Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

MATEMATIKA (NEJEN) PRO KRAJINA´RˇE A NA´BYTKA´RˇE Robert Marˇ´ık 26. rˇ´ıjna 2012

KAT. MATEMATIKY ´ A DR ˇ EVAR ˇ SKA ´ FAKULTA LESNICKA MENDELOVA UNIVERZITA V BRNEˇ E-mail address: [email protected] URL: user.mendelu.cz/marik

ABSTRAKT. Prˇedkla´dany´ text je komentovany´m prˇepisem podstatne´ cˇa´sti myćh1 prˇedna´sˇek z prˇedmeˇtu Matematika, ktery´ je prˇedna´sˇen v prvnı´m rocˇnı´ku na oborech krajina´rˇstvı´ a vy´roba a tvorba na´bytku na Lesnicke´ a drˇevarˇske´ fakulteˇ Mendelovy univerzity v Brneˇ. Cı´lem tohoto textu je shrnout teorii do jedine´ho celku. Text take´ nabı´zı´ oporu v oblastech, ktere´ jsou vylozˇeny poneˇkud odlisˇneˇ, nezˇ je tomu v doporucˇovanyćh skriptech a mu˚zˇe doplnit studentovy vlastnı´ za´pisky z prˇedna´sˇek, ktere´ jsou cˇasto neu´plne´ nebo zkratkovite´ — at’ uzˇ z du˚vodu (ucˇitelova) zkraćene´ho za´pisu na tabuli, nebo z du˚vodu nı´zke´ pozornosti (studenta) prˇi psanı´ pozna´mek. Oproti prˇena´sˇka´m a skriptu˚m jsou v textu vypusˇteˇny motivacˇnı´, aplikacˇnı´ a vzorove´ prˇ´ıklady a doprovodne´ obra´zky. Text je pomeˇrneˇ kra´tky´ a hutny´, proto nenı´ mıńeˇn jako na´hrada doporucˇene´ literatury. Text je sˇ´ırˇen v elektronicke´ podobeˇ a je neprˇ´ıpustne´ do neˇj jakkoliv zasahovat. Text je prima´rneˇ urcˇen k tisku, protozˇe s textem na papı´rˇe se prˇece jenom pracuje nejpohodlneˇji. Pro studenty kterˇ´ı potrˇebujı´ do textu pouze obcˇas nahle´dnout je k dispozici i verze vhodna´ pro prohlı´zˇenı´ na obrazovce. Pro prˇ´ıpadne´ jine´ pouzˇitı´ nezˇ pro prˇ´ıpravu ke zkousˇce si prostudujte licencˇnı´ podmıńky na http://user.mendelu.cz/marik/ licence.html. Za upozorneˇnı´ na prˇ´ıpadne´ prˇeklepy, chyby a neprˇesnosti, jakozˇ i za dalsˇ´ı relevantnı´ komenta´rˇe prˇedem deˇkuji.

Podporˇeno grantem 99/2008 FRVSˇ a projektem Pru˚rˇezova´ inovace studijnıćh programu˚ Lesnicke´ a drˇevarˇske´ fakulty MENDELU v Brneˇ (LDF) s ohledem na discipliny spolecˇne´ho za´kladu (reg. cˇ. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za prˇispeˇnı´ financˇnıćh prostrˇedku˚ EU a sta´tnı´ho rozpocˇtu Cˇeske´ republiky.

Obsah Kapitola 1. Diferencia´lnı´ pocˇet 1. Funkce, vlastnosti funkcı´ 2. Limita, spojitost 3. Derivace funkce 4. Tayloru˚v polynom 5. Veˇty o spojityćh funkcıćh 6. Loka´lnı´ extre´my, pru˚beˇh funkce 7. Za´veˇrecˇne´ pozna´mky 8. Shrnutı´

3 3 7 15 18 19 20 23 24

Kapitola 2. Integra´lnı´ pocˇet 1. Neurcˇity´ integra´l 2. Riemannu˚v integra´l 3. Nevlastnı´ integra´l 4. Obycˇejne´ diferencia´lnı´ rovnice (u´vod) 5. Diferencia´lnı´ rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi 6. Shrnutı´

26 26 29 33 34 35 36

Kapitola 3. Linea´rnı´ algebra 1. Algebraicky´ vektorovy´ prostor 2. Matice 3. Hodnost matice 4. Inverznı´ matice 5. Determinant 6. Soustavy linea´rnıćh rovnic 7. Shrnutı´

37 37 39 40 42 42 44 46

Kapitola 4. Nelinea´rnı´ rovnice, numericka´ matematika 1. Algebraicke´ rovnice 2. Prˇiblizˇne´ rˇesˇenı´ rovnic 3. Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ 4. Shrnutı´

48 48 51 56 57

Vzorce pro derivovańı´ a integrovańı´

59

2

KAPITOLA 1

Diferencia´lnı´ pocˇet V te´to kapitole se budeme zaby´vat funkcemi. Pomocı´ funkcı´ v praxi popisujeme vztahy mezi velicˇinami. Nejprve se zameˇrˇ´ıme na nejjednodusˇsˇ´ı vlastnosti funkcı´. 1. Funkce, vlastnosti funkcı´ Definice (funkce). Bud’te A a B nepra´zdne´ podmnozˇiny mnozˇiny rea´lnyćh cˇ´ısel. Pravidlo f , ktere´ kazˇde´mu prvku mnozˇiny A prˇirˇadı´ jediny´ prvek mnozˇiny B se nazy´va´ funkce (prˇesneˇji: rea´lna´ funkce jedne´ rea´lne´ promeˇnne´). Zapisujeme f : A → B. Skutecˇnost, zˇe prvku a ∈ A je prˇirˇazen prvek b ∈ B zapisujeme takto: f (a) = b. Prˇitom rˇ´ıka´me, zˇe b je obrazem prvku a prˇi zobrazenı´ f , resp. zˇe a je vzorem prvku b prˇi zobrazenı´ f . Definice (pojmy spojene´ s funkcemi). Mnozˇina A z definice funkce se nazy´va´ definicˇnı´ obor funkce f . Oznacˇujeme D(f ) (resp. Dom(f )). Mnozˇina vsˇech b ∈ B, pro ktere´ existuje a ∈ A s vlastnostı´ f (a) = b se nazy´va´ obor hodnot funkce f . Oznacˇujeme H(f ) (resp. Im(f )). Je-li y = f (x) nazy´va´me promeˇnnou x te´zˇ neza´vislou promeˇnnou a promeˇnnou y za´vislou promeˇnnou. Grafem funkce rozumı´me mnozˇinu vsˇech usporˇa´danyćh dvojic [x, y] ∈ R2 s vlastnostı´ y = f (x). Pozna´mka 1.1. Funkce je tedy pravidlo, ktere´ jednomu rea´lne´mu cˇ´ıslu prˇirˇadı´ jedine´, prˇesneˇ definovane´ jine´ rea´lne´ cˇ´ıslo. Je-li toto pravidlo tvaru „y = vzorec s promeˇnnou x“, nazy´va´me tento prˇedpis explicitnı´m tvarem funkce, naprˇ. y = x2 + ln x. Je-li toto pravidlo ve tvaru „vzorec s promeˇnny´mi x, y = 0“, nazy´va´me tento prˇedpis implicitnı´m tvarem funkce., naprˇ. x − y − ln y = 0. Zjednodusˇeneˇ rˇecˇeno se tedy jedna´ o pravidlo, ktere´ je bud’ „efektivnı´“ (explicitnı´ tvar) nebo „ma´lo efektivnı´“ (implicitnı´ tvar) pro vy´pocˇet funkcˇnıćh hodnot. ˇ ekneme, zˇe funkce f je periodicka´, existuje-li kladne´ cˇ´ıslo p s vlastDefinice (periodicˇnost funkce). R nostmi: je-li x ∈ D(f ), je i x + p ∈ D(f ) a f (x) = f (x + p). Nejmensˇ´ı cˇ´ıslo p s touto vlastnostı´ nazy´va´me (nejmensˇ´ı) periodou. V na´sledujıćı´ definici se budeme zajı´mat o to, jestli existuje neˇjaky´ vztah mezi funkcˇnı´ hodnotou v bodeˇ x z definicˇnı´ho oboru a v bodeˇ opacˇne´m. Definice (parita funkce). Necht’funkce f splnˇuje na´sledujıćı´ podmıńku: x ∈ D(x) ⇒ (−x) ∈ D(f ). ˇ ekneme, zˇe funkce f je suda´ pokud platı´ f (−x) = f (x). (i) R ˇ ekneme, zˇe funkce f je licha´ pokud platı´ f (−x) = −f (x). (ii) R ˇ ekneme, zˇe funkce f ma´ paritu, je-li suda´ nebo licha´. (iii) R Pozna´mka 1.2 (graf funkce majıćı´ paritu). Graf sude´ funkce je osoveˇ soumeˇrny´ podle osy y. Graf liche´ funkce je strˇedoveˇ soumeˇrny´ podle bodu [0, 0]. Pozna´mka 1.3 (k pariteˇ). Parita funkce na´s informuje o tom, zˇe funkcˇnı´ hodnoty f (x) a f (−x) u funkce nejsou neza´visle´, ale jsou definovane´ obeˇ soucˇasneˇ a jsou bud’ stejne´, nebo se lisˇ´ı znameńkem. V obecne´m prˇ´ıpadeˇ zkouma´me sudost cˇi lichost funkce prˇ´ımo z definice. Sudost cˇi lichost polynomu a raciona´lnı´ funkce1 pozna´me prˇ´ımo ze za´pisu te´to funkce pouzˇitı´m na´sledujıćı´ veˇty. 1Prˇedpokla´da´me, zˇe cˇtena´rˇ je s pojmem polynom jizˇ obezna´men. Pokud ne, uva´dı´me definici v kapitole veˇnovane´ nelinea´rnı´m rovnicı´m. Raciona´lnı´ funkce je podı´l dvou polynomu˚. 3

1. FUNKCE, VLASTNOSTI FUNKCI´

4

Veˇta 1.1. Paritu polynomu˚ a raciona´lnıćh funkcı´ lze urcˇit na´sledovneˇ: (i) Polynom je suda´ (licha´) funkce pra´veˇ tehdy, kdyzˇ obsahuje pra´veˇ cˇleny se sudy´m (s lichy´m) exponentem. (ii) Raciona´lnı´ funkce, ktera´ je podı´lem sude´ho a liche´ho polynomu (v libovolne´m porˇadı´), je licha´. (iii) Raciona´lnı´ funkce, ktera´ je podı´lem dvou sudyćh nebo dvou lichyćh polynomu˚, je suda´. Pozna´mka 1.4. Poznamenejme, zˇe cˇ´ıslo nula je take´ sude´. Sudy´ polynom tedy mu˚zˇe obsahovat i absolutnı´ cˇlen. To zˇe polynom je sudy´ (lichy´) pra´veˇ tehdy, kdyzˇ obsahuje pouze mocniny se sudy´m (lichy´m) exponentem slouzˇ´ı jako „vysveˇtlenı´ “ toho, procˇ se pouzˇ´ıva´ pojem suda´ a licha´ funkce. x3 + x x4 − 6 , h(x) = . 2x5 − 3x x2 + 1 6 3 x −3 x −x , h(x) = 3 . Na´sledujıćı´ funkce jsou liche´: f (x) = x3 − 6x7 , g(x) = 4 2x − 3 x −x 3 x −x Na´sledujıćı´ funkce nejsou ani sude´ ani liche´: f (x) = x4 + x2 − x, g(x) = 4 , y = ex . 2x − 3x Prˇ´ıklad 1.1 (parita). Na´sledujıćı´ funkce jsou sude´: f (x) = x4 − 6, g(x) =

Definice (ohranicˇenost). Necht’f je funkce a M ⊆ D(f ) podmnozˇina definicˇnı´ho oboru funkce f . ˇ ekneme, zˇe funkce f je na mnozˇineˇ M zdola ohranicˇena´, existuje-li rea´lne´ cˇ´ıslo a s vlastnostı´ (i) R a ≤ f (x) pro vsˇechna x ∈ M . ˇ ekneme, zˇe funkce f je na mnozˇineˇ M shora ohranicˇena´, existuje-li rea´lne´ cˇ´ıslo b s vlastnostı´ (ii) R f (x) ≤ b pro vsˇechna x ∈ M . ˇ ekneme, zˇe funkce f je na mnozˇineˇ M ohranicˇena´, je-li na M ohranicˇena´ zdola i shora. (iii) R Nespecifikujeme-li mnozˇinu M , ma´me na mysli, zˇe uvedena´ vlastnost platı´ na cele´m definicˇnı´m oboru funkce f . Pozna´mka 1.5 (graficky´ du˚sledek). Funkce je shora ohranicˇena´, jestlizˇe existuje vodorovna´ prˇ´ımka, ktera´ lezˇ´ı cela´ nad grafem funkce. Podobneˇ pozna´va´me na grafu ohranicˇenost zdola. Motivace. Pro libovolnou dobrˇe definovanou funkci f platı´ implikace x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ).

nynı´ se budeme zajı´mat o to, za jakyćh podmıńek lze tuto implikaci obra´tit. Obraćenı´ implikace by totizˇ mohlo by´t uzˇitecˇne´ prˇi rˇesˇenı´ neˇkteryćh nelinea´rnıćh rovnic. Definice (prostost). Necht’f je funkce a M ⊆ D(f ) podmnozˇina definicˇnı´ho oboru funkce f . ˇ ekneme, zˇe funkce f je prosta´, jestlizˇe kazˇdy´ obraz ma´ jen jediny´ vzor, tj. pro kazˇde´ y ∈ f (M ) existuje R jedine´ x ∈ M s vlastnostı´ f (x) = y. Nespecifikujeme-li mnozˇinu M , ma´me na mysli, zˇe uvedena´ vlastnost platı´ na cele´m definicˇnı´m oboru funkce f . Pozna´mka 1.6 (graficky´ du˚sledek). Funkce je prosta´, jestlizˇe kazˇda´ vodorovna´ prˇ´ımka protıńa´ graf nejvy´sˇe jednou. Pozna´mka 1.7 (k prosty´m funkcı´m). Ekvivalentneˇ lze rˇ´ıci, zˇe funkce f je prosta´ na mnozˇineˇ M , jestlizˇe stejne´ obrazy majı´ nutneˇ i stejny´ vzor, neboli ru˚zny´m vzoru˚m jsou prˇirˇazeny ru˚zne´ obrazy. Matematicky formulovańo: platı´ implikace (1.1)

f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ,

tj. je-li funkce f prosta´, mu˚zˇeme tuto funkci „odstranit“ z obou stran rovnice a mı´sto f (x1 ) = f (x2 ) psa´t ekvivalentneˇ x1 = x2 . Definice (inverznı´ funkce). Necht’ funkce f : A → B je prosta´. Pravidlo, ktere´ kazˇde´mu x z mnozˇiny f (A) prˇirˇadı´ to (jedine´) y, pro ktere´ platı´ f (y) = x se nazy´va´ inverznı´ funkce k funkci f , oznacˇujeme f −1 .


5

Pozna´mka 1.8. Symbol f −1 (x) lze tedy cha´pat bud’ jako hodnotu inverznı´ funkce k funkci f v bodeˇ 1 . Nebude-li z kontextu zrˇejme´, x, nebo jako prˇevraćenou hodnotu k cˇ´ıslu f (x), tj jako [f (x)]−1 = f (x) o kterou variantu se jedna´, musı´me toto uprˇesnit. Pozna´mka 1.9 (geometricky´ vy´znam inverznı´ funkce). Ihned z definice plyne, zˇe graf funkce f a graf funkce k nı´ inverznı´ f −1 jsou soumeˇrne´ podle prˇ´ımky y = x, tj. podle osy prvnı´ho a trˇetı´ho kvadrantu. Pozna´mka 1.10 (vy´pocˇet inverznı´ funkce). Inverznı´ funkci k funkci y = f (x) urcˇ´ıme takto: zameˇnı´me forma´lneˇ v zadańı´ funkce promeˇnne´ x a y, ma´me tedy x = f (y). Tato rovnice definuje implicitneˇ inverznı´ funkci y = f −1 (x). Z te´to rovnice vyja´drˇ´ıme promeˇnnou y (pokud toto nelze prove´st, ponecha´me inverznı´ funkci v implicitnı´m tvaru). Toto vyja´drˇenı´ je jednoznacˇne´ (jinak by to znamenalo, zˇe funkce f nenı´ prosta´ a inverznı´ funkce neexistuje) a definuje explicitneˇ inverznı´ funkci f −1 . U za´kladnıćh elementa´rnıćh funkcı´ (viz da´le) je zpravidla inverznı´ funkce jednodusˇe jina´ za´kladnı´ elementa´rnı´ funkce, naprˇ´ıklad inverznı´ funkce k logaritmicke´ funkci je exponencia´lnı´ funkce a podobneˇ (viz Tabulka 1). Protozˇe vlastnost „by´t inverznı´ funkcı´“ je vlastnost vza´jemna´, je take´ logaritmicka´ funkce inverznı´ k funkci exponencia´lnı´. Funkce y = f (x) Funkce inverznı´ y = f −1 (x) √ 2 y= x y=x √,x ≥ 0 2 y=x ,x≥0 y= x y = ex y = ln x y = ln x y = ex x y=a y = loga x y = sin x, x ∈ [−π/2, π/2] y = arcsin x y = cos x, x ∈ [0, π] y = arccos x y = tg x, x ∈ [−π/2, π/2] y = arctg x TABULKA 1. Inverznı´ funkce k za´kladnı´m elementa´rnı´m funkcı´m.

Prˇ´ıklad 1.2 (vy´pocˇet inverznı´ funkce). Nalezneme inverznı´ funkci k funkci y = promeˇnnyćh zı´ska´va´me implicitnı´ tvar inverznı´ funkce 2y − 1 x= odsud y xy = 2y − 1

2x − 1 . Za´meˇnnou x

1 = (2 − x)y a inverznı´ funkce ma´ prˇedpis 1 y= 2−x Prˇ´ıklad 1.3 (vy´pocˇet inverznı´ funkce). Nalezneme inverznı´ funkci k funkci y = x + ex . Tato funkce je zrˇejmeˇ prosta´, protozˇe je rostoucı´. Za´meˇnnou promeˇnnyćh obdrzˇ´ıme implicitnı´ tvar inverznı´ funkce x = y + ey . Odsud jizˇ promeˇnnou y neumı´me vyja´drˇit. Ponecha´me proto inverznı´ funkci v implicitnı´m tvaru. Pozna´mka 1.11 (za´pis cˇ´ısla jako vy´sledku prˇedem zadane´ operace). Je zrˇejme´, zˇe f (f −1 (x)) = x a f −1 (f (x)) = x pro vsˇechna, pro ktera´ ma´ tento za´pis smysl. Toto na´m umozˇnˇuje zapsat dane´ cˇ´ıslo jako vy´sledek neˇjake´ operace. Naprˇ. cˇ´ıslo 1 lze zapsat libovolnou z na´sledujıćıćh mozˇnostı´ √ 1 = ln e1 = log5 51 = 6log6 1 = sin(arcsin 1) = arctg(tg 1) = ( 1)2 Pozna´mka 1.12 (vyuzˇitı´ inverznı´ funkce – nelinea´rnı´ rovnice). Ma´-li funkce f inverznı´ funkci f −1 a je-li tato inverznı´ funkce definovańa v bodeˇ x, potom ma´ nelinea´rnı´ rovnice s nezna´mou y f (y) = x pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ dane´ vzorcem y = f −1 (x).

E


6

ˇ esˇme rovnici Prˇ´ıklad 1.4 (nelinea´rnı´ rovnice). R 2

e x−1 = 2. Protozˇe k exponencia´lnı´ funkci je inverznı´ logaritmicka´ funkce, plyne odsud 2 = ln 2, x−1 odkud jizˇ snadno vyja´drˇ´ıme 2 + 1. x= ln 2 Jinou mozˇnostı´ je prˇepsat rovnici do tvaru, ktery´ obsahuje exponencia´lnı´ funkci na obou stranaćh rovnice 2

e x−1 = eln 2 a odstranit tuto exponencia´lnı´ funkci z obou stran rovnice (exponencia´lnı´ funkce je totizˇ prosta´ a lze pouzˇ´ıt (1.1) a prˇipojenou pozna´mku). Obdrzˇ´ıme samozrˇejmeˇ stejny´ vy´sledek. Motivace. V na´sledujıćı´ definici jsou nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı pojmy rostoucı´ a klesajıćı´ funkce. Na´zorneˇ ˇrecˇeno, jsou to funkce ktere´ zachova´vajı´ (rostoucı´) nebo obracejı´ (klesajıćı´) smeˇr nerovnosti prˇi aplikaci funkce na obeˇ strany nerovnice. Definice (monotonie funkce). Necht’f je funkce a M ⊆ D(f ) podmnozˇina definicˇnı´ho oboru funkce f . ˇ ekneme, zˇe funkce f je na mnozˇineˇ M rostoucı´ jestlizˇe pro kazˇde´ x1 , x2 ∈ M s vlastnostı´ (i) R x1 < x2 , platı´ f (x1 ) < f (x2 ). ˇ ekneme, zˇe funkce f je na mnozˇineˇ M klesajıćı´ jestlizˇe pro kazˇde´ x1 , x2 ∈ M s vlastnostı´ (ii) R x1 < x2 , platı´ f (x1 ) > f (x2 ). ˇ ekneme, zˇe funkce f je na mnozˇineˇ M (ryze) monotonnı´ je-li bud’ rostoucı´, nebo klesajıćı´ na (iii) R M. Nespecifikujeme-li mnozˇinu M , ma´me na mysli, zˇe uvedena´ vlastnost platı´ na cele´m definicˇnı´m oboru funkce f . Pozna´mka 1.13 (k monotonnosti). U vlastnostı´ monotonie na´s zajı´ma´ nejcˇasteˇji prˇ´ıpad, kdy mnozˇinou M je interval. Potom ma´ monotonie a ryzı´ monotonie na´zornou geometrickou interpretaci na grafu funkce (obra´zek!). Pozor: funkce y = 1/x nenı´ klesajıćı´ na cele´m sve´m definicˇnı´m oboru, ale pouze na kazˇde´m z intervalu˚ (−∞, 0) a (0, ∞). Pozna´mka 1.14 (vyuzˇitı´ monotonie – nelinea´rnı´ nerovnice). To, zˇe je funkce rostoucı´ na´zorneˇ znamena´, zˇe jsou-li vzory funkce (hodnoty x) usporˇa´dańy podle velikosti, platı´ pro jejich obrazy (hodnoty f (x)) stejne´ usporˇa´dańı´. Je-li f (x) tedy rostoucı´ funkce, jsou nerovnosti a < b a f (a) < f (b) ekvivalentnı´. Tote´zˇ platı´ i pro neostre´ nerovnice. Mu˚zˇeme tedy libovolnou (ostrou nebo neostrou) nerovnici naprˇ. „logaritmovat“, nebo „odlogaritmovat“ logaritmem o za´kladu veˇtsˇ´ım nezˇ 1. Pozor! Je-li funkce f (x) klesajıćı´, obracı´ se prˇi aplikaci funkce (nebo prˇi vynechańı´ funkce) na obeˇ strany nerovnice znameńko nerovnosti. Prˇ´ıklad 1.5 (nelinea´rnı´ nerovnice). Nerovnici ln(x2 − 4x − 4) > 0

lze rˇesˇit naprˇ´ıklad tak, zˇe ji prˇepı´sˇeme do tvaru s logaritmy na obou stranaćh nerovnice ln(x2 − 4x − 4) > ln 1

a odlogaritmujeme:

x2 − 4x − 4 > 1

Odsud pote´ dosta´va´me postupneˇ: x2 − 4x − 5 > 0

(x − 5)(x + 1) > 0

E

2. LIMITA, SPOJITOST

7

x ∈ (−∞, −1) ∪ (5, ∞),

prˇicˇemzˇ kvadratickou nerovnici vyrˇesˇ´ıme naprˇ´ıklad graficky. Okamzˇiteˇ z definice vyply´va´ na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 1.2. Je-li funkce f na mnozˇineˇ M ryze monotonnı´, je na te´to mnozˇineˇ i prosta´. Na´sledujıćı´ veˇta ukazuje, zˇe prˇi prˇechodu k inverznı´ funkci se zachova´va´ ryzı´ monotonie a lichost. Veˇta 1.3. Je-li funkce f (x) rostoucı´ (klesajıćı´, licha´), ma´ tute´zˇ vlastnost i funkce inverznı´ f −1 (x). Pozna´mka 1.15. Suda´ funkce nenı´ prosta´, nema´ proto inverznı´ funkci. Pozna´mka 1.16 (shrnujıćı´ pozna´mka). Shrnˇme si, jak na´m znalost vlastnostı´ funkcı´ umozˇnˇuje pracovat s rovnicemi a nerovnostmi. a=b a
f je prosta´

⇐⇒

f (a) = f (b)

⇐⇒

f (a) < f (b)

⇐⇒

f (a) > f (b)

f je rostoucı´ f je klesajıćı´

a≤b

Je-li funkce f prosta´, pak pro kazˇde´ y ∈ H(f ) ma´ rovnice

a≤b

f je rostoucı´

⇐⇒

f (a) ≤ f (b)

⇐⇒

f (a) ≥ f (b)

f je klesajıćı´

E

f (x) = y

s nezna´mou x pra´veˇ jedno rˇesˇenı´ a toto rˇesˇenı´ je mozˇno vyja´drˇit vztahem x = f −1 (y). 2. Limita, spojitost Motivace. Nynı´ budeme hledat vhodnou velicˇinu, ktera´ na´m umozˇnı´ popsat, jak rychle se meˇnı´ jedna velicˇina prˇi zmeˇnaćh velicˇiny druhe´. U prˇ´ımky je takovouto vhodnou velicˇinou smeˇrnice (zpravidla oznacˇujeme symbolem k): Je-li smeˇrnice kladna´, prˇ´ımka roste, je-li za´porna´ tak naopak. Je-li smeˇrnice blı´zka´ k nule, prˇ´ımka roste pozvolna, je-li mnohem veˇtsˇ´ı neˇzˇ jedna, prˇ´ımka rychle roste, je-li mnohem mensˇ´ı nezˇ minus jedna, prˇ´ımka rychle klesa´.

E tecˇna

secˇna

f (x + h)

f (x) x

x+h

OBRA´ZEK 1. Tecˇna jako limitnı´ poloha secˇen (geometricky´ vy´znam derivace) Prˇi studiu funkcı´ se ukazuje, zˇe vhodnou mı´rou rychlosti ru˚stu funkce v dane´m bodeˇ je smeˇrnice tecˇny v tomto bodeˇ (tato smeˇrnice se pochopitelneˇ mu˚zˇe meˇnit podle´ krˇivky, krˇivka mu˚zˇe nejprve rychle ru˚st, potom naprˇ´ıklad ru˚st zpomalit a opeˇt klesat). Jak ale najı´t smeˇrnici tecˇny ke krˇivce v bodeˇ [x, f (x)]? Pouzˇijeme na´sledujıćı´ u´vahu: Uvazˇujme secˇnu na grafu funkce, ktera´ procha´zı´ body [x, f (x)] a [x + h, f (x + h)]. Smeˇrnice te´to secˇny je ksecˇny =

f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x) = . (x + h) − x h

Prˇiblı´zˇ´ıme-li bod [x + h, f (x + h)] k bodu [x, f (x)], prˇiblı´zˇ´ı se secˇna k tecˇneˇ a ze smeˇrnice secˇny dostaneme smeˇrnici tecˇny (sledujte na obra´zku 1). Tı´mto procesem vsˇak velicˇina h, ktera´ je ve jmenovateli a uda´va´ vodorovnou vza´lenost pru˚secˇ´ıku˚ na secˇneˇ, klesne na nulu a nemu˚zˇe se objevit ve jmenovateli (nulou nemu˚zˇeme deˇlit). Proto je nutno podrobneˇ prozkoumat, co se deˇje s funkcˇnı´mi hodnotami funcı´ prˇi


8

zmeˇnaćh neza´visle´ promeˇnne´ (x). Budeme se prˇitom nejvıće zajı´mat o prˇ´ıpady, kdy se blı´zˇ´ıme k neˇjake´ “problematicke´” hodnoteˇ, naprˇ. k nule ve jmenovateli, k nule uvnitrˇ logaritmu, nebo “k nekonecˇnu” (viz da´le). Motivace. Definice v te´to podkapitole majı´ na´sledujıćı´ smysl: Budeme sledovat, jak souvisı´ funkcˇnı´ hodnota v dane´m bodeˇ (pokud je definovańa) s funkcˇnı´mi hodnotami v nejblizˇsˇ´ıch okolnıćh bodech. Da´le, pokud funkcˇnı´ hodnota v dane´m bodeˇ nenı´ definovańa, budeme se zajı´mat o to, jestli funkcˇnı´ hodnoty v nejblizˇsˇ´ıch okolnıćh bodech jsou usta´leny okolo neˇjake´ vy´znacˇne´ hodnoty, cˇi nikoliv. Nejprve je vhodne´ rozsˇ´ıˇrit si mnozˇinu rea´lnyćh cˇ´ısel o dva dalsˇ´ı body, plus a minus nekonecˇno. Definice (rozsˇ´ırˇena´ mnozˇina rea´lnyćh cˇ´ısel). Rozsˇ´ırˇenou mnozˇinou rea´lnyćh cˇ´ısel R∗ rozumı´me mnozˇinu rea´lnyćh cˇ´ısel R rozsˇ´ırˇenou o body ±∞ na´sledovneˇ: R∗ = R∪{∞, −∞}, prˇicˇemzˇ pro a ∈ R definujeme: a + ∞ = ∞,

a − ∞ = −∞,

∞.∞ = −∞.(−∞) = ∞, −∞ < a < ∞, a.∞ = ∞

a je-li a < 0 definujeme

∞.(−∞) = −∞,

| ± ∞| = ∞,

je-li a > 0 definujeme

∞ + ∞ = ∞,

−∞ − ∞ = −∞ a a = =0 ∞ −∞

a.(−∞) = −∞,

a.∞ = −∞

a.(−∞) = ∞.

Dalsˇ´ı operace definujeme pomocı´ komutativnosti operacı´ „+“ a „.“. Body ±∞ nazy´va´me nevlastnı´ body, body mnozˇiny R nazy´va´me vlastnı´ body. Pozna´mka 2.1. Nejsou tedy definovańy operace „∞ − ∞“, „±∞.0“ a „

mozrˇejmeˇ nenı´ definovańo deˇlenı´ nulou.

±∞ “. Poznamenejme, zˇe sa±∞

Definice (okolı´). Okolı´m bodu a ∈ R nazy´va´me libovolny´ otevrˇeny´ interval, ktery´ ve sve´m vnitrˇku obsahuje bod a, znacˇ´ıme O(a). Ryzı´m (te´zˇ prstencovy´m) okolı´m bodu a rozumı´me mnozˇinu O(a) \ {a}, znacˇ´ıme O(a). Okolı´m bodu ∞ rozumı´me libovolny´ interval tvaru (A, ∞), kde A je rea´lne´ cˇ´ıslo a okolı´m bodu −∞ interval (−∞, A). Ryzı´m okolı´m nevlastnıćh bodu˚ rozumı´me tote´zˇ, co okolı´m teˇchto bodu˚. Definice (limita funkce). Necht’a, L ∈ R∗ a f : R → R. Necht’je funkce f definovana´ v neˇjake´m ryzı´m okolı´ bodu a. ˇ ekneme, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ a limitu rovnu cˇ´ıslu L, jestlizˇe ke kazˇde´mu okolı´ O(L) bodu L existuje R ryzı´ okolı´ O(a) bodu a takove´, zˇe pro libovolne´ x ∈ O(a) je f (x) ∈ O(L). Pı´sˇeme (2.1)

lim f (x) = L,

x→a

nebo f (x) → L pro x → a. Definice (vlastnı´ a nevlastnı´ limita). Je-li v prˇedchozı´ definici L ∈ R, nazy´va´ se limita vlastnı´, je-li L ∈ {∞, −∞}, nazy´va´ se limita nevlastnı´. Vlastnı´ limitu ve vlastnı´m bodeˇ je neˇkdy vhodne´ ekvivalentneˇ definovat na´sledovneˇ: Definice (εδ-definice limity). Necht’ a, L ∈ R a f : R → R. Rˇekneme, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ a limitu rovnu cˇ´ıslu L, jestlizˇe ke kazˇde´mu ε > 0 existuje δ > 0 takove´, zˇe pro libovolne´ x ∈ (a − δ, a + δ), x 6= a platı´ f (x) ∈ (L − ε, L + ε). Pozna´mka 2.2. Mı´sto x ∈ (a − δ, a + δ), x 6= a lze ekvivalentneˇ psa´t 0 < |x − a| < δ. Podobneˇ mı´sto f (x) ∈ (L − ε, L + ε) lze psa´t |f (x) − L| < ε

Pozna´mka 2.3. Definice limity je naprosto nevhodna´ pro vy´pocˇet. Jednodusˇsˇ´ı je uka´zat pomocı´ definice, zˇe cˇ´ıslo L nenı´ limitou funkce v bodeˇ a.


