Cvičení k přednášce Kvantová mechanika II

Cvičení k přednášce Kvantová mechanika II Pavel Stránský 13. května 2008

1

1

Spinové systémy, matice hustoty

1.1

Volné mionium

Mionium je vázaný stav (anti-)mionu µ+ s elektronem, podobný např. atomu vodíku. Vznikne při ozařování vzorku svazkem µ+ . Miony se interakcí s látkou zpomalují a při dostatečně malé rychlosti zachytí elektron. S ním vytvoří vázaný stav, který se velmi rychle (řádově za 10−9 s, pro srovnání střední doba života µ+ je τµ+ = 2.2µs) dostane do základního stavu. Důležité je, že jsme schopni připravit miony s konkrétní orientací spinu a že se během deexcitace orientace spinu nemění. Při ozařování slabé fólie kovu je mionium po záchytu elektronu elektricky neutrální a volné a díky tomu může difundovat ven ze vzorku. Nachází-li se mionium v základním stavu, lze interakci spinu mionu a spinu elektronu popsat Hamiltoniánem ˆ = E0 + A σ ˆµ ⊗ σ ˆ e, H 4 kde E0 = −mr c2 α2 /2 (mr je redukovaná hmotnost elektronu a mionu), A je vazebná konstanta (její hodnotu lze určit teoreticky) a ˆµ ⊗ σ ˆe ≡ σ σ ˆµ1 ⊗ σˆe1 + σ ˆµ2 ⊗ σˆe2 + σ ˆµ3 ⊗ σˆe3 , ˆ µ je operátor spinu příslušející mionu, σ ˆ e elektronu1 . přičemž σ • Nalezněte, čemu je rovno σ µ ⊗ σ e , kde σ = (σ1 , σ2 , σ3 ) jsou Pauliho matice. Spočítejte vlastní stavy S a vlastní vektory výsledné matice. Tyto vlastní stavy označte |S, Sz i, kde Sz je projekce spinu složeného systému do směru osy z. • Vyjádřete matici Hamiltoniánu v bázi |sµ , se i, sµ,e ∈ {+, −} a v bázi |S, Sz i. Nalezněte její vlastní hodnoty (pomocí výsledku předchozího kroku). • Uvažujte, že spin mionu, kterým ozařujeme vzorek, má orientaci + ve směru osy z, tj. |ψµ i = |+iµ , spin elektronu má libovolně orientovaný spin |ψe i = α|+ie +β|−ie , |α|2 + |β|2 = 1. Napište vlnovou funkci ψ složeného systému, a to v obou bázích z předchozího bodu. • Nalezněte |ψ(t)i, tj. stav systému v čase t. • Určete pravděpodobnost p+ (t), že v čase t změříte projekci spinu mionu ve směru osy z. Využijte k tomu projektor ˆ µ+ = |+iµ h+|µ . P 1

Hamiltonián se také dá zapsat ekvivalentně ve tvaru ˆ = E0 + A σ ˆµ · σ ˆ e, H 4

ˆ µ,e má nyní trochu jiný význam, je definováno vztahy kde σ ˆµ = σ ˆ ⊗ ˆ1µ σ ˆ e = 1ˆe ⊗ σ. ˆ σ

2

(1.1.1)

• Zopakujte celý výpočet pro případ, že stav elektronu na počátku je smíšený stav popsaný operátorem hustoty 1 1 ρˆe = |+ie h+|e + |−ie h−|e 2 2 (nalezněte matici hustoty složeného systému mion-elektron v čase t = 0, následně v čase t, udělejte parciální stopu přes elektronové stavy, které neměříte, a poté užijte projektoru (1.1.1)).

1.2 1.2.1

Domácí úkol Mionium v křemíku

Zopakujte postup ze cvičení pro Hamiltonián A′ ˆµ ⊗ σ ˆ e + Dˆ σ σµ3 ⊗ σ ˆe3 Hˆ′ = E0 + 4 popisující interakci spinů mionu a elektronu v mioniu, které se po vzniku v krystalové mříži křemíku naváže do mříže, vytvořivši s okolními atomy šesterečnou mříž. Poslední člen v Hamiltoniánu popisuje narušení sférické symetrie interakce. Rotační symetrie okolo osy z však zůstane zachována. Konstanty A′ > 0, D < 0 se určují experimentálně. • Napište matici Hamiltoniánu a spočítejte její vlastní hodnoty a vlastní stavy |S, Sz i. • Nechť dopadající miony jsou polarizovány do kladného směru osy x, tj. |ψµ1 i = |+xiµ . Vyjádřete |ψµ3 i, což je počáteční stav mionu vyjádřený v bázi spinu orientovaného ve směru osy z. • Nechť elektrony jsou před vznikem polarizovány v kladném, resp. záporném směru osy z, tj. uvažujeme dva případy |ψe+ i = |+ie , |ψe− i = |−ie . Nalezněte stav složeného systému elektron-mion v čase t = 0, v čase t a pravděpodobnost, že v čase t naměříte spin mionu orientovaný ve směru osy x pro obě dvě počáteční orientace spinu elektronu. • Spočítejte totéž jako v předchozím bodu pro případ, že jsou elektrony na počátku ve smíšeném stavu 1 1 ρˆe = |+ie h+|e + |−ie h−|e . (1.2.1) 2 2 1.2.2

Harmonický oscilátor při konečné teplotě

Harmonický oscilátor v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě T je od rezervoáru odpojen a následně zainteraguje s dvoustavovým systémem takovým způsobem, že stavy |−i se svážou s lichými stavy oscilátoru, stavy |+i se sudými stavy oscilátoru. Vyjádřete redukovanou matici hustoty, pokud se zajímáme pouze o dvoustavový systém.

3

2

WKB(J) kvaziklasické přiblížení

2.1

Harmonický oscilátor

• Použitím WKB metody odvoďte spektrum a vlnové funkce jednorozměrného harmonického oscilátoru popsaného (již známým) Hamiltoniánem ˆ = 1 pˆ2 + 1 kˆx2 . H 2M 2 • Nakreslete graf vlnové funkce pro dvacátou energetickou hladinu (n = 20) a porovnejte s přesnou vlnovou funkcí, která je řešením Schrödingerovy rovnice a která je určena Hermitovými polynomy r r 1 MΩ 2 4 MΩ √ x. φn (x) = Hn (ξ) e−ξ , ξ = π~ n!2n ~ • Na základě tohoto srovnání diskutujte přesnost WKB metody.

2.2

α rozpad

α rozpad lze modelovat velmi jednoduchým modelem, který nám i přes svoji jednoduchost dovolí získat kvalitativní souhlas s experimentem. Budeme si představovat, že α částice vázaná v jádře tuneluje Coulombickou bariérou. Celý problém popíšeme jednorozměrným potenciálem ( −V0 pro |x| < a V (x) = Zα Ze2 pro |x| > a, x přičemž Z je protonové číslo jádra, Zα = 2 protonové číslo α částice, V0 je kladný parametr, e = α~cq a α je konstanta jemné struktury. • Ve WKB přiblížení odvoďte tzv. Gammovův koeficient průniku 2 T = exp ~

Z

b

a

|p(x)| dx

kde |p(x)| je absolutní hodnota “hybnosti” částice v klasicky nedostupné oblasti vymezené body a, b, které ohraničují bariéru. Nalezněte jeho vyjádření pro uvažovaný model α rozpadu. • Střední dobu života lze aproximovat vztahem τ = Pα1RT , kde Pα je pravděpodobnost, že se v jádře vydělí α částice (budeme předpokládat, že tato pravděpodobnost bude pro uvažovaná jádra ≈ 1) a R je počet “nárazů” α částice na bariéru za sekundu. Odhadněte R a spočítejte τ a poločas rozpadu T1/2 . √ Pro poloměr atomu použijte přibližný vztah a = a0 3 A, A je atomové číslo a . a0 = 1.5 fm. • Porovnejte číselně s hodnotami tří izotopů

4

izotop E (MeV) 144 1.8 60 Nd 224 5.7 88 Ra 212 8.8 84 Po

T1/2 2 · 1015 let 3.6 dne 0.3 µs

• Určete de Broglieovy vlnové délky α částic v jádrech z tabulky a porovnejte je s rozměry jádra. Je WKB aproximace oprávněná?

2.3

Domácí úkol - Coulombické pole

WKB metodu lze aplikovat také na problémy se sféricky symetrickým polem. Schrödingerova rovnice pro radiální část vlnové funkce R(r) obecného sféricky symetrického problému má tvar 1 d 2 d 2m r R(r) + 2 (E − Vef (r)) R(r) = 0, 2 r dr dr ~ kde

~2 l(l + 1) 2mr2 je efektivní potenciál, zahrnující v sobě centrifugální člen. Zavedením substituce R(r) = u(r)/r dostaneme rovnici Vef (r) ≡ V (r) +

d2 u(r) + k 2 (r)u(r) = 0, 2 dr kde k 2 (r) = 2m/~2 (E − Vef ). Ukazuje se, že WKB metoda dává dobré výsledky jedině v případě, aplikujeme-li tzv. Langerovu korekci, která spočívá v nahrazení 1 l(l + 1) → (l + )2 2 (dá se odvodit z asymptotiky vlnových funkcí, původní práci Rudolpha E. Langera lze nalézt v Phys. Rev. 51, 669 (1937)). Vázané stavy lze pak nalézt z rovnice ekvivalentní Bohr-Sommerfeldově kvantovací podmínce Z r2 1 k ′ (r) dr = (nr + )π, 2 r1 přičemž k ′ (r) zahrnuje Langerovu korekci, nr = 0, 1, . . . je radiální kvantové číslo, r1,2 jsou body obratu klasické trajektorie s hybností p′ (r) = ~k ′ (r). Uvažujte konkrétní případ pohybu částice v Coulombickém poli e2 V (r) = − . r • Nalezněte body obratu r1,2 trajektorie s energií E (počítejte s Langerovou korekcí). • Pomocí WKB přiblížení nalezněte spektrum, tj. stavy s energií E < 0. • Porovnejte toto spektrum se spektrem získaným přesným řešením Schrödingerovy rovnice. 5

3

Skládání momentu hybnosti, tenzorové operátory

ˆ (1) , L ˆ (2) , [L ˆ (1) , L ˆ (2) ] = 0, které působí Mějme dva nezávislé operátory impulsmomentů L na Hilbertových prostorech H(1) , H(2) , a jejich součet ˆ=L ˆ (1) + L ˆ (2) L působící na Hilbertově prostoru H = H(1) ⊗ H(2) . Mezi impulsmomenty, resp. jejich složkami platí komutační relace ˆj , L ˆk ] = iǫjkl L ˆl [L ˆj , L ˆ2] = 0 [L ˆ 2 , (L ˆ (1) )2 ] = [L ˆ 2 , (L ˆ (2) )2 ] = 0 [L (1)

(2)

ˆj , (L ˆ )2 ] = [L ˆj , (L ˆ )2 ] = 0 [L To znamená, že na prostoru H můžeme volit za ÚMP tyto množiny operátorů se svými bázemi: ˆ (2) )2 , L ˆ(2) → {|l(1) m(1) i ⊗ |l(2) m(2) i} ˆ (1) )2 , L ˆ(1) , (L (L 3 3 ˆ (1) )2 , (L ˆ (2) )2 , L ˆ2, L ˆ3 (L → {|l(1) l(2) l mi} (běžně se užívá značení |l(1) m(1) i ⊗ |l(2) m(2) i ≡ |l(1) m(1) i|l(2) m(2) i). Platí tedy: (1)

ˆ )2 |l(1) l(2) l mi = l(1) (l(1) + 1)|l(1) l(2) l mi (L (2)

ˆ )2 |l(1) l(2) l mi = l(2) (l(2) + 1)|l(1) l(2) l mi (L ˆ 2 |l(1) l(2) l mi = l(l + 1)|l(1) l(2) l mi L ˆ3 |l(1) l(2) l mi = m|l(1) l(2) l mi L

Mezi oběma bázemi platí vztah |l(1) l(2) l mi =

X

m(1) m(2)

(l(1) m(1) l(2) m(2) |l m)|l(1) m(1) i|l(2) m(2) i

kde (l(1) m(1) l(2) m(2) |l m) jsou Clebsch-Gordanovy koeficienty.

3.1

Explicitní výpočet C-G koeficientů

ˆ± = L ˆ1 ± iL ˆ2 nalezněte C-G Explicitním výpočtem pomocí posunovacích operátorů L (1) (2) koeficienty pro skládání impulsmomentů l = l = 1. Řešení: Budeme užívat zkrácený zápis |l(1) l(2) l mi = |1 1 l mi → |l mi

|l(1,2) m(1,2) i = |1 m(1,2) i → |m(1) i 6

1. Začíná se s vektory s nejvyšší váhou: |2 2i = |1i|1i (Condon-Shortleyova fázová konvence), neboli (1 1 1 1|2 2) = 1. 2. Platí: ˆ± |l mi = α(±) (l, m)|l m ± 1i L p α(±) (l, m) = l(l + 1) − m(m ± 1)

ˆ(2) ˆ (1,2) , přičemž L ˆ± = L ˆ(1) a podobně pro jednotlivé impulsmomenty L ± + L± .

Aplikujme tuto relaci na vektor |2 2i:

ˆ− |2 2i = 2|2 1i L ˆ(2) ˆ− |1i|1i = L ˆ(1) L − |1i|1i + L− |1i|1i = √ = 2 (|0i|1i + |1i|0i) .

Srovnáním dostaneme a tedy

1 |2 1i = √ (|1i|0i + |0i1) , 2 1 (1 0 1 1|2 1) = (1 1 1 0|2 1) = √ . 2

3. Jelikož musí platit m = m(1) + m(2) , dostáváme (1 1 1 1|2 1) = (1 0 1 0|2 1) = (1 − 1 1 0|2 1) = = (1 0 1 − 1|2 1) = (1 − 1 1 − 1|2 1) = 0 4. Další aplikací posunovacího operátoru ˆ− |2 1i = L

√

6|2 0i

ˆ− √1 (|0i|1i + |1i|0i) = L 2 ´ √ √ √ 1 ³√ 2|−1i|1i + 2|0i|0i + 2|0i|0i + 2|1i|−1i = =√ 2 = |−1i|1i + 2|0i|0i + |1i|−1i, neboli

1 |2 0i = √ (|−1i|1i + 2|0i|0i + |1i|−1i) , 6

takže 1 (1 − 1 1 1|2 0) = (1 1 1 − 1|2 0) = √ 6 2 (1 0 1 0|2 0) = √ . 6 Všechny ostatní C-G koeficienty s l = 2, m = 0 jsou nulové. 7

5. Dalšími aplikacemi L− bychom dostali 1 |2 − 1i = √ (|0i|−1i + |−1i|0i) 2 |2 − 2i = |−1i|−1i, a tedy 1 (1 0 1 − 1|2 − 1) = (1 − 1 1 0|2 − 1) = √ 2 (1 − 1 1 − 1|2 − 2) = 1. 6. Hledejme nyní vektor |1 1i. Tento vektor musí být kolmý na |2 1i. Označíme-li |1 1i = c1 |0i|1i + c2 |1i|0i, musí být h2 1|1 1i = 0 c1 c √ + √2 = 0. 2 2 Volme c1 , c2 reálné, |c1 |2 +|c2 |2 = 1 a koeficient u |1i|0i kladný (Condon-Shortley). Pak 1 |1 1i = √ (|1i|0i − |0i|1i) 2 a C-G koeficienty jsou 1 (1 1 1 0|1 1) = √ 2 1 (1 0 1 1|1 1) = − √ . 2 ˆ− dostaneme 7. Aplikací L 1 |1 0i = √ (|1i|−1i − |−1i|1i) 2 1 |1 − 1i = √ (|0i|−1i − |−1i|0i) , 2 takže 1 (1 1 1 − 1|1 0) = √ 2 1 (1 − 1 1 1|1 0) = − √ 2 1 (1 0 1 − 1|1 − 1) = √ 2 1 (1 − 1 1 0|1 − 1) = − √ . 2 8

8. Zbývá poslední stav |0 0i = d1 |1i|−1i + d2 |0i|0i + d3 |−1i|1i. Z podmínek dostáváme soustavu rovnic

h2 0|0 0i = h1 0|0 0i = 0 d 2d √1 + √ 2 + 6 6 d √1 − 2

d √3 = 0 6 d √3 = 0, 2

z které vyplývají vztahy Volme

d1 = d3 = −d2 . 1 |0 0i = √ (|1i|−1i − |0i|0i + |−1i|1i) , 3

a tedy 1 (1 1 1 − 1|0 0) = (1 − 1 1 1|0 0) = √ 3 1 (1 0 1 0|0 0) = − √ . 3 Shrnutí: Obecný postup výpočtu Clebsch-Gordanových koeficientů je tedy takovýto: 1. Vezmeme vektor s nejvyšší váhou |l(1) l(2) l = l(1) + l(2) m = l(1) + l(2) i = |l(1) l(1) i|l(2) m(2) i ˆ− . Tím nalezneme všechny vektory |l(1) l(2) l = 2. Aplikujeme posunovací operátor L (1) (2) l + l mi. 3. Vektor |l(1) l(2) l = l(1) +l(2) −1 m = l(1) +l(2) −1i musí být ortogonální k |l(1) l(2) l = l(1) +l(2) m = l(1) +l(2) −1i a musí být splněna Condon-Shortleyova fázová konvence. ˆ− a ortogonality do té 4. Postupně opakujeme aplikování posunovacího operátoru L doby, než získáme všechny možné vektory |l(1) l(2) l mi.

