EE 2521 Digitale Signaalbewerking, 2014 Digitale signaalbewerking Alle-Jan van der Veen
College: meestal dinsdag 13:45 (zaal A), donderdag 13:45 (zaal C)
Programma: Week 1/2: Introductie, herhaling begrippen en eigenschappen (sampling, -transformatie, DTFT, convolutie) Week 2/3: Tijdsdiscrete filterstructuren (realisaties) Week 4: DFT, sampling en reconstructie Week 5: Digitaal filterontwerp Week 6: Multirate filters Week 7: Kwantisatie; uitloop/oefensessie
1
Slides 1
April 21, 2014
ee 2521 Boek:
J.G. Proakis, D.G. Manolakis, “Digital Signal Processing–Principles, algorithms, and applications”, 4th edition, Prentice Hall, 2007 De Blackboard website geeft aan welke secties tot de stof behoren
Zie ook: B. Champagne, F. Labeau, “Discrete time signal processing” cursusaantekeningen (pdf, zie website)
Tentamen:
schriftelijk (open boek); 24 juni 2014, herkansing 14 augustus 2014 Oude tentamens staan op de website.
2
Slides 1
April 21, 2014
Introductie Signaalbewerking:
Technieken – DFT, filters, filterbanken (signaalanalyse/reconstructie) – statistische signaalbewerking (parameterschatting, detectie) – adaptief, neurale netwerken – analytisch (bijv. lineaire algebra, optimalisatie) – DSP hardware, snelle algoritmen/architecturen (implementatie) Toepassingen – communicatie, radar, sonar, antenne-arrays (meerkanaals) – spraak, audio – beeld, video, multimedia (multidimensionaal) – biomedisch, seismiek,
3
Slides 1
April 21, 2014
Introductie
Spraaksignaal:
discrete-tijd: 4 kHz,
gekwantiseerd (4 bits)
4
analoog,
de letter /a/.
Slides 1
April 21, 2014
Introductie Voorbeeld: spectrale analyse
Frequency
Time
5
Slides 1
April 21, 2014
Introductie Voorbeeld: spectrale analyse (2)
1000
1
900
0.8
800
0.6 0.4
700
0.2
600 |X(f)|
x(t)
f=[ 100 200 50 400 200 300 150 ], T=0.001
0
500
−0.2
400
−0.4
300
−0.6
200
−0.8
100
−1 0.95
1 t [s]
0 −500
1.05
6
0 f [Hz]
Slides 1
500
April 21, 2014
Introductie Voorbeeld: spectrale analyse (3)
f=[ 100 200 50 400 200 300 150 ], T=0.001 500 400 300
freq [Hz]
200 100 0 −100 −200 −300 −400 −500 0
1
2
3 4 time [s]
7
5
6
Slides 1
April 21, 2014
Introductie Voorbeeld: spectrale analyse (4) GSM transmissie
−200
−200
900
900 −400
−600
899.5
Frequency [MHz]
Frequency [MHz]
−400
−800 899 −1000
−1200
898.5
−600
899.5
−800 899 −1000
−1200
898.5
−1400
−1400
898
898 0.5
1
1.5
2
Time [sec]
2.5
3
−1600
0.05
GSM uplink band
0.1
0.15
Time [sec]
0.2
0.25
−1600
Zoom
GSM stuurt data over in pakketten; de tijd wordt gedeeld met 8 gebruikers (framelengte 0.577 ms); bandbreedte 270 kHz. 8
Slides 1
April 21, 2014
Introductie
Westerbork Synthesis Radio Telescope
9
Slides 1
April 21, 2014
Introductie Voorbeeld: mobiele telefoon
source/ channel coder
A/D
BPF
D/A
A/D
DSP
D/A
SIGNAALBEWERKING
INFORMATIETHEORIE
ELEKTRONICA ELEKTRO- ELEKTRONICA MAGNETISME
kanaalinversie (egalisatie) parameterschatting detectie
TELECOM SIGNAALBEWERKING
10
Slides 1
April 21, 2014
Introductie
analoog-digitaal
pulstrein
D/A
kwantisator
sampler
Digitaal Systeem
A/D
digitaal-analoog
interpolator
LPF
Prototype DSP systeem. De A/D omzetter maakt het signaal digitaal, de D/A omzetter weer analoog. Het digitale deel kan een microprocessor zijn, of speciale programmeerbare hardware (FPGA)
11
Slides 1
April 21, 2014
Introductie Voordelen van een digitale implementatie
