＼
BUKU PETUNJUK PRAKTIKUM
LABORATORIUM SIMULASI DAN KOMIPUTASI JURUSAN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNOLOGIINDUSTRI INSTITUT TEKNOLOGISEPULUH NOPEMBER 20012
DAFTAR ISI BUKU PETUNJUK PRAKTIKUM KNT
Halaman ｉ
Daftar isi buku petunjuk praktikum KNT
ｌ
Peraturan dan Tata Tertib Lab. Komputasi & Simulasi
２
Peraturan dan Tata Tertib Praktikum KNT
４
Format Jurnal Tes Awal dan Laporan Praktikum
５
Format Laporan Akhir Praktikum
６
Pelatihan Matlab
０ ︲
Modul I : Persamaan Nonlinier Bisection, Interpolasi Linier, Secant
Modul
II
: Persamaan Nonlinear
Successive Approximation, Newton Raphson
Modul
III
: Persamaan
Aljabar (Metode Langsung)
12
Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, LU Decomposition ●Ｄ
Modul IV : Persamaan Aljabar (Metode tak Langsung) Jacobi, Gauss Siedel
Modul V : Pendekatan Polinomial (Interpolasi)
14
NGB, NGF
Modul VI : Pendekatan polynomial (Integrasi Numerik)
15
Trapezoidal, Aturan Simpson l/3. Aturan Simpson 3/8
Modul VII : Pcrsamaan Differensial Biasa
16
Metode Taylor, Euler, Runge Kutta
Modul
YIII
: Persamaan Differensial Biasa
17
ODE 45, ODE 23 Sekilas Tentarrg Flowchart
18
Contoh-contoh listing
19
Pefunjuk Praktikum KNT
Sem Genap
't
t
20lll20l2
Untuk lebih dapat menjaga ketertiban dan keutuhan Laboratorium Komputasi, Maka para pemakai/ pengguna komputer wajib mentaati tata tertib yang ada dibawah ini, sebagai berikut :
l.
2. 3.
4. ξ′
ヽ
PERATURAN DAN TATA TERTIB LAB. KOMPUTASI
Berpakaian rapi dan sopan. Dilarang memakai kaos oblong, celana jeans robek (bolong), sandal. Dilarang merokok dan membuang sampah sembarangan di dalam ruangan Laboratorium Komputasi. Dilarang memakai topi, kacamata hitam dan jaket selama berada dalam ruangan Laboratorium, barang-barang tersebut diletakkan pada tempat yang telah disediakan. Dilarang telepon via Handphone selama berada dalam Laboratorium, handphone harap dimatikan.
6.
7. 8.
9.
Dilarang makan dan minum serta membawa perangkat elektronik (walkman, tape, dll ) selama berada dalam ruangan Laboratorium Komputasi. Pemakai Laboratorium wajib menjaga ketenangan dan kebersihan ruangan Laboratorium serta menjaga keutuhan barang-barang yang ada di dalam
Laboratorium. Wajib melaporkan setiap kerusakan yangada, baik pada komputer maupun alat-alat penunjang lainnya kepada Assisten, Kalab. atau petugas jaringan. Segala sanksi yang ada akibat pelanggaran diatas adalah wewenang assisten
/KaLab. Segala bentuk perusakan pada peralatan Laboratorium ( Hardware / Scftware ) yang dilakukan oleh pemakai Laboratorium Komputer, maka akan diproses sesuai dengan peraturan yang berlaku. ll.Dilarang melakukan perubahan pada Software Komputer, menambah program Aplikasi dan share (bagi pakai) data tanpa sepengetahuan Kalab., 10.
Petugas Jaringan.
l2.Penggunaan/pemakaian Laboratorium Komputer perku I iahan/praktikum harus atas seij in Kalab.
diluar waktu
kegiatan
Pengguna Laboratorium Komputasi adalah seluruh civitas akademik Jurusan Teknik Kimia dimana Keutuhan dan Kenyamanan pemakaian Komputer tidak lepas dari bagaimana anda menjaga dan merawatnya.
Terima Kasih atas kerjasamanya CACRAa
Pelu4iuk Pral
Sem Genap
20lll20l2
TATA TERTIB PRAKTIKUM KNT LABORATORIUM KOMPUTASI DAN SIMULASI KETENTUAN UMUM
1.
Seluruh praktikan diharapkan hadir tepat waktu.
2. Berpakaian rapi dan sopan. 3. Melaksanakan tes awal dan praktikum dengan sebaik-baiknya. 4. Hanya diperkenankan membawa jurnal, alat tulis, lentb+r tapg!_ -99!09nla++selama praktikum berlangsung. 5. Mengumpulkan tugas dan-laporan tepat pada waktunya.
6. 7.
Tidak diperkenankan membawa makanan dan minuman saat praktikum.
Peraturan lainnya akan ditetapkan kemudian.
JENIS PELANGGARAN DAN SANKSI
I.
Pelanggaran
l.
Ringan
,
!j
Terlambat masuk Praktikum antara 5 sampai
l5 menit.
2. Terlambat tes awal antara 5 sampai 15 menit. 3. Tidak berpakaiarr rapi dan tidak bersepatu. 4. Terbukti berpindah tempat selama praktikum. 5. Terbukti melanggar poin 4 ketentuan umum
Sanksi
!po,n
1. Membuat paper sebanyak 5 sampai l0
;
'
halaman yang didapatkan dari
internet ([JRL dicantumkan), sesuai kesepakatan dengan asisten.
2.
\
\
z
Tidak diperkenankan mengikuti praktikum sebelum berpakaian rapi dan bersepatu, dan ditambah sanksi nomor satu.
II.
Pelanggaran Sedang
,1. ferbukti membawa "Baceman" dalam bentuk printout, tulisan fotocopy, disket,
dll.
tangan,
-)bt.r,it
2. Menggunakan komputer untuk keperluan lain di luar praktikum. 3. Terlambat masuk Praktikum antara l5 menit sampai 30 menit. 4. Terlambat tes awal antara l5 sampai 30 menit. 5. Terbukti melakukan "sharing" jaringan antar komputer. た″ μ 物 綱 笏
rrv「
Sem Genap 201112012
lノ
6. 7.
Terbukti melanggar poin 5 ketentuan umum. Melakukan kesalahan pada pelanggaran ringan sebanyak dua kali.
Sanksi 1. Membuat
to paper sebanyak
l0
fortt
-- 'r /''
''- ' i r'' '
'
sampai 20 halaman yang didapatkan dari
intemet (URL dicantumkan).
2.
ilI.
Khusus untuk pelanggaran no. 3 sanksinya ditambah dengan presentasi di
Pelanggaran Berat
l.
Terlambat masuk Praktikum lebih dari 30 menit.
2. Terlambat tes awal lebih dari 30 menit. 3. Tidak mengumpulkan laporan pada waktu yang telah ditentukan, tenrrasuk laporan yang sudah di ACC.
4.
Mengcopy atau dengan sengaja mencontoh program dari praktikan lain selama praktikum.
5. 6.
Tidak melakukan tes awal. Melakukan kesalahan pada pelanggaran sedang sebanyak dua kali
Sanksi
1. Tidak diperkenankan mengikuti praktikum.
2.
Membuat paper sebanyak
l0
sampai 20 halaman yang didapatkan dari
intt'met (URL dicantumkan). .i
IV.