Všechny Clebsch-Gordanovy koeficienty pro impulsmomenty l(1) = l(2) = 1 jsou uvedeny v tabulce 3.1.

9

m(1) +1 +1 0 +1 0 -1 0 -1 -1

J M m(2) +1 0 +1 -1 0 +1 -1 0 -1

2 2 +2 +1

1 +1

2 0

1 0

0 0

√1 6 √2 6 √1 6

√1 2

√1 3 − √13 √1 3

2 -1

1 2 -1 -2

1 √1 2 √1 2

√1 2 − √12

0

− √12

√1 2 √1 2

√1 2 − √12

1

Tabulka 1: Clebsch-Gordanovy koeficienty pro impulsmomenty l(1) = l(2) = 1. Pokud v tabulce není uvedeno žádné číslo, je příslušný C-G koeficient nulový.

3.2

Vektorový operátor jako ireducibilní tenzor

ˆ (k) ˆ (k) , k = 0, 1, . . . , Pro složky T libovolného ireducibilního tenzorového operátoru T q q = −k, . . . , k (ireducibilního proto, že se transformuje podle příslušné ireducibilní reprezentace grupy SO(3), narozdíl např. od tenzoru vzniklého vzniklého dyadickým součinem dvou vektorů, viz úlohu 6.8) platí ˆ (k) ] = k T ˆ (k) [ˆJ3 , T q q ˆ (k) , ˆ (k) ] = α(±) (k, q)T [ˆJ± , T q±1 q

(3.2.1)

ˆ je operátor impulsmomentu, ˆJ± = ˆJ1 ± iˆJ2 a kde J p α(±) (k, q) ≡ k(k + 1) − q(q ± 1).

ˆ se složkami (V ˆ x, V ˆy, V ˆ z ) se dá přiUkažte, že libovolnému vektorovém operátoru V řadit ireducibilní tenzorový operátor 1. řádu pomocí předpisu ˆ (1) = √1 (V ˆ x − iV ˆy) T −1 2 ˆ (1) = V ˆz T 0 ˆ x + iV ˆ y ). ˆ (1) = − √1 (V T 1 2 Řešení: Důkaz se provede přímým dosazením do vztahů (3.2.1).

10

(3.2.2)

4

Hustota kvantových hladin

Hustota kvantových hladin ρ(E) na energii E souvisí s objemem fázového prostoru Ω(E) =

Z

δ(E − H(x, p)) dn x dn p

(4.0.1)

(H(x, p) je Hamiltonova funkce systému) vztahem ρ(E) =

Ω(E) Ω(E) = n h (2π~)n

(4.0.2)

V jednorozměrném případě lze vztah přepsat na tvar, kde již neintegrujeme δ funkci. Využijeme toho, že pro δ funkci platí δ(f (x)) =

X xj

1 |f ′ (x

j )|

δ(x − xj )

(4.0.3)

f (xj ) = 0 (xj jsou všechny jednoduché kořeny). Rozepíšeme Hamiltonovy funkci pomocí potenciálu, který závisí jen na souřadnici H(x, p) =

1 2 p + V (x). 2m

Pak 1 2 p − V (x)) dx dp = 2m ¯ 1 2 ¯ δ(E − 2m p − V (x)) = Pm [δ(p − P (x)) + δ(p + P (x))] (x) p = ¯¯ P (x) = 2m(E − V (x)) Z 1 = 2m p dx = 2m(E − V (x)) Z √ 1 dx, = 2m p E − V (x)

Ω(E) =

Z

δ(E −

¯ ¯ ¯= ¯

(4.0.4)

kde se integruje přes veškeráRdostupná x (například v případě systému se dvěma body xmax řešením rovnice V (xmin,max ) = E). obratu jsou integrační meze xmin

4.1

Hustota hladin jednorozměrného harmonického oscilátoru

Spočítejte hustotu hladin jednorozměrného harmonického oscilátoru. Řešení: Klasická Hamiltonova funkce harmonického oscilátoru je H(x, p) =

1 2 1 2 p + kx . 2m 2

11

Hustota kvantových hladin podle (4.0.1) je Z 1 2 1 2 Ω(E) = δ(E − p − kx ) dx dp = 2m 2 ¯ ¯ q √ ¯ ¯ 1 ¯ π = 2m p dp = 2m dπ ¯ ¯= q q = ¯¯ ¯ ¯ ξ = k2 x dx = k2 dξ ¯ r Z 4m δ(E − π 2 − ξ 2 ) dξ dπ = k ¯ ¯ ¯ Polární souřadnice ¯ ¯ ¯ 2 ¯= = ¯¯ r = π 2 + ξ 2 ¯ ¯ ¯ dξ dπ = r dr dϕ Z 2π Z ∞ 2 dϕ δ(E − r2 ) r dr = = ω 0 0 ¯ ³ √ √ ´ ¯¯ ¯ 2 = ¯ δ(E − r ) = 2√1E δ(r − E) + δ(r + E) ¯ = Z ∞³ √ ´ √ 2π = √ δ(r − E) + δ(r + E) r dr = ω E 0 2π . = ω q k Využili jsme vlastností δ funkce (4.0.3) a zavedli ω = m . Hustota kvantových hladin tedy je konstantní, nezávisí na energii:

(4.1.1)

2π 1 = hω ~ω To je v souladu se skutečností a s dříve získaným výsledkem, že jednorozměrný harmonický oscilátor má ekvidistantní spektrum. ρ(E) =

Jiný způsob řešení: Využijeme relace (4.0.4). Body obratu jsou r r 2E 2E xmax = , xmin = − k k takže √

Z √ 2E

k 1 dx = √ 2E q 1 2 − E − kx k 2 ¯ ¯ q q ¯ ¯ k k = ¯ a = 2E x da = 2E dx ¯ r Z 4m 1 1 √ = da = k −1 1 − a2 2 = [arcsin a]1−1 = ω 2π = . ω

Ω(E) =

2m

To je ve shodě s řešením (4.1.1). 12

Jiný způsob řešení: Využijeme vlastnosti δ(E − H(x, p)) =

∂ θ(E − H(x, p)) ∂E

která po dosazení do vztahu (4.0.1) dá Z ∂ θ(E − H(x, p)) dx dp = Ω(E) = ∂E Z ∂ = (E − H(x, p)) dx dp ∂E H(x,p)<E V našem případě 1D harmonického oscilátoru dává integrál povrch elipsy S = πab s poloosami r √ 2E b = 2mE, a= k takže po dosazení Ã r ! ∂ 4m 2π Ω(E) = π E = , ∂E k ω což je opět ve shodě s (4.1.1). Jiný způsob řešení: Vyjdeme z Fourierovy transformace δ-funkce: Z ∞ 1 eiκx dκ δ(x) = 2π −∞ Po dosazení do vztahu (4.0.1) a pro náš jednorozměrný harmonický oscilátor dostáváme ZZZ 1 2 1 1 2 Ω(E) = eiκ(E− 2m p − 2 kx ) dκ dx dp = 2π Z Z Z 2 p2 1 −iκ 2m −iκ kx e = dp e 2m dx eiκE dk = 2π ! Ãr ! Z Ãr 2πm 2π 1 = eiκE dκ = 2π iκ iκk Z iκE e 1 dκ = = ω iκ 2π = . ω

4.2

Obrácený oscilátor v jámě

Uvažujte jednorozměrný potenciál daný předpisem ( − 12 kx2 −a ≤ x ≤ a V (x) = ∞ |x| > a

(4.2.1)

(obrácený harmonický oscilátor v nekonečně hluboké pravoúhlé jámě). Spočítejte hustotu kvantových hladin. 13

Řešení: K řešení vyjdeme ze vztahu (4.0.4). 1. E < 0 V tomto případě dostáváme (potenciál je sudý, počítáme jen v oblasti x > 0 a výsledek zdvojnásobíme): Z a √ 1 q Ω(E) = 2 2m q dx = 2|E| 1 2 − |E| + 2 kx k s Z 2m a 1 q =2 dx = q 2|E| k |E| 2−1 x k 2|E| q ¯ ¯ q ¯ ¯ 2|E| k = ¯ b = 2|E| x dx = db ¯ = k q

k

a 2|E| 4 1 √ = db = 2 ω 1 b − 1 ¯ ¯ = ¯ b = cosh z db = sinh z dz ¯ = Z arccosh³q k a´ 2|E| sinh z 4 p = dz = ω 0 cosh2 z − 1 Ãs ! 4 k a , = arccosh ω 2 |E|

Z

kde − 21 ka2 ≤ E ≤ 0.

Hustota hladin je tedy 2 arccosh ρ(E) = π~ω

Ãs

! k a . 2 |E|

2. E > 0 Podobným postupem jako v případě záporné energie dostaneme Ãs ! k 2 ρ(E) = arcsinh a . π~ω 2 |E| Výsledná hustota hladin je znázorněna na obrázku 4.2. Je vidět, že pro E = 0 hustota diverguje. To souvisí s tím, že v klasickém případě je bod obratu při této energii v bodě x = 0 patologický, V ′′ (x = 0) = 0, a patologická je i jediná možná trajektorie při této energii. Částice dostihne bod x = 0 až v nekonečném čase.

14

ΡHEL 5

4

3

2

1

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

E

Obrázek 1: Hustota kvantových hladin pro potenciál (4.2.1) při volbě a = ~ = m = k = 1.

15

4.3

Domácí úkol

Spočítejte hustotu hladin izotropního n-rozměrného harmonického oscilátoru.

16

5

Kulové funkce

Vlnové funkce částice ve sféricky symetrickém potenciálu lze hledat ve tvaru kvadraticky integrovatelných funkcí ψElm (r, θ, φ) = REl (r)Ylm (θ, φ) (5.0.1) s normalizací Z ∞ Z 2 r dr 0

π

sin θ dθ

0

Z

2π

0

∗ dφ ψElm (r, θ, φ)ψE ′ l′ m′ (r, θ, φ) = δEE ′ δll′ δmm′ .

(5.0.2)

ˆ Lˆz , L ˆ2. Za ÚMP jsme zvolili operátory H, Zabývejme se nadále jen úhlovou částí vlnové funkce Ylm (θ, φ). Operátor impulsmomentu má v x-reprezentaci vyjádření (diferenciální operátor) Lj = −iǫjkl xk ∂x∂ k , což se při vyjádření ve sférických souřadnicích rovná µ ¶ ∂ ∂ ˆx = i sin φ + cot θ cos φ L ∂θ ∂φ ¶ µ ∂ ∂ ˆy = i − cos φ + cot θ sin φ L ∂θ ∂φ ˆz = −i ∂ L ∂φ a z těchto vztahů plyne také ¶ ∂ 1 ∂2 1 ∂ sin θ + sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ ∂φ2 µ ¶ ∂ ∂ ±iφ ˆ ˆ ˆ ± + i cot θ L± ≡ Lx ± iLy = e ∂θ ∂φ ˆ2 = − L

µ

ˆ 2 , tj. Funkce Ylm (θ, φ) je vlastní funkcí operátorů Lˆz , L ˆz Ylm = mYlm L ˆ 2 Ylm = l(l + 1)Ylm , L

(5.0.3)

kde l = 0, 1, . . . , m = −l, . . . , l jsou celá čísla. Na základě algabraických vlastností operátoru impulsmomentu také platí ˆ± Ylm = α(±) (l, m)Yl m±1 , L přičemž α(±) (l, m) =

5.1

p

(5.0.4)

l(l + 1) − m(m ± 1).

Konstrukce kulových funkcí

Pomocí rovnic výše uvedených vztahů nalezněte explicitní vyjádření pro vlnové funkce Ylm (θ, φ).

17

Řešení: Rovnice (5.0.3) jsou vlastně soustavou dvou parciálních diferenciálních rovnic pro funkce Ylm (θ, φ). Vyřešit je můžeme separací Ylm (θ, φ) = flm (θ)Φm (φ). Z první z rovnic (5.0.3) dostaneme i

∂ Φm = m Φm ∂φ Φm = NΦ eimφ .

Normalizační koeficient NΦ dostaneme z normalizační podmínky (5.0.2): 1 Φm = √ eimφ . 2π K nalezení funkce flm (θ) bychom mohli zkusit druhou z rovnic (5.0.3): ¶ µ 1 ∂ ∂ 1 2 m flm = l(l + 1)flm − sin θ + sin θ ∂θ ∂θ sin2 θ se substitucí z = cos θ ¶ ∂ ∂ m2 2 + − sin θ flm = l(l + 1)flm ∂z ∂z sin2 θ ¸ · ¢ m2 ∂ ¡ 2 ∂flm flm = 0 1−z + l (l + 1) − ∂z ∂z 1 − z2 µ

Tuto rovnici však není tak jednoduché vyřešit. Mnohem instruktivnější je řešení, které vychází z algebraických vztahů pro operátor impulsmomentu. Víme totiž, že ˆ− Yl −l = 0 L a po dosazení z (5.0.4) e

−iφ

µ

¶ ∂ ∂ − + i cot θ fl −l e−ilφ = 0 ∂θ ∂φ µ ¶ ∂ − + l cot θ fl −l = 0 ∂θ µ ¶ sin θ ∂ cot θ − + l fl −l = 0 cos θ ∂θ

¡a vhodné ¢substituci z = sin θ dořešíme vzniklou obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu ∂ −z ∂z + l fl −l = 0 separací proměnných ∂z ∂fl −l = z fl −l l ln z = N ln fl −l l

fl −l = Nf z l = Nf sinl θ. 18

Do normalizace se pustíme stejně jako u části Φm . Vyjedeme z normalizačního vztahu (5.0.2), podle kterého Z π Z π 2 2 sin θ dθ fl −l = Nf sin2l+1 θ dθ = 1. 0

0

Označme samotný integrál Il a počítejme jej metodou Per partes Z π sin θ sin2l θ dθ = Il = 0 Z π £ ¤π 2l = − cos θ sin θ 0 + 2l cos2 θ sin2l−1 θ dθ 0 Z π ¡ ¢ 1 − sin2 θ sin2l−1 θ dθ = 2l 0

= 2l (Il−1 + Il ),

čímž získáváme rekurzivní vztah Il =

2l Il−1 . 2l + 1

Jeho násobnou aplikací obdržíme Il = a jelikož

a

2l l! 2l l! I0 = I0 (2l + 1)(2l − 1) · · · (2l + 1)!!

