Computer Aided Instruction (CAI)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1

Pengajaran Berbantuan Komputer/Computer Aided Instruction (CAI)

Komputer sebagai salah satu bentuk teknologi canggih dapat digunakan sebagai alat bantu dalam melaksanakan kegiatan pembelajaran. Dengan bantuan komputer para guru dapat memanfaatkan berbagai sumber informasi yang ada di sekelilingnya sebagai sumber belajar. Para guru dapat menggunakan berbagai program komputer untuk membuat pembelajarannya lebih kaya informasi dan sekaligus lebih menarik, sehingga dapat menimbulkan motivasi belajar pada para siswanya. Guru diharapkan dapat memanfaatkan berbagai sumber belajar yang mudah digunakan baik sebagai bahan belajar mandiri maupun sebagai bahan pengayaan, seperti halnya CD Pembelajaran yang biasa disebut Pengajaran Berbantuan Komputer atau selanjutnya disebut sebagai CAI.

Program CAI merupakan salah satu bentuk pemakaian komputer dalam pengajaran. Banyak penelitian menunjukkan bahwa belajar dengan memanfaatkan CAI akan lebih efektiv dibanding dengan alat bantu lainnya [Herman, D. S., 1995; Subardjono, 1992; Kulik dkk, 1990; Chuang, 1991; dan Bright, 1983]. Disamping itu motivasi dan rasa percaya diri meningkat melalui pembelajaran berbatuan komputer disebabkan karena terciptanya suasana belajar yang mandiri, umpan balik segera dan penguatan pemahaman.

Namun tidak semua program CAI yang tersedia di pasaran dapat menjadikan proses belajar mengajar lebih efektiv yaitu program-program CAI yang dibuat secara sembarang (Clark, 1983, hal: 445-549). Oleh karena itu alangkah baiknya apabila guru yang menguasai bidang studi tertentu membuat sendiri program CAI untuk anak

Universitas Sumatera Utara

8

didiknya. Dengan demikian program CAI dapat direncanakan dan dikembangkan dengan baik sesuai dengan prinsip-prinsip instruksional.

2.1.1 Definisi CAI

CAI dapat didefinisikan sebagai sebuah bentuk teknologi informasi yang diterapkan dibidang pendidikan dalam bentuk sekolah maya. Pada umumnya CAI merupakan segala aktivitas pendidikan yang menggunakan media komputer. Jadi pada CAI aktivitas pemberian materi, menarik minat siswa untuk mengikuti pelajaran, memberikan tes dan memberikan umpan balik semuanya dilakukan oleh komputer.

Istilah CAI umumnya menunjuk pada semua software pendidikan yang diakses melalui komputer dimana siswa dapat berinteraksi dengannya. Sistem komputer menyajikan serangkaian program pengajaran kepada siswa baik berupa informasi maupun latihan soal-soal untuk mencapai tujuan pengajaran tertentu dan siswa melakukan aktivitas belajar dengan cara berinteraksi dengan sistem komputer. Materi pelajaran dapat disajikan program CAI melalui berbagai metode seperti: drill and practice, tutorial, simulasi, permainan, problem-solving, dan lain sebagainya (Heinich, 1993, hal: 220-226).

Jadi dapat disimpulkan bahwa CAI adalah salah satu metode pengajaran yang digunakan untuk membantu pengajar dalam mengajarkan materi secara interaktif dalam sebuah program tutorial dengan menggunakan suatu aplikasi komputer. Dalam menyampaikan pengajaran, perangkat lunak CAI dapat mengontrol berbagai proses, seperti penyajian materi kepada pemakai untuk dibaca dan dipelajari, memberikan petunjuk dan latihan mengenai materi yang dipelajari, memberikan pertanyaan dan masalah untuk dijawab serta memberikan penilaian dari hasil belajar kepada pemakai. Pemakai dapat berinteraksi melalui alat-alat input, seperti keyboard atau penekanan tombol dengan menggunakan mouse, yang hasilnya dapat ditampilkan melalui layar monitor dan printer.


9

2.1.2 Prinsip Pengembangan Program CAI

Pada prinsipnya langkah pertama dalam mengembangkan program CAI adalah menentukan metode apa yang akan digunakan. Penentuan metode ini tergantung dari jenis mata pelajarannya, level kognitif yang akan dicapai, dan macam kegiatan belajarnya. Program CAI drill and practice berisi rangkaian soal-soal latihan guna meningkatkan keterampilan dan kecepatan berfikir pada mata pelajaran tertentu, terutama adalah matematika dan vocabulary (bahasa asing). Sebelum mengerjakan program drill and practice siswa dianggap telah mempelajari materi pelajaran. Meskipun programnya sederhana aspek-aspek umpan balik dan penilaian harus ada. Bentuk soal latihan bisa pilihan berganda, mengisi, atau benar-salah, sedangkan kesempatan menjawab bisa beberapa kali bila salah.

Dalam metode tutorial, komputer berperan layaknya sebagai seorang guru. Siswa berpartisipasi secara aktif dalam proses belajarnya dengan berinteraksi melalui komputer. Materi pelajaran dalam satu sub topik disajikan lebih dulu kemudian diberikan soal latihan. Respon siswa kemudian dianalisis komputer dan siswa diberi umpan balik sesuai dengan jawabannya. Komputer biasanya memberikan alternatif percabangan. Semakin bervariasi alternatif percabangan, program tutorial akan semakin dapat memenuhi kebutuhan berbagai individu.

Simulasi merupakan suatu model atau penyederhanaan dari situasi, obyek, atau kejadian sesungguhnya. Program CAI dengan metode simulasi memungkinkan siswa memanipulasi berbagai aspek dari sesuatu yang disimulasikan tanpa harus menanggung resiko yang tidak menyenangkan. Siswa seolah-olah terlibat dan mengalami kejadian sesungguhnya dan umpan balik diberikan sebagai akibat dari keputusan yang diberikannya.

Setelah menentukan metodenya, langkah selanjutnya adalah memperhatikan beberapa aspek penting dalam perencanaan program CAI. Aspek-aspek ini menurut Simonson dan Thompson (1994, hal: 45-51) adalah:


10

1. Umpan balik Setelah memberikan respon, siswa harus segera diberi umpan balik. Umpan balik bisa berupa komentar, pujian, peringatan atau perintah tertentu bahwa respon siswa tersebut benar atau salah. Umpan balik akan semakin menarik dan menambah motivasi belajar apabila disertai ilustrasi suara, gambar atau video klip.

2.

Percabangan Percabangan adalah beberapa alternatif jalan yang perlu ditempuh oleh siswa

dalam kegiatan belajarnya melalui program CAI. Program memberikan percabangan berdasarkan respon siswa. Misalnya, siswa yang selalu salah dalam menjawab pertanyaan materi tertentu, maka program harus merekomendasikan untuk mempelajari lagi bagian tersebut. Atau bila siswa mencapai skor tertentu, siswa bisa langsung menuju ke tingkat atas dan sebaliknya.

3. Penilaian Program CAI yang baik harus dilengkapi dengan aspek penilaian. Untuk mengetahui seberapa jauh siswa memahami materi yang dipelajari, pada setiap sub topik siswa perlu diberi tes atau soal latihan.

