Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8
VIII. ANALISIS DATA DERET BERKALA (TIME SERIES) 8.1 Pendahuluan Data Berkala (Data Deret waktu) adalah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk menggambarkan perkembangan suatu kegiatan atau sekumpulan hasil observasi yang diatur dan didapat menurut urutan kronologis waktu, misalnya perkembangan produksi, harga barang, hasil penjualan, jumlah penduduk, dll. · Analisis data berkala memungkinkan kita untuk mengetahui perkembangan suatu/beberapa kejadian serta pengaruhnya/hubunganya terhadap kejadian lain. · Dengan data berkala kita dapat membuat ramalan berdasarkan garis regresi atau garis trend. · Data berkala terdiri dari komponen-komponen, sehingga dengan analisis data berkala kita dapat mengetahui masing-masing komponen atau bahkan menghilangkan suatu/beberapa komponen. · Karena ada pengaruh dari komponen, data berkala selalu mengalami perubahanperubahan, sehingga apabila dibuat grafik akan menunjukkan adanya fluktuasi. ·
8.2 Komponen Data Berkala Ada empat komponen gerak/variasi data berkala, yaitu : 1. Gerak Jangka Panjang atau Trend · Trend melukiskan gerak data berkala selama jangka waktu yang panjang/cukup lama. Gerak ini mencerminkan sifat kontinuitas atau keadaan yang serba terus dari waktu ke waktu selama jangka waktu tersebut. Karena sifat kontinuitas ini, maka trend dianggap sebagai gerak stabil dan menunjukkan arah perkembangan secara umum (kecenderungan menaik/menurun). Y
Y
t
t
Gambar 1. Trend Linier Naik
Gambar 2. Trend Linier Turun
· Trend sangat berguna untuk membuat peramalan (forecasting) yang merupakan
perkiraan untuk masa depan yang diperlukanbagi perencanaan. · Trend dibedakan menjadi dua jenis, yakni : a. Trend Linier → mengikuti pola garis lurus ( Y = a + b t ) b. Trend Non Linier → mengikuti pola lengkung (parabola, eksponensial, logaritma, dll). 2. Gerak Siklis Gerak siklis adalah gerak/variasi jangka panjang di sekitar garis trend (temponya lebih pendek). Gerak siklis terjadi berulang-ulang namun tidak perlu periodic, artinya bisa berulang setelah jangka waktu tertentu atau bisa juga tidak berulang dalam jangka waktu yang sama. · Perkembangan perekonomian yang turun naik di sekitar trend dan “Business Cycles” adalah contoh gerak siklis. · Gerak siklis melukiskan terjadinya empat fase kejadian dalam jangka waktu tertentu, yakni kemajuan, kemunduran, depresi dan pemulihan.
·
Prodi : AKE dan KAT
52
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8 Y (nilai/kuota) (2)
(1) (1)
(2)
(4)
(4)
Garis Trend
(3)
Keterangan : (1) Kemajuan (2) Kemunduran (3) Depresi (4) Pemulihan
Gerak siklis (sekitar trend)
(3)
t (waktu) Gambar 3. Gerak Siklis
3. Gerak Musiman Gerak musiman terjadi lebih teratur dibandingkan gerak siklis dan bersifat lengkap, biasanya selama satu tahun kalender. Gerak ini berpola tetap dari waktu ke waktu. Factor utama yang menyebabkan gerak ini adalah iklim dan kebiasaan. 4. Gerak Ireguler atau Faktor Residu (Gerak Tak Teratur) · Gerak ini bersifat sporadis/tidak teratur dan sulit dikuasai. · Perang, bencana alam, mogok dan kekacauan adalah beberapa faktor yang terkenal yang bisa menyebabkan gerak ini terjadi. · Dengan adanya pengaruh tersebut, maka gerak ireguler sulit untuk dilukiskan dalam suatu model. 8.3 Metode Umum Untuk Menguraikan Keempat Komponen Data Berkala · Untuk keperluan analisis, akan diambil sebuah model yang menyatakan pengaruh keempat komponen terhadap data yang disebut “ model multiplikatif ”. · Hasil bulanan sering dianggap sebagai produk dari keempat komponen itu, sehingga diperoleh model (8.1) Y=TSMR (8.1) dengan : T = Trend Ireguler/Residu ·