(2l + 1)!! = (2l + 1)(2l − 1)!! = (2l)(2l − 1)(2l − 2)(2l − 3)(2l − 4) · · · = = (2l + 1) (2l)(2l − 2)(2l − 4) · · · (2l)! = (2l + 1) l 2 l! Z π sin θ dθ = 2, I0 = 0

dostáváme konečně

¢2 2l l! Il = 2 (2l + 1)(2l)! r (2l + 1)(2l!) 1 Nf = l 2 l! r 2 1 (2l + 1)(2l!) sinl θ fl −l = l 2 l! 2 a celá vlnová funkce Yl −l (θ, φ) zní r 1 (2l + 1)(2l!) Yl −l (θ, φ) = l sinl θ e−ilφ 2 l! 4π Zbývající kulové funkce dostaneme prostým aplikováním diferenciálního operátoru ˆ L+ podle vztahu (5.0.4), tj. ¡

Ylm =

ˆ+ )l+m (L Yl −l α(+) (l, −l) α(+) (l, −l + 1) · · · α(+) (l, m) 19

Poznámka: Kulové funkce se obyčejně vyjadřují pomocí přidružených Legendreových polynomů, definovaných vztahem (1 − x2 )m/2 dl+m Plm (x) = (x2 − 1)l . 2l l! dxl+m Pak s m (−1) 2l + 1 (l − m)! imφ m Ylm (θ, φ) = l e Pl (cos θ) = 2 l! 4π (l + m)! s 2l + 1 (l − m)! imφ 1 1 dl+m = l e (1 − cos2 θ)2 2 l! 4π (l + m)! sinm θ ( d cos θ)l+m Poznámka: Kulové funkce splňují kromě relace ortogonality (5.0.4) ještě l ∞ X X

l=0 m=−l

∗ Ylm (θ, φ)Ylm (θ′ , φ′ ) = δ(cos θ − cos θ′ )δ(φ − φ′ )

Poznámka: Kvadrát absolutní hodnoty kulových funkcí nejnižších řádů je znázorněn na obrázku 5.1. Pokud se zajímáme o orbitaly např. u atomu vodíku, musíme ještě uvážit radiální část vlnové funkce podle vztahu (5.0.1). Hodnota dp = |ψElm (r, θ, φ)|2 r2 sin θ dr dθ dφ pak udává hustotu pravděpodobnosti nalezení částice (elektronu) na souřadnicích (r, θ, φ). To, co se většinou pro ilustraci znázorňuje jako orbitaly (např. v chemii), jsou plochy s konstantní hustotou pravděpodobnosti, tj. plochy, pro které ρ(r, θ, φ) ≡ |ψElm (r, θ, φ)|2 = ρ0 .

20

m=0

m = ±1

m = ±2

m = ±3

Obrázek 2: Hustota pravděpodobnosti ρ(θ, φ) = |Ylm (θ, φ)|2 pro kulové funkce řádu

l = 0, 1, 2, 3. Pravděpodobnost nalezení částice ve směru (θ, φ) je dána výrazem dpY = ρY (θ, φ) sin θ dθ dφ. Hustota pravděpodobnosti je axiálně symetrická podle osy z.

21

6

Wigner-Eckartův teorém

Wigner-Eckartův teorém zní ˆ (k) |b, j mi = ha, J M |T q (k q j m|J M ) ˆ (k) kb, j) (a, JkT = (−1)J+k−j √ 2J + 1 ¶ µ J k j J−M ˆ (k) kb, j) (a, JkT = (−1) −M q m

(6.0.1)

a především dává výběrová pravidla pro hodnoty J, M, k, q, j, m: m+q =M |j − k| ≤J ≤ j + k

(6.0.2)

(trojůhelníková nerovnost)

Dále ˆ (k) kb, j) je redukovaný maticový element. • (a, JkT

ˆ které • a, b jsou další vlastní čísla (může jich být i více) operátoru (operátorů) A, ˆ tvoří ÚMP: spolu s impulsmomentem J ˆ J] ˆ = 0. [A,

ˆ (k) ˆ (k) k-tého řádu. • T q jsou komponenty ireducibilního tenzorového operátoru T • Mezi 3j symbolem a Clebsch-Gordanovými koeficienty platí relace µ ¶ j1 j2 j3 = m1 m2 m3 (j2 m2 j3 m3 |j1 − m1 ) √ = (−1)j2 −j3 −m1 2j1 + 1 (j3 m3 j1 m1 |j2 − m2 ) √ = (−1)j3 −j1 −m2 2j2 + 1 (j1 m1 j2 m2 |j3 − m3 ) √ , = (−1)j1 −j2 −m3 2j3 + 1 přičemž uvedené tři rovnosti plynou ze symetrie 3j symbolů:  Ã !  j j j  1 2 3 j1 +j2 +j3 sign σ = −1  ¶  µ (−1) m m m jσ1 jσ2 jσ3 1 2 3 ! = Ã m σ1 m σ2 m σ3  j1 j2 j3   sign σ = 1   m m m 1 2 3 Další symetrie: µ

j1 j2 j3 −m1 −m2 −m3

¶

j1 +j2 +j3

= (−1)

22

µ

j1 j2 j3 m1 m2 m3

¶

(6.0.3)

Tenzorový součin dvou ireducibilních tenzorových operátorů ˆ (k) = [U ˆ (k1 ) ⊗ V ˆ (k2 ) ](k) W

je dán vztahem pro komponenty

ˆ (k) = W q

X

q1 ,q2

ˆ (k2 ) ˆ (k1 ) V (k1 q1 k2 q2 |k q)U q2 q1

Pro tenzor nultého řádu pak vyplývá X ˆ (0) = ˆ (k2 ) ˆ (k1 ) V W (k1 q1 k2 q2 |0 0)U 0 q2 q1 q1 ,q2

(−1)−k1 X (k1 ) ˆ −q ˆ (k1 ) V =√ (−1)q1 U q1 1 2k1 + 1 q1

a na základě této rovnosti se definuje skalární součin ireducibilních tenzorových operátorů √ ˆ (0) ˆ (k) · V ˆ (k) ≡ (−1)k 2k + 1 W U 0 X q ˆ (k) ˆ (k) = (−1) U V−q . q

q

Tato definice dává pro skalární součin vektorového operátoru stejný výsledek, ať počítáme se sférickými nebo kartézskými komponentami: ˆ ·V ˆ = ˆ (1) · V ˆ (1) = U U

6.1

3 X

ˆjV ˆj. U

j=1

Využití symetrií 3j symbolů

Pomocí symetrií 3j symbolů a znalosti Clebsch-Gordanova koeficientu (j m 0 0|J M ) = δJj δM m (plyne z volby |j1 j1 i|0 0i = |j1 j1 0 m1 i, což je vlastně Condon-Shortleyova fázová konvence) spočítejte Clebsch-Gordanovy koeficienty (0 0 j m|J M ) a (j1 m1 j2 m2 |0 0). Řešení: Pomocí vztahu mezi Clebsch-Gordanovými koeficienty a 3j symboly (6.0.3) nalezneme ¶ µ (−1)j+M δM m δJj J j 0 √ = = −M m 0 2J + 1 (0 0 J M |j m) = (−1)−J−m+J+j √ = 2j + 1 = (−1)J+j (J M j − m|0 0)

a srovnáním a přeznačením dostaneme

(0 0 j m|J M ) = δJj δM m (−1)j1 −m1 δj1 j2 δm1 −m2 . (j1 m1 j2 m2 |0 0) = √ 2j1 + 1 23

6.2

Redukovaný maticový element skalárního operátoru

ˆ (0) . Určete redukovaný maticový element operátoru S Řešení: Pomocí Wigner-Eckartova teorému nalezneme √ ˆ (0) kb, j) = δab δJj 2J + 1 (a, JkS

6.3

Redukovaný maticový element skalárního součinu

ˆ (k) · V ˆ (k) kb, j). Nalezněte redukovaný maticový element skalárního součinu (a, JkU Řešení: Podle výsledku předchozí úlohy je ˆ (0) |b, j mi = √ 1 ˆ (0) kb, j). δab δJj (a, JkW ha, J M |W 0 2J + 1 Na druhou stranu X (−1)q−k (k) ˆ (k) V ˆ −q √ |b, J M i = U q 2k + 1 q X (−1)q−k ˆ (k) |c, j ′ m′ ihc, j ′ m′ |V ˆ (k) |b, J M i = √ ha, J M |U = q q 2k + 1 qcj ′ m′ µ ¶ X (−1)q−k J k j′ ′ J−M ˆ (k) √ (−1) = ′ (a, JkU kc, j )∗ −M q m 2k + 1 qcj ′ m′ ¶ µ ′ j k j j ′ −m′ ˆ (k) kB, J) = (c, j ′ kV ∗ (−1) −m′ −q m ¶ µ X (−1)q−k J k j′ ′ J−M ˆ (k) √ = (−1) ′ (a, JkU kc, j )∗ −M q m 2k + 1 qcj ′ m′ ¶ µ ′ j k J j ′ −m′ j ′ +k+J ˆ (k) kb, J) = (c, j ′ kV ∗ (−1) (−1) m′ q −M ¶ µ X (−1)q−k J k j′ ′ J−M ˆ (k) √ = (−1) ′ (a, JkU kc, j )∗ −M q m 2k + 1 qcj ′ m′ ¶ µ J k j′ j ′ −m′ ˆ (k) kb, J) = (c, j ′ kV ∗ (−1) −M q m′ ¶ µ (−1)J−k X J k j′ j′ −q−m′ −M ˆ (k) kc, j ′ )∗ =√ (a, JkU (−1) (−1) −M q m′ 2k + 1 qcj ′ m′ ¶ µ J k j′ ˆ (k) kb, J) = (c, j ′ kV ∗ −M q m′ (−1)−k (−1)J X ′ ˆ (k) kc, j ′ )(c, j ′ kV ˆ (k) kb, J), (−1)j (a, JkU =√ 2k + 1 2J + 1 cj ′

ha, J M |

24

kde jsme užili pro 3j symboly relací symetrie a relaci ortogonality X µ j1 j2 j3 ¶ µ j1 j2 j ′ ¶ 1 3 = δj j ′ δm m′ δ(j1 , j2 , j3 ). ′ m1 m2 m3 m1 m2 m3 2j3 + 1 3 3 3 3 m m 1

2

Srovnáním dostaneme

ˆ (k) · V ˆ (k) kb, j) = (a, JkU X 1 ′ ˆ (k) kc, j ′ )(c, j ′ kV ˆ (k) kb, j) (−1)j (a, JkU = δJj (−1)J √ 2J + 1 cj ′

6.4

(6.3.1)

Redukovaný maticový element impulsmomentu

ˆ Nalezněte redukovaný maticový element operátoru impulsmomentu J. Řešení: Redukovaný maticový element stačí počítat pro jednu sférickou komponentu tenzoru (1) Jˆ(1) . Výhodné je zvolit si ˆJ0 = ˆJz . Pak ha, J M |ˆJ3 |b, J mi = m δab δJj δM m . Na druhou stranu (uvažujeme již J = j) ha, J M |ˆJ3 |b, J mi = = δM m (−1)J+1−J 1

(1 0 J M |J M ) √ (a, JkJˆ(1) kb, J) = 2J + 1

(a, JkJˆ(1) kb, J), J(J + 1)(2J + 1) p neboť (1 0 J M |J M ) = −m/ J(J + 1). Srovnáním dostáváme p (a, JkJˆ(1) kb, j) = δab δJj J(J + 1)(2J + 1) = δM m p

6.5

Projekce vektoru na impulsmoment

Nalezněte redukovaný maticový element skalárního součinu libovolného vektorového ˆ s impulsmomentem J. ˆ operátoru V Řešení: Využijeme vztahu pro skalární součin tenzorových operátorů (6.3.1). Podle něj ˆ · Vkb, ˆ j) = (a, JkJˆ(1) · V ˆ (1) kb, j) = (a, JkJ (−1)J δJj X ′ ˆ (1) kb, J) = = √ (−1)j (a, JkJˆ(1) kc, j ′ )(c, j ′ kV 2J + 1 cj ′

p (−1)J δJj ˆ (1) kb, J) = = √ (−1)J J(J + 1)(2J + 1) (a, JkV 2J + 1 p ˆ (1) kb, J) = (−1)2J δJj J(J + 1) (a, JkV 25

6.6

Projekční teorém

ˆ Dokažte, že pro maticové elementy diagonální v J a pro libovolný vektorový operátor V platí rovnost ˆ ˆ ˆ J mi = ha, J M | J · V J|b, ˆ J mi ha, J M |V|b, (6.6.1) 2 ˆ J Řešení: Na obou stranách jsou tenzorové operátory, můžeme tedy využít Wigner-Eckartův teorém a dokázat jen pro jednu komponentu. Levá strana: ˆ 3 |b, J mi = ha, J M |V (1 0 J M |J M ) ˆ (1) kb, J) = √ (a, JkV 2J + 1 M ˆ (1) kb, J) = δM m p (a, JkV J(J + 1)(2J + 1)

= δM m (−1)J+1−J

Pravá strana:

ˆ·V ˆ J ˆ 2 J3 |b, J mi = ˆ J M ˆ · V|b, ˆ J Mi = ha, J M |J = δM m J(J + 1) M (0 0 J M |J M ) ˆ (1) · Jˆ(1) kb, J) = = δM m (a, JkV (−1)J+0−J √ J(J + 1) 2J + 1 p M ˆ (1) kb, J) = √ (−1)2J J(J + 1) (a, JkV = δM m J(J + 1) 2J + 1 M ˆ (1) kb, J) = δM m p (a, JkV J(J + 1)(2J + 1)

ha, J M |

Obě strany se rovnají.

6.7

Magnetický moment

ˆ S, ˆ [L, ˆ S] ˆ = 0, které složíme na celkový impulMějme dva nezávislé impulsmomenty L, smoment ˆ=L ˆ + S. ˆ J ˆ2, S ˆ 2, J ˆ2 , ˆJ3 : Nechť |(ls)jmi jsou vlastní vektory operátorů L ˆ 2 |(ls)jmi = l(l + 1)|(ls)jmi L

ˆ 2 |(ls)jmi = s(s + 1)|(ls)jmi S

ˆ2 |(ls)jmi = j(j + 1)|(ls)jmi J ˆJ3 |(ls)jmi = m|(ls)jmi

Definujme operátor (magnetický moment) ˆ + gS S, ˆ ˆ = gL L µ 26

(6.7.1)

přičenž gL , gS jsou reálné parametry. Spočítejte diagonální maticový element ˆ h(ls)jm|µ|(ls)jmi. Řešení: Předně z výběrových pravidel pro projekci impulsmomentu W-E teorému vyplývá, že h(ls)jm|ˆ µx |(ls)jmi = h(ls)jm|ˆ µy |(ls)jmi = 0, (1)

ˆ x,y jsou zapsané ve sférických komponentách pomocí lineární kombinace µ neboť mu ˆ±1 a m ± 1 6= m. K výpočtu maticového elementu µ ˆz užijeme projekční teorém (6.6.1): h(ls)jm|ˆ µz |(ls)jmi = ˆ·µ ˆ J = h(ls)jm| 2 ˆJz |(ls)jmi = ˆ J m ˆ · µ|(ls)jmi ˆ h(ls)jm|J = j(j + 1) Dále ˆ·µ ˆ + S) ˆ · (gL L ˆ + gS S) ˆ = ˆ = (L J 2

2

ˆ + gS S ˆ + (gL + gS ) L ˆ·S ˆ = gL L

ˆ·S ˆ využijeme standardní trik (spin-orbitální vazba) a k vyjádření L ˆ2 = (L ˆ + S) ˆ · (L ˆ + S) ˆ =L ˆ2 + S ˆ2 + 2 L ˆ · S, ˆ J takže

ˆ·S ˆ = 1 (J ˆ2 − L ˆ2 − S ˆ 2 ). L 2 Po dosazení a využití relací (6.7.1) dostaneme výsledek h(ls)jm|ˆ µz |(ls)jmi =

6.8

gL − gS 1 m(gL + gS ) + [l (l + 1) − s (s + 1)] 2 2j(j + 1)