9

Definice (jednostranne´ okolı´). Pravy´m (resp. levy´m) okolı´m bodu a ∈ R nazy´va´me libovolny´ interval tvaru [a, b),(resp. tvaru (b, a], pro leve´ okolı´), kde b je rea´lne´ cˇ´ıslo splnˇujıćı´ b > a (resp. b < a). Znacˇ´ıme O+ (a) (O− (a)). Ryzı´m pravy´m (resp. levy´m) okolı´m bodu a rozumı´me odpovı´dajıćı´ jednostranne´ okolı´, ze ktere´ho vyjmeme bod a. Znacˇ´ıme O+ (a), (O− (a)). Definice (jednostranna´ limita). Necht’a ∈ R, L ∈ R∗ a f : R → R. Da´le necht’je funkce f definovana´ v neˇjake´m prave´m (leve´m) ryzı´m okolı´ bodu a. ˇ ekneme, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ a limitu zprava (limitu zleva) rovnu cˇ´ıslu L, jestlizˇe ke kazˇde´mu okolı´ R O(L) bodu L existuje prave´ ryzı´ okolı´ O+ (a) (leve´ ryzı´ okolı´ O− (a)) bodu a takove´, zˇe pro libovolne´ x ∈ O+ (a) (x ∈ O− (a)) platı´ f (x) ∈ O(L). Pı´sˇeme lim f (x) = L ( lim f (x) = L). x→a+

x→a−

Pozna´mka 2.4 (zkraćena´ forma za´pisu). Jina´ forma za´pisu jednostranne´ limity je f (a+) = L pro limitu zprava a f (a−) = L pro limitu zleva. Fakt, zˇe za argumentem funkce je znameńko prˇitom signalizuje, zˇe se nejedna´ o funkcˇnı´ hodnotu v bodeˇ a (tj. nejde o f (a)), ale o limitu v bodeˇ a zprava nebo zleva. Pro oboustranne´ limity se symbolika tohoto typu pouzˇ´ıva´ zrˇ´ıdka, pı´sˇeme potom f (a±). okolı´ bodu a ryzı´ okolı´ bodu a prave´ okolı´ bodu a prave´ ryzı´ okolı´ bodu a a OBRA´ZEK 2. Okolı´ a jednostranne´ okolı´ bodu a. Pozna´mka 2.5. Vidı´me, zˇe nedefinujeme ani jednostranna´ okolı´ nevlastnıćh bodu˚ ani jednostranne´ limity v teˇchto bodech. Pozna´mka 2.6. Aby existovala limita v bodeˇ a ∈ R, nemusı´ by´t funkce f v bodeˇ a definovańa, protozˇe sin x existuje, i kdyzˇ tato funkce nenı´ f (a) v definici limity nikde nevystupuje. Naprˇ´ıklad limita funkce lim x→0 x definovańa v bodeˇ 0. Funkce naopak musı´ by´t definovańa v neˇjake´m ryzı´m okolı ´ (nebo ryzı´m jednostranne´m p okolı´, v prˇ´ıpadeˇ jednostranne´ limity) bodu a. Nedefinujeme tedy naprˇ´ıklad lim 1 − 3x2 , nebo lim− ln(x). x→1

x→0

Pozna´mka 2.7 („vulga´rnı´“ vyja´drˇenı´ pojmu limita). Neprˇesneˇ rˇecˇeno, prˇedpis lim f (x) = L znamena´, zˇe x→a

je-li hodnota x blı´zka´ k cˇ´ıslu a, je funkcˇnı´ hodnota f (x) blı´zka´ k cˇ´ıslu L. Veˇta 2.1 (jednoznacˇnost limity). Funkce ma´ v kazˇde´m bodeˇ nejvy´sˇe jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva). Veˇta 2.2 (souvislost limity s jednostranny´mi limitami). Funkce ma´ v bodeˇ a ∈ R limitu pra´veˇ tehdy, ma´-li v tomto bodeˇ obeˇ jednostranne´ limity a tyto limity jsou shodne´. Pozna´mka 2.8 (technicka´ – graficke´ nalezenı´ limity). Existenci a hodnotu limity pozna´me peˇkneˇ z grafu funkce (umı´me-li ho nakreslit). Prˇedstavme si graf funkce y = f (x) a hledejme hodnotu limity lim f (x) x→a+

• Uvazˇujme na grafu funkce testovacı´ bod. x-ova´ sourˇadnice tohoto bodu necht’je veˇtsˇ´ı nezˇ a • Posunujme testovacı´ bod po grafu funkce zprava doleva tak, aby se x-ova´ sourˇadnice blı´zˇila k bodu a. • Pokud prˇi tomto procesu docha´zı´ k tomu, zˇe y-ova´ sourˇadnice se usta´lı´ kolem neˇjake´ho cˇ´ısla L, je cˇ´ıslo L limitou funkce v bodeˇ a zprava. Obra´zek 3 ilustruje tuto mysˇlenku. Funkce na obra´zku ma´ obeˇ jednostranne´ limity v bodeˇ a, jsou vsˇak ru˚zne´. Proces nalezenı´ limity zprava je zachycen na obra´zku, limita zleva se najde analogicky.

E


10

y

testovacı´ bod

f (x)

L

cı´lovy´ bod

limitnı´ proces x

a

x

OBRA´ZEK 3. Limitnı´ proces lim+ f (x) = L. x→a

Pozna´mka 2.9 („experimenta´lnı´ stanovenı´ limity“). Chceme-li odhadnout, zda jista´ limita existuje cˇi nikoliv, lze pouzˇ´ıt na´sledujıćı´ postup: zvolı´me neˇjakou posloupnost cˇ´ısel, ktera´ se blı´zˇ´ı k cˇ´ıslu a a postupneˇ pocˇ´ıta´me funkcˇnı´ hodnoty funkce f v teˇchto cˇ´ıslech. Meˇla by vycha´zet posloupnost cˇ´ısel, ktere´ se prˇiblizˇujı´ k jiste´mu cˇ´ıslu L. Pokud toto skutecˇneˇ vycha´zı´, je pravdeˇpodobne´, zˇe toto cˇ´ıslo L je limitou funkce f v bodeˇ a ve smyslu vy´sˇe uvedene´ definice. Toto prˇiblizˇovańı´ mu˚zˇe by´t porusˇeno v bodech, ktere´ jsou jizˇ „znacˇneˇ blı´zko“ bodu a, cozˇ by´va´ zpu˚sobeno omezenou prˇesnostı´ pocˇ´ıtacıćh stroju˚ a na´sledny´m selhańı´m algoritmu˚, ktere´ jsou v teˇchto strojıćh zabudovańy. Prˇ´ıklad 2.1 (numericky´ experiment). Odhadneme hodnotu limity lim

x→0+

sin x pomocı´ numericke´ho expex

sin x rimentu. Budeme hledat hodnoty funkce na posloupnosti hodnot x, ktere´ konvergujı´ k nule zprava. x Dosta´va´me x 0.5 0.2 0.1 0.01 0.005 0.00001 sin x 0.95885 0.99334 0.99833 0.999983 0.9999958 1 x Odsud se zda´ by´t rozumne´ se domnı´vat, zˇe sin x = 1. lim x→0+ x Nicmeńeˇ, tato domneˇnka mu˚zˇe by´ti zava´deˇjıćı´. • Kalkula´tor zaokrouhluje. Z tabulky se zda´, zˇe hodnota funkce je prˇesneˇ jedna, pro x dost blı´zke´ nule. Bohuzˇel, nenı´ tomu tak. Ve skutecˇnosti hodnota funkce sin(x)/x nenı´ rovna jedne´ nikde. sin x = 1 nema´ rˇesˇenı´. Rovnice x • Z tabulky je pravdeˇpodobne´, zˇe sin(x)/x se prˇiblizˇuje cˇ´ıslu 1 pokud se x prˇiblizˇuje k cˇ´ıslu 0. Avsˇak tı´mto faktem si nemu˚zˇe by´t zcela jisti. Zˇa´dne´ mnozˇstvı´ konkre´tnıćh dat neukazuje, zˇe hodnoty nemohou by´t zcela jine´, pokud jsou hodnoty x jesˇteˇ blı´zˇe k nule, nezˇ je zachyceno v tabulce. Numericky´ experiment da´va´ dobrou prˇedstavu, jaka´ by mohla hodnota limity by´t, nemu˚zˇe vsˇak by´t pouzˇit pro du˚kaz existence limity. Je nutno odvodit prˇesnou teorii pro vy´pocˇet limit, jak bude provedeno nı´zˇe. Na´sledujıćı´ vlastnost na´m da´va´ informaci o vztahu limity v bodeˇ a funkcˇnı´ hodnoty v tomto bodeˇ. Tyto mohou by´t zcela neza´visle´ – mu˚zˇou existovat obeˇ soucˇasneˇ a by´t ru˚zne´, nebo ktera´koliv z nich existovat nemusı´. Pokud vsˇak obeˇ existujı´ a jsou stejne´, je funkce urcˇity´m zpu˚sobem „peˇkna´“ — spojita´. ˇ ekneme, zˇe funkce f : R → R je spojita´ v bodeˇ a, jestlizˇe a je v definicˇnı´m Definice (spojitost v bodeˇ). R oboru funkce f a lim f (x) = f (a) . x→a ˇ ekneme, zˇe funkce f : R → R je spojita´ zprava (spojita´ zleva) v bodeˇ a, jestlizˇe a je v definicˇnı´m oboru R funkce f a lim f (x) = f (a) ( lim f (x) = f (a)). x→a+

x→a−


11

ˇ ekneme, zˇe funkce je spojita´ na otevrˇene´m intervalu (a, b), je-li spojita´ Definice (spojitost na intervalu). R ˇ ekneme, zˇe funkce je spojita´ na uzavrˇene´m intervalu [a, b], je-li spojita´ v kazˇde´m jeho vnitrˇnı´m bodeˇ. R v kazˇde´m jeho vnitrˇnı´m bodeˇ, v bodeˇ a je spojita´ zprava a v bodeˇ b je spojita´ zleva. Oznacˇenı´. Mnozˇinu vsˇech funkcı´ spojityćh2 na intervalu I oznacˇujeme C(I). Je-li I = (a, b) nebo I = [a, b], pı´sˇeme C((a, b)), nebo C([a, b]). Pozna´mka 2.10 (filozoficka´). Vsˇimneˇte si, zˇe definice spojitosti je zcela odlisˇna´ od „beˇzˇne´“ prˇedstavy spojite´ funkce jakozˇto funkce, jejı´zˇ graf lze nakreslit jednı´m tahem. Tato skutecˇnost je vsˇak prˇirozena´, protozˇe nedokonalost, ktera´ nutneˇ prova´zı´ jakoukoliv vizualizaci grafu funkce, na´m nedovoluje zave´st prˇesneˇ jaky´koliv pojem, tedy ani spojitost, pokud se odvola´va´me pouze na geometricky´ na´zor. Definice vlastneˇ vyjadrˇuje fakt, zˇe na intervalu, na ktere´m je funkce spojita´, se jejı´ funkcˇnı´ hodnoty meˇnı´ „pozvolna“ – mala´ zmeˇna promeˇnne´ x vyvola´ relativneˇ malou zmeˇnu promeˇnne´ y. Na´sledujıćı´ definice se ty´ka´ naproste´ veˇtsˇiny funkcı´, se ktery´mi budeme pracovat. Definice (za´kladnı´ elementa´rnı´ funkce). Vsˇechny mnohocˇleny, goniometricke´, cyklometricke´, exponencia´lnı´ a logaritmicke´ funkce a obecna´ mocnina se nazy´vajı´ za´kladnı´ elementa´rnı´ funkce. Definice (elementa´rnı´ funkce). Vsˇechny funkce, ktere´ ze za´kladnıćh elementa´rnıćh funkcı´ zı´ska´me konecˇny´m pocˇtem operacı´ scˇ´ıtańı´, odecˇ´ıtańı´, na´sobenı´, deˇlenı´ a skla´dańı´ teˇchto funkcı´ navza´jem se nazy´vajı´ elementa´rnı´ funkce. Pozna´mka 2.11. Elementa´rnı´ funkce jsou tedy vsˇechny funkce, ktere´ umı´me v konecˇne´m tvaru vyja´drˇit explicitnı´m vzorcem za pouzˇitı´ funkcı´ zna´myćh ze strˇednı´ sˇkoly a cyklometrickyćh funkcı´. Veˇta 2.3 (spojitost elementa´rnıćh funkcı´). Elementa´rnı´ funkce jsou spojite´ v kazˇde´m vnitrˇnı´m bodeˇ sve´ho definicˇnı´ho oboru. Pozna´mka 2.12 (technicka´). Prˇedchozı´ veˇta na´m rˇ´ıka´, zˇe u elementa´rnıćh funkcı´ je limita a funkcˇnı´ hodnota v bodech patrˇ´ıcıćh do definicˇnı´ho oboru tote´zˇ. Limitu v bodeˇ a proto zkusı´me pocˇ´ıtat tak, zˇe nejprve dosadı´me x = a. Pouze pokud „nelze dosadit“, tj. pokud a 6∈ D(f ), musı´me limitu pocˇ´ıtat jinak. Dı´ky te´to veˇteˇ je pro na´s pojem limita u elementa´rnıćh funkcı´ zajı´mavy´ jizˇ jen v bodech, ktere´ nepatrˇ´ı do definicˇnı´ho oboru funkce. ex ln(x) je spojita´ na intervalech (0, 1) a (1, ∞). Prˇ´ıklad 2.2 (vy´pocˇet limity dosazenı´m). Funkce y = 2 x −1 Proto naprˇ. ex ln(x) e2 ln 2 = . 2 x→2 x − 1 3 lim

Cˇtena´rˇ ma´ ze strˇednı´ sˇkoly pravdeˇpodobneˇ intuitivnı´ prˇedstavu o asymptotaćh ke grafu funkce. Na´sledujıćı´ definice vcˇlenˇujı´ asymptoty do konceptu limit. ˇ ekneme, Definice (asymptota bez smeˇrnice, svisla´ asymptota). Bud’ f funkce a x0 ∈ R vlastnı´ bod. R zˇe prˇ´ımka x = x0 je asymptotou bez smeˇrnice (te´zˇ svisla´ nebo vertika´lnı´ asymptota) ke grafu funkce f , jestlizˇe alesponˇ jedna z jednostrannyćh limit funkce f v bodeˇ x0 existuje a je nevlastnı´. Definice (vodorovna´ asymptota). Bud’ q ∈ R. Prˇ´ımka y = q je vodorovnou (horizonta´lnı´ ) asymptotou ke grafu funkce y = f (x) v bodeˇ +∞ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ platı´ lim f (x) = q.

x→∞

Podobneˇ definujeme horizonta´lnı´ asymptotu v bodeˇ −∞. 2anglicky continuous

E

svisla´ asymptota


12

vodorovna´ asymptota v+∞

OBRA´ZEK 4. Vodorovna´ a svisla´ asymptota. Pozna´mka 2.13 (souvislost mezi limitou a vodorovnou asymptotou). Prˇedchozı´ veˇta a definice ˇr´ıkajı´, zˇe vodorovna´ (horizonta´lnı´) asymptota v nevlastnı´m bodeˇ je tote´zˇ, co limita v tomto bodeˇ. Vskutku, blı´zˇ´ı-li se graf funkce y = f (x) k prˇ´ımce y = q (prˇ´ımka je asymptotou), znamena´ to, zˇe funkcˇnı´ hodnoty f (x) se blı´zˇ´ı k cˇ´ıslu q (cˇ´ıslo q je limitou), a naopak. Definice (asymptota se smeˇrnicı´). Bud’f funkce definovana´ v neˇjake´m okolı´ bodu ∞. Prˇ´ımka y = kx + q se nazy´va´ asymptota se smeˇrnicı´ ke grafu funkce y = f (x) v bodeˇ +∞, jestlizˇe platı´ lim |kx + q − f (x)| = 0

x→∞

Podobneˇ, zameˇnı´me-li bod ∞ za bod −∞, obdrzˇ´ıme definici asymptoty se smeˇrnicı´ ke grafu funkce f v bodeˇ −∞. Pozna´mka 2.14 (geometricky´ vy´znam prˇedchozı´ definice). Asymptota se smeˇrnicı´ je tedy prˇ´ımka, ke ktere´ se graf prˇiblizˇuje v neˇktere´m z nevlastnıćh bodu˚. Vsˇimneˇte si, zˇe definice nevylucˇuje prˇ´ıpad, kdy kx + q − f (x) = 0, tj. kdy je funkce f linea´rnı´. V tomto prˇ´ıpadeˇ je grafem funkce prˇ´ımka, ktera´ je sama svojı´ asymptotou. Da´le podotkneˇme, zˇe vodorovna´ asymptota je pouze specia´lnı´ prˇ´ıpad asymptoty se smeˇrnicı´, jejı´zˇ smeˇrnice je nulova´. Veˇta 2.4 (asymptota se smeˇrnicı´). Bud’f funkce definovana´ v neˇjake´m okolı´ bodu ∞. Prˇ´ımka y = kx+q je asymptota se smeˇrnicı´ ke grafu funkce y = f (x) v bodeˇ +∞ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ existujı´ konecˇne´ limity f (x) a q := lim (f (x) − kx). x→∞ x Podobneˇ, zameˇnı´me-li bod ∞ za bod −∞, obdrzˇ´ıme asymptotu se smeˇrnicı´ ke grafu funkce f v bodeˇ −∞. (2.2)

k := lim

x→∞

y = f (x) g(x)

y = kx + q

OBRA´ZEK 5. Asymptota se smeˇrnicı´ v +∞.


13

Pozna´mka 2.15. Graf funkce mu˚zˇe ale nemusı´ mı´t asymptotu. U asymptot se smeˇrnicı´ mohou, ale i nemusı´, by´t obeˇ asymptoty v nevlastnıćh bodech ±∞ stejne´. Dokonce mu˚zˇe existovat pouze jedna (viz naprˇ funkce y = ex ). U asymptot ke grafu˚m raciona´lnıćh funkcı´ je situace jednodusˇsˇ´ı (viz na´sledujıćı´ veˇta). Veˇta 2.5 (asymptoty raciona´lnı´ funkce). Asymptoty se smeˇrnicı´ ke grafu raciona´lnı´ funkce v bodech ±∞ existujı´ soucˇasneˇ a jsou stejne´. Pozna´mka 2.16. Polynom stupneˇ alesponˇ 2 nema´ asymptoty. Asymptoty raciona´lnıćh funkcı´ urcˇ´ıme snadno pomocı´ deˇlenı´ polynomu˚ se zbytkem. V na´sledujıćı´m textu si uka´zˇeme neˇktere´ techniky umozˇnˇujıćı´ prakticky´ vy´pocˇet limit. Veˇta 2.6 (pravidla pro pocˇ´ıtańı´ s limitami). Bud’a ∈ R∗ , f, g : R → R. Platı´

(2.3)

(2.4) (2.5) (2.6)

E

lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x)

x→a

x→a

x→a

lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x)

x→a

x→a

x→a

f (x) limx→a f (x) lim = x→a g(x) limx→a g(x) lim |f (x)| = | lim f (x)|,

x→a

x→a

kde limita vlevo existuje, jestlizˇe existujı´ limity vpravo (vlastnı´ nebo nevlastnı´) a vy´raz vpravo je definovań. Tote´zˇ platı´ i pro jednotlive´ jednostranne´ limity. Prˇ´ıklad 2.3 (aplikace prˇedchozı´ veˇty). S vyuzˇitı´m veˇty lze pocˇ´ıtat na´sledujıćı´ limity π π (i) lim (arctg x + arccotg x) = + 0 = x→∞ 2 2 1 (ii) lim− cos x = −∞.1 = −∞ x→0 x 1 1 1 = = =0 (iii) lim x→∞ xex ∞.∞ ∞

1 + ln x), protozˇe x bychom obdrzˇeli nedefinovany´ vy´raz „∞ − ∞“. Stejneˇ tak veˇtu nelze pouzˇ´ıt naprˇ. pro vy´pocˇet limit 1 lim (sin2 x + cos2 x) nebo lim cos2 x, protozˇe limity lim sin2 x a lim cos2 x neexistujı´. Toto vsˇak x→∞ x→∞ x x→∞ x→∞ nic nevypovı´da´ o tom, zda pu˚vodnı´ limita existuje nebo neexistuje! Prˇ´ıklad 2.4 (selhańı´ prˇedchozı´ veˇty). Veˇtu nelze pouzˇ´ıt pro vy´pocˇet limity lim+ ( x→0

Na´sledujıćı´ veˇta je aplikovatelna´ v prˇ´ıpadech, kdy hleda´me limitu soucˇinu dvou funkcı´, z nichzˇ jedna limitu nema´ a druha´ ma´ limitu nulovou. Veˇta 2.7. Necht’a ∈ R∗ , lim f (x) = 0 a necht’ existuje ryzı´ okolı´ bodu a, kde je funkce g(x) ohranicˇena´. Pak x→a

lim f (x)g(x) = 0, tj. limita existuje a je rovna nule.

x→a

Prˇ´ıklad 2.5 (aplikace prˇedchozı´ veˇty). S pomocı´ te´to veˇty jizˇ lze vypocˇ´ıtat limitu z prˇedchozı´ pozna´mky: 1 lim cos2 x = „0.(ohranicˇena´ funkce)“ = 0 x→∞ x

Na´sledujıćı´ veˇta ma´ pouzˇitı´ naprˇ´ıklad prˇi vy´pocˇtu limity raciona´lnı´ funkce v bodech, ve kteryćh tato funkce nenı´ definovańa, tj. v bodech, pro ktere´ po dosazenı´ vycha´zı´ nula ve jmenovateli a nenulove´ cˇ´ıslo v cˇitateli (vycha´zı´-li nula i v cˇitateli, lze ve zlomku prove´st kraćenı´, cˇ´ımzˇ se situace prˇevede na neˇktery´ z ostatnıćh prˇ´ıpadu˚). L Veˇta 2.8 (limita typu „ “). Necht’a ∈ R∗ , lim g(x) = 0 a lim f (x) = L ∈ R∗ \ {0}. Necht’existuje x→a x→a 0 ryzı´ okolı´ bodu a, ve ktere´m je funkce g(x) nemeˇnı´ znameńko. Potom ( +∞ pokud g(x) a L majı´ stejne´ znameńko, f (x) = lim x→a g(x) −∞ pokud g(x) a L majı´ ru˚zna´ znameńka. Tote´zˇ platı´ i pro jednostranna´ okolı´ a prˇ´ıslusˇne´ jednostranne´ limity.


14

L Pozna´mka 2.17 (symboly „+0“, „−0“). Limita typu „ “, pokud existuje, je vzˇdy nevlastnı´. Znameńko 0 urcˇ´ıme pomocı´ beˇzˇnyćh pravidel pro urcˇenı´ znameńka podı´lu – podı´l dvou kladnyćh nebo dvou za´pornyćh cˇ´ısel je kladny´, podı´l kladne´ho a za´porne´ho cˇ´ısla (v libovolne´m porˇadı´) je za´porny´. Vyja´drˇ´ıme-li tedy symbolem „+0“ skutecˇnost, zˇe funkce ve jmenovateli ma´ limitu (jedno- nebo oboustrannou) rovnu nule, v neˇjake´m ryzı´m okolı´ (jedno- nebo oboustranne´m) je vsˇak nenulova´ a kladna´, lze podle prˇedchozı´ veˇty −∞ 2 = ∞, = −∞. Podobneˇ symbolem „−0“ vyja´drˇ´ıme skutecˇnost, zˇe funkce ve pocˇ´ıtat naprˇ. takto: +0 +0 −2 jmenovateli ma´ nulovou limitu a v neˇjake´m ryzı´m okolı´ je nenulova´ a za´porna´ a lze psa´t naprˇ. = ∞. −0 Pozna´mka 2.18 (technicka´). V praxi je prˇi aplikaci prˇedchozı´ veˇty obvykle´ vysˇetrˇovat nejprve jednostranne´ limity a z jejich vza´jemne´ho vztahu pote´ usoudit na existenci nebo neexistenci oboustranne´ limity. Prˇ´ıklad 2.6 (limita lomene´ funkce ve vlastnı´m bodeˇ nepatrˇ´ıcı´m do definicˇnı´ho oboru). −1 1−x =” ” = −∞ (i) lim+ 2 +0 x→2 x − 4 1−x −1 (ii) lim− 2 =” ”=∞ −0 x→2 x − 4 1−x neexistuje, protozˇe jednostranne´ limity nejsou stejne´. (iii) lim 2 x→2 x − 4 Na´sledujıćı´ veˇta ukazuje, zˇe prˇi vy´pocˇtu limity slozˇene´ funkce lze postupovat tak, zˇe urcˇ´ıme nejprve limitu vnitrˇnı´ slozˇky a pote´ na vy´sledek aplikujeme slozˇku vneˇjsˇ´ı. Veˇta 2.9 (limita slozˇene´ funkce se spojitou vneˇjsˇ´ı slozˇkou). Je-li lim f (x) = b a g(x) je funkce spojita´ x→a

v bodeˇ b, platı´ lim g(f (x)) = g(b), tj. x→a

lim g(f (x)) = g( lim f (x)).

x→a

x→a

Tote´zˇ platı´ i pro jednotlive´ jednostranne´ limity. Prˇ´ıklad 2.7 (limita slozˇene´ funkce se spojitou vneˇjsˇ´ı slozˇkou). (i) lim cos(e−x ) = cos 0 = 1 x→∞

(ii)

lim earctg x = e−π/2

x→−∞

Prˇedchozı´ veˇtu nelze aplikovat v prˇ´ıpadeˇ, zˇe limita vnitrˇnı´ slozˇky je nevlastnı´, nebo pokud uvedeny´m postupem obdrzˇ´ıme nedefinovany´ vy´raz, naprˇ. „ln 0“. V tomto prˇ´ıpadeˇ lze vyuzˇ´ıt na´sledujıćı´ veˇtu. Veˇta 2.10 (limita slozˇene´ funkce). Necht’ lim f (x) = b, lim g(y) = L a existuje ryzı´ okolı´ O(a) takove´, x→a

y→b

zˇe pro x ∈ O(a) je f (x) 6= b. Potom lim g(f (x)) = L. x→a

Pozna´mka 2.19 (substituce v limiteˇ). Veˇta je vlastneˇ veˇtou o substituci v limiteˇ. Naprˇ. v limiteˇ L = lim ln substituce y =

1 1 vede na limitu L = lim ln y (protozˇe lim = ∞) a odsud dosta´va´me L = ∞ y→∞ x x→0+ x

x→0+

1 (i) lim ln( ) = ” ln ∞” = ∞ + x x→0 π (ii) lim arctg(e−x ) = ” arctg ∞” = x→−∞ 2 (iii) lim ln(sin x) = ” ln(0+)” = −∞

Prˇ´ıklad 2.8 (limita slozˇene´ funkce).

x→0+

Na´sledujıćı´ veˇta umozˇnı´ snadne´ pocˇ´ıtańı´ limity polynomu a raciona´lnı´ funkce v nevlastnıćh bodech. Veˇta 2.11 (limita polynomu a raciona´lnı´ funkce v nevlastnıćh bodech). Platı´ lim (a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ) = lim a0 xn

x→±∞

x→±∞

a0 n−m a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = lim x lim x→±∞ b0 x→±∞ b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm−1 x + bm

1 x

3. DERIVACE FUNKCE

15

Pozna´mka 2.20 (technicka´). Limita polynomu stupneˇ alesponˇ jedna v nevlastnıćh bodech je tedy vzˇdy nevlastnı´, prˇicˇemzˇ o jejı´m znameńku rozhoduje pouze vedoucı´ cˇlen. O hodnoteˇ limity podı´lu dvou polynomu˚ rozhoduje pouze podı´l vedoucı´ho cˇlene cˇitatele a vedoucı´ho cˇlene jmenovatele. Prˇ´ıklad 2.9 (limita polynomu a lomene´ funkce v nevlastnıćh bodech). (i) lim (6x3 − 2x + 1) = lim 6x3 = 6.(∞)3 = ∞ x→∞

(ii)

x→∞

lim (3x5 − 2x2 + 2) = 3.(−∞)5 = −∞

x→−∞

x3 − 2 1 1 = lim = − 4x2 + 1 x→∞ 2 2 1 2 x5 − 2 = lim x =∞ (iv) lim 3 x→−∞ 2 x→−∞ 2x − 4x2 + 1

(iii) lim

x→∞ 2x3

3. Derivace funkce Nynı´ mu˚zˇeme ve smeˇrnici secˇny na grafu funkce (viz strana 7) pouzˇ´ıt limitnı´ prˇechod h → 0, cˇ´ımzˇ dostaneme smeˇrnici tecˇny. Tuto velicˇinu prˇedstavujeme v na´sledujıćı´ definici. ˇ ekneme, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ x derivaci rovnu Definice (derivace funkce v bodeˇ). Necht’x ∈ D(f ). R ′ cˇ´ıslu oznacˇene´mu f (x), jestlizˇe existuje konecˇna´ limita (3.1)

f ′ (x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) . h

Pozna´mka 3.1 (jednostranne´ derivace). Podobneˇ definujeme i derivaci zprava a derivaci zleva. Pozˇ´ıva´me prˇi tom limitu zprava a zleva mı´sto oboustranne´ limity (3.1). Definice (derivace funkce). Necht’ma´ funkce f derivaci v kazˇde´m bodeˇ otevrˇene´ho intervalu I. Prˇedpisem, ktery´ kazˇde´mu bodu x z intervalu I prˇirˇadı´ derivaci funkce f v bodeˇ x je definovańa funkce, kterou nazy´va´me derivacı´ funkce f na intervalu I a oznacˇujeme f ′ . Definice (vysˇsˇ´ı derivace). Bud’ f (x) funkce a f ′ (x) jejı´ derivace. Existuje-li derivace (f ′ (x))′ funkce f ′ (x), nazy´va´me ji druhou derivacı´ funkce f (x) a oznacˇujeme f ′′ (x) (x). n-na´sobny´m opakovańı´m tohoto postupu dospı´va´me k n-te´ derivaci funkce f (x), kterou oznacˇujeme f (n) (x). Pozna´mka 3.2 (geometricky´ vy´znam derivace). Z definice derivace plyne, zˇe se jedna´ prˇesneˇ o tu velicˇinu, uda´vajıćı´ rychlost ru˚stu funkce, kterou jsme zacˇali hledat v motivaci na straneˇ 7. Geometricky´ vy´znam derivace je na´sledujıćı´: nakreslı´me-li secˇnu ke grafu funkce f procha´zejıćı´ body [x, f (x)] a [x+h, f (x+h)] f (x + h) − f (x) (viz obra´zek 1, strana 7), je smeˇrnice te´to secˇny . Fixujeme-li bod [x, f (x)] a s bodem h (x + h) se k bodu x blı´zˇ´ıme (tj. prova´dı´me-li limitnı´ prˇechod „ lim “), prˇejde secˇna v tecˇnu v bodeˇ [x, f (x)].

E

h→0

Limitnı´ hodnota, tj. smeˇrnice tecˇny, je potom rovna derivaci f ′ (x). Graf funkce ma´ tedy v pevne´m bodeˇ a tecˇnu pra´veˇ tehdy, kdyzˇ funkce f ma´ v bodeˇ a derivaci. Body, kde funkce nema´ derivaci, mohou by´t body, kde je limita (3.1) nevlastnı´ (funkce ma´ svislou tecˇnu), body kde existujı´ jednostranne´ derivace (tecˇny zleva i zprava existujı´) ale tyto jsou ru˚zne´ (naprˇ. funkce y = |x|) a konecˇneˇ body, kde neexistuje neˇktera´ z jednostrannyćh derivacı´. Pozna´mka 3.3 (rovnice tecˇny). Ma´-li funkce f v bodeˇ a derivaci, je rovnice tecˇny ke grafu funkce v tomto bodeˇ y = f ′ (a)(x − a) + f (a).

Rovnici tecˇny mu˚zˇeme pouzˇ´ıt k linea´rnı´ aproximaci funkce. V okolı´ bodu a platı´ prˇiblizˇny´ vzorec f (x) ≈ f (a) + f ′ (a)(x − a),

ktery´ umozˇnˇuje v okolı´ bodu a nahradit (obecneˇ nelinea´rnı´) funkci f (x) funkcı´ linea´rnı´.