S = Gerak Siklis
M = Gerak Musiman
R
=
Sedangkan untuk data tahunan gerak musiman biasanya tidak tercermin dalam total tahunan atau rata-rata bulanan tiap tahun, sehingga modelnya menjadi : Y=TSR
·
(8.2)
Jika model (8.2) dibagi dengan pengaruh trend (T) maka modelnya menjadi : Y=SR
·
Gerak
(8.3)
Model ini merupakan pengaruh gabungan antara komponen siklis dan residu. Selain model multiplikatif ada juga yang dinamakan “ model aditif “, dengan analogi yang sama maka diperoleh model berikut : - Hasil Bulanan :
Y=T+S+M+R
(8.4)
- Hasil Tahunan :
Y=T+S+R
(8.5)
Prodi : AKE dan KAT
53
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8 8.4 Analisis Trend Linier Persamaan trend linier adalah Y=a+bt (8.6) Berikut adalah beberapa cara untuk menentukan persamaan trend linier : 1. Metode Tangan Bebas Langkah-langkah : 1. Buat sumbu datar t dan sumbu tegak Y, dimana t menyatakan variabel waktu (tahun, bulan, dll) dan Y menyatakan variabel yang akan dianalisis (nilai data berkalanya). 2. Buat diagram pencar dari koordinat (t ,Y). 3. Tarik garis yang dapat mewakili atau paling tidak mendekati semua titik koordinat yang membentuk diagram pencar tersebut. 4. Jika garis yang terbentuk bergerak di sekitar garis lurus, maka cukup alasan untuk menentukan bahwa trend yang terbentuk adalah trend linier. Sedangkan apabila garis yang terbentuk cenderung lengkung, maka trend yang terbentuk adalah trend non linier. Catatan : ·
cara menarik garis trend dengan metode tangan bebas adalah cara termudah, namun bersifat subjektif.
Contoh 8.1. Berikut adalah data mengenai hasil penjualan (jutaan rupiah) di sebuah perusahaan “X” selama periode 10 tahun. Tabel 1. Hasil Penjualan Perusahaan “X” Periode Tahun 1996 – 2005 Tahun Hasil Penjualan Hasil Penjualan Tahun 1996
14
2001
22
1997
18
2002
24
1998
17
2003
23
1999
16
2004
25
2000
20
2005
28
Jawab : Sumbu datar t = tahun
Sumbu tegak Y = hasil penjualan
Hasil Penjualan (Y) 30 25 20 15 10 5 0
1996
1998
2000
Tentukan garis trend untuk data tersebut dengan metode tangan bebas ! Catatan : Data Rekaan
2002
2004
2006
Dari diagram di samping terlihat bahwa garis trend yang ditarik cenderung mengikuti garis lurus, sehinggga dapat dikatakan bahwa trend hasil penjualan perusahaan “X” selama periode 10 tahun berbentuk trend linier naik.
Tahun ( t)
Gambar 4. Diagram Pencar Hasil Penjualan Terhadap Tahun
2. Metode Setengah Rata-rata (Semi Rata-rata) Cara ini merupakan cara yang paling mudah dalam menentukan persamaan trend linier berdasarkan perhitungan data berkala. Langkah-langkah : 1. Data berkala dibagi menjadi 2 bagian, masing-masing harus mempunyai banyak data yang sama. Jika banyak data ganjil, maka data yang paling tengah tidak diikut sertakan dalam perhitungan atau dimasukkan dalam 2 bagian tersebut. Prodi : AKE dan KAT
54
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8 2. Untuk setiap bagian dihitung rata-ratanya, sehingga terdapat dua buah nilai sumbu tegak (Y1 dan Y2). Sedangkan untuk sumbu datar (t1 dan t2) ditentukan berdasarkan waktu (tahun) yang paling tengah untuk setiap bagian. Sehingga diperoleh dua nilai koordinat (t1,Y1) dan (t2,Y2). 3. Lukiskan dua nilai koordinat pada grafik, lalu hubungkan. Garis yang diperoleh merupakan trend yang akan dicari persamaannya. 4. Masukkan dua nilai koordinat pada persamaan Y = a + b t , sehingga akan diperoleh 2 persamaan. 5. Tentukan nilai koefisien a dan b dengan cara eliminasi dan substitusi. ·
Contoh 8.2. Untuk kasus pada contoh 1. Tentukan persamaan trend linier dengan metode setengah rata-rata ! Jawab : Karena banyak data genap (10 tahun), maka setiap bagian mempunyai 5 buah data.