Domácí úkol

ˆ S ˆ s kartézskými komponentami R ˆj, S ˆk . Uvažujte dva libovolné vektorové operátory R, ˆ jk = R ˆjS ˆk . Kartézské složky tenzoru vzniklého jejich dyadickým součinem označme T • Pomocí vztahu pro tenzorový součin tenzorových operátorů X ˆ (k) ≡ ˆ (k1 ) S ˆ(k2 ) T (k1 q1 k2 q2 |k q)R q q1 q2 q1 ,q2

ˆ jk . ˆ (0) , T ˆ (1) , T ˆ (2) a vyjádřete je pomocí T nalezněte sférické komponenty tenzorů T

27

ˆ jk (což je libovolný tenzor • Ukažte, že rozepíšeme-li kartézské komponenty tenzoru T 2. řádu) jako ˆ jk = ˆJjk + A ˆ jk + B ˆ jk , T kde ˆJjk ≡ 1 (T ˆ 11 + T ˆ 22 + T ˆ 33 )δjk 3 ˆ jk − T ˆ kj ) ˆ jk ≡ 1 (T A 2 ˆ jk ≡ 1 (T ˆ jk + T ˆ kj ) − ˆJjk B 2 ˆ je násobek jednotkového tenzoru, A ˆ je antisymetrický tenzor a B ˆ je symetrický (J ˆ A, ˆ resp. B ˆ tvoří právě kartézské komponenty tenzor s nulovou stopou), pak J, (0) ˆ , prvního řádu T ˆ (1) , resp. druhého řádu tenzorového operátoru nultého řádu T ˆ (2) . T

28

7

Přibližné metody

Poruchová metoda ˆ který lze rozložit na součet Mějme Hamiltonián H, ˆ =H ˆ 0 + λH ˆI H ˆ 0 je známé a nedegenerované, tak, že spektrum H

X m

ˆ 0 |φm i = E (0) |φm i H m hφm |φn i = δmn

|φm ihφm | = ˆ1,

ˆ I je malá porucha (interakce) řízená parametrem λ (λ = 0 v neporušeném případě, aH řešení pro λ = 1 hledáme; mocnina λ ve výsledku koresponduje s řádem opravy). ˆ a příslušné vlastní energie lze Předpokládáme, že vlastní vektor Hamiltoniánu H vyjádřit ve tvaru součtu |χm (λ)i = Em (λ) =

∞ X n=0

∞ X

λn |χ(n) m i (n) λn Em

n=0

ˆ m (λ)i = Em (λ)|χm (λ)i H|χ (0)

(přičemž platí |χm i ≡ |φm i), n udává řád opravy. Upustili jsme od normalizace vektorů (n) |χm i, avšak požadujeme, aby hφm |χm (λ)i = 1. V tomto označení platí pro první opravu

(1) ˆ I |φm i Em = hφm |H X hφn |H ˆ I |φm i |χ(1) i = |φn i m (0) (0) n6=m Em − En

(7.0.1)

a pro druhou opravu (2) Em =

X |hφn |H ˆ I |φm i|2 (0)

n6=m

(0)

Em − En

(7.0.2)

Druhá oprava k základnímu stavu je vždy záporná. Výsledné stavy vyjádřené do daného řádu N lze následně nanormovat. Pokud je spektrum H0 degenerované, pak uvedenou metodu nelze použít (to lze triviálně nahlédnout například z toho, že v prvním z výrazů v (7.0.1) by byla nejednoznačnost ve volbě vlastního vektoru |φm i, a také že ve jmenovatelích výrazů (7.0.1) a (7.0.2) bychom dostávali nuly). Předpokládejme, že platí ˆ 0 |φmj i = Em |φmj i H hφmj |φmk i = δjk . 29

ˆ 0 příslušejícím k Všechny vlastní vektory v charakteristickém podprostoru operátoru H (1) vlastní hodnotě Em jsou indexovány druhým indexem. První opravu Emj a příslušné vlastní vektory na tomto podprostoru získáme diagonalizací   (1) ˆ I |φm1 i − Em ˆ I |φm2 i hφm1 |H hφm1 |H ... (1)  ˆ I |φm1 i ˆ I |φm2 i − Em hφm2 |H . . . det  hφm2 |H (7.0.3) =0 .. .. ... . . Porucha může degeneraci sejmout buď úplně, nebo jen částečně.

Variační metoda2 ˆ Pak Nechť E0 je přesná energie základního stavu systému popsaného Hamiltoniánem H. pro libovolný (normalizovatelný) vektor |ψi z Hilbertova prostoru H tohoto systému platí ˆ hψ|H|ψi E0 ≤ hψ|ψi Pokud máme nějakou množinu testovacích funkcí |θi ∈ M ⊂ H, pak nám základní stav nejlépe aproximuje minumum funkcionálu Emin = min E[|θi] = |θi∈M

ˆ hθ|H|θi . hθ|θi

V praxi se užívá takové množiny vektorů |θ(λ)i, která je zcela parametrizována sadou čísel λ. Pak ˆ hθ(λ)|H|θ(λ)i . Emin = min E(λ) = (7.0.4) λ hθ(λ)|θ(λ)i

7.1

Dvouhladinový systém

Nalezněte energie a vlastní vektory dvouhladinového systému ! Ã (0) E 0 1 ˆ0 = H (0) 0 E2 s poruchou ˆI = H

0 V V∗ 0

µ

¶

Proveďte přesný i poruchový výpočet a pro případ degenerovaného i nedegenerovaného neporušeného spektra. Řešení: Přesné řešení: Přesný výpočet diagonalizací (viz 1. cvičení zimního semestru) dává spektrum (0)

(V )

(0)

(V )

E1 = E1 + E1

E2 = E2 + E2 , 2

Běžně se označuje jako Ritzova variační metoda.

30

(7.1.1)

kde (V )

−E1

(V )

= E2

=

∆E 2

(0)

(0)

s 

(0)

 ¯ ¯ ¯ 2V ¯2 ¯ − 1 ≥ 0 1 + ¯¯ ∆E (0) ¯

(7.1.2)

∆E (0) = E2 − E1 ≥ 0 a normalizované vlastní vektory 1 |ψ1 i = √ N

Ã

1 (V )

E1 V

!

à (V ) ! E2 1 V∗ |ψ2 i = √ 1 N ¯ (V ) ¯2 ¯E ¯ ¯ 1,2 ¯ N =1+¯ ¯ . ¯ V ¯

Poruchová metoda - nedegenerovaný případ:

Vyjdeme ze vztahů (7.0.1) a (7.0.2). Jelikož µ ¶ µ ¶ 0 1 , |φ2 i = |φ1 i = 1 0 dostáváme ¶µ ¶ 1 =0 0 ¶µ ¶ µ ¡ ¢ 0 V 0 (1) =0 E2 = 0 1 1 V∗ 0 ¶µ ¶ µ ¡ ¢ 0 V 1 µ ¶ µ ¶ 0 1 ∗ 0 V 0 V∗ 0 0 (1) |χ1 i = =− (0) (0) (0) 1 1 ∆E E1 − E2 ¶µ ¶ µ ¡ ¢ 0 V 0 µ ¶ µ ¶ 1 0 ∗ 1 V 0 V 1 1 (1) |χ2 i = = (0) (0) (0) 0 0 ∆E E2 − E1 (1) E1

¢ = 1 0 ¡

µ

0 V V∗ 0

a pro druhou opravu k energii ¯ ¶ µ ¶¯2 µ ¯¡ ¢ 0 V 1 ¯¯ ¯ 0 1 ¯ 0 ¯ V∗ 0 |V |2 (2) E1 = = − (0) (0) ∆E (0) E1 − E2 ¯ ¶ µ ¶¯2 µ ¯¡ ¢ 0 V 0 ¯¯ ¯ 1 0 ∗ ¯ 1 ¯ V 0 |V |2 (2) E2 = = . (0) (0) ∆E (0) E2 − E1

31

(7.1.3)

Závěrem tedy můžeme shrnout, že poruchová teorie nám dala aproximaci (po normalizaci vlastních vektorů |χi → |ψi) |V |2 ∆E (0) |V |2 (0) E2′ = E2 + (0) Ã∆E ! 1 1 (2) |ψ1′ i = √ E 1 N′ à V(2) ! E2 1 V∗ |ψ2′ i = √ ′ 1 N ¯ (2) ¯2 ¯E ¯ ¯ 1,2 ¯ ′ N =1+¯ ¯ ¯ V ¯ (0)

E1′ = E1 −

(7.1.4)

(výsledek byl cíleně převeden do tvaru, který se podobá přesnému řešení (7.1.1) a (7.1.2)). Poznámka: Pokud předpokládáme, že porucha je malá, tj. |V | ≪ ∆E (0) , můžeme (7.1.2) rozvinout do řady užitím √ x x2 x3 1+x≈1+ − + + ··· . 2 8 16 Tím dostaneme aproximaci |V |2 |V |4 E1 = − + + ··· ∆E (0) (∆E (0) )3 |V |2 |V |4 (0) E2 = E1 + − + ··· ∆E (0) (∆E (0) )3 (0) E1

která se v řádu do |V |2 shoduje s řešením získaným poruchovou teorií (7.1.4). Podobnou shodu bychom dostali i u vlastních vektorů. Poruchová metoda - degenerovaný případ: Diagnonalizujeme-li v podprostoru příslušejícím jediné dvakrát degenerované neporu(0) (0) šené energetické hladině E1 = E2 ≡ E (0) pomocí vztahu (7.0.3), vidíme, že získáme přesný výsledek (7.1.2). To lze zobecnit: pokud porucha nemíchá stavy mezi jednotlivými podprostory, které odpovídají různým hodnotám energie, pak použití vztahu pro degenerovanou poruchovou teorii dá exaktní výsledek (diagonalizace).

7.2

Van der Waalsova interakce

Uvažujte dva atomy vodíku, přičemž vektor vzájemné polohy jejich jader R míří od prvního atomu k druhému, polohy elektronů vůči příslušným atomům jsou udány vektory r1 , r2 . Pro dostatečně velkou vzájemnou vzdálenost atomů vůči vzdálenostem jejich elek(0) tronů a při hrubé aproximaci En≥2 ≈ 0 (to značí, že všechny energie jednotlivých atomů 32

vodíku kromě základních stavů berte jako nulové) nalezněte opravu k energii základního stavu systému a rozhodněte, zda uvažovaná interakce bude přitažlivá či odpudivá. Výpočet provádějte v adiabatické aproximaci, tj. předpokládejte, že atomy se vůči sobě nepohybují. Řešení: Jako neporušený Hamiltonián budeme uvažovat Hamiltonián dvou neinteragujících atomů vodíku. Jeho spektrum známe. Oprava (porucha) pak bude dána interakcemi konstituentů jednoho atomu s konstituenty atomu druhého. ˆ =H ˆ0 + H ˆI H ˆ 21 ˆ2 e2 e2 p ˆ0 = p H + 2 − − ˆr2 2m 2m ˆr1 2 2 2 2 ˆI = e + e − ¯ e ¯ − ¯ e ¯ H ¯ ¯ˆ ¯ ¯ˆ ˆ ˆr R − ˆr1 ¯ ¯R + ˆr2 ¯ ¯R

V interakčním Hamiltoniánu souvisí¯ jednotlivé ¯členy postupně s interakcí kladně nabi¯ ¯ˆ + ˆr2 − ˆr1 ¯), interakcí prvního jádra s elektronem tých jader, interakcí elektronů (ˆr = ¯R druhého atomu a interakcí druhého jádra s elektronem prvního atomu. Za předpokladu, že rozměry atomů jsou mnohem menší než jejich vzájemná vzdálenost, můžeme vzít jen nejnižší členy multipólového rozvoje 1 1 1 1 ∂ 1 ∂2 = − ri + ri rj − ··· = |R − r| R ∂Ri R 2 ∂Ri ∂Rj R µ ¶ Ri Rj 1 R i ri 1 3 2 − δij ri rj + · · · = = + 3 + R R 2R3 R µ ¶ (R · r)2 R·r 1 1 2 3 + − r + ··· = + R R3 2R3 R2 ´ ³ (R·r)2 R·r 2 . Užitím rozvoje pro HI dosta5 − 3r Další člen multipólového rozvoje je 2R 5 R2 neme pro jednotlivé řády: (0)

HI

(1)

HI

(2)

HI

=0 i e2 h ˆ ˆ · ˆr2 − R ˆ · ˆr1 = 0 = R · (ˆr1 − ˆr2 ) + R ˆ3 R  ³ ´2 ˆ · (ˆr1 − ˆr2 ) R 2 e  − (ˆr1 − ˆr2 )2 − = 3 2 3 ˆ ˆ R 2R  ³ ´2 ³ ´2 ˆ ˆ R · ˆr2 R · ˆr1  −3 + ˆr22 − 3 + ˆr12  = ˆ2 ˆ2 R R ³ ´³ ´  ˆ · ˆr1 R ˆ · ˆr2 2 R e   ˆr · ˆr − 3 = ˆ3 1 2 ˆ2 R R 33

ˆ 1,2 = −e ˆr1,2 ). Budeme (to je vlastně interakční energie dvou dipólových momentů M (2) ˆI ≈ H ˆ . nadále uvažovat H I Zvolme souřadnou soustavu speciálně tak, aby osa z směřovala ve směru spojnice jader atomů od prvního jádra ke druhému. Označme složky ˆr1 = (ˆx1 , ˆy1 , ˆz1 ), stejně pro vektor ˆr2 . Pak " # 2 ˆ z1 )(Rˆ ˆ z2 ) e ( Rˆ ˆI = ˆx ˆx + ˆy1ˆy2 + ˆz1ˆz2 − 3 H = ˆ3 1 2 ˆ2 R R =

e2 [ˆx ˆx + ˆy1ˆy2 − 2ˆz1ˆz2 ] . ˆ3 1 2 R

Hledáme opravu k základnímu stavu dvou volných atomů vodíku |φ1 i = |n = 1 l = 0 m = 0i1 |n = 1 l = 0 m = 0i2 ≡ |1i|2i (zavedli jsme zjednodušené označení |1, 2i ≡ |n = 1 l = 0 m = 0i1,2 ). Atomy jsou nerozlišitelné, vlnový vektor tudíž musí být symetrický vůči záměně částic. To je splněno. 1. oprava k energii je dle poruchové teorie (1) ˆ I |φ1 i = E11 = hφ1 |H i e2 h h1|ˆx1 |1ih2|ˆx2 |2i + h1|ˆy1 |1ih2|ˆy2 |2i − 2h1|ˆz1 |1ih2|ˆz2 |2i . = ˆ3 R

K určení maticových elementů využijeme výběrová pravidla Wigner-Eckartova teorému (6.0.2). Komponenty vektorových operátorů ˆr1,2 lze vyjádřit pomocí komponent tenzorových operátorů 1. řádu, viz (3.2.2), takže k = 1, komponenty označme q. Výběrová pravidla pak dávají J = j ± 1 a M = m + q, kde v našem případě J ≡ l = 0, j ≡ l = 0, M = m = 0. To není splněno pro žádnou ze složek operátorů ˆr1,2 , takže všechny maticové elementy na pravé straně výrazu pro 1. opravu jsou nulové. 1. oprava k energii je tedy nulová. 2. oprava k energii základního stavu dává ¯2 ¯ ¯ ¯ ˆ X ¯h2|h1|HI |n1 l1 m1 i|n2 l2 m2 i¯ (2) E11 = ≈ (0) (0) (0) 2E1 − En1 − En2 n1 6=1 n2 6=1 l1 m1 l2 m2

≈ = =

1 (0) 2E1

1

(0) 2E1

1

(0) 2E1

X

ˆ I |n1 l1 m1 i|n2 l2 m2 ihn1 l1 m1 |hn2 l2 m2 |H ˆ I |1i|2i = h2|h1|H

(7.2.1)

