebih besarsehingga membutuhkanwaktu yang lebih panjang untuk menyelesaikan persamaan.Tetapi teori momen lentur memt>erikan lebih banyak informasi. Untuk mengatasi kesulitan numeris yang teljadi dapat dihindari juga dengan menggunakan "penguraian secara Spektral", perpindahan "matriks dengan metode Riccati" [21] atau ldealisasi silinder dengan menganggap silinder sebagai "silinder yang tidak terhingga" [16] daD [17] .
5. KESIMPULAN
Nt (EO2N'Imt
2r
Dengan mengetahui keuntungan daD kemgian dari idealisasi silinder dengan berbagai teori, maka dengan mengetahui kasus tertentu, apa yang diinginkan dapat ditentukan teori yang sesuai. Dengan demikian dapat dilakukan optimalisasi waktu perhitungan. Selanjutnya teori ini dikembangkan untuk perhitungan stabilitas silinder .
,'!
~
-4
6. LITERATUR.
'.=.;.;.;.;.;.;,:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:., :...' ,
0
JJ)
.m
cro
an
~... IDjUI {ramhar 4.3
1(11)-- 13D L-c.
Pengaruh jumlah potongan terhadap gaya nomlal (45° 1-45°/45°).
2
975
1
(4]. REUTER,R.C. JrAnalysisofShellunderInternal Pressure,J. of Composite Material, 1972, Hal 94-
8
113
-1
-2
-3 -40
200
400
600
800
1800
1200
Koordinat berjalan x (nun) (iambar 44
(1). BERT, C.W, Structural Theory for Laminated Anisotropic Elastic Shells, Journal of Composite Materials, Vol.l, 1967 .WHITNEY, J.M, On the Use of Shell Theory for [2) Determining Stress in Composite Cylinders, J. Composite Material Vol 5, 1971, halo 340-353 (3]. DONG, S.B, PITER,K.S, TAYLOR, R.L,Onthe Theory of Laminated Anisotropic Shell and Plates, Journal ofAerospace ,Science29 (1962), Hal 969-
Perbandingan antara teori TML dengan TM akibat perbedanaan .iumlab penampang matrik perpindaban untuk laminat (45" / -45" /45")
Darnlin .\'ehayanf(
(5]. JONES, R.M, MORGAN, H.S, Buckling and Vibration of Cross Ply Laminated Circular Cyindrical Shell,AL4AJoumal,VoI.13, 1975,Hal. 664-67i (6]. JONES, R.M, HENNEMAN, J.C.F, Effect of Prebuckling Deformation on Buckling of Laminate Composite Circular Cylindrical Sheel , AIAA, 1978, Hal 370-379 (71. BOOTEN, TENNYSON, RC, Buckling of Imperfect
347
Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III Serpong, 20 -210ktoher 1998 Anisotropic Circular Cylinders under Combined Loading,AIAAJoumal, Vol.7, March 1979,Hal351-
358 (8). UEMURA, FUKUNAW, H, Stress Distribution in Laminated Composite Cylinders under Internal Pressure, ICCM, 3th Internatonal Conference on Composite Materials, Paris. France. 1980,Hal 782795 (9]. WlmNEY J.M, Buckling of Anisotripoc Laminated Cylindrical Plates,AIM Journal, 1984 (10). CHENG, S., Ho. B.P.C, Stability of Heterogenous Aeolotropic Cylindrical Shell under Combined Loading..4IAAJournal. Vol. I. No.4, 1963,h. 892898 (II]. SUN AND CHIN, H, Analysis of Asymmetric CompositeLatninates, AIAA Journal, Vol 26, No.6, 1987,Hal. 714-718 (1.2]. AMBARSUMYAN, S.A. Theory of Anisotropic Shell TTF-I 18,NASA, May 1964 (13]. NOVOZZILOV. V.v. nun ShellTIIeory.P. NoodIl0ff, Ltd. Groningen, 1961 (14J. WLASOV W.S,Allgemeine Schalentlleorieund ihre Anwendung in der Technik, Akademie- Verlag