4. Tampilan Karena program CAI dikerjakan melalui layar monitor, maka perlu diperhatikankan jenis informasi, komponen tampilan, dan keterbacaan. Jenis informasi yang ditampilkan bisa berupa teks, gambar, suara, animasi atau video klip. Ilustrasi dan warna bisa menarik perhatian siswa, tetapi bila berlebihan akan mengecohkan. Satu layar bila mungkin berisi satu ide atau pokok bahasan saja. Komponen tampilan yang penting adalah identifikasi tampilan seperti nomor halaman, judul atau sub-judul yang sedang dipelajari, perintah-perintah seperti untuk maju, mundur, berhenti dan sebagainya.


11

2.1.3 Model dari CAI

CAI dapat berfungsi untuk membantu siswa belajar dan membantu pengajar untuk memberikan informasi dan tugas-tugas. Menurut Budiarjo (1991), model CAI bisa dibedakan menjadi lima jenis, yaitu: Tutorial, Latih dan Praktik, Pemecahan Masalah, Simulasi, dan Permainan.

1. Tutorial Model ini memakai teori dan strategi pembelajaran dengan memberikan materi, pertanyaan, contoh, latihan dan kuis agar murid dapat menyelesaikan suatu masalah. Informasi atau mata pelajaran disajikan dalam modul-modul kecil, lalu disusul dengan pertanyaan. Respon siswa dianalisis komputer (dibandingkan dengan jawaban yang telah diintegrasikan oleh pembuat program), umpan balik yang benar diberikan. Teknik mengajar, teknik evaluasi, alternatif pertanyaan dan jawabannya dipersiapkan dengan baik, sehingga siswa merasa berinteraksi langsung dengan pengajar. Bentuk tutorial ini biasa dipakai dalam segala tingkat pendidikan.

2. Latih dan praktik Model ini merupakan salah satu bentuk CAI dimana metode pengajaran dilakukan dengan memberikan latihan yang berulang-ulang. Pendekatan ini menekankan pengajaran dengan menghafal tanpa memberikan kemampuan untuk memahaminya, atau dikenal dengan pendekatan rote memory, dimana ingatan manusia dilatih dengan memberikan latihan yang terus-menerus sehingga materi akan tertanam dalam otak. Bentuk ini cocok dipakai dalam tingkat pendidikan dasar.

3. Pemecahan masalah Pada

model

ini

siswa

dituntut

untuk

menganalisis

masalah

dan

memecahkannya. Tujuannya agar siswa dapat memperoleh pengertian yang lebih mendalam mengenai masalah yang sangat kompleks.

4. Simulasi Model ini digunakan untuk mengkaji permasalahan yang rumit, aspek penting dari objek dicatat oleh komputer, model dibuat semirip mungkin dengan model nyata


12

dari permasalahan yang dipelajari oleh siswa, sehingga siswa dapat mengkaji kaitan antara besaran objek yang penting, cara ini banyak digunakan di biologi, transportasi, ekonomi dan ilmu komputer.

5. Model permainan Untuk dunia akademis, permainan seringkali dapat dimanfaatkan untuk menambah pengetahuan dengan cara yang santai karena di dalam permainan terdapat unsur hiburan. Permainan dapat dilakukan berulangkali sehingga dapat melatih kecepatan respon dari pemakai. Metode ini dapat juga berupa simulasi, yang mempunyai lawan dalam melakukan permainan.

2.1.4 Ciri Sistem CAI

Adapun ciri-ciri sistem CAI, yaitu: a. Pelajar dapat mengakses materi ajar: i

Tanpa dibatasi waktu

ii Tanpa dibatasi ruang dan tempat b. Dukungan komunikasi: i

Sinkron

ii Asinkron iii Dapat direkam c. Jenis materi ajar: i

Multimedia (teks, gambar, audio, video, dan animasi)

d. Paradigma pendidikan “learning-oriented”: i

Asumsi: setiap pelajar ingin belajar dengan sebaik-baiknya

ii Pelajar akan secara aktif terlibat dalam membangun pengetahuannya dan mengaitkannya dengan apa-apa yang telah diketahuinya atau dialaminya.


13

2.1.5 Karakteristik-Karakteristik dari CAI yang Efektiv

Karakteristik CAI yang efektiv bervariasi, sesuai dengan kepentingannya dan tergantung pada situasi-situasi pelajaran yang dievaluasi. Adapun karakteristikkarakteristik tersebut antara lain:

1. Sesuai dengan tujuan pembelajaran CAI yang efektiv harus sesuai dengan tujuan pembelajaran yang akan dicapai. CAI yang hanya menampilkan tampilan yang bagus saja tidak efektiv bila tidak sesuai dengan tujuan pembelajaran.

2. Disesuaikan dengan karakteristik siswa CAI yang efektiv harus sesuai dengan karakteristik siswa, misalnya bila CAI itu akan digunakan untuk siswa SD, maka dalam CAI itu harus menampilkan warnawarni yang cerah, kata-kata yang sederhana dan suara yang dapat menarik perhatian siswa.

3. Memaksimalkan interaksi Keuntungan yang paling besar dalam pembelajaran yang dikomputerisasi dibandingkan pembelajaran berdasarkan buku teks dan media lainnya adalah lebih berpotensi untuk melakukan interaksi selama pelajaran berlangsung. Hal ini dikarenakan kemampuan komputer dalam menampilkan gambar-gambar, animasi serta suara yang dapat menarik perhatian siswa, sehingga interaksi antara siswa dengan pelajaran dapat maksimal.

4. Menarik minat siswa Jangan mengasumsikan bahwa belajar dengan menggunakan komputer akan memotivasi siswa. Walaupun beberapa siswa lebih suka bentuk pembelajaran dengan komputer, tetapi hal itu tidak akan berlangsung lama apabila isi dari komputer itu tidak menarik minat mereka. Pelajaran yang tidak menarik minat siswa tidak hanya gagal secara instruksional tetapi juga akan mengurangi antusias siswa pada pelajaran berikutnya.


14

5. Melakukan pendekatan yang positif kepada siswa Sifat dari CAI yang efektiv harus menyerupai seperti antara guru dengan murid pada pertemuan tatap muka. Satu alasan yang membuat siswa senang dengan CAI yaitu mereka merasa nyaman dan merasa bahwa CAI merupakan media yang tidak mengancam. Seorang perancang CAI harus bisa membuat komputer tidak menghukum siswa ketika mereka berbuat kesalahan.

6. Menyediakan feedback yang beragam Siswa yang masih anak-anak senang atau bahkan membutuhkan umpan balik yang positif yang menunjukkan bahwa mereka telah melakukan sesuatu dengan baik. Dengan kata lain, mereka akan merasa senang apabila mereka diberikan suatu pujian apabila mereka melakukan pekerjaannya dengan baik. Sebaliknya, siswa dewasa lebih memilih untuk menyingkirkan umpan balik yang positif dengan alasan agar proses belajar lebih efisien.

7. Menggunakan sumber daya komputer yang baik Perancang CAI yang efektiv harus mengetahui kemampuan dari sistem komputernya untuk mengembangkan pelajaran dan mampu membuat pelajaran lebih efektiv.