¡ ¢ ˆ I 1ˆ − |1i|2ih2|h1| H ˆ I |1i|2i = h2|h1|H ˆ 2 |1i|2i, h2|h1|H I

(0)

kde jsme využili aproximace En≥2 ≈ 0, relací úplnosti a nulovosti maticových elementů ˆ I |1i|2i. Správně bychom měli počítat se symetrickými vlnovými vektory, neboť h2|h1|H máme nerozlišitelné částice, avšak výsledek by byl stejný (díky užití relací úplnosti). Platí 4 £ ¤ ˆ 2 = e ˆx2ˆx2 + ˆy2ˆy2 + 4ˆz2ˆz2 + 2ˆx1ˆx2ˆy1ˆy2 − 4ˆx1ˆx2ˆz1ˆz2 − 4ˆy1ˆy2ˆz1ˆz2 . H 2 2 1 2 1 1 I ˆ6 R

34

Maticový element dá pro smíšené členy (poslední tři v závorce) symetrii základního stavu. Ze symetrie také vyplývá 1 h1|ˆx21 |1i = h1|ˆy12 |1i = h1|ˆz21 |1i = h1|ˆr12 |1i, 3 takže druhou opravu k energii lze nakonec vyjádřit jako (2)

E11 =

e4 (0)

£

¤ h1|ˆx21 |1ih2|ˆx22 |2i + h1|ˆy12 |1ih2|ˆy22 |2i + 4h1|ˆz21 |1ih2|ˆz22 |2i =

2E1 R6 6 e4 h1|ˆr12 |1ih2|ˆr22 |2i = (0) 6 9 2E1 R

Přejděme do x-reprezentace. Energetické hladiny atomu vodíku jsou En(0) = −

e2 1 a0 n2

a radiální část vlnové funkce základního stavu zní R10 (r) = hr|100i =

3

2 3/2 a0

e

− ar

0

,

(7.2.2)

1 kde a0 = ~2 /(mcα) je Bohrův poloměr, α ≈ 137 konstanta jemné struktury. Počítáme maticový element Z 4 ∞ − ar 2 − ar 2 2 e 0 r e 0 r dr = h100|ˆr |100i = 3 a0 0 Z 4 ∞ 4 − a2r r e 0 dr = = 3 a0 0 Z 4 a0 ∞ 3 − a2r r e 0 dr = · · · = =− 34 a0 2 0 4 ³ a0 ´5 h − a2r i∞ e 0 = = − 3 4! a0 2 0 ³ a ´5 4 0 = 3 24 = a0 2 = 3a20

a když ho dosadíme do vztahu pro 2. opravu energie, získáme konečný výsledek (2)

E11 =

3e2 a50 e4 6 4 9a = − 0 (0) 6 R6 2E1 R 9 1

(7.2.3)

Oprava je záporná, lze z ní tedy usuzovat na přitažlivost sil mezi atomy a na její rychlý pokles s narůstající vzdáleností. (0) Kdybychom nepoužili aproximaci En≥2 ≈ 0, pak na základě vztahu pro druhou opravu k energii (7.2.1) můžeme kvalitativně diskutovat velikost sil působících mezi atomy. Atomy nemusí být nutně vodíkové, můžeme uvažovat zcela libovolné, pouze √ Celá vlnová funkce základního stavu je hr, θ, φ|100i = R10 (r)Y00 (θ, φ), kde Y00 (θ, φ) = 1/ 4π. Úhlovou a radiální část lze od sebe odseparovat (viz též (5.0.2)) a my budeme počítat maticový element operátoru, který na úhlovou část nepůsobí, proto nám stačí uvažovat pouze radiální část. 3

35

musí dostatečně přesně platit, že lze na atom nahlížet jako na soustavu kladně nabitého centra (jádro + elektrony z vnitřních slupek) a okolo obíhající valenční elektron. Pak vidíme, že Van der Waalsova síla je tím větší, čím jsou větší rozměry atomů a tím větší, čím jsou hladiny blíže u sebe. Zatímco základní stav neporušeného systému dvou atomů není degenerovaný, excitované stavy degenerované být mohou. Pak musíme použít degenerovanou poruchovou teorii, která nenulově přispěje k opravě již v 1. řádu. To znamená, že excitované stavy se budou ovlivňovat silněji pro velké vzdálenosti, velikost opravy bude klesat jen jako ∼ 1/R3 .

7.3

Aproximace základního stavu nekonečně hluboké potenciálové jámy

Pomocí variačního principu nalezněte nejlepší aproximaci základního stavu nekonečně hluboké potenciálové jámy pološířky a ( 0 |x| < a V (x) = ∞ |x| > a s testovací funkcí

θλ (x) = hx|θ(λ)i = aλ − |x|λ

a srovnejte s přesným řešením

~2 π 2 2m 4a2 1 πx φ1 (x) = √ cos 2a a E1 =

Řešení: K řešení užijeme vztahu (7.0.4), přičemž minimalizaci budeme provádět přes jediný parametr λ. Výpočet spočívá ve dvou krocích:

36

1. Výpočet střední hodnoty Hamiltoniánu pro vlnovou funkci θλ (x): Ra ∗ d2 ~2 ˆ θ (x) dx − 2m hθ(λ)| H|θ(λ)i 2 θλ (x) dx −a λ ¯ H(λ) ≡ = Ra = 2 hθ(λ)|θ(λ)i |θ (x)| dx λ −a ¯ ¯ v čitateli i jmenovateli integrujeme sudé funkce = ¯¯ – stačí počítat na intervalu (0; a) ¢ d2 ¡ λ ¢ Ra¡ a − xλ dx ~2 0 aλ − xλ dx 2 = =− Ra λ − xλ )2 dx 2m (a 0 ¢ Ra¡ λ a − xλ xλ−2 dx ~2 0 = = λ(λ − 1) R a 2λ 2m (a − 2xλ aλ + x2λ ) dx 0 £ 1 λ λ−1 ¤ 1 2λ−1 λ a x − x ~2 λ−1 2λ−1 0 ¤ λ(λ − 1) £ 2λ = = 1 2 2m aλ xλ+1 + 2λ+1 x2λ+1 a x − λ+1 =

¯ ¯ ¯= ¯

1 1 − 2λ−1 ~2 λ−1 = λ(λ − 1) 1 2 2ma2 + 2λ+1 1 − λ+1 2λ−1−λ+1

~2 (λ−1)(2λ−1) = λ(λ − 1) (λ+1)(2λ+1)−2(2λ+1)+λ+1 = 2 2ma (λ+1)(2λ+1)

=

~ (λ + 1)(2λ + 1) 4ma2 (2λ − 1) 2

¯ 2. Výpočet minima funkce H(λ):

¯ ∂ H(λ) =0 ∂λ (2λ + 2 + 2λ + 1)(2λ − 1) − 2(λ + 1)(2λ + 1) = 0 4λ2 − 4λ − 5 = 0 Minimum je dáno kladným kořenem √ 1+ 6 λmin = ≈ 1.723 2 a po dosazení dostáváme √ 2 6+5 2 ~ ¯ min ) = Emin ≡ H(λ = 2 8ma 2 √ 2 6+5 E0 ≈ = π2 ≈ 1.00298E0

Vidíme, že i s velice jednoduchou testovací funkcí, závislou jen na jednom parametru, jsme dostali velice přesný odhad energie základního stavu.

7.4

Domácí úkol - Hopík

Částice o hmotnosti m hopká v homogenním (např. gravitačním) poli, přičemž od podložky se odráží bez ztráty energie. Uvažovaný potenciál je ( mgz z > 0 V (z) = ∞ z<0 37

1. Řešení pomocí WKB metody: • Nalezněte body obratu, má-li částice energii E.

• Pomocí WKB přiblížení vypočítejte všechny energetické hladiny.

• Nalezněte WKB vlnové funkce v klasicky dostupné i nedostupné oblasti. Vlnové funkce nemusíte normovat. 2. Hledání základního stavu variační metodou: • Podle asymptotického chování potenciálu navrhněte vhodnou testovací funkci s jedním parametrem (druhý bude fixovat normalizaci). • Nalezněte optimální hodnotu parametru a jemu odpovídající přibližnou energii základního stavu. 3. Srovnáním energií základního stavu získaných oběma metodami určete, která metoda dává základní stav přesněji.

38

8

Nestacionární poruchová teorie

Schödingerův, Heisenbergův, Diracův obraz ˆ který lze rozložit na část H ˆ 0 nezávisející na Mějme systém popsaný Hamiltoniánem H, ˆ čase a na časově závislou poruchu HI : ˆ =H ˆ0 + H ˆ I (t). H(t) Dále mějme v čase t0 vektor |ψ(t0 )i popisující stav systému, libovolný časově neˆ a časově závislý operátor B(t). ˆ závislý operátor A Fyzikální závěry se nezmění, pokud ˆ provedeme unitární transformaci danou unitárním operátorem U: ˆ |ψ ′ i = U|ψi ˆ′ = U ˆA ˆU ˆ† A Tuto transformaci můžeme učinit v každém čase t obecně různou. V praxi se užívají tři takovéto tranformace (fyzikálně ekvivalentní obrazy). 1. Schrödingerův obraz ˆ t0 )|ψ(t0 )i |ψ(t)i = U(t,

ˆ B(t) ˆ A,

(operátor A zůstává v čase konstantní, operátor B(t) se mění podle svého funkčního předpisu). ˆ t0 ): Diferenciální rovnice (spolu s počáteční podmínkou) pro evoluční operátor U(t, ˆ t0 ) ∂ U(t, ˆ U(t, ˆ t0 ) ˆ 0 , t0 ) = ˆ1, = H(t) U(t ∂t která má v případě, že Hamiltonián nezávisí na čase, řešení i~

ˆ 0) ˆ t0 ) = e− ~i H(t−t U(t,

Z evoluční rovnice pro evoluční operátor plyne rovnice pro stavový vektor (časová Schrödingerova rovnice) ∂|ψ(t)i ˆ i~ = H(t)|ψ(t)i. ∂t 2. Heisenbergův obraz ˆ † (t, t1 )|ψ(t)i = |ψ(t1 )i = konst. |ψ H (t; t1 )i = U ˆ H (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) A ˆ U(t, ˆ t1 ) A ˆ H (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) B(t) ˆ U(t, ˆ t1 ) B (t1 je vnější parametr). Stavový vektor se s časem nemění. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: ∂|ψ H (t; t1 )i =0 ∂t ˆ H (t; t1 ) 1 ˆH ∂A ˆ H (t)] = [A (t; t1 ), H ∂t i~ Hˆ ˆ H (t; t1 ) 1 ˆH ∂B ˆ H (t)] + ∂t1 B(t) = [A (t; t1 ), H ∂t i~ ∂t 39

|ψ H (t1 ; t1 )i = |ψ(t1 )i ˆ H (t1 ; t1 ) = A ˆ A ˆ H (t1 ; t1 ) = B(t ˆ 1 ), B

kde jsme definovali

ˆ ˆ ∂tH1 B(t) ˆ † (t, t1 ) ∂ B(t) U(t, ˆ t1 ). ≡U ∂t ∂t

ˆ U(t; ˆ t1 )] = 0, pak Pokud máme systém v časově neproměnném vnějším poli, tj. [H, ˆ H (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) H ˆ U(t, ˆ t1 ) = H. ˆ H 3. Diracův (interakční) obraz ˆ † (t; t1 )|ψ(t)i |ψ D (t; t1 )i = U 0 D ˆU ˆ 0 (t, t1 ) ˆ (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) A A 0

ˆ D (t; t1 ) = U ˆ † (t, t1 ) B(t) ˆ U ˆ 0 (t, t1 ) B 0 Zde

ˆ 0 (t, t1 ) = e− ~i H0 (t−t1 ) U ˆ 0 , tj. řešení diferenciální rovnice je evoluční operátor Hamiltoniánu H i~

ˆ 0 (t, t1 ) ∂U ˆ0 U ˆ 0 (t, t1 ) =H ∂t

ˆ 0 (t1 , t1 ) = ˆ1, U

Bez újmy na obecnosti volíme čas t1 stejný jako v případě obrazu Heisenbergova. Diferenciální rovnice pro stavový vektor a pro operátory: i~

∂|ψ D (t; t1 )i ˆ D (t; t1 )|ψ D (t; t1 )i =H I ∂t ˆ D (t; t1 ) 1 ˆD ∂A ˆ D (t; t1 )] = [A (t; t1 ), H I ∂t i~ Dˆ ˆ D (t; t1 ) 1 ˆD ∂B ˆ D (t; t1 )] + ∂t1 B(t) = [B (t; t1 ), H I ∂t i~ ∂t

|ψ D (t1 ; t1 )i = |ψ(t1 )i ˆ D (t1 ; t1 ) = A ˆ A ˆ D (t1 ; t1 ) = B(t ˆ 1 ), B

kde (podobně jako u obrazu Heisenbergova) ˆ ˆ ∂tD1 B(t) ˆ † (t, t1 ) ∂ B(t) U ˆ 0 (t, t1 ). ≡U 0 ∂t ∂t Řešení první rovnice lze psát ve tvaru ˆ t0 ; t1 )|ψ D (t0 ; t1 )i, |ψ D (t; t1 )i = S(t, kde evoluční operátor v Diracově obraze ˆ t0 ; t1 ) = U ˆ † (t, t1 )U(t, ˆ t0 )U ˆ 0 (t0 , t1 ) S(t, 0 je řešením diferenciální rovnice i~

ˆ t0 ; t1 ) ∂ S(t, ˆ D (t; t1 )S(t, ˆ t0 ; t1 ) =H I ∂t

40

ˆ 0 , t0 ; t1 ) = ˆ1 S(t

(8.0.1)

V Heisenbergově i Diracově obrazu se objevuje vnější parametr t1 , který vlastně udává čas, ve kterém se operátory i stavové vektory všech tří uvedených obrazů rovnají. Můžeme volit t1 = 0 a pak nebudeme tento parametr ve vzorcích explicitně vypisovat. Pokud H0 představuje volný Hamiltonián, pak se zavádějí ještě Møllerovy operátory ˆ t0 ) Ω(±) = lim S(0, t0 →∓∞

a operátor S-matice

ˆ = lim S(t, ˆ t0 ). S t→+∞ t0 →−∞

Řešení rovnice (8.0.1) lze hledat ve tvaru integrální rovnice, kterou lze vyjádřit ve formě řady Z i t ˆD ˆ ˆ 1 , t0 ) dt1 = ˆ S(t, t0 ) = 1 − H (t1 )S(t ~ t0 I ¾ ½ Z t Z t1 i i D D ˆ (t2 )S(t ˆ 2 , t0 ) dt2 dt1 = ˆ (t1 ) ˆ1 − H H = ˆ1 − (8.0.2) ~ t0 I ~ t0 I ∞ X ˆ(n) (t, t0 ), = S n=0

kde

ˆ(0) = ˆ1 S Z i t ˆD (1) ˆ S = H (t1 ) dt1 ~ t0 I .. . ¶n Z t µ Z tn−1 Z t1 i D D (n) ˆ D (tn ) dtn · · · dt2 dt1 ˆ (t2 ) · · · ˆ (t1 ) ˆ = − H H H S I I I ~ t0 t0 t0

(8.0.3)

Rozvoj (8.0.2) lze formálně sečíst. Jelikož však Diracovy obrazy Hamiltoniánu v ˆ D (tj ), H ˆ D (tk )] 6= 0 pro tj 6= tk , různých časech mezi sebou navzájem nekomutují, [H I I ˆ j (t) ve musíme užít T-součin, definovaný následujícím způsobem: Nechť operátory A stejném čase komutují, tj. nechť [Aj (t), Ak (t)] = 0. Pak ³ ´ ˆ N (tN ) · · · A ˆ 1 (t1 ) ≡ A ˆ i (ti ) · · · A ˆ i (ti ) T A tiN ≥ tiN −1 ≥ · · · ≥ ti1 1 1 N N Užitím T-součinu můžeme psát

µ ¶ Z i t ˆD ′ ′ ˆ S(t, t0 ) = T exp − H (t ) dt ~ t0 I Poznámka: Diferenciální rovnici (8.0.1) můžeme také zkoušet v bázi |φm i řešit přímo. Označíme-li ˆ t0 )|φi i, Sf i (t, t0 ) ≡ hφf |S(t,

pak dostaneme i~

∂Sf i (t, t0 ) X ˆ HIf m (t) eiωf m t Smi (t, t0 ) = ∂t m

Sf i (t0 , t0 ) = δf i

což je soustava vázaných obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu. Soustavu lze explicitně vyřešit například pro dvouhladinový systém. 41

Nestacionární poruchová teorie Stejně jako u stacionární poruchové teorie budeme i zde předpokládat, že spektrum ˆ 0 známe: Hamiltoniánu H

X m

ˆ 0 |φm i = E (0) |φm i H m hφm |φn i = δmn

|φm ihφm | = ˆ1.