ISSN1410-2897 Berlin, 1958 (15}. SCHNELL. W, Zur Krafteinleitung in die versteifte Kreiszylinderschale, Dissertation an der Fakultate fiir Mochanik. U. Physicder111Darmstad, 12.1, 1954 (16). ORY. H, Berechnung der Spannungsverteilung in dl1nnwandigen Drehschalen, 2. Lehrgang flir Raumfahrttechnik, Braunschweig, 1963 (17}. ORY. H, Die dl1nwandige Zylinderschale Krafteinleitung und Spannungsverteling unter beliebigen Belastungen, Vortragsreihe an der F.H. Aachen,ERNO, Raumfahrttechnik, 1974 (18). BRUSH, DON, 0., ALMROTH,B.O, Buckling of bars, Plates and Shells, International Student Edition, 1975 19). PESTEL, LECKIE, Matrix Methods in Elastornechanics,.Mc Graw-Hill New York Company, 1%3 (20). COLLATZ, L, Differentialgleichungen, Teubner Stuttgart, 1960 [21). REN, WEN MIN, Statische Berechnung und Stabilitatsberechnung der Schalen mit Ubertragungsmatrizen,Disertasidi RWTH Aachen, 1992
Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III .\'erpong, 20 -21 Oktober 1998
ISSN 1410-2897
Lampiran 1 Persamaandifferensialparsielberdasarkanteon MomenLentur Y11
Yl6
Y21
Y26
Y31
Y36
Y41 0
Y46 0
Y61
Y66
Y71-YS1
Y76 Y86
Catatan: Indeks berikut ini ()3,1...P3.9"'. °4,13 daDseterusnya maka singkatan. Dia bukan indeks Matriks. lndeks II, 22 14 menunjukkan baris dankolom suatu Matriks.
~-~ R
R
YII
2
:=
~
R
Y14 = a22
Yl3 = a21
Yl ~--b21<:
b23(),99
Y16=~~ R
R2
-R
Y t 7 :: b 23
Y22 =
~~ R
v Ll
=,:alJ
Y2~ =
~
Y24=a12
~
Y26= ~~
R
R2
R
Y27 = b13
Y32 =O3,2( ),99
Y31=O3.1().ee
Y34= °3,4( ),9
YJJ=OJ.J( ),e Y35 =°3.51 ( ),0+03.52 ( ),000
Y36= °3,6( ),99
YJ7=OJ.7(),e ; Y42= °3.2( ).00
Y41 = 03.1 ( ),99 ~
=°4,3 ( ),e
Y43
: Y44 =O4.4( ),e
Y45 = 04.51(),e+04.5Z( ),ooe
; Y46 =O4.6( ),ee
Y47=°4.7( ),0 y,
Y,
~~-
b33( ),9
Y62
R2
R
R
R
Y64 = 332
331
~
~
Y66
b.13( ),00 2
b34(),e
R
Y67=a33
349
Darwin .\'ebayang
Prosiamg n:n~
---
Serpong, 20 -21 Oktober 1998 ~
Prosiding Pertemuan /lmiah Sains Materi III Serpong, 20 -21 Oktober 1998
ISSN1410-2897
Y71=-2 °3,1( ),99
; Y72 = -2 °3.1 ( ).ee
Y73 = -2 °3,3 ( ),9
; Y74 = -2 °J,4().e ; Y76 = -2 °3.6 ( ),00
Y77 = -2 °3,7( ),9
; Y78=1
YSI =OS,11().e+OS,12(),ee
; YS2= °S,21 (),O+OS,22(),000
Y83=OS,31 +OS,31(),99
; Y84 = 08,41 + °S,42( ),00
Yss = OS,SI() +OS,S2( ),0 +OS,S3 ( ),40
; Yg6 =Og,61(),e+Og,62(),ooe
YS7= °S,71( ),e+OS.72( ).99 Lampiran 2. Persamaan differensial berdasarkan teon semi momenlentur Besaran keadaan u'x daDv'x di peroleh dari barisketiga daD pertama hubUIiganelastOmekanis Sesudahhubungan kinematis dimasukkan dan digunakan hubungan antara w dengan besaran keadaan lainnya. Dapatlah besaran keadaan u'x dan v'x diturunkan.