Tahun (t) 1996 1997 1998 1999 2000
Hasil Penjualan (Y) 14 18 17 → bagian 1 → rata-rata 1 = 16 20
2001 2002 2003 2004 2005
22 24 23 25 28
,
→(
→ bagian 2 → rata-rata 2 =
→(
,
)
)
Masukan 2 nilai koordinat pada persamaan Y = a + b t , (1) · Untuk ( ) → · Untuk ( , ) → (2) Selanjutnya lakukan eliminasi dan substitusi untuk memperoleh nilai a dan b.
Hasil Penjualan (Y) 30 25 20 15 10 5 0
1998
Tahun (t)
2003
Gambar 5. Perkiraan Garis Trend
Sehingga persamaan trend liniernya adalah Y =
+
t
Dari persamaan trend diperoleh b = , artinya hasil penjualan diperkirakan akan setiap tahun. sebesar Dengan menggunakan persamaan trend tersebut kita bisa memperkirakan berapa hasil penjualan pada tahun 2008, yaitu dengan memasukkan nilai tahun pada persamaan tersebut, sehingga diperoleh : t = 2008 → Y =
+(
x 2008) =
☺ untuk tahun 2008 diperkirakan hasil penjualan mencapai Rp.
Prodi : AKE dan KAT
55
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8 3. Metode Kuadrat Terkecil · Metode kuadrat terkecil menghendaki jumlah kuadrat penyimpangan antara nilai sebenarnya dan nilai taksiran yang diperoleh dari trend mencapai harga terkecil. · Penentuan persamaan trend linier Y = a + b t dengan metode kuadrat terkecil, agar lebih mudah digunakan cara koding/sandi. · Untuk variabel waktu (tahun) ditransformasikan menjadi bilangan-bilangan berikut : …, -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,… jika banyak tahun ganjil. …, -7 , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , 5 , 7 ,… jika banyak tahun genap. · Secara umum, jika tm adalah tahun median (tahun yang paling tengah) maka transformasi digunakan rumus berikut : (t i - t m ) jika banyak tahun ganjil dan 2(t i - t m ) jika banyak tahun genap, dimana ti menyatakan tahun ke-i. · Nilai koefisien a dan b ditentukan dengan rumus :
a =
åY
i
n
dengan :
·
b =
(8.7)
åt Y åt i
i
(8.8)
2 i
Yi = nilai data berkala pada tahun-tahun yang diketahui n = banyak tahun ti = koding tahun (tahun yang sudah ditransformasi)
Contoh 8.3. (banyak tahun ganjil) Berikut adalah jumlah produksi barang (unit) di perusahaan “Y ” selama periode 13 tahun. Tahun
Jumlah Produksi
Tabel 2. Jumlah Produksi Barang Perusahaan “Y” Periode Tahun 1996 – 2008 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 112
124
116
155
140
175
190
200
185
210
225
2007
2008
230
250
Catatan : Data Rekaan
Tentukan persamaan trend linier untuk data tersebut ! (n = 13) Jawab : Karena banyak tahun ganjil, maka tahun ditransformasikan menjadi … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , (tahun median), transformasi yang digunakan adalah 2 , 3 ,… Dengan tm = (t i ) diperoleh Tabel 3. Perhitungan Persamaan Trend Linier Dengan Metode Kuadrat Terkecil (Tahun Ganjil) Tahun
Jumlah Produksi (Yi)
Koding (ti)
ti Y i
ti2
1996
112
-6
-672
36
1997
124
-5
-620
25
1998
116
-4
-464
16
1999
155
-3
-465
9
2000
140
-2
-280
4
2001
175
-1
-175
1
2002
190
0
0
0
2003
200
1
200
1
2004
185
2
370
4
2005
210
3
630
9
2006
225
4
900
16
2007
230
5
1150
25
2008
250
6
1500
36
Jumlah
2312
-
2074
182
Prodi : AKE dan KAT
56
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8
a =
åY
i
n
=
b =
åt Y åt i
i
2 i
=
+ t. Sehingga persamaan trend liniernya adalah Y = Dari persamaan trend diperoleh b = , artinya jumlah produksi diperkirakan akan setiap tahun. sebesar Dengan menggunakan persamaan trend tersebut kita bisa memperkirakan berapa jumlah produksi pada tahun 2010, yaitu dengan memasukkan nilai koding tahun untuk tahun 2010 pada persamaan tersebut. Koding tahun 2010 adalah 2010 – = t= +( x )= →Y= unit barang.
