BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GAZDASÁG- ÉS TÁRSADALOMTUDOMÁNYI KAR MENEDZSMENT ÉS VÁLLALATGAZDASÁGTAN TANSZÉK
PÉLDATÁR a Termelés- és szolgáltatásmenedzsment, Termelésmenedzsment, Termelésszervezés és Projektmenedzsment tárgyakhoz
Készítette: Dr. Koltai Tamás Dr. Sebestyén Zoltán Dr. Kalló Noémi Kelemen Tamás Tatay Viola Konyári Gábor
Budapest 2014. március 24.
TARTALOMJEGYZÉK: 1.
ELŐREJELZÉS ......................................................................................................................................... 2
2.
KAPACITÁSSZÁMÍTÁS.......................................................................................................................... 8
3.
KÉSZLETGAZDÁLKODÁS .................................................................................................................. 14
4.
TERMELÉSTERVEZÉS ........................................................................................................................ 19
5.
TERMÉKÖSSZETÉTEL ........................................................................................................................ 21
6.
MRP (ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉS) ....................................................................................... 26
7.
ÜTEMEZÉS .............................................................................................................................................. 32
8.
SORÁLLÁS .............................................................................................................................................. 39
9.
JUST IN TIME ......................................................................................................................................... 42
10.
GRÁFELMÉLETI ALAPOK ................................................................................................................. 44
11.
HÁLÓTERV FELRAJZOLÁSA ............................................................................................................ 46
12.
HÁLÓELEMZÉS ..................................................................................................................................... 51
13.
MINTAMEGOLDÁSOK ......................................................................................................................... 63
14.
FÜGGELÉK ............................................................................................................................................. 90
15.
EREDMÉNYEK ....................................................................................................................................... 94
1
1.
ELŐREJELZÉS
1.1. feladat Egy non-stop üzlet tulajdonosa szeretné előre tudni a dobozostej-fogyasztást. A tejfogyasztás adatai ismertek az év első három hónapjára. Készítsen előrejelzést áprilistól októberig exponenciális simítással, ha az egyes hónapokra készített előrejelzés után megismerjük az igény tényleges értékét is. Ezek áprilistól októberig ugyancsak az alábbi táblázatban adottak. Legyen =0,2 és az áprilisi első előrejelzéshez használja az F3=137 kezdő értéket. Január
Hónap
Igény 130
Február
135
Március
137
Április
142
Május
143
Június
149
Július
156
Augusztus
154
Szeptember
161
Október
160