0
-
0
~L5().e
LJ
-L4
~L
1 ~
~()'9 LR
L
+
1 --()'6 R
0
0
0
H41
H42
H43
H44
2
L =Cll -~+~~(f!§.-~~)-~(f!§.-~~} C22
~2 Lo
C66
C66C22
L 1--- C 16+-C12C26 ( C262 C22 Lo
Ls =..)::L(~-~&)-~(--~--1) LLo
C66
1)+--Ci2C26
C66C22
~2C66
C22
Lo
C66
C66C22
C.l6 ( C262 Lo
1)
C66C22
Lo C22C66
H42=TI{()""+()"'}-~(M. R H44=T,{()",,+ (),J9} -~().e
C22 ~
ProsidingPertemuan Ilmiah SainsMateri III Serpong,20 -21 Oktober 1998 ~~
T,=-
~2-N2 ;T2=-- ~2NI;T,= u" N,;T.= R4 R
R4 R (~+C26L4);N2 Nl=- C" L M
~~
K12 1=---+ L
ISSN 1410-2897
D" C'6(R+I) R C"
R C"L, =~ -(--C'6L,+C'6)
C"
~
R ;N,=--(-+C'6L,)
L
C"
Cl,L,
L
K22C12 K22C26L4 K 26L 4 C22L C22
M2 = ~
-K22CIZ!:! C22L
L
M3=~ L
-~~ C22
+ K22C26LS -K26LS + K26 C22
-
Lampiran 3. Persamaan differensial parsiel berdasarkan teori Membran
[ t V
U
I
o -i(),O = 0 0 0 0
N,x NxO'x ,x
0 0 0 10 0
0 0 0 0
816 811
866 816
0
-~()'O
0
RO
{
V
u
t + [=R826pr R812 Pr }
Nx
0
NxO
-Pr,O
,
Nomenklatur 8atuan yang adalab satuan panjang = L, gaya = K Simbol "tmoot h m
Satuan L -lndeks
Arti tebal silinder untuk koefisien deret Fourier (bilangan
fix, me
K/L
gelombang dalam arab keIiIing) momen dalam arab aksial dan keIiIing
Px,PO,Pr
K/L2
beban mantel dalam aksial, keIiIing daft radial
v'x ,v,e
L
perpindahan dalam sombu x-dan 8
w 'x' w,e
L
perpindahan W daIam arab x- daft 8
Cij
K/L
kekakuan memanjang
D Dij
L K/L
diameter silinder kekakuan lentur
Fx' Fx O, FZ
K/L
beban pinggir luar
G
K/L2
modulus geser
I L N x' Ne
-matriks L K/L
satuan panjang silinder aliran gaya normal
N xe
K/L
aliran geser
Mx,Me
KL/L
aliran momenlentur
Mxe
KL/L
aliran momenpuntir
Mx' Mx 0
KL/L
beban pinggir lOaf
Qx,Qe
K/L
gayalintangdalamarabx-dan8
R, Rb
L
jari-jari silinder, jari-jari acuan
8
L2/K
matriks keluwesan pada sombu acuan
Darwin Sehayang
351
Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi III Serpong, 20 -21 Oktober 1998
~'x,~,e ~'x9
IlL
&
E Y KX,Ke
IlL
K/L2 K/L2
U
't
~
kemiringandaIarnarabx -dan 8 kemirlngantorsi perubahanbentukdaIarnsebarnngtempat (tandagarisberartidi sebarnngtempat) perubahanbentukdi permukaantengah perubahanbentukgeser keIengkungandalamarabx- dan 8 tegangannormal tegangangeser biIanganPoisson
Indeks x,8, z m r ( ),0 ( ),69
( ),x
koordinatacuan indeksuntuk koefisienderetFourier,membran radial turunandalamarabe 6 kaii turunandalamarab e turunandalamarab x
ISSN1410-2897