E

3. DERIVACE FUNKCE

16

Pozna´mka 3.4 (prakticky´ vy´znam derivace). Necht’ velicˇina x oznacˇuje cˇas, meˇˇreny´ ve vhodnyćh jednotkaćh, a necht’ velicˇina y se meˇnı´ v pru˚beˇhu cˇasu, tj. y = y(x). Derivace y ′ (x) pote´ znacˇ´ı okamzˇitou rychlost, s nı´zˇ docha´zı´ ke zmeˇneˇ velikosti velicˇiny y v cˇase x. Znacˇ´ı-li naprˇ. y(x) polohu pohybujıćı´ho se teˇlesa v cˇase x, je derivace y ′ (x) rovna okamzˇite´ rychlosti tohoto teˇlesa (pojem rychlost uzˇ´ıva´me ve fyzika´lnı´m smyslu tohoto slova). Znacˇ´ı-li velicˇina y velikost populace urcˇite´ho zˇivocˇisˇne´ho druhu v cˇase x, znacˇ´ı derivace y ′ (x) rychlost na´ru˚stu te´to populace, tj. pocˇet zˇivocˇichu˚, ktery´ se v dane´m okamzˇiku narodil (za cˇasovou jednotku), zmensˇeny´ o pocˇet zˇivocˇichu˚, ktery´ v dane´m okamzˇiku uhynul. Veˇta 3.1 (souvislost derivace a spojitosti). Ma´-li funkce v bodeˇ (na intervalu I) derivaci, je v tomto bodeˇ (na tomto intervalu) spojita´. Pozna´mka 3.5. Opacˇna´ veˇta neplatı´, ze spojitosti funkce obecneˇ neplyne existence derivace. Prˇ´ıkladem budizˇ funkce y = |x| v bodeˇ x = 0.

Oznacˇenı´. Mnozˇinu vsˇech funkcı´ ktere´ majı´ na intervalu I spojitou derivaci oznacˇujeme C 1 (I). Tyto funkce zpravidla nazy´va´me hladke´ funkce. Mnozˇinu vsˇech funkcı´ ktere´ majı´ na intervalu I spojite´ vsˇechny derivace azˇ do rˇa´du k vcˇetneˇ oznacˇujeme C k (I).

Pozna´mka 3.6 (filozoficka´). Dlouho prˇetrva´val na´zor, zˇe spojita´ funkce je funkce, jejı´zˇ graf lze nakreslit „jednı´m tahem“. Kreslı´me-li graf takove´to funkce, znamena´ to, zˇe kdyzˇ prˇi kreslenı´ posunujeme „pisa´tko“ neˇjaky´m smeˇrem. Takto kreslı´me graf funkce, ktera´ ma´ tecˇnu (a tedy i derivaci), prˇ´ıpadneˇ cˇa´ru „zalomı´me“. Teˇchto zalomenı´ mu˚zˇe by´t konecˇneˇ mnoho, proto se veˇrˇilo, zˇe spojite´ funkce majı´ derivaci vsˇude, s prˇ´ıpadnou vy´jimkou konecˇne´ho pocˇtu bodu˚. To, zˇe takova´ prˇedstava je nespra´vna´, uka´zal B. Bolzano, ktery´ zkonstruoval funkci spojitou na R, ktera´ nema´ v zˇa´dne´m bodeˇ derivaci. Graf takove´to funkce podle vy´sˇe uvedene´ho nelze nakreslit. Tento prˇ´ıklad ukazuje, zˇe prˇedstava spojite´ funkce pouze jako funkce, jejı´zˇ graf lze nakreslit jednı´m tahem je nespra´vna´. Pozna´mka 3.7 (k oznacˇenı´). Je-li funkce f ve tvaru y = f (x), pı´sˇeme mı´sto f ′ (x) take´ y ′ (x), nebo strucˇneˇji y ′ . V prˇ´ırodnıćh a technickyćh veˇdaćh se cˇasto setka´va´me jesˇteˇ s na´sledujıćı´m ekvivalentnı´m dy . Prˇitom vy´razy dx a dy (ktere´ jsou v derivaci forma´lneˇ „v podı´lu“) se znacˇenı´m derivace y ′ = dx nazy´vajı´ diferencia´ly. Je-li neza´vislou promeˇnnou cˇas, oznacˇujeme jej zpravidla t namı´sto x a derivaci v tomto prˇ´ıpadeˇ znacˇ´ıme tecˇkou takto: y˙ Pozna´mka 3.8 (vzorce pro derivovańı´ za´kladnıćh elementa´rnıćh funkcı´). Za´kladnı´ elementa´rnı´ funkce derivujeme pomocı´ na´sledujıćıćh vzorcu˚. 1 (loga x)′ = (c)′ = 0 x ln a (xn )′ = nxn−1 1 (ln x)′ = x (ax )′ = ax ln a 1 (ex )′ = ex (arcsin x)′ = √ 1 − x2 (sin x)′ = cos x 1 (arccos x)′ = − √ (cos x)′ = − sin x 1 − x2 1 1 (tg x)′ = (arctg x)′ = cos2 x 1 + x2 1 (cotg x)′ = − 2 1 (arccotg x)′ = − sin x 1 + x2

E

E

3. DERIVACE FUNKCE

17

Veˇta 3.2 (pravidla pro pocˇ´ıtańı´ s derivacemi). Necht’f , g jsou funkce a c ∈ R konstanta. Platı´ (3.2)

[cf (x)]′ = cf ′ (x)

(3.3)

[f (x) ± g(x)]′ = f ′ (x) ± g ′ (x)

E

[f (x)g(x)]′ = f (x)g ′ (x) + f ′ (x)g(x) h f (x) i′ f ′ (x)g(x) − g ′ (x)f (x) = (3.5) , g(x) g 2 (x) prˇicˇemzˇ derivace vlevo existujı´, existujı´-li derivace vpravo, a je-li vy´raz vpravo definovań (tj. nenı´ nula ve jmenovateli zlomku).

(3.4)

Prˇ´ıklad 3.1 (aplikace prˇedchozı´ veˇty). ′ (xex )′ (x + 1) − (x + 1)′ xex xex = x+1 (x + 1)2 x x (e + xe )(x + 1) − 1xex ex (x2 + x + 1) = = (x + 1)2 (x + 1)2 Pozna´mka 3.9 (technicka´). Protozˇe derivace soucˇtu je jednodusˇsˇ´ı nezˇ derivace soucˇinu a podı´lu, snazˇ´ıme se soucˇin nebo podı´l rozdeˇlit (pokud to lze) na soucˇet jednodusˇsˇ´ıch vy´razu˚. (i) [(x + 1)(x − 2)]′ = (x2 − x − 2)′ = 2x − 1 3 ′ x −x+1 1 1 (ii) = (x2 − 1 + x−1 )′ = (2x − x−2 ) 4x 4 4 Veˇta 3.3 (derivace slozˇene´ funkce, rˇeteˇzove´ pravidlo). Platı´ (3.6)

[f (g(x))]′ = f ′ (g(x))g ′ (x),

kde existence derivace vlevo plyne z existence derivacı´ vpravo. Pozna´mka 3.10. Vy´raz f ′ (g(x)) v prˇedchozı´ veˇteˇ znamena´ derivaci funkce f vypocˇtenou v bodeˇ g(x). 1 cos x Prˇ´ıklad 3.2 (derivace slozˇene´ funkce). (i) (ln(sin x))′ = sin x 1 (ii) (ln(x sin x))′ = (sin x + x cos x) x sin x ′ 1 [1. sin2 (2x) + x.2 sin(2x) cos(2x)2] (iii) ln x sin2 (2x) = x sin2 (2x)

0 ∞ Na´sledujıćı´ veˇta na´m umozˇnı´ ve veˇtsˇineˇ prˇ´ıpadu˚ vy´pocˇet limit typu „ “ a „ “. 0 ∞ Veˇta 3.4 (l’Hospitalovo pravidlo). Necht’a ∈ R∗ a necht’funkce f a g jsou definovańy v neˇjake´m ryzı´m okolı´ bodu a a majı´ zde derivaci. Necht’da´le platı´ bud’ lim f (x) = lim g(x) = 0, nebo | lim g(x)| = ∞. x→a x→a x→a Platı´ f (x) f ′ (x) (3.7) lim = lim ′ , x→a g(x) x→a g (x) pokud limita na prave´ straneˇ rovnosti (3.7) existuje. Tote´zˇ platı´ i pro obeˇ jednostranne´ limity. Pozna´mka 3.11 (k pouzˇitı´ l’Hospitalova pravidla). Pokud limita vpravo ve vzorci (3.7) neexistuje, nemu˚zˇeme jesˇteˇ nic rˇ´ıci o limiteˇ lim f (x)/g(x). Tato limita mu˚zˇe nebo nemusı´ existovat. Pokud lix→a mita vpravo neexistuje, prˇ´ıpadneˇ pokud pokus o pouzˇitı´ l’Hospitalova pravidla nevede ke zjednodusˇenı´, musı´me hledat pro vy´pocˇet limity jinou cestu. Poznamenejme jesˇteˇ, zˇe l’Hospitalovo pravidlo lze pouzˇ´ıt libovolneˇ-kra´t za sebou. Potom z existence poslednı´ limity vyply´va´ existence vsˇech limit prˇedchozıćh. x − arctg x xex + x − 2ex + 2 ln x Prˇ´ıklad 3.3. Vypocˇteˇte limity lim √ , lim a lim . 3 x→∞ x→0 x x3 x x→0

E

4. TAYLORU˚V POLYNOM

18

Rˇesˇenı´. 1 ∞ ln x 1 = lim x = 2 lim √ = 0, lim √ = 1 x→∞ x→∞ x ∞ x→∞ √ x 2 x 1 1− x − arctg x 1 0 1 1 + x2 = lim lim = = lim =− , x→0 x→0 3(1 + x2 ) x3 0 x→0 3x2 3 0 xex + x − 2ex + 2 ex + xex + 1 − 2ex = = lim x→0 x3 0 x→0 3x2 ex + ex + xex − 2ex 0 = = lim 0 x→0 6x xex ex 1 0 = lim = = = lim x→0 6 0 x→0 6x 6 lim

4. Tayloru˚v polynom Motivace. Prˇedpokla´dejme zˇe je dańa funkce f s na´sledujıćı´mi vlastnostmi: • Doka´zˇeme vypocˇ´ıtat funkcˇnı´ hodnotu a hodnotu derivacı´ (azˇ do rˇa´du n) v jiste´m bodeˇ x0 . • Nema´me dostatecˇneˇ efektivnı´ algoritmus na vy´pocˇet funkcˇnıćh hodnot v ostatnıćh bodech x 6= x0 . Pro vy´pocˇet funkcˇnıćh hodnot v bodech v okolı´ bodu x0 se budeme snazˇit funkci aproximovat jednodusˇsˇ´ı funkcı´, v nasˇem prˇ´ıpadeˇ polynomem stupneˇ n. Nejlepsˇ´ı polynom, ktery´ funkci f v okolı´ bodu x0 aproximuje je takovy´ polynom, ktery´ ma´ s danou funkcı´ totozˇne´ v bodeˇ x0 derivace azˇ do rˇa´du n. Takovy´ polynom se nazy´va´ Tayloru˚v polynom a nalezneme ho pomocı´ na´sledujıćı´ definice. Definice (Tayloru˚v polynom). Necht’ n ∈ N je prˇirozene´ cˇ´ıslo a f funkce, ktera´ je definovana´ v bodeˇ x0 ∈ R a ma´ zde vsˇechny derivace do rˇa´du n vcˇetneˇ. Polynom f ′′ (x0 ) f (n) (x0 ) f ′ (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 1! 2! n! se nazy´va´ Tayloru˚v polynom stupneˇ n funkce f v bodeˇ x0 . Bod x0 se nazy´va´ strˇed Taylorova polynomu. Tn (x) = f (x0 ) +

Pozna´mka 4.1. Tayloru˚v polynom je jediny´ polynom stupneˇ n, ktery´ ma´ s funkcı´ f v bodeˇ x0 spolecˇnou funkcˇnı´ hodnotu a hodnotu prvnıćh n derivacı´. V prˇ´ıpadeˇ zˇe strˇedem polynomu je x0 = 0 pouzˇ´ıva´me pro Tayloru˚v polynom na´zev Maclaurinu˚v polynom. Veˇta 4.1 (Taylorova veˇta). Necht’funkce f ma´ v bodeˇ x0 a neˇjake´m jeho okolı´ O(x0 ) spojite´ derivace do rˇa´du n + 1, vcˇetneˇ. Pak pro vsˇechna x ∈ O(x0 ) platı´ f (x) = Tn (x) + Rn+1 (x),

kde Tn (x) je Tayloru˚v polynom funkce f stupneˇ n se strˇedem v bodeˇ x0 a Rn+1 (x) je zbytek. Tento zbytek splnˇuje f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 , (n + 1)! kde c je vhodne´ cˇ´ıslo lezˇ´ıcı´ mezi x a x0 . (4.1)

Rn+1 (x) =

Pozna´mka 4.2 (aproximace a jejı´ prˇesnost). Z vyja´drˇenı´ zbytku (4.1) plyne, zˇe tento zbytek je maly´, jestlizˇe • x je blı´zko x0 , tj. absolutnı´ hodnota rozdı´lu (x − x0 ) je mala´ • n je velke´ • f (n+1) (x) je mala´ v uvazˇovane´m okolı´ bodu x0 Jsou-li tyto podmıńky splneˇny, mu˚zˇeme psa´t v okolı´ bodu x0 f (x) ≈ Tn (x)

E

5. VEˇTY O SPOJITYĆH FUNKCIĆH

19

a chyba, ktere´ se prˇi tom dopustı´me bude mala´. (Z (4.1) jsme schopni urcˇit maxima´lnı´ hodnotu chyby, ktere´ se prˇitom dopustı´me.) Pozna´mka 4.3 (aplikacˇnı´). Tayloru˚v polynom tedy slouzˇ´ı k tomu, abychom jistou funkcˇnı´ za´vislost aproximovali za´vislostı´ polynomickou. Tı´m se za´vislost podstatneˇ zjednodusˇ´ı, protozˇe polynomy jsou jedny z nejjednodusˇsˇ´ıch funkcı´. Meˇjme vsˇak na pameˇti, zˇe polynomicka´ aproximace mu˚zˇe by´t vynikajıćı´, ale i dostatecˇna´ pouze pro neˇktera´ x, nebo dokonce tak sˇpatna´, zˇe jejı´ pouzˇitı´ nevede k rozumny´m vy´sledku˚m. 5. Veˇty o spojityćh funkcıćh Jak jsem videˇli vy´sˇe, spojitost nenı´ definovańa, tak, jak si spojitou funkci beˇzˇneˇ prˇedstavujeme – jako funkci, kde nejsou skoky cˇi neˇjake´ podobne´ drasticke´ zmeˇny funkcˇnıćh hodnot, ale jako funkci, kde vesˇkere´ zmeˇny funkcˇnıćh hodnot probı´hajı´ relativneˇ pozvolna. Prˇesna´ definice vsˇak byla zcela odlisˇna´ od te´to prˇedstavy. Je tedy definice spojitosti pomocı´ limity prˇesneˇ to, co si “beˇzˇneˇ” prˇedstavujeme pod pojmem “spojita´ cˇa´ra v rovineˇ” (funkce, kde nejsou zˇa´dne´ “dramaticke´ zmeˇny”)? Odpoveˇd’ je poneˇkud prˇekvapiva´: Ne zcela. Cˇesky´ matematik B. Bolzano nasˇel prˇ´ıklad funkce, ktera´ je spojita´ na R, ale jejı´ graf se vu˚bec neda´ nakreslit a proto se prˇi studiu spojityćh funkcı´ nelze v du˚kazech odvola´vat na “zrˇejme´ vlastnosti rovinnyćh krˇivek”. Nasˇteˇstı´, i kdyzˇ definujeme spojitost na prvnı´ pohled slozˇiteˇ pomocı´ limity, ty nejpeˇkneˇjsˇ´ı vlastnosti zu˚stanou zachovańy, jak ukazujı´ na´sledujıćı´ du˚lezˇite´ veˇty. Veˇta 5.1 (Weierstrassova veˇta). Necht’funkce f (x) je spojita´ na uzavrˇene´m intervalu [a, b]. Potom je na tomto intervalu ohranicˇena´ a naby´va´ zde sve´ nejveˇtsˇ´ı a nejmensˇ´ı hodnoty, tj. existujı´ cˇ´ısla x1 , x2 ∈ [a, b] s vlastnostı´ f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) pro vsˇechna x ∈ [a, b].

E

Veˇta 5.2 (prvnı´ Bolzanova veˇta). Necht’ funkce f (x) je spojita´ na uzavrˇene´m intervalu [a, b] a platı´ f (a) · f (b) < 0 (tj. f (a) a f (b) majı´ opacˇna´ znameńka). Pak funkce f (x) ma´ na intervalu (a, b) nulovy´ bod, tj. existuje cˇ´ıslo c ∈ (a, b) s vlastnostı´ f (c) = 0.

E

Veˇta 5.3 (druha´ Bolzanova veˇta). Necht’ funkce f (x) je spojita´ na uzavrˇene´m intervalu [a, b]. Potom naby´va´ vsˇech hodnot mezi svou nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnotou.

E

Pozna´mka 5.1. Prˇedesˇle´ veˇty majı´ jednoduchou grafickou interpretaci, jak je uka´zańo na Obra´zku 6. • Funkce na obra´zku je ohranicˇena´ na [a, b], jejı´ graf lezˇ´ı mezi cˇerchovany´mi cˇarami. • Funkce ma´ absolutnı´ minimum na intervalu [a, b] v krajnı´m bodeˇ x = a a absolutnı´ maximum v bodeˇ x = M . Prˇ´ıslusˇne´ funkcˇnı´ hodnoty jsou na ose y. • Funkce meˇnı´ znameńko na intervalu [a, b], platı´ f (a) < 0 a f (b) > 0. Jeden z korˇenu˚, o kteryćh mluvı´ prvnı´ Bolzanova veˇta, je na obra´zku oznacˇen symbolem c. • Hodnota y0 lezˇ´ı mezi maxima´lnı´ a minima´lnı´ funkcˇnı´ hodnotou. Existuje tedy, podle druhe´ Bolzanovy veˇty, x0 ∈ [a, b] takove´, zˇe f (x0 ) = y0 . Jeden z bodu˚ s touto vlastnostı´ je vyznacˇen na obra´zku. Tvrzenı´ veˇt jsou tedy zcela prˇirozena´. Obrovskou za´sluhou vy´sˇe uvedenyćh matematiku˚ je mimo jine´ fakt, zˇe si uveˇdomili, zˇe tyto veˇty nejsou zˇa´dny´mi snadny´mi du˚sledky definice spojitosti a je potrˇeba podat jejich prˇesny´ du˚kaz. Pozna´mka 5.2 (nelinea´rnı´ nerovnice). Bolzanova veˇta umozˇnˇuje rˇesˇit veˇtsˇinu nelinea´rnıćh nerovnic. Podle Veˇty 5.2 totizˇ funkce mu˚zˇe zmeˇnit znameńko jedineˇ v bodeˇ, kde je porusˇena jejı´ spojitost (= skokem), nebo ˇ esˇ´ıme-li tedy nerovnici f (x) > 0, nalezneme nejprve body v nulove´m bodeˇ (= graf protıńa´ osu x). R nespojitosti funkce f a nulove´ body te´to funkce, tj. rˇesˇenı´ rovnice f (x) = 0. Obeˇ skupiny bodu˚ vyneseme na rea´lnou osu a definicˇnı´ obor se tı´mto rozpadne na neˇkolik podintervalu˚. Uvnitrˇ kazˇde´ho z teˇchto intervalu˚ platı´ bud’ f (x) > 0 nebo f (x) < 0. Ktera´ z teˇchto variant platı´ ve ktere´m z intervalu˚ lze zjistit naprˇ´ıklad postupny´m dosazovańı´m reprezentantu˚ z jednotlivyćh intervalu˚.

´ LNI´ EXTRE´MY, PRU˚BEˇH FUNKCE 6. LOKA

20

y hornı´ hranice

korˇen

absolutnı´ maximum

y0

c

x0

a

M

b

x

absolutnı´ minimum dolnı´ hranice OBRA´ZEK 6. Funkce spojita´ na [a, b]. 6. Loka´lnı´ extre´my, pru˚beˇh funkce Definice (loka´lnı´ extre´m). Bud’ f funkce a x0 ∈ D(f ). ˇ ekneme, zˇe funkce ma´ v bodeˇ x0 loka´lnı´ maximum, jestlizˇe existuje ryzı´ okolı´ O(x0 ), takove´, • R zˇe f (x0 ) ≥ f (x) pro vsˇechna x ∈ O(x0 ). Je-li nerovnost ostra´, rˇ´ıka´me, zˇe funkce f ma´ v bodeˇ x0 ostre´ loka´lnı´ maximum. • Platı´-li opacˇne´ nerovnosti, rˇ´ıka´me, zˇe funkce ma´ v bodeˇ x0 loka´lnı´ minimum a ostre´ loka´lnı´ minimum. • Loka´lnı´ maximum a minimum nazy´va´me spolecˇny´m na´zvem loka´lnı´ extre´my. Ostre´ loka´lnı´ maximum a ostre´ loka´lnı´ minimum nazy´va´me spolecˇny´m na´zvem ostre´ loka´lnı´ extre´my. Pozna´mka 6.1 (k prˇedchozı´ definici). Funkce ma´ v bodeˇ x0 ostre´ loka´lnı´ maximum (minimum), jestlizˇe v neˇjake´m ryzı´m okolı´ bodu x0 naby´va´ pouze nizˇsˇ´ıch (vysˇsˇ´ıch) funkcˇnıćh hodnot, nezˇ f (x0 ). Hodnota f (x0 ) je tedy jedina´ nejvysˇsˇ´ı (nejnizˇsˇ´ı) funkcˇnı´ hodnota v neˇjake´m okolı´ bodu x0 . Okolı´ bodu x0 z prˇedchozı´ definice musı´ nutneˇ cele´ lezˇet v√ definicˇnı´m oboru funkce f . (V neˇktere´ literaturˇe je tato podmıńka poneˇkud oslabena. Naprˇ. u funkce y = x nemluvı´me o loka´lnı´m minimum v bodeˇ 0, protozˇe nalevo od bodu 0 vu˚bec nenı´ definovańa. Jinı´ autorˇi tento bod vsˇak za loka´lnı´ extre´m povazˇujı´.) Loka´lnı´ extre´my u´zce souvisı´ s monotoniı´, jak ukazuje na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 6.1 (postacˇujıćı´ podmıńky pro existenci a neexistenci loka´lnıćh extre´mu˚). Bud’f funkce definovana´ a spojita´ v neˇjake´m okolı´ bodu x0 . • Jestlizˇe existuje leve´ okolı´ bodu x0 , ve ktere´m je funkce rostoucı´ a prave´ okolı´ bodu x0 , ve ktere´m je funkce klesajıćı´, je bod x0 bodem ostre´ho loka´lnı´ho maxima funkce f . • Jestlizˇe existuje leve´ okolı´ bodu x0 , ve ktere´m je funkce klesajıćı´ a prave´ okolı´ bodu x0 , ve ktere´m je funkce rostoucı´, je bod x0 bodem ostre´ho loka´lnı´ho minima funkce f . • Jestlizˇe existuje okolı´ bodu x0 ve ktere´m je funkce ryze monotonnı´, loka´lnı´ extre´m v bodeˇ x0 nenasta´va´. Pozna´mka 6.2. Graficky mu˚zˇeme prˇedchozı´ veˇtu ilustrovat na´sledovneˇ. ր MAX ց ր MAX ց min ր a

c b d Pozna´mka 6.3 (absolutnı´ extre´my funkce). Uvazˇujme funkci, ktera´ je spojita´ na uzavrˇene´m intervalu [a, b]. Podle Weierstrassovy veˇty tato funkce naby´va´ na intervalu [a, b] sve´ nejmensˇ´ı a nejveˇtsˇ´ı hodnoty. Tyto hodnoty nazy´va´me absolutnı´ maximum a absolutnı´ minimum funkce f na intervalu [a, b]. Je zrˇejme´

E


21

(odkud?), zˇe teˇchto extrema´lnıćh hodnot mu˚zˇe funkce naby´vat pouze v bodech, ve kteryćh ma´ loka´lnı´ extre´my, nebo v neˇktere´m z krajnıćh bodu˚ intervalu [a, b]. ˇ ekneme, zˇe funkce f je Definice (konvexnost, konka´vnost). Bud’ f funkce majıćı´ derivaci v bodeˇ x0 . R v bodeˇ x0 konvexnı´ (konka´vnı´), jestlizˇe existuje ryzı´ okolı´ bodu x0 takove´, zˇe pro vsˇechna x ∈ O(x0 ) lezˇ´ı body grafu funkce nad tecˇnou (pod tecˇnou) ke grafu funkce f sestrojenou v bodeˇ x0 , tj. platı´ (6.1) f (x) > f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) f (x) < f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) . ˇ ekneme, zˇe funkce je konvexnı´ (konka´vnı´) na otevrˇene´m intervalu I, ma´-li tuto vlastnost v kazˇde´m bodeˇ R intervalu I.

Definice (inflexnı´ bod). Bod ve ktere´m se meˇnı´ charakter funkce z konvexnı´ na konka´vnı´ nebo naopak nazy´va´me inflexnı´m bodem funkce f . V na´sledujıćıćh veˇtaćh si uka´zˇeme, zˇe monotonie a loka´lnı´ extre´my u´zce souvisı´ s prvnı´ derivacı´ funkce, zatı´mco konvexnost/konka´vnost a inflexnı´ body souvisı´ s druhou derivacı´. ˇ ekneme, zˇe bod x0 je staciona´rnı´m bodem funkce f , jestlizˇe funkce f ma´ Definice (staciona´rnı´ bod). R v bodeˇ x0 nulovou derivaci, tj. f ′ (x0 ) = 0. Pozna´mka 6.4 (geometricky´ vy´znam). Geometricky jsou staciona´rnı´ body body, ve kteryćh ma´ graf funkce vodorovnou tecˇnu (procˇ?). Veˇta 6.2 (souvislost derivace a loka´lnıćh extre´mu˚). Necht’ma´ funkce v bodeˇ x0 loka´lnı´ extre´m. Pak funkce f v bodeˇ x0 bud’nema´ derivaci, nebo je tato derivace nulova´, tj. platı´ f ′ (x0 ) = 0 a x0 je staciona´rnı´m bodem funkce f . Pozna´mka 6.5 (strategie hledańı´ loka´lnıćh extre´mu˚). Podle prˇedchozı´ veˇty jsou body kde derivace neexistuje a staciona´rnı´ body jediny´mi „podezrˇely´mi“ kandida´ty na body, v nichzˇ by funkce mohla naby´vat loka´lnı´ho extre´mu. Nikde jinde (a takovyćh bodu˚ by´va´ naprosta´ veˇtsˇina) loka´lnı´ extre´m nemu˚zˇe nastat. Prˇi hledańı´ loka´lnıćh extre´mu˚ postupujeme tak, zˇe nejprve nalezneme vsˇechny tyto „podezrˇele´“ body (tj. funkci f zderivujeme a zjistı´me, kde je tato derivace nulova´ a kde nenı´ definovana´) a pote´ v kazˇde´m bodeˇ samostatneˇ rozhodneme, je-li v neˇm loka´lnı´ extre´m a prˇ´ıpadneˇ jaky´. K tomu na´m mu˚zˇe poslouzˇit Veˇta 6.1 ve spojenı´ s na´sledujıćı´ Veˇtou 6.3. Veˇta 6.3 (souvislost derivace a monotonie). Necht’funkce f ma´ derivaci na otevrˇene´m intervalu I. • Je-li f ′ (x) > 0 na intervalu I, je funkce f rostoucı´ na I. • Je-li f ′ (x) < 0 na intervalu I, je funkce f klesajıćı´ na I. Pozna´mka 6.6. Prˇi stanovenı´ intervalu˚, kde je derivace kladna´ a kde za´porna´, nejcˇasteˇji pouzˇ´ıva´me Pozna´mku 5.2. Situace je obzvla´sˇteˇ jednoducha´ u raciona´lnıćh funkcı´ – viz. Pozna´mka 1.5 na straneˇ 49. Na´sledujıćı´ dveˇ veˇty jsou jednoduchy´m du˚sledkem definice loka´lnıćh extre´mu˚ a definice rostoucı´ a klesajıćı´ funkce. Prˇesto mohou tyto veˇty znacˇneˇ zjednodusˇit hledańı´ loka´lnıćh extre´mu˚ funkce. Veˇta 6.4 (loka´lnı´ extre´my slozˇene´ funkce s monotonnı´ vneˇjsˇ´ı slozˇkou). Necht’funkce g(x) je definovana´ na I a f (x) je ryze monotonnı´ na g(I). Potom funkce g(x) a f (g(x)) naby´vajı´ na I svyćh loka´lnıćh extre´mu˚ ve stejnyćh bodech. Tyto loka´lnı´ extre´my jsou stejne´ho typu pokud je funkce f rostoucı´ a opacˇne´ho typu, pokud je funkce f klesajıćı´. Veˇta 6.5 (loka´lnı´ extre´my slozˇene´ funkce s monotonnı´ vnitrˇnı´ slozˇkou). Necht’funkce g(x) je spojita´ a ryze monotonnı´ na I a necht’funkce f (x) je definovana´ na g(I). Potom slozˇena´ funkce f (g(x)) ma´ loka´lnı´ v bodeˇ x = a pra´veˇ tehdy, kdyzˇ funkce f (t) ma´ loka´lnı´ extre´m v bodeˇ t = g(a). Tyto loka´lnı´ extre´my jsou stejne´ho typu pokud je funkce g rostoucı´ a opacˇne´ho typu, pokud je funkce g klesajıćı´. Prp ˇ´ıklad 6.1 (loka´lnı´ extre´m slozˇene´ funkce). Na intervalu (0, 1) hledejme loka´lnı´ extre´my funkce y = x 1 − x2 . Podle Veˇty 6.4 stacˇ´ı najı´t extre´my druhe´ mocniny te´to funkce, tj. funkce y = x2 (1 − x2 ).

E


22

Studovana´ funkce je totizˇ na intervalu I kladna´ a druha´ mocnina tedy roste. Podle Veˇty 6.5 mu˚zˇeme zave´st substituci x2 = t a studovat funkci y = t(1 − t). Porˇa´d totizˇ pracujeme s kladny´mi hodnotami x a druha´ mocnina je tedy rostoucı´ funkce. Grafem funkce y = t(1 − t) je parabola s loka´lnı´m maximem ve vrcholu, p 1 tj. v bodeˇ t = , ktery´ lezˇ´ı uprostrˇed mezi nulovy´mi body t = 0 a t = 1. Zadana´ funkce y = x 1 − x2 2 1 1 ma´ tedy loka´lnı´ extre´m v bodeˇ, ktery´ splnˇuje x2 = , tj. v bodeˇ x = √ . Protozˇe jsme pouzˇili rostoucı´ 2 2 funkce, jedna´ se o loka´lnı´ extre´my stejne´ho typu, tj. je zde loka´lnı´ maximum. Vidı´me, zˇe loka´lnı´ extre´m jsme nasˇli pouze pouzˇitı´m zcela elementa´rnıćh prostrˇedku˚. Postup zalozˇeny´ na vy´pocˇtu derivace a jejıćh nulovyćh bodu˚ by byl nepomeˇrneˇ na´rocˇneˇjsˇ´ı. Veˇta 6.6 (souvislost druhe´ derivace s konvexnostı´ a konka´vnostı´). Bud’f funkce majıćı´ druhou derivaci na otevrˇene´m intervalu I. • Je-li f ′′ (x) > 0 na intervalu I, je funkce f konvexnı´ na I. • Je-li f ′′ (x) < 0 na intervalu I, je funkce f konka´vnı´ na I. Definice (kriticky´ bod). Bod, ve ktere´m ma´ funkce f nulovou druhou derivaci nazy´va´me kriticky´m bodem funkce f . Veˇta 6.7 (souvislost inflexnıćh bodu˚ a druhe´ derivace). Necht’ ma´ funkce v bodeˇ x0 inflexnı´ bod. Pak funkce f v bodeˇ x0 bud’nema´ druhou derivaci, nebo je tato druha´ derivace nulova´, tj. platı´ f ′′ (x0 ) = 0 a x0 je kriticky´m bodem funkce f .