Értékelje az előrejelzési módszert a követő jellel, ha nem volt megfelelő a módszer, tegyen javaslatot az előrejelzési modell változtatására! 1.2. feladat A megfigyelt heti igény egy alkatrész után egy nyolchetes időszakon keresztül a következő: 14, 9, 28, 32, 33, 7, 29, 25. a) 3 heti mozgó átlagot használva készítse el az egy lépéses előrejelzést az 5, 6, 7, és 8-ik hétre! b) Tételezzünk fel egy exponenciális simítású modellt, amelynél a simítási konstans 0,4. Készítse el ismét az előrejelzést az 5, 6, 7, és 8-ik hétre! (A módszer inicializálásához használja a mozgó átlaggal 4-ik hétre előre jelzett értéket.) c) Hasonlítsa össze a két módszer eredményét az átlagos abszolút eltérés segítségével! d) Exponenciális simítást alkalmazva mennyi a hatodik hét végén a 12-ik hétre előre jelzett igény? 1.3. Feladat Egy vállalat terméke iránt a tényleges és az előre jelzett igény 8 héten keresztül a következő módon alakult:
2
Hét 1
Becsült igény 140
Tényleges igény 137
2
140
133
3
140
150
4
140
160
5
140
180
6
150
170
7
150
185
8
150
205
Készítse el a nyolc hónap adatait tartalmazó követőjel diagrammot és értékelje az alkalmazott előrejelzési modellt! 1.4. feladat Egy vállalat termékei iránt az előző kilenc hónapban az igény a következő módon alakult: Hónap
Igény
Január
110
Február
130
Március
150
Április
170
Május
160
Június
180
Július
140
Augusztus
130
Szeptember
140
a) Készítse el a három hónap adatait figyelembe vevő előrejelzést áprilistól szeptemberig mozgó átlaggal! b) Készítsen előrejelzést áprilistól szeptemberig exponenciális simítással! Legyen =0.1 és Fmárcius=150 a kiindulási előrejelzés! c) Hasonlítsa össze a két módszer pontosságát az átlagos abszolút eltérés segítségével és a jobbik módszerrel készítse el az előrejelzést októberre! 1.5. feladat A Napkelte Sütőipari Vállalat fánkokat forgalmaz egy élelmiszer üzletláncon keresztül. Hibás előrejelzés miatt túltermelést illetve alultermelést tapasztaltak. A táblázat adatai mutatják a fánk iránti igényeket az elmúlt négy hét során. A fánkokat mindig a következő napra készítik, azaz a vasárnapi termelést hétfői eladásra, a hétfői termelést a keddi napra stb. A sütöde szombaton bezár, így a pénteki termeléssel kell kielégíteni a szombati és a vasárnapi igényeket is.
3
Hétfő
4 hete 2200
3 hete 2400
2 hete 2300
Utolsó héten 2400
Kedd
2000
2100
2200
2200
Szerda
2300
2400
2300
2500
Csütörtök
1800
1900
1800
2000
Péntek
1900
1800
2100
2000
Szombat, Vasárnap
2800
2700
3000
2900
a) Készítsen előrejelzést a következő hétre – heti szinten – mozgó átlaggal (N=4)! b) A sütöde szintén tervezi a kenyér termeléséhez hozzávalók vásárlását. Ha a kenyér iránti igény előrejelzése az elmúlt hétre 22000 cipó volt ,a tényleges igény azonban csak 14000, mi lenne a pékség előrejelzése erre a hétre exponenciális simítást alkalmazva, ha a simítási konstans 0,1? c) A b) pontban készült előrejelzést alkalmazva tegyük fel, hogy kiderült, hogy ennek a hétnek a tényleges igénye 22500 cipó. Mi lesz az új előrejelzés a következő hétre? 1.6. feladat Az alábbi táblázattal adott egy termék iránt a tényleges és az előre jelzett igény: Hét 1
Előrejelzés 1500
Aktuális igény 1550
2
1400
1500
3
1700
1600
4
1750
1650
5
1800
1700
Készítse el a követőjel diagramot és értékelje az alkalmazott előrejelzési modellt! 1.7. feladat Készítse el a követőjel diagrammot és értékelje az alkalmazott előrejelzési modellt! Két évre visszamenőleg negyed évenként adott egy termék iránti, trenddel és szezonalítással is rendelkező igény az alábbi táblázatban. A vállalat Winters modellt kíván alkalmazni az igény előrejelzésére, amihez a következő simítási konstansokat határozták meg: =0,2 =0,1 =0,1. Negyedév -7
Igény 10
-6
20
-5
26
-4
17
-3
12
-2
23
-1
30
0
22
a) Végezze el a Winters modell alkalmazásához szükséges inicializálást! A trendkomponenst
4