☺ untuk tahun 2010 diperkirakan jumlah produksi mencapai ·
Contoh 8.4. (banyak tahun genap) Dari contoh 8.2. tentukan persamaan trend dengan menggunakan metode kuadrat terkecil ! Jawab : Karena banyak tahun genap, maka tahun ditransformasikan menjadi … , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , 5 ,… Dengan tm = (tahun median) maka transformasi yang digunakan adalah ) sehingga diperoleh : (n = 10) 2(t i Tabel 4. Perhitungan Persamaan Trend Linier Dengan Metode Kuadrat Terkecil (Tahun Genap)
a =
åY n
i
Tahun 1996
Hasil Penjualan (Yi) 14
Koding (ti) -9
ti Y i -126
ti2 81
1997
18
-7
-126
49
1998
17
-5
-85
25
1999
16
-3
-48
9
2000
20
-1
-20
1
2001
22
1
22
1
2002
24
3
72
9
2003
23
5
115
25
2004
25
7
175
49
2005
28
9
252
81
Jumlah
207
-
231
330
=
b =
åt Y åt i
2 i
i
=
Sehingga persamaan trend liniernya adalah Y = + t. , artinya hasil penjualan diperkirakan akan Dari persamaan trend diperoleh b = sebesar setiap tahun. Dengan menggunakan persamaan trend tersebut kita bisa memperkirakan berapa hasil penjualan pada tahun 2008, yaitu dengan memasukkan nilai koding tahun untuk tahun 2008 pada persamaan tersebut. )= Koding tahun 2008 adalah 2(2008 – t= +( x )= →Y= ☺ untuk tahun 2008 diperkirakan hasil penjualan mencapai Prodi : AKE dan KAT
57
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8 8.5 Analisis Trend Non Linier · Metode kuadrat terkecil tidak hanya digunakan untuk menentukan persamaan trend linier, tetapi juga dapat digunakan untuk menentukan persamaan trend non linier. · Berikut adalah beberapa persamaan trend non linier : a. Trend Parabola Kuadratik (pangkat dua) (8.9) Persamaan trend : Y=a+bt+ct2 Dengan menggunakan cara koding, nilai koefisien a, b dan c dicari dengan menyelesaikan tiga sistem persamaan berikut : Y i = na + c t i2 (8.10)
å åt Y åt Y i
i
2 i i
·
= b åt
å
2 i
(8.11)
= a å t i2 + c å t i4
(8.12)
Contoh 8.5 Data mengenai angka kelahiran per 1000 penduduk daerah “Z” selama 9 tahun : Tabel 5. Angka Kelahiran Penduduk Daerah “Z” Periode Tahun 2000-2008 Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Angka Kelahiran 25,0 23,7 Catatan : Data Rekaan
21,3
18,5
16,9
17,6
19,5
23,6
2008 24,0
Buatlah persamaan trendnya ! (n = 9) Jawab : Untuk mengetahui apakah titik pencar dari data tersebut berpola lurus atau lengkung, maka kita harus menggambarkan diagram pencarnya terlebih dahulu. Angka Kelahiran (Y) 30 25 20 15 10 5 0
2000
2002
2004
2006
2008
2010
Tahun (t)
Dari diagram disamping terlihat bahwa titik-titik cenderung membentuk pola lengkung (pola parabola kuadratik). Maka kita dapat menentukan trendnya dengan menggunakan persamaan trend parabola kuadratik.