E

Veˇta 6.8 (souvislost druhe´ derivace s loka´lnı´mi extre´my). Bud’f funkce a x0 staciona´rnı´ bod funkce f . Je-li f ′′ (x0 ) > 0, naby´va´ funkce v bodeˇ x0 loka´lnı´ho minima, je-li f ′′ (x0 ) < 0, naby´va´ funkce v bodeˇ x0 loka´lnı´ho maxima. Pozna´mka 6.7 (technicka´). Prˇedchozı´ veˇta neda´va´ odpoveˇd’na ota´zku zda a jaky´ loka´lnı´ extre´m nasta´va´ ve staciona´rnı´m bodeˇ, ktery´ je soucˇasneˇ i kriticky´m bodem. V tomto prˇ´ıpadeˇ totizˇ nelze o existenci a kvaliteˇ loka´lnı´ho extre´mu pomocı´ druhe´ derivace rozhodnout. Proto je lepsˇ´ı prˇi hledańı´ loka´lnıćh extre´mu˚ vyuzˇ´ıvat Veˇty 6.1 a 6.3. Jak je patrne´ z prˇedchozı´ho, pomocı´ prvnı´ a druhe´ derivace doka´zˇeme zı´skat urcˇite´ informace o chovańı´ funkce v bodech, patrˇ´ıcıćh do definicˇnı´ho oboru. Naopak o chovańı´ funkce v okolı´ bodu˚, ktere´ nepatrˇ´ı do definicˇnı´ho oboru funkce na´s informujı´ asymptoty. 6.1. Sestrojenı´ grafu funkce. Diferencia´lnı´ pocˇet mu˚zˇeme pouzˇ´ıt pro sestrojovańı´ grafu funkce pomocı´ charakteristickyćh bodu˚. Mezi tyto charakteristicke´ body pocˇ´ıta´me prˇedevsˇ´ım pru˚secˇ´ıky s osami, loka´lnı´ extre´my a inflexnı´ body. Da´le vysˇetrˇujeme asymptoty ke grafu funkce. Postup mu˚zˇe by´t naprˇ´ıklad na´sledujıćı´. (i) Nalezneme definicˇnı´ obor funkce, zjistı´me paritu funkce a jejı´ pru˚secˇ´ıky s osami. Pomocı´ pru˚secˇ´ıku˚ s osou x a pomocı´ definicˇnı´ho oboru urcˇ´ıme intervaly, kde je funkce kladna´ a kde za´porna´. (ii) Podle toho jak vypada´ definicˇnı´ obor zjistı´me, jake´ by funkce mohla mı´t asymptoty. Tyto asymptoty urcˇ´ıme. Ma´-li funkce body nespojitosti, vysˇetrˇ´ıme chovańı´ funkce v okolı´ teˇchto bodu˚. (iii) Pomocı´ prvnı´ derivace urcˇ´ıme staciona´rnı´ body, intervaly ru˚stu a klesańı´ a loka´lnı´ extre´my. Prˇitom kontrolujeme, jestli vy´pocˇty souhlası´ s tı´m co uzˇ zna´me — z asymptot bez smeˇrnice nebo z pru˚secˇ´ıku˚ s osou x a ze znameńka napravo a nalevo od teˇchto pru˚secˇ´ıku˚ zna´me charakter monotonie v okolı´ bodu˚ nespojitosti a v pru˚secˇ´ıcıćh s osou x. (iv) Pomocı´ druhe´ derivace urcˇ´ıme kriticke´ body, intervaly konvexnosti a konka´vnosti a inflexnı´ body. Prˇitom kontrolujeme, zda vy´pocˇty souhlası´ s tı´m, co jizˇ zna´me — vsˇ´ıma´me si okolı´ bodu˚ nespojitosti a loka´lnıćh extre´mu˚ (v lok. minimu je funkce konvexnı´ a v lok. maximu konka´vnı´). (v) Vyneseme asymptoty a charakteristicke´ body (extre´my a inflexnı´ body) do karte´zske´ soustavy sourˇadnic a nacˇrtneme graf. Aby byly z grafu patrne´ vsˇechny „charakteristicke´ body“, nemusı´me prˇitom vzˇdy trvat na stejne´m meˇrˇ´ıtku na obou osaćh.

E

´ VEˇRECˇNE´ POZNA ´ MKY 7. ZA

23

V neˇkteryćh prˇ´ıpadech je provedenı´ neˇktere´ z popsanyćh cˇa´stı´ obtı´zˇne´, prˇ´ıpadneˇ analyticky nerˇesˇitelne´. V teˇchto prˇ´ıpadech se snazˇ´ıme graf nacˇrtnout jenom podle teˇch informacı´, ktere´ doka´zˇeme zı´skat. Vzˇdy se snazˇ´ıme alesponˇ o nalezenı´ intervalu˚ ru˚stu a klesańı´ funkce a o vysˇetrˇenı´ limit v bodech nespojitosti a v nevlastnıćh bodech. 7. Za´veˇrecˇne´ pozna´mky Jizˇ prˇi budovańı´ diferencia´lnı´ho pocˇtu si matematici (a prˇedevsˇ´ım prˇ´ırodoveˇdci) vsˇimli, zˇe definice spojitosti funkce pomocı´ limity se ocitla velmi daleko od na´zorne´ prˇedstavy spojite´ funkce jako krˇivky, jejı´zˇ graf lze nakreslit jednı´m tahem. Nynı´ na´m jde o to ujasnit si, jaky´ je mezi teˇmito dveˇma prˇ´ıstupy rozdı´l a co majı´ spolecˇne´ho. V technicke´ praxi zpravidla studujeme tzv. po cˇa´stech hladke´ funkce — funkce, jejichzˇ definicˇnı´m oborem je interval a tyto funkce majı´ derivaci ve vsˇech bodech sve´ho definicˇnı´ho oboru, s prˇ´ıpadnou vy´jimkou konecˇne´ho pocˇtu bodu˚. Toto vyply´va´ z faktu, zˇe veˇtsˇinu prˇ´ırodnıćh za´konitostı´ popisujeme diferencia´lnı´mi rovnicemi a rˇesˇenı´ teˇchto rovnic (tj. funkce ktere´ da´le studujeme) zcela prˇirozeneˇ majı´ derivaci na intervalech, kde jsou definovańy. Grafy takovyćhto funkcı´ majı´ v kazˇde´m sve´m bodeˇ tecˇnu (tudı´zˇ jsou „hladke´“) a lze je snadno nakreslit. Potom lze vyslovit na´sledujıćı´ • Ma´me-li nakresleny´ graf po cˇa´stech hladke´ funkce f , lze prˇi na´zorne´m prˇiblı´zˇenı´ a studiu pojmu limita pouzˇ´ıt prˇedstavu bodu pohybujıćı´ho se po grafu funkce — prˇedstavu, ktera´ matematiky vedla k zavedenı´ limit. • Funkce je spojita´ v bodeˇ, kde ma´ derivaci. Protozˇe po cˇa´stech hladke´ funkce majı´ derivaci v kazˇde´m bodeˇ, s prˇ´ıpadnou vy´jimkou konecˇne´ho pocˇtu bodu˚, znamena´ to, zˇe body nespojitosti a body, kde funkce nema´ derivaci budou spı´sˇe vy´jimecˇny´mi body definicˇnı´ho oboru. V naproste´ veˇtsˇineˇ bodu˚ bude funkce spojita´ a diferencovatelna´. Jestlizˇe si uveˇdomı´me tyto souvislosti, lze body nespojitosti klasifikovat do neˇkolika ma´lo skupin (i) Funkce ma´ v bodeˇ a konecˇnou limitu lim f (x) = L, nenı´ vsˇak v bodeˇ a definovańa, nebo x→a je funkcˇnı´ hodnota f (a) ru˚zna´ od L. Tento typ nespojitosti je nejmeńeˇ neprˇ´ıjemny´. Cˇasto jej nazy´va´me odstranitelna´ nespojitost, protozˇe malou zmeˇnou funkce f (pouze prˇedefinovańı´m jedine´ funkcˇnı´ hodnoty f (a)) lze z funkce f ucˇinit funkci spojitou. (ii) Funkce f ma´ v bodeˇ a limitu, ta je vsˇak nevlastnı´. (iii) Funkce nema´ v bodeˇ a limitu, ma´ zde vsˇak alesponˇ obeˇ jednostranne´ limity (vlastnı´ nebo nevlastnı´). V tomto prˇ´ıpadeˇ ma´ funkce v bodeˇ a tzv. skok (konecˇny´ nebo nekonecˇny´). V prˇ´ıpadeˇ, zˇe neˇktera´ z jednostrannyćh limit je vlastnı´, mu˚zˇe by´t funkce v tomto bodeˇ nanejvy´sˇ jednostranneˇ spojita´ (zleva nebo zprava). (iv) Funkce nema´ v bodeˇ a ani neˇkterou z jednostrannyćh limit. Znamena´ to, zˇe pohybujeme-li se s bodem po grafu funkce f tak, aby se x-ova´ sourˇadnice bodu blı´zˇila k hodnoteˇ a, hodnoty y-ovyćh sourˇadnic se zˇa´dny´m zpu˚sobem neusta´lı´. Znamena´ to, zˇe funkce ma´ v okolı´ bodu a velice komplikovany´ pru˚beˇh, zpravidla je velice rozkmitana´. S vy´jimkou prvnı´ho typu, zˇa´dny´ z dalsˇ´ıch vyjmenovanyćh typu˚ nespojitosti nelze odstranit vhodny´m prˇedefinovańı´m f (a), proto se nazy´vajı´ podstatne´ nespojitosti. Podobneˇ u funkcı´ ktere´ jsou po cˇa´stech hladke´ lze charakterizovat body kde neexistuje derivace do neˇkolika ma´lo typu˚. Nejdrˇ´ıve vsˇak prˇipomenˇme, zˇe ma´-li funkce v neˇjake´m bodeˇ derivaci, pak je v tomto bodeˇ spojita´. V bodeˇ kde funkce nenı´ spojita´ tedy derivace by´t nemu˚zˇe. Budeme si tedy vsˇ´ımat bodu˚, kde funkce nema´ v neˇktere´m bodeˇ derivaci, ale je v tomto bodeˇ spojita´. Funkce ma´ v bodeˇ x derivaci, jestlizˇe existuje konecˇna´ limita f (x + h) − f (x) . (7.1) lim h→0 h Prˇ´ıpady, kdy tato derivace neexistuje jsou tedy na´sledujıćı´: (i) limita (7.1) je nevlastnı´, graf ma´ tedy v tomto bodeˇ svislou tecˇnu (ii) limita (7.1) neexistuje, existujı´ vsˇak jednostranne´ limity. Graf ma´ tecˇnu zleva a tecˇnu zprava, tyto jsou vsˇak ru˚zne´ — graf ma´ hrot.

E

E

8. SHRNUTI´

24

skok

nevlastnı´ limita

odstranitelna´ nespojitost

hrot

svisla´ tecˇna

(iii) limita (7.1) neexistuje, neexistuje ani jednostranna´ limita, graf nema´ ani jednostrannou tecˇnu. Podobneˇ jako v prˇ´ıpadeˇ neexistence jednostranne´ limity to znamena´ zˇe graf je v okolı´ bodu a rozkmitany´ a velice komplikovany´. Tı´mto je klasifikace jednotlivyćh mozˇnostı´ ukoncˇena. Z prˇedchozıćh prˇ´ıkladu˚ vidı´me, zˇe body, kde funkce nema´ bud’limitu, nebo nenı´ spojita´, nebo nema´ derivaci, jsou body, kde je funkce jisty´m zpu˚sobem „sˇkareda´“ — zrˇetelneˇ se odchyluje od prˇedstavy grafu hladke´ krˇivky spojiteˇ nakreslene´ jednı´m tahem.

OBRA´ZEK 7. Typy bodu˚ nespojitosti a bodu˚ bez derivace. Poznamenejme, zˇe situace je mnohem komplikovaneˇjsˇ´ı v prˇ´ıpadech, kdy nestudujeme po cˇa´stech hladke´ funkce, ale obecneˇ libovolne´ funkce. V tomto prˇ´ıpadeˇ lze podat prˇ´ıklady funkcı´, ktere´ se zcela vymykajı´ beˇzˇne´mu cha´pańı´ spojitosti funkce, naprˇ je mozˇne´ nale´zt (i) funkci f definovanou na R, ktera´ nema´ limitu v zˇa´dne´m bodeˇ, dokonce ani jednostrannou (Dirichletova funkce) (ii) funkci f definovanou na R, ktera´ je spojita´ v bodech s iraciona´lnı´ hodnotou x a nespojita´ v bodech s raciona´lnı´ hodnotou x (Riemannova funkce) (iii) funkci f definovanou na R, ktera´ vsˇak ma´ jediny´ bod, ve ktere´m je spojita´ (prˇ´ıpadneˇ konecˇneˇ mnoho bodu˚ kde je spojita´), nebo jediny´ bod, kde ma´ derivaci. (iv) funkci f definovanou a spojitou na R, ktera´ vsˇak nema´ derivaci v zˇa´dne´m bodeˇ, tj. v kazˇde´m ∞ n X 3 | sin(4n x)|, Bolzanova funkce) bodeˇ ma´ hrot (Weierstrassova funkce y = 4 i=0 (v) funkci f definovanou a spojitou na R, ktera´ vsˇak nema´ derivaci v zˇa´dne´m bodeˇ, a to ani jednostrannou. Ma´ tedy v kazˇde´m bodeˇ rozkmitanou tecˇnu (podobneˇ jako naprˇ. funkce y = 1 x sin v bodeˇ x = 0). x U teˇchto typu˚ funkcı´ jaka´koliv geometricka´ prˇedstava selha´va´, jsou „sˇkarede´“ ve vsˇech bodech sve´ho definicˇnı´ho oboru, grafy teˇchto funkcı´ nelze zachytit graficky´mi prostrˇedky. Protozˇe vsˇak tyto funkce zcela nezpochybnitelneˇ take´ patrˇ´ı do matematicke´ analy´zy (neˇktere´ z nich majı´ dokonce pouzˇitı´ v neˇkteryćh specia´lnıćh aplikacıćh, naprˇ. tzv. „bı´ly´ sˇum“), je zrˇejme´, zˇe prˇi studiu funkcı´ se nelze opı´rat pouze o prˇedstavu studia spojiteˇ nakreslenyćh krˇivek, ale je nutno pouzˇ´ıt neˇktery´ ze zpu˚sobu˚, ktery´ neza´visı´ na konkre´tnı´ prˇedstaveˇ funkce. Proto jsme pouzˇili definice zalozˇene´ na pojmech okolı´ a limita. 8. Shrnutı´ Funkce jsou matematicky´m vyja´drˇenı´m vztahu˚ mezi velicˇinami. Prˇi studiu funkcı´ se opı´ra´me • o elementa´rnı´ matematiku, ktera´ na´m umozˇnı´ vy´pocˇet funkcˇnıćh hodnot, nale´zt definicˇnı´ obor funkce, oveˇrˇit jejı´ sudost nebo lichost a v neˇkteryćh prˇ´ıpadech rˇesˇit nelinea´rnı´ rovnice a nerovnice (logaritmicke´, exponencia´lnı´, goniometricke´ a pod.) a da´le • o diferencia´lnı´ pocˇet, ktery´ na´m da´va´ pomocı´ derivace informaci o chovańı´ funkce na definicˇnı´m oboru (ru˚st, klesańı´, spojitost, lok. extre´my, konvexnost, konka´vnost atd.) a pomocı´ asymptot

8. SHRNUTI´

25

informaci o chovańı´ funkce v krajnıćh bodech definicˇnı´ho oboru. Za´kladnı´m pojmem, ktery´ umozˇnˇuje tento apara´t vybudovat, je pojem limita funkce. Prakticky vy´pocˇet limity prova´dı´me u spojityćh funkcı´ dosazenı´m, u nespojityćh je mozˇne´ pouzˇ´ıt Veˇtu 2.6 pro pocˇ´ıtańı´ s limitami a v neˇkteryćh prˇ´ıpadech l’Hospitalovo pravidlo (Veˇtu 3.4). Limity u polynomu˚ a raciona´lnıćh funkcı´ v bodech nespojitosti a v nevlastnıćh bodech lze pocˇ´ıtat pomocı´ Veˇt 2.8 a 2.11. V prˇ´ıpadech jednoduchyćh funkcı´ pozna´me limitu (ve vlastnı´m i nevlastnı´m bodeˇ) z obra´zku. Abychom mohli vy´sˇe uvedene´ informace z funkce najı´t a pouzˇ´ıt, uka´zali jsme si, ktere´ jednotlive´ pojmy spolu souvisı´ a jak, naprˇ. z existence derivace plyne spojitost, nikoliv vsˇak naopak. Podstatne´ v aplikacıćh jsou zejmeńa spojite´ funkce. Prˇi studiu spojityćh funkcı´ majı´ velky´ vy´znam Bolzanovy a Weierstrassovy veˇty (tj. Veˇty 5.1, 5.2, 5.3), ktere´ jsou geometricky velice na´zorne´ a ukazujı´, zˇe i kdyzˇ je spojitost funkcı´ definovańa podstatneˇ meńeˇ na´zorneˇ, nezˇ jako funkce nakreslitelna´ jednı´m tahem, zachova´vajı´ se pro tyto funkce vlastnosti „beˇzˇne´“ pro hladke´ rovinne´ krˇivky. Z teoreticke´ho hlediska jsou nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı pojmy te´to kapitoly limita, spojitost a derivace. Spojitost je vlastnost teˇch funkcı´, u nichzˇ mala´ zmeˇna neza´visle´ promeˇnne´ vyvola´ relativneˇ malou zmeˇnu promeˇnne´ za´visle´. Derivace je (poneˇkud jemneˇji) velicˇina, ktera´ se vyjadrˇuje pomeˇr teˇchto zmeˇn – uda´va´ kolikra´t rychleji se meˇnı´ hodnoty y ve srovnańı´ s hodnotami x. Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı aplikacı´ je vysˇetrˇovańı´ pru˚beˇhu funkce, zejmeńa pak nalezenı´ loka´lnıćh extre´mu˚ funkce. Neˇkdy majı´ studenti potı´zˇe rozpoznat, kterou metodu je trˇeba pouzˇ´ıt pro vy´pocˇet limit. Na´sledujıćı´ rozhodovacı´ strom umozˇnˇuje vybrat tu spra´vnou metodu cˇi tu spa´vnou veˇtou, kterou je nejvhodneˇjsˇ´ı pouzˇ´ıt. Tento diagram pokry´va´ pouze typy limit, ktere´ jsme probı´rali na prˇedna´sˇce. Setka´te-li se s limitou, kterou nelze do tohoto schematu zarˇadit, mu˚zˇete se pokusit odhadnout hodnotu limity numericky´m experimentem, vy´pocˇtem funkcˇnıćh hodnot v okolı´ zkoumane´ho bodu. . Vypocˇteˇte lim f (x). x→a

Dosad’te x = a do f (x). Je hodnota f (a) definovana´? Ne Je a = ±∞ a je f bud’ polynom, nebo raciona´lnı´ funkce? Ne Substitutce da´va´ .... (vyberte si spra´vnou cesticˇku). nenulova´ hodnota 0 Studujte nejdrˇ´ıve jednostranne´ limity, pomocı´ Veˇty 2.8. Ze vztahu jednostrannyćh limit vycˇteˇte prˇ´ıpadnou existenci a hodnotu limity oboustranne´.

Ano

Ano 0 ∞ , 0 ∞

Ma´te vy´sledek. Pouzˇijte Veˇtu 2.11. Pocˇ´ıtejte tedy jen s vedoucı´mi cˇleny.

Pouzˇijte l’Hospitalovo pravidlo a s novou limitou pracujte od zacˇa´tku.

0·∞ Prˇeved’te, pouzˇitı´m algebraickyćh ∞ 0 u´prav, na , nebo . 0 ∞ .

OBRA´ZEK 8. Limity elementa´rnıćh funkcı´.

KAPITOLA 2

Integra´lnı´ pocˇet V kapitole veˇnovane´ diferencia´lnı´mu pocˇtu jsme k funkci nasˇli jejı´ derivaci – velicˇinu uda´vajıćı´ rychlost, se kterou se meˇnı´ funkcˇnı´ hodnoty. Nynı´ proble´m otocˇ´ıme: ke zna´me´ derivaci (tj. ke zna´me´ rychlosti zmeˇny) budeme hledat pu˚vodnı´ funkci. 1. Neurcˇity´ integra´l Definice (neurcˇity´ integra´l, primitivnı´ funkce). Bud’ I otevrˇeny´ interval, f a F funkce definovane´ na I. Jestlizˇe platı´ (1.1)

F ′ (x) = f (x) pro vsˇechna x ∈ I,

nazy´va´ se funkce F primitivnı´ funkcı´ k funkci f , nebo te´zˇ neurcˇity´ integra´l funkce f na intervalu I. Zapisujeme Z f (x) dx = F (x). Existuje-li k funkci f neurcˇity´ integra´l na intervalu I, nazy´va´ se funkce f integrovatelna´ na I.

Pozna´mka 1.1 (spojitost primitivnı´ funkce). Primitivnı´ funkce F (x) je vzˇdy spojita´ na I, plyne to z existence derivace. Veˇta 1.1 (postacˇujıćı´ podmıńka existence neurcˇite´ho integra´lu). Ke kazˇde´ spojite´ funkci existuje neurcˇity´ integra´l. Veˇta 1.2 (jednoznacˇnost primitivnı´ funkce). Primitivnı´ funkce je na dane´m intervalu k dane´ funkci urcˇena jednoznacˇneˇ, azˇ na libovolnou aditivnı´ konstantu. Prˇesneˇji, platı´ na´sledujıćı´: (i) Je-li F primitivnı´ funkcı´ k funkci f na intervalu I, platı´ tote´zˇ i pro funkci G(x) = F (x) + c, kde c ∈ R je libovolna´ konstanta neza´visla´ na x. (ii) Jsou-li F a G primitivnı´ funkce k te´zˇe funkci f na intervalu I, lisˇ´ı se obeˇ funkce na intervalu I nejvy´sˇe o aditivnı´ konstantu, tj. existuje c ∈ R takove´, zˇe F (x) = G(x) + c

pro vsˇechna x ∈ I.

Pozna´mka 1.2 (filozoficka´). Bohuzˇel, ne vzˇdy neurcˇity´ integra´l doka´zˇeme efektivneˇ najı´t. Zatı´mco proble´m nalezenı´ derivace funkce slozˇene´ z funkcı´, ktere´ umı´me derivovat, spocˇ´ıva´ pouze ve spra´vne´ aplikaci 2 vzorcu˚ pro derivovańı´, proble´m nale´zt neurcˇity´ integra´l i k funkci tak jednoduche´, jako je naprˇ´ıklad e−x je nerˇesˇitelny´ ve trˇ´ıdeˇ elementa´rnıćh funkcı´ (viz te´zˇ Veˇta 2.7) Veˇta 1.3 (linearita neurcˇite´ho integra´lu). Necht’f , g jsou funkce integrovatelne´ na I, c necht’je rea´lne´ cˇ´ıslo. Pak na intervalu I platı´ Z Z Z f (x) + g(x) dx = f (x) dx + g(x) dx, Z Z cf (x) dx = c f (x) dx. Pozna´mka 1.3 (technicka´). Vzhledem k soucˇtu a na´sobenı´ konstantou se tedy integra´l chova´ „peˇkneˇ“, tak jak jsme to videˇli i u derivace. Bohuzˇel vsˇak neexistujı´ podobne´ vzorecˇky pro integra´l slozˇene´ funkce, podı´lu nebo soucˇinu. Integra´l ze slozˇene´ funkce doka´zˇeme vypocˇ´ıtat obecneˇ pouze v prˇ´ıpadeˇ, zˇe vnitrˇnı´ slozˇka je linea´rnı´ funkcı´, jak ukazuje na´sledujıćı´ veˇta. Podobneˇ integra´l z podı´lu lze obecneˇ vypocˇ´ıtat v prˇ´ıpadeˇ zˇe v cˇitateli zlomku je derivace jmenovatele. 26

E

´L 1. NEURCˇITY´ INTEGRA

27

Pozna´mka 1.4 (za´kladnı´ vzorce pro integrovańı´). Na´sledujıćı´ vzorce jsou opakem (a v neˇkteryćh prˇ´ıpadech mı Z ´rny´m zobecneˇnı´m) vzorcu˚ pro derivaci za´kladnıćh elementa´rnıćh funkcı´. Z dx = x + c 1 dx = tg x + c Z 2x n+1 cos x Z +c xn dx = 1 n+1 dx = − cotg x + c Z sin2 x 1 Z dx = ln |x| + c x 1 √ dx = arcsin + c Z x x 2 2 A A −x a Z ax dx = +c p 1 ln a √ dx = ln x + x2 ± B + c Z 2 x ±B Z ex dx = ex + c 1 x 1 Z dx = arctg + c 2 2 A +x A A Z sin x dx = − cos x + c A + x 1 1 +c Z dx = ln A2 − x2 2A A − x cos x dx = sin x + c Veˇta 1.4 (specia´lnı´ prˇ´ıpad slozˇene´ funkce). Necht’f je funkce integrovatelna´ na I. Pak Z 1 f (ax + b) dx = F (ax + b), a kde F je funkce primitivnı´ k funkci f na intervalu I. Platı´ pro ta x, pro ktera´ je ax + b ∈ I. Prˇ´ıklad 1.1 (aplikace prˇedchozı´ veˇty). Z Z 1 dx = 4x2 + 6x + 3

1 dx 3 2 3 + 2x + 2 4 3 2x + 1 2 2 = √ arctg √ +c 2 3 3 2 4x + 3 1 +c = √ arctg √ 3 3

Veˇta 1.5 (specia´lnı´ prˇ´ıpad zlomku). Necht’funkce f ma´ derivaci a nema´ nulovy´ bod na intervalu I. Potom na tomto intervalu platı´ Z ′ f (x) dx = ln |f (x)|. f (x) Prˇ´ıklad 1.2 (aplikace prˇedchozı´ veˇty). Z Z x+2 2x + 4 1 1 dx = dx = ln |x2 + 4x + 8| + c x2 + 4x + 8 2 x2 + 4x + 8 2 Motivace. Pokud vyjdeme ze vztahu pro derivaci soucˇinu (uv)′ = u′ v + uv ′ a zintegrujeme jej na tvar Z Z ′ uv = u v dx + uv ′ dx,

nabı´zı´ se na´m mozˇnost, vypocˇ´ıtat jeden z integra´lu˚ na prave´ straneˇ pomocı´ druhe´ho. To je za´kladnı´ mysˇlenkou na´sledujıćı´ metody.

´L 1. NEURCˇITY´ INTEGRA

28

Veˇta 1.6 (metoda per-parte´s, specia´lnı´ prˇ´ıpad soucˇinu). Necht’funkce u a v majı´ derivace na intervalu I. Pak platı´ Z Z (1.2) u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − u′ (x)v(x) dx,

E

pokud integra´l na prave´ straneˇ existuje.

Pozna´mka 1.5 (integra´ly typicke´ pro vy´pocˇet metodou per-parte´s). Bud’ P (x) polynom. Metodou perparte´s integrujeme naprˇ´ıklad integra´ly na´sledujıćıćh typu˚ Z Z Z P (x)eαx dx, P (x) sin(αx) dx, P (x) cos(αx) dx,

a

Z

P (x) arctg x dx,

Z

P (x) lnm x dx.

U prvnı´ skupiny integra´lu˚ postupujeme tak, zˇe polynom derivujeme, cˇ´ımzˇ snı´zˇ´ıme jeho stupenˇ, a v prˇ´ıpadeˇ potrˇeby tento postup opakujeme. U druhe´ skupiny integra´lu˚ naopak derivujeme funkce arctg x a ln x. Ve vsˇech teˇchto prˇ´ıpadech je integra´l figurujıćı´ na prave´ straneˇ vzorce (1.2) jednodusˇsˇ´ı nezˇ integra´l pu˚vodnı´. Prˇ´ıklad 1.3 (integrace per-parte´s).  Z  x arctg x dx per-parte´s: x2 2 x2 = 2 =

  ′   u = arctg x u =

 1 x+2+1   x2

   v′ = x v= 2 Z x2 1 dx = arctg x − 2 1 + x2 Z x2 1 1 1 1 dx = arctg x − arctg x − x + arctg x + c 1− 2 1 + x2 2 2 2

Veˇta 1.7 (prvnı´ substitucˇnı´ metoda, specia´lnı´ prˇ´ıpad slozˇene´ funkce). Necht’ f (t) je funkce spojita´ na intervalu I, necht’funkce ϕ(x) ma´ derivaci na intervalu J a platı´ ϕ(J) = I. Potom na intervalu J platı´ Z Z ′ (1.3) f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f (t) dt, dosadı´me-li napravo t = ϕ(x)

Pozna´mka 1.6 (technicka´). Forma´lneˇ substituci prova´dı´me tak, zˇe pı´sˇeme v integra´lu vpravo t mı´sto ϕ(x) a dt mı´sto ϕ′ (x) dx. Prˇ´ıklad 1.4 (substitucˇnı´ metoda). Z Z Z sin2 x sin3 x dx = sin x dx = tg3 x dx = cos3 x cos3 x    cos x = t  Z  1 − cos2 x   = sin x dxsubstituce: − sin x dx = dt   cos3 x  sin x dx = − dt Z Z 1 1 − t2 − t−3 dt = = − 3 dt = t t 1 1 +c = ln |t| + t−2 = ln | cos x| + 2 2 cos2 x V jiste´m smyslu opacˇny´m postupem je druha´ substitucˇnı´ metoda.

E

´L 2. RIEMANNU˚V INTEGRA

29

Veˇta 1.8 (druha´ substitucˇnı´ metoda). Necht’f (x) je funkce spojita´ na intervalu I, necht’funkce ϕ(t) ma´ nenulovou derivaci na intervalu J a platı´ ϕ(J) = I. Potom na intervalu I platı´ Z Z (1.4) f (x) dx = f (ϕ(t))ϕ′ (t) dt,

E

dosadı´me-li napravo t = ϕ−1 (x), kde ϕ−1 (x) je funkce inverznı´ k funkci ϕ(x).

Pozna´mka 1.7. Existence inverznı´ funkce ϕ−1 plyne z nenulovosti derivace funkce ϕ. Vy´raz napravo v (1.4) sice vypada´ komplikovaneˇji, v praxi vsˇak substituci volı´me vzˇdy tak, aby po u´praveˇ vpravo vysˇel integra´l jednodusˇsˇ´ı, ktery´ umı´me vypocˇ´ıtat. Pozna´mka 1.8 (technicka´). Forma´lneˇ substituci prova´dı´me tak, zˇe pı´sˇeme v integra´lu vpravo ϕ(t) mı´sto x a ϕ′ (t) dt mı´sto dx. Pozna´mka 1.9. Vidı´me, zˇe u druhe´ substitucˇnı´ metody se vlastneˇ jedna´ o pouzˇitı´ vzorce (1.3) zprava doleva. 2. Riemannu˚v integra´l Definice (deˇlenı´ intervalu). Bud’ [a, b] uzavrˇeny´ interval −∞ < a < b < ∞. Deˇlenı´m intervalu [a, b] rozumı´me konecˇnou posloupnost D = {x0 , x1 , . . . , xn } bodu˚ z intervalu [a, b] s vlastnostı´

a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b. ˇ C´ısla xi nazy´va´me deˇlıćı´ body. Normou deˇlenı´ D rozumı´me maxima´lnı´ cˇ´ıslo, ktere´ uda´va´ vzda´lenost sousednıćh deˇlıćıćh bodu˚. Normu deˇlenı´ D oznacˇujeme ν(D). Je tedy ν(D) = max{xi − xi−1 , 1 ≤ i ≤ n}. Definice (integra´lnı´ soucˇet). Bud’ [a, b] uzavrˇeny´ interval a f funkce definovana´ a ohranicˇena´ na [a, b]. Bud’ D deˇlenı´ intervalu [a, b]. Bud’ R = {ξ1 , . . . , ξn } posloupnost cˇ´ısel z intervalu [a, b] splnˇujıćı´ xi−1 ≤ ξi ≤ xi pro i = 1..n. Potom soucˇet n X σ(f, D, R) = f (ξi )(xi − xi−1 ) i=1

se nazy´va´ integra´lnı´ soucˇet funkce f prˇ´ıslusˇny´ deˇlenı´ D a vy´beˇru reprezentantu˚ R.