az éves átlagos igény növekedése alapján inicializálja! b) Készítsen előrejelzést a következő év négy negyedévére. c) Megtudjuk, hogy a következő év első negyedévének igénye 16 lett. Módosítsa az év következő három negyedévére készített előrejelzést Winters modellel. (A szezonalítási együtthatók normalizálásától most eltekintünk.) d) Tegyük fel, hogy ismert minden negyedév igénye: 16, 33, 34, 26. Jelezze előre a másfél év múlva esedékes igényt. (A szezonalítási együtthatók normalizálásától most eltekintünk.) 1.8. feladat Egy biztosító társaság információs adatbázisa tartalmazza a karambolok (x) és a biztosításkötések (y) számát havi bontásban. A társaság szeretné tudni, hogy van-e lineáris kapcsolat a karambolok és biztosításkötések között. x
4
17
3
21
10
8
4
9
13
12
2
6
15
8
19
y
13
47
24
41
29
33
28
38
46
32
14
22
26
21
50
a) Ellenőrizze a lineáris kapcsolatot a korrelációs együttható segítségével! b) Amennyiben lineáris kapcsolat áll fenn a két adatsor között, mik lesznek az egyenlet együtthatói? c) Ha x=20, akkor 90,1%-os valószínűséggel y értéke mely intervallumba esik? 1.9. Feladat Értékelje az alábbi követőjel-sorozatokat! Mi lehet az előrejelzés során (esetlegesen) felmerülő hiba oka? A vállalat jelenleg Winters módszert alkalmaz az igény előrejelzésére. Milyen más módszert ajánlana, illetve hogyan módosítaná az előrejelzés paramétereit a pontosabb előrejelzés érdekében? a) 4; 3,5; 2; 1,5; 1; 0; -1; -2; -3,5; -3,8 b) 0; 0,1; 0,2; -0,1; 0,2; -0,2; 0,1; 0,3; 0,2; -0,1 c) -1; 2; 3 d) 5; 6; 4; 2; -1; -4; 1; 3; -7; 4 e) -1; 1; 3; -1,5; 0,5; 2; -0,5; 1; 1,5 f) 2; 2,1; 2,2; 1,9; 2,2; 1,8; 1,9; 2,3; 2,2; 1,9 1.10. feladat Két évre visszamenőleg harmadévenként adott egy termék iránti, trenddel és szezonalítással is rendelkező igény az alábbi táblázatban. A konstans kezdeti értéke (a 0. harmadévben) 11, simítási konstansa 0,2; a trend komponens kezdeti értéke 2, simítási konstansa 0,2; a szezonalítási együttható kezdeti értékei c-2=0,7, c-1=1,4, c0=0,9, simítási konstansa 0,1.
5
Harmadév 1
Igény 10
2
21
3
17
4
14
5
31
6
21
a) Készítsen előrejelzést a következő év három harmadévére a 6. harmadévből Winters modellel. (A szezonalítási együtthatók normalizálásától eltekintünk.) b) Megtudjuk, hogy a következő év első harmadévének igénye 21 lett. Módosítsa az év következő két harmadévére készített előrejelzést. c) Jelezze előre a 7. harmadévből a két év múlva esedékes igényt. 1.11. Feladat Egy vállalat termékei iránt az előző 8 hónapban az igény a következő módon alakult:
Január Február
Hónap
Igény 137 133
Március Április
150 160
Május
182
Június Július
168 185
Augusztus
205
a) Készítse el az előrejelzést áprilistól augusztusig exponenciális simítással! Legyen =0,2 és Fmárcius=150 a kiindulási előrejelzés! b) Készítse el az 5 hónap adatait tartalmazó követőjel diagrammot! c) Értékelje az alkalmazott előrejelzési modellt! 1.12. feladat Egy vállalat termékei iránt az igény a következő módon alakult: Hónap
Igény
Január Február
280 250
Március
260
a) Készítsen előrejelzést januártól áprilisig a Holt módszerrel! Legyen α=0,2 és β=0,3. Az iniciáláshoz használja az Sdecember=210 és Gdecember=20 induló értékeket! b) Az előző pontban kiszámított előrejelzéseket felhasználva határozza meg a követő jel értékeit januártól márciusig! c) Készítse el a követőjel diagrammot és a követőjel alakulása alapján értékelje az 6
alkalmazott előrejelzési modellt. d) előrejelzést március végén az augusztusi várható igényről! 1.13. feladat Egy vállalat termékei iránt az igény a következő módon alakult: Hónap
Igény
Január