Maticové elementy rozvoje evolučního operátoru v Diracově obraze (8.0.2) v této bázi označíme jako (n) ˆ(n) (t, t0 )|φi i Sf i (t, t0 ) ≡ hφf |S

a pro jednotlivé členy (8.0.3) dostaneme (0)

Sf i (t, t0 ) = δf i Z i tˆ HIf i (t1 ) eiωf i t1 dt1 =− ~ t0 µ ¶2 X Z t Z t1 i (1) ˆ Imi (t2 ) eiωmi t2 dt1 dt2 ˆ If m (t1 ) eiωf m t1 H Sf i (t, t0 ) = − H ~ t0 t0 m

(1) Sf i (t, t0 )

kde jsme zavedli

4

´ 1 ³ (0) (0) ωf i ≡ Ef − Ei ~

ˆ I (t)|φi i HIf i (t) ≡ hφf |H

Pravděpodobnost přechodu z počátečního stavu |φi i připraveného v čase t0 do koncového stavu |φf i v čase t je Pi→f (t0 → t) ≡ |hφf (t)|φi (t0 )i|2 ¯ ¯2 D ¯ = ¯hφD f (t)|φi (t0 )i ¯2 ¯ ¯ ¯ ˆ = ¯hφf |S(t, t0 )|φi i¯

a v poruchové teorii dostáváme

¯ ¯2 ¯ (1) ¯ (1) (2) Pi→f (t0 → t) = ¯Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + · · · ¯

Pro časově neproměnnou poruchu zapnutou v čase t0 dostaneme do 1. řádu poruchové teorie 2π Pi→f (t0 → t) = |HIf i |2 δ∆t (ωf i )∆t (8.0.4) ~ kde ∆t = t − t0 a ω ∆t 1 sin2 f 2i ∆t→∞ −−−−→ δ(ωkj ) δ∆t (ωf i ) ≡ 2 ∆t ω fi π 2

4

ˆ I (t)|ii. Někdy budeme pro jednoduchost psát HIf i (t) = hf |H

42

je funkce, která má v okolí nuly ostré maximum pološířky ≃ 2π∆t a výšky ∆t/2π. Za dobu ∆t tedy dojde k přechodům prakticky pouze v oblasti tohoto maxima, tj. ωf i .

2π ∆t

¯ ¯ ¯ (0) (0) ¯ a označíme-li ∆E (0) ≡ ¯Ef − Ei ¯, dostaneme

∆E (0) ∆t . 2π~

Tento vztah se nazývá relace neurčitosti mezi časem a energií. (0) Pokud lze na okolí Ei pohlížet jako na kontinuum hladin (jedná se o přechod do spojité části spektra, nebo je v tomto okolí velké množství diskrétních hladin), pak se (8.0.4) píše ve tvaru Fermiho zlatého pravidla ¯ Pi→F (t0 → t) 2π ¯ = |HIf i |2 ρf (E)¯ (0) ∆t ~ E≃Ei

wi→F (t0 → t) ≡

(8.0.5)

což je rychost přechodu z počátečního stavu i do celého jeho okolí f ∈ F , na kterém je |HIf i |2 přibližně konstantí. Hustotu hladin ρf (E) lze spočítat například pomocí postupu uvedeném v sekci 4. Pro harmonickou poruchu o frekvenci ω ˆ I = hˆ(+) eiωt +hˆ(−) e−iωt H

(8.0.6)

dostaneme užitím podobného postupu jako v případě konstantní poruchy vztah ωf i ≃ ±ω,

(0)

(0)

tj. Ef ≃ Ei ± ~ω

platící za předpokladu, že porucha je zapnuta po dostatečně dlouhý čas. Fermiho zlaté pravidlo v tomto případě zní ¯ 2π ¯¯ (+) ¯¯2 ¯ wi→F (t0 → t) = ¯hf i ¯ ρf (E)¯ (0) ~ E≃Ei −~ω ¯ ¯ ¯ 2π ¯ (−) ¯2 ¯ = ¯hf i ¯ ρf (E)¯ (0) ~ E≃Ei +~ω

(8.0.7)

(8.0.8)

Pokud máme periodickou poruchu, která není harmonická, můžeme ji pomocí Fourierovy tranformace na periodickou rozložit a počítat pravděpodobnost přechodu pro každou složku zvlášť.

8.1

Fotoelektrický jev

Nechť atom vodíku, který je popsán Hamiltoniánem e2 ˆ0 = 1 p ˆ2 − , H ˆr 2m je vystaven elektromagnetickému vlnění s vektorovým potenciálem A(ˆr, t) = 2A0 ǫ cos (κ · ˆr − ωt)

(8.1.1)

(vektor ǫ určuje polarizaci vln, κ = nω/c je vlnový vektor určující směr postupu vlny) a skalárním potenciálem Φ(ˆr, t) = 0. 43

1. Nalezněte interakční Hamiltonián. 2. Nalezněte hustotu pravděpodobnosti vztaženou na jednotku času (rychlost přechodu) jevu, kdy kdy atom vodíku nacházející se v základním stavu emituje elektron do oblasti prostorového úhlu (Ω, Ω + dΩ) (fotoelektrický jev). 3. Určete diferenciální účinný průřez výše uvedeného jevu. Řešení: 1. Interakční Hamiltonián Hamiltonián atomu vodíku, popisující interakci jeho elektronu s elektromagnetickým polem, zní ´2 ³ e2 e ˆ (H−EM) = 1 p ˆ 2 − A(ˆr, t) + e Φ(ˆr) − H ˆr 2m c Počítáme ve speciální (Coulombické) kalibraci ∇·A=0

Φ = 0.

Hamiltonián v ní lze přepsat do tvaru e2 ˆ (H−EM) (t) = H ˆ 0 − e A(ˆr, t) · p ˆ+ A(ˆr, t) · A(ˆr, t) ≈ H mc mc2 ˆ 0 − e A(ˆr, t) · p ˆ, ≈H mc ˆ I (t) = − e A(ˆr, t) · p ˆ a dosakde jsme zanedbali člen úměrný |A(ˆr)|2 . Označíme H mc díme za vektorový potenciál monochromatickou vlnu (8.1.1): ¢ ¡ ˆ I (t) = − eA0 ei(κ·ˆr−ωt) + e−i(κ·ˆr−ωt) ǫ · p ˆ H mc

(8.1.2)

Nás bude zajímat excitace, stačí tedy brát pouze část ˆ I (t) = hˆ e−iωt H eA0 iκ·r ˆ. e ǫ·p hˆ = − mc 2. Rychlost přechodu

Vlnová funkce základního stavu atomu vodíku je rovna

5

1 − r ψi (r) = R10 (r)Y00 (θ, φ) = p 3 e a0 . πa0

5

Vlnová funkce konečného stavu volného elektronu je ovlivněna Coulombickým polem jádra. Toto pole je však rychle odstíněno látkou, která se v okolí jádra vyskytuje, a proto budeme brát elektron jako volný, jehož vlnovou funkci vyjádříme jako 1 eik·r ψf (r) = p 3 (2π~)

Jedná se o radiální i úhlovou část vlnové funkce, srovnej s (7.2.2) a s ní související poznámkou.

44

kde k je vlnový vektor elektronu s energií Ee , Ee =

~2 k 2 . 2m

Výpočet přechodu mezi spojitou a diskrétní částí spektra zjednodušíme tím, že budeme považovat elektron nikoliv za zcela volný, ale za uzavřený v krabici (nekonečně hluboké potenciálové jámě) o objemu V . Budeme předpokládat, že krabice je tak velká, že neovlivní příliš spektrum atomu vodíku (stačí, aby neovlivnila základní stav, se kterým počítáme). Nakonec provedeme limitu V → ∞. Vlnová funkce elektronu v krabici zní

1 ψf′ (r) = √ eik·r . V V tomto případě je k důsledkem konečných rozměrů kvantovaná veličina. Pokud je však objem V dostatečně velký, lze s ní nadále počítat jako se spojitou. Při výpočtu hustoty hladin volného elektronu vyjdeme ze vztahů (4.0.1) a (4.0.2). Objem fázového prostoru klasicky se pohybujícího volného elektronu v krabici je podle (4.0.1) ¶ Z Z µ 1 2 3 ΩPS (E) = d x δ E− p d3 p = 2m V ¶ Z Z ∞ µ 1 2 2 p p dp. δ E− =V dΩ 2m 0 Ω Budeme se ptát po hustotě hladin s vlnovým vektorem mířícím do elementu prostorového úhlu dΩ, tj. dρ(E) dΩPS (E) 1 = = 3 dΩ (2π~) dΩ ¶ Z ∞ µ 1 2 2 V p p dp = δ E− = (2π~)3 0 2m ´ ³ √ V 2m √ = 2mE p2 dp = δ p − (2π~)3 2 2mE V 2m √ = 2mE = 3 (2π~) 2 2mE √ V m = 2mE (2π~)3 či v závislosti na veličině k dρ(k) V = ~km dΩ (2π~)3 K výpočtu pravděpodobnosti, resp. rychlosti přechodu použijeme Fermiho zlaté

45

pravidlo (8.0.8). Maticový element, který se v něm objevuje, zní ˆ = hf i = hf |h|ii Z eA0 ′ =− ψf∗ (r) eiκ·r ǫ · p ψi (r) d3 r = mc Z i~eA0 − ar 3 i(κ−k)·r 0 d r = p = ǫ · e ∇ e mc πa30 V Z r i~eA0 iq·r r − a0 p =− d3 r = e ǫ · e 3 r mca0 πa0 V i~eA0 p =− ǫ · I(q) mca0 πa30 V

(8.1.3)

kde jsme označili q ≡ κ − k. Integrál I(q) vypočítáme následující úvahou. Jediný vektor, na kterém integrand integrálu závisí, je q. To znamená, že integrál musí být možné vyjádřit jako I = qI Budeme tedy počítat výraz Z q · r − ar 3 2 q I = eiq·r e 0 dr= r ¯ ¯ ¯ Sférické souřadnice (r, θ, φ) ¯ ¯= = ¯¯ osa z paralelní s vektorem q ¯ Z π Z 2π Z ∞ − ar iqr cos θ e qr cos θ sin θ dθ dφ = = r e 0 dr 0 0 0 ¯ ¯ = ¯ u = cos θ du = − sin θ dθ ¯ = Z 1 Z ∞ Per partes − ar 0 eiqru u du = dr re = 2πq 0 (−1 ) · ¸1 Z 1 Z ∞ 1 iqru 1 − ar e u eiqru du = − r e 0 dr = 2πq iqr iqr −1 0 −1 ½ ¾ Z ∞ ¢ ¢ i ¡ iqr 1 ¡ iqr − ar −iqr −iqr r e 0 dr = −2πqi e +e + = e −e qr (qr)2 0 Z ∞ ½ ³ ³ ´ ´¾ −r a1 −iq −r a1 +iq 0 0 +e dr− r e = −2πi 0 Z ½ ³ ³ ´ ´¾ 2π ∞ −r a1 +iq −r a1 −iq 0 0 − −e dr = e q 0 2π J2 = −2πi J1 − q Platí

Z

Z

0

∞

0 ∞

1 α Z 1 ∞ −αr 1 dr = e dr = 2 α 0 α

e−αr dr =

r e−αr

46

(pro α > 0), takže J1 = ³

1 1 a0

= 2a0

J2 =

1 a0

=−

+ iq

´2 + ³

1 − q 2 a20

1 1 a0

− iq

2 ´2 = a0

(1 − iqa0 )2 + (1 + iqa0 )2 2

(1 + q 2 a20 )

=

2

(1 + q 2 a20 ) 1 1 − iqa0 − 1 − iqa0 1 − 1 = a0 = 1 + q 2 a20 + iq − iq a0

2iqa20 1 + q 2 a20

a po dosazení dostaneme 1 − a20 q 2

¸ 1 = q I= 2 − 1 + q 2 a20 (1 + q 2 a20 ) 1 − a20 q 2 − 1 − a20 q 2 = −4πia20 = 2 (1 + q 2 a20 ) 8iπa40 q 2 = 2 (1 + q 2 a20 ) 2

−4πia20

·

neboli I=

8iπa40 2

(1 + q 2 a20 )

q.

Maticový element zní i~eA0 8iπa40 p 2 ǫ · (κ − k) mca0 πa30 V (1 + q 2 a20 ) i~eA0 8iπa40 p =− 2 ǫ · k, mca0 πa30 V (1 + q 2 a20 )

hf i =

neboť ǫ · κ = 0, což plyne z vlastností Coulombické kalibrace.

Nyní již máme v rukou vše, co potřebujeme k použití Fermiho zlatého pravidla (8.0.8). Dosadíme a dostaneme dwi→f 2π dρ = |hf i |2 = dΩ ~ ¯ dΩ ¯2 ¯ ¯ 4 2π ¯ 8iπa0 V i~eA0 ¯ p = ~km = ¯ 2 ǫ · k¯¯ 2 3 2 ¯ ~ mca0 πa0 V (1 + q a0 ) (2π~)3 =

16 (eA0 )2 (ǫ · k)2 ka30 π~ mc2 (1 + q 2 a20 )4

(8.1.4)

3. Účinný přůřez Účinný průřez procesu je definován jako počet procesů i → f za jednotku času dělenou celkovým tokem částic. V našem případě je to absorbovaná energie za jednotku času dělená tokem energie dopadajícího elektromagnetického záření. 47

Absorbovaná energie za jednotku času je dána součinem rychlosti přechodu (8.1.4) a energie, která se absorbuje a která je rovna ~ω: Ui→f = ~ω

dwi→f dΩ

Tok energie je součin rychlosti přenosu energie a hustoty energie: µ 2 ¶ 2 Bmax 1 Emax + = Φ=c 2 8π 8π ¯ ¯ ¯ ¯ E = −1 ∂ A B = ∇ × A c ∂t ¯= = ¯¯ ω ¯ Emax = Bmax = 2A0 c c 1 ω2 = |A0 |2 = 2 π c2 1 ω2 = |A0 |2 2π c a po dosazení 2π~c 1 dwi→f dσi→f = = dΩ ω |A0 |2 dΩ 32e2 (ǫ · k)2 ka30 = mcω (1 + q 2 a20 )4 Zaveďme ještě souřadnou soustavu tak, aby vektor polarizace ǫ mířil do směru osy x, vlnový vektor dopadající vlny κ do směru osy z. Ve sférických souřadnicích dostaneme ǫ · k = k sin θ cos φ q 2 = k 2 − 2k · κ + κ2 = k 2 − 2k

³ ω ´2 ω cos θ + c c

Při výpočtu jsme uvažovali, že Coulombické pole neovlivní pohyb vyraženého elektronu a ten se pohybuje jako volný. To platí pouze v případě, že k > gg |E0 |, kde E0 je energie základního stavu atomu. Tuto aproximaci lze rozvést ještě dál. Energie, kterou získá vylétávající elektron, je díky tomuto přiblížení rovna energii dopadajících fotonů: √ √ 2mEe 2mωc k= = . ~ ~ Jelikož κ = ω/c, dostáváme κ ~k p v κ =k 2 = = = k k 2mc 2mc 2c a můžeme aproximovat ´ ³ v 1 + q 2 a20 ≈ 1 + k 2 a20 1 − cos θ ≈ c ´ ³ v 2 2 ≈ k a0 1 − cos θ . c

Diferenciální účinný průřez bude

32e2 sin2 θ cos2 φ dσi→f = ¡ ¢ . dΩ mcω (ka0 )5 1 − vc cos θ 4 48

Ten nabývá maxima pro φ = 0 a pro θ dané rovnicí d sin2 θ ¡ ¢ =0 dθ 1 − vc cos θ ´4 ³ ´3 ³ v v v 2 2 sin θ cos θ 1 − cos θ − 4 sin θ sin θ 1 − cos θ = 0 c c c v v 2 2 cos θ − 2 cos θ − sin2 θ = 0 c c a tedy

 ¸ c · ³ ´ v 2 c ≈ vv . cos θ = −1 ± 1 ± 4 ≈ v 2 2c 2v c c První řešení nevyhovuje, pravá strana je větší než 1. Maximální pravděpodobnost emise je tedy do směru q ¡ ¢2 −1 ± 1 + 8 vc

θ=

v π −2 2 c

φ=0

Poznámka: Integrál (8.1.3) lze vypočítat též jiným způsobem. V p-reprezentaci budeme posunovat operátor ∇ vlevo. Posunutí skrz člen eiκ·r lze provést přímo díky Coulombické kalibraci (směr šíření elektromagnetické vlny je kolmý na polarizaci). Posunutí skrz člen e−ik·r provedeme pomocí integrace Per partes. Povrchový příspěvek je 0 a gradient po zapůsobení na tento člen dá pouze faktor −ik, který je možné vytknout před integrál. Integrujeme tedy nakonec Z r ~eA0 iq·r − a0 p hf i = − d3 r, ǫ · k e e mca0 πa30 V což je vlastně Fourierova transformace vlnové funkce základního stavu atomu vodíku.

