Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 5
V. UKURAN PENYEBARAN DATA 5.1 Penyebaran · Ukuran penyebaran data adalah ukuran statistik yang menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif. · Ukuran penyebaran data disebut juga ukuran simpangan (ukuran dispersi) atau ukuran variasi (ukuran keseragaman), ukuran ini dapat menggambarkan keseragaman data. Makin kecil bilangan yang diperlihatkan oleh ukuran statistik ini, maka makin seragam keadaan data. Sebaliknya, makin besar ukuran variasi, maka makin tidak seragam keadaan data yang ada. · Ukuran penyebaran mengukur penyimpangan nilai-nilai data di sekitar nilai rataratanya. · Perhitungan deviasi didasarkan pada penyimpangan nilai-nilai data secara individu terhadap rata-ratanya, karena itu deviasi akan makin besar jika nilai-nilai data menyebar. · Ada beberapa macam ukuran dispersi, diantaranya adalah rentang, rentang antar kuartil, simpangan kuartil, deviasi rata-rata (rata-rata simpangan), varians, standar deviasi (simpangan baku) dan koefisien variasi. 5.2 Rentang, Rentang Antar Kuartil Dan Simpangan Kuartil · Rentang/Range/Jangkauan Rentang = data terbesar – data terkecil ·
·
Rentang Antar Kuartil Rentang Antar Kuartil (RAK) = Q3 – Q1 Simpangan Kuartil/Rentang Semi Interkuartil Rentang Semi Interkuartil (SK) = ½ RAK = ½ (Q3 – Q1) dengan : Q1 = kuartil pertama Q3 = kuartil ketiga
(5.1) (5.2) (5.3)
·
Rumus untuk ketiga jenis ukuran penyebaran tersebut berlaku sama untuk data tunggal maupun untuk data berkelompok, hanya saja berbeda dalam menentukan nilai kuartil pertama dan kuartil ketiga. (lihat pembahasan bab 4)
·
Contoh 5.1 Dari data berikut ini : 2, 4, 5, 6, 8, 9, dan 12, hitunglah Rentang, Rentang Antar Kuartil, dan Simpangan Kuartilnya ? Jawab :
« Rentang = data terbesar – data terkecil =
☺ Rentang untuk data tersebut adalah « Rentang Antar Kuartil (RAK) = Q3 – Q1
Nilai Q1 = Nilai Q3 = Rentang Antar Kuartil = ☺ Rentang antar kuartil untuk data tersebut adalah « Simpangan Kuartil = ½ (RAK) =
☺ Simpangan kuartil untuk data tersebut adalah
Prodi : AKE dan KAT
31
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 5 Contoh 5. Hitunglah Rentang Antar Kuartil dan Simpangan Kuartil untuk data pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga yang telah dikelompokan pada tabel di samping ini : (coba sendiri....) Catatan : Menghitung Q1 dan Q3 seperti pada contoh 4.16 (hal.28) Q1 = Q3 =
Tabel 5.1 Pengeluaran 30 keluarga
Pengeluaran
Frekuensi (fi)
50 – 55 56 – 61 62 – 67 68 – 73 74 – 79 80 – 85 Jumlah
1 5 6 10 5 3 30
RAK = Q3 – Q1 = SK = ½ (RAK) = ½ (RAK) = 5.3 Ukuran Penyebaran Untuk Data Tunggal 5.3.1 Simpangan Rata-rata (Deviasi Rata-rata) N
SR =
åx i =1
-m
i
N n
SR =
åx
i
i =1
N
åx i =1
(parameter)
(5.4)
i = 1,2,..,N
(statistik)
(5.5)
-x
n
dengan :
i = 1,2,..,N
i
- m = jumlah harga mutlak data dikurangi rata-rata hitung
N = banyak data ·
Contoh 5.3 Berapa simpangan rata-rata dari data berikut : 2, 5, 6, 8, 9 ? Jawab : N
m =
åx i =1
N N
SR =
å
i =1
i
= xi - m N
=
☺ Simpangan rata-rata untuk data tersebut adalah 5.3.2 Varians dan Standar Deviasi « Varians didefinisikan sebagai : (parameter) N
s2=
2 å (x i - m ) i =1
N
(Metode Deviasi Pangkat Dua)
Prodi : AKE dan KAT
N
(5.6)
atau
s
2
=
å x i2 i =1
N
æ N çåxi - ç i =1 ç N ç è
ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø
2
(5.7)
(Metode Rata-rata Pangkat Dua)
32
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 5 (statistik) n
s2 =
å (x
i
i =1
-x
)2 (5.8)
n -1
« Sedangkan, Standar Deviasi (simpangan baku) didefinisikan sebagai akar dari Varians.