Pelanggaran Khusus Tidak menyelesaikan soal yang diberikan pada waktu praktikum (listing tidak
jalan)
:,
,
Sanksi : membuat'listing yang benar
di luar praktikum
dan memperbandingkannya
dengan yang salah (dikumpulkan dalam bentuk disket dan cerak)
Catatan Penting:
o
Apabila melakukan pelanggaran berat dua kali dengan kesalahan yang sama, praktikan akan dibatalkan praktikumnya.
o
Apabila praktikan berhalangan hadir dalam kegiatan praktikum (tes awal, praktikum, dan tes akhir) karena bekerja, wajib ijin kepada asisten yang bersangkutan paling lambat dua (2) hari sebelum kegiatan praktikum.
ル″ μ 助 初
b rJv「
4
'
I
FORMAT JURNAL TES AWAL Jurnaltes awal berisi:
1.
Modul ke berapa
2. Tema / judul praktikum 3. Identitas ( Tanggal praktikum, group, nama praktikan, 4. Tujuan praktikum 5. Algoritma 6. Penyelesaian soal/tugas dengan cara manual 7. Membuat Flowchart Ketentuan
nrp, nama asisten )
:
l.
Ditulis tangan pada kertas folio bergaris
2. 3.
Dikumpulkan pada waktu tes awal.
Dibuat perorangan.
FORMAT LAPORAN PRAKTIKUM Laporan praktrkum berisi:
l.
Halaman
2.
Bab I Pendahuluan (berisi: Tuiuan praktikum. batasan masalah. dasar teori)
judul ( modul ke berapa. tema/iudul praktikum. tanssal praktikum. grouo. nama praktikan. nrp. nama asisten ) min 2 halaman.
3. Bab II Hasil Percobaan dan Pembahasan 4. Bab III Kesimpulan dan Saran 5. Daftar Pustaka 6. Lampiran (berisi: flowchart.listing proqram. soal tes awal) Ketentuan:
l.
Laporan
diketik (per-kelompok) dan dikumpulkan I minggu setelah praktikum
dan di-ACC asisten
2.
Diketik dengan komputer di kertas A,4 dengan format 4433, spasi 1,5 font Times New Roman, ukuran font 12.
3.
Untuk flowchart wajib diketik dengan menggunakan software Visio.
Pefunjuk Praktikum KNT
Sem Genap
2OIIffit2
FORMAT LAPORAN AKHIR Laporan akhir berisi:
1.Halamanjudul utama(nama laporan,logo ITS,nama pembuat,nama Lab) 2.Kata Pengantar
3.Da■ ar lsi 4. Laporan praktikum modull sampairnodul VII
Ketentuan: 1. E)iketik dengan komputer di kertas A4 dengan follllat 4433,spasi l,5 font Times
New Roman,ukuran font 12. 2.Laporan akhir djilid rapi.
3.Dikumpulkan sebelum Lttian Akhir.
PRESENTASI PENILAIAN(Bisa Berubah。 。 ) 1.Tes awal : 2.Praktikum: 3._Laporan_二 抑
4.Ⅵ
hn :
20% ヶ町 o
30% `o° ・ ′
30%
ぽ
￨。
.
んt猿 じ … ■ 1。
f aし ・
1多
ぺ
﹂一
￨
Pelatihan Matlab 1.
Pengenalan environment Matlab, antara lain : Membuka Workspace (Command Window), m-fiIe, Variabel, path
/
menutup aplikasi,
Double-click pada icon matlab yang ada di desktop: Akan muncul
:
,., Hrlrr e ttdは yew‐ 二‖
Fryoduct
lt€r:
(-
ar
…
(t seece
se"a...
やリー ,‐ ‐ 1曇
I
AdibF品 ‖ わol
Dereloprnenl Environment : 1 コ
‐
=1
DsJglry?Em ErM,onrneil
Development ・.'MA:臥 B
日b‐
I VttW IWeb・ WhdO"
Ed“
D θ lふ 略 亀 め '6rn?rl H,-^,)
“1碑
EI
E
il
HdP
Iレ
'rahrll
To
:
,>
■
年10い ￨,γ Ⅲ ・“。
7耐
た 。
」￨」
rVnddre
9et Et€rted, select
"IIATLAB
Help"
frm the
Help
r
Heldy
一、 一
J
J
Rea6リ
Ubah direktori aktif (lihat gambar di bawah) ke E: runenl direrlory Browse to Currenl Direc{ory: ID trnymfiles
rh
unge
(urrBnl
diredory
Workspace (Command Window) Digunakan untuk memasukkan variabel-variabel dan menjalankan fungsifungsi dan program pada m-fiIe.
M-File Editor program untuk membuat program dalam MATLAB.Untuk membuat program dalam MATLAB,bisa juga dengan program lain,misal notepad tetapi disimpan dengan file ekstensi .m, misal collatz.m.
た に■ukttα″れ
rrVr “
Sem Genap
20lll20l2
yiew Eil, Edl ‐
B酵
ェeXt ttebu9 旦reaト ロ lp.■ ,ぃ tl wlコ WindOW 旦 口 日 曇 1出 ‐貼 亀 9“ ￨“ f)￨‐ 日 f覇 個 電 日 ● 0 tunctlon sequence-col I atz(n) S Collatz problem. Generate a sequence of integers resolving to X For any positive integer, n: l‐
Divide n by Z if n is even Hultiply n by 3 and add 1 if n is Repeat for the result
S s S S
Continue until the result is
1
odd
1
%
sequence = h;
next-value =
n;
while next-value >
if
1
rem(next-va1 ue' 2)==P
e'l se
end
next-value = next-val ue/Z; next-value = 3*next-val ue+1;
sequence end
=
[sequence, next-value];
untuk membuat atau membuka editor ini, lihat gambar
:
(reute new lt-file 0pen file
Untuk lebih lengkap, tentang environmenl MATLAB lihat gambar berikut: ll-file
file
Undo losl
(opy
edil
ｄ ｅ回 耐 Ｒ
(reute neu
(reole newSimulink model Yieu or rhunge rurrenl dirodory Seled previously used
6o to llelp browser
Posle
rurrBnl dire(lory Brouse lo
‐?1ltur..preap崎
thonge (
urr enl
direttory looltip destrib
es button
tooltips on 0r off using
た に電ukれ 脚 b rrv「
G:nrd Prrftrcrrcr
8
Sem Genap
20lll20l2
lobs
to
go to Workspo(o
lhe seporolor bor lo resire rindots
brorser or (urrenl lllrerlory
2.
Pengoperasian fungsi matematis sederhana, di Workspace. dan di m-file/script, antara lain: +, -, *, /, ^, sin(x), cos(x), abs(x), tan(x), log(x)[ln(x)], logl0(x), exp(x), sqrt(x). 7o Perhitungan matematika sederhana
buku:2 penghapus:2
pensil:2 total barang=buku+penghapus+pensi I totalharga:buku *2O00+penghapus* 5 00+pensi I t I 000 ratarataharganotalharga/tota lbaran g 7o
Mencari densitas ethanol cair (g/cm3)
T:300 rho:
%odalamkelvin
I .03 2-5 .392*T * I e-4 -8.7
l2*T ^2* I e-7
7o Perhitungan waktu paruh elemen radioaktif polonium jumlah_awal:10 waktujaruh:l 50 Yo dalam hari waktu:300 jumlah_sisa:j um lah_awal * 0.5^(waktu/waktujaruh)
3.
Membuat input/output data dalam m-fiIe, antara lain
x:input('masukkan nilai
Petunjuk Pral
x:
:
')
Sem Genap 201112012
4.
disp(['ini akan menampilkan hasil ' , num2str(x)])
5.