8. Mengacu pada prinsip desain pembelajaran Sebuah desain pembelajaran yang baik dapat memotivasi siswa, memberitahu siswa tentang tujuan pembelajaran, menampilkan perintah yang tersusun rapi, mengevaluasi perkembangan secara berkala, menyediakan variasi umpan balik. CAI yang efektiv harus dapat melakukan itu semua.

2.1.6 Kelebihan dan Kekurangan CAI

Walaupun potensi CAI sebagai media pendidikan telah dikembangkan namun masih ada saja program CAI yang memprihatinkan dan banyak program CAI yang kurang nilai-nilai pendidikan. Seperti halnya media pendidikan yang lain CAI juga memiliki


15

kelebihan dan kekurangannya. Namun semua itu tergantung kepada keahlian pengembangannya dan perhatian yang diberikan selama program itu dikembangkan.

2.1.6.1

Kelebihan CAI

Kelebihan dalam penerapan CAI diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Meningkatkan interaksi Interaksi disini adalah aktivitas pertukaran informasi antara komputer dengan penggunanya dalam hal ini siswa. Ketika komputer menampilkan suatu pesan maka siswa harus meresponnya. Karena kerja komputer berdasarkan respon yang diberikan siswa, maka pelajaran dalam CAI terikat langsung oleh respon yang diberikan siswa. Dengan CAI maka interaksi antara siswa dengan materi lebih banyak karena siswa langsung menyimak materi tanpa ada rasa takut, terlalu cepat dan sebagainya.

2. Individualisasi Individualisasi diawali dengan pre test, dimana pre test ini digunakan untuk mengetahui bahwa siswa telah memiliki kemampuan prasyarat yang dibutuhkan untuk kesuksesan belajar siwa selanjutnya. Individualisasi digunakan untuk membuat pelajaran lebih menarik, lebih relevan dan lebih efisien.

3. Efektivitas biaya Salah satu alasan kuat digunakannya CAI adalah masalah administrasi, karena penggunaan pelayanan dalam CAI tidak membutuhkan kehadiran seorang guru, CAI dapat digunakan dimalam hari, hari-hari libur yang dimana biasanya guru tidak bisa hadir. Dengan kata lain waktunya bisa kapan saja.

4. Motivasi Banyak siswa yang menganggap bahwa CAI sangat menarik perhatian mereka, walaupun alasan ketertarikan mereka terhadap CAI sangat beragam. Beberapa siswa mengatakan bahwa belajar dengan mesin sangat berbeda dengan belajar dengan guru. Siswa lain mengatakan mereka menyukai CAI karena mereka tertarik pada komputer sehingga pembelajaran menjadi efisien (Bright, 1983), atau dengan CAI maka proses pembelajaran dapat dikendalikan oleh tingkat kemampuan siswa.


16

5. Umpan balik Umpan balik lebih cepat diterima dalam penggunaan CAI dibandingkan media lain yang sulit atau tidak bisa menerima umpan balik, jawaban siswa bisa dievaluasi dengan cepat. Kemampuan komputer untuk mengevaluasi dan merespon lebih cepat dibandingkan kemampuan instruktur. Kemampuan ini membuat CAI efektiv dan efesien.

6. Keutuhan pelajaran Dengan CAI beberapa bentuk aktivitas seperti membaca, melihat video tape dapat ditampilkan dalam satu layar. Melalui CAI dapat meyakinkan bahwa topik-topik akan disajikan secara utuh. Hal ini berbeda sekali dengan kegiatan pembelajaran yang konvensional, apabila guru menjelaskan suatu bagian topik terlalu lama maka topik yang lain mungkin tidak disampaikan karena waktunya sudah habis.

7. Kendali peserta belajar Salah satu hal yang menarik dari siswa dan CAI adalah terjaminnya kewenangan penuh (otoritas) siswa dalam mengambil keputusan-keputusan penting selama proses instruksional untuk memperbesar hasil belajar individu. Jadi siswa dapat menentukkan topik-topik apa saja yang disukai dan siswa bebas untuk memilih untuk memulai pelajaran.

2.1.6.2

Kekurangan CAI

Kekurangan dalam penerapan CAI diantaranya adalah sebagai berikut: (Hannafin & Peck, 1988 dalam Sugilar, 1996) 1. Sangat bergantung pada kemampuan membaca dan keterampilan visual siswa. 2. Membutuhkan tambahan keterampilan pengembangan di luar keterampilan yang dibutuhkan untuk pengembangan pembelajaran yang lama. 3. Memerlukan waktu pengembangan yang lama. 4. Kemungkinan siswa untuk belajar secara tak sengaja (intidental learning) menjadi terbatas.


17

5. Hanya bertindak berdasarkan masukan yang telah terprogram sebelumnya, tidak dapat bertindak secara spontan. Namun kekurangan-kekurangan tersebut dapat diminimalkan dengan: 1. Menggabungkan CAI dengan peralatan lain seperti videodisc dan audiodisc sehingga tidak terlalu bergantung pada tampilan layar komputer. 2. Memilih paket CAI yang sudah dikembangkan pihak lain untuk menghindari lamanya waktu dan keterampilan mengembangkan CAI sendiri, dengan memperhatikan tujuan pembelajaran dan karakteristik pembelajaran siswa. 3. Menempatkan CAI sebagai tambahan dalam kegiatan belajar yang melibatkan tutor dan bahan yang tercetak (Hannafin & Peck, 1988 dalam Sugilar, 1996).

2.2

Problem Solving

Problem Solving atau pemecahan masalah merupakan bagian dari analitical thinking atau pemikiran analitis. Problem solving is the process of obtaining a satisfactory solution to a novel problem, or at least a problem which the problem solver has not seen before (Woods, 1975 hal: 1).

Sebuah strategi adalah bagian dari langkah yang saling terkait yang dipakai oleh pemecah masalah mencari solusi. Salah satu strategi untuk mengajar siswa adalah strategi yang disarankan oleh ahli matematika, Gyorgy Polya. Langkah-langkah dalam strategi Polya adalah: 1. Define Mengidentifikasi permasalahan yang ada. 2. Think about It a. Apa sajakah yang berkaitan dengan permasalahan tersebut? b. Mengidentifikasi daerah permasalahan c. Mengumpulkan informasi


18

3. Plan a. Diagram Solusi b. Memikirkan rencana alternatif c. Menterjemahkan 4. Carry Out Plan Memecahkan permasalahan 5. Look Back a. Verifikasi pemecahan masalah yang telah didefinisikan sebelumnya b. Identifikasi penerapan c. Menyimpulkan

2.2.1 Model Problem Solving dalam Pembelajaran Matematika

Model diartikan sebagai kerangka konseptual yang digunakan sebagai pedoman dalam melakukan suatu aktivitas tertentu. Dalam pengertian lain, model diartikan sebagai barang tiruan, metafor, atau kiasan yang dirumuskan. Pouwer (1974, hal: 243) menerangkan tentang model dengan anggapan seperti kiasan yang dirumuskan secara eksplisit yang mengandung sejumlah unsur yang saling tergantung. Sebagai metafora model tidak pernah dipandang sebagai bagian data yang diwakili. Model menjelaskan fenomena dalam bentuk yang tidak seperti biasanya.

Menurut Soekamto (1997, hal: 78), model pembelajaran merupakan kerangka yang melukiskan prosedur yang sistematis dalam mengorganisasikan pengalaman belajar untuk mencapai tujuan belajar tertentu, dan berfungsi sebagai pemandu bagi para perancang desain pembelajaran dan para pengajar dalam merencanakan dan melaksanakan aktivitas belajar mengajar.

Menurut Pepkin (2004, hal: 1), model problem solving adalah suatu model pembelajaran yang berpusat pada keterampilan pemecahan masalah. Ketika dihadapkan dengan situasi pertanyaan, siswa dapat melakukan keterampilan memecahkan masalah untuk memilih dan mengembangkan tanggapannya. Tidak


19

hanya dengan cara menghafal tanpa dipikir, keterampilan memecahkan masalah memperluas proses berpikir.

Suatu soal yang dianggap sebagai “masalah” adalah soal yang memerlukan keaslian berpikir tanpa adanya contoh penyelesaian sebelumnya. Masalah berbeda dengan soal latihan. Pada soal latihan, siswa telah mengetahui cara menyelesaikannya, karena telah jelas antara hubungan antara yang diketahui dengan yang ditanyakan, dan biasanya telah ada contoh soal. Pada masalah siswa tidak tahu bagaimana cara menyelesaikannya, tetapi siswa tertarik dan tertantang untuk menyelesaikannya. Siswa menggunakan segenap pemikiran, memilih strategi pemecahannya, dan memproses hingga menemukan penyelesaian dari suatu masalah (Suyitno, 2000, hal: 34).

Problem solving merupakan representasi dimensi-dimensi proses yang alami, bukan suatu usaha yang dipaksakan. Problem solving merupakan pendekatan yang dinamis, siswa menjadi lebih terampil sebab siswa mempunyai prosedur internal yang lebih tersusun dari awal. Dengan problem solving siswa dapat memilih dan mengembangkan ide dan pemikirannya. Berbeda dengan hafalan yang sedikit menggunakan pemikiran, problem solving memperluas proses berpikir.

2.2.2 Sasaran dari Problem Solving

Yang menjadi sasaran dari model pembelajaran problem solving adalah sebagai berikut: 1. Siswa akan mampu menyatakan urutan langkah-langkah pemecahan masalah dalam problem solving. 2. Siswa mampu menemukan kemungkinan-kemungkinan strategi pemecahan masalah. 3. Siswa mampu mengevaluasi dan menyeleksi kemungkinan-kemungkinan tersebut kaitannya dengan kriteria-kriteria yang ada. 4. Siswa mampu memilih suatu pilihan solusi yang optimal. 5. Siswa mampu mengembangkan suatu rencana dalam mengimplementasikan strategi pemecahan masalah.


20

6. Siswa mampu mengartikulasikan bagaimana problem solving dapat digunakan dalam berbagai bidang/situasi.

Osborn (1963), mengatakan bahwa problem solving mempunyai 3 prosedur, yaitu: 1. Menemukan fakta, melibatkan penggambaran masalah, mengumpulkan dan meneliti data dan informasi yang bersangkutan. 2. Menemukan gagasan, berkaitan dengan memunculkan dan memodifikasi gagasan tentang strategi pemecahan masalah. 3. Manemukan solusi, yaitu proses evaluatif sebagai puncak pemecahan masalah.

2.2.3 Langkah-langkah Problem Solving

Pepkin (2004, hal: 2) menuliskan langkah-langkah problem solving dalam pembelajaran matematika sebagai hasil gabungan prosedur Von Oech dan Osborn sebagai berikut:

1. Klarifikasi masalah Klarifikasi masalah meliputi pemberian penjelasan kepada siswa tentang masalah yang diajukan, agar siswa dapat memahami tentang penyelesaian yang diharapkan.

2. Pengungkapan gagasan Siswa dibebaskan untuk mengungkapkan gagasan tentang berbagai macam strategi penyelesaian masalah.

3. Evaluasi dan seleksi Setiap kelompok mendiskusikan pendapat-pendapat atau strategi-strategi yang cocok untuk menyelesaikan masalah.


21

4. Implementasi Siswa menentukan strategi yang dapat diambil untuk menyelesaikan masalah, kemudian menerapkannya sampai menemukan penyelesaian dari masalah tersebut.

Dengan

membiasakan

siswa

menggunakan

langkah-langkah

dalam

memecahkan masalah, diharapkan dapat membantu siswa untuk mengatasi kesulitan dalam mempelajari matematika.

2.3

Macromedia Flash Professional 8

Macromedia Flash adalah sebuah program yang ditujukan kepada para desainer maupun programer yang bermaksud merancang animasi untuk pembuatan halaman web, presentasi untuk tujuan bisnis maupun proses pembelajaran hingga pembuatan game interaktif serta tujuan-tujuan lain yang lebih spesifik.

Flash adalah program animasi berbasis vektor yang bisa menghasilkan file kecil (ringan) sehingga mudah diakses pada halaman web tanpa membutuhkan waktu loading yang lama. Flash menghasilkan file dengan ekstensi .FLA. Setelah file tersebut siap, selanjutnya file akan disimpan dalam format .SWF agar dapat dibuka tanpa menginstal perangkat lunak flash, tetapi cukup menggunakan Flash Player yang dipasang pada browser berbasis Windows.

Dibandingkan dengan versi sebelumnya yaitu versi 4.0, 5.0, 6.0 (Macromedia Flash MX), 7.0 (Macromedia Flash MX 2004), Macromedia Flash Professional 8 ini mempunyai beberapa kemampuan tambahan diantaranya menambahkan kemampuan video yang baru, manajemen warna dengan tingkat lebih tinggi, mengoptimasikan bidang kerja sehingga layar terasa lebih leluasa dengan menghadirkan Contextsensitive Property Inspector. Flash Professional 8 memberikan kemampuan akses Aplication Developer dengan bahasa pemrograman (scripting) dan debugging tool, kode referensi yang tersedia secara built-in serta komponen-komponen Flash yang semakin kaya untuk aplikasi Web.


22

Format video Flash Professional 8 telah memiliki peningkatan kapabilitas untuk menerima (mengimpor) berbagai format video seperti format MPG, DV (Digital Video), MOV (QuickTime), dan AVI. Ketika anda mengimpor, sebuah kotak dialog tampil dengan setting kompresi, dan video yang di-embed langsung pada dokumen Flash Professional 8.

Dalam menggunakan software ini ada beberapa persyaratan minimal sebelum diinstal ke komputer untuk menjamin bahwa program dapat berjalan secara optimum, yaitu: Processor

:

Intel Pentium III-800 MHz atau processor terbaru.

Memori

:

128 MB (dianjurkan 256 MB).

CD-Rom

:

52x

Harddisk

:

10 GB

Monitor

:

SVGA 1024x768 pixel dengan kedalaman warna 16 bit.

2.3.1 Graphical User Interface (GUI)

Karena Macromedia Flash Professional 8 merupakan program berbasis Windows, maka pemakai dapat menggunakan program ini dengan lebih mudah karena dapat mendesain secara visual. Berikut tampilan antarmuka dari program Macromedia Professional 8.


23

Gambar 2.1 Interface Flash Professional 8

Keterangan: 1. Main Bar Main bar merupakan menu baris/pulldown menu yang dipergunakan untuk mengakses beberapa perintah yang ada di Flash. Menu ini berisi sub menu yang disertai dengan shortcut. 2. Toolbar Menu ini ditandai dengan icon-icon yang fungsinya sama seperti menu bar. 3. Toolbox Tollbox

merupakan

alat

bantu

dalam

menggambar

suatu

objek

seperti

garis,lingkaran, persegi empat, text, pemberi warna. Juga dapat dipergunakan untuk menghapus menzoom, maupun memilih objek. 4. Layer Layer merupakan lapisan-lapisan yang dipergunakan untuk menampilkan kumpulankumpulan objek atau komponen, baik gambar, animasi maupun video. Layer dapat dijalankan secara bersamaan.


24

5. Panel Panel merupakan jendela tambahan yang dipergunakan untuk mengedit/mengatur performan dari suatu objek. Flash memiliki beberapa panel sesuai dengan fungsinya. Panels biasanya terletak di bagian kanan area Flash. Untuk menampilkan panel tertentu, klik menu Window > (Nama Panel). 6. Controller Controller merupakan tombol-tombol yang dipergunakan untuk menjalankan movie yang berisi tombol play, pause, stop dan lain-lain. 7. Time Line Time line merupakan tempat dimana animasi objek akan dijalankan. Time line juga berfungsi untuk menentukan kapan suatu objek dimunculkan atau dihilangkan berdasarkan satuan waktu. Pada time line terdapat frame, layer dan playhead. 8. Frame Frame merupakan bagian-bagian dari movie yang dijalankan bergantian dari kiri ke kanan. Masing-masing frame terdiri atas satu gambar. 9. Play Head Play head dipergunakan untuk menunjuk posisi dari frame yang sedang dijalankan. 10. Ruler Ruler merupakan mistar bantuan yang terletak di sebelah atas maupun kiri dari stage yang berfungsi untuk mengukur ketepatan penggambaran maupun peletakan suatu objek. 11. Stage Stage dipergunakan sebagai daerah tempat meletakkan objek. Objek-objek yang terletak didalam stage akan ditampilkan dalam movie, sedangkan yang berada di luar stage tidak.

2.3.2 Konsep Dasar Animasi

Konsep dasar dari sebuah animasi terdiri dari beberapa bentuk,diantaranya movie clip, objek, teks, sound dan simbol.


25

2.3.2.1

Movie clip

Animasi yang buat dalam Flash secara umum disebut dengan movie. Dalam membuat animasi, maka seseorang akan mengatur jalan cerita dari animasi tersebut, membuat beberapa objek dan merangkainya menjadi suatu bagian yang bermakna tertentu. Suatu movie terkadang terdiri dari beberapa animasi yang biasa disebut movie clip. Clip-clip movie tersebut dapat dirangkai kembali menjadi movie baru. Suatu animasi/movie clip akan dijalankan dalam suatu scene yang dapat dianalogkan sebagai suatu episode.

2.3.2.2

Objek

Sebelum membuat animasi, maka terlebih dahulu membuat objek. Kemudian mengatur gerakan-gerakan dari objek tersebut. Flash menyediakan tool untuk membuat objek sederhana seperti garis, lingkaran, persegi empat.

2.3.2.3

Teks

Pada toolbox disediakan fasilitas untuk menulis teks. Dengan teks dapat ditulis pesan yang akan sampaikan pada animasi. Selain itu pesan/teks dapat dibuat dalam bentuk animasi. Untuk dapat menjalankan teks sesuai dengan animasi yang diinginkan. Dalam Flash teks dikategorikan dalam tiga jenis yaitu teks statis label, teks dinamis, dan teks input.

2.3.2.4

Sound

Animasi yang dibuat dapat disertakan dengan sound agar tampak lebih menarik. Penambahan sound pada suatu movie akan memperbesar ukuran file. Format sound yang dapat dipergunakan dalam Flash dapat bermacam-macam seperti WAV, MP3.


26

Sound dapat diimport dari luar tetapi untuk sound-sound tertentu telah disediakan di dalam program Flash.

2.3.2.5

Simbol

Dalam Macromedia Flash Professional 8 ada beberapa simbol yang harus diketahui, yaitu movie clip, button, dan graphic. Masing-masing simbol mempunyai fungsi tersendiri.

2.3.3 Library dan Menu Controller

Dalam Macromedia Flash Professional 8 terdapat menú library dan beberapa menú controller yang digunakan untuk membuat animasi.

2.3.3.1

Library

Library atau pustaka di dalam Macromedia Flash Professional 8 berfungsi untuk menyimpan item animasi seperti objek grafik baik statis maupun dinamis, teks baik statis maupun dinamis, objek suara, objek video, maupun objek tombol. Untuk mengakses library dapat dilakukan prosedur, yaitu klik File > Import To Library.

2.3.3.2

Control Panel

Control panel berfungsi sebagai tombol untuk menjalankan animasi yang dibuat di simbol maupun di scene. Dengan control panel dapat menjalankan animasi, merewind animasi ataupun men-stop animasi yang sedang berlangsung. Untuk mengakses menu Control Panel dapat dilakukan prosedur klik Window > Toolbar > Controller, maka akan muncul panel controller pada bagian atas toolbar yaitu Library panel simbol yang terekam di Library.


27

2.3.3.3

ActionScript

ActionScript adalah bahasa pemrograman yang ada di dalam Macromedia Flash. Bahasa pemrograman ActionScript ini mirip dengan bahasa pemrograman Java Script atau C++. Jadi jika sudah terbiasa dengan kedua bahasa pemrograman terakhir tersebut akan lebih mudah untuk membuat program di Flash. Berikut diperkenalkan beberapa teori dasar untuk mempelajari bahasa pemrograman ini.

Dalam membuat suatu interaktivitas harus memahami tiga hal dalam Action Script: a. Event (Kejadian): merupakan peristiwa yang terjadi untuk memicu suatu aksi pada suatu objek b. Action: merupakan suatu aksi atau kerja yang dikenakan atau diberikan pada suatu objek c. Target: merupakan objek yang dikenai oleh aksi.

Pada ActionScript sangat diperlukan adanya variabel yang memiliki tipe data tertentu. Berikut ditampilkan beberapa tipe data dan contoh pendeklarasian variabel pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Beberapa Tipe Data ActionScript Tipe Data

Keterangan

Contoh

Number

Angka tertentu

myScore = 100

String

Kumpulan berbagai angka, myName = “abcd” huruf atau symbol. String selalu berada di dalam tanda petik.

Boolean

Nilai yang berisi true atau radioButton = true false. Dapat dipakai juga angka 1untuk true dan radioButton = false angka 0 untuk false

Object

Nama objek yang dibuat myColor = new Color berdasar proses instantiate (movieklip)


28

ActionScript juga mengenal operator-operator untuk tiap variabel data antara lain operator aritmetika, operator assignment, operator bitwise, operator logika, dan operator miscelanous (lain-lain). Pada Tabel 2.2 sampai Tabel 2.6 ditampilkan tiap jenis operator beserta keterangan dan contohnya.

Tabel 2.2 Operator Aritmetika Symbol % * / +

Nama Minus Modulo Multiplication Division Addition

Keterangan Pengurangan Sisa pembagian Perkalian Pembagian Penambahan

Tabel 2.3 Operator Assignment Symbol Nama -= Minus assignment %= *= /= += =

Modulo assignment Multiplication assignment Division assignment Addition assignment assignment

Keterangan Mengurangi suatu nilai pada variabel, x -= sama nilainya dengan x = x - 5 Menambahkan nilai modulo pada variabel, %= y sama nilainya dengan x = x % y Mengalikan suatu nilai pada variabel, x *= sama nilainya dengan x = x * 5 Membagi suatu nilai pada variabel, x /= sama nilainya dengan x = x / 5 Menambah suatu nilai pada variabel, x += sama nilainya dengan x = x + 5 Memberikan suatu nilai pada variabel

5 x 5 5 5

Tabel 2.4 Operator Bitwise Simbol Nama != Inequality != = < <= ==

Keterangan Mengecek apakah suatu variabel tidak sama dngan variabel lain Strict inequality Mengecek apakah nilai dan tipe data suatu variabel tidak sama dengan variabel yang lain Less than Mengecek apakah variabel kurang dari variabel lain Less than or equel Mengecek apakah suatu variabel kurang atau to sama dengan variabel yang lain Equality Mengecek dua variabel apakah memiliki kesamaan nilai


29

===

Strict equality

>

Greater than

>=

Greater than equal to

Mengecek dua variabel apakah memiliki dua kesamaan nilai dan tipe data Mengecek suatu variabel lebih dari variabel lain or Mengecek apakah suatu variabel lebih atau sama dengan variabel yang lain

Tabel 2.5 Operator Logika Simbol ! &&

Nama NOT AND

||

OR

Keterangan Membalik nilai dari suatu variabel Nilai expression dua atau lebih variabel adalah true kalau semua variabel true Nilai expression dua atau lebih variabel adalah true kalau salah satun variabel true

Tabel 2.6 Operator Miscellaneous (Lain-lain) Simbol Nama -Decrement ?: Contional

++

2.3.3.4

Increment

Keterangan Mengurangi nilai dengan 1 Apabila var 1 nilainya true, maka nilai yang dihasilkan sama dengan variabel 2, jika tidak nilainya sama dengan variabel 3 Formatnya adalah var1 ? var2 : var3 Menambah nilai dengan 1

Mouse Event

Mouse Event terjadi bila pemakai menggunakan tombol (instant button) pada suatu movie. Contoh mouse event adalah: a) On (Press), suatu aksi akan terjadi ketika pemakai meletakkan pointer pada tombol dan menekan tombol mouse tersebut. b) On (Release), suatu aksi akan terjadi ketika pemakai meletakkan pointer pada tombol, menekan tombol (klik kiri mouse) dan melepaskannya. c) On (Release Outside), suatu aksi terjadi ketika pemakai menekan tombol dan melepaskannya di luar areal tombol.


30

d) On (Roll Over), suatu aksi terjadi ketika pemakai menggerakkan pointer ke area tombol. e) On (Roll Out), suatu aksi terjadi ketika pemakai menggerakkan pointer yang semula berada pada area tombol keluar dari area tombol. f) On (Drag Over), suatu aksi terjadi ketika pemakai meletakkan pointer pada area tombol, menekan tombol mouse, menggerakkannya ke luar area tombol dan memasukkan kembali ke area tombol (posisi tombol dalam keadaan tertekan ketika menggerakkan tombol). g) On (Drag Out), suatu aksi terjadi ketika pemakai meletakkan pointer pada area tombol, menekan tombol mouse, menggerakkannya keluar area tombol.

Untuk memilih mouse event dapat dilakukan dengan mengaktifkan pilihan pada panel action dan memilih tipe mouse event yang akan digunakan.

2.3.3.5

Keyboard Event

Keyboard event akan terjadi jika ditekan suatu tombol karakter, angka, tombol fungsi, tombol panah (insert, home, left, right). Cara mengaktifkan perintah ini hampir sama dengan mengaktifkan mouse event. Pada pilihan on letakkan, aktifkan pilihan on (keyPress "") sebagai contoh.

Berikut salah satu contoh action script menggunakan keyboard: on (keyPress "") { gotoAndStop(5); }

Pada contoh di atas tombol akan bereaksi jika ditekan tombol keyboard “HOME” dan program akan lompat ke frame 5.


31

2.3.3.6

Mengenal File Audio

Dalam menjalankan movie clip sering diikutkan suara/sound. Dengan adanya suara maka

lengkaplah

Macromedia

sebagai

suatu

software

animator

yang

mengombinasikan animasi teks, grafik, dan suara sehingga program yang dihasilkan menjadi lebih menarik dan interaktif. Pemakai tidak hanya melihat animasi yang berjalan pada program yang dibuat tetapi disertai dengan penjelasan-penjelasan dari program yang dibuat dalam bentuk suara.

Ada beberapa tipe file audio yang dapat dijalankan dalam program Macromedia Flash Propessional 8, yaitu file dengan extension .WAV, .MP3, dan AIFF. Cara memasukkan file ini ke dalam program yang dibuat adalah dengan terlebih dahulu mengimport file-file tersebut ke dalam library yang aktif. Adapun prosedurnya adalah: 1. Klik File > Import > Import To Library..., maka akan tampil kotak dialog yaitu Pilih file yang berekstension .WAV. Sebagai contoh pilih file Beep1.wav. 2. Tekan tombol Open. 3. Klik Windows > Library, maka pada library tercantum file tersebut.

2.4

Logaritma

2.4.1 Pengertian Logaritma Bentuk umum dari suatu bilangan berpangkat ditulis sebagai an, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Kalau bilangan pokok dan pangkat sudah diketahui maka hasil dari bilangan berpangkat itu dengan segera dapat dicari. Sebagia contoh: i) 102 = 100 ii) 23 = 8 1

iii) 27 3 = (3 3)

1 3

=3


32

Jika bilangan pokok dan hasil bilangan berpangkat diketahui maka pangkat dari pokok itu dapat ditentukan. Sebagai contoh: i) 10... = 1000, mencari pangkat dari bilangan10 yang hasilnya sama dengan 1000. Pangkat itu sama dengan 3. ii) 2... = 16, mencari pangkat dari bilangan 2 yang hasilnya sama dengan 16. Pangkat itu sama dengan 4.

Untuk mencari pangkat dari suatu bilangan pokok jika hasil perpangkatan itu sudah diketahui dapat ditulis dengan memakai notasi logaritma (disingkat log) sebagai berikut: i) 10... = 1000, ditulis 10 log 1000 = .... dan nilai 10 log1000 = 3 ii) 2... = 16, ditulis 2log 16 = .... dan nilai 2 log 16 = 4

Jadi jelaslah bahwa logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Berdasarkan uraian di atas, dapat didefenisikan logaritma suatu bilangan sebagai berikut:

Definisi: g

log a = x jika dan hanya jika gx = a

Keterangan: i)

g disebut bilangan pokok atau basis logaritma, dengan ketentuan 0 < g < 1 atau g > 1 (g > 0 dan g ≠ 1). Jika g = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak dituliskan. Jadi,

10

log 2 ditulis

log 2. Jika g = e (e ≈ 2,7128...) maka elog a ditulis sebagai ln a (dibaca: logaritma natural dari a), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e. ii) a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya, dengan ketentuan a > 0.


33

iii) x disebut hasil logaritma, nilainya dapat positif, nol, atau negatif.

Contoh 1: Nyatakan tiap

bentuk

di

bawah

a) 52 = 25

ini

dengan

memakai

notasi

logaritma.

c) 60 = 1

b) 26 = 36

d) 3-1 =

1 3

Jawab: a) 52 = 25

⇔ 5 log 25 = 2

b) 26 = 36

⇔ 2 log 64 = 6

d) 60 = 1

⇔ 6 log 0 = 1

e) 3-1 =

1 3

⇔ 3log

1 = -1 3

Contoh 2: Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi eksponen. a)

3

log 27

b)

5

log 625

a)

3

log 27 = 3

⇔ 33 = 27

b)

5

log 625 = 4

⇔ 54 = 625

Jawab:

2.4.2 Sifat-sifat Logaritma

2.4.2.1 Sifat 1

Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan tersebut, ditulis: g

log (a × b) = glog a + glog b


34

Bukti: Misalkan; g

log a = x maka a = gx ....... (1)

g

log b = y maka b = gy ......(2)

kalikan persamaan (1) dengan (2), diperoleh: a × b = gx × gy a × b = gx+y g

log (a × b) = glog gx+y

g

log (a × b) = x + y

g

log (a × b) = glog a + glog b

....... (terbukti)

contoh: sederhanakan: a)

2

log 4 + 2log 8

b)

3

log

2

log 4 + 2log 8 = 2log (4 × 8)

1 3 1 + log 27 9 2

jawab: a)

= 2log 32 =5

b)

3

log

1 3 1 + log 27 = 3log ( × 27) 9 9

= 3log 3 =1

2.4.2.2 Sifat 2

Logaritma pambagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing bilangan itu, ditulis:


35

g

log (

a ) = glog a - glog b b

Bukti: Bagilah persamaan (1) dengan (2), diperoleh: a gx = b gy a = g x-y b g

log

a g = log g x− y b

g

log

a =x–y b

g

log

a g = log a – glog b ......... (terbukti) b

Contoh: Sederhakanlah: a)

2

log 40 – 2log 10

b)

7

log 217 – 7log 31

c)

3

log 26 – 3log 78

d) log 0,04 – log 4

Jawab: a) 2 log 40 – 2log 10

= 2log (

40 ) 10

= 2log 4 =2

b) 7 log 217 – 7log 31 = 7log (

217 ) 31

= 7log 7 =1


36

c) 3 log 26 – 3log 78 = 3log (

26 ) 78

1 = 3log ( ) 3 = -1

d) log 0,04 – log 4 = log (

0,04 ) 4

= log 0,01 = -2

2.4.2.3 Sifat 3

Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan logaritma bilangan itu, ditulis: g

log an = n × glog a

Bukti: glog an = glog (a × a × a ... × a × a × a) n faktor masing-masing glog a = glog a + glog a + …+ glog a + glog a + glog a n suku penjumlahan masing-masing glog a = n x glog a

Contoh: Sederhanakan: a) 2 log 25 – 3 log 5 + log 20


37

b)

1 2 log 81 – 3 2log 3 + 2 log 48 2

Jawab: a) 2 log 25 – 3 log 5 + log 20 = log 252 – log 53 + log 20 = log (

25 2 ) + log 20 53

= log (

25 2 × 20) 53

= log 100 =2

b)

1 1 2 log 81 – 3 2log 3 + 2 log 48 = 2log 81 2 – 2 log 33 + 2 log 48 2

= 2log (

9 ) + 2 log 48 27

= 2log (

9 × 48) 27

= 2log 16 =4

2.4.2.4 Sifat 4

Mengubah bilangan pokok logaritma: p

g

log a =

p

log a log g

Kalau p = a, persamaan di atas menjadi:

g

log a =

a

1 log g


38

Bukti: Misalkan glog a = x, maka a = gx p

log a = plog gx

p

log a = plog g, p

x

=

p

p

g

log a =

p

log a log g log a log g

….. (terbukti)

Substitusi p = a pada ruas kanan persamaan, diperoleh: a

g

g

log a =

a

log a =

a

log a log g

1 log g

…… (terbukti)

Contoh: Jika 2log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma di bawah ini dalam a. a)

2

log 9

b)

8

log 3

c)

3

log 2

a)

2

log 9 = 2log 32 = 2 × 2 log 3 = 2a

b)

8

log 3 =

c)

3

log 2 =

Jawab:

log 3 1 log 3 1 2 1 log 3 = = = log 3 = a 3 log 8 3 log 2 3 3 log 2 2

1 1 = log 3 a

2.4.2.5 Sifat 5

Sifat 5 merupakan perluasan dari sifat-sifat yang terdahulu; iii) glog a × alog b = glog b


39

gn

ii)

i)

gn

log am =

m g log a n

log an = glog a

Bukti: i)

g

log a × alog b =

log a log b × log g log a

=

log b log g

= g log b

ii)

iii)

gn

gn

……(terbukti)

log a m log a = log g n m

=

m log a n log g

=

mg log a n

log an =

…… (terbukti)

ng log a n

= glog a

…… (terbukti)

Contoh: a) hitunglah 2 log 5 × 5log 64 b) jika 2 log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma berikut ini dalam a. i)

4

log 81

ii)

8

log 27

jawab: a)

2

log 5 × 5 log 64 = 2 log 64 = 2 log 26 = 6


40

4 2 log 3 = 2a 2

b) i)

4

log 81 = 22 log 34 =

ii)

8

log 27 = 23 log 33 = 2 log 3 = a

2.4.2.6 Sifat 6

Sifat 6 adalah perluasan dari defenisi logaritma g

g

log a

= a

Bukti: Misalkan glog a = x, maka gx = a, ingat defenisi logaritma. Oleh karena glog a = x, maka a

x

g glog = g

g glog a = a

....... (terbukti)

Contoh: Sederhakan a) 2

2log5

b) 3

3log4

c)

5

5log10

jawab: a) 2

2log5

=5

b) 3

3log4

=4

c) 5

5log10

= 10


41

2.4.2.7 Sifat 7 iii) glog 1 = 0

ii) glog g = 1

i)

g

log gn = n

2.4.3 Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan dengan numerus atau bilangan pokok logaritmanya memuat peubah x.

Contoh: 1.

3

2.

x

log (x + 2) + 3log (x – 1) = 2

log (x + 1) – xlog 2x + xlog x = 0

Beberapa macam bentuk persamaan logaritma serta cara menentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma itu.