s = s s =
·
s
2
2
(parameter)
(5.9)
(statistik)
(5.10)
Contoh 5.4 Diberikan data 2, 5, 6, 8, 9. hitunglah varians dan standar deviasinya ! Jawab : « Metode Deviasi Pangkat Dua Tabel 5.2 Perhitungan Varians & Standar Deviasi Dengan Metode Deviasi Pangkat Dua xi xi -m (x - m )2 i
Dari data diperoleh rata-rata → m =
2 5
N
6 8
§
9 N
åx i =1
i
-
=
N
å (x i =1
=
i =1
i
N
-m
i =1
N
i
=
)2 =
Standar deviasi → s = s 2 = ☺ Varians data adalah ☺ Standar deviasi data adalah
§
-m) = 2
i
Varians → s
2
å (x
N
åx
Metode Rata-rata Pangkat Dua
«
Tabel 5.3 Perhitungan Varians & Standar Deviasi Dengan Metode Rata-rata Pangkat Dua
x i2
xi 2
N
§
5
Varians → s
2
=
åx i =1
2 i
N
6 8 N
i =1
i
=
2
ö ÷ ÷ = ÷ ÷ ø
Standar deviasi → s = s 2 = ☺ Varians data adalah ☺ Standar deviasi data adalah
§
9
åx
æ N çå xi - ç i =1 ç N ç è
N
åx i =1
2 i
=
5.3.3 Koefisien Variasi · Koefisien variasi digunakan untuk membandingkan variasi data, apabila satuan pengukuran dari variabel-variabel yang diukur berbeda satu sama lain (misalnya berat badan dalam kg, dan tinggi badan dalam cm). · Definisi : Apabila sebuah populasi diukur variabel X dengan rata-rata hitung μ dan standar deviasi σ, maka koefisien variasi didefinisikan sebagai : KV =
s ´ 100 % m
(parameter)
(5.11)
KV =
s ´ 100 % x
(statistik)
(5.12)
Prodi : AKE dan KAT
33
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 5 ·
Contoh 5.5 Data berikut menunjukan umur dan pendapatan 5 orang karyawan di sebuah perusahaan X : Tabel 5.4 Data Mengenai Umur & Pendapatan 5 Orang Karyawan
Karyawan Umur ( Tahun ) Pendapatan ( $ )
1 34 75
2 27 90
3 37 123
4 32 187
5 25 135
Manakah yang lebih seragam, umur atau pendapatan karyawan? Jawab : « Umur Karyawan n
åx
Rata-rata → m =
i =1
i
N
=
34 + 27 + 37 + 32 + 25 155 = = 31 5 5
Standar Deviasi : N
s =
å (x i =1
-m)
i
2
(34 - 31)2 + (27 - 31)2 + .. + (25 - 31)2
=
N
5
=
98 = 4,43 5
Koefisien variasi → KV = s x 100 % = 4 , 43 ´ 100 % = 14 , 29 % m 31 Koefisien variasi umur karyawan adalah 14,29% ☺ « Pendapatan Karyawan n
åx
Rata-rata → m =
i =1
i
N
=
75 + 90 + 123 + 187 + 135 610 = = 122 5 5
Standar Deviasi : N
s =
å (x i =1
-m)
i
2
=
N
(75 - 122)2 + (90 - 122)2 + .. + (135 - 122)2 5
=
7628 = 39,06 5
Koefisien variasi → KV = s x 100 % = 39 , 06 ´ 100 % = 32 , 02 % 122 m ☺ Koefisien variasi pendapatan karyawan adalah 32,02%. ☺ Ternyata KV umur lebih kecil daripada KV pendapatan (14,29%<32,02%). Maka umur karyawan lebih seragam daripada pendapatan karyawan. 5.4 Ukuran Penyebaran Untuk Data Berkelompok 5.4.1 Simpangan Rata-rata k
SR = dengan :
·
å (f i =1
i
´ mi -m N
) i=1,2,..,k
mi = titik tengah kelas fi = frekuensi tiap kelas interval m = rata-rata hitung
(5.13)
N = banyak data/jumlah frekuensi k = banyak kelas interval
Contoh 5.6 Untuk data pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga, hitunglah simpangan rata-ratanya !