Mengenalkan fungsi-fungsi mendasar dalam matlab, antara lain : who, clc, clear, whos, help, function, break (menghentikan aplikasi), pause (menunda aplikasi sampai tertekan tombol), Mengenalkananay. Antara lain: pengalamatan array,
6.
Pengenalan Looping
% Contoh listing program Looping 1. Loop For
% % %
2.Loop Ifthen
else
3. Loop While
% l. Loop For: disp('Berhitung Kentang dengan loop for'); n:input('jumlah kentang :'); for a:l:n disp([num2str(a),' kentang']) end
disp('Berhitung selesai'); pause
Yo2.Loop If then else disp('Quiz kemiripan dengan if then else');
z:0; a:input('anda suka pisang (y/t)','s');
if a::tyt
z=ztl; end
a:input('anda suka memanjat pohon(y/t)','s');
if a::'y'
z:z*l; end
a:input('anda berbulu lebat (y/t)','s');
if a::tyt
z:z+l; end
if z::3 disp('anda pasti monyet'); else
if z=:0
disp('anda pasti bukan monyet') else disp('anda seperti monyet') end end
disp([num2str(a)]) Yo3.Loop while-l disp('berhitung kentang dengan while-l'); n:input('jumlah kentang :');
a:l;
while a<:n
た″
ね粥雅″
rJvr
lo
Sem Genap
,frIImO
disp([num2str(a),' kentang']);
a:a*l; end
disp('berhitung selesai');
Yo3.Loop While-2 disp('berhitung kentang dengan while-2');
n:input('jumlah kentang a:0; keluar:0; while keluar:O
:');
a:a*l; if a::n keluar-l; end
disp(['ada',num2str(a),' kentang']); end
disp('berhitung selesai');
7.
Matrik/array
Eye(n):(matriks identitas yang diagonalnya bemilai I dan selebihnya nol), zeros(n):membuat matriks nol dengan nxn, ones(n):membuat matriks satu dengan nxn, flipud(A)=membalik matrik A dengan arah vertikal, fliplr(A)=membalik matrik A dengan arah horizontal, rot90(A):memutar matrik A dengan arah ke kiri sebesar 90 derajad, triu(A):menghasilkan matrik segitiga atas dari matrik A, tril(A):menghasilkan matrik segitiga bawah dari matrik A.
た″ ″ 助 制 笏
紺
H
Sem Genap 201112012
Modul
I
Persamaan Nonlinier Tujuan Percobaan
:
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan persamaan nonlinier yaitu metode Bisection, Interpolasi Linier dan Secant.
Dasar Teori Umumnya, suatu persamaan Non linier f(x)
:
0 tidak dapat diselesaikan secara
analitis, namun dapat diselesaikan dengan metode numerik yang lebih kompleks. Berbagai macam metode numerik telah berkembang, antara lain metode Bisection,
Interpolasi linier, dan Secant yang menggunakan dua bilangan sebagai harga awal. Berikut penjelasan mengenai metode-metode numerik tersebut
1.
:
Metode Bisection Metode Bisection disebut juga metode pemotongan biner, dimana interval
dari suatu fungsi dibagi dua. Bila fungsi berubah tanda dalam interval tersebut,
maka harga fungsi
di
tengahnya dievaluasi, kemudian letak akar-akarnya
ditemukan berada di tengah-tengah sub interval dimana perubahan tanda terjadi. Proses tesebut dilakukan berulang-ulang sampai
nilai error (kesalahan) tidak
terlalu besar. Metode ini memang lebih lambat jika dibandingkan dengan metode yang lain. Namun kerapian analisis kesalahannya menjadi nilai lebih.
Algoritma dari metode ini adalah
l.
:
Memilih harga pendekatan awal, x1 dan x2 dimana f(x1) harus berlawanan tanda dengan f(x2)
2. 3.
Menentukan harga xr
:
(xr +
x2)12
Bila % I x, - xz | < toleransi, harga xr adalah harga x yang dicari, jika tidak maka proses dilanjutkan ke langkah 4.
4. Bila f(x3) berlawanan
tanda dengan f(x1), maka x2 baru:X3. Jika f(x3)
berlau,anan tanda dengan f(x2), maka x1 baru:X3, kemudian kembali ke langkah 2.
た″
乃電た漱 物 /7V「
12
Sem Genap
20lll20l2
2.
Metode Interpolasi Linier Walaupun metode Bisection mudah dan memiliki analisa kesalahan yang sederhana, namun metode
ini tidak efisien. Untuk sebagian
besar fungsi, kita
dapat meningkatkan kecepatan konvergensi. Salah satu dari metode
ini
adalah
metode Interpolasi Linier (disebut juga metode "False Position" atau "Regula
falsi"). Misalkan suatu fungsi f(x) linier pada interval (x1,x2) dan nilai f(x1) dan f(x2) berlawanan tanda, sedangkan nilai x3 berada dalam interval (berada di antara x1 dan x2) maka nilai xr dapat didekati dengan menggunakan rumus
xt = xz -
;: f:(*'\;
Jlx)-Jl\)
: (x,
:
- x,)...........( I )
Kemudian f(x3) dihitung dan diadakan lagi interpolasi linier antara harga-harga pada mana f(x) berubah tanda dan menghasilkan harga baru untuk x3. prosedur
ini dilakukan berulang-ulang sampai didapatkan nilai akar yang dikehendaki. Algoritma metode interpolasi linier adalah sebagai berikut
1. Pilihlah harga
:
x1 dan x2 sedemikian hingga f(x1) dan f(x2) berlawanan
tanda. ２ ３
Menentukan harga x3 dengan rumus (I.3.1). Memasukkan nilai x3 ke fungsi asal,
jika I f(x:) | < toleransi, maka
harga
xr adalah harga x yang dicari. Bila tidak proses dilanjutkan ke langkah 4. 4.
Bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x1), maka tetapkan x2:x3 dan bila f(x3) berlawanan tanda dengan f(x2), tetapk&h X1:X3, proses kembali ke langkah 2.
3.
Metode Secant
Metode ini juga pengembangan dari metode interpolasi linier. Metode ini dapat disebut metode ekstrapolasi linier. Pada metode
ini fungsi f(x1) tidak perlu
berlawanan tanda dengan f(x2), namun dipilih dua harga yang dekat dengan akar sebenarnya yang ditunjukkan oleh fungsi dari kedua metode ini adalah
titik tersebut. Algoritma dari
:
l.
Memilih harga pendekatan awal,
2.
Menentukan harga
x1 dan x2.
x3 dengan Pers.(1).
Pefu4iuk Praktikun KNT
13
Sem Genap
20lll20l2
， フ
Jika lf(x3)l < toleransi, maka harga xr adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke langkah 4.
Jika lf(x1)l
4.
>
lf(xz)|, maka x1 baru:X2, jika tidak maka x1 baru:Xl. Kemudian
menentukan harga
x2 baru:X3 dan
kembali ke langkah 2.
TUGAS 1 :
l.
Model dinamik untuk isothermal, volume konstan pada sebuah reaktor dengan
O7: konsentrasi (Ca) =Irr, dtVATVAA -!c^-kC'^.Tentukan state dengan parameter harga F/V = l/menit, CRF : I gmol/l dan k:
reaksi orde dua adalah pada steady
2.
I l/gmolmenit
dan gunakan metode-metode yang sesuai.