Pozna´mka 2.1 (geometricky´ vy´znam integra´lnı´ho soucˇtu). Prˇedpokla´dejme pro jednoduchost, zˇe funkce f je na intervalu (a, b) neza´porna´. Geometricky je integra´lnı´ soucˇet roven soucˇtu obsahu˚ obde´lnı´ku˚, jejichzˇ za´kladny (vodorovne´ hrany) majı´ de´lku rovnu de´lce jednotlivyćh podintervalu˚ v deˇlenı´ a vy´sˇka je rovna funkcˇnı´ hodnoteˇ v bodeˇ, ktery´ je reprezentantem prˇ´ıslusˇne´ho podintervalu – viz Obra´zek 1. Definice (Riemannu˚v integra´l). Bud’[a, b] uzavrˇeny´ interval a f funkce definovana´ a ohranicˇena´ na [a, b]. ˇ ekneme, zˇe funkce f je Bud’ Dn posloupnost deˇlenı´ intervalu [a, b] a Rn posloupnost reprezentantu˚. R Riemannovsky integrovatelna´ na intervalu [a, b], jestlizˇe existuje cˇ´ıslo I ∈ R s vlastnostı´ lim σ(f, Dn , Rn ) = I

n→∞

pro libovolnou posloupnost deˇlenı´ Dn , splnˇujıćı´ lim ν(Dn ) = 0 prˇi libovolne´ volbeˇ reprezentantu˚ Rn , n→∞ kde σ(f, Dn , Rn ) je odpovı´dajıćı´ integra´lnı´ soucˇet funkce f . Cˇ´ıslo I nazy´va´me Riemannu˚v integra´l funkce f na intervalu [a, b] a oznacˇujeme Z b f (x) dx. a

Pozna´mka 2.2 (slovnı´ formulace prˇedchozı´ definice). Prˇedpokla´dejme pro jednoduchost zˇe funkce f je spojita´ na [a, b]. V definici Riemannova integra´lu je obsazˇeno na´sledujıćı´: (i) Rozdeˇlı´me interval (a, b) na podintervaly pomocı´ deˇlenı´, zvolı´me libovolneˇ reprezentanta v kazˇde´m podintervalu a sestrojı´me integra´lnı´ soucˇet.

E


ξ1 x0

ξ4

ξ3

ξ2 x1

x2

x3

30

ξ6

ξ5 x4

x5

x6

OBRA´ZEK 1. Graficke´ zna´zorneˇnı´ integra´lnı´ho soucˇtu (ii) Deˇlenı´ zjemnı´me (tj. uvazˇujeme nove´ deˇlenı´, jehozˇ norma je mensˇ´ı) a postup opakujeme — integra´lnı´ soucˇet se obecneˇ mu˚zˇe meˇnit. (iii) Postupneˇ uvazˇujeme jemneˇjsˇ´ı a jemneˇjsˇ´ı deˇlenı´ intervalu (a, b) a pokud se integra´lnı´ soucˇty postupneˇ „usta´lı´“ na neˇjake´ hodnoteˇ, je tato hodnota Riemannovy´m integra´lem funkce f na intervalu (a, b). (Neza´vislost na vy´beˇru reprezentantu˚ a na posloupnosti deˇlenı´ je v tomto prˇ´ıpadeˇ zarucˇena spojitostı´ funkce. V prˇ´ıpadeˇ nespojityćh funkcı´ je potrˇeba tuto neza´vislost doka´zat, cozˇ znacˇneˇ prˇevysˇuje na´plnˇ tohoto prˇedmeˇtu.) Definice (hornı´ a dolnı´ mez). Cˇ´ıslo a v definici Riemannova integra´lu se nazy´va´ dolnı´ mez a cˇ´ıslo b hornı´ mez Riemannova integra´lu. Na´sledujıćı´ definice doplnˇuje definici Riemannova integra´lu v prˇ´ıpadeˇ, zˇe dolnı´ mez nenı´ mensˇ´ı nezˇ mez hornı´. Z b Z a Definice (vy´meˇna mezı´ v urcˇite´m integra´lu). Pro a > b definujeme f (x) dx = − f (x) dx. Da´le a b Z a f (x) dx = 0. definujeme a

Veˇta 2.1 (postacˇujıćı´ podmıńky pro integrovatelnost funkce). (i) Funkce spojita´ na intervalu [a, b] je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelna´. (ii) Funkce ohranicˇena´ na [a, b], ktera´ ma´ na tomto intervalu konecˇny´ pocˇet bodu˚ nespojitosti je Riemannovsky integrovatelna´. (iii) Funkce monotonnı´ na [a, b] je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelna´.

Veˇta 2.2 (linearita urcˇite´ho integra´lu vzhledem k funkci). Necht’f , g jsou funkce integrovatelne´ na [a, b], c necht’je rea´lne´ cˇ´ıslo. Pak platı´ Z b Z b Z b [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx, a

a

Z

a

b

cf (x) dx = c

a

Z

a

b

f (x) dx.


Funkce

31

Strˇednı´ hodnota

strˇ. hodnota

a

a

b

b

OBRA´ZEK 2. Urcˇity´ integra´l a integra´lnı´ strˇednı´ hodnota funkce Veˇta 2.3 (aditivita urcˇite´ho integra´lu vzhledem k mezı´m). Necht’f je funkce integrovatelna´ na [a, b]. Bud’ c ∈ (a, b) libovolne´. Pak je f integrovatelna´ na intervalech [a, c] a [c, b] a platı´ Z b Z c Z b f (x) dx. f (x) dx + f (x) dx = c

a

a

Veˇta 2.4 (monotonie vzhledem k funkci). Bud’te f a g funkce integrovatelne´ na [a, b] takove´, zˇe f (x) ≤ Z b Z b g(x) pro x ∈ (a, b). Pak platı´ f (x) dx ≤ g(x) dx. a

a

Pozna´mka 2.3 (integra´l z neza´porne´ funkce). Pro f ≡ 0 dosta´va´me z prˇedchozı´ veˇty tvrzenı´, zˇe integra´l z funkce neza´porne´ na cele´m integracˇnı´m oboru je neza´porny´. Veˇta 2.5 (veˇta o strˇednı´ hodnoteˇ). Necht’f je funkce spojita´ na uzavrˇene´m intervalu [a, b]. Existuje cˇ´ıslo Z b f (x) dx. µ ∈ [a, b] s vlastnostı´ f (µ)(b − a) = a

Definice (strˇednı´ hodnota). Cˇ´ıslo f (µ) z prˇedchozı´ veˇty se nazy´va´ strˇednı´ hodnota funkce f na intervalu [a, b]. V praxi se urcˇity´ integra´l pocˇ´ıta´ uzˇitı´m na´sledujıćı´ veˇty. Veˇta 2.6 (Newtonova–Leibnizova veˇta). Necht’ funkce f (x) je Riemannovsky integrovatelna´ na [a, b]. Necht’F (x) je funkce spojita´ na [a, b], ktera´ je intervalu (a, b) primitivnı´ k funkci f (x). Pak platı´ Z b f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a).

E

a

x4 Prˇ´ıklad 2.1 (pouzˇitı´ Newtonovy–Leibnizovy veˇty). Protozˇe primitivnı´ funkcı´ k funkci x3 je funkce , 4 platı´ 4 1 Z 1 14 04 1 x = − = . x3 dx = 4 0 4 4 4 0 Pozna´mka 2.4 (geometricky´ vy´znam urcˇite´ho integra´lu). Jak je vidno z definice urcˇite´ho integra´lu, je-li Z b funkce f neza´porna´ na intervalu [a, b], uda´va´ integra´l f (x) dx obsah obrazce {[x, y] ∈ R × R : a ≤ a

x ≤ b a 0 ≤ y ≤ f (x)}, tj. obsah obrazce pod krˇivkou y = f (x) na intervalu [a, b]. Je-li funkce f linea´rnı´, je obrazcem pod krˇivkou lichobeˇzˇnı´k, v ostatnıćh prˇ´ıpadech nazy´va´me mnozˇinu pod krˇivkou krˇivocˇary´m lichobeˇzˇnı´kem. Dalsˇ´ı geometricke´ aplikace jsou na´sledujıćı´. • Obsah S mnozˇiny ohranicˇene´ shora krˇivkou y = f (x) a zdola krˇivkou y = g(x) (tj. prˇedpokla´da´me f (x) ≥ g(x) na intervalu [a, b]) vypocˇteme ze vzorce Z b S= [f (x) − g(x)] dx. a

E


i 1 2 3 4 5

32

xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

yi m myi 0.000000 1 0.000000 0.015625 2 0.031250 0.125000 2 0.250000 0.421875 2 0.843750 1.000000 1 1.000000 Soucˇet: 2.125000 TABULKA 1. Lichobeˇzˇnı´kove´ pravidlo

Zde nic nemusı´me prˇedpokla´dat o kladnosti funkcı´ f nebo g. • Objem V rotacˇnı´ho teˇlesa, ktere´ vznikne rotacı´ obrazce ohranicˇene´ho shora neza´pornou funkcı´ f (x), zdola osou x a ze stran prˇ´ımkami x = a, x = b vypocˇteme ze vzorce Z b f 2 (x) dx V =π a

• Objem V rotacˇnı´ho teˇlesa, ktere´ vznikne rotacı´ obrazce ohranicˇene´ho shora neza´pornou funkcı´ f (x), zdola neza´pornou funkcı´ g(x) a ze stran prˇ´ımkami x = a, x = b vypocˇteme ze vzorce Z b [f 2 (x) − g 2 (x)] dx V =π a

V na´sledujıćı´ pozna´mce si uvedeme metodu, jak prˇiblizˇneˇ urcˇit hodnotu urcˇite´ho integra´lu v prˇ´ıpadeˇ, zˇe nenı´ snadne´ pouzˇ´ıt Newtonovu–Leibnizovu veˇtu, naprˇ. kdyzˇ nedoka´zˇeme nale´zt primitivnı´ funkci.

Pozna´mka 2.5 (lichobeˇzˇnı´kove´ pravidlo, prˇiblizˇny´ vy´pocˇet urcˇite´ho integra´lu). Necht’je funkce f spojita´ b−a . Krajnı´ body na intervalu [a, b]. Rozdeˇlme interval [a, b] na n intervalu˚ stejne´ de´lky h, tj. platı´ h = n teˇchto intervalu˚ oznacˇme po rˇadeˇ x0 , x1 , . . . , xn a jim odpovı´dajıćı´ funkcˇnı´ hodnoty y0 , y1 , . . . , yn . Hlavnı´ mysˇlenka aproximace integra´lu funkce f na intervalu [a, b] spocˇ´ıva´ v tom, zˇe na tomto intervalu nahradı´me funkci f (x) lomenou cˇarou s vrcholy v bodech [a = x0 , y0 ], [x1 , y1 ], . . . [xn = b, yn ] a integra´l z takto upravene´ funkce vypocˇteme jako soucˇet obsahu˚ jednotlivyćh lichobeˇzˇnı´ku˚, z nichzˇ je obrazec pod lomenou cˇa´rou sestaven. (Toto lze prove´st i kdyzˇ funkce f nezachova´va´ znameńko na intervalu [a, b].) Potom platı´: Z b h f (x) dx ≈ y0 + 2y1 + 2y2 + · · · + 2yn−1 + yn . 2 a Prˇitom chyba v tomto vzorci je tı´m mensˇ´ı, cˇ´ım je • veˇtsˇ´ı n, • mensˇ´ı rozdı´l b − a, • mensˇ´ı |f ′′ (x)| na (a, b). Prˇ´ıklad 2.2 (lichobeˇzˇnı´kove´ pravidlo). Pokusı´me se pomocı´ lichobeˇzˇnı´kove´ho pravidla aproximovat inZ 1 tegra´l x3 dx z Prˇ´ıkladu 2.1. Rozdeˇlı´me interval [0, 1] na 4 dı´lky o de´lce 0.25 a pro pohodlny´ vy´pocˇet 0 Z 1 0.25 pouzˇijeme Tabulku 1. Vy´sledna´ aproximace tedy je x3 dx ≈ 2.125000 = 0.265526. Porovna´me-li 2 0 tuto hodnotu s prˇesny´m vy´sledkem z Prˇ´ıkladu 2.1 vidı´me, zˇe prˇes pomeˇrneˇ primitivnı´ aproximaci, je chyba mensˇ´ı nezˇ 7%. Jemneˇjsˇ´ım deˇlenı´m zı´ska´me hodnotu jesˇteˇ prˇesneˇji. Pomocı´ integra´lu mu˚zˇeme definovat uzˇitecˇne´ neelementa´rnı´ funkce – naprˇ´ıklad primitivnı´ funkce k funkcı´m, ktere´ jsme doposud neumeˇli integrovat. Umozˇnı´ na´m to na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 2.7 (integra´l jako funkce hornı´ meze). Necht’funkce f (x) je spojita´ na intervalu I a necht’a ∈ I. Potom funkce F (x) definovana´ na I vztahem Z x F (x) = f (t) dt a

ma´ na intervalu I derivaci a platı´ F ′ (x) = f (x).

E

´L 3. NEVLASTNI´ INTEGRA

33

x x3 t3 = cozˇ je skutecˇneˇ jedna z primitivnıćh t dt = Prˇ´ıklad 2.3. Pro funkci f (x) = x platı´ 3 0 3 0 funkcı´ k funkci x2 , jak jizˇ vı´me z kapitoly o neurcˇite´m integra´lu (viz te´zˇ vzorce na konci tohoto textu). Z

2

x

2

2

Pozna´mka 2.6. Jizˇ drˇ´ıve jsme uvedli, zˇe k funkci e−x existuje primitivnı´ funkce, ale tuto funkci neumı´me Z x

najı´t. Nynı´ vidı´me, zˇe tuto primitivnı´ funkci lze zapsat naprˇ´ıklad ve tvaru Z naprˇ´ıklad funkcˇnı´ hodnota v bodeˇ x = 1, stacˇ´ı urcˇit hodnotu integra´lu

2

e−t dt. Pokud na´s zajı´ma´

0 1

2

e−x dx. Tuto hodnotu sice

0

neumı´me vypocˇ´ıtat prˇesneˇ, mu˚zˇeme ji vsˇak prˇiblizˇneˇ vypocˇ´ıtat pomocı´ lichobeˇzˇnı´kove´ho pravidla. 3. Nevlastnı´ integra´l Nevlastnı´ integra´l je rozsˇ´ırˇenı´m pojmu Riemannu˚v integra´lu. Riemannu˚v integra´l je definovany´ pouze pro ohranicˇene´ funkce a konecˇne´ obory integrace. Body, ve kteryćh funkce nenı´ ohranicˇena´ a nevlastnı´ body ±∞ budeme souhrnneˇ nazy´vat singula´rnı´mi body. Z b Integra´l f (x) dx nazy´va´me nevlastnı´, pokud alesponˇ jedno z cˇ´ısel a, b je rovno ±∞, nebo funkce f (x) a

nenı´ ohranicˇena´ na uzavrˇene´m intervalu [a, b] (tj. alesponˇ v jednom bodeˇ intervalu funkce ma´ singula´rnı´ bod - nemusı´ jı´t vzˇdy o body a nebo b, ale singula´rnı´ bod mu˚zˇe by´t i uvnitrˇ intervalu). Na´sledujıćı´ definice je soucˇasneˇ i na´vodem, jak nevlastnı´ integra´l vypocˇ´ıtat, je-li singula´rnı´m bodem hornı´ mez: Definice (nevlastnı´ integra´l se singularitou v hornı´ mezi). Necht’b ∈ R ∪ {+∞} a necht’funkce f (x) je ’ platı´ b = ∞ nebo necht’f (x) integrovatelna´ na kazˇde´m intervalu [a, c], kde a < c < b. Da´le necht’bud Z u

nenı´ ohranicˇena´ v okolı´ bodu b. Existuje-li vlastnı´ limita lim− f (x) dx = B, ˇr´ıka´me zˇe nevlastnı´ u→b a Z b f (x) dx = B. Pokud limita neexistuje, nebo je nevlastnı´, ˇr´ıka´me, zˇe integra´l konverguje a pı´sˇeme a Z b integra´l f (x) dx diverguje. a

Z

∞

−1

2

e−x dx = lim

u→∞

Z

u

2

e−x dx

y

−1

OBRA´ZEK 3. Nevlastnı´ integra´l

Z

∞

−1

Podobna´ situace nasta´va´, je-li singula´rnı´m bodem dolnı´ mez:

x

u

−1

2

e−x dx

´ LNI´ ROVNICE (U ´ VOD) 4. OBYCˇEJNE´ DIFERENCIA

34

Definice (nevlastnı´ integra´l se singularitou v dolnı´ mezi). Necht’a ∈ R ∪ {−∞} a necht’funkce f (x) je integrovatelna´ na kazˇde´m intervalu [c, b], kde a < c < b. Da´le necht’bud’ platı´ a = −∞ nebo necht’f (x) Z b nenı´ ohranicˇena´ v okolı´ bodu a. Existuje-li vlastnı´ limita lim+ f (x) dx = A, ˇr´ıka´me zˇe nevlastnı´ u→a u Z b integra´l konverguje a pı´sˇeme f (x) dx = A. Pokud limita neexistuje, nebo je nevlastnı´, ˇr´ıka´me, zˇe a Z b integra´l f (x) dx diverguje. a

Pozna´mka 3.1. Pokud je v prˇedchozıćh definicıćh b = ∞ nebo a = −∞, nahradı´me odpovı´dajıćı´ jednostrannou limitu obycˇejnou limitou, tak jak jsme ji definovali v nevlastnıćh bodech. Pozna´mka 3.2. Pokud singula´rnı´ bod lezˇ´ı uvnitrˇ intervalu (a, b), a, b ∈ R ∪ {±∞}, nebo pokud jsou singula´rnı´mi body obeˇ meze, rozdeˇlı´me interval prˇes ktery´ integrujeme na neˇkolik podintervalu˚ opakovany´m vyuzˇitı´m aditivity Riemannova integra´lu vzhledem k mezı´m (Veˇta 2.3) a integrujeme na kazˇde´m intervalu samostatneˇ. 4. Obycˇejne´ diferencia´lnı´ rovnice (u´vod) Obycˇejna´ diferencia´lnı´ rovnice je matematicky´ vztah mezi nezna´mou funkcı´ a jejı´mi derivacemi Definice (obycˇejna´ diferencia´lnı´ rovnice). Obycˇejnou diferencia´lnı´ rovnicı´ prvnı´ho rˇa´du rozrˇesˇenou vzhledem k derivaci (strucˇneˇ - diferencia´lnı´ rovnicı´ (ODR)) s nezna´mou y rozumı´me rovnici tvaru (4.1)

y ′ = f (x, y)

kde f je funkce dvou promeˇnnyćh. Rˇesˇenı´m (te´zˇ integra´lem) rovnice na intervalu I rozumı´me kazˇdou funkci y = y(x), ktera´ splnˇuje identicky (4.1) na I. ´ loha najı´t rˇesˇenı´ rovnice (4.1), ktere´ splnˇuje zadanou pocˇa´tecˇnı´ podmıńku U (4.2)

y(x0 ) = y0

se nazy´va´ pocˇa´tecˇnı´ u´loha nebo te´zˇ Cauchyova u´loha. Jejı´m rˇesˇenı´m rozumı´me funkci, ktera´ splnˇuje podmıńku (4.2) a je na neˇjake´m intervalu obsahujıćı´m bod x0 rˇesˇenı´m rovnice (4.1). ˇ esˇenı´ Cauchyovy u´lohy nazy´va´me te´zˇ partikula´rnı´m rˇesˇenı´m rovnice (4.1). Graf partikula´rnı´ho ˇresˇenı´ R se nazy´va´ integra´lnı´ krˇivka. V souvislosti s diferencia´lnı´mi rovnicemi na´s zajı´ma´ prˇedevsˇ´ım ota´zka, zda dana´ rovnice (pocˇa´tecˇnı´ u´loha) ma´ rˇesˇenı´, na jake´m intervalu je toto rˇesˇenı´ definovańo a zda je urcˇeno jednoznacˇneˇ. My se budeme navıć zaby´vat pouze rovnicemi, u nichzˇ lze rˇesˇenı´ nale´zt analytickou cestou pomocı´ integra´lnı´ho pocˇtu. 4.1. Rovnice typu y ′ = f (x). Nejjednodusˇsˇ´ım prˇ´ıkladem diferencia´lnı´ rovnice je rovnice tvaru (4.3)

y ′ = f (x).

Z integra´lnı´ho pocˇtu vı´me, zˇe tuto rovnici splnˇuje kazˇda´ primitivnı´ funkce k funkci f , tj. zˇe ˇresˇenı´m rovnice (4.3) je funkce Z y = f (x) dx + C,

kde C je libovolna´ konstanta. Takove´to rˇesˇenı´, ktere´ obsahuje konstantu, nazy´va´me obecne´ rˇesˇenı´ rovnice. Toto rˇesˇenı´ tedy reprezentuje vsˇechny funkce, vyhovujıćı´ dane´ rovnici (je jich zrˇejmeˇ nekonecˇneˇ mnoho) Libovolne´ partikula´rnı´ rˇesˇenı´ zı´ska´me z obecne´ho rˇesˇenı´ vhodnou volbou konstanty. Pozna´mka 4.1 (obecne´ a partikula´rnı´ rˇesˇenı´). Podobny´ princip platı´ i u dalsˇ´ıch diferencia´lnıćh rovnic. Funkcı´ ktere´ vyhovujı´ diferencia´lnı´ rovnici prvnı´ho rˇa´du je nekonecˇneˇ mnoho, zapı´sˇeme-li vsˇechny jednı´m vzorcem, bude tento vzorec obsahovat jistou konstantu C. Takovy´ vzorec se nazy´va´ obecne´ rˇesˇenı´ diferencia´lnı´ rovnice. Kazˇde´ jednotlive´ (partikula´rnı´) rˇesˇenı´ lze z tohoto vzorce obdrzˇet1 vhodnou volbou konstanty C. 1i z tohoto pravidla vsˇak existujı´ vy´jimky, :)

´ LNI´ ROVNICE SE SEPAROVANY´MI PROMEˇNNY´MI 5. DIFERENCIA

35

5. Diferencia´lnı´ rovnice se separovany´mi promeˇnny´mi V tomto odstavci si uvedeme postup rˇesˇenı´ jedne´ z nejjednodusˇsˇ´ıch diferencia´lnıćh rovnic. Definice (ODR se separovany´mi promeˇnny´mi). ODR tvaru (5.1)

y ′ = f (x)g(y),

kde f a g jsou spojite´ funkce na otevrˇenyćh intervalech nazy´va´me obycˇejnou diferencia´lnı´ rovnicı´ se separovany´mi promeˇnny´mi. Pocˇa´tecˇnı´ u´loha pro rovnici se separovany´mi promeˇnny´mi nemusı´ mı´t vzˇdy jedine´ ˇresˇenı´. Existujı´ dokonce rˇesˇenı´, ktere´ majı´ porusˇenu jednoznacˇnost v kazˇde´m bodeˇ sve´ho definicˇnı´ho oboru. Tato ˇresˇenı´ se nazy´vajı´ singula´rnı´. Tuto rovnici rˇesˇ´ıme separacı´ promeˇnnyćh na´sledovneˇ: (i) Ma´-li rovnice g(y) = 0 rˇesˇenı´ k1 , k2 , . . . , kn , jsou konstantnı´ funkce y = k1 , y = k2 , . . . , y = kn rˇesˇenı´mi rovnice. Ostatnı´ rˇesˇenı´ jsou nekonstantnı´ a nalezneme je v dalsˇ´ıch krocıćh. (ii) Da´le pracujme jenom na intervalech, kde g(y) 6= 0. Forma´lneˇ nahradı´me derivaci y ′ podı´lem dy : diferencia´lu˚ dx dy = f (x)g(y) dx dy pracujeme „norma´lneˇ“ jako s podı´lem dvou vy´razu˚. Na´sobenı´m a deˇlenı´m (iii) Se zlomkem dx prˇevedeme rovnici na tvar, ktery´ obsahuje na kazˇde´ straneˇ pouze jednu promeˇnnou: dy = f (x) dx. g(y) (iv) Zı´skanou rovnost zintegrujeme: Z Z dy = f (x) dx + C g(y) Vlevo je tedy integra´l v promeˇnne´ y, vpravo integra´l v promeˇnne´ x a na jednu ze stran rovnice prˇida´me integracˇnı´ konstantu. Tı´m obdrzˇ´ıme rovnici, ktera´ implicitneˇ zada´va´ obecne´ ˇresˇenı´ rovnice. (v) Pokud je zadańa pocˇa´tecˇnı´ podmıńka, dosadı´me ji do obecne´ho ˇresˇenı´ a urcˇ´ıme hodnotu konstanty C. Tuto dosadı´me do obecne´ho rˇesˇenı´ a obdrzˇ´ıme rˇesˇenı´ partikula´rnı´. (vi) Pokud je to mozˇne´, prˇevedeme rˇesˇenı´ (obecne´ nebo partikula´rnı´) do explicitnı´ho tvaru („vyja´drˇ´ıme“ odsud y). (vii) Pokud je mozˇne´ neˇktere´ z konstantnıćh rˇesˇenı´ obdrzˇet vhodnou volbou konstanty ve vzorci pro ˇ esˇenı´, ktera´ nenı´ takto mozˇno obecne´ rˇesˇenı´, zahrneme toto konstantnı´ rˇesˇenı´ do obecne´ho. R zahrnout do obecne´ho rˇesˇenı´ jsou cˇasto singula´rnı´mi. Prˇ´ıklad 5.1 (aplikace diferencia´lnıćh rovnic v praxi – ru˚st populace). Uda´va´-li funkce y(x) velikost jiste´ populace v cˇase x, uda´va´ derivace y ′ (x) rychlost zmeˇny velikosti te´to populace v cˇase x. (i) Uvazˇujme populaci y cˇa´stic znecˇisˇt’ujıćıćh jezero. Do jezera o objemu V , ve ktere´m je y0 znecˇisˇt’ujıćıćh cˇa´stic, prˇite´ka´ cˇista´ voda rychlostı´ r a stejnou rychlostı´ z jezera odte´ka´ voda znecˇisˇteˇna´. ´ bytek znecˇisˇt’ujıćıćh cˇa´stic souvisı´ s koncentracı´ znecˇisˇteˇnı´ a je popisovań diferencia´lnı´ rovnicı´ U r y ′ = − y. V Tato rovnice se nazy´va´ rovnice samocˇisˇteˇnı´ jezer. Vzhledem k tomu, zˇe je zna´ma velikost pocˇa´tecˇnı´ho znecˇisˇteˇnı´, rˇesˇ´ıme tuto rovnici spolu s pocˇa´tecˇnı´ podmıńkou y(0) = y0 . Po vyrˇesˇenı´ rovnice obdrzˇ´ıme funkci, ktera´ umozˇnı´ prˇ´ımo vypocˇ´ıtat mnozˇstvı´ znecˇisˇteˇnı´ v jezerˇe v libovolne´m cˇase.

6. SHRNUTI´

36

(ii) Uvazˇujme populaci zˇivocˇichu˚ nebo rostlin urcˇite´ho druhu v urcˇite´ lokaliteˇ. Prˇedpokla´dejme, zˇe dı´ky vza´jemne´ konkurenci mezi jednotlivci mu˚zˇe dana´ lokalita uzˇivit pouze omezeny´ pocˇet zˇivocˇichu˚. Maxima´lnı´ pocˇet teˇchto zˇivocˇichu˚ se nazy´va´ nosna´ kapacita prostrˇedı´, oznacˇme ji M . Vy´raz (M − y) pote´ uda´va´ volnou kapacitu prostrˇedı´, tj. kolik se v prostrˇedı´ jesˇteˇ mu˚zˇe uchytit jedincu˚. Derivace y ′ uda´va´ rychlost, s jakou se meˇnı´ pocˇet jedincu˚ v populaci. Je prˇirozene´ prˇedpokla´dat, zˇe tato rychlost je u´meˇrna´ pocˇtu jedincu˚ y a zˇe klesa´, je-li velikost populace blı´zka´ hodnoteˇ M . Zpravidla pouzˇ´ıva´me pro modelovańı´ vy´voje takove´ populace logistickou rovnici y ′ = ky(M − y). 6. Shrnutı´ Integra´lnı´ pocˇet je doplneˇk pocˇtu diferencia´lnı´ho – integrovańı´ je opacˇny´ proces k derivovańı´. Potrˇeba vyvinout takovy´ pocˇet je dańa prˇedevsˇ´ım aplikacemi, zejmeńa tı´m, zˇe veˇtsˇinu prˇ´ırodnıćh za´konu˚ je prˇirozene´ a jednoduche´ formulovat pomocı´ diferencia´lnıćh rovnic. V poslednıćh letech masivneˇ pronika´ integra´lnı´ pocˇet i do mnoha dalsˇ´ıch oboru˚. Naprˇ´ıklad matematicka´ biologie se stala jizˇ samostatnou a podstatnou cˇa´stı´ cele´ biologie. S diferencia´lnı´mi rovnicemi se setka´va´me zejmeńa tam, kde vı´me, jak souvisı´ rychlost, kterou se syste´m vyvı´jı´, se stavem tohoto syste´mu a potrˇebujeme najı´t funkci, popisujıćı´ stav tohoto syste´mu v urcˇite´m cˇasove´m intervalu. Urcˇity´ integra´l zpravidla pocˇ´ıta´me pomocı´ Newtonovy–Leibnizovy veˇty a pomocı´ integra´lu neurcˇite´ho. V prˇ´ıpadech, kdy tento postup je prakticky neproveditelny´, nebo se setka´va´ s velky´mi obtı´zˇemi, je mozˇne´ pouzˇ´ıt neˇkterou z prˇiblizˇnyćh metod vy´pocˇtu, naprˇ. lichobeˇzˇnı´kove´ pravidlo. Urcˇity´ integra´l ma´ ˇradu aplikacı´ v technickyćh veˇdaćh, my jsme se v tomto textu zaby´vali za´kladnı´mi geometricky´mi aplikacemi. Nalezenı´ neurcˇite´ho integra´lu mu˚zˇe by´t velice obtı´zˇne´. Bylo vyvinuto neˇkolik integracˇnıćh metod a pro dany´ integra´l cˇasto vede k cı´li pouze jedina´ z nich. Ktera´ z metod to bude lze zpravidla (v jednodusˇsˇ´ıch prˇ´ıpadech bez vy´jimky) odhadnout z tvaru integrovane´ funkce. V textu jsme se veˇnovali metodeˇ per-parte´s a substitucˇnı´ metodeˇ.

E

KAPITOLA 3

Linea´rnı´ algebra V te´to kapitole se budeme zaby´vat mnohorozmeˇrny´mi velicˇinami – velicˇinami, k jejichzˇ jednoznacˇne´mu zadańı´ je nutno udat vıće cˇ´ısel (naprˇ´ıklad sourˇadnice bodu v prostoru je nutno zadat trˇemi cˇ´ısly, sourˇadnice v prostorocˇase cˇtyrˇmi cˇ´ısly a podobneˇ). 1. Algebraicky´ vektorovy´ prostor Definice (algebraicky´ vektorovy´ prostor). Mnozˇinu Rn usporˇa´danyćh n-tic rea´lnyćh cˇ´ısel (a1, a2 , . . . , an ) s operacemi scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ rea´lny´m cˇ´ıslem definovany´mi (1.1)

(a1 , a2 , . . . , an ) + (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn )

(1.2)

c · (a1 , a2 , . . . , an ) = (c · a1 , c · a2 , . . . , c · an )

pro vsˇechna c ∈ R a (a1 , a2 , . . . , an ), (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ Rn nazy´va´me rea´lny´m algebraicky´m vektorovy´m prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. usporˇa´dane´ n-tice rea´lnyćh cˇ´ısel nazy´va´me algebraicky´mi vektory. Cˇ´ısla a1 , . . . , an nazy´va´me slozˇky vektoru (a1 , a2 , . . . , an ). Cˇ´ıslo n nazy´va´me dimenze prostoru Rn . Pozna´mka 1.1 (k oznacˇenı´). Skutecˇnost, zˇe neˇjaka´ promeˇnna´ je vektorem budeme zvy´raznˇovat sˇipkou nad oznacˇenı´m te´to promeˇnne´. Pozna´mka 1.2. Skutecˇnosti, zˇe operace scˇ´ıtańı´ nebo odcˇ´ıtańı´ se prova´dı´ pro vsˇechny slozˇky vektoru oddeˇleneˇ se rˇ´ıka´, zˇe operace je definovańa po slozˇkaćh. Protozˇe takto prova´dı´me scˇ´ıtańı´ jednotlivyćh slozˇek vektoru navza´jem, komutativita a asociativita scˇ´ıtańı´ rea´lnyćh cˇ´ısel se prˇena´sˇ´ı i na scˇ´ıtańı´ algebraickyćh vektoru˚. Prˇ´ıklad 1.1 (operace s vektory). Vektory ~a = (1, 2, 3, 4) a ~b = (−2, 3, 1, 0) jsou prvky vektorove´ho prostoru R4 . Vektor ~c = (0, 1, 3, 4, −1) je prvkem vektorove´ho prostoru R5 . Platı´ 5~c = (0, 5, 15, 20, −5) a ~a + ~b = (−1, 5, 4, 4). Soucˇet ~a + ~c nenı´ definovań. Pozna´mka 1.3 (nulovy´ vektor). Vektor (0, 0, . . . , 0) nazy´va´me nulovy´ vektor a oznacˇujeme ~o. Ihned z definice operacı´ scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ plyne, zˇe t~o = ~o, ~o + ~u = ~u a 0~u = ~o pro libovolny´ vektor ~u a libovolne´ cˇ´ıslo t. Nulovy´ vektor tedy prˇi pocˇ´ıtańı´ s vektory hraje stejnou roli, jako cˇ´ıslo 0 prˇi pocˇ´ıtańı´ s rea´lny´mi cˇ´ısly. Pozna´mka 1.4 (sloupcovy´ vektor). Stejneˇ jako lze jednotlive´ slozˇky vektoru usporˇa´dat do ˇra´dku˚, lze je usporˇa´dat i do sloupcu˚. Potom mluvı´me o sloupcovyćh vektorech, naprˇ. vektor   1 ~v =  2  −4 je 3-dimenziona´lnı´ sloupcovy´ vektor.