2.4.3.1 Bentuk alog f(x) = alog p Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = alog p dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut: Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p asalkan f(x) > 0

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan logaritma berikut. a) 3log (2x – 1) = 2


42

b) log (x2 + 3x – 3) = 0 c) 2log (x2 – 4x + 5) = 1

Jawab: a) 3log (2x – 1) = 2

⇔

3

⇔

2x – 1

=9

⇔

2x

= 10

⇔

x

=5

log (2x - 1) = 3 log 9

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {5}. b) log (x2 + 3x - 3) = 0

⇔

log (x2 + 3x - 3) = log 1

⇔

x2 + 3x – 3

=1

⇔

x2 + 3x – 4

=0

⇔

(x + 4) (x - 1) = 0

⇔

x = -4 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, -4}. c) 2log (x2 – 4x + 5) = 1

⇔

2

log (x2 – 4x + 5) = 2log 2

x2 – 4x + 5 = 2 x2 – 4x + 3 = 0 (x - 1) (x - 3) = 0 x = 1 atau x = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3}.

2.4.3.2 Bentuk alog f(x) = blog f(x) Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = blog f(x) (dengan a ≠ b) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut. Jika alog f(x) = blog f(x) (dengan a ≠ b), maka f(x) = 1


43

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan logaritma berikut. a) 2log (3x - 5) = 3log (3x - 5) b) 2 log (x2 – x + 1) = 5log (x2 – x + 1)

Jawab: a) 2log (3x - 5) = 3log (3x - 5) ⇔ 3x – 5

=1

⇔ 3x

=6

⇔x

=2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2}. b) 2 log (x2 – x + 1) = 5log (x2 – x + 1) ⇔ x2 – x + 1 = 1 ⇔ x2 – x

=0

⇔ x (x - 1)

=0

⇔ x = 0 atau x = 1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {0, 1}.

2.4.3.3 Bentuk alog f(x) = alog g(x) Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma alog f(x) = alog g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan sifat berikut. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan logaritma berikut. a) log (x2 – 4x + 2) = log (x + 2) b) log (x2 – 4x + 2) = log (2 - x) c) log (x2 + 5x - 7) = log (x - 2)


44

Jawab: a)

log (x2 – 4x + 2)

=

log (x + 2)

⇔ x2 – 4x + 2

=

x+2

⇔ x2 – 5x

=

0

⇔ x (x - 5)

=

0

⇔ x = 0 atau x = 5 Jika x = 0 atau x = 5 disubstitusikan kebentuk (x2 – 4x + 2) dan (x + 2), didapat keduanya bernilai positif.

b) log (x2 – 4x + 2)

= log (2 - x)

⇔ x2 – 4x + 2 = 2 – x ⇔ x2 – 3x

=0

⇔ x (x - 3)

=0

⇔ x = 0 atau x = 3 Jika x = 0 disubstitusikan ke bentuk (x2 – 4x + 2) dan (2 - x), didapat keduanya bernilai positif. Tetapi jika x = 3 disubstitusikan ke (x2 – 4x + 2) dan (2 - x), didapat keduanya bernilai negatif. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0}. c) log (x2 + 5x - 7)

= log (x - 2)

⇔ x2 + 5x – 7

=x–2

⇔ x2 + 4x – 5

=0

⇔ (x + 5) (x - 1)

=0

⇔ x = -5 atau x = 1 Jika x = -5 atau x = 1 disubstitusikan ke bentuk (x2 + 5x - 7) dan (x - 2), didapat keduanya bernilai negatif. Jadi, persamaan logaritma itu tidak mempunyai penyelesaian atau ditulis φ atau { }.


45

2.4.3.4 Bentuk h(x)log f(x) = h(x)log g(x)

Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma

h(x)

log f(x) =

h(x)

log g(x) dapat

ditentukan dengan menggunakan sifat berikut. Jika h(x)log f(x) = h(x)log g(x), maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) ≠ 1 Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan logaritma berikut. a) xlog (x + 1) = xlog (2x - 1) b) 2x-1log (2x - 1) = 2x-5log (x + 4) c) xlog (x4 + x3 – 4x2 – 3x) = 1

Jawab: a) xlog (x + 1)

= xlog (2x - 1)

⇔x+1

= 2x – 1

⇔x

=2

Untuk x = 2 bentuk (x + 1) dan (2x - 1) positif, serta x > 0 dan x ≠ 1. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {2} b) 2x-1log (2x - 1)

= 2x-5log (x + 4)

⇔ 2x – 1

=x+4

⇔x

=3

Untuk x = 3 bentuk (2x - 1) dan (x + 4) positif, tetapi bentuk 2x – 5 bernilai 1. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah φ atau { }. c) xlog (x4 + x3 – 4x2 – 3x)

=1

⇔ xlog (x4 + x3 – 4x2 – 3x)

= xlog x

⇔ x4 + x3 – 4x2 – 3x

=x

⇔ x4 + x3 – 4x2 – 4x

=0

⇔ x (x3 + x2 – 4x – 4)

=0


46

⇔ x {x2 (x + 1) – 4 (x + 1)} = 0 ⇔ x {(x + 1) (x2 – 4)}

=0

⇔ x (x + 1) (x2 – 4)

=0

⇔ x = 0 atau x = -1 atau x = -2 atau x = 2 oleh karena x harus positif dan x ≠ 1, maka himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

2.4.3.5 Bentuk A (alog x)2 + B (alog x) + C = 0 Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma A (alog x)2 + B (alog x) + C = 0 (a > 0 dan a ≠ 1, A, B , dan C bilangan real dan A ≠ 0 ) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu menjadi persaman kuadrat. Kalau diambil permisalan alog x = y, maka persamaan logaritma tadi dapat dinyatakan dalam persamaan kuadrat dengan peubah y sebagai Ay2 + By + C = 0. Nilai-nilai y yang didapat dari persamaan kuadrat itu disubstitusi kembali pada pemisalan, sehingga didapat persamaan logaritma alog x = y. Dari persamaan alog x = y inilah nilai-nilai x dapat ditentukan.

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan logaritma berikut. a) 2 log 2x – 2 × 2log x – 3 = 0 b) 2 × log 2x – 3 × log x + 1 = 0

Jawab: a) 2 log 2x – 2 × 2log x – 3 = 0 ⇔ (2 log x)2 – 2 × (2log x) – 3 = 0 Misalkan y = 2log x, maka persamaan logaritma menjadi: y2 – 2y – 3 = 0 ⇔ (y – 3) (y + 1) = 0 ⇔ y = 3 atau y = -1


47

Untuk y = 3, didapat 2

log x = 3

⇔ 23 = 8 Untuk y = -1, didapat 2

log x = -1

⇔x

= 2-1 =

1 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {

1 , 8}. 2

b) 2 × log 2x – 3 × log x + 1 = 0 ⇔ 2 × (log x2) – 3 × (log x) + 1 = 0 Misalkan y = log x, maka persamaan logaritma menjadi 2y2 – 3y + 1

=0

⇔

(2y - 1) (y - 1) = 0

⇔

y=

1 atau y = 1 2

Untuk y = ½, didapat

⇔

1 2

log

=

x

= 10 2 = 10

1

Untuk y = 1. didapat ⇔

log

=1

x

= 101 = 10

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 10 , 10}.


Computer Aided Instruction (CAI)

Recommend Documents