Gas nyata tidak dapat dianggap gas ideal pada tekanan tinggi. Van der Waals dalam desertasinya mampu menghitung volume gas nyata dengan persamaan van der waals. Pers. Van der Waals adalah
(,.;),
-b)=R.Z dimana p adalah
tekanan, R adalah konstanta gas ideal, T adalah suhu, V adalah molar volume, a, b adalah konstanta van der waals. Dengan menggunakan metode-metode yang ada, tentukan V pada udara dengan tekanan 50 atm dan -100 "C. (a 1.33 atm litef/gmol2, 6 : 0.0366 liter/gmol)
:
Petu4juk Proktikun KNT
14
Sem Genap 201112012
Modul
II
Persamaan Nonlinier Tujuan Percobaan
:
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan persamaan nonlinier yaitu Successive Approximation, dan Newton Raphson.
Dasar Teori Umumnya, suatu persamaan Non linier
(x) :
0 tidak dapat diselesaikan secara
analitis, namun dapat diselesaikan dengan metode numerik yang lebih kompleks. Berbagai macam metode numerik telah berkembang, antara lain metode Succesive
Approximation dan Newton Raphson hanya menggunakan satu bilangan sebagai pendekatan awal. Berikut penjelasan mengenaimetode-metode numerik tersebut
:
Approximation
1. Metode Successive
Metode inijuga disebut metode iteratif trial and error, dimana menggunakan harga awal kemudian didapat harga baru. Metode dianggap konvergen
jika selisih
harga baru dengan harga sebelumnya lebih kecil dari toleransi. Algoritma dari metode iniadalah
l.
:
Memilih harga pendekatan awal,
x1.
2. Mengubah f(x) menjadix:g(x), sehingga x2=g(xr). 3. Jika lx2-x1l < toleransi, maka harga xz adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke tahap 2.
2. Metode Newton-Raphson
Metode
ini
menggunakan fungsi derivatif sebagai fungsi garis singgung.
Algoritma dari metode ini adalah
:
l.
Memilih harga pendekatan aawal, x1.
2. 3.
Menentukan harga Xz:Xr
- f(x1)/f
(x1).
Jika lf(xz)l < toleransi, maka harga x2 adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke langkah 4.
Menentukan harga x1 baru=
X2
くυ
Petu4juk Praklikun KNT
kemudian kembali ke langkah 2.
Sem Genap
20lll20l2
TUGAS 2
:
l. Persamaan Harlacher dapat digunakan untuk mengestimasi suatu zat. Persamaann
ya
ln Pvp =
A-
++
C.ln(I)
.
tekanan uap jenuh
di mana Pvp adalah
ry
tekanan uap (bar), T adalah suhu (K), A, B, C, D adalah konstanta Harlacher. Tentukan suhu l-octena pada tekanan uap l0 bar.
(A : 57.867, B : 6883.34, C : -6,765,D : 5235) 2. Sistem kesetimbangan uap dan liquid empat komponen dengan asumsi larutan ideal. Data untuk tekanan uaq zat murni sebasai berikut : Komponen
Tekanan uao zat murni (psia) pada 150 F
pada 200 F
I
25
200
2
14.7
60
3
4
14.7
4
0.5
5
Hitunglah suhu dan komposisi uap pada 75 psia dengan xl :0.1, x2= 0.3 dan x4 :0.06. (Persamaan tekanan uap menggunakan pers. Antoine ln P: A/T + B)
Petunjuk Praktikun KNT
16
0.54,x3:
Sem Genap 201112012
Modul
III
Persamaan Aljabar (Metode Langsung) Tujuan Percobaan
:
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan persamaan aljabar secara langsung yaitu metode Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan, LU Decomposition.
Dasar Teori Secara umum suatu persamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut 811 X1
* alzxz -l ... *
&21 X1
*
azzxz
: cl * ... * dzn Xn : c2
opl
*
dnzxz
t
X1
...
*
:
&ln Xn
&nn Xn
=
Cn
Bila dinyatakan dengan notasi matriks adalah
:
AX=C ott
dimana
0t,
M drl
.rl
cl
M:M Orn xn
cn
AXC Metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linear
yaitu metode langsung dan tak langsung (iteratif). Metode langsung baik digunakan
untuk matriks rapat (dense matriks), yaitu matriks yang elemen-elemen nolnya sedikit. Sedangkan metode tak langsung digunakan untuk sparse matriks yaitu matriks yang elemen nolnya banyak. Untuk selanjutnya hanya dibahas metode langsung. Metode ini terdiri dari metode Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss
-
Yordan
dan LU Decomposition.
Metode Eliminasi Gauss Metode ini terdiri dari dua tahap eliminasi dan substitusi kembali. Perhatikan sistem persamaan
:
* dnxz * ... + aln Xn : Cl d21 x1 * azzxz * ...* dzn Xn : C2
O1y
x1
Petunjuk Praktikun KNT
(1) (2)
17
Sem Genap
20lll20l2
anl xl+an2 X2+.¨ +ann xn=Cn
(n)
Tahap elinlinasi terdiri dari n‐ 1 langkah:
Eliminir xl dari persamaan(2)sampai(n) PerS(i)― PCrS(1)X(ai1/a11);i=2,3,4,...,n
Schingga sistem mettadi: all xl十
a12X2 +a13X3 +・
¨ +ain
a22(1)X2+a23(1)X3+・
¨ +a2n(1)Xn=c2(l)
十
…
Xn =Cl
+.… +…
.¨
an2(1)X2+an3(1)X3+…
十
…
ann(1)xn=Cn(1)
Eliminl x2 dari persamaan(3)sampai(n)
a22(1))
PerS(i)一 PerS(2)x(a12(lン
;i=3,4,...,n
Sehingga sistem menJadi:
+ain xn
all xl+a12X2 +a13X3 +… a22(1)X2+a23(1)X3+・
=Cl
¨ +a2n(1)Xn
=c2(1)
a33(2)x3+・ ¨ +a3n(2)xn =C3(2) 。 ¨十 …
…
ann(n‐
1)xn=cn(・ ‐1)
R4enentukan aJ(O dan ci(rl a」
(r)=a」
ci(→
(・
=ci(■
i=r+1,¨
1)一
a」
(卜
1)[air(r‐
1)/arr(卜 1)]
1)_cr(「 1)[air(r_l)/arr(・
"n ;
1)]
j=r■ 1,¨ "n;
Tahap substitusi kembali xn=cn(n_1)/ann(・ Xn_1=(cn_1(n_2)_an‐
...(1) …(2)
2)x.)/an_1,n_1(n‐ 1,n(n‐
r=1,2,¨ ,n-1
‐ 1)
2)
...(3) 。(4) .。
均=(q OJ)‐ Σ %kO・ )xn)/鶴 ) 0・
.…
(5)
1=ノ +l
P市 oting(pertukaran baris)pada metode Eliminasi Gauss perlu dilakukan bila harga elemen arr(・
1)=0, karena bila tidak maka metodc ini akan gagal dalam
menyelesaikan sistcrn persamaan Hnearo Pivoting terkadang perlu dilakukan dalam setiap tahap clinlinasi.Jadi dalam pivoting diusahakan agar pivOt clemen
(elemen diagonal)mcmpunyai harga absolut maksimum dibanding elemen‐ clemen yang lain dalam kolom yang sama.