450
Február
480
Március
350
Április
370
a) Készítsen előrejelzést januártól májusig a Holt módszerrel! Legyen α=0,4 és β=0,5. Az iniciáláshoz használja az Sdecember=500 és Gdecember -100 induló értékeket! b) Az előző pontban kiszámított előrejelzéseket felhasználva határozza meg a követő jel értékeit januártól áprilisig. c) Készítse el a követőjel diagrammot és a követőjel alakulása alapján értékelje az alkalmazott előrejelzési modellt. d) Mekkora lesz az április végén készített július, illetve jövő év január havi előrejelzés? 1.14. feladat Egy vállalat termékei iránti féléves igény 1998-tól a következő módon alakult: Félév
Igény
1998. I. félév
300
1998. II. félév
200
1999. I. félév
400
A menedzsment úgy gondolja, hogy az igény az első félévben rendszerint alacsonyabb a második félévi igénynél, és emellett tendenciáját tekintve növekvő jellegű. a) Készítsen előrejelzést 1998 I. félévétől, 1999 I. félévének végéig a Winters modellel! Legyen α=0,2, β=0,5, és γ=0,4. Az iniciáláshoz használja az S1997 II. félév=200 és G1997 II. félév=50 induló értékeket! Az szezonalítási együtthatók becsült kezdeti értékei legyenek cI. félév=1,5 és cII. félév=0,5. b) Az előző pontban kiszámított előrejelzéseket felhasználva határozza meg a követő jel értékeit 1998 I. félévétől, 1999 I. félévéig! (A szezonalítási konstansok normalizálása most elhanyagolható) c) Készítse el a követőjel diagrammot és a követőjel alakulása alapján értékelje az alkalmazott előrejelzési modellt. d) Készítsen előrejelzést 1999 I. félévének végén a 2000 II. félévében várható igényről!
7
2.
KAPACITÁSSZÁMÍTÁS
2.1. feladat Egy számítógépeket összeszerelő üzem a következő öt évre kíván kapacitáselemzést végezni. Az elmúlt néhány évben a termék iránti igény növekedett, és ha az előrejelzéseknek megfelelően alakul a térség gazdasági helyzete, akkor további jelentős növekedés várható. A vállalat vezetői három alternatíva közül választhatnak. Az első lehetőség a meglévő üzem kapacitásának bővítése. A második lehetőség a termelés áthelyezése egy másik nagyobb kapacitású üzembe. Végül az utolsó alternatíva, hogy nem bővítik a kapacitást, megvárják, hogy az optimista előrejelzések beigazolódnak-e. A kapacitás bővítése illetve a termelés áthelyezése nem kíván hosszú időt, így az gyakorlatilag idő- és nyereségveszteség nélkül megvalósítható. Ha az üzem kivár, akkor az első év után újragondolhatja a helyzetet és bővítheti a meglévő kapacitást. Egy évnél tovább azonban ezzel a döntéssel sem várhat, mert utána a jelentkező konkurencia kiszorítja a piacról. A termelési költség mindhárom változat esetén ugyanakkora. Az igény jelentős növekedésének valószínűsége 55%. Ha az igény jelentősen nő akkor a termelés áthelyezésével az éves nyereség 195000 ezer forintra becsülhető. Ha a termelés áthelyezik a nagyobb kapacitású üzembe és az igény nem nő jelentősen, akkor az éves nyereség várhatóan csak 115000 ezer forint lesz. A meglévő kapacitás bővítése az igény jelentős növekedése esetén évi 190000 ezer forint nyereséget eredményezne. Ha az igény jelentősen nem nő, akkor a nyereség 100000 ezer forint körül alakulna. Ha marad a meglévő kapacitás, akkor az igény jelentős növekedése esetén a nyereség 170000 ezer forintra becsülhető, egyébként pedig 105000 ezer forint körül alakul. A jelenlegi kapacitás bővítési költségét 87000 ezer forintra becsülik. A termelésnek a nagyobb kapacitású üzembe történő áthelyezése 210000 ezer forintba kerülne. Ha az igény növekedése miatt az első év után a kapacitásbővítés mellett döntenek, akkor annak költsége ugyancsak 87000 ezer forint lenne. a) Készítse el a kapacitásbővítési probléma döntési fáját b) Határozza meg a legjobb döntési alternatívát! 