Definice (linea´rnı´ kombinace). Necht’ ~u1 , ~u2 , . . . ~uk je konecˇna´ posloupnost vektoru˚ z vektorove´ho prostoru Rn . Vektor ~u, pro ktery´ platı´ (1.3)

~u = t1 ~u1 + t2 ~u2 + · · · + tk ~uk ,

kde t1 , t2 , . . . , tk jsou neˇjaka´ rea´lna´ cˇ´ısla, se nazy´va´ linea´rnı´ kombinace vektoru˚ ~u1 , ~u2 , . . . , ~uk . Cˇ´ısla t1 , t2 , . . . , tk nazy´va´me koeficienty linea´rnı´ kombinace.

37

1. ALGEBRAICKY´ VEKTOROVY´ PROSTOR

38

Pozna´mka 1.5. Vsˇude, kde v na´sledujıćı´m textu mluvı´me o konecˇne´ posloupnosti vektoru˚, ma´me na mysli vektory, ktere´ jsou prvky te´hozˇ vektorove´ho prostoru (tj. jsou stejne´ dimenze). V tomto prˇ´ıpadeˇ je definovańa prava´ strana rovnosti (1.3) a ma´ smysl mluvit o linea´rnı´ kombinaci teˇchto vektoru˚. Prˇ´ıklad 1.2 (linea´rnı´ kombinace). Meˇjme vektory z vektorove´ho prostoru R3 : ~a = (1, 4, 2), ~b = (−2, 0, 1) a ~c = (1, −2, 1). Vektor d~ = 2~a + ~b − 3~c = (−3, 14, 2) je linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ ~a, ~b a ~c. Existujı´ vsˇak i jine´ linea´rnı´ kombinace teˇchto vektoru˚. Je jich zrˇejmeˇ nekonecˇneˇ mnoho. Definice (trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace). Linea´rnı´ kombinace, kdtera´ ma´ vsˇechny koeficienty nulove´, se nazy´va´ trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace Pozna´mka 1.6 (nulovy´ vektor jako vy´sledek linea´rnı´ kombinace). Vy´sledkem trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace je vzˇdy nulovy´ vektor. Nulovy´ vektor je tedy mozˇne´ zapsat jako linea´rnı´ kombinaci libovolnyćh vektoru˚. Nabı´zı´ se ota´zka, zda je tato mozˇnost jedina´, nebo je to pouze jedna z vıće mozˇnostı´, jak tvorˇenı´m linea´rnıćh kombinacı´ obdrzˇet ze zadane´ skupiny vektoru˚ vektor nulovy´. Odpoveˇd’na tuto ota´zku je u neˇkteryćh skupin vektoru˚ pozitivnı´ a u jinyćh negativnı´ a ukazuje se, zˇe je du˚lezˇite´ oba prˇ´ıpady rozlisˇovat. K tomu slouzˇ´ı na´sledujıćı´ pojem. ˇ ekneme, zˇe vektory ~u1 , ~u2 , . . . , ~uk jsou linea´rneˇ za´visle´, jestlizˇe Definice (linea´rnı´ za´vislost vektoru˚). R existuje alesponˇ jedna netrivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace teˇchto vektoru˚, jejı´mzˇ vy´sledkem je nulovy´ vektor, tj. existujı´-li rea´lna´ cˇ´ısla t1 , t2 , . . . , tk , z nichzˇ alesponˇ jedno je ru˚zne´ od nuly, takova´, zˇe platı´ (1.4)

~o = t1 ~u1 + t2 ~u2 + · · · + tk ~uk .

V opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ rˇ´ıka´me, zˇe vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´. Pozna´mka 1.7 (slovnı´ vyja´drˇenı´ prˇedchozı´ definice). Vektory jsou tedy linea´rneˇ za´visle´, jestlizˇe pomocı´ jejich linea´rnı´ kombinace lze nulovy´ vektor zapsat alesponˇ dveˇma zpu˚soby: jednou jako trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinaci alesponˇ jednou jesˇteˇ neˇjak jinak. Podobna´ situace platı´ i pro ostatnı´ vektory, jak je obsazˇeno v na´sledujıćı´ veˇteˇ. Veˇta 1.1. (i) (ii) (iii)

Meˇjme konecˇnou posloupnost vektoru˚ ~u1 , ~u2 , . . . , ~uk . Na´sledujıćı´ vy´roky jsou ekvivalentnı´: Vektory jsou linea´rneˇ za´visle´. Alesponˇ jeden z vektoru˚ ~u1 , . . . , ~uk lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci ostatnıćh vektoru˚. Je-li vektor ~u, linea´rnı´ kombinacı´ vektoru˚ ~u1 , . . . , ~uk , existujı´ alesponˇ dveˇ ru˚zna´ vyja´drˇenı´ vektoru ~u ve tvaru (1.3).

Pozna´mka 1.8 (k testovańı´ linea´rnı´ za´vislosti). V neˇkteryćh prˇ´ıpadech je u´kol rozhodnout o linea´rnı´ (ne-)za´vislosti vektoru˚ snadny´. Platı´ totizˇ na´sledujıćı´: • Je-li v posloupnosti vektoru˚ neˇktery´ vektor na´sobkem jine´ho vektoru, jedna´ se o linea´rneˇ za´vislou posloupnost vektoru˚. • Dva vektory jsou linea´rneˇ za´visle´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jeden z vektoru˚ je na´sobkem druhe´ho. • Je-li vektoru˚ veˇtsˇ´ı pocˇet, nezˇ je dimenze prostoru, jsou tyto vektory linea´rneˇ za´visle´. V ostatnıćh prˇ´ıpadech nelze na ota´zku o prˇ´ıpadne´ linea´rnı´ za´vislosti nebo neza´vislosti vektoru˚ da´t okamzˇitou odpoveˇd’, ale je potrˇeba odpovı´dajıćı´m zpu˚sobem rozhodnout, naprˇ. pomocı´ pojmu hodnost matice, ktery´ uvedeme pozdeˇji. Prˇ´ıklad 1.3 (aplikace prˇedchozı´ pozna´mky). Vektory ~a = (1, 2, 5), ~b = (0, 1, 0) a ~c = (−2, −4, −10) jsou linea´rneˇ za´visle´. Vektory d~ = (1, 3) a ~e = (−1, 3) jsou linea´rneˇ neza´visle´. O linea´rnı´ (ne-)za´vislosti vektoru˚ ~i = (1, 2, 3, 1), ~j = (2, 1, 0, 1) a ~k = (1, 1, −3, 2) nelze podle prˇedchozı´ pozna´mky rozhodnout, metodu na oveˇrˇenı´ linea´rnı´ (ne-)za´vislosti si uvedeme pozdeˇji.

E

2. MATICE

39

Pozna´mka 1.9. Pokud k posloupnosti linea´rneˇ za´vislyćh vektoru˚ prˇida´me libovolny´ pocˇet vektoru˚, vektory jisteˇ zu˚stanou linea´rneˇ za´visle´. Naopak, pokud z posloupnosti linea´rneˇ neza´vislyćh vektoru˚ vynecha´me libovolny´ pocˇet vektoru˚, obdrzˇ´ıme opeˇt linea´rneˇ neza´visle´ vektory. Pokud k posloupnosti linea´rneˇ neza´vislyćh vektoru˚ prˇidańı´m jednoho vektoru linea´rnı´ neza´vislost porusˇ´ıme, znamena´ to, zˇe jsme prˇidali vektor, ktery´ lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci pu˚vodnıćh vektoru˚.

2. Matice Definice (matice). Maticı´ rˇa´du m × n rozumı´me schema   a11 a12 a13 · · · a1n  a21 a22 a23 · · · a2n    A= . .. ..  ..  .. . . .  am1

am2

···

···

amn

kde aij pro i = 1..m a j = 1..n jsou rea´lna´ cˇ´ısla. Mnozˇinu vsˇech matic rˇa´du m× n oznacˇujeme symbolem Rm×n . Zkraćeneˇ zapisujeme te´zˇ A = (aij )i=1..n, j=1..n nebo pouze A = (aij ). Je-li m = n nazy´va´ se matice A cˇtvercova´ matice, jinak obde´lnı´kova´ matice. Je-li A cˇtvercova´ matice, nazy´va´me prvky tvaru aii , tj. prvky, jejichzˇ rˇa´dkovy´ a sloupcovy´ index jsou stejne´, prvky hlavnı´ diagona´ly. Definice (matice transponovana´). Bud’A = (aij ) ∈ Rm×n matice. Matice, ktera´ vznikne za´meˇnou ˇra´dku˚ matice A za sloupce se nazy´va´ matice transponovana´ k matici A. Matici transponovanou oznacˇujeme symbolem AT . Platı´ tedy AT ∈ Rn×m a AT = (aji ),

kde aij jsou prvky matice A. Prˇ´ıklad 2.1 (transponovana´ matice). Je-li    1 −2 3 1 0 2  0 1 3  , platı´ AT = −2 1 1 A= 2 1 9 3 3 9 0 1 −2

 0 1 . −2

ˇ a´dky matice mu˚zˇeme cha´pat i jako vektory z prostoru Rn . Pozna´mka 2.1 (souvislost matice s vektory). R Potom ma´ smysl mluvit o na´sobenı´ nebo scˇ´ıtańı´ rˇa´dku˚, o linea´rnı´ kombinaci rˇa´dku˚ a o linea´rnı´ za´vislosti a neza´vislosti rˇa´dku˚. Podobna´ situace platı´ i pro sloupce. Matici, ktera´ obsahuje jediny´ ˇra´dek, lze cha´pat soucˇasneˇ i jako vektor. Podobneˇ matici, ktera´ obsahuje jediny´ sloupec, lze cha´pat soucˇasneˇ jako sloupcovy´ vektor. Definice (operace s maticemi). Bud’te A = (aij ), B = (bij ) matice rˇa´du m × n. Soucˇtem matic A a B rozumı´me matici C = (cij ) rˇa´du m × n, kde cij = aij + bij pro vsˇechna i, j. Zapisujeme C = A + B. Bud’ A = (aij ) matice rˇa´du m × n a t ∈ R rea´lne´ cˇ´ıslo. Soucˇinem cˇ´ısla t a matice A rozumı´me matici D = (dij ) rˇa´du m × n, kde dij = t.aij pro vsˇechna i, j. Zapisujeme D = tA. Bud’te A = (aij ) matice rˇa´du m × n a B = (bij ) matice rˇa´du n × p. Soucˇinem matic A a B (v tomto porˇadı´) rozumı´me matici G = (gij ) rˇa´du m × p, kde gij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj

pro vsˇechna i = 1..m, j = 1..p. Zapisujeme G = AB (v tomto porˇadı´). Pozna´mka 2.2 (k definici operacı´ s maticemi). Scˇ´ıtańı´ matic a na´sobenı´ rea´lny´m cˇ´ıslem je tedy (podobneˇ jako pro vektory) definovańo po slozˇkaćh. Zachova´va´ si proto beˇzˇne´ vlastnosti pro pocˇ´ıtańı´ s rea´lny´mi cˇ´ısly – je komutativnı´ a asociativnı´, take´ distributivnı´ vzhledem k na´sobenı´ rea´lny´m cˇ´ıslem. U soucˇinu tomu tak nenı´. Obratem „v tomto porˇadı´“ proto zdu˚raznˇujeme, zˇe porˇadı´ matic v soucˇinu nelze vymeˇnit, protozˇe soucˇin matic (na rozdı´l od soucˇtu) nenı´ komutativnı´ operace.

3. HODNOST MATICE



2 −1 Prˇ´ıklad 2.2. Pro matice A = 3 1 2 0   3 −3 3 3 2 1, zatı´mco naprˇ. soucˇet A 4 4 2 maticovy´ soucˇin CA nenı´ definovań.

40

     2 1 −2 1 2 4 −2, B = 0 1 3 a C = −1 2 platı´: A + B = 1 2 4 1 3 1  11 8 + C nenı´ definovań. Da´le platı´ AC = −1 12 zatı´mco 7 9

Pozna´mka 2.3. Maticovy´ soucˇin u´zce souvisı´ s linea´rnı´mi kombinacemi vektoru˚. Vskutku, porovnejte na´sledujıćı´ dva vy´pocˇty: 

     1 2 0 1 1 1 −3 −1 1 1 · 0 −2 = 0 −1 2 1 3 1 2 5 6         1 2 0 −3 1 · −1 − 2 · 1 + 2 · 1 = −1 2 1 3 6

Veˇta 2.1 (vlastnosti maticove´ho soucˇinu). Soucˇin matic je asociativnı´ a distributivnı´ zprava i zleva vzhledem ke scˇ´ıtańı´, tj. platı´ A(BC) = (AB)C

(asociativita)

A(B + C) = AB + AC

(levy´ distributivnı´ za´kon)

(B + C)A = BA + CA

(pravy´ distributivnı´ za´kon)

vzˇdy, kdyzˇ tyto operace majı´ smysl. Definice (jednotkova´ matice). Jednotkovou maticı´ rˇa´du n rozumı´me cˇtvercovou matici typu Rn×n , ktera´ ma´ v hlavnı´ diagona´le jednicˇky a mimo hlavnı´ diagona´lu nuly. Oznacˇujeme ji In . Prˇ´ıklad 2.3. Jednotkova´ matice rˇa´du 3 ma´ tvar   1 0 0 I3 = 0 1 0 . 0 0 1

Pozna´mka 2.4. Jak uka´zˇe na´sledujıćı´ veˇta, jednotkova´ matice je prˇi na´sobenı´ matic neutra´lnı´m prvkem (hraje stejnou roli jako jednicˇka prˇi na´sobenı´ rea´lnyćh cˇ´ısel). Navıć maticovy´ soucˇin AIn je definovany´ jenom pro jediny´ index n. Index u jednotkove´ matice proto mu˚zˇeme vynecha´vat a symbolem I budeme rozumeˇt tu jedinou jednotkovou matici, pro kterou je tento soucˇin definovań. Podobneˇ i pro soucˇin Im A. Veˇta 2.2 (vlastnost jednotkove´ matice). Bud’A matice. Pak platı´ IA = A a AI = A, vzˇdy, kdyzˇ je tento maticovy´ soucˇin definovany´. Pozna´mka 2.5 (k vyty´kańı´ u matic). Z toho, zˇe operace soucˇin matic nenı´ komutativnı´ plyne naprˇ. zˇe vy´raz AB − BA nelze da´le zjednodusˇit, nebo zˇe z vy´razu AB +CA nelze vytknout (neodpovı´da´ ani leve´mu ani prave´mu distributivnı´mu za´konu). Z vy´razu AB + A lze vytknout pouzˇitı´m jednotkove´ matice na´sledovneˇ: AB + A = AB + AI = A(B + I). Podobneˇ lze vytknout z vy´razu AB + B = AB + IB = (A + I)B .

3. Hodnost matice Matice rˇa´du m × n obsahuje celkem m.n cˇ´ısel. Jedna´ se tedy o relativneˇ komplikovany´ objekt. V matematice se cˇasto snazˇ´ıme slozˇiteˇjsˇ´ı objekty neˇjaky´m zpu˚sobem charakterizovat pomocı´ objektu˚ jednodusˇsˇ´ıch — naprˇ. pomocı´ cˇ´ısel. Ukazuje se, zˇe matici lze jisty´m zpu˚sobem prˇirˇadit cˇ´ıslo nesoucı´ cˇa´st informace o matici. Jednı´m z teˇchto cˇ´ısel je hodnost matice, kterou si nadefinujeme nynı´. Dalsˇ´ı pouzˇ´ıvanou cˇ´ıselnou charakteristikou matice je determinant, se ktery´m se sezna´mı´me pozdeˇji.

3. HODNOST MATICE

41

Definice (hodnost matice). Bud’ A matice. Hodnostı´ matice rozumı´me maxima´lnı´ pocˇet linea´rneˇ neza´vislyćh rˇa´dku˚ matice. Hodnost matice A oznacˇujeme h(A). Pozna´mka 3.1. Prˇedchozı´ definice je korektnı´ v tomto smyslu: jsou-li rˇa´dky matice linea´rneˇ neza´visle´, je hodnost matice rovna pocˇtu jejich rˇa´dku˚. Jsou-li linea´rneˇ neza´visle´, existuje cˇ´ıslo h takove´, zˇe matice obsahuje h linea´rneˇ neza´vislyćh rˇa´dku˚ a libovolna´ skupina rˇa´dku˚, jejichzˇ pocˇet je veˇtsˇ´ı nezˇ h, je linea´rneˇ za´visla´. Cˇ´ıslo h je potom hodnost matice. Pozna´mka 3.2 (linea´rnı´ za´vislost a neza´vislost algebraickyćh vektoru˚). Bud’ A matice o m ˇra´dcıćh a n sloupcıćh. Ihned z definice plyne, zˇe rˇa´dky matice jsou tvorˇeny m linea´rneˇ neza´visly´mi vektory z prostoru Rn pra´veˇ tehdy, kdyzˇ h(A) = m. Podobneˇ sloupce matice jsou tvorˇeny n linea´rneˇ neza´visly´mi vektory z prostoru Rm pra´veˇ tehdy, kdyzˇ h(A) = n. Naucˇ´ıme-li se tedy efektivneˇ zjisˇt’ovat hodnost matice, ma´me i na´stroj pro zjisˇt’ovańı´ linea´rnı´ za´vislosti a neza´vislosti vektoru˚. ˇ ekneme, zˇe matice A je ve schodovite´m tvaru, jestlizˇe prˇ´ıpadne´ nulove´ Definice (schodovity´ tvar). R ˇra´dky jsou usporˇa´dańy na konci matice a nenulove´ jsou usporˇa´dańy tak, zˇe kazˇdy´ na´sledujıćı´ ˇra´dek zacˇ´ına´ veˇtsˇ´ım pocˇtem nul nezˇ rˇa´dek prˇedchozı´. Veˇta 3.1 (hodnost matice ve schodovite´m tvaru). Hodnost matice, ktera´ je ve schodovite´m tvaru je rovna pocˇtu jejıćh nenulovyćh rˇa´dku˚.   2 2 2 3 −1 5 0 0 1 0 0 3  Prˇ´ıklad 3.1. Matice A =  0 0 0 −1 2 1 je ve schodovite´m tvaru a h(A) = 3. Matice 0 0 0 0 0 0  2 2 2 3 −1 5 0 3 nenı´ ve schodovite´m tvaru a jejı´ hodnost na prvnı´ pohled nepozna´me. B = 0 0 1 0 0 0 3 −1 2 1 Veˇta 3.2 (operace zachova´vajıćı´ hodnost matice). Na´sledujıćı´ operace nemeˇnı´ hodnost matice: (i) vynechańı´ rˇa´dku slozˇene´ho ze samyćh nul, nebo vynechańı´ rˇa´dku, ktery´ je tozˇny´ s jiny´m rˇa´dkem, nebo vynechańı´ rˇa´dku, ktery´ je na´sobkem jine´ho rˇa´dku (ii) vynechańı´ rˇa´dku, ktery´ je linea´rnı´ kombinacı´ ostatnıćh rˇa´dku˚ (iii) vyna´sobenı´ nebo vydeˇlenı´ libovolne´ho rˇa´dku nenulovy´m cˇ´ıslem (iv) za´meˇna porˇadı´ libovolne´ho pocˇtu rˇa´dku˚ (v) prˇicˇtenı´ linea´rnı´ kombinace ostatnıćh rˇa´dku˚ k nenulove´mu na´sobku jednoho rˇa´dku (vi) ponechańı´ jednoho rˇa´dku beze zmeˇny a opakovane´ prˇicˇtenı´ libovolnyćh na´sobku˚ tohoto rˇa´dku k nenulovy´m na´sobku˚m ostatnıćh rˇa´dku˚ matice

Pozna´mka 3.3 (strategie vy´pocˇtu hodnosti matice). Prˇedchozı´ Veˇta 3.2 je mıńeˇna takto: matici A, jejı´zˇ hodnost pocˇ´ıta´me, nahradı´me jinou maticı´, B, ktera´ vznikne z matice A provedenı´m neˇktere´ z vy´sˇe uvedenyćh operacı´. Skutecˇnost, zˇe matice A a B majı´ stejnou hodnost je potom zajisˇteˇna prˇedchozı´ veˇtou. Tuto skutecˇnost budeme zna´zornˇovat symbolem ∼, tj. pı´sˇeme A ∼ B. Da´le ma´ smysl prˇi zjisˇt’ovańı´ hodnosti matice A pracovat s novou maticı´ B. Tuto matici lze opeˇt nahradit jinou maticı´, C, ktera´ vznikne z prˇedchozı´ provedenı´m operace zachova´vajıćı´ hodnost. Tento postup sta´le opakujeme. Toto ma´ smysl prova´deˇt, pokud na konci dospeˇjeme k matici ve schodovite´m tvaru, jejı´zˇ hodnost umı´me urcˇit. Veˇta 3.3. Libovolnou matici lze konecˇny´m pocˇtem u´prav z Veˇty 3.2 prˇeve´st do schodovite´ho tvaru. Veˇta 3.4. Transponovańı´ nemeˇnı´ hodnost matice. Pozna´mka 3.4. Z faktu, zˇe transponovańı´ matice nemeˇnı´ hodnost plyne, zˇe vsˇe, co bylo ˇrecˇeno pro ˇra´dky platı´ i pro sloupce.

E

5. DETERMINANT

42

4. Inverznı´ matice Pozna´mka 4.1 (motivacˇnı´). U rea´lnyćh cˇ´ısel ma´me doplnˇkove´ operace ke scˇ´ıtańı´ a na´sobenı´ — jsou to odecˇ´ıtańı´ a deˇlenı´. Odecˇ´ıtańı´ matic mu˚zˇeme implementovat jako scˇ´ıtańı´ matice s maticı´ vyna´sobenou minus jednicˇkou: A − B = A + (−B). Oproti tomu operace deˇlenı´ matic vu˚bec nenı´ implementovańa. U rea´lnyćh a cˇ´ısel lze deˇlenı´ nahradit na´sobenı´m prˇevraćenou hodnotou: = ab−1 . Tuto proceduru cˇa´stecˇneˇ rozsˇ´ıˇr´ıme b pro matice. Definice (inverznı´ matice). Bud’ A ∈ Rn×n cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Jestlizˇe existuje cˇtvercova´ matice A−1 rˇa´du n, splnˇujıćı´ vztahy (4.1)

A−1 A = I = AA−1 ,

nazy´va´me matici A−1 inverznı´ maticı´ k matici A. Pozna´mka 4.2 (k existenci inverznı´ matice). Prˇedchozı´ definice nezarucˇuje existenci inverznı´ matice. K neˇktery´m cˇtvercovy´m maticı´m inverznı´ matice existuje, k neˇktery´m ne. Pozdeˇji (ve Veˇteˇ 5.1) uvidı´me, zˇe existuje jednoducha´ charakterizace matic, ke ktery´m inverznı´ matice existuje, pomocı´ determinantu. Pozna´mka 4.3. Bud’te A a B cˇtvercove´ matice rˇa´du n. I kdyzˇ na´sobenı´ matic nenı´ obecneˇ komutativnı´, lze uka´zat, zˇe pro oveˇrˇenı´ toho, zda matice B je inverznı´ matice k matici A stacˇ´ı oveˇrˇit pouze jeden z maticovyćh soucˇinu˚ AB nebo BA, protozˇe je-li jeden roven jednotkove´ matici, platı´ tote´zˇ i pro soucˇin druhy´.

Pozna´mka 4.4 (metoda vy´pocˇtu inverznı´ matice). Metoda vy´pocˇtu inverznı´ matice spocˇ´ıva´ v na´sledujıćı´m: kazˇdou cˇtvercovou matici A rˇa´du n, ke ktere´ existuje inverznı´ matice, lze konecˇny´m pocˇtem na´sledujıćıćh rˇa´dkovyćh u´prav prˇeve´st na jednotkovou matici, jsou to: (i) libovolna´ za´meˇna porˇadı´ rˇa´dku˚ matice (ii) vyna´sobenı´ nebo vydeˇlenı´ libovolne´ho rˇa´dku matice libovolny´m nenulovy´m cˇ´ıslem (iii) ponechańı´ jednoho rˇa´dku beze zmeˇny a opakovane´ prˇicˇtenı´ libovolnyćh na´sobku˚ tohoto ˇra´dku k nenulovy´m na´sobku˚m ostatnıćh rˇa´dku˚ matice Provedeme-li stejne´ u´pravy ve stejne´m porˇadı´ na jednotkove´ matici rˇa´du n, obdrzˇ´ıme matici inverznı´ k matici A, tj. matici A−1 . Povsˇimneˇte si, zˇe neprova´dı´me vu˚bec zˇa´dne´ sloupcove´ operace! Take´ nema´ smysl uvazˇovat nulove´ nebo linea´rneˇ za´visle´ rˇa´dky, protozˇe tyto se ve vy´pocˇtu neobjevı´ (procˇ, to se dozvı´me z na´sledujıćı´ho cˇlańku o determinantech a z Veˇty 5.1). 5. Determinant Definice (determinant). Bud’ A ∈ Rn×n cˇtvercova´ matice rˇa´du n. Determinant matice A je rea´lne´ cˇ´ıslo det A prˇirˇazene´ matici A na´sledujıćı´m zpu˚sobem: (i) Je-li A matice rˇa´du 1, tj. A = (a11 ), je det A = a11 . (ii) Ma´me-li definovań determinant z matice rˇa´du (n − 1) oznacˇme symbolem Mij determinant matice rˇa´du (n − 1), ktera´ vznikne z matice A vynechańı´m i-te´ho ˇra´dku a j-te´ho sloupce. Definujme algebraicky´ doplneˇk Aij prvku aij jako soucˇin Aij = (−1)i+j Mij . (iii) Konecˇneˇ, definujme determinant rˇa´du n na´sledovneˇ: zvolı´me libovolny´ index i ∈ {1, 2, . . . n} a definujeme (5.1)

det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain .

Pozna´mka 5.1 (k oznacˇenı´). Determinant matice A oznacˇujeme te´zˇ |A|. Je-li A = (aij ) pı´sˇeme zkraćeneˇ |aij | mı´sto |(aij )|. K za´meˇneˇ s absolutnı´ hodnotou mu˚zˇe dojı´t jedineˇ v prˇ´ıpadeˇ, zˇe matice A je ˇra´du jedna. V praxi se vsˇak obvykle s maticemi rˇa´du jedna nepracuje. Pozna´mka 5.2 (k definici determinantu). Vztah (5.1) se nazy´va´ rozvoj podle podle i-te´ho ˇra´dku a umozˇnˇuje zapsat determinant rˇa´du n jako soucˇet determinantu˚ rˇa´du (n − 1). Determinant je vy´sˇe uvedenou definicı´ dobrˇe definovań, lze uka´zat, zˇe neza´lezˇ´ı na vy´beˇru indexu i. V literaturˇe se cˇasto determinant definuje poneˇkud odlisˇny´m (avsˇak ekvivalentnı´m) zpu˚sobem a vztah (5.1) ma´ pote´ postavenı´ matematicke´ veˇty — nazy´va´ se Laplaceova veˇta, nebo Laplaceu˚v rozvoj determinantu podle i-te´ho rˇa´dku.

E

5. DETERMINANT

43

Pozna´mka 5.3. Aplikacı´ definice determinantu dosta´va´me pro determinanty druhe´ho a trˇetı´ho ˇra´du na´sledujıćı´ (volı´me vzˇdy i = 1): a b c d = a|d| − b|c| = ad − bc

E

a

a b i j x y

c j k = a y z

i k − b x z

i k + c x z

j = ajz + bkx + ciy − (cjx + biz + aky) y

Tyto vztahy je vhodne´ si zapamatovat. Prvnı´ z teˇchto vztahu˚ se nazy´va´ krˇ´ızˇove´ pravidlo, druhy´ Sarusovo pravidlo. Pro determinanty vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ se pocˇ´ıtańı´ prˇ´ımo z definice nehodı´, protozˇe je zdlouhave´ a vyzˇaduje znacˇne´ mnozˇstvı´ operacı´ na´sobenı´. Proto si nı´zˇe odvodı´me jinou metodu pro vy´pocˇet determinantu. Definice (regula´rnı´ a singula´rnı´ matice). Bud’ A cˇtvercova´ matice. Je-li det A = 0, ˇr´ıka´me, zˇe matice A je singula´rnı´, v opacˇne´m prˇ´ıpadeˇ rˇ´ıka´me, zˇe je regula´rnı´. Pozna´mka 5.4. Mı´sto o rˇa´dcıćh matice, ze ktere´ pocˇ´ıta´me determinant, mluvı´me neˇkdy zkraćeneˇ o ˇra´dcıćh determinantu. Podobneˇ mluvı´me o sloupcıćh determinantu. Veˇta 5.1 (souvislost determinantu s hodnostı´ a s existencı´ inverznı´ matice). Bud’A cˇtvercova´ matice rˇa´du n Na´sledujıćı´ vy´roky jsou ekvivalentnı´: (i) Rˇa´dky matice jsou linea´rneˇ neza´visle´. (ii) h(A) = n (iii) Existuje matice inverznı´ A−1 k matici A. (iv) Matice A je regula´rnı´, tj. det A 6= 0. Pozna´mka 5.5. Odsud plyne, zˇe determinant matice A je nulovy´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ matice A ma´ linea´rneˇ za´visle´ rˇa´dky (sloupce). Zejmeńa tedy determinant, jehozˇ jeden rˇa´dek nebo sloupec je bud’ nulovy´, nebo na´sobkem jine´ho rˇa´dku (sloupce), je zcela jisteˇ nulovy´. Veˇta 5.2 (determinant matice ve schodovite´m tvaru). Determinant matice, ktera´ je ve schodovite´m tvaru je roven soucˇinu prvku˚ v hlavnı´ diagona´le. Veˇta 5.3 (determinant maticove´ho soucˇinu, Cauchyova veˇta). Bud’te A, B cˇtvercove´ matice rˇa´du n. Platı´ det(AB) = (det A)(det B)

Pozna´mka 5.6. Na´sledujıćı´ veˇty o u´pravaćh determinantu bereme ve smyslu pozna´mky za Veˇtou 3.2. Tyto operace se lisˇ´ı od operacı´ zachova´vajıćıćh hodnost matice. Cˇteˇte je proto pozorneˇ a uveˇdomte si rozdı´ly mezi na´sledujıćı´mi veˇtami a Veˇtou 3.2 Veˇta 5.4 (operace zachova´vajıćı´ hodnotou determinantu). Na´sledujıćı´ operace nemeˇnı´ hodnotu determinantu matice: (i) prˇicˇtenı´ linea´rnı´ kombinace ostatnıćh rˇa´dku˚ (sloupcu˚) k jine´mu rˇa´dku (sloupci) (ii) ponechańı´ jednoho rˇa´dku (sloupce) beze zmeˇny a opakovane´ prˇicˇtenı´ libovolnyćh na´sobku˚ tohoto rˇa´dku (sloupce) k ostatnı´m rˇa´dku˚m (sloupcu˚m) matice (iii) transponovańı´ matice Veˇta 5.5 (dalsˇ´ı operace s determinantem). Na´sledujıćı´ operace meˇnı´ hodnotu determinantu popsany´m zpu˚sobem: (i) prˇehozenı´m dvou rˇa´dku˚ (sloupcu˚) determinant meˇnı´ znameńko (ii) vydeˇlı´me-li jeden rˇa´dek (sloupec) nenulovy´m cˇ´ıslem a, zmensˇ´ı se hodnota determinantu a-kra´t Pozna´mka 5.7 (vyty´kańı´ prˇed determinant). Podle bodu (ii) prˇedchozı´ veˇty, vydeˇlı´me-li jeden ˇra´dek determinantu nenulovy´m cˇ´ıslem, musı´me tı´mto cˇ´ıslem determinant opeˇt vyna´sobit, aby se hodnota determinantu

E

´ RNIĆH ROVNIC 6. SOUSTAVY LINEA

44

nezmeˇnila. Te´to operaci neˇkdy rˇ´ıka´me vyty´kańı´ prˇed determinant. Naprˇ. 1 2 1 1 2 4 2 4 8 −1 2 4 = 2 −1 2 4 = 2.4. −1 2 1 . 0 1 3 0 1 12 0 1 12

Pozna´mka 5.8 (Laplaceova veˇta pro sloupce). Protozˇe transponovańı´m matice se hodnota determinantu nemeˇnı´, je mozˇne´ vyslovit Laplaceovu veˇtu i pro sloupce matice, tj. je-li j ∈ {1, 2, . . . , n} index libovolne´ho sloupce matice A, platı´ det A = a1j A1j + a2j A2j + · · · + anj Anj ,

kde Aij oznacˇuje algebraicky´ doplneˇk prvku aij v matici A. Slovneˇ lze rozvoj podle ˇra´dku nebo sloupce vyja´drˇit konstatovańı´m, zˇe hodnota determinantu je rovna soucˇtu prvku˚ v libovolne´m ˇra´dku nebo sloupci determinantu, vyna´sobenyćh jejich algebraicky´mi doplnˇky. ˇ a´dek nebo sloupec, podle ktere´ho prova´dı´me rozvoj, je vhodne´ volit tak, aby Pozna´mka 5.9 (technicka´). R obsahoval co nejvıće nulovyćh prvku˚. V prˇ´ıpadeˇ, zˇe takovy´ rˇa´dek ani sloupec v determinantu nenı´, mu˚zˇeme jej vytvorˇit pomocı´ u´prav z Veˇty 5.4. 6. Soustavy linea´rnıćh rovnic Jedna z nejvy´znamneˇjsˇ´ıch aplikacı´ maticove´ho pocˇtu je rˇesˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic. Historicky byl vznik maticove´ algebry motivovań prˇedevsˇ´ım pracemi ty´kajıćı´mi se rˇesˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic. Pozna´mka 6.1 (Ru˚zne´ formulace proble´mu se soustavou dvou lina´rnıćh rovnic o dvou nezna´myćh.). Uvazˇujme na´sledujıćı´ trˇi proble´my: ´ loha 1: Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x1 , x2 , splnˇujıćı´ dvojici rovnic U 4x1 + 5x2 = 7 x1 − 2x2 = 4

´ loha 2: Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x1 , x2 , splnˇujıćı´ vektorovou rovnici U 4 5 7 x + x = 1 1 −2 2 4 ´ loha 3: Najdeˇte vsˇechna rea´lna´ cˇ´ısla x1 , x2 , splnˇujıćı´ maticovou rovnici U 7 4 5 x1 = 4 x2 1 −2

Vsˇechny proble´my jsou ekvivalentnı´ a jedna´ se o jiny´ za´pis te´hozˇ. Jednou vsˇak pouzˇ´ıva´me soustavu rovnic, vektory a jejich linea´rnı´ kombinaci a jednou matice a maticovy´ soucˇin! Definice (soustava linea´rnıćh rovnic). Soustavou m linea´rnıćh rovnic o n nezna´myćh nazy´va´me soustavu rovnic a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1

(6.1)

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn = b3

.. .

am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = bm

Promeˇnne´ x1 , x2 , . . . , xn nazy´va´me nezna´me´. Rea´lna´ cˇ´ısla aij nazy´va´me koeficienty levyćh stran, rea´lna´ cˇ´ısla bj koeficienty pravyćh stran soustavy rovnic. Rˇesˇenı´m soustavy rovnic rozumı´me usporˇa´danou n-tici rea´lnyćh cˇ´ısel [t1 , t2 , . . . , tn ] po jejichzˇ dosazenı´ za nezna´me´ (v tomto porˇadı´) do soustavy dostaneme ve vsˇech rovnicıćh identity.