Prodi : AKE dan KAT
34
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 5 Tabel 5.5 Perhitungan simpangan Rata-rata
fi
Pengeluaran
mi
mi -m
fi ´ m i -m
50 – 55 1 52,5 I 52,5-68,9 I = 16,4 1X16,4=16,4 56 – 61 5 58,5 10,4 52 6 64,5 4,4 26,4 62 – 67 68 – 73 10 70,5 1,6 16 74 – 79 5 76,5 7,6 38 80 – 85 3 82,5 13,6 40,8 Jumlah 189,6 30 Catatan : berdasarkan perhitungan pada contoh 4.5 dan 4.6 (hal.20-21) diperoleh m = .... k
SR =
å (f i =1
´ mi -m
i
) =
N
☺ Simpangan rata-rata pengeluaran per hari untuk 30 keluarga adalah Rp 5.4.2 Varians Dan Standar Deviasi (Simpangan Baku) « Rumus Perkiraan Varians & Standar Deviasi Dengan Metode Langsung
å [ f ´ (m k
Varians → s
2
=
i =1
i
i
·
2
]
(5.14)
N
Standar Deviasi → s = s dengan :
-m)
(5.15)
2
mi = titik tengah kelas fi = frekuensi tiap kelas interval m = rata-rata hitung
N = banyak data/jumlah frekuensi k = banyak kelas interval
Contoh 5.7 (berdasarkan contoh 5.6) Hitunglah Varians dan Standar Deviasi untuk pengeluaran per hari untuk 30 keluarga!
Tabel 5.6 Perkiraan Varians & Standar Deviasi Dengan Metoda Langsung 2 mi - m fi mi Pengeluaran (m i - m )2 f i ´ (m i - m )
50 – 55 56 – 61 62 – 67 68 – 73 74 – 79 80 – 85 Jumlah
1 5 6 10 5 3 30
52,5 58,5 64,5 70,5 76,5 82,5 -
52,5-68,9=-16,4 -10,4 -4,4 1,6 7,6 13,6 -
268,96 108,16 19,36 2,56 57,76 184,96 -
1X268,96=268,96 540,80 116,16 25,60 288,80 554,88 1795,20
Jawab : Catatan : berdasarkan perhitungan pada contoh 4.5 dan 4.6 (hal.20-21) diperoleh m = .... § Varians
å [ f ´ (m k
s
2
=
i =1
i
i
-m
)2 ]
N
=
Standar Deviasi → s = s 2 = ☺ Varians pengeluaran per hari untuk 30 keluarga adalah dan standar deviasinya adalah Rp
§
Prodi : AKE dan KAT
35
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 5 « Rumus Perkiraan Varians & Standar Deviasi Dengan Metode Short Cut 2 k ö æ k ç å ( f ´ d 2 ) æç å ( f ´ d ) ö÷ ÷ i i i i ç Varians → ÷ ÷ s 2 = p 2 ´ ç i =1 - ç i =1 ÷ ÷ ç N N ç ÷ ÷÷ ç ç ø ø è è
dengan :
p
=
panjang kelas interval nilai sandi, dimana d i =
di =
(5.16)
mi -ma p
m 0 = rata-rata hitung yang diasumsikan, yakni nilai titik tengah kelas interval dimana di dihargakan nol. Letak di = 0 disembarang kelas interval, namun diusahakan di kelas dengan frekuensi terbesar. frekuensi kelas banyak data/ jumlah frekuensi
fi = N = ·