8.2

Domácí úkol - Dvouhladinový systém s periodickou poruchou

Uvažujte dvouhladinový systém s periodickou poruchou ˆ =H ˆ0 + H ˆ I (t) H(t) Ã ! (0) E 0 (0) (0) 1 ˆ0 = H = E1 |φ1 ihφ1 | + E2 |φ2 ihφ2 | (0) 0 E2 ¶ µ 0 γ eiωt ˆ = γ eiωt |φ1 ihφ2 | + γ e−iωt |φ2 ihφ1 | HI (t) = γ e−iωt 0 kde γ je reálný parametr, který určuje sílu poruchy. Předpokládejte, že na počátku v čase t = 0 je systém připraven ve stavu |φ1 i. Poté je zapnuta porucha. • Spočítejte přesně pravděpodobnost přechodu do stavů |φ1 i, |φ2 i v čase t (řešením ˆ soustavy diferenciálních rovnic pro příslušné maticové elementy operátoru S(t)). Vzorce, které dostanete, se nazývají Rabiho formule. 49

• Řešte totéž do druhého řádu nestacionární poruchové teorie a srovnejte s přesným řešením za předpokladu, že parametr γ je velmi malý. • Určete, pro jakou frekvenci ω je pravděpodobnost přechodu 1 → 2 největší (podmínka rezonance).

50

9 9.1

Systémy nerozlišitelných částic Bosonový systém

Mějme dva nerozlišitelné bosony v poli jednorozměrného harmonického oscilátoru ¡ ¡ ¢ ¢ ˆ 0 = 1 pˆ2 + pˆ2 + 1 mω 2 ˆx2 + ˆx2 , H 1 2 1 2 2m 2

jejichž interakce je popsána Hamiltoniánem

ˆ I = v e−α(ˆx1 −ˆx2 )2 H (V, α > 0 jsou reálné parametry interakce). Uvažujte interakci za malou poruchu a spočítejte do prvního řádu poruchové teorie opravu k energii základního stavu. Řešení: Budeme počítat v x-reprezentaci. Jednočásticová vlnová funkce základního stavu je r mω − mω x2 φ0 (x) = 4 e 2~ 2π~ V případě dvou bosonů musí být vlnová funkce symetrická vůči záměně dvou částic. To splňuje přímo součin r mω − mω 2 2 B e 2~ (x1 +x2 ) (9.1.1) ψ0 (x1 , x2 ) = φ0 (x1 )φ0 (x2 ) = 2π~ Neporušená energie základního stavu soustavy dvou bosonů je µ ¶ 1 B(0) E0 = 2~ω 0 + = ~ω 2

51

Opravu k energii základního stavu spočítáme jako skalární součin6 ZZ B(1) ˆ I ψ B (x1 , x2 ) dx1 dx2 = E0 = ψ0B∗ (x1 , x2 )H 0 ZZ mω 2 2 2 mω =v e− ~ (x1 +x2 ) e−α(x1 −x2 ) dx1 dx2 = 2π~ ZZ h i 2 2 2 mω − mω x2 +x2 + x2 −x2 =v e 2~ ( 1 2 ) ( 1 2 ) e−α(x1 −x2 ) dx1 dx2 = 2π~ ¯ ¯ ¯ ¯ X = x1 +x2 Jakobián 2 ¯= = ¯¯ x = x1 − x2 transformace je 1 ¯ Z Z mω 2 mω 2 X − 2mω dX e−( 2~ +α)x dx = e ~ =v 2π~ r r π~ π mω = =v mω 2π~ 2mω +α 2~ r mω v = 2 mω + 2~α

9.2

Fermionový systém

Zadání je stejné jako v předchozím příkladu 9.1, jen uvažujte fermiony se spinem 1/2. Spočítejte v prvním řádu poruchové teorie opravu k energii základního stavu pro singletní i tripletní spinový stav. Řešení: Vlnová funkce dvou stejných fermionů je obecně rovna ψ F (x1 , x2 ) = φF (x1 , x2 )ΣSξ kde φF (x1 , x2 ) je prostorová část, σSξ část spinová. Dva spiny o velikosti 1/2 se složí buď na celkový spin S = 1 – tripletní stav –, který je symetrický vůči záměně částic 1 ↔ 2, nebo na spin S = 0 – singletní stav –, který je vůči záměně antisymetrický. Vlnová funkce systému složeného z fermionů musí být antisymetrická. Z toho vyplývá, že její prostorová část musí být • symetrická pro singletní stav • antisymetrická pro tripletní stav.

Prostorová část vlnové funkce pro singletní stav tudíž vypadá stejně jako v případě bosonů (9.1.1) r 2 2 mω − mω F e 2~ (x1 +x2 ) φ0,S=0 (x1 , x2 ) = φ0 (x1 )φ0 (x2 ) = 2π~ Transformace k proměnným X, x je speciálním případem přechodu k Jacobiho souřadnicím (těžišťový a relativní pohyb). Pro tři částice tato transformace zní 6

y1 = x1 − x2 x1 + x2 y2 = − x3 2 x1 + x2 + x3 y3 = 3

52

a tím pádem také oprava k energii vyjde stejně: r v mω F(1) E0,S=0 = 2 mω + 2~α U prostorové části vlnové funkce stavu tripletního si již nevystačíme s jednočásticovou vlnovou funkcí ψ0 . Antisymetrizovat se dá až součin 1 φF0,S=1 (x1 , x2 ) = √ (φ0 (x1 )φ1 (x2 ) − φ1 (x1 )φ0 (x2 )) , 2 přičemž φ1 (x) můžeme určit napříkad aplikováním posunovacího operátoru ˆa† na funkci φ0 (x): r µ ¶ mω i † ˆx + ˆa = pˆ 2~ mω r µ ¶r mω mω − mω x2 ~ ∂ 4 φ1 (x) = e 2~ = x− 2~ mω ∂x 2π~ r µ ¶ mω ~ mω = φ0 (x) x+ x 2~ mω ~ r 2mω = xφ0 (x) ~ Neporušená hodnota energie je v tomto stavu µ ¶ µ ¶ 1 1 F(0) E0,S=1 = ~ω 0 + + ~ω 1 + = 2~ω 2 2 a příspěvek 1. řádu poruchové teorie zní ZZ F(1) F∗ ˆ I ψ F (x1 , x2 ) dx1 dx2 = E0,S=1 = ψ0,S=1 (x1 , x2 )H 0,S=1 ZZ mω 2 2 2 v 2mω mω = (x1 − x2 )2 e− ~ (x1 +x2 ) e−α(x1 −x2 ) dx1 dx2 = 2 ~ 2π~ ZZ mω 2 v ³ mω ´2 2 2 (x1 − x22 e− ~ (x1 +x2 ) e−α(x1 −x2 ) dx1 dx2 = = 2π ~ Z Z mω 2 v ³ mω ´2 2 − 2mω X e ~ = dX x2 e−( 2~ +α)x dx = 2π ~ r r π~ 1 π π v ³ mω ´2 = = mω mω 2π ~ 2mω 2 2~ + α 2~ + α µ ¶3/2 mω v . = 2 mω + 2~α

53

10

Bosonové systémy

Pro složené soustavy nerozlišitelných částic je výhodný popis pomocí kreačních a anihilačních operátorů ˆa†k , ˆak , které působí na Fockově prostoru F = H(0) ⊕ H(1) ⊕ H(2) ⊕ · · · (H(n) označuje Hilbertův prostor soustavy n částic, H(0) obsahuje pouze jeden stav |0i, který se běžně nazývá vakuum). Normované bázové vektory prostoru H(n) budeme značit |N1 , N2 , . . . ; N i,

kde

∞ X

Nk = N

k=1

je celkový počet částic (N1 je počet částic v jednočásticovém stavu (orbitalu) |φk i), a dají se vytvořit pomocí kreačních operátorů |N1 , N2 , . . . ; N i = √ Schematicky můžeme tedy psát

³ ´N1 ³ ´N2 1 ˆa† ˆa†2 · · · |0i N1 !N2 ! · · · 1

F = |0i ⊗ ˆa†j |0i ⊗ ˆa†j ˆa†k |0i ⊗ · · · Kreační operátory přidávají částici, anihilační ubírají: p ˆa†k |N1 , . . . , Nk , . . . ; N i = Nk + 1 |N1 , . . . , Nk + 1, . . . ; N + 1i p ˆak |N1 , . . . , Nk , . . . ; N i = Nk |N1 , . . . , Nk − 1, . . . ; N − 1i

(odmocninové koeficienty plynou z normalizace vektorů). Působení anihilačního operátoru na vakuum dá 0: bˆk |0i = 0

Vlnové funkce soustavy částic musí být symetrické vůči záměně libovolných dvou nerozlišitených bosonů (částic s celočíselným spinem) a antisymetrické vůči záměně dvou nerozlišitelných fermionů (částic s poločíselným spinem). Toho lze docílit tím, že kreační operátory splňují komutační (bosony) nebo antikomutační (fermiony) relace. Nadále uvažujme jen bosony s kreačními a anihilačními operátory bˆ†k , bˆk . Komutační relace mezi nimi zní [bˆj , bˆ†k ] = δjk

[bˆj , bˆk ] = [bˆ†j , bˆ†k ] = 0

Operátor počtu částic ve stavu |φk i a operátor celkového počtu částic jsou ˆ k = ˆa† ˆak N k X † ˆ ˆa ˆak . N= k

k

54

(10.0.1)

10.1

Kondenzátová střední hodnota

Je zadán bosonový N -částicový kondenzát 1 ³ ˆ † ´N |B; N i ≡ √ B |0i N!

ˆ † je vyjádřen lineární kombinací kde operátor B X ˆ† ≡ B zz bˆ†k k

a bˆ†k bosonové operátory, splňující komutační relace (10.0.1). Komplexní čísla zk jsou normována: X |z|2 ≡ zk∗ zk = 1 k

ˆ ˆ je složen z jednočásticové Spočítejte střední hodnotu hB; N |H|B; N i, kde operátor H a dvoučásticové části X 1X ˆ= vklmn bˆ†k bˆ†l bˆn bˆm , H ǫij bˆ†i bˆj + 2 klmn ij přičemž ǫij , vklmn jsou komplexní čísla.

Řešení: Naším cílem je prokomutovat všechny anihilační operátory napravo skrz kreační operátory kondenzátu. Jejich působení na stav vakua pak dá nulový příspěvek. Vyjdeme z X X ˆ 1 ≡ [bˆj , B ˆ †] = K zk [bˆj , bˆ†k ] = zk δjk = zj k

k

a indukcí dostaneme

ˆ N ≡ [bˆj , (B ˆ † )N ] = K ˆ † ](B ˆ † )N −1 + B ˆ † [bˆj , (B ˆ † )N −1 ] = = [bˆj , B ˆ † )N −1 + B ˆ †K ˆ N −1 , = zj (B neboli ˆ 2 = zj B ˆ† + B ˆ † zj = 2zj B ˆ† K ˆ 3 = zj (B ˆ † )2 + B ˆ † (2zj B ˆ † ) = 3zj (B ˆ † )2 K .. . ˆ † = N zj (B ˆ † )N −1 . K N

Působení anihilačního operátoru bˆj na kondenzát dává 1 ˆ † )N |0i = bˆj |B; N i = √ bˆj (B N! 1 ˆ † )N −1 |0i + √1 (B ˆ † )N bˆj |0i = = √ N zj (B N! N! N 1 ˆ † )N −1 |0i = (B = √ zj p N (N − 1)! √ = zj N |B; N − 1i. 55

Nyní již můžeme vypočítat střední hodnotu Hamiltoniánu: X N (N − 1) X ˆ hB; N |H|B; Ni = N ǫij zi∗ zj + vklmn zk∗ zl∗ zm zn 2 ij klmn

Podobně bychom mohli pokračovat a určit kondenzátovou střední hodnotu vícečásticových operátorů.

10.2

Evoluce bosonového kondenzátu

Nechť se soustava N bosonů nachází ve stavu kondenzátu 1 ³ˆ† ´N b0 |0i. |ψ0 ; N i ≡ √ N! a systém je popsán jednočásticovým Hamiltoniánem ³ ´ †ˆ †ˆ ˆ ˆ ˆ H = E B b0 + b0 B ,

ve kterém E je reálný parametr udávající škálu energie, X ˆ† ≡ B zk bˆ†k k>0

(komplexní parametry zk nyní nemusí být – narozdíl od předchozího příkladu – normovány) a operátory bˆk , bˆ†k splňují bosonové komutační relace (10.0.1). Nalezněte časový vývoj stavu |ψ0 ; N i.

10.3

Domácí úkol - Bogoljubovova transformace

Uvažujte Hamiltonián ˆ= H

Xh

Ek ˆa†k ˆak + λk ˆa†k ˆa†k + λ∗k ˆak ˆak

k

i

kde ˆak , ˆa†k jsou bosonové operátory splňující komutační relace [ˆaj , ˆa†k ] = δjk

[ˆaj , ˆak ] = [ˆa†j , ˆa†k ] = 0

Pomocí transformace bˆk = uk ˆa†k + vk ˆak bˆ†k = vk∗ ˆa†k + u∗k ˆak , ve které požadujeme, aby také operátory bˆk bˆ†k splňovaly bosonové komutační relace [bˆj , bˆ†k ] = δjk

[bˆj , bˆk ] = [bˆ†j , bˆ†k ] = 0,

převeďte Hamiltonián na diagonální tvar, tj. na tvar X † ˆ= H ǫk bˆk bˆk + C, k

a vyjádřete čísla ǫk , C pomocí Ek a λk . Napište podmínku, za které je možné transformaci provést. Toto je speciální případ Bogoljubovovy transformace pro bosonové operátory. 56

11

Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu

Sférické Besselovy funkce Sférické Besselovy funkce jsou dvě linárně nezávislá řešení diferenciální rovnice 2. řádu (někdy nazývané Helmholtzova rovnice) ·

¶¸ µ d2 l(l + 1) 2 d jl (z) = 0. + 1+ + 2 2 nl (z) dz z dz z

(11.0.1)

• jl (z) se nazývá sférická Besselova funkce nebo sférická Besselova funkce 1. druhu. • nl (z) se nazývá sférická Neumannova funkce nebo sférická Besselova funkce 2. druhu. • Definují se také sférické Hankelovy funkce 1. a 2. druhu vztahy (1)

hl (z) ≡ jl (z) + inl (z) (2)

hl (z) ≡ jl (z) − inl (z)

l je parametr (převážně celočíselný nezáporný, ale obecně může být reálný). Vyjádření pomocí řady:

∞ X

µ 2 ¶n 1 z jl (z) = z − n! (2l + 2n + 1)!! 2 n=0 ( l−1 X (2l − 2n − 1)!! µ z 2 ¶n 1 µ z 2 ¶l 1 − + nl (z) = − l+1 z n! 2 l! 2 n=0 µ 2 ¶n ) ∞ X 1 z + (−1)l − n! (2n − 2l − 1)!! 2 n=l+1 l

Vyjádření pomocí goniometrických funkcí:

¶l 1 d sin z jl (z) = (−z) z dz z ¶l µ cos z 1 d nl (z) = −(−z)l z dz z l

µ

Tyto rozvoje platí jen pro celočíselná nezáporná l.