Robuust: er is een goed onderscheid tussen signaalwaarden, de invloed van ruis is minimaal; de uitgang is reproduceerbaar. Opslag: het signaal kan makkelijk opgeslagen worden om later (offline) behandeld te worden Flexibiliteit: het systeem is programmeerbaar. De nauwkeurigheid is makkelijk te beinvloeden dmv de sampling rate en aantal bits Krachtig: vanwege Moore’s law worden DSPs steeds sneller en neemt het aantal transistoren op een chip exponentieel toe. Structuur: DSP blokken kunnen makkelijk gecombineerd worden (geen invloed van “ingangsimpedantie” zoals bij analoge systemen)
12
Slides 1
April 21, 2014
Introductie Nadelen van een digitale implementatie
A/D en D/A omzetters zijn relatief duur (ook qua stroomverbruik) Signaal bandbreedte is beperkt Kwantisatie-effecten (bijv. kwantisatieruis) Toename in bandbreedte voor transmissie (afh. van aantal bits)
Wanneer is een digitale implementatie mogelijk?
Kan een analoog systeem equivalent zijn aan een digitaal systeem? Wanneer? Voldoend nauwkeurige kwantisatie (veel bits) Voldoende hoge sampling frequentie: meer dan twee keer de hoogste frequentie in het analoge domein (Nyquist rate)
13
Slides 1
April 21, 2014
Introductie Toepassingen
Digitale implementatie van analoge filters: extreem selectieve filters, nauwkeurige equalizers Adaptieve echo cancellatie in telefoons en modems; storingsonderdrukking en signaalscheiding Compressie van spraak, muziek en beelden; beeldbewerking Fysieke laag van communicatiesystemen (het schatten van ontvangen bits na propagatie over een kanaal; de baseband processing) Simulatie van fysieke systemen zoals propagatie van mobiele telefoonsignalen, radar, seismiek, biomedisch etc. (MATLAB)
14
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Definitie
Een discrete-tijd signaal is een reeks reele of complexe getallen:
R of C
ZZ
Notatie
aan
, het vierkantje geeft
1
als reeks:
als expliciete uitdrukking:
als impliciete uitdrukking (recursie):
15
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Voorbeelden
eenheidspuls:
012
exponentiele reeks:
eenheidsstap:
012
elders
012
ZZ (anders "quasi-periodiek")
gelijk aan
.
te nemen.
Daarom is het voldoende om
, voor
, dan is
• Als
.
als
Dit is alleen mogelijk als
.
is periodiek met periode
•
complex exponentiele reeks:
De frequentieresponse van een digitaal systeem is periodiek! 16
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Sampling
. Na uniforme sampling (bemonstering) krijgen
Gegeven een analoog signaal we
is de sampling frequentie).
de sampling periode (
Hierin is
de analoge frequentie is (Hz). Na sampling:
, waar
Bijvoorbeeld:
is de “genormaliseerde” hoekfrequentie
•
•
is de “genormaliseerde” frequentie (dimensieloos).
.
, ofwel op
afgebeeld op
, dan wordt het frequentiein-
terval
• Algemeen: als we samplen met frequentie
• Hogere frequenties worden ook op dit interval afgebeeld: aliasing.
17
Om aliasing te vermijden: neem
(Shannon’s sampling theorema) Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Aliasing 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
18
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Energie en signaalruimten
is gedefinieerd als
De energie in een signaal
X
heet
De verzameling signalen waarvoor
:
X
Dit is een “Hilbert-ruimte”, met prettige eigenschappen (matrix-algebra). Soortgelijk:
absoluut sommeerbaar
X
absoluut begrensd
19
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Discrete convolutie
X
is gebruikelijk, maar eigenlijk niet netjes.