Gambar 6. Diagram Pencar Angka Kelahiran
Karena banyak tahun ganjil, maka tahun ditransformasikan menjadi … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 ,… Dengan tm = (tahun median), transformasi yang digunakan adalah (t i ) diperoleh : Tabel 6. Perhitungan Persamaan Trend Parabola Kuadratik Tahun 2000
Angka Kelahiran (Yi) 25
Koding (ti) -4
ti2 16
ti4 256
ti Y i -100
ti2Yi 400
2001
23,7
-3
9
81
-71,1
213,3
2002
21,3
-2
4
16
-42,6
85,2
2003
18,5
-1
1
1
-18,5
18,5
2004
16,9
0
0
0
0
0
2005
17,6
1
1
1
17,6
17,6
2006
19,5
2
4
16
39
78
2007
23,6
3
9
81
70,8
212,4
2008
24
4
16
256
96
384
Jumlah
190,1
-
60
708
-8,8
1409
Prodi : AKE dan KAT
58
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8 Dengan menggunakan rumus (8.10), (8.11) dan (8.12) diperoleh 3 persamaan berikut : (1) (2) (3) Selesaikan persamaan (2) untuk memperoleh b (2)
Selanjutnya persamaan (1) dan (3) digunakan untuk mengeliminasi a (1) (3)
Substitusi c untuk memperoleh nilai a (1)
Sehingga trend parabola kuadratiknya adalah Y = b.
Trend Parabola Kubik (pangkat tiga) Persamaan trend : Y = a + b t + c t 2 + d t 3 (8.13) Dengan menggunakan cara koding, nilai koefisien a, b, c dan d dicari dengan menyelesaikan empat sistem persamaan berikut : (8.14) Y i = na + c t i2
å åt Y åt Y åt Y i
i
2 i i 3 i i
c.
å
= b åt + d
åt = a åt + c åt = b åt + d åt 2 i
4 i
(8.15)
2 i
4 i
(8.16)
4 i
6 i
(8.17)
Trend Eksponensial dan Logaritma Persamaan trend eksponensial : Persamaan trend logaritma :
Y = a bt log Y = log a + t log b
(8.18) (8.19)
Misalkan : log a = A log b = B log Y =Y’ Maka persamaan (8.19) menjadi Y’ = A + B t → trend semi linier Sehingga nilai A dan B dihitung dengan rumus :
A = B =
å Y ' ® log a = å log Y n
i
(8.20)
n
å tY ' ® log b = å t log Y åt åt i
2
Prodi : AKE dan KAT
2 i
i
(8.21)
59
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 8 ·
Contoh 8.6 Berikut adalah data mengenai jumlah penduduk (per 1000) di kota A selama periode 10 tahun. Tabel 7. Jumlah Penduduk Di Kota A Periode Tahun 1998 – 2007 Tahun
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
Jumlah Penduduk (Yi)
265,1
283,1
286,8
339,4
407,6
407,5
457,1
435,7
586,9
604,6
Buatlah persamaan trend eksponensial dan trend logaritmanya ! (n = 10) Jawab : Karena banyak tahun genap, maka tahun ditransformasikan menjadi … , -5 , -3 , -1 , 1 , 3 (tahun median) maka transformasi yang digunakan , 5 ,… Dengan tm = adalah 2(t i ) sehingga diperoleh : (n = 10) Tabel 7. Perhitungan Persamaan Eksponensial Dan Logaritman Tahun 1998
Jumlah Penduduk (Yi) 265,1
Koding (ti) -9
ti2 81
log Yi 2,42
ti log Yi -21,78
1999
283,1
-7
49
2,45
-17,15
2000
286,8
-5
25
2,46
-12,3
2001
339,4
-3
9
2,53
-7,59
2002
407,6
-1
1
2,61
-2,61
2003
407,5
1
1
2,61
2,61
2004
457,1
3
9
2,66
7,98
2005
435,7
5
25
2,64
13,2
2006
586,9
7
49
2,77
19,39
2007
604,6
9
81
2,78
25,02
Jumlah
4073,8
-
330
25,93
6,77
Dengan menggunakan rumus (8.20) dan (8.21) diperoleh
log a =
log b =
å log Y n
i
=
å t log Y åt i
2
i
=
→
a = antilog (
)=
→
b = antilog (
)=
i
Sehingga persamaan trend logaritmanya adalah → log Y =
+
Sedangkan persamaan trend eksponennya adalah → Y =
x(
Prodi : AKE dan KAT
t
)t
60