´ RNIĆH ROVNIC 6. SOUSTAVY LINEA

45

Protozˇe pro rˇesˇenı´ soustavy rovnic jsou podstatne´ pouze jednotlive´ koeficienty1, zava´dı´me na´sledujıćı´ definici. Definice (matice soustavy). Matici  a11 a12 a13  a21 a22 a23  (6.2) A= . ..  .. . am1

am2

am3

··· ··· .. . ···

 a1n a2n   ..  . 

amn

nazy´va´me maticı´ soustavy (6.1). Matici  a11 a12 a13 · · ·  a21 a22 a23 · · ·  (6.3) Ar =  . .. ..  .. . . am1 am2 am3 · · ·

a1n a2n .. .

b1 b2 .. .

amn

bm

nazy´va´me rozsˇ´ırˇenou maticı´ soustavy (6.1).

    

Pozna´mka 6.2 (vektorovy´ za´pis soustavy linea´rnıćh rovnic). Soustavu (6.1) lze ekvivalentneˇ prˇepsat do vektorove´ho tvaru           b1 a1n a13 a12 a11  b2   a2n   a23   a22   a21            (6.4)  ..  x1 +  ..  x2 +  ..  x3 + · · · +  ..  xn =  ..  .  .   .   .   .   .  am1

am2

am3

amn

E

bm

Vidı´me tedy, zˇe se vlastneˇ jedna´ o proble´m, vyja´drˇit vektor slozˇeny´ z cˇ´ısel na prave´ straneˇ soustavy rovnic jako linea´rnı´ kombinaci vektoru˚, ktere´ tvorˇ´ı sloupce matice soustavy. (Fakt, zda pracujeme s ˇra´dkovy´mi nebo se sloupcovy´mi vektory evidentneˇ nenı´ podstatny´.) Pozna´mka 6.3 (maticovy´ za´pis soustavy linea´rnıćh rovnic). Soustavu (6.1) lze ekvivalentneˇ prˇepsat do maticove´ho tvaru pomocı´ maticove´ho soucˇinu      b1 x1 a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n   x2   b2        . .. ..   ..  =  ..  . ..  .. . . .  .   .  bm xn am1 am2 · · · amn Tento tvar se pouzˇ´ıva´ cˇasto v inzˇeny´rskyćh vy´pocˇtech pro u´spornost. Symbolicky zpravidla pı´sˇeme soustavu linea´rnıćh rovnic ve tvaru A~x = ~b, kde A je matice soustavy a ~b je vektor pravyćh stran.

O rˇesˇitelnosti soustavy rovnic na´m da´va´ informaci na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 6.1 (Frobeniova veˇta, Kronecker–Capelliho veˇta). Soustava (6.1) je rˇesˇitelna´ pra´veˇ tehdy, kdyzˇ jejı´ matice soustavy (6.2) a rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy (6.3) majı´ stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar ). Jedna z nejjednodusˇsˇ´ıch metod pro nalezenı´ rˇesˇenı´ soustavy linea´rnıćh rovnic je Gaussova metoda neu´plne´ eliminace. Tato metoda spocˇ´ıva´ v tom, zˇe soustavu rovnic nahrazujeme postupneˇ jiny´mi soustavami, ktere´ majı´ stejnou mnozˇinu rˇesˇenı´. Toto prova´dı´me tak dlouho, dokud nedojdeme k soustaveˇ, kterou umı´me vyrˇesˇit. V praxi vesˇkere´ operace prova´dı´me prˇ´ımo na rozsˇ´ırˇene´ matici soustavy a to tak, zˇe tuto matici prˇevedeme na schodovity´ tvar pomocı´ libovolnyćh rˇa´dkovyćh operacı´, ktere´ jsme pouzˇ´ıvali prˇi zjisˇt’ovańı´ hodnosti matice ve Veˇteˇ 3.2. Je trˇeba dba´t na to, abychom pouzˇ´ıvali du˚sledneˇ pouze ˇra´dkove´ operace a je trˇeba se vyvarovat manipulace se sloupci matice! Je-li rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy ve schodovite´m tvaru, vidı´me okamzˇiteˇ, zda je soustava rˇesˇitelna´ (viz. Frobeniova veˇta) a pokud ano, jsme schopni odspodu dopocˇ´ıtat jednotlive´ nezna´me´. Prˇitom nastane jeden z na´sledujıćıćh prˇ´ıpadu˚: 1Mlcˇky prˇedpokla´da´me, zˇe alesponˇ jeden koeficient u kazˇde´ nezna´me´ je nenulovy´, tj. zˇe kazˇda´ nezna´ma´ se v soustaveˇ skutecˇneˇ

alesponˇ jednou vyskytuje.

E

E

7. SHRNUTI´

46

(i) Soustava nema´ rˇesˇenı´, pokud h(A) 6= h(Ar ). (V tomto prˇ´ıpadeˇ je h(Ar ) = h(A) + 1.) (ii) Soustava ma´ pra´veˇ jedno rˇesˇenı´, pokud h(A) = h(Ar ) = n. (iii) Soustava ma´ nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´, pokud h(A) = h(Ar ) < n. Tato ˇresˇenı´ lze vyja´drˇit pomocı´ (n − h(A)) neza´vislyćh parametru˚. Definice (homogennı´ soustava linea´rnıćh rovnic). Platı´-li v soustaveˇ (6.1) b1 = b2 = · · · = bm = 0,

nazy´va´ se soustava (6.1) homogennı´. Pozna´mka 6.4 (trivia´lnı´ rˇesˇenı´). Homogennı´ soustava linea´rnıćh rovnic je vzˇdy ˇresˇitelna´. Vskutku — matice soustavy a rozsˇ´ırˇena´ matice soustavy se lisˇ´ı pouze sloupcem slozˇeny´m ze samyćh nul a majı´ tedy stejne´ hodnosti. Navıć po dosazenı´ okamzˇiteˇ vidı´me, zˇe n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 je ˇresˇenı´m. Toto rˇesˇenı´ nazy´va´me trivia´lnı´. U homogennıćh soustav linea´rnıćh rovnic tedy bud’existuje pouze trivia´lnı´ rˇesˇenı´, nebo existuje nekonecˇneˇ mnoho rˇesˇenı´. Pozna´mka 6.5 (vektorovy´ za´pis homogennı´ soustavy linea´rnıćh rovnic). Zapı´sˇeme-li homogennı´ soustavu linea´rnıćh vektoroveˇ, vidı´me, zˇe se vlastneˇ jedna´ o proble´m nale´zt linea´rnı´ kombinaci sloupcu˚ matice soustavy, ktera´ je rovna nulove´mu vektoru. Takova´ linea´rnı´ kombinace vzˇdy existuje – naprˇ´ıklad trivia´lnı´ linea´rnı´ kombinace. Pokud ma´ proble´m jesˇteˇ jine´ rˇesˇenı´, znamena´ to, zˇe sloupce matice soustavy jsou linea´rneˇ za´visle´ — viz. str. 38. Vsˇechny pojmy, ktere´ jsme si v souvislosti s linea´rnı´ algebrou uva´deˇli spolu u´zce souvisı´. Nejle´pe je tato souvislost videˇt u cˇtvercovyćh matic, zformulujme si tedy na´sledujıćı´ veˇtu, ktera´ rozsˇirˇuje Veˇtu 5.1. Veˇta 6.2. Bud’A cˇtvercova´ matice rˇa´du n Na´sledujıćı´ vy´roky jsou ekvivalentnı´: (i) Rˇa´dky matice jsou tvorˇeny linea´rneˇ neza´visly´mi vektory z Rn . (ii) Sloupce matice jsou tvorˇeny linea´rneˇ neza´visly´mi vektory z Rn . (iii) Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n (iv) Matice A je invertibilnı´, tj. existuje matice A−1 k nı´ inverznı´. (v) Matice A je regula´rnı´, tj. det A 6= 0. (vi) Soustava linea´rnıćh rovnic, jejı´zˇ matice soustavy je matice A, ma´ pro libovolnou volbu koeficientu˚ na pravyćh stranaćh rovnic jedine´ rˇesˇenı´. (vii) Homogennı´ soustava linea´rnıćh rovnic, jejı´zˇ matice soustavy je matice A, ma´ pouze trivia´lnı´ rˇesˇenı´. (viii) Kazˇdy´ algebraicky´ vektor z Rn lze vyja´drˇit jako linea´rnı´ kombinaci vektoru˚ tvorˇenyćh rˇa´dky (sloupci) matice A, a to jednoznacˇneˇ, azˇ na porˇadı´.

E

Na´sledujıćı´ veˇta ukazuje jednu z aplikacı´ inverznı´ matice. Veˇta 6.3. Uvazˇujme soustavu linea´rnıćh rovnic, jejı´zˇ matice soustavy je cˇtvercova´ matice A a vektor pravyćh stran je sloupcovy´ vektor B. Prˇedpokla´dejme, zˇe k matici A existuje inverznı´ matice A−1 . Potom ma´ soustava jedine´ rˇesˇenı´, jehozˇ jednotlive´ slozˇky jsou prvky sloupcove´ho vektoru A−1 · B, kde tento uvedeny´ soucˇin cha´peme v maticove´m smyslu. 7. Shrnutı´ Linea´rnı´ algebra se zaby´va´ vektory a maticemi, ktere´ je mozˇne´ cha´pat jako jake´si zobecneˇnı´ rea´lnyćh cˇ´ısel do vysˇsˇ´ıch dimenzı´. Hlavnı´ motivacı´ pro vznik takove´hoto apara´tu byla potrˇeba podat ućˇinne´ metody pro ˇresˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic. Aplikace se vsˇak neomezujı´ pouze na soustavy linea´rnıćh rovnic ale i na mnohe´ dalsˇ´ı inzˇeny´rske´ proble´my. Jazyk linea´rnı´ algebry je naprˇ´ıklad za´kladnı´m jazykem i v analyticke´ geometrii obecnyćh n-rozmeˇrnyćh prostoru˚ a take´ jisty´m startovnı´m bodem prˇi studiu nekonecˇneˇdimenziona´lnıćh prostoru˚. Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ımi pojmy souvisejıćı´mi s vektory jsou pojmy linea´rnı´ kombinace, linea´rnı´ za´vislost a linea´rnı´ neza´vislost vektoru˚. Matice je objekt, obsahujıćı´ jizˇ veˇtsˇ´ı pocˇet cˇ´ısel (velicˇin) nezˇ vektor, a proto se prˇi studiu matic opı´ra´me o tzv. cˇ´ıselne´ charakteristiky matic – matici je prˇirˇazene´ cˇ´ıslo, ktere´ „cosi“ o matici vypovı´da´. Z teˇchto

E

7. SHRNUTI´

47

charakteristik jsou nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı hodnost a determinant, ktery´m jsme se veˇnovali v textu. Absenci operace deˇlenı´ u matic lze v neˇkteryćh prˇ´ıpadech obejı´t pomocı´ pojmu inverznı´ matice, ktery´ je „cosi jako“ prˇevraćena´ hodnota matice vzhledem k operaci na´sobenı´. Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı praktickou aplikacı´ maticove´ho pocˇtu je rˇesˇenı´ soustav linea´rnıćh rovnic. Z tohoto hlediska pro na´s bude z teoretickyćh pojmu˚ nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı pojem hodnost matice.

KAPITOLA 4

Nelinea´rnı´ rovnice, numericka´ matematika V te´to kapitole si uvedeme neˇktere´ standardnı´ postupy prˇi rˇesˇenı´ u´loh tzv. numericke´ matematiky 1. Algebraicke´ rovnice Nejprve budme studovat rovnice obsahujıćı´ nejjednodusˇsˇ´ı funkce – polynomy. Definice (algebraicka´ rovnice). Bud’ n prˇirozene´ cˇ´ıslo a (1.1)

Pn (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−2 x2 + an−1 x + an

polynom stupneˇ n s rea´lny´mi koeficienty a0 , a1 , . . . an , kde a0 6= 0. Koeficient a0 se nazy´va´me vedoucı´ koeficient polynomu Pn (x) a koeficient an absolutnı´ cˇlen polynomu Pn (x). Cˇlen a0 xn nazy´va´me vedoucı´ cˇlen polynomu Pn (x). Algebraickou rovnicı´ stupneˇ n rozumı´me rovnici tvaru Pn (x) = 0, tj. (1.2)

a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−2 x2 + an−1 x + an = 0

Pozna´mka 1.1 (nejjednodusˇsˇ´ı polynomy). Polynom nulte´ho stupneˇ je konstantnı´ funkce. Polynom prvnı´ho stupneˇ nazy´va´me linea´rnı´ polynom a jeho grafem je prˇ´ımka (k sestrojenı´ grafu na´m tedy stacˇ´ı zna´t dva body, ktere´ na grafu lezˇ´ı). Polynom druhe´ho stupneˇ nazy´va´me kvadraticky´ polynom, jeho grafem je parabola. Polynom trˇetı´ho stupneˇ nazy´va´me kubicky´ polynom, jeho grafem je kubicka´ parabola. Definice (korˇen polynomu, rˇesˇenı´ algebraicke´ rovnice). Rˇesˇenı´m (korˇenem) algebraicke´ rovnice (1.2) (korˇenem polynomu (1.1)) rozumı´me cˇ´ıslo c, splnˇujıćı´ Pn (c) = 0, tj. splnˇujıćı´ po dosazenı´ za x rovnost (1.2). Prˇ´ıklad 1.1. Cˇ´ısla x = 1 a x = −2 jsou korˇeny polynomu (1.3)

P (x) = x3 + 2x2 − x − 2.

Vskutku, prˇ´ımy´m vy´pocˇtem lze oveˇrˇit, zˇe P (1) = 0 a P (−2) = 0. Cˇ´ıslo x = 3 naopak nenı´ korˇenem tohoto polynomu, protozˇe P (3) = 40 6= 0. O rˇesˇitelnosti algebraickyćh rovnic vypovı´da´ na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 1.1 (za´kladnı´ veˇta algebry). V oboru komplexnıćh cˇ´ısel ma´ kazˇdy´ nekonstantnı´ polynom korˇen. Na´sledujıćı´ definice a veˇta uda´vajı´ jednu z ekvivalentnıćh formulacı´ definice korˇene polynomu. Definice (korˇenovy´ cˇinitel). Je-li c korˇenem polynomu (1.1), pak linea´rnı´ polynom (x − c) s promeˇnnou x nazy´va´me korˇenovy´ cˇinitel prˇ´ıslusˇny´ ke korˇeni c. Veˇta 1.2 (veˇta o deˇlenı´ polynomu˚ korˇenovy´m cˇinitelem). Cˇ´ıslo c je korˇenem polynomu (1.1) pra´veˇ tehdy, kdyzˇ existuje polynom Qn−1 (x) stupneˇ (n − 1) s vlastnostı´ (1.4)

Pn (x) = (x − c)Qn−1 (x).

Prˇ´ıklad 1.2. Polynom (1.3) mu˚zˇe by´t zapsań v na´sledujıćıćh ekvivalentnıćh tvarech y = (x − 1)(x2 + 3x + 2),

y = (x + 2)(x2 − 1),

y = (x − 1)(x + 1)(x + 2).

Cˇtena´rˇ mu˚zˇe snadno zkontrolovat ekvivalentnost teˇchto vyja´drˇenı´ rozna´sobenı´m za´vorek a secˇtenı´m odpovı´dajıćıćh mocnin.

48

E

1. ALGEBRAICKE´ ROVNICE

49

Pozna´mka 1.2 (deˇlenı´ korˇenovy´m cˇinitelem). Veˇta 1.2 tedy rˇ´ıka´, zˇe polynom lze beze zbytku vydeˇlit korˇenovy´m cˇinitelem. Toto deˇlenı´ polynomu je vhodne´ prova´deˇt pomocı´ Hornerova schematu. Toto schema na´m poslouzˇ´ı soucˇasneˇ i prˇi vy´pocˇtu funkcˇnıćh hodnot polynomu, protozˇe vyzˇaduje mensˇ´ı pocˇet operacı´ na´sobenı´, nezˇ jaky´ bychom museli prova´deˇt, kdybychom pocˇ´ıtali funkcˇnı´ hodnoty prˇ´ımo z vyja´drˇenı´ (1.1). Je mozˇne´ dokonce uka´zat na´sledujıćı´ zobecneˇnı´ Veˇty 1.2. Veˇta 1.3 (veˇta o zbytku prˇi deˇlenı´ polynomu˚). Zbytek po deˇlenı´ polynomu P (x) poylnomem (x − c) je pra´veˇ P (c).

E

Je-li cˇ´ıslo c korˇenem polynomu (1.2), mu˚zˇe by´t i korˇenem polynomu Qn−1 (x) z Veˇty 1.2. Proto ma´ smysl na´sledujıćı´ definice. ˇ ekneme zˇe tento korˇen je k-na´sobny´, Definice (na´sobnost korˇene). Necht’c je korˇenem polynomu (1.1). R jestlizˇe existuje polynom Qn−k (x) stupneˇ n − k takovy´, zˇe platı´ (1.5)

Pn (x) = (x − c)k Qn−k (x)

a

Qn−k (c) 6= 0

Veˇta 1.4. Polynomy Pn (x) a Qn−k (x) z prˇedchozı´ definice majı´ stejne´ korˇeny vcˇetneˇ na´sobnosti, s vy´jimkou korˇene c. Pozna´mka 1.3 (technicka´). Z prˇedchozı´ veˇty plyne, zˇe hleda´me-li korˇeny polynomu Pn (x), je vhodne´ po nalezenı´ jednoho z nich vydeˇlit polynom Pn (x) korˇenovy´m cˇinitelem prˇ´ıslusˇny´m tomuto korˇeni „maxima´lneˇ-mozˇneˇ-kra´t“. Tı´m zjistı´me na´sobnost korˇene (je to cˇ´ıslo, uda´vajıćı´, kolikra´t se na´m podarˇilo prove´st deˇlenı´ beze zbytku) a obdrzˇ´ıme polynom Qn−k (x) z prˇedchozı´ definice (je to poslednı´ podı´l, ktery´ vysˇel beze zbytku). Da´le budeme hledat korˇeny polynomu Qn−k (x). Ten je totizˇ nizˇsˇ´ıho stupneˇ a tedy jednodusˇsˇ´ı. Pojem na´sobnosti korˇene lze ekvivalentneˇ zave´st pomocı´ derivacı´ polynomu P (x). Tuto ekvivalentnı´ formulaci si uvedeme v na´sledujıćı´ veˇteˇ. Veˇta 1.5 (souvislost na´sobnosti korˇene s derivacı´). Cˇ´ıslo c je k-na´sobny´m korˇenem polynomu (1.1) (rovnice (1.2)) pra´veˇ tedy, kdyzˇ platı´ a

Pn (c) = Pn′ (c) = Pn′′ (c) = · · · = Pn(k−1) (c) = 0 Pn(k) (c) 6= 0,

tj. cˇ´ıslo c je korˇenem polynomu Pn (x) a vsˇech jeho derivacı´ do rˇa´du (k − 1) vcˇetneˇ a nenı´ korˇenem derivace rˇa´du k. Pozna´mka 1.4 (souvislost na´sobnosti korˇene se zmeˇnou znameńka). V bodeˇ, ktery´ je korˇenem na´sobnosti alesponˇ 2 ma´ polynom vzˇdy vodorovnou tecˇnu. Dalsˇ´ı vlastnosti se rˇ´ıdı´ tı´m, jedna´-li se o korˇen sude´ nebo liche´ na´sobnosti (viz Obra´zek 1). • V okolı´ korˇene liche´ na´sobnosti polynom meˇnı´ znameńko, je monotonnı´ a jedna´-li se o korˇen na´sobnosti alesponˇ 3, ma´ zde funkce inflexnı´ bod. • V okolı´ korˇene sude´ na´sobnosti polynom nemeˇnı´ znameńko a ma´ zde loka´lnı´ extre´m. Pozna´mka 1.5 (urcˇovańı´ znameńka raciona´lnı´ lomene´ funkce). Prˇedesˇlou pozna´mku mu˚zˇeme spolu s Pozna´mkou 5.2 na straneˇ 19 vyuzˇ´ıt prˇi zjisˇt’ovańı´, na kteryćh intervalech je raciona´lnı´ funkce (tj. podı´l dvou polynomu˚) kladna´ a na kteryćh je za´porna´. Prˇedpokla´dejme, zˇe cˇitatel i jmenovatel majı´ ru˚zne´ korˇeny.1 Vyneseme-li na osu x vsˇechny nulove´ body funkce (tj. korˇeny polynomu figurujıćı´ho v cˇitateli) a vsˇechny body nepojitosti (tj. korˇeny polynomu figurujıćı´ho ve jmenovateli), rozpadne se osa x na syste´m podintervalu˚. Bolzanova veˇta zarucˇuje, zˇe uvnitrˇ zˇa´dne´ho zı´skane´ho podintervalu nemu˚zˇe vy´raz zmeˇnit znameńko. Veˇta 1.5 ukazuje, jak spolu souvisı´ znameńka funkce v sousednıćh intervalech – jsou stejna´, pokud jsou intervaly oddeˇleny korˇenem sude´ na´sobnosti a ru˚zna´, pokud jsou oddeˇleny korˇenem na´sobnosti liche´. Stacˇ´ı tedy znameńko funkce urcˇit jenom v jednom libovolne´m podintervalu a ostatnı´ znameńka zı´ska´me jizˇ snadno. 1Pokud tomu tak nenı´, stacˇ´ı zlomek zkra´tit prˇ´ıslusˇny´m korˇenovy´m cˇinitelem.

E

1. ALGEBRAICKE´ ROVNICE

na´sobnost 1 c

na´sobnost 3 c

50

na´sobnost 2 c

na´sobnost 4 c

OBRA´ZEK 1. Souvislost znameńkove´ zmeˇny a na´sobnosti korˇene Opakovany´m aplikovańı´m Veˇty 1.2 a za´kladnı´ veˇty algebry dosta´va´me na´sledujıćı´ tvrzenı´. Veˇta 1.6 (pocˇet komplexnıćh korˇenu˚). V oboru komplexnıćh cˇ´ısel ma´ kazˇdy´ polynom (kazˇda´ algebraicka´ rovnice) stupneˇ n pra´veˇ n korˇenu˚. Prˇitom kazˇdy´ korˇen pocˇ´ıta´me i s jeho na´sobnostı´. V praxi na´s cˇasto zajı´majı´ pouze rea´lne´ korˇeny. Modifikace prˇedchozı´ veˇty pro rea´lne´ korˇeny je na´sledujıćı´.

Veˇta 1.7 (pocˇet rea´lnyćh korˇenu˚). V oboru rea´lnyćh cˇ´ısel ma´ kazˇdy´ polynom (kazˇda´ algebraicka´ rovnice) stupneˇ n celkem bud’n korˇenu˚, nebo o sudy´ pocˇet meńeˇ. Prˇitom kazˇdy´ korˇen pocˇ´ıta´me i s jeho na´sobnostı´. Pozna´mka 1.6 (filozoficka´). Umı´me vyrˇesˇit libovolnou linea´rnı´ a kvadratickou rovnici. Lze vyrˇesˇit i libovolnou algebraickou rovnici rˇa´du 3 a 4. Nenı´ vsˇak mozˇne´ sestrojit algoritmus pro nalezenı´ korˇenu˚ rovnice rˇa´du 5 a vıće! Rovnice vysˇsˇ´ıch rˇa´du˚ umı´me vyrˇesˇit jenom v neˇkteryćh specia´lnıćh prˇ´ıpadech. Jsou-li naprˇ´ıklad vsˇechny koeficienty v rovnici cela´ cˇ´ısla, umı´me (jak si uvedeme nı´zˇe) nale´zt alesponˇ vsˇechny celocˇ´ıselne´ korˇeny. Pozna´mka 1.7 (technicka´). Pro rˇadu u´loh v matematice je vhodne´ umeˇt rozlozˇit polynom na soucˇin polynomu˚ jednodusˇsˇ´ıch. Lze uka´zat, zˇe kazˇdy´ polynom lze rozlozˇit na soucˇin, kde jsou jenom korˇenove´ cˇinitele (tj. linea´rnı´ polynomy tvaru (x − c) u jednoduchyćh korˇenu˚ a tvaru (x − c)k u k-na´sobnyćh korˇenu˚) a prˇ´ıpadneˇ kvadraticke´ vy´razy, ktere´ nemajı´ rea´lne´ korˇeny, nebo mocniny teˇchto kvadratickyćh vy´razu˚ — toto vsˇak nenı´ mozˇne´ prove´st bez znalosti korˇenu˚ tohoto polynomu. V praxi tedy doka´zˇeme zpravidla rozlozˇit na soucˇin pouze kvadraticke´ polynomy, polynomy ktere´ majı´ celocˇ´ıselne´ korˇeny, prˇ´ıpadneˇ polynomy, kde rozklad na soucˇin lze prove´st postupny´m vyty´kańı´m.

1.1. Odhady korˇenu˚ algebraickyćh rovnic. Veˇta 1.8 (nutna´ podmıńka pro celocˇ´ıselne´ korˇeny). Necht’vsˇechny koeficienty polynomu (1.1) jsou cela´ cˇ´ısla. Je-li c ∈ Z korˇenem tohoto polynomu, pak je cˇ´ıslo an deˇlitelne´ cˇ´ıslem c, tj. c|an . Pozna´mka 1.8 (prakticky´ vy´znam prˇedchozı´ veˇty). Prˇedchozı´ veˇta se ty´ka´ pouze polynomu˚ s celocˇ´ıselny´mi koeficienty a rˇ´ıka´, zˇe celocˇ´ıselny´m korˇenem takove´ho polynomu mu˚zˇe by´t pouze deˇlitel absolutnı´ho cˇlene. Je tedy mozˇne´ si vsˇechny deˇlitele vypsat (je-li an 6= 0, je jich konecˇneˇ mnoho!) a po ˇradeˇ je otestovat, naprˇ. Hornerovy´m schematem. Navıć, najdeme-li takovy´ korˇen, zjistı´me opakovany´m deˇlenı´m soucˇasneˇ i jeho na´sobnost. Je-li da´le algebraicka´ rovnice normovana´, tj. a0 = 1, jsou jejı´ rea´lne´ korˇeny pouze celocˇ´ıselne´ nebo iraciona´lnı´. Korˇeny, ktere´ nejsou celocˇ´ıselne´, neumı´me obecneˇ u polynomu nale´zt. Proto si uka´zˇeme neˇktere´ prˇiblizˇne´ metody pro jejich nalezenı´. Nasˇ´ım u´kolem je zjistit (odhadnout) pocˇet rea´lnyćh korˇenu˚, najı´t interval ve ktere´m tyto korˇeny lezˇ´ı a korˇeny odseparovat, tj. nale´zt syste´m intervalu˚ s takovou vlastnostı´, zˇe kazˇdy´ interval obsahuje pra´veˇ jeden korˇen polynomu (viz da´le). Veˇta 1.9 (ohranicˇenost korˇenu˚). Bud’te xi (pro i = 1..n) korˇeny (i komplexnı´) polynomu (1.1) (algebraicke´ rovnice (1.2)). Platı´ A , (1.6) |xi | < 1 + |a0 |

kde A = max{|ai |, i = 1..n}.

E

2. PRˇIBLIZˇNE´ RˇESˇENI´ ROVNIC

51

Prˇ´ıklad 1.3 (odhad velikosti korˇenu˚). Pro korˇeny xi polynomu P (x) = 2x6 − x3 + 4x2 + x − 6 platı´ 6 |xi | < 1 + = 4. 2 Pro odhad pocˇtu rea´lnyćh kladnyćh korˇenu˚ slouzˇ´ı na´sledujıćı´ veˇta. Veˇta 1.10 (Descartova veˇta). Pocˇet kladnyćh korˇenu˚ polynomu (1.1) (algebraicke´ rovnice (1.2)) je roven pocˇtu znameńkovyćh zmeˇn v posloupnosti koeficientu˚ a0 , a1 , a2 , . . ., an , nebo o sude´ cˇ´ıslo mensˇ´ı. Prˇ´ıpadne´ koeficienty, ktere´ jsou rovny nule, prˇitom neuvazˇujeme. Pozna´mka 1.9 (jeden z du˚sledku˚ prˇedchozı´ veˇty). Okamzˇity´m du˚sledkem te´to veˇty je na´sledujıćı´ tvrzenı´: Polynom, jehozˇ vsˇechny koeficienty jsou neza´porna´ cˇ´ısla nemu˚zˇe mı´t kladne´ korˇeny. Prˇ´ıklad 1.4 (pocˇet kladnyćh korˇenu˚). Polynom P (x) = x8 − x5 + x3 + x2 − x + 1 ma´ bud’4 nebo 2 nebo zˇa´dny´ rea´lny´ kladny´ korˇen. Prˇ´ıklad 1.5 (pocˇet kladnyćh korˇenu˚). Polynom P (x) = 2x6 − x3 + 4x2 + x − 6 ma´ 3 nebo 1 kladny´ rea´lny´ korˇen. Tyto korˇeny lezˇ´ı v intervalu (0, 4) — viz Prˇ´ıklad 1.3. Prˇ´ıklad 1.6 (hledańı´ celocˇ´ıselnyćh korˇenu˚ a rozklad na soucˇin). Nalezneˇme v oboru celyćh cˇ´ısel vsˇechna ˇresˇenı´ rovnice x5 + x4 − 5x3 − 9x2 − 24x − 36 = 0.