De notatie
Eigenschappen (vergelijk met vermenigvuldiging):
distributief:
commutatief:
is het eenheidselement:
20
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Systeem
is een afbeelding van de signaalruimte op zichzelf:
Een systeem
ZZ
voor alle
af van
op tijd
In het algemeen hangt Voorbeelden
X
Moving average:
, ofwel
P
P
Tijdvertraging: Toepassing:
Tijdomkering:
is enkel een functie van
Geheugenloos systeem:
(heet ook wel statisch systeem; in tegenstelling tot dynamisch systeem) .
21
voor
hangt enkel af van
Causaal systeem:
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Lineair tijdsinvariant systeem (LTI)
: superpositie
Tijdsinvariant:
Lineair:
.
Ofwel (niet ’netjes’):
Fundamentele eigenschap:
een LTI systeem is, en
voor willekeurige . Dan
Stel dat
waarbij
X
is de impulsresponsie van het systeem. Dus P Bewijs: Eerder hadden we
April 21, 2014
Slides 1
X
X
22
toe en gebruik de LTI eigenschappen: ! X X
Pas
P
ofwel
Discrete-tijd signalen en systemen Uitrekenen van de convolutie (1)
X
012
012
012
012
0123
P
-2 -10 1 2 3
(je gebruikt hier eerst tijdsinvariantie en vervolgens lineariteit) 23
Slides 1
April 21, 2014
0123
0123
Discrete-tijd signalen en systemen Uitrekenen van de convolutie (2): alternatief voor korte impulsresponsies
geldt ook
Omdat
X
012
012
012
012
012
24
Slides 1
April 21, 2014
012
Discrete-tijd signalen en systemen Eigenschappen van LTI systemen
.. .
benedendriehoeks
causaal
tijdinvariant
matrix-vector;
lineair
.. .
)
diagonaalstructuur (“Toeplitz”) 25
Slides 1
April 21, 2014
Beschrijving in matrix-vector notatie (strict genomen enkel voor .. .. . . y[0] .. .. .. .. .. .. . . . . . .
Bewijs:
voor
Een LTI systeem is causaal iff
Discrete-tijd signalen en systemen Eigenschappen van LTI systemen
heet “BIBO” stabiel (bounded-input bounded-output) als
bestaat zodanig dat
geldt dat er een
voor iedere
Een systeem
.
Ofwel:
Ofwel:
P
is absoluut sommeerbaar:
Een LTI systeem is BIBO stabiel iff
Bewijs: Voldoende:
X
X
. Dan
. Beschouw
Nodig: Stel dat
Slides 1
April 21, 2014
26
X
X
X
terwijl
P
X
Discrete-tijd signalen en systemen
Voorbeeld:
Dit systeem is causaal. Is het stabiel? Als
: stabiel
X
Als
X
, dan is
, dan divergeert de som: niet stabiel.
27
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Een LTI systeem is FIR (Finite Impulse Response) als
en
voor
anders heet het IIR (Infinite Impulse Response). Voorbeeld:
elders
is FIR.
is IIR.
FIR systemen zijn automatisch stabiel (altijd eindig sommeerbaar)
28
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Interconnecties van LTI systemen
Parallel verbinding:
Cascade verbinding:
29
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen Elementaire discrete-tijd bouwstenen
De notatie “
” is hier puur formeel bedoeld (delay-operator)
30
Slides 1
April 21, 2014
Discrete-tijd signalen en systemen LTI systeem beschreven door een Lineaire Differentievergelijking
).
en
-de orde systeem (aangenomen dat
Er zijn
Dit is een
X
X
begincondities.
Voorbeeld: accumulator
P
De implementatie is recursief:
P
X
In deze implementatie is maar één opteller en geheugenelement nodig. Het geheugen onthoudt alles uit het verleden dat nodig is voor de toekomst (de toestand) 31
Slides 1
April 21, 2014
X
Discrete-tijd signalen en systemen LTI systeem beschreven door een Lineaire Differentievergelijking (2)
Voorbeeld: 1e orde systeem
32
Slides 1
April 21, 2014