2.2. feladat Egy szolgáltató vállalat naponta átlagosan 100 vevő igényét szeretné teljesíteni. Minden alkalmazott óránként 3 vevőt tud kiszolgálni. Minden vevőhöz a közvetlen kiszolgálás mellett mintegy 40 percnyi adminisztrációs tevékenység is kapcsolódik. Az alkalmazottak idejük 20%-át egyéb tevékenységgel töltik (megbeszélések, értekezletek, stb.). A munkaidő a hét öt munkanapján 9.00-tól 16.00-ig tart egy óra ebédidő közbeiktatásával délben. a) Hány alkalmazottat kellene a vállalatnak felvennie? b) Mennyi a rendszer kapacitáskihasználása? c) Azon a napon amikor a vállalat 90 vevőt szolgál ki mekkora a hatékonyság? 2.3. feladat Egy berendezés egy héten öt napig dolgozik, naponta egy, nyolcórás műszakban. Amikor a berendezés dolgozik 100 darabot képes óránként legyártani. Hasznos időalapjából 10% a karbantartási, valamint átállási idő. Az egyik vizsgált héten a berendezés kibocsátása 3000 db volt. Számítsa ki a következő jellemzőket:
8
a) b) c) d)
Tervezési kapacitás Effektív kapacitás Hatékonyság Kapacitás kihasználás
2.4. feladat Egy töltősor 1 literes üvegpalackokba tölt üdítőitalt, azt felcímkézi és 12 üvegből álló rekeszekbe csomagolja. A rendszer a következő műveleti helyekből áll (napi 12 órával számoljon): Két töltőgép, amelyeknek mindegyike 100 litert képes percenként 1 literes üvegpalackokba tölteni. ,A karbantartás napi egy órát vesz igénybe. Három címkéző berendezés, amelyek mindegyike óránként 3000 üveget cimkéz fel. A napi karbantartási időigény gépenként 30 perc. Egy csomagoló műveleti hely, ahol a berendezés 10000 rekeszt készít naponta. a) Mekkora a sor tervezési kapacitása? b) Mekkora a sor effektív kapacitása? c) Ha a sor az effektív kapacitáson dolgozik, mekkora az egyes műveleti helyek kihasználtsága? d) Azon a napon, amikor a sor 70000 üveget gyártott, mekkora volt az egyes műveleti helyek hatékonysága? 2.5. feladat Egy forgácsoló üzem hetente 1000 darabot szeretne gyártani egy tengelyfajtából. A terméket egy olyan forgácsoló gépen gyártják, amely átlagosan 10 darabot tud elkészíteni óránként. Az üzem jelenleg egy, nyolcórás műszakban dolgozik a hét öt munkanapján. Kapacitáshiány esetén azonban fontolgatják a műszakszám növelését, vagy a túlórázást. Az üzem gépeinek várható kihasználtsága 80%. Hány gépre van szükség a kívánt darabszám legyártásához? Hány gépre lenne akkor szükség, ha két műszakban dolgoznának, vagy ha fél órát túlóráznának az üzemben? 2.6. Feladat Egy gépipari vállalat gépjármű alkatrészek összeszerelését tervezi. Az új termék várható élettartama 10 év. Két lehetőség között választhatnak. Vagy most építenek egy nagy kapacitású üzemet, vagy most egy kisebb kapacitással indulnak, és ha a kereslet megnő, akkor két év múlva lehetőség lesz az üzem kapacitásának bővítésére. A döntéshez rendelkezésre álló információk a következők: A nagy üzemcsarnok telepítése 300 millió Ft-os beruházást igényel. A kis üzem telepítése olcsóbb, az 130 millió Ft-ba kerül. Ha az igény nagy, akkor a nagy üzem évi 100 millió Ft nyereséget termelne. Ha az igény alacsony, akkor a nagy üzem nyeresége a magas fix költségek miatt csak 10 millió Ft. Ha az igény alacsony, akkor a kis üzem nyeresége évi 4 millió Ft. Nagy igény esetén a kis üzem második évi bővítésének költsége 220 millió Ft. Ha az igény magas és a kis kapacitású üzemet nem bővítjük, akkor az, az első két évben évi 45 millió Ft utána pedig évi 30 Ft nyereséget termelne.