た に哺ukれ 制 勧 紺
18
Sem Genap
20lll20l2
Metode Gauss
-
Yordan
Metode ini pada dasarnya sama dengan metode Eliminasi Gauss, tetapi tahap eliminasi dan substitusi kembali dilaksanakan bersama-sama. Algoritma metode
ini adalah :
i:
Untuk
I
sampai n, laksanakan
Aii:Aiildii
:
;j:1,...,n
Otj:&t<j-ati.a,j
Ck:Ck-Oti.Ci
k: 1, 2,...,a ;j : Xi = Ci ,
1,
2,...,fr
i: l, 2, ...,fr
Inti dari metode ini adalah mengeliminasi dan mensubstitusi matriks A yang dibuat dari sistem persamaan menjadi matriks identitas.
xxx xxxffi0l0 xxx
100 001
Metode LU Decomposition Metode ini disebutjuga crout reduction method atau cholesky method. Dalam
hal ini matriks koefisien A diuraikan ke dalam hasil kali dua matriks L dan U dimana L adalah triangular bagian bawah (lower) dan U triangular matriks bagian
I
atas (upper) dengan angka
pada diagonalnya. Penentuan elemen-elemennya
untuk matriks L dan U dapat dijabarkan sebagai berikut
:
Lr, 0 0 0 I U, U* Uro ort orz o* L^ Lr, 0 0 0 I U* Uro ozt ozz ozt L, L, Lr. 0 0 0 I U,o= ott on on
ozc
Lo, Lo, Ln Loo 0
occ
0
0
I
aq oqz dqt
du
osq
Dengan operasi perkalian matriks dan identity, maka elemen-elemen diperoleh
*
:
Baris-barisL * kolom I U Lrr = 8l t
t
iLZt: aX iLy = ?,3t iL4l:
d+t
L* kolom-kolom U Lrr*Urz : dn) Un: dn/Ltt Baris I
) Lrr*Urn: or+ ) Lrr*Urr = 86
*
L dan U
U13:
o13ll,11
Ut+: au/Ltt
Baris-barisL * kolom2 U Lx+U n
t
Lzz
:
azz
)
Lzz
Petunjuk Praktikun KNT
:
3zz
- Lx*U n 19
Sem Genap
20lll20l2
L31*U12+L32=a32→ L32=a32 L31*U12 L41*U12+L42=a42→ L42=a42 L41*U12 Baris 2 L*kolom― kolom U
●
L21*U13+L22*U23=a231〉 U23=(a23 L21*U13)/L22
L21*U14+L22*U24=a24→ U24=(a24 L21*U14)/L22 Baris_baris L*kolom 3 U
●
L31*U13+L32*U23+L33=a33… 〉L33=a33 L31*U13 L32*U23
L41*U13+L42*U23+L43=a43→ 〉L43=a43 L41*U13 L42*U23 =
kolom U Baris 3 L*kolom― L31*U14+L32*U24+L33*U34=a34→ 〉U34=(a34 L31*U14 L32*U24)/L33
=
Baris―
baris L*kolom 4 U
L41*U14+L42*U24+L43*U34+L44〓 a44→ L44=a44 L41*U14 L42*U24 L43*U34
Rumus-rumus umum untuk memperoleh elemen-elemen L dan U
il
L**U1j
Lr:a,:- I
,jSi, i=1,2,...,tr)
k=l
Untukj: I
)
Lir
:
elemenmatriksLi
:air
,l
Ui, :(aU -
I
L1s*Upi)/L;;, i <j,j =2,3,...,
tr
)
elemenmatriksU;<j
&=l
Untuki:l )Ug:a;i/a11 Keuntungan metode ini adalah tempat menyimpan data yang lebih ekonomis karena
tidak perlu menyimpan angka nol dan satu. Elemen-elemen L dan U disimpan pada tempat penyimpanan koefisien-koefisien matriks semula, sehingga
ott orz atz oru
L, U, U* ozr dzz ozz ozq __+ Ll Ln Ux otr atz att ozc o+r dqz oct d++ :
Uro Uro Loo
Ｌ
Ｃ ＊
た″
wn
Uro
Ｌ
An :n
Ｃ
u
〓
Ｃ
Ｃ
几
〓
Ｃ
Persamaan untuk substitusi kembali
“＝ ≫ Ｈ ▼
c'
Menghitung
Ll L, L* Ln, Lo, Lo,
:
:
)
助 物
r/vr
20
Sem Genap
20lll20l2
￨
均=匂 ‐Σ uJk*xk
;
J=n‐ 1,¨ り 1
■=ノ +l
TUGAS3: Solve these equation by using L― U Decompotion,Gauss Jordan and Elimination
Gauss:
Xl+3X2+5X3+2X4 =0 Xl+9X2+8X3+4X4= 15 Xl+X2+X3+X4=2 2Xl+X2+X3+X4=-3
Petunjuk Praktitun
KNT
2l
Sem Genap
20lll20l2
￨
Modul IV Persamaan Aljabar (Metode tak Langsung) Tujuan Percobaan
:
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan persamaan aljabar secara langsung yaitu metode Jocobi dan Gauss Siedel.
Dasar Teori Dalam menyelesaikan sistem persamaan aljabar linear terdapat dua metode yang bisa digunakan yaitu metode langsung dan metode tak langsung yang disebut
juga metode iteratif. Metode langsung baik digunakan untuk matriks rapat/dense matriks yaitu matriks yang elemen nolnya sedikit. Dimana yang termasuk metode langsung adalah metode Eliminasi Gauss, Gauss-Yordan, dan
LU
Decomposition.
Sedangkan metode tak langsung baik digunakan untuk sparse matriks yaitu matriks
yang mempunyai banyak elemen nolnya. Yang merupakan metode tak langsung ini adalah metode Yacobi dan Gauss-Siedel. Pada percobaan
ini hanya akan dibahas
tetang metode tak langsung dan metode langsung tidak dibahas disini karena telah dijelaskan pada modul sebelumnya.
Terdapat dua macam metode tak langsung yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linear yaitu metode Yacobi dan Gauss
-
Siedel. 1. Metode Jacobi
Prosedur penyelesaiannya persamaan-persamaan dapat diuraikan sebagai berikut
ini
dengan metode Jacobi
:
Baris-baris persamaan diatur kembali sehingga elemen-elemen diagonal mempunyai
harga yang sebesar-besarnya dibanding dengan elemen pada baris sama.Dimulai dengan pendekatan awal xJk)'untuk
i:
1,2,...,n dengan persamaan (*)
-i,
=
yang
x(l) hitung masing-masing komponen
:
_* !" x G-t) aii ?, o,,,*'
9"
k:2,3,,,... di mana xJk) adalah harga x1 pada pendekatan ke k.Iterasi dihentikan bila bila harga x,(k)
mendekati harga 1,(k-t) yaitu bila た r」7JillJ■ 助 動
rrVr
22
Sem Genap
20lll20l2
￨ザ
コ …
1隻
di mana e adalah batas kesalahan maksimum yang diijinkan. Metode ini konvergen bila
lu,,l
,
I lu,J i:
1,2,....,n
j=l
2. Metode Gauss-Siedel
Metode
ini
pada prinsipnya hampir sama dengan metode Yacobi dan
prosedurnya dapat dijelaskan sebagai berikut
Pertama-tama diambil harga awal x(l) xJk)'untuk i
:
,
1,2,3,...,n dengan persamaan
:
menghitung masing-masing komponen
:
°)=C/ai― α α y/am) 為 」 (aJJ.為 ンai卜 2(aJJ.為・
k=2,3,.… …n
F
j=i+
l
Hal ini terus dilakukan dan iterasi akan dihentikan bila:
￨デ
…
1隻
n
di mana e adalah batas kesalahan maksimum yang diijinkan. Adaun syarat konvergensi untuk metode ini sama dengan metode Yacobi yaitu
:
n
lalil>Σ
la」
l
i=1,2,3,…
..,n
j=!
た に電ukPrarliJtra紺
23
Sem Genap
20lll20l2
TUGAS 4
:
Separation processes play an important role in most chemicals manufacturing processes. Streams from chemical reactors often contain a number
of
components.
Some of these components must be separated from the other components for sale as a
final product, or for use in another manufacturing processes. A common example of a separation process is gas absorption, which is normally used to remove a dilute component from a gas stream. Liquid Gas
Feed
Product
L,xf
V,
yr
The simplest relationship equilibrium relationship
is a
I ] :o 1
linear
X;,
Where
y is the gas phase composition x is the liquid phase composition a is an equilibrium parameter
i
represents the i-th stage
Liquid
Gas Feed
Product
V. v--,
L,
Xn
Figure 1. Gas absorption column, n stages
Let the liquid feed flowrate L = 80 kgmol inert oil/hr, vapor feed rate flowrate V = 100
kgmol
airlhr , equilibrium parameter a = 0.5, liquid feed composition,
0.0 kgmol benzene
/ kgmol inert oil, and vapor feed composition
yo
xs:
= 9.1 kgmol
benzene / kgmol air. Find x at steady state for each stage.
た″
助 動
r/vr
24
Sem Genap
20lll20l2
Modul V Pendekatan Polinomial (Interpolasi) Tujuan Percobaan
:
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan soal dengan metode interpolasi yaitu metode Newton Gregory Forward (NGF), dan New ton Gre gory Bacla,y
ard (NGB).
Dasar Teori
Bila suatu fungsi yang berkelakuan seperti polinomial maka kita dapat mendekatinya dengan polinomial itu. Cara yang sederhana untuk menuliskan
(n+l)titik(xi,fi),i:1,2,........,tr*ldibagi
polinomial derajat-nyangmelalui menjadi tiga yaitu
:
1. Metode Newton -Gregory
Forward.
Metode ini paling mudah untuk menuliskan suatu polinomial melalui titik-
titik yang berjarak pn (
x1
)
sama. Polonomial derajat n dapat
: fo + iLfo *i(i:l) "2t"3lr
6z
p+ ('-lX'-2) 2ヵ
=力 十
△
(￨)A/a十 (:)十
ditulis
L3 fo
:
+....
+(:)+… 。
scdangkan(￨)merupakan silnbol kombinasi yaitu:
(') _ l! -@G4 ["./
i:0, Bila i: l, Bila i :2, Bila
Pn(x6):
f6
Pn(x1):
fo
+ 616 = fo+f1
Pn(x2) = fo + Afo
Bila pada domain dari
- fo
+A2fo:g xo
dsb.
sampaixn, Pn(x) atau f(x) mempunyaiharga
yang sama pada harga-harga x yang ditabelkan, maka mungkin akan masuk akal bila dianggap keduanya mempunyai harga yang sama pada harga-harga
x pertengahan. Persamaan
l)
merupakan polinomial interpolasi dengan
i mempunyai
harga tak bulat. Untuk setiap harga x,
た域 ″ 物 翻
b rJv「
25
Sem Genap
20lll20l2
乃 一 ﹃
〓
dimana h : range dari x atau Ax.
2.
Metode Newton
- Gregory Backrvard
Sama seperti Newton-Gregory Forward yaitu polinomial interpolasi yang melalui titik-titik yang berjarak sama. Polinomial derajat n dapat ditulis
pn(x)=Jo*(l)or,
:
*('.,')t,.r-,*('l')o,r,....... (2)
koefisien-koefisien pada Newton Gregory forward dan Newton Gregory Backward dapat dilihat pada tabel different
x xo
(x)
A(x) a2f1x;
a3f1x;
fo
△f0
xl
2f。
fl
△
3f0
△fl
X2
△
f2
2fl
△
3fl
△f2
X3
f3
△ 2f2
△ △f3
X4
f4
Untuk tabel diatas△ ■1=△ f3,A212=△ 2f2dan△ 313=△ 3fl dst.
TUGAS5: 1. Tentukan NIIOlar Volume, cnthalpy dan entropy pada sat liq. dan sat. vapor air pada suhu 20,3° C,24,8° C,27,1° C(Ambil data dari Stcam Table utk range 1524° C)。
2. Persamaan kecepatan dekomposisi N20 dg Pt mengikuti persamaan d(a―
dr
た″
PrarliJtra rJvr
型=々 (a_χ ) l+bx
26
sem Genap 2011/2012
dimana
a
= tekanan mula-mula N2O dlm mm,
x:
penurunan tekanan NzO dlm mm
t : waktu yang diperlukan k dan b adalah konstanta Dekomposisi N2O pada74l
oC
untuk dekomposisi, detik
.
dengan a
=
95 mm, k
:3,36 x
104, b
:
0.0254 Adalah
detik X (mm) T,
315 l0
750 1400 2250 20 30 40
3450 50
Tentukan waktu yang diperlukan agar penurunan tekanan pada dekomposisi sebesar
25;38;
12 mm
.
Modul VI Pendekatan Polinomial (Integrasi Numerik) Tujuan Percobaan
:
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan soal dengan metode integral yaitu metode Trapezoidal, Simpson
l/3,
dan Simpson
3/8.
Dasar Teori
Strategi untuk menjbarkan rumus-rumus integrasi numerik adalah semua
titiktitik
diferensiasi numerik yaitu dicari suatu polinomial yang melalui
fungsi
(titik-titik tabel data) dan kemudian mengintegrasikan polinomial ini. Bila titik-titik tabel berjarak sama, maka digunakan polinomial Newton Gregory Forward bb
ff<*la* =[rn1*1ax
・
…
…
…
…
…
…
(1)
o
Kesalahan integrasi iniadalah
:
Em美
→ い 二夕 1)用
Ada berbagai cara untuk menggunakan persamaan
(a,b) dibuat sama dengan range of
fit
(l).
Kadangkala integrasi
polinomial (Xo,Xn). Betdasarkan rumus
Newton-Cotes terdapat rumus-rumus integrasi numerik dengan berbagai derajat interpolating polynomial. Yang penting (yang sering dipakai) adalh rumus-rumus integrasiyang menggunakan polynomial derajat satu, dua, tiga.
> Untuk n=1:
〓
教
> Untuk n=3:
χ
しげ ｒ 為 ﹁ 巧
1/(χ )あじ=:(ス +バ )
:C亀
+4パ +ん )
/0レ =考 L(元 +3バ +3/2+ス ∫
)
ro
Perlu diperhatikan bahwa error untuk
n:2 dan n = 3 adalah 0 Gs). Ini berarti
bahwa integrasi menggunakan polinomial derajat dua adalah serupa dengan integrasi
た ヽふ
施 御 笏
rrvr
28
Sem Genap
20lll20l2
menggunakan polinom derajat tiga. Pada perhitungan error derajat dua memiliki
koefisien
-ll90
sedangkan pada derajat tiga yaitu
-
3/80. Sehingga rumus yang
didasarkan pada polinomial derajat dua lebih akurat bila dibandingkan dengan
polinomial derajat tiga. Berdasarkan rumus-rumus Newton rumus-rumus integrasinumerik : Trapezoidal, Simpson
-
Cotes ini dijabarkan
l/3 rule, Simpson 3/8 rule.
A. Trapezoidal Rule Dalam aturan trapezoidal, range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian. Dimana pada tiap bagian, harga integrasinya dihitung dengan menggunakan rumus Newton Cotes, khususnya pada polinomial derajat satu.
.
Gambar l.l Grarlk metOde trapezoidal
Bi=ill/(χ )d鷺 =(/(4)+/(■ +1)力 ,maka:
f/(χ )凌
Ы Sa dhitung sebagJ benkut:
f/(χ )激
=Σ a=Σ
:(ズ
十 ズ +1)
十勇+!) =:(バ 十九十/2+五 十五+五 十五十五+。 ¨ =:(ズ +2勇 +2/3+2五 十 十元+1) .¨
Kesalahan′ rapezoidal Rule,yaitu: 「
た″
乃Zた漱 物 rrv「
29
s@
t2 Error ini adalah kesalahan satu tahap, dan karenanya disebut " Local Error
". Global Error adalah total dari kesalahan-kesalahan local
o
GlobalError:
:
n"t"( er)+f "( e2)+f"( er)+..... ( eJl
#
Bila dianggap f " (x) kontinyu pada interval (a,b), maka akan ada harga x dalam interval (a,b) katakanlah
x:
e, dimana harga penjumlahan pada
persamaan Global Error adalah sama dengan n . f
" (e).
Karena n . h: (b-
a), maka GlobalError menjadi:
Global Error: Trapezoidal Rule
:
*.n'
n
f
"( e)
: - (Q.a o) ,, f. (.) = o.(hz) t2
Bial kita tidak tahu bentuk fungsi yang ditabelkan, h2f '1e; diestimasi dari difference kedua.
B. Simpson
ft W"
Dalam hal ini range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian yang tipa bagiannya, harga integrasinya dihitung dengan rumus Newton-cotes menggunakan Polinom derajat kedua.
Gambar l.2 Grarnk untuk metode simpson 1/3 rule
Bi=I1/(χ )教 =:(パ +4/+1+/+2) Dengan kesalahan(Local Erroつ
た″
乃嗽 漱 物 rJv「
:
30
Sem Genap
20lll20l2
,5
LocalError:
-!.f*(.) 90'
lX;(
e (1;*,
b
Harga
VAV. bisa dihitung sebagaiberikut tr/ "[ru>a-
=in, = *r, + 4f,+2f,
Dengan kesalahan (Global Error)
: -f*',
Global Error C. Simpson
:
+ 4fo + ...+
f,*t)
:
,r -f ,, (.)
i Xi
( € (1n*1
W"l"
/f
Dalam hal
ini
range integrasi dibagi-bagi dalam beberapa bagian yang
bagiannya, harga integrasinya dihitung dengan rumus Newton-Cotes menggunakan
Polinomial derajat tiga.
Gambar 1.3 Grafik untuk metode simpson 3/8 s, :
xi*l
i
f@)dx
=*rr,
i3.f,*, +3.f,*z + .f,*r)
xi
Dengan kesalahan (Local Error)
LocalError
:
: -?^lrt.f"(.) 80
ixi < e s
xi*r
b
Harga
VA>a. t/. "!rula-
bisa dihitung sebagai berikut
=f
a,
=*rt,
Dengan kesalahan (Global Enor)
Global Error
Patu
:
+3f, +3f, +2fo +3f, +3fu +2f, + ...* .f,*t) :
o fi" (e\ -a) th'J"le) : -(bg0
ixi(
e(
Xn+l
TUGAS 6 :
1. A homogenous gas reaction A )
3 R has reported rate
at2l5
oC,
-ro
:
l0-2 CAo
s
(mol /liter sec). find the space time needed for 80% conversion of a 50 % A 50%o
inert feed to plug flow reactor operating
at2l5
oC
and 5 atm (Ca6
:0.0625
mol /liter ) ?
2.
The homogenous gas decomposition of phosphine , 4 PHr
)
Pa
+ 6 H2 proceeds
at 1200 oF with first order rate , -rpH3: (10 /hr) Cpm , what size of plug flow reactor operating at 1200 oF and 4.6 atm can produce 80oZ conversion of a feed consisting of 4 lbmol of pure phosphine per hour
3.
Suatu reaksi fase gas orde
2: A
?
3R
direalisasikan di dalam reactor
--f
tubular dengan persamaan laju reaksi -re = k Ca2 dengan k = 0,08 liter mol-l s-l Persamaan neraca massa dalam reactor tersebut adalah
/=鳥 θ l島 v : l0 liter/s dan CAo: I reaksi xr = 80
diIIlana FAo V CAo
:
CA CAo(揚 )
mol/liter, Hitunglah volume reactor (V), jika konversi
7o.
た 曜哺uk助 制 笏 鰤
32
Sem Genap
20lll20l2
Modul
VII
Persamaan Differensial Biasa
Tujuan Percobaan
:
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan persamaan differensial orde satu dan simultan dengan metode Deret Taylor, Euler, dan Runge-Kutta.
Dasar Teori Masalah-masalah dalam teknik dapat dikembalikan ke masalah pemecahan persamaan differensial yang memenuhi kondisi tertentu .Secara umum bentuk dari persamaan differensial adalah
dv
*: f(x,D
:
merupakan persamaan non linear.
Untuk menyelesaikan persamaan differensial biasa ada beberapa metode yang dapat digunakan antara lain
a.
:
Metode Taylor Sebagai contoh, akan diselesaikan suatu persamaan
dyldx: x *
y
; y(0)
=I
Dikembangkan hubungan antara x dan y dengan menggunakan koefisien-koefisien deret Taylor dimana kita ekspansikan y di sekitar x = xo:
y(x)
:
y(xo) + y'(xoXx-x") + v"(xpxx-xs)2
+ ...
2t
Bila diekspansikan x
-
x0
:
h, maka deret di atas dapat ditulis
y(x) = y(x") + y'(xo)h +y"(xJh2
+
:
...
2l Karena y(x6) adalah kondisi awal, suku pertama diketahui karena ekspansi ini di sekitar X
:
0, maka deret Taylor ini sebenamya sama dengan deret Mc Laurin.
Persamaan untuk turunan kedua, ketiga,
dan seterusnya diperoleh
dengan
menurunkan berturut-turut persamaan untuk turunan pertama. Masing-masing dari turunan ini dihitung pada
titik
y"(x) = I + y'
x:0
untuk memperoleh koefisien-koefisiennya.
y"'(x) = y"
ylv(x): y"'
Maka deret yang yelah dikembangkan di atas menjadi
:
y(h) = I + h + h2 + h3l3* error
x:
h adalah harga x yang akan dicari harga y-nya.
Petunjuk Proktikun KNT
33
Sem Genap
20lll20l2
b.
Metode Euler
Metode Euler ialah pengembangan dari metode deret Taylor karena Metode Taylor sulit digunakan bila turunan-turunan fungsinya kompleks dan kesalahan sulit dihitung. Ini adalah kekurangan dasar dari Metode Taylor. Namun dari deret Taylor
dapat diketahui bahwa kesalahan akan kecil bila harga
h
makin kecil.
Pada
kenyataannya, bila harga h cukup kecil hanya diperlukan sedikit suku deret Taylor
untuk mendapatkan ketelitian yang memadai. Metode Euler beranjak dari ide dasar ini.
