POKOK BAHASAN
: Ukuran Penyebaran
SUB POKOK BAHASAN : a. Range, b. RAK, c.
SD,
d. Varians, TIK : Mahasiswa dapat : a.
Menjelaskan analisa deskriptif dengan ukuran penyebaran
b.
mampu melakukan analisa deskriptif dengan ukuran penyebaran
Uraian Materi : Ukuran penyebaran ini menunjukkan suatu variasi dari suatu distribusi data. Dengan mengetahui variasi suatu data maka kita bisa mengambil kesimpulan secara lebih tepat tentang distribusi suatu data.
A. Rentang (RANGE) Nilai rentang ini menunjukkan selisih antara data yang paling tinggi dengan data yang paling rendah. Dengan melihat ukuran ini maka dapat diketahui gambaran secara kasar tentang variasi suatu distribusi data. Nilai range ini sangat kasar, karena tidak mempertimbangkan nilai-nilai yang lain selain nilai ekstrimnya. Adapun rumusnya adalah sebagai berikut:
range = max − min Contoh: Pada data Tabel satu diperoleh range pada masing masing mata kuliah adalah: Matakuliah A B C
Max – min 50 - 50 75 – 25 85 – 10
range 0 50 70
Maka secara kasar dapat disimpulkan bahwa sebaran nilai pada matakuliah C paling bervariasi dibandingkan dengan nilai mata kuliah A dan B. Nilai range sama dengan 0 pada matakuliah A menunjukkan bahwa distribusi nilai A adalah homogen. Semakin besar nilai rentang maka distribusi data semakin bervariasi. B. Rentang Antar Kuartil Ukuran penyebaran yang dihitung dari selisih kuartil ketiga dan kuatil pertama merupakan Variasi 50 % populasi dengan menghilangkan 25 % disisi kiri & 25 % disisi kanan. di rumuskan
RAK : K3 – K1 C. Simpangan Kuartil Ukuran penyebaran yang dihitung dari setengah simpangan kuartil. merupakan ukuran yang baik dibandingkan rentang antar kuratil dirumuskan
SK : ½ (K3 – K1) D. Simpangan Rata-rata Untuk menutup kekurangan dari nilai range maka bisa dihitung nilai simpangan rata-rata (Mean Deviation). Simpangan rata-rata (SR) memperhitungan nilai-nilai lain selain nilai ekstrim distribusi data. Adapun rumusnya adalah sebagai berikut:
n
∑ SR =
xi − x
i =1
n
Dimana :
xi = nilai ke i, x bar = nilai rerata distribusi data n = jumlah data Sebagai contoh:
ada data sebagai berikut : 6, 7, 8, 9, 9,10, maka rata rata simpangan = * Examp. X1
* x=
(x1 - x )
6
(6 – 8,16) = 2,16
7
(7 – 8,16) = 1,16
8
(8 – 8,16) = 0,16
9
(9 – 8,16) = 0,84
9
(9 – 8,16) = 0,84
10
(10 – 8,16) =
2,84 ∑=7
∑ x 49 = = 8,16 n 6
* RS =
∑( x1 − x) 7 = = 1,16 6 n
* 6 – 8,16 =
2,16 = 1,86 = RS 1,16
* 10 – 8,16 =
1,84 = 1,58 = RS 1,16
Deviasi / Penyebaran Berkisar antara = 1,86 RS s/d 1,58 RS
E. Variansi (Variance) Simpangan baku atau standard deviation merupakan bentuk akar pangkat 2 dari Variansi. Biasanya ukuran variansi ini diberi simbul sebagai S2 (s pangkat 2). Sebenarnya yang merupakan ukuran simpangan adalah simpangan baku, namun demikian ukuran variansi ini merupakan ukuran pangkat dua dari simpangan baku, sehingga bisa juga dianggap sebagai ukuran penyebaran. Data tidak berkelompok : S2 = S2 = Data berkelompok = S2 =
∑( x1 − x) 2 n −1
n ∑ .x12 − (∑ .x1) 2 n(n − 1)
∑ f ( x1 − x) 2 n ∑ fi.x12 − (∑ fi.xi ) 2 ⇒ S2 = n −1 n(n − 1)
F. Simpangan Baku (Standard Deviation) Simpangan baku ini merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Ukuran ini dikenalkan oleh Karl Pearson. Dengan menggunakan simpangan rata-rata hasil pengamatan penyebaran sudah memperhitungkan seluruh nilai yang ada pada data. Namun demikian karena dalam penghitungan menggunakan nilai absolut maka tidak dapat diketahui arah penyebarannya. Maka dengan simpangan baku kelemahan ini dapat diatasi, yakni dengan cara membuat nilai pangkat 2, sehingga nilai negatif menjadi positif. Simpangan baku ini merupakan ukuran penyebaran yang paling teliti.