Contoh 5.8 (berdasarkan contoh 5.7) Hitunglah Varians dan Standar Deviasi untuk pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga dengan metode short cut ! Jawab : Tabel 5.7 Perkiraan Varians & Standar Deviasi Dengan Metoda Short Cut
Pengeluaran 50 – 55 56 – 61 62 – 67 68 – 73 74 – 79 80 – 85 Jumlah
fi 1 5 6 10 5 3 30
mi 52,5 58,5 64,5 70,5 76,5 82,5 -
di -3 -2 -1 0 1 2 -
di 2
f i x di
f i x di 2
9 4 1 0 1 4 -
-3 -10 -6 0 5 6 -8
9 20 6 0 5 12 52
Catatan : Dari tabel diperoleh : p = (nilai titik tengah dengan frekuensi kelas terbesar) m0= æ k çå f ´d i ç ´ ç i =1 N ç ç è
(
§
Varians → s
§
Standar deviasi → s = s
2
= p
2
2
2 i
)
æ k ç å (f i ´ d - ç i =1 ç N ç è
ö i )÷ ÷ ÷ ÷ ø
2
ö ÷ ÷ ÷= ÷ ÷ ø
=
☺ Varians pengeluaran per hari untuk 30 keluarga adalah dan standar deviasinya adalah Rp 5.4.3
Koefisien Variasi KV =
·
s ´ 100 % m
(5.17)
Contoh 5.9 Untuk contoh soal pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga, besarnya koefisien variasinya adalah...... ?
Prodi : AKE dan KAT
36
Created by Simpo PDF Creator Pro (unregistered version) http://www.simpopdf.com Statistik Bisnis : BAB 5 Jawab : s KV = ´ 100 % = m ☺ Koefisien variasi untuk data pengeluaran per hari 30 keluarga adalah
5.5 Nilai Baku (Skor z) · Definisi : Apabila dari sebuah populasi berukuran N, diukur variabel X yang memberikan hasil pengukuran x1, x2,..., xN, dengan tingkat pengukuran interval/rasio. Diperoleh rata-rata μ, dan simpangan baku σ. Maka penyimpangan data dari rata-rata yang dinyatakan dalam satuan simpangan baku didefinisikan sebagai :
zi =
xi - m s
i = 1,2,..., N
(5.18)
· ·
z1, z2,..., zn mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1. Bilangan baku sering digunakan untuk membandingkan keadaan distribusi dari dua fenomena.
·
Contoh 5.10 Budi memperoleh nilai 83 pada UAS Statistik, dimana rata-rata kelas dan simpangan bakunya masing-masing 75 dan 12. Sedangkan pada UAS Kalkulus dimana rata-rata kelasnya 83 dan simpangan bakunya 16 ia memperoleh nilai 90. Dalam mata kuliah mana Budi mencapai kedudukan yang lebih baik? Jawab : § §
x -m = s x -m = Untuk mata kuliah Kalkulus → z = s
Untuk mata kuliah statistik → z =
simpangan baku di atas rata-rata nilai Statistik, ☺ Artinya Budi mendapat dan hanya simpangan baku di atas rata-rata nilai Kalkulus. Maka Budi memperoleh kedudukan yang lebih tinggi dalam mata kuliah
Prodi : AKE dan KAT
37