Celocˇ´ıselny´mi korˇeny mohou by´t pouze cˇ´ısla, ktera´ deˇlı´ cˇ´ıslo 36, tj. ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. Tato cˇ´ısla postupneˇ vyzkousˇ´ıme (i jejich na´sobnostı´, pokud se bude jednat o korˇeny) Hornerovy´m schematem. 1 1 −5 −9 −24 −36 1 1 2 −3 −12 −36 −72 −1 1 0 −5 −4 −20 −16 1 3 1 −7 −38 6= 0 2 −2 1 −1 −3 −3 −18 || 01 −2 1 −3 3 −9 || 02 −2 1 −5 13 −353 1 0 3 || 04 3 −3 1 −3 12 Pozna´mky: 1) x = −2 je korˇenem na´sobnosti alesponˇ jedna. Musı´me oveˇrˇit na´sobnost tohoto korˇene. Navıć ma´ da´le smysl testovat pouze deˇlitele cˇ´ısla 18. 2) x = −2 je korˇenem na´sobnost alesponˇ dva. Zkusı´me oveˇrˇit, zda se nejedna´ o korˇen na´sobnosti trˇi nebo vıće. 3) x = −2 tedy je korˇen na´sobnosti pouze dva. Pilneˇjsˇ´ı cˇtena´rˇi si jisteˇ vsˇimli, zˇe tento ˇra´dek nebylo nutne´ psa´t. Dvojka totizˇ nenı´ deˇlitelem cˇ´ısla −9, ktere´ je absolutnı´m cˇlenem polynomu, ktery´ odpovı´da´ poslednı´mu podtrzˇene´mu rˇa´dku. 4) x = 3 je korˇenem na´sobnosti alesponˇ jedna. navıć ma´ smysl testovat da´le jenom deˇlitele cˇ´ısla 3 a jenom za´porna´ cˇ´ısla, protozˇe da´le uvazˇujeme polynom, ktery´ ma´ pouze kladne´ koeficienty. Z tohoto du˚vodu nemu˚zˇe by´t cˇ´ıslo x = 3 na´sobny´m korˇenem a zby´va´ pouze cˇ´ıslo −3. Vy´sledky: Nasˇli jsme trˇi celocˇ´ıselne´ korˇeny x1,2 = −2 a x3 = 3. Rozklad leve´ strany rovnice na soucˇin je (x + 2)2 (x − 3)(x2 + 3) = 0.

Odsud lze videˇt, zˇe zbyle´ dva korˇeny nejsou rea´lna´ cˇ´ısla, tj. x4,5 6∈ R (rovnice x2 + 3 = 0 nema´ v oboru rea´lnyćh cˇ´ısel rˇesˇenı´). 2. Prˇiblizˇne´ rˇesˇenı´ rovnic Budeme se zaby´vat u´kolem najı´t prˇiblizˇne´ rˇesˇenı´ rovnice (2.1)

f (x) = 0,


52

kde f (x) je spojita´ funkce. Je-li funkce f polynom, jedna´ se, jak jsme videˇli v prˇedchozı´m, o algebraickou rovnici. Prˇi prˇiblizˇne´m rˇesˇenı´ rovnic zpravidla ma´me k dipozici jisty´ pocˇa´tecˇnı´ odhad, ktery´ na´m uda´va´ prˇiblizˇnou polohu korˇene, a nasˇ´ım u´kolem je tento pocˇa´tecˇnı´ odhad zprˇesnit na pozˇadovanou prˇesnost. Tento pocˇa´tecˇnı´ odhad zı´ska´me naprˇ´ıklad graficky´m rˇesˇenı´m rovnice, pouzˇitı´m specializovanyćh metod v prˇ´ıpadeˇ neˇkteryćh rovnic (naprˇ´ıklad u algebraickyćh rovnic) nebo v nouzi hrubou vy´pocˇetnı´ silou strˇelbou naslepo. ´ mluva. R ˇ ekneme, zˇe cˇ´ıslo c je korˇenem funkce (2.1) s prˇesnostı´ alesponˇ ε (s chybou nejvy´sˇe ε), jestlizˇe U se od skutecˇne´ho korˇene polynomu lisˇ´ı nejvy´sˇe o hodnotu ε, tj. pokud skutecˇny´ korˇen lezˇ´ı v intervalu (c − ε, c + ε). S prˇesnostı´ alesponˇ ε tedy korˇen nalezneme, pokud najdeme interval de´lky nejvy´sˇe 2ε, ve ktere´m je tento korˇen obsazˇen. Je-li naprˇ´ıklad [a, b] interval, na ktere´m spojita´ funkce f (x) meˇnı´ znameńko, je podle Bolzanovy veˇty strˇed tohoto intervalu korˇenem funkce f (x) s prˇesnostı´ alesponˇ poloviny de´lky tohoto intervalu. Vypocˇteme-li b−a a+b aε= , je korˇen funkce roven c ± ε. V praxi zpravidla chybu ε uda´va´me na jednu tedy c = 2 2 platnou cˇ´ıslici (zaokrouhlujeme pouze nahoru!) a prˇiblizˇnou hodnotu korˇene zaokrouhlujeme na stejny´ pocˇet desetinnyćh mı´st. Zaokrouhlujeme-li meze intervalu [a, b], je nutno zaokrouhlovat tak, aby zˇa´dne´ cˇ´ıslo z tohoto intervalu po zaokrouhlenı´ nevypadlo, tj. dolnı´ mez zaokrouhlujeme pouze dolu˚ a hornı´ mez pouze nahoru. 2.1. Metoda pu˚lenı´ intervalu. Metoda pu˚lenı´ intervalu na´m umozˇnˇuje hledat korˇeny rovnice, ktere´ souvisı´ se znameńkovou zmeˇnou. Tuto metodu je tedy mozˇno pouzˇ´ıt naprˇ´ıklad pro hledańı´ korˇenu˚ algebraicke´ rovnice, ktere´ majı´ lichou na´sobnost2. Prˇedpokla´dejme, zˇe funkce f (x) naby´va´ v bodech x = a a x = b funkcˇnıćh hodnot s opacˇny´m znameńkem. Metoda pu˚lenı´ intervalu spocˇ´ıva´ v tom, zˇe vypocˇteme a+b funkcˇnı´ hodnotu v bodeˇ x = c, ktery´ lezˇ´ı v polovineˇ intervalu (a, b), tj. v bodeˇ, pro ktery´ platı´ c = . 2 Pokud platı´ f (c) = 0, zı´skali jsme korˇen. Pokud platı´ f (c) 6= 0, potom na jednom z intervalu˚ (a, c) a (c, b) funkce f (x) meˇnı´ znameńko. Tento interval bude novou (lepsˇ´ı) lokalizacı´ korˇene. Od intervalu (a, b) jsme takto prˇesˇli k intervalu polovicˇnı´ de´lky, tj. snı´zˇili jsme maxima´lnı´ chybu na polovinu. Dalsˇ´ım provedenı´m tohoto postupu snı´zˇ´ıme maxima´lnı´ velikost chyby opeˇt na polovinu a toto opakujeme tak dlouho, dokud nenı´ chyba dostatecˇneˇ mala´. Prˇ´ıklad 2.1 (metoda pu˚lenı´ intervalu). Nalezneˇte kladne´ rea´lne´ korˇeny polynomu P (x) = x3 + x − 1 s prˇesnostı´ alesponˇ 0, 03. Rˇesˇenı´. Korˇeny polynomu lezˇ´ı v intervalu (−2, 2) (viz nerovnost (1.6)). Polynom ma´ jeden kladny´ korˇen (Veˇta 1.10). Vy´pocˇtem funkcˇnıćh hodnot v bodech x = 0 a x = 1 zjistı´me, zˇe jediny´ rea´lny´ korˇen rovnice lezˇ´ı v intervalu (0, 1). Metodu pu˚lenı´ intervalu˚ zapı´sˇeme do na´sledujıćı´ tabulky. a+b b−a a c= b P (a) P (c) P (b) ε = 2 2 0 0.5 1 − −0.37 + 0.5 0.75 1 − +0.17 + 0.5 0.625 0.75 − −0.13 + 0.625 0.6875 0.75 − +0.01 + 0.62 0.625 0.6563 0.6875 − −0.06 + 0.0312 0.6563 0.6719 0.6875 0.0156 Korˇenem je tedy x = 0.67 ± 0.02, tj. korˇen lezˇ´ı v intervalu (0.65; 0.69). 2.2. Banachova veˇta o pevne´m bodu a metoda proste´ iterace. Neˇkdy je vy´hodne´ rovnici f (x) = 0 prˇepsat do tvaru (2.2)

g(x) = x

2V praxi je rozumne´ pouzˇitı´ te´to metody pouze pro hledańı´ korˇenu˚ na´sobnosti jedna a jsou vypracovańy metody jak snadno nahradit polynom s na´sobny´mi korˇeny polynomem, ktery´ ma´ stejne´ korˇeny, ale jednoduche´.

E


53

a hledat tedy bod, ktery´ se prˇi zobrazenı´ funkcı´ g(x) zobrazı´ sa´m na sebe. Naprˇ´ıklad rovnici cos(x) − x = 0

mu˚zˇeme prˇepsat do tvaru cos(x) = x.

Proble´m najı´t bod, ve ktere´m funkce f (x) = cos(x) − x protıńa´ osu x se tı´m modifikuje na proble´m najı´t bod, ktery´ se po aplikaci funkce g(x) = cos(x) zobrazı´ sa´m na sebe. Definice (pevny´ bod). Cˇ´ıslo x∗ se nazy´va´ pevny´ bod funkce g(x), jestlizˇe platı´ g(x∗ ) = x∗ , tj. jestlizˇe toto cˇ´ıslo je rˇesˇenı´m rovnice (2.2). Pozna´mka 2.1 (pevny´ bod). Z definice ihned vidı´me, zˇe pevny´ bod funkce y = g(x) je pru˚secˇ´ıkem grafu te´to funkce s grafem funkce y = x. Veˇta 2.1 (Banachova veˇta o pevne´m bodu). Necht’g(x) je funkce spojita´ na uzavrˇene´m intervalu [a, b], ktera´ (i) zobrazuje interval [a, b] do sebe (ii) je diferencovatelna´ na intervalu (a, b) a splnˇuje zde pro neˇjakou rea´lnou konstantu L ∈ (0, 1) nerovnost (2.3)

|g ′ (x)| < L

Pak ma´ funkce g(x) na intervalu [a, b] jediny´ pevny´ bod x∗ . Je-li x0 libovolny´ bod intervalu [a, b] a definujeme-li posloupnost {xk }∞ ´ mu k=0 vztahem xk+1 = g(xk ), pak tato posloupnost konverguje k pevne bodu x∗ . Odhad chyby prˇi aproximaci bodu x∗ pomocı´ cˇlenu˚ posloupnosti je L |xk+1 − xk |. |xk+1 − x∗ | ≤ 1−L Pozna´mka 2.2 (iterace). Aplikujeme-li na dany´ vzor k-kra´t funkci g, nazy´va´ se vy´sledek k-ta´ iterace funkce g. Naprˇ´ıklad slozˇena´ funkce g(g(g(x))) je trˇetı´ iteracı´ funkce g. Posloupnost, ktera´ podle prˇedchozı´ veˇty slouzˇ´ı k aproximaci pevne´ho bodu je tedy posloupnostı´ jednotlivyćh iteracı´ funkce g(x). k-ta´ iterace funkce se neˇkdy oznacˇuje g k (x). Protozˇe stejny´m zpu˚sobem oznacˇujeme i k-tou mocninu funkce g(x), je nutno v prˇ´ıpadeˇ pouzˇitı´ tohoto za´pisu dba´t na to, abychom jednotlive´ vy´znamy tohoto oznacˇenı´ nezameˇnili. Metoda popsana´ v Banachoveˇ veˇteˇ se nazy´va´ metoda proste´ iterace. ˇ esˇme rovnici x3 + x − 1 = 0. Prˇ´ıklad 2.2 (metoda proste´ iterace). R Rˇesˇenı´. Uvedeme jenom hlavnı´ mysˇlenku postupu. Graficky nebo vy´pocˇtem funkcˇnıćh hodnot (viz. prˇ´ıklad 2.1) se snadno prˇesveˇdcˇ´ıme, zˇe funkce ma´ korˇen na intervalu [0, 1]. Prˇepı´sˇeme-li rovnici do tvaru x = 1 − x3

a sestavujeme-li iteracˇnı´ posloupnost dosta´va´me: g(0.5) = 0.875, g(0.875) = 0.330, g(0.330) = 0.964, g(0.964) = 0.104, . . . . (Oveˇrˇte si dopocˇ´ıtańı´m dalsˇ´ıch cˇlenu˚ sami, zˇe posloupnost nekonverguje3.) Prˇepı´sˇeme-li vsˇak rovnici do tvaru √ x = 3 1−x

dosta´va´me x 0.5 0.7937 0.5908 0.7423 0.6363 . . . g(x) 0.7937 0.5908 0.7423 0.6363 0.7138 . . .

a tato posloupnost konverguje k rˇesˇenı´ rovnice. 14-ta´ iterace funkce je 0.6807, cozˇ souhlası´ s vy´sledkem prˇ´ıkladu 2.1. Konvergence metody je patrna´ i z Obra´zku 2. Prˇi kreslenı´ tohoto obra´zku jsme vsˇak v prˇ´ıpadeˇ konvergence volili za´meˇrneˇ horsˇ´ı pocˇa´tecˇnı´ odhad, aby byla konvergence le´pe patrna´. U obou obra´zku˚ je pocˇa´tecˇnı´ odhad zna´zorneˇn cˇtverecˇkem a vy´sledek po sˇesti iteracıćh hveˇzdicˇkou. 3Divergence je patrna´ i z Obra´zku 2. Selhańı´ metody je zpu˚sobeno tı´m, zˇe jsme nebyli du˚slednı´ a neoveˇrˇili prˇedpoklady Veˇty 2.1. Absolutnı´ hodnota derivace funkce ve skutecˇnosti nenı´ ohranicˇena konstantou mensˇ´ı nezˇ 1.


x = 1 − x3

x=

54

√ 3 1−x

OBRA´ZEK 2. Divergence a konvergence metody proste´ iterace pro rovnici x3 + x − 1 = 0. Pozna´mka 2.3. Chyba prˇi vy´pocˇtu metodou nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ se zmensˇuje geometrickou ˇradou s kvoci1 entem . Rychlost konvergence vy´pocˇtu zalozˇene´ho na veˇteˇ o pevne´m bodu za´visı´ na velikosti konstanty L 2 a lze uka´zat, zˇe prˇi pouzˇitı´ te´to metody se chyba zmensˇuje geometrickou rˇadou s kvocientem L. Konstantu L je mozˇno do jiste´ mı´ry meˇnit prˇevodem rovnice na jiny´ tvar, ktery´ je vhodneˇjsˇ´ı pro iterace, jak jsme videˇli v Prˇ´ıkladu 2.2. Prˇ´ıklad 2.3 (jednoducha´ demonstrace Banachovy veˇty a metody proste´ iterace). Pouzˇijte beˇzˇnou veˇdeckou kalkulacˇku. Oveˇrˇte, zˇe je prˇepnuta na radiańy, navolte libovolne´ cˇ´ıslo a vypocˇteˇte jeho kosinus. Z vy´sledku vypocˇteˇte opeˇt kosıńus a toto opakujte dostatecˇneˇ dlouho (cca sˇedesa´tkra´t). Zpozorujete, zˇe cˇ´ıslo na displeji se usta´lı´ (prˇiblizˇneˇ na hodnoteˇ x∗ = 0.73908513321516).Toto cˇ´ıslo v ra´mci prˇesnosti dosazˇene´ kalkulacˇkou splnˇuje vztah cos(x∗ ) = x∗ a je tedy prˇiblizˇny´m rˇesˇenı´m rovnice cos(x) − x = 0. 2.3. Newtonova–Raphsonova metoda. Dalsˇ´ı metoda numericke´ho odhadu korˇenu˚ (Newtonova– Raphsonova) spocˇ´ıva´ v aproximaci funkce tecˇnou a hledańı´ korˇene te´to tecˇny. Je-li pocˇa´tecˇnı´ odhad korˇene x = x0 , mu˚zˇeme funkci v okolı´ bodu dotyku aproximovat tecˇnou (2.4)

f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 )

a oznacˇ´ıme-li x1 novou aproximaci korˇene, urcˇ´ıme x1 z podmıńky tj.

0 ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x1 − x0 ) f ′ (x0 )(x1 − x0 ) ≈ −f (x0 )

f (x0 ) f ′ (x0 ) f (x0 ) . x1 ≈ x0 − ′ f (x0 ) Tento postup mu˚zˇeme opakovat a odhad x1 mu˚zˇeme da´le zprˇesnit. Za jistyćh podmıńek se takto budeme prˇiblizˇovat k rˇesˇenı´ rovnice f (x). Stanovenı´ podmıńek konvergence metody vycha´zı´ z Banachovy veˇty o pevne´m bodu (rˇesˇenı´ rovnice f (x) = 0 Newtonovou–Raphsonovou metodou je vlastneˇ ekvivalentnı´ f (x) hledańı´ pevne´ho bodu funkce g(x) = x − ′ ) a je obsazˇeno v na´sledujıćı´ veˇteˇ. Zhruba ˇrecˇeno, funkce f (x) f (x), musı´ by´t dostatecˇneˇ hladka´, pocˇa´tecˇnı´ odhad musı´ by´t dostatecˇneˇ blı´zko korˇene a derivace zde nesmı´ by´t rovna nule. x1 − x0 ≈ −


55

Veˇta 2.2 (Newtonova–Raphsonova metoda). Necht’f (x) je funkce, ktera´ ma´ na [a, b] spojitou druhou derivaci a necht’existuje cˇ´ıslo c ∈ [a, b] takove´, zˇe f (c) = 0. Jestlizˇe f ′ (c) 6= 0, potom existuje δ > 0 takove´, zˇe posloupnost f (xk ) (2.5) xk+1 = xk − ′ f (xk ) konverguje k cˇ´ıslu c pro libovolne´ pocˇa´tecˇnı´ x0 splnˇujıćı´ |x0 − c| < δ.

Konvergence metody je velmi rychla´ – kazˇdy´m krokem se pocˇet prˇesnyćh cifer prakticky zdvojna´sobı´. Prˇ´ıklad 2.4 (Newtonova–Raphsonova metoda). Pro funkci f (x) = cos(x) − x ma´ iteracˇnı´ sche´ma cos(xn ) − xn a volı´me-li x0 = 0.5, vypada´ posloupnost iteracı´ na´sledovneˇ: x1 = tvar xn+1 = xn + 1 + sin(xn ) 0.75522241710563, x2 = 0.73914166614987, x3 = 0.73908513392080, x4 = 0.73908513321516 (srovnejte s Prˇ´ıkladem 2.3) 2.4. Halleyova metoda. Halleyova metoda je zalozˇena na podobne´ mysˇlence jako Newtonova– Raphsonova metoda, pouzˇ´ıva´ vsˇak namı´sto tecˇny prˇesneˇjsˇ´ı aproximaci zalozˇenou na Tayloroveˇ polynomu druhe´ho rˇa´du. Jejı´ konvergence je proto rychlejsˇ´ı. Nebudeme jizˇ prˇesneˇ rozebı´rat podmıńky konvergence (jsou podobne´ jako u Newtonovy–Raphsonovy metody), ale pouze si odvodı´me iteracˇnı´ vzorec. Mı´sto aproximace 2.4 pouzˇijeme prˇesneˇjsˇ´ı aproximaci funkce f (x) Taylorovy´m polynomem druhe´ho ˇra´du (2.6)

f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) +

f ′′ (x0 ) (x − x0 )2 . 2

Dalsˇ´ı aproximaci tedy urcˇ´ıme z podmıńky (2.7)

0 ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )(x1 − x0 ) +

f ′′ (x0 ) (x1 − x0 )2 . 2

Postupneˇ obdrzˇ´ıme f ′′ (x0 ) ′ (x1 − x0 ) ≈ −f (x0 ), (x1 − x0 ) f (x0 ) + 2 f ′′ (x0 ) f (x0 ) ′ (x1 − x0 ) f (x0 ) − ≈ −f (x0 ), 2 f ′ (x0 ) x1 ≈ x0 −

f (x0 ) , f ′′ (x0 ) f (x0 ) f ′ (x0 ) − 2 f ′ (x0 )

prˇicˇemzˇ v druhe´m kroku jsme pouzˇili aproximaci rozdı´lu (x1 − x0 ) z Newtonovy–Raphsonovy metody. Pouzˇ´ıva´me tedy iteracˇnı´ schema f (xk ) . (2.8) xk+1 = xk − f ′′ (xk ) f (xk ) f ′ (xk ) − 2 f ′ (xk ) Pozna´mka 2.4 (srovnańı´ Halleyovy a Newtonovy–Raphsonovy metody). Porovna´me-li Halleyovu metodu s Newtonovou–Raphsonovou, vidı´me zˇe jsou podobne´, pouze smeˇrince tecˇny f ′ (xk ) pouzˇita´ v Newtonoveˇ– f ′′ (xk ) f (xk ) Raphsonoveˇ metodeˇ je v Halleyoveˇ metodeˇ zprˇesneˇna na f ′ (xk ) − a nejedna´ se tedy jizˇ 2 f ′ (xk ) o tecˇnu. Viz te´zˇ srovnańı´ obou metod na Obra´zku 3. Prˇ´ıklad 2.5. Pro funkci y = cos(x) − x z Prˇ´ıkladu 2.3 a pocˇa´tecˇnı´ odhad x0 = 0.5 dosta´va´me: x1 = 0.7372621743920, x2 = 0.7390851325126, tj. po dvou iteracıćh je dokonce uzˇ prvnıćh 8 cifer spra´vneˇ. 2.5. Separace korˇenu˚. Vsˇechny uvedene´ metody hledańı´ prˇiblizˇne´ho rˇesˇenı´ rovnic prˇedpokla´da´jı´ existenci pocˇa´tecˇnı´ho odhadu intervalu, ve ktere´m korˇen lezˇ´ı. S hledańı´m tohoto intervalu je spojen proble´m separace korˇenu˚. Pozna´mka 2.5 (separace korˇenu˚). Separacı´ korˇenu˚ rozumı´me nalezenı´ syste´mu intervalu˚, ktere´ obsahujı´ pra´veˇ jeden korˇen. Separaci korˇenu˚ prova´dı´me zpravidla takto:

3. METODA NEJMENSˇIĆH CˇTVERCU˚

xHalley xNewton 1 1

56

x0

∗

x

prˇesny´ korˇen: x∗ Halleyova aproximace: xHalley 1 Newtonova aproximace: xNewton 1

OBRA´ZEK 3. Jeden krok Newtonovou–Raphsonovou a Halleyovou metodou. • Stanovı´me interval, ve ktere´m vsˇechny korˇeny lezˇ´ı, naprˇ´ıklad graficky, nebo v prˇ´ıpadeˇ algebraickyćh rovnic s pouzˇitı´m Veˇty 1.9. • Vypocˇteme funkcˇnı´ hodnoty ve vhodnyćh bodech — obvykle volı´me cela´ cˇ´ısla z uvazˇovane´ho intervalu a loka´lnı´ extre´my. V kazˇde´m intervalu typu (m, n), kde funkce meˇnı´ znameńko (tj. f (m)f (n) < 0) lezˇ´ı alesponˇ jeden korˇen funkce f (x) (viz Bolzanova veˇta). V jednoduchyćh prˇ´ıpadech (naprˇ´ıklad u algebraickyćh rovnic trˇetı´ho rˇa´du) doka´zˇeme nale´zt loka´lnı´ extre´my funkce, vysˇetrˇit pru˚beˇh pomocı´ prvnı´ derivace a odtud usuzovat na prˇesneˇjsˇ´ı odhady pocˇtu a lokalizace korˇenu˚. V neˇkteryćh prˇ´ıpadech, obzvla´sˇteˇ tehdy, kdyzˇ funkce neobsahuje mnoho cˇlenu˚, lze korˇeny odseparovat graficky. Prˇevedeme vhodne´ cˇleny z leve´ strany rovnice na pravou, tak abychom dostali rovnici tvaru p(x) = q(x), kde p(x) a q(x) jsou funkce, jejichzˇ grafy umı´me zakreslit. Po nakreslenı´ obra´zku vidı´me ihned, kolik majı´ grafy teˇchto krˇivek pru˚secˇ´ıku˚ a v kteryćh intervalech lezˇ´ı. Tyto pru˚secˇ´ıky jsou korˇeny pu˚vodnı´ funkce. Ve slozˇiteˇjsˇ´ıch prˇ´ıpadech cˇasto nezby´va´ jina´ alternativa, nezˇ odseparovat hrubou silou (vy´pocˇtem dostatecˇne´ho pocˇtu funkcˇnıćh hodnot na pocˇ´ıtacˇi) 3. Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ Motivace. V te´to u´loze pu˚jde o neˇco jine´ho, nezˇ prˇiblizˇny´ vy´pocˇet korˇenu˚ rovnice. Meˇjme n prvkovy´ soubor bodu˚ [xi , yi ] (i = 1..n) v rovineˇ zadany´ tabulkou. Jde na´m o to nale´zt polynom (co nejjednodusˇsˇ´ı, zpravidla linea´rnı´ polynom) y = f (x) prˇedem zadane´ho stupneˇ, ktery´ co nejle´pe vystihuje chovańı´ teˇchto bodu˚. Kriterium optima´lnosti prˇitom volı´me tak, aby byl soucˇet kvadra´tu˚ odchylek y-ovyćh sourˇadnic bodu˚ n X [yi − f (xi )]2 → min. xi (tj. cˇ´ısel yi ) od funkcˇnı´ hodnoty f (xi ) byl co nejmensˇ´ı, tj. i=1

s5 s3

s4

s2 s1 x1

(s21 + s22 + s23 + s24 + s25 ) → minimum x2

x3

x4

x5

OBRA´ZEK 4. Prˇ´ımka prolozˇena´ metodou nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚

4. SHRNUTI´

57

Veˇta 3.1 (prokla´dańı´ souboru bodu˚ prˇ´ımkou). Prˇ´ımka y = ax + b je prˇ´ımka, prolozˇena´ metodou nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ souborem bodu˚ [x1 , y1 ], [x2 , y2 ], . . . , [xn , yn ], jestlizˇe pro koeficienty a, b platı´ X X X a x2i + b xi = xi yi (3.1) X X a xi + bn = yi

Pozna´mka 3.1 (technicka´). Prˇedchozı´ veˇta uda´va´ prˇ´ımo i metodu, jak prolozˇit prˇ´ımku (tj. linea´rnı´ funkci) souborem bodu˚. Tato metoda spocˇ´ıva´ v tom, zˇe sestavı´me soustavu rovnic z prˇedchozı´ veˇty a nalezneme jejı´ (jedine´) rˇesˇenı´. Podobneˇ, avsˇak s pouzˇitı´m veˇtsˇ´ıho pocˇtu rovnic, lze prolozˇit souborem bodu˚ libovolnou polynomickou za´vislost. Prˇ´ıklad 3.1. Prolozˇte prˇ´ımku na´sledujıćı´m souborem bodu˚. xi 0 1 3 5 6 yi 5 3 3 2 1 ˇ Resˇenı´: Body v souboru jsou [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2] a [6, 1]. Celkem tedy ma´me peˇt bodu˚, tj. n = 5. Vy´pocˇty potrˇebne´ pro nalezenı´ koeficientu˚ v soustaveˇ (3.1) provedeme v na´sledujıćı´ tabulce. i 1 2 3 4 5 P

xi 0 1 3 5 6

yi 5 3 3 2 1

x2i 0 1 9 25 36

xi yi 0 3 9 10 6

15

14

71

28

Podle (3.1) sestavı´me soustavu linea´rnıćh rovnic 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14. 287 . . ˇ esˇenı´m te´to soustavy je a = − 7 = −0.538 a b = = 4.415. Nejlepsˇ´ı linea´rnı´ aproximace souboru R 13 65 bodu˚ je tedy prˇ´ımka y = −0.538x + 4.415.

Graf souboru bodu˚ a vy´sledna´ prˇ´ımka jsou zachyceny na Obra´zku 5. y 5 4 3 2 1

y = ax + b

1

2

3

4

5

6

x

OBRA´ZEK 5. Metoda nejmensˇ´ıch cˇtvercu˚ 4. Shrnutı´ Jedneˇmi z nejjednodusˇsˇ´ıch nelinea´rnıćh funkcı´ jsou polynomy. I prˇi studiu teˇchto funkcı´ vsˇak narazı´me na rˇadu netrivia´lnıćh proble´mu˚. Jednı´m z teˇchto proble´mu˚ je nalezenı´ nulovyćh bodu˚ (korˇenu˚) polynomu, tj. rˇesˇenı´ algebraicke´ rovnice. Tento proble´m je beze zbytku rˇesˇitelny´, pokud hleda´me celocˇ´ıselne´ korˇeny polynomu s celocˇ´ıselny´mi koeficienty. V ostatnıćh prˇ´ıpadech pro nalezenı´ korˇenu˚ pouzˇ´ıva´me odhady polohy a pocˇtu korˇenu˚, separaci korˇenu˚ a prˇiblizˇne´ metody vy´pocˇtu korˇenu˚, z nichzˇ jsme se sezna´mili s metodou

4. SHRNUTI´

58

pu˚lenı´ intervalu, metodou proste´ iterace, Newtonovou–Raphsonovou metodou a Halleyovou metodou. Tyto metody jsou pouzˇitelne´ nejen prˇi hledańı´ korˇenu˚ polynomu˚, ale i prˇi hledańı´ korˇenu˚ obecneˇjsˇ´ıch funkcı´. Kazˇdy´ korˇen polynomu nemusı´ nutneˇ souviset se znameńkovou zmeˇnou v okolı´ tohoto korˇene. Pro pochopenı´ souvislosti mezi korˇenem polynomu a touto znameńkovou zmeˇnou je nezbytny´ pojem na´sobnosti korˇene. Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ı pojmy, ty´kajıćı´ se polynomu˚ a algebraickyćh rovnic, jsou tedy: korˇen, na´sobnost korˇene, korˇenovy´ cˇinitel. Nejdu˚lezˇiteˇjsˇ´ımi algoritmy jsou prˇiblizˇne´ metody vypocˇtu korˇenu˚. Polynomy lze pouzˇ´ıt v jistyćh prˇ´ıpadech i k aproximaci slozˇiteˇjsˇ´ı nepolynomicke´ za´vislosti - v tomto prˇ´ıpadeˇ pouzˇ´ıva´me Tayloru˚v polynom, jehozˇ specia´lnı´m prˇ´ıpadem je tecˇna´ prˇ´ımka (Tayloru˚v polynom stupneˇ 1) a jedna´ se o jednu z dalsˇ´ıch aplikacı´ diferencia´lnı´ho pocˇtu a derivacı´.

Vzorce pro derivovańı´ a integrovańı´ Vzorce pro derivovańı´. (1)

(c) = 0

(2)

(xn )′ = nxn−1 x ′

x

(3)

(a ) = a ln a

(4)

(ex )′ = ex

(5)

(loga x)′ =

(6)

(ln x)′ =

1 x ln a

1 x

(7)

(sin x)′ = cos x

(8)

(cos x)′ = − sin x

(9)

(tg x)′ =

(10) (11) (12) (13) (14)

Vzorce pro integrovańı´. Z (1) dx = x + c

′

1 cos2 x

xn+1 +c n+1

(2)

Z

xn dx =

(3)

Z

1 dx = ln |x| + c x

(4)

Z

ax dx =

(5)

Z

ex dx = ex + c

(6)

Z

sin x dx = − cos x + c cos x dx = sin x + c

ax +c ln a

(7)

1 (cotg x)′ = − 2 sin x

Z

(8)

1 (arcsin x)′ = √ 1 − x2

Z

1 dx = tg x + c cos2 x

(9)

Z

1 dx = − cotg x + c sin2 x

1 (arccos x)′ = − √ 1 − x2 (arctg x)′ =

1 1 + x2

(arccotg x)′ = −

1 1 + x2

Pravidla pro pocˇ´ıtańı´. u, v : R → R, c ∈ R,

(10)

Z

1 x √ dx = arcsin + c 2 2 A A −x

(11)

Z

(12)

Z

p 1 √ dx = ln |x + x2 ± B| + c 2 x ±B

(13)

1. (u(x) ± v(x))′ = u′ (x) ± v ′ (x)

2. (cu(x))′ = cu′ (x)

3. (u(x)v(x))′ = u′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x) u(x) ′ u′ (x)v(x) − u(x)v ′ (x) = 4. v(x) v 2 (x) ′ 5. u(v(x)) = u′ (v(x))v ′ (x) 59

1 1 x dx = arctg + c 2 +x A A Z A + x 1 1 +c dx = ln A2 − x2 2A A − x A2

Cílem tohoto textu je shrnout teorii do jediného celku. Text také nabízí oporu v oblastech, které jsou

Recommend Documents