57

Asymptotika z → 0: zl jl (z) −−→ (2l + 1)!! ( − z1 z→0 nl (z) −−→ − (2l−1)!! z l+1 z→0

pokud l = 0 pokud l > 0

(11.0.2)

Sférické Neumannovy funkce divergují pro z → 0. Asymptotika z → ∞: ¢ ¡ sin z − l π2 jl (z) −−−→ ¡ z π¢ cos z − l 2 z→∞ nl (z) −−−→ − z z→∞

(11.0.3)

Relace ortogonality: Z

∞

jl (kr)jl (k ′ r)r2 dr =

0

π δ(k − k ′ ) 2k 2

(11.0.4)

Rozklad exponenciály:

e

ik·r

= 4π

l ∞ X X

l

i

∗ jl (kr)Ylm

l=0 m=−l

=

∞ X

µ ¶ ³r ´ k Ylm = k r

il (2l + 1)jl (kr)Pl (cos θ)

l=0

Eplicitní vyjádření nejnižších Besselových funkcí: sin z z sin z cos z j1 (z) = − 2 − µ z ¶ z 3 1 3 j2 (z) = − sin z − 2 cos z 3 z z z

cos z z cos z sin z n1 (z) = − 2 − µz ¶z 1 3 3 n2 (z) = − − cos z − 2 sin z 3 z z z

j0 (z) =

n0 (z) = −

Stacionární stavy volné částice s ostrou hodnotou impulsmomentu Vlnovou funkci volné částice s velikostí vlnového vektoru k zapíšeme jako ψklm (r, θ, φ) = hr|k l mi = Rklm (r)Ylm (θ, φ) 58

Schrödingerova rovnice v tomto případě zní −

~2 ∆ψklm (r, θ, φ) = Eψklm (r, θ, φ) 2m

∂2 1 ∂ 2∂ 1 ∂ 1 ∂ r + sin θ + r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 2 ∂ L2 ∂2 − 2 = 2+ ∂r r ∂r r

∆=

přičemž E = ~2 k 2 /2m. Po dosazení L2 ψklm (r, θ, φ) = l(l + 1)ψklm (r, θ, φ) · 2 ¶¸ µ 2 ∂ l(l + 1) ∂ 2 Rkl (r) = 0 + + k − ∂r2 r ∂r r2 ↓ z = kr · 2 ¶¸ µ ∂ 2 ∂ l(l + 1) Rkl (r) = 0 + + 1− 2 ∂z z ∂z z2 což je přesně Helmholtzova rovnice pro sférické Besselovy funkce (11.0.1). Obecné řešení pro radiální část tedy zní Rkl (r) = al (k)jl (kr) + bl (k)nl (kr).

(11.0.5)

Sférická Neumannova funkce podle asymptotiky (11.0.2) diverguje pro r = 0, ve výsledném řešení se tudíž nebude vyskytovat. Užitím relací ortogonality (11.0.4) dostáváme normovanou radiální část vlnové funkce volné částice r 2k 2 Rkl (r) = jl (kr) π

Rozvoj amplitudy rozptylu do parciálních vln Asymptotická vlnová funkce částice rozptylující se na potenciálu V (r) je dána superpozicí rovinné vlny s vlnovým vektorem k a rozptýlené kulové vlny ¸ · eikr 1 (+) (+) ′ ik·r e +f (k , k) ψk (r) ≡ hr|ψk i = (11.0.6) 3 r (2π) 2 přičemž k′ = kr/r. Amplituda rozptylu je f (cos θ) = −

1 2m ˆ (+) i (2π)3 hk′ |V|ψ k 4π ~2

a z ní lze určit diferenciální účinný průřez rozptylu dσ 2 = |f (k′ , k)| . dΩ

(11.0.7)

Pro sféricky symetrický potenciál je výhodné rozložit amplitudu rozptylu do parciálních vln ∞ X ′ f (k , k) = (2l + 1)fl (k)Pl (cos θ) l=0

59

kde cos θ je úhel mezi směrem dopadající rovinné vlny daným vektorem k a polohovým vektorem r k·r cos θ = , kr Pl (cos θ) je Legendreův polynom a fl (k) amplituda rozptylu l-té parciální vlny. Dosazením tohoto rozvoje do (11.0.6) a z asymptotiky a srovnání s volnou částicí vyplývá vztah mezi fl (k) a fázovým posunutím δl (k) fl (k) =

1 sin δl (k) eiδl (k) k

Přeintegrováním vztahu pro diferenciální účiný průřez (11.0.7) dostaneme vztah mezi účinným průřezem pro l-tou parciální vlnu a jejím fázovým posunutím σl (k) =

4π (2l + 1) sin2 δl (k) k2

Celkový účinný průřez je pak σ(k) =

∞ X

(11.0.8)

σl (k)

l=0

11.1

Wronskián sférické Besselovy rovnice

Nalezněte, čemu se rovná Wronskián7 sférických Besselových funkcí, tj. determinant ¶ µ jl (z) nl (z) = jl (z)n′l (z) − jl′ (z)nl (z) Wl (z) ≡ det ′ jl (z) n′l (z) Řešení: Rovnici pro sférické Besselovy funkce (11.0.1) vynásobíme zleva sférickou Neumannovou funkcí a naopak. Výsledné rovnice od sebe odečteme: ¯ ¶¸ µ · 2 ¯ 2 d l(l + 1) d ¯ nl (z)¯ jl (z) = 0 + + 1+ dz 2 z dz z2 ¯ · 2 ¶¸ µ ¯ d 2 d l(l + 1) ¯ jl (z)¯ nl (z) = 0 + + 1+ dz 2 z dz z2 jl′′ (z)nl (z) − jl (z)n′′l (z) + 2z(jl′ (z)nl (z) − jl (z)n′l (z)) = 0 Wl′ (z) + 2zWl (z) = 0

Obdrželi jsme diferenciální rovnici pro W (z), jejíž řešení hledáme ve tvaru Wl (z) = cz α . Dosazením dostaneme α = −2. Pro určení konstanty c nám stačí spočítat hodnotu Wronskiánu pro jedno konkrétní z. Využijme například asymptotiky z → 0 (11.0.2). 7

Nenulovost Wronskiánu zaručuje lineární nezávislost zúčastněných funkcí.

60

Pro l 6= 0 dostáváme Wl (z ∼ 0) = = = =

¶ µ µ ¶ zl d (2l − 1)!! d (2l − 1)!! zl + − = (2l + 1)!! dz z l+1 z l+1 dz (2l + 1)!! zl (l + 1)(2l − 1)!! (2l − 1)!! lz l−1 + = (2l + 1)!! z l+2 z l+1 (2l + 1)!! 1 l+1 1 l + 2 = 2 z 2l + 1 z 2l + 1 1 z2

a pro l = 0 d W0 (z ∼ 0) = 1 dz 1 = 2. z

µ

1 − z

¶

+

1 d 1= z dz

Wronskián sférických Besselových funkcí tedy je Wl (z) = jl′ (z)nl (z) − jl (z)n′l (z) =

11.2

1 z2

(11.1.1)

Sférická dutina obalená δ-slupkou

Mějme částici rozptylující se na potenciálu v V (r) = δ(r − a) a (dutina obalená slupkou z δ-funkce). • Nalezněte radiální část vlnové funkce Rkl (r). • Určete fázové posunutí l-té parciální vlny δl (k). • Určete totální účinný průřez l-té parciální vlny σl (k). Řešení: Až na oblast δ-slupky máme vlastně volnou částici. Radiální část její vlnové funkce bude mít obecný tvar daný lineární kombinací sférické Besselovy a Neumannovy funkce (11.0.5). Uvnitř koule musí být Rkl (r < a) = Al (k)jl (kr) (odůvodnění stejné jako v případě volné částice, vlnová funkce nesmí divergovat v počátku). Řešení vně koule zapišme jako Rkl (r) = Bl (k) [αl (k)jl (kr) + βl (k)nl (kr)]

61

což v asymptotice r → ∞ (11.0.3) dává "

¡ ¢ ¢# ¡ sin kr − l π2 cos kr − l π2 Rkl (r → ∞) → Bl (k) αl (k) − βl (k) kr kr

Asymptotika zcela volné částice, jejíž řešení je (11.0.5), zní ¢ ¡ sin kr − l π2 (0) . Rkl (r → ∞) → kr

(11.2.1)

V našem případě dojde k fázovému posunutí oproti řešení volné částice, které lze popsat pomocí veličiny δl (k): ¡ ¢ sin kr − l π2 + δl (k) Rkl (r → ∞) → = kr¡ ¢ ¢ ¡ sin kr − l π2 cos kr − l π2 = cos δl (k) + sin δl (k) kr kr Srovnáním s předchozím vyjádřením (11.2.1) vidíme, že αl (k) = cos δl (k) βl (k) = − sin δl (k) a vlnová funkce zapsaná pomocí fázového posunutí je ( Al (k)jl (kr) pro r < a Rkl (r) = Bl (k) [cos δl (k)jl (kr) − sin δl (k)nl (kr)] pro r > a Fázové posunutí určíme pomocí sešívací podmínky na slupce. Stejně jako v případě jednorozměrného potenciálu i zde musí platit dvě podmínky: 1. Vlnová funkce je spojitá Al (k)jl (ka) = Bl (k) [cos δl (k)jl (ka) − sin δl (k)nl (ka)]

(11.2.2)

2. V derivaci je skok daný silou δ-funkce 2mv Rkl (a), ~2 a

′ ′ Rkl (a + 0) − Rkl (a − 0) = ′ což v našem případě dává (pozor, Rkl =

d R , dr kl

tj. derivujeme jen podle r)

kAl (k) [cos δl (k)jl′ (ka) − sin δl (k)n′l (ka)] − kBl (k)jl′ (ka) =

Q Bl (k)jl (ka), (11.2.3) a

přičemž jsme označili Q ≡ 2mv/~2 . Dosazením z (11.2.2) do (11.2.3) dostaneme (nepíšu již argumenty funkcí) Q jl (jl cos δl − nl sin δl ) ka Q jl (jl cos δl − nl sin δl ) . − (jl n′l − jl′ nl ) sin δl = ka

jl jl′ cos δl − jl n′l sin δl − jl jl′ cos δl + jl′ nl sin δl =

62

Na levé straně se nám objevil Wronskián (11.1.1), za který dosadíme: −

1 Q sin δl = jl (jl cos δl − nl sin δl ) 2 (ka) ka

Z toho již získáme explicitní výraz pro fázové posunutí tg δl (k) =

Qjl2 (ka) Qjl (ka)nl (ka) −

(11.2.4)

1 ka

Dále můžeme z podmínky spojitosti (11.2.2) určit koeficient průniku ¯ ¯ ¯ Al (k) ¯2 cos δl (k)jl (ka) − sin δl (k)nl (ka) ¯ = , Pl (k) ≡ ¯¯ Bl (k) ¯ jl (ka)

(11.2.5)

kde dosadíme v tuto chvíli již známé fázové posunutí δl (k). Nakonec určíme účiný průřez pro l-tou parciální vlnu. K tomu se bude hodit vztah (11.0.8). Mezi goniometrickými funkcemi platí tg2 x . sin x = 1 + tg2 x 2

V našem případě tg2 δl (k) = 1 + tg2 δl (k) Q2 jl4 (ka) = £ Q2 jl4 (ka) + Qjl (ka)nl (ka) −

sin2 δl (k) =

a účinný průřez je tedy σl (k) =

Hladina ka

¤ 1 2 ka

4π Q2 jl4 (ka) (2l + 1) £ k2 Q2 jl4 (ka) + Qjl (ka)nl (ka) −

1s 1p 1d π = 3.1 4.5 5.8

2s 1f 2π = 6.3 7.0

¤ 1 2 ka

(11.2.6)

2p 1g 2d 7.7 8.2 9.1

Tabulka 2: Vázané stavy nekonečně hluboké sféricky symetrické jámy. Je užito spektroskopické značení s(l = 0), p(l = 1), d(l = 2), f (l = 3), g(l = 4).

Na obrázku 11.2 jsou znázorněny výsledky pro nejnižší parciální vlny a pro různé síly potenciálu dané velikostí parametru Q. Čím je Q větší (potenciál silnější), tím jsou výraznější a ostřejší maxima v koeficientu průniku a v účinném průřezu. To je ukázka rezonancí (kvazivázaných stavů). Kdybychom spočítali vázané stavy nekonečné hluboké sférické dutiny s potenciálem ( 0 pro r < a V (r) = ∞ pro r > a obdrželi bychom vázané stavy uvedené v tabulce 11.2. Jejich poloha dobře koresponduje s rezonančními maximy při velkých Q. Z obrázku je také vidět, že pro malé hybnosti (energie) k přispívá k rozptylu prakticky jen s-vlna (l=0). 63

∆HkL

∆HkL 2

-0.1

4

6

8

10

∆HkL

k

2

4

6

8

10

k

2

-0.5

-0.5

4

6

8

10

k

-1.0

-0.2 -1.0

-0.3 -0.4

-1.5

-0.5

-2.0

PHkL 1.2

-1.5 -2.0 -2.5

PHkL 15

PHkL 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 2

4

6

8

10

k

10 5

2

4

6

8

10

k

ΣHkL

ΣHkL 3.0

10

2.5

8

2.0

6

1.5

2

4

6

8

10

k

10

2.5

8

2.0

6

1.5

2

4

6

Q=1

8

10

k

4

6

8

10

2

4

6

8

10

2 4

6

8

10

k

k

ΣHkL 12 10 8 6 4

2

0.5

2

k

4

4

1.0

10

6

ΣHkL

ΣHkL

8

8

2

3.0

6

10

2

0.5

4

ΣHkL 12

4

1.0

2

2 2

4

6

Q = 10

8

10

k

k

Q = 50

Obrázek 3: 1. řádek: Fázové posunutí l-té parciální vlny δl (k) podle (11.2.4) pro l = 0 (modře), l = 1 (fialově), l = 2 (béžově). 2. řádek: Koeficient průniku l-té parciální vlny Pl (k) podle (11.2.5). 3. řádek: Účinný průřez l-té parciální vlny podle (11.2.6). 3. řádek: Součet účinných průřezů σ0 (modře), σ0 + σ1 (fialově), σ0 + σ1 + σ2 (béžově), σ0 + σ1 + σ2 + σ3 (zeleně). Vše je znázorněno pro různé hodnoty Q.

64

11.3

Domácí úkol

Uvažujte rozptyl na potenciálu

v , r2 kde v může být kladný (pro odpudivou sílu) nebo záporný (pro sílu přitažlivou) parametr. V (r) =

• Řešením Schrödingerovy rovnice nalezněte vlnovou funkci pro energii E > 0. • Spočítejte fázové posunutí δl (k) l-té parciální vlny a načrtněte jeho závislost na k (nebo na energii E). • Nalezněte totální účinný průřez pro l-tou parciální vlnu σl (k). Diskutujte fyzikální příčinu skutečnosti, že pro k → 0 účinný průřez diverguje.

65