4.2.13
Cyklometrické funkce
V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) – funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ). Př: Nakresli graf funkce y = cos x . Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci. Nakresli do nového obrázku graf funkce y = cos x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní. 1
-1
Omezím definiční obor pouze na D ( f ) = 0; π .
1
1
-1
1
0
-1
1
-1
Funkce inverzní k funkci y = cos x se nazývá y = arccos x (arkus kosinus).
Př: Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = cos x (s omezeným definičním oborem) a y = arccos x . y = cos x
y = arccos x
D ( f ) = 0; π
D ( f ) = −1;1
funkce je klesající
funkce je klesající
H ( f ) = −1;1
H ( f ) = 0; π
2
2 3 Př: Urči hodnoty funkce y = arccos x , pro x ∈ 1; − ; 0; ; − 1; −2 . 2 2 arccos1 = 0 2 3 arccos − = π 2 4
arccos 0 =
π
2 3 π arccos = 2 6 arccos ( −1) = π
arccos ( −2 ) = neexistuje
(protože cos 0 = 1 ) 3 2 (protože cos π = − ) 4 2 (protože cos (protože cos
π 2
π 6
=0) 3 ) 2
=
(protože cos π = −1 ) (protože funkce y = cos x nemá nikdy hodnotu -2)
Př: Urči pomocí kalkulačky přibližné hodnoty funkce y = arccos x , pro 2 π x ∈ 0, 2; − 0, 7; ; . 3 6 arccos 0, 2 B 78°27′
arccos ( −0, 7 ) B134°26′ 2 arccos B 48°11′ 3 π arccos B 38°15′ 4
Př: Najdi všechna x, pro která platí cos x = −0,8 . Protože -0,8 nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce y = cos x , nemůžeme přesně určit hodnotu úhlu x. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arccos ( −0,8) B143°8′ . Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí cos x = −0,8 pomocí funkce arccos
jako arccos ( −0,8) .
Platí tedy x1 = arccos ( −0,8 ) . Z jednotkové kružnice zjistíme zda existují další taková čísla:
3
1 T x1 x2
S
R1
-1 T -1 Z obrázku je vidět, že v intervalu 0; 2π existují dvě hodnoty x, pro které platí cos x = −0,8 :
x1 = arccos ( −0,8 ) a x2 = 2π − arccos ( −0,8 ) .
Protože funkce y = cos x je periodická s nejmenší periodou 2π , platí cos x = −0,8 i pro všechna další čísla vzdálená o 2π . cos x = −0,8 platí pro všechna čísla U = {arccos ( −0,8 ) + k ⋅ 2π ; 2π − arccos ( −0,8 ) + k ⋅ 2π } . k∈Z
Stejně budeme postupovat u dalších goniometrických funkcí:
Př: Nakresli graf funkce y = tg x . Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci. Nakresli do nového obrázku graf funkce y = tg x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní.
4
4 3 2 1
-1 -2 -3 -4
π π Omezím definiční obor pouze na D ( f ) = − ; . 2 2
5
4 3 2 1
-1 -2 -3 -4
6
4 3 2 1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
Funkce inverzní k funkci y = tg x se nazývá y = arctg x (arkus tangens).
Př: Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = tg x (s omezeným definičním oborem) a y = arctg x . y = tg x
y = arctg x
π π D( f ) = − ; 2 2
D( f ) = R
H(f)=R
π π H ( f ) = − ; 2 2 funkce je rostoucí funkce je lichá
funkce je rostoucí funkce je lichá
3 Př: Urči hodnoty funkce y = arctg x , pro x ∈ 1; − 3; 0; − 1; . 3
7
arctg1 =
π 4
(
)
arctg − 3 = −
π 3
arctg 0 = 0
π
π
= 1) 4 1 (protože tg − π = − 3 ) 3 (protože tg 0 = 0 ) (protože tg
4
π (protože tg − = −1 ) 4
3 π arctg = 3 6
3 π (protože tg = ) 6 3
arctg ( −1) = −
Př: Urči pomocí kalkulačky přibližné hodnoty funkce y = arctg x , pro
x ∈ {−10;0, 4; 2π ;520} .
arctg ( −10 ) B −84°17′ arctg 0, 4 B 21°48′ arctg 2π B 80°57′ arctg 520 B 89°53′ Př: Najdi všechna x, pro která platí tg x = 2 . Protože 2 nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce y = tg x , nemůžeme přesně určit hodnotu úhlu x. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arctg 2 B 63°26′ . Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí tg x = 2 pomocí funkce arctg jako arctg 2 . Platí tedy x1 = arctg 2 .
π π Funkce y = tg x je v rámci své jedné periody (například v intervalu − ; ) prostá (viz. 2 2 graf nahoře) ⇒ nemusím hledat další hodnoty x, protože všechny další už se vyskytují v jiných periodách. tg x = 2 platí pro všechna čísla U = {arctg 2 + k ⋅ π } . k∈Z
Poslední goniometrickou funkcí je funkce y = cotg x .
Př: Nakresli graf funkce y = cotg x . Omez její definiční obor tak, aby bylo možné nalézt inverzní funkci. Nakresli do nového obrázku graf funkce y = cotg x s omezeným definičním oborem a graf funkce k ní inverzní.
8
4 3 2 1
-1 -2 -3 -4
Omezím definiční obor pouze na D ( f ) = ( 0; π ) .
9
4 3 2 1
-1 -2 -3 -4
10
4 3 2 1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
Funkce inverzní k funkci y = cotg x se nazývá y = arccotg x (arkus kotangens).
Př: Srovnej v tabulce vlastnosti funkcí y = cotg x (s omezeným definičním oborem) a y = arccotg x . y = cotg x
y = arccotg x
D ( f ) = ( 0; π )
D( f ) = R
H(f)=R
H ( f ) = ( 0; π )
funkce je klesající
funkce je klesající
3 Př: Urči hodnoty funkce y = arccotg x , pro x ∈ −1; − ; 0; 3 . 3 3 arccotg ( −1) = π 4 3 4 arccotg − = π 3 3
3 (protože cotg π = −1 ) 4 3 4 (protože tg π = − ) 3 3
11
arccotg ( 0 ) = arccotg 3 =
π
(protože cotg
2
π
(protože cotg
6
π 2
π
6
= 0) = 3)
Př: Urči pomocí kalkulačky přibližné hodnoty funkce y = arccotg x , pro x ∈ {0,1;5; − 2} . Problém: Většina kalkulaček neosahuje tlačítko funkce arccotg x ( cot −1 ), kalkulačky mají pouze tlačítko funkce arctg x ( tan −1 ). ⇒ použiju vzorec tg x = ( cotg x ) z hodnoty cotg x určím hodnotu tg x , z té vypočtu x. −1
( cotg x = 0,1 ⇒ tg x = ( 0,1) = 10 , arctg10 B 84°17′ ) −1
arccotg 0,1 B 84°17′ arccotg 5 B11°19′
( cotg x = 5 ⇒ tg x = ( 5 ) = 0, 2 , arctg 0, 2 B11°19′ )
arccotg ( −2 ) B153°26′
−1
( cotg x = −2 ⇒ tg x = ( −2 ) = −0,5 , arctg ( −0,5 ) B 26°34′ , hodnoty −1
funkce y = arccotg x jsou pouze v intervalu ( 0; π ) ⇒ k hodnotě arctg ( −0,5 ) B −26°34′
přičtu π ⇒ arccotg ( −2 ) B153°26′ )
Př: Najdi všechna x, pro která platí cotg x = −3 . Protože -3 nepatří mezi tabulkové hodnoty funkce y = cotg x , nemůžeme přesně určit hodnotu úhlu x. Přibližná hodnota stanovená pomocí kalkulačky je rovna arccotg ( −3) B161°34′ . 1 −1 1 ( cotg x = −3 ⇒ tg x = ( −3 ) = − , arctg − B −18°26′ , hodnoty funkce y = arccotg x jsou 3 3 1 pouze v intervalu ( 0; π ) ⇒ k hodnotě arctg − B −18°26′ přičtu 180° ⇒ 3 arccotg ( −2 ) B161°34′ ) Přesně musíme zapisovat požadovaný úhel, pro který platí cotg x = −3 pomocí funkce arcoctg jako arccotg ( −3) .
Platí tedy x1 = arctg ( −3) .
Funkce y = cotg x je v rámci své jedné periody (například v intervalu ( 0; π ) ) prostá (viz. graf nahoře) ⇒ nemusím hledat další hodnoty x, protože všechny další už se vyskytují v jiných periodách. cotg x = −3 platí pro všechna čísla U = {arctg ( −3) + k ⋅ π } . k∈Z
12
13