Misal kita pilih h cukup kecil sehingga kita bisa potong deret ini sampai suku turunan pertama: y(x。 十h)=y(X。 )+hy'(X。 )十 y'(ε ).h2/2,
xo
Dalam menggunakan metode ini, harga y(x") diperoleh dari kondisi awal dan y'(x")
dihitung dari f(xo, yo). Metode ini digunakan secara iteratif sesudah diperoleh penyelesaian pada
x=
xo +h dicari penyelesaian pada
Maka algoritma Metode Euler ialah
/n+l
:
Yn
*
x=
xo + 2h dan seterusnya.
:
hY'n + O(h2)error
Kejelekan dari metode ini adalah kurangnya ketelitian, perlunya step yang kecil. Dengan Metode Euler digunakan koefisien arah pada awal interval
y'n
untuk
menentukan besar perubahan harga fungsi. Nampak bahwa bila digunakan koefisien arah rata-rata pada interrval
Xn
(
x < x61 untuk menentukan harga perubahan y maka
akan diperoleh hasil yang lebih teliti. Pendekatan ini disebut metode Euler yang dimodifikasi.
c.
Metode Euler Modifikasi Seperti yang telah dijelaskan diatas, pada metode modifikasi Euler, untuk
menentukan harga perubahan y digunakan koefisen arah rata-rata pada interval
( Xn+l .Algoritma /n+l
:
metode ini ialah
Xn
(
x
:
y"+ (h/2). (Y'n * y'n*r)
Kita tak bisa langsung menggunakan persamaan in karena kita tak dapat menghitung y'n*r berhubung yn+r tak diketahui. Kesulitan ini diatasi dengan mengestimat€ menggunakan metode Euler biasa dan menggunakan harga
ini untuk
yn+r
menghitung
y'n+t dan menghasilkan harga yn+r /ong terkoreksi.
た 鳩 ″ 物 商 勧 ,r/v「
34
Sem Genap
20lll20l2
Karena y'n+r dihitung menggunakan harga estimasi yang kurang akurat, maka diusahakan untuk mengkoreksi harga yn+r lagi. Oleh karena itu metode modifikasi Euler ini disebut "Euler Predictor Corrector Method".
d.
Metode Runge-Kutta Metode Runge Kutta orde 4 adalah pengembangan dari Metode Runge Kutta
Di sini kita tulis perubahan dari y sebagai rata-rata berbobot dari2
orde 2.
Ay yaitu kr dan k2. untuk persamaan
dyldx: (x,y),
/n+t
:
estimasi
yn*a.kr + b kz
kr:hf(xn,yn) k2: h((xn + oh, yn + p.kr) Harga k1 dan k2 dapat dibayangkan sebagai estimasi perubahan dengan
y bila x
berubah
h karena harga-harga ini merupakan hasil kali perubahan dari x dan harga
koefisien arah (gradien) dari kurva, dyldx.
Metode Runge Kutta selalu menggunakan estimasi Euler sebagai estimasi pertama dari Ay, estimasi kedua diambil dengan harga x bertambah dengan oh
fraksi) dan harga y bertambah dengan P
kl
(B
:
(o:
fraksi). Persoalannya adalah
bagaiaman memilih harga a, b, o, F.
Dari ekspansi deret Taylor dan pengembangan Runge Kutta orde 2 didapat Metode Runge Kutta orde 4 dengan algoritma sebagai berikut 1ln+l
kr
:
:
yn+
116.
:
(kl + 2k2 + 2k3 + k4)
h f(xn,yn)
kz: h f(x"+ rTrh,yn+ t/zk) k:
:
h f(xn+ Yzh ,yn+ Yrkz\
kz:hf(xn+h,yn*kr) Local errornya dari Metode Runge Kutta orde empat adalah global errornya
t
1tt41ne . Metode Runge
4n\tn sedangkan
Kutta orde empat ini sering digunakan
dalam perhitungan-perhitungan dengan komputer. Modifikasi lain dari Runge Kutta telah banyak juga dilakukan
Petu4iuk Praktikun KNT
35
Sem Genap
20lll20l2
TUGAS 7 :
l.
Sebuah tangki dengan diameter 20 m dan beroperasi secara steady state dengan
laju alir liquida masuk 5 m3/s dan linear resistance 2,5 slm2. Tiba-tiba laju alir masuk berubah mengikuti fungsi sinusoidal q=5sin(2nt). Berapa tinggi liquida dalam tangki pada
2.
t:l
menit, 10 menit dan 1jam.
Diketahui persamaan ,bb,
dr'! dx'
= y2 + xy + x2
Pada saat x=1, y=4, dy/dx=0.5.Buat plot y vs x dengan range x=ls/d10 3.
Figure 3. a . Interacting Tanks
Figure 3. b . non Interacting Tanks
Consider Interacting tanks (figure 3.a) and non interacting tanks (figure 3.b)
,
Assume that the flow rate out of tanks is a nonlinear function of tank height, (h ) and liquid phase density is constant . Let
A
represent cross sectional tank Area
and R represent valve parameter . For the following parameter value
:5 ft3lmin,
Ar
: 5 ff , Ar: l0 f
, R1 :2/5 min
I ff's, R2 : { 5
Find height of tank one (h1) and tank two (h2) 100 min later conditions be h1
:
12
ft , andhz:7 ft
た 物 ″ PrarliJlra rrvr
＼ ヽ
:
nint
,
F (feed)
ffs
, if the initial
.
36
Sem Genap
20lll20l2
Modul
VIII
Persamaan Differensial Biasa Tujuan Percobaan
:
Mempelajari dan membandingkan metode-metode numeric untuk menyelesaikan persamaan differensial orde satu dan simultan dengan metode ODE 45 dan ODE 23.
TUGAS 8
:
Suatu reaktor tangki berpengaduk dengan aliran inlet wr. komponen
A
wr
mengandung
saja. Laju alir oulet tangki sebesar w. Volume liquida dalam tangki
konstan sebesar V. Pengadukan dalam tangki bedalan dengan sempurna, suhu dan densitas liquida dianggap konstan. Pada tangki tersebut terjadi reaksi orde satu:
A
B
,K:K
' Dimana pada t: tp, konsentrasi A dalam tangki sebesar C76. Konsentrasi A pada aliran I konstan sebesar C7;..
x1
wl
x w Buatlah model matematika (persamaan diferensial) dari proses di atas yang menunjukkan perubahan konsentrasi dari aliran outlet terhadap perubahan waktu.
Apabila diketahui:
4,5
ソ ノ
10
8
/
50
50
Pefitnjuk Prakfikum KNT
\
つＤ
C′ ′
37
se@
κ
ξυ
あ
0.8
0.5 3
Cn
1,5
1,5
P
1,2
1,2
Hitunglah (secara analitis) konsentrasi A pada outlet pada t kedua macam data yang diketahui.
Pefiqjuk Pralctikun
＼
KNT
38
:
l7 dari
Sekilas Tentang Flowchart
lnput data & Output data
Start&End
Penyambungan satu halaman Petu4iuk Prcktikun KNT
\
lain halaman 39
Sem
Gen-[ 201120-1il
Contoh-contoh listing
if i==1;
ha(1)=ha(1);
end
while i=1; ha(i)=ha(1); ha① 当a(1〉
h暉 )hb(1洸 t(1)■ (1);
hb(i)=hb(1); t(D■ (1);
end
for y=1i-1 sigmaU=sigmaU+L(i,y)
*
U(y,q)
;
end
tn:input('waktu yang diinginkan tn
:');
h:input('interval waktu h =');
diSp([tinggi tangki l=tnum2str(hl(n+1))]); diSp([tinggi tangki 2=ち num2str(h2(n+1))]);
end
た
=…
PrarJiJlra rrvr
40
Sem Genap 200512006