9
Ha a kis kapacitású üzemet két év után kibővítjük és az igény nagy marad, akkor az évi nyereség 70 millió Ft lesz. Ha két év után a kis kapacitású üzemet kibővítjük, de az igény lecsökken, akkor a nyereség csak évi 5 millió Ft. A marketing osztály a következő előrejelzési adatokat szolgáltatta a döntéshez: o A 10 éven keresztüli nagy kereslet esélye 60%. o Két évig magas kereslet és utána alacsony kereslet esélye 10%. o A 10 éven keresztül alacsony kereslet esélye 30%. Milyen kapacitású üzemet célszerű építeni?
2.7. feladat Egy vállalat menedzsmentje azt fontolgatja, hogy a termékei iránti növekvő kereslet miatt új üzemet létesítsen. El kell dönteniük, hogy egy nagy vagy egy kis kapacitású új üzemet létesítsenek-e. Az igény nagymértékű növekedésének valószínűsége 0,6, míg az alacsony igény valószínűsége 0,4. Ha kis kapacitású üzemet építenek és az igény nagymértékben megnő, akkor az üzem kapacitása bővíthető. Ha nagy kapacitású üzemet építenek és az igény nem nő, akkor reklámkampánnyal élénkíthető az igény. A reklámkampány kedvező alakulásának valószínűsége 0,7, sikertelenségének valószínűsége pedig 0,3. Ha a menedzsment a kis kapacitású üzem építése mellett dönt és az igény nagymértékű növekedése következik be, akkor a várható éves nyereség 220000 eFt. Ha a menedzsment a kis kapacitású üzem építése mellett dönt és az igény nagymértékű növekedését látva a menedzsment a kapacitást kibővíti, akkor, akkor a várható éves nyereség 270000 eFt Ha a menedzsment a nagy kapacitású üzem építése mellett dönt és az igény nagymértékben nő, akkor a várható éves nyereség 400000 eFt. Ha az igény alacsony, akkor a kis kapacitású üzem éves nyeresége pedig 200000 eFt. Ha az igény alacsony de a nagy kapacitású üzem épült, akkor az éves nyereség 40000 eFt. Ha a reklámkampány sikeres, akkor az éves nyereség 180000 eFt-tal nő az eredetileg becsülthez képest. Ha a reklámkampány sikertelen, akkor az éves nyereség csak 20000eFt-tal nő az eredetileg becsülthez képest. A reklámkampány becsült költsége 50000 eFt. Készítse el a kapacitásbővítési probléma döntési fáját! Határozza meg az éves nyereséget maximalizáló döntési alternatívát! 2.8. feladat Egy kereskedelmi vállalat új telephelyének beruházásakor el szeretné dönteni, hogy kis vagy nagyméretű üzletet építsen. A nagyméretű üzlet költsége 300000eFt, a kis méretűé pedig 80000eFt. Előrejelzések alapján az új helyen az igény várható alakulása kicsi és nagy is lehet, 40% és 60%-os valószínűséggel. Ha kis kapacitású épületet építenek, a cég menedzsere határozhat a bővítés megvalósításáról, melynek költsége 60000eFt. (bővítési döntés esetén 270000eFt, a döntés elvetