DAFTAR ISI
Halaman PERSETUJUAN
i
PERNYATAAN
ii
PENGHARGAAN
iii
ABSTRAK
iv
ABSTRACT
v
DAFTAR ISI
vi
DAFTAR GAMBAR
viii
BAB 1. PENDAHULUAN 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
1
Latar Belakang Penelitian Perumusan Masalah Tinjauan pustaka Tujuan penelitian Manfaat penelitian Metode penelitian
1 3 3 4 4 5
2. 2-DIGRAPH PRIMITIF 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.
6
Notasi Matriks Adjacency Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop
6 12 14 19 25
3. 2-DIGRAPH DENGAN LOOP
27
4. KESIMPULAN
34
4.1. Kesimpulan
34
vi Universitas Sumatera Utara
4.2. Saran
35
DAFTAR PUSTAKA
36
vii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1
Representasi grafis dari Digraph
7
2.2
Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
8
2.3
Representasi grafis dari 2-Digraph
10
2.4
2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
11
2.5
Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
12
2.6
2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
13
2.7
(a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat
15
2.8
digraph terhubung kuat
16
2.9
(a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat
17
2.10 2-digraph primitif
19
2.11 Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc
21
2.12 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
23
4.1
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n
35
4.2
Representasi 2-digraph dengan 2-eksponen 2n-1
35
viii Universitas Sumatera Utara
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar atau melihat sistem jalan satu arah, arus listrik, jaringan kerja dll. Biasanya hal-hal tersebut diatas direpresentasikan secara grafik dengan titik dan garis berarah, hubungan garis dan titik yang demikian diamati oleh suatu objek di matematika yang disebut dengan digraph. Suatu digraph terdiri dari titik-titik yang dihubungkan oleh garis berarah. Secara formal, digraph adalah objek yang terdiri dari dua himpunan yaitu :
1. Himpunan hingga yang tak kosong V , dimana unsurnya disebut vertex dari digraph D 2. Himpunan E yang merupakan himpunan bagian dari pasangan berurut V XV , unsurnya disebut arc dari digraph D
vertex dalam digraph direpresentasikan oleh titik atau lingkaran kecil dan arc direpresentasikan oleh garis berarah dari suatu vertex ke vertex lainnya. Suatu walk dari vertex u ke vertex v yang panjangnya m adalah suatu barisan arc dalam bentuk (u = v0, v1), (v1, v2 ), . . . , (vm−1 , vm = v)
Universitas Sumatera Utara
2 walk diatas dapat direpresentasikan sebagai u = v0 → v1 → v2 → . . . → vm−1 → vm = v Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat bila untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v. Digraph D dikatakan ministrong jika penghilangan satu arc dari D mengakibatkan D tidak terhubung kuat. Suatu digraph terhubung kuat D dikatakan primitif bila terdapat bilangan bulat k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang tepat k. Bilangan bulat k terkecil yang demikian disebut disebut sebagai eksponen dari D dan dinotasikan oleh exp(D). Studi tentang eksponen digraph primitif diprakarsai oleh Wielandt[5] yang 2
menyatakan bahwa untuk digraph primitif dengan n vertex, exp(D) ≤ (n − 1) + 1. Holladay dan varga [4] memperlihatkan bahwa ila D adalah digraph primitif dengan q loop maka exp(D) ≤ 2n − q − 1. Selanjutnya, Liu dan Shao [1] memberikan syarat perlu dan bagi digraph terhubung kuat D dengan n vertex dan q loop yang mempunyai exp(D) = 2n − q − 1, sejalan itu dengan itu Dalimunthe dan Suwilo[10] memberikan syarat cukup untuk digraph agar mempunyai eksponen tepat exp(D) = 2n − q − 1. Pada tahun 1997, fornasini dan Valcher[3] memperkenalkan konsep 2-digraph yakni digraph dimana setiap arcnya diwarnai dengan merah atau biru. Sejalan dengan itu Shader dan Suwilo[2] memperkenalkan konsep 2-eksponen dari 2-digraph. Shader dan Suwilo mendefinisikan 2-eksponen dari 2-digraph sebagai bilangan bulat terkecil h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang h + k dan terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Shader dan Suwilo memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph D dengan n vertex, maka 2-eksponen terbesar terletak pada interval [(n3 − 5n2 )/, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Lebih lanjut Suwilo
Universitas Sumatera Utara
3 secara eksplisit memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph yang terdiri dari cycle (lihat[8]), dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka 2 ≤ exp2(D) ≤ 4 (lihat[9]). Sejalan dengan hasil dari Holladay dan Varga[4] perlu ditentukan 2-eksponen dari 2-digraph dengan loop. 1.2 Perumusan Masalah Bula D adalah suatu 2-digraph primitif atas n vertex dan m ≥ 2 loop. Dapatkah ditemukan batas atas yang cukup ”baik” bagi 2-digraph dengan m ≥ 2 loop. 1.3 Tinjauan pustaka Shader dan Suwilo [2] memperlihatkan bahwa 2-eksponen terbesar dari 2digraph primitif terletak di interval [(n3 − 5n2 )/2, (3n3 + 2n2 − 2n)/2]. Batas bawah pada interval tersebut ditemukan dengan menggunakan 2-digraph yang terdiri dari dua cycle dan batas atas ditemukan secara teoritis. Sehingga masih terdapat gap antara batas empiris dan batas teoritis. Suwilo[8] memberikan formula bagi 2-eksponen dari 2-digraph, yang terdiri atas cycle, dan memperlihatkan bahwa untuk 2-digraph yang asymetric maka 2 ≤ exp2 (D) ≤ 4. Andaikan D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle γ1 dan γ2 dengan panjang masing-masing `(γ1 ) dan `(γ2 ). Untuk sebarang pasangan vertex u dan v, misalkan puv adalah sebuah path terpendek dari u ke v dan definisikan `0r = lim {b(γ2 )r(puv ) − r(γ2 )b(puv )} u,v∈V
`0b = lim {r(γ1 )b(puv ) − b(γ1 )r(puv )} u,v∈V
Suwilo[8] menyatakan bila D adalah 2-digraph primitif yang terdiri dari dua cycle
Universitas Sumatera Utara
4 dengan sedikitnya terdapat satu arc untuk setiap warna, maka. exp2 (D) = `(γ1 )`0r + `(γ2 )`0b Lee dan yang [7] secara khusus mendiskusikan 2-eksponen dari satu klas 2-digraph ministrong yang terdiri dari cycle 1 → 2 → · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path n − 3 → n − 1 → n → 1 Andaikan D adalah digraph ministrong dengan banyak vertex n ≥ 5 yang terdiri dari cycle 1 → 2 · · · → n − 3 → n − 2 → 1 dan path n − 3 → n − 1 → n → 1. Warnai paling sedikit satu arc untuk setiap warna, maka 2-eksponen dari 2-digraph terletak pada interval : 2n2 − 8n + 7 ≤ exp2(D) ≤ 2n2 − 5n + 3 1.4 Tujuan penelitian Menentukan 2-eksponen bagi 2-digraph yang terdiri dari sebuah cycle dengan 2 loop. 1.5 Manfaat penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dibidang 2-eksponen dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
5 1.6 Metode penelitian Metodologi penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan langkah - langkah sebagai berikut :
1. Menggunakan Software sederhana untuk mendukung pengerjaan pengamatan. 2. Mencari kelas-kelas dari 2-digraph kemudian membandingkannya 3. Mencari bentuk umum dari masing-masing 2-eksponen dari 2-digraph 4. Menentukan batas atas dan batas bawah dari 2-digraph
Universitas Sumatera Utara
BAB 2 2-DIGRAPH PRIMITIF
Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar ini berkaitan dengan masalah yang dibahas dalam tulisan ini seperti digraph, 2-digraph, terhubung kuat, 2-digraph primitif, dan 2-eksponen dari 2-digraph.
2.1 Notasi Pada bagian ini akan dibahas beberapa notasi digraph yang akan dipergunakan dalam pembahasan 2-digraph. 2.1.1 Digraph. Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah, jika garis penghubung diberi arah, maka graph yang demikian disebut dengan digraph (directed graph). Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah digraph adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari digraph D, dan himpunan A ⊆ V × V yang unsurnya disebut dengan arc dari D. Jika diberikan a, b ∈ V dengan (a, b) ∈ A, maka terdapat arc dari vertex a ke vertex b di digraph D. Vertex a disebut sebagai vertex awal dan vertex b disebut sebagai vertex akhir.
Universitas Sumatera Utara
7 Contoh 2.1.1 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc merah A = {(1, 2), (1, 5), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3)} adalah suatu digraph dengan 5 vertex dan 7 arc. Suatu digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap vertex direpresentasikan sebagai sebuah titik dan setiap arc (u, v) direpresentasikan sebagai garis berarah dari titik u ke v. Representasi dari digraph yang diberikan pada contoh 2.1.1 diatas diberikan pada gambar berikut. Contoh 2.1.2 Representasi Grafis dari digraph
Gambar 2.1 : Representasi grafis dari Digraph
Diberikan D adalah digraph, u dan v adalah vertex di digraph D. Sebuah walk dengan panjang m dari u ke v didefinisikan sebagai barisan arc dan dituliskan sebagai berikut. (v0, v1), (v1, v2), . . . , (vm−1,m) w
→ v dan untuk m > 0, v0 = u dan vm = v. Sebuah walk juga biasa dinotasikan u − panjangnya dinotasikan dengan `(w). Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah walk yang vertexnya tidak boleh berulang kecuali mungkin vertex awal dan akhir. Sebuah
Universitas Sumatera Utara
8 cycle didefinisikan sebagai sebuah path tertutup, dan sebuah loop didefinisikan sebagai sebuah cycle dengan panjang satu. Berikut ini akan diberikan representasi dari digraph untuk menjelaskan beberapa definisi diatas. Contoh 2.1.3 Diberikan digraph di bawah ini
Gambar 2.2 : Digraph dengan path, walk, cycle dan loop Digraph pada gambar 2.2 diatas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai berikut : • 1 → 3 → 2 adalah sebuah path terbuka. • 1 → 3 → 4 → 1 adalah sebuah path tertutup atau disebut cycle • 1 → 3 → 2 → 5 → 3 → 4 adalah sebuah walk tetapi bukan path karena ada perulangan vertex. • 3 → 4 → 1 → 3 → 2 → 5 → 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 tetapi bukan cycle. • 2 → 2 adalah sebuah loop 2.1.2 2-digraph. Sekarang akan dibahas notasi - notasi digraph yang dijelaskan diatas dan dituliskan kedalam notasi 2-digraph. Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga
Universitas Sumatera Utara
9 tak kosong, sebuah 2 − digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari D, bersama dengan himpunan A ⊆ V × V yang disebut arc merah dan himpunan B ⊆ V × V yang disebut arc biru dari D. Jika diberikan a, b, c, d ∈ V dengan a, b ∈ A dan c, d ∈ B maka terdapat arc merah dari vertex a ke vertex b dan terdapat arc biru dari vertex c ke vertex d. Vertex a dan c disebut vertex awal dan vertex b dan d disebut vertex akhir. Berikut ini diberikan sebuah contoh 2-digraph Contoh 2.1.4 Himpunan vertex V = {1, 2, 3, 4, 5} bersama dengan himpunan arc merah A = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1)} dan arc biru B = {(5, 2), (5, 3), (4, 5)} adalah suatu 2-digraph dengan 5 vertex, 4 arc merah dan 3 arc biru. Suatu 2-digraph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara sebagai berikut:
• Setiap vertex direpresentasikan sebagai suatu titik. • Setiap arc merah (a, b) direpresentasikan sebagai garis berarah tak putus dari titik a ke b. • Setiap arc biru (c, d) direpresentasikan sebagai garis berarah putus-putus dari titik c ke d
Berikut ini akan diberikan contoh representasi 2-digraph pada Contoh 2.1.3 diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Universitas Sumatera Utara
10 Contoh 2.1.5 Representasi Grafis dari 2-digraph
Gambar 2.3 : Representasi grafis dari 2-Digraph
Suatu (h, k) − walk dalam 2 − digraph adalah sebuah walk yang memuat sebanyak h arc merah dan k arc biru. Dari definisi yang diberikan diatas, suatu (h, k) − walk dari u ke v disebut sebagai uv − walk, untuk sebuah walk w, r(w) dan b(w) adalah notasi jumlah dari r(w) arc merah dan arc biru. Vektor disebut komposisi dari w b(w) Suatu path adalah suatu walk dengan semua vertex berbeda kecuali mungkin vertex awal dan vertex akhir. Suatu cycle adalah suatu path tertutup dan loop adalah 0 1 suatu cycle dengan komposisi 1 atau 0 . Berikut ini akan diberikan representasi grafis dari sebuah 2-digraph seperti yang diperlihatkan pada contoh 2.1.6 berikut ini.
Universitas Sumatera Utara
11 Contoh 2.1.6 Diberikan 2-digraph di bawah ini
Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan path, walk, cycle dan loop
2-Digraph pada gambar 4 di atas memiliki path, walk, cycle dan loop sebagai berikut : 1 →3− → 2 adalah sebuah path terbuka dari 1 ke 2 dengan komposisi 1 . • 1− b
r
b
b
r
• 1 − → 3 − → 4 − → 1 adalah sebuah path tertutup atau cycle dari 1 ke 1 dengan 1 komposisi 2 . b r r b b 2 →3− →2− →5− →3− → 4 adalah walk dari 1 ke 4 dengan komposisi 3 , tetapi • 1− bukan suatu path karena path adalah walk tanpa melalui lebih dari satu vertex kecuali mungkin vertex awal dan akhir. b
r
b
r
r
b
→4− →1− →3− →2− →5− → 3 adalah sebuah walk tertutup dari 3 ke 3 dengan • 3− 3 komposisi 3 , tetapi bukan cycle. r 1 → 2 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi 0 . • 2− 0 • 1− → 1 adalah sebuah loop dari 4 ke 4 dengan komposisi 1 . b
Universitas Sumatera Utara
12 Sebuah digraph atau 2-digraph dapat direpresentasikan kedalam sebuah matriks, berikut ini diberikan hubungan antara digraph dan 2-digraph dengan matriks. 2.2 Matriks Adjacency Pada subbab ini akan dibahas hubungan antara digraph, 2-digraph dengan matriks. Sebuah digraph D dan 2-digraph D dengan n vertex dapat dinyatakan oleh matriks, yang entri dari matriks tersebut adalah bilangan 1 atau 0, matriks yang demikian disebut sebagai matriks adjacency. 2.2.1 Matriks Adjacency dari digraph. Sebuah representasi grafis dari digraph D dapat dituliskan adjacency sebagai berikut.
aij =
1, jika terdapat arc dari i ke j 0, jika sebaliknya
Berikut ini diberikan contoh matriks adjacency dari sebuah representasi digraph. Contoh 2.2.1 Representasi dari sebuah digraph
Gambar 2.5 : Digraph dengan 4 vertex, 6 arc
Universitas Sumatera Utara
13 Dari representasi digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut. 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 Berikut ini akan diberikan sebuah matriks adjacency dari 2-digraph. 2.2.2 Matriks Adjacency 2-digraph. Pada 2-digraph matriks adjacency dari sebuah representasi grafis dapat dinyatakan sebagai berikut. Matriks adjacency merah, R = [rij ] pada D adalah matriks n × n dengan 1, jika terdapat arc merah rij = 0, jika sebaliknya
matriks adjacency biru B = [bij ] pada D adalah matriks n × n, dengan 1, jika terdapat arc biru bij = 0, jika sebaliknya Berikut ini akan diberikan sebuah 2-digraph dan direpresentasikan kedalam matriks adjacency nya Contoh 2.2.2 Representasi dari sebuah 2-digraph
Gambar 2.6 : 2-Digraph dengan 4 vertex, 3 arc merah, dan 4 arc biru
Universitas Sumatera Utara
14 Dari representasi 2-digraph diatas, dapat dibuat sebuah matriks adjacency sebagai berikut. 1 0 0 0 R = 0 0 1 0 0 1 0 1 B = 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0. Adalah matriks adjacency merah 0 0 1 1. Adalah matriks adjacency biru 0
Berikut ini akan dibahas mengenai digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan keterhubungan dengan digraph dan 2-digraph primitif. 2.3 Primitifitas Dari 2-Digraph Terhubung Kuat Pada bagian ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan keterhubungan dengan primitifitas. 2.3.1 Digraph primitif. Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk setiap walk berarah dari vertex u dan v dan walk berarah dari vertex v ke u. Berikut ini diberikan contoh digraph terhubung kuat dan digraph yang tidak terhubung kuat.
Universitas Sumatera Utara
15 Contoh 2.3.1 Representasi dari 2 buah digraph.
Gambar 2.7 : (a) digraph terhubung kuat ;(b) digraph tidak terhubung kuat
Pada gambar2.7 diatas menunjukkan bahwa (a) adalah terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, sedangkan (b) tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2. Suatu digraph terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat uv-walk yang panjangnya k.
Lemma 2.3.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di D terletak pada cycle.
bukti : Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D. karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari v ke n, akibatnya diperoleh suatu path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex v ke u di D. Oleh definisi, path tertutup adalah suatu cycledari sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di D terletak pada suatu cycle. Andaikan himpunan C = {c1, c2 , . . . , ct } adalah himpunan semua cycle di D. Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke-i untuk i = 1, 2, . . . , t dari
Universitas Sumatera Utara
16 M adalah panjang cycle ci (`(ci )) misalkan < M > sebagai subgrup dari grup bilangan bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni < M > = {z1`(c1 ) + z2`(c2 ) + . . . + zt`(ct ) : zi ∈ Z, i = 1, 2, 3, . . . , t} Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, dan k = gcd(`(c1 ), `(c2 ), · · · , `(ct ). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1 dan imprimitf jika k 6= 1 Berikut ini diberikan representasi grafis digaph yang terhubung kuat dan primitif. Contoh 2.3.2 Representasi dari digraph tehubung kuat
Gambar 2.8 : digraph terhubung kuat
Pada gambar 2.8 diatas, D adalah digraph terhubung kuat dengan dua cycle yaitu 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1 dengan panjang 5 dan cycle 1 → 3 → 4 → 5 → 1 dengan panjang 4. Oleh definisi diatas, maka pembagi persekutuan terbesar dari cycle dengan panjang 5 dan 4 adalah 1 sehingga D adalah primitif.
Universitas Sumatera Utara
17 2.3.2 2-digraph primitif. Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat strongly connected jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari vertex u ke v dan walk berarah dari vertex v ke u, dengan mengabaikan komposisi arc yang ada. Berikut ini diberikan contoh 2-digraph yang terhubung kuat dan 2-digraph yang tidak terhubung kuat. Contoh 2.3.3 Representasi dari 2 buah 2-digraph.
Gambar 2.9 : (a) 2-digraph terhubung kuat ;(b) 2-digraph tidak terhubung kuat
Pada gambar di atas menunjukkan bahwa (a) adalah 2-digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya. Sedangkan (b) adalah 2digraph tidak terhubung kuat, karena tidak terdapat walk dari 1 ke 2.
Lemma 2.3.2 Andaikan D adalah suatu 2-digraph terhubung kuat maka setiap vertex terletak pada cycle.
Bukti. Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke vertex v di D Karena terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex v ke u dan dari vertex u ke v, akibatnya diperoleh suatu path tertutup di D, yang dibentuk oleh arc dari
Universitas Sumatera Utara
18 vertex u ke v dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi vertex v terletak pada suatu cycle.
Suatu 2-digraph terhubung kuat D dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif h dan k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (h, k) − walk dari u ke v. Andaikan komponen C = {γ1 , γ2 , · · · , γc } adalah himpunan semua cycle di D r(γ1 ) r(γ2 ) · · · r(γc ) untuk kolom j pada adalah matrik dengan c kolom. M = b(γ1) b(γ2) · · · b(γc ) M adalah komposisi dari cycle γj kita definisikan sebagai < M > subgroup dari grup bilangan bulat Z2 dibangun oleh kolom dari M . Proposisi 2.3.1 Andaikan D adalah 2-digraph terhubung kuat, dan misalkan u dan v adalah vertex di D dan misalkan w1 dan w2 adalah walk dari u ke v di D. maka r(w1 ) r(w2) − ∈< M > b(w1) b(w2) Bukti: Karena D adalah 2-digraph terhubung kuat, maka terdapat walk wvu dari w
wvu
1 v −−→ u dan v ke u. Misalkan w10 adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u −→
w
wvu
2 v −−→ u. Karena untuk misalkan w20 adalah walk tertutup yang dibentuk oleh u −→ r(w20 ) r(w10 ) setiap walk tertutup dapat dikomposisi menjadi cycle, b(w0 ) , b(w0 ) ∈< M > 1 2 0 0 r(w1 ) r(w2 ) r(w1 ) r(w2 ) sehingga − = − ∈< M >. b(w1) b(w2) b(w10 ) b(w20 )
Diberikan D adalah sebuah 2-digraph dan z adalah vertex di D. Dua vertex u dan v di D dikatakan equivalent, di u ∼2 v, bila terdapat sebuah walk wzu dari z ke u dan sebuah walk wzv dari z ke v dengan komposisi yang sama. Dalam kasus vertex equivalent, definisi dari equivalent vertex adalah vertex di D yang dipilih secara bebas. Lebih lanjut, hal itu ditunjukkan oleh hubungan ∼2 adalah hubungan equivalent dengan himpunan dari vertex di D dan partisi dari himpunan vertex di D
Universitas Sumatera Utara
19 kedalam kelas equivalent. Bilangan dari kelas equivalent k2 dari D disebut dengan index imprimitivity dari D. Sebuah 2-digraph terhubung kuat dikatakan primitif bila k2 = 1 dan imprimitif bila sebaliknya. Berikut ini kita berikan sebuah contoh 2-digraph primitif. Contoh 2.3.2 Representasi 2-digraph primitif
Gambar 2.10 : 2-digraph primitif
b
Perhatikan gambar diatas, kita mulai dengan arc nomor 2. Walk 2 − → 3 dan b
→ 1, adalah walk dari 2 ke 3 dan dari 2 ke 1 dengan komposisi yang sama. Sehingga 2− b
r
b
b
b
r
→1 − →2 − → 3 dan 2 − →3 − →1 − → 2 adalah walk dari 2 ke 3 dan 3 ∼2 1. Walk 2 − dari 2 ke 2. Sehingga 3 ∼2 2. Dengan sifat transitif kita peroleh 1 ∼2 2 akibatnya, D adalah primitif. Berikut ini akan diperlihatkan hubungan antara entri matriks hasil representasi dengan eksponen dari 2-digraph. 2.4 Matriks tak negatif & Eksponen 2-digraph Pada subbab ini akan dibahas pengertian matriks tak negatif dan keterhubungannya dengan 2-digraph. 2.4.1 Matriks tak negatif. Sebuah matriks dikatakan sebagai matriks tak negatif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan tak negatif, sebuah matriks dikatakan sebagai matriks positif bila untuk setiap entri matriksnya aij adalah bilangan positif. Berikut ini
Universitas Sumatera Utara
20 diberikan " 0 0 1
contoh dari matriks tak negatif # " 1 0 1 0 1 , matriks tak negatif; 2 0 0 1
dan matriks positif. # 2 1 1 1 , matriks positif 1 2
Selanjutnya akan dilihat pengertian dari eksponen dari 2-digraph dan hubungannya dengan matriks tak negatif. 2.4.2 Eksponen digraph. Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat terkecil k, sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk berarah dari u ke v yang panjangnya k. Eksponen dari digraph D dinotasikan dengan exp(D). Proposisi 2.4.1 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri Akij dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k di digraph D Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari vertex vi ke vj di digraph D. Hal ini berakibat untuk k = 1, maka setiap entri a1ij dari A1 menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya satu (k)
Asumsikan setiap entri ai,j dari Ak menyatakan banyaknya walk dari vertex vi (k+1)
ke vj yang panjangnya k di D, untuk k ≥ 1. Berikut ini diperlihatkan aij
adalah
banyaknya walk dari vertex vi ke vj yang panjangnya k + 1 di D, untuk k ≥ 1. Perhatikan setiap walk dari vertex vi ke vj di D dengan panjang k + 1 yang terdiri dari walk dari vi ke vl dengan panjang k untuk l = 1, 2, . . . , n. dan dilanjutkan (k)
dengan arc dari vertex vi ke vj . Sehingga ail alj adalah menyatakan walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj di D untuk k = 1, 2, . . . , n. Jika tidak terdapat
Universitas Sumatera Utara
21 (k)
(k)
walk yang panjangnya k dari vertex vi ke vj di D, maka ail = 0 sehingga ail alj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj yang melalui vertex vl di D. Sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari vertex vi ke vj di D adalah. (k) ai1 a1j
+
(k) ai2 a2j
+ ··· +
(k) ain anj
=
n X
(k)
ail alj
l=1
Karena Ak+1 = Ak A maka (k)
aij =
n X
(k)
ail alj
l=1 (k+1)
hal ini berakibat aij
adalah benar menyatakan banyaknya walk dari vertex vi ke
vj yang panjangnya k + 1 di D.
Berikut ini diberikan contoh representasi grafis digraph yang akan dicari eksponennya dengan menggunakan proposisi 2.4.1 diatas. Contoh 2.4.1 representasi digraph dengan 3 vertex dan 5 arc.
Gambar 2.11 : Representasi digraph 3 vertex dan 7 arc
Dari representasi " # grafis digraph diatas didapat matriks adjacency A sebagai 0 1 0 berikut. A = 0 1 1 , dari teorema diatas untuk mencari banyak walk dari vertex 1 0 1
Universitas Sumatera Utara
22 (k)
vi ke vj dengan panjang k adalah entri dari matriks Aij dari Ak . Dengan demikian nilai k adalah eksponen dari digraph, bila matriks Ak adalah matriks positif. Perhatikan matriks Ak untuk k : "
# 0 1 0 a. k = 1; A = 0 1 1 1 0 1 bukan eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat walk dengan panjang satu, dari 1 ke 1, dari 1 ke 3, dari 2 ke 1 dan dari 3 ke 2 " # 0 1 1 b. k = 2 ; A2 = 1 1 2 1 1 1 bukan eksponen dari digraph contoh 2.4.1 diatas, karena tidak terdapat walk dengan panjang dua, dari 1 ke 1. " # 1 1 2 c. k = 3; A3 = 2 2 3 1 2 2 Eksponen dari digraph pada contoh 2.4.1 diatas adalah 3, karena terdapat walk dengan panjang tiga dari tiap pasangan vertex pada digraph D.
2.4.3 2-eksponen dari 2-digraph. Pada 2-digraph D, eksponen didefisikan sebagai bilangan bulat terkecil h + k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dengan panjang h + k yang terdiri dari h arc merah dan k arc biru. Eksponen dari 2-digraph D dinotasikan oleh exp2 (D). Lemma 2.4.1 Jika (R, B) adalah matriks adjacency dari 2-digraph D. Maka entri (i, j) dari (R, B)(h,k) adalah jumlah (h, k)-walk dari 2-digraph D
Bukti . Akan dibuktikan dengan induksi pada (h+k) dan (h+k +1), jika h = 0 maka k = 1 atau jika h = 1 maka k = 0. Jika h = 0 maka entri (i, j) dari (R, B)(0,1) = B
Universitas Sumatera Utara
23 0 adalah walk dengan komposisi 1 di 2-digraph D. Dengan cara yang sama, jika k = 0 maka (R, B)(1,0) = A adalah walk dengan entri (i, j) menyatakan walk dengan 1 komposisi 0 di 2-digraph D. Andaikan lemma 2.4.1 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif h0 dan k 0 dengan h0 + k 0 ≤ h + k akan diperlihatkan untuk h + k + 1 adalah benar, dengan catatan sebagai berikut. (R, B)(h+1,k) = R(R, B)(h,k) + B(R, B)(h+1,k−1) dengan induksi entri (i, j) pada R(R, B)(h,k) adalah walk dari i ke j diikuti dengan sebuah arc merah dan diikuti oleh sebuah (h, k)-walk dari entri (i, j) pada B(R, B)(h+1,k−1) adalah jumlah walk dari i ke j yang dimulai dengan sebuah arc biru dan dikuti oleh sebuah (h + 1, k − 1)-walk sedemikian hingga entri (i, j) dari (R, B)(h+1,k) adalah jumlah (h + 1, k)-walk dari i ke j
Berikut ini diberikan representasi grafis 2-digraph yang akan dicari eksponennya. Contoh 2.4.2 Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
Gambar 2.12 : Representasi 2-digraph dengan 3 vertex, 3 arc biru dan 3 arc merah
Universitas Sumatera Utara
24 Dari representasi 2-digraph diatas didapat matriks adjacency sebagai berikut. " # 0 1 0 Matriks adjacency merah R = 0 0 0 1 1 0 dan
#
"
0 0 1 Matriks adjacency biru B = 1 0 1 0 0 0
Dari contoh 2.4.2 kita cari eksponennya, yaitu dengan melihat penjumlahan h arc biru dan k arc merahnya, dengan cara sebagai berikut:
a. untuk h + k = 1 1. (R, B)(1,0)
2. (R, B)(0,1)
"
0 =R= 0 1 " 0 =B = 1 0
1 0 0 0 1 0
#
0 1 0 1 0 0
#
b. untuk h + k = 2 1. (R, B)(2,0) 2. (R, B)(1,1)
3. (R, B)(0,2)
"
# 0 0 0 = RR = 0 0 0 0 1 0 " # 2 1 1 = RB + BR = 1 2 0 1 0 2 " # 0 0 0 = BB = 0 0 1 0 0 0
c. untuk h + k = 3 1. (R, B)(3,0)
2. (R, B)(2,1)
3. (R, B)(1,2)
" # 0 0 0 = RR2 = 0 0 0 0 0 0
"
1 (1,1) 2 = R(R, B) + BR = 0 3 " 2 = RB 2 + B(R, B)(1,1) = 3 0
#
3 0 1 0 3 1
#
0 3 1 3 0 1
Universitas Sumatera Utara
25
4. (R, B)(0,3)
"
#
0 0 0 = BB 2 = 0 0 0 0 0 0
d. untuk h + k = 4 1. (R, B)(4,0)
2. (R, B)(3,1) 3. (R, B)(2,2)
" # 0 0 0 = RR3 = 0 0 0 0 0 0
"
# 0 1 0 = R(R, B)(2,1) + BR3 = 0 0 0 1 4 0 " # 6 4 4 = R(R, B)(1,2) + B(R, B)(2,1) = 4 6 1 5 1 4
2 Untuk h + k = 4 dengan komposisi arc 2 , 2 arc merah dan 2 arc biru, terdapat walk dari tiap pasangan vertex u dan v di 2-digraph D sehingga 2-digraph pada contoh 2 2.4.2 diatas memiliki eksponen 4 dengan komposisi arc 2 , 2 arc merah dan 2 arc biru. 2.5 Beberapa fakta tentang 2-digraph dengan loop Dalam subbab ini akan diperlihatkan batas atas dan batas bawah dari eksponen 2-digraph exp2 (D) dengan dua buah loop, satu dari masing-masing warna.
Teorema 2.5.1 Jika D adalah 2-digraph dengan n ≥ 2 vertex yang memuat sebuah loop merah dan sebuah loop biru, maka exp2(D) ≤ 3n − 3
Bukti. Diberikan i dan j vertex di 2-digraph D yang saling berhubungan di D, terdapat loop merah dan loop biru di 2-digraph D. Untuk setiap pasangan vertex pui
pij
pjv
− → v, adalah walk dari u ke v. u dan v di D, selanjutnya walk wuv , u −→ i −→ j − Untuk pui adalah path dari u ke i, pij adalah path dari i ke j dan pjv adalah path
Universitas Sumatera Utara
26 dari j ke v. Diberikan lr = max{r(pui )} dan lb = max{b(pui )} u∈V
u∈V
lr0 = max{r(pjp )} dan lb0 = max{b(pjv )} v∈V
v∈V
maka untuk setiap pasangan vertex u dan v adalah walk wuv dari u ke v dengan r(wuv ) lr + r(pij ) + lr0 ≤ lb + b(pij ) + lb0 b(wuv ) adalah kejadian loop merah dan loop biru, karena walk wuv adalah kejadian loop merah dan loop biru, walk wuv adalah sebuah walk dari u ke v dengan komposisi lr + r(pij ) + lr0 disekitar loop merah dan loop biru adalah bilangan hasil perkalian, lb + b(pij ) + lb0 sedemikian hingga lr + lb , lr0 + lb0 , r(pij ) + b(pij ) ≤ n − 1 akibatnya exp2(D) ≤ 3n − 3
Teorema 2.5.2 Jika 2-digraph D terhubung kuat dengan n vertex, sebuah loop merah dan sebuah loop biru pada vertex yang sama maka exp2 (D) ≤ 2n − 2. Bukti. Andaikan kedua loop berada pada vertex s, untuk 1 ≤ s ≤ n, dari setiap pasangan vertex i dan j di 2-digraph D, didapat Pis adalah path dari i ke s dan Psj adalah path dari s ke j, jika : lr = max{r(pui )} dan lb = max{b(pui )} i
i
lr0 = max{r(pjp )} dan lb0 = max{b(pjv )} j
j
untuk setiap pasangan vertex i dan j di D didapat walk dari i ke j dimulai dari vertex i, kemudian melalui path Pis sampai di vertex s kemudian diikuti path Psj lr + lr0 r(wij ) ≤ l + l0 karena walk wij melalui kedua loop, sampai ke vertex j maka : b(wij ) b b maka terdapat sebuah (lr + lr0 , lb + lb0 )-walk dari i ke j, sehingga exp2 (D) ≤ 2n − 2
Universitas Sumatera Utara