Simpangan baku/Standar Deviasi =
S2
Contoh Example data tidak berkelompok ada data sebagai berikut : 6, 7, 8, 9, 9,10,
Xi
2,162 = 4,6
6
Xi2
∑ ( xi − x) 2
2
36
7
1,16 = 1,3
49
8
0,162 = 0,02
64
9
0,842 = 0,7
81
9
0,842 = 0,7
81
10
1,842 =
∑( xi − x) 2 S = n −1 2
3,3 ∑10,62
100
10,62 = 2,12 5
S =
S 2 = 2,12 = 1,45
Perhitugan dengan Rumus ke dua : S2 =
n ∑ xi 2 − (2xi ) 2 n(n − 1)
6,441 − (49) 2 = 6(6 − 1)
=
246,6 − 2401 30
S2 = 65/30 = 2,16 S =
2,16 = 1,46
Penyimpangan 1,48 SD s/d 1,26 SD Jika ada data yang – 3 SD < x < 3 SD sebaiknya data dihilangkan
Example data berkelompok Interval
f
Xi
(Xi – X)2
f.(Xi – X)2
5–9
6
7
83,3
499,8
10 – 14
11
12
17,05
187,55
15 – 19
17
17
0,75
12,75
20 – 24
9
22
34,4
309,6
25 – 29
3
27
118,5
354,45
<46
S2 = = S =
∑ f ( xi − x) 2 n −1
∑:85
x = 16,13 →
1364,15 1364,15 = = 80,32 46 − 1 45 S 2 = 30,32 = 5,5
∑ : 1364,15
∑ fi.xi 742 = = 16,13 n 46
Contoh perhitungan lainnya :
Interval
F
Xi
∑.fi.x2
X 12
Fi.xi
5–9
6
7
49
294
42
10 – 14
11
12
144
1584
132
15 – 19
17
17
289
4913
289
20 – 24
9
22
484
4356
198
25 – 29
3
27
729
2187
81
∑ : 85
∑ : 1965
∑ : 13334
∑ > 42
X =
S2=
∑ . fi. Xi 742 = = 16,13 n 46 n ∑ . fi. Xi 2 − (∑ . fi. Xi ) 2 n(n − 1)
46.13334 − (742) 2 = 46(46 − 1)
=
613364 − 550564 46(45)
=
62800 = 30,33 2070
S=
=
S2
30,33 = 5,5
G. Koefisien Variansi (Coefficien of Variance) Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut. Sebagai contoh pada suatu pengukuran tinggi badan mahasiswa diperoleh rerata 165 cm dengan standar deviasi 2,5 cm dan hasil penimbangan diperoleh rerata berat badanya adalah 56 kg dengan standar deviasi 1,2 kg. Dari hasil pengamatan ini kita tidak bisa menyimpulkan bahwa tinggi badan mahasiswa lebih bervariasi bila dibandingkan dengan berat badannya.
Untuk mengatasi permasalahan ini maka harus dihitung suatu ukuran penyebaran relative, yakni Koefisien Variansi (KV). Rumusnya dapat dilihat sebagai berikut:
KV =
S x100% x
Dalam contoh kasus diatas maka : -
KV tinggi badan adalah 1,5 %
-
KV berat badan adalah 2,14 %
Maka dapat disimpulkan bahwa data berat badan lebih bervariasi bila dibandingkan dengan tinggi badan.
Sumber Pustaka 1.
Sudjana, Metode Statistika , Tarsito, Bnadung, 1996
2.
Sugiyono, Statistika untuk penelitian, Alfabeta, Bandung,2002
3.
Husaini usman dkk , Pengantar Statistika, Bumi Aksara, Jakarta, 2003
4.
Djarwanto, Statistik sosial ekonomi, BPFE, Yogyakarta,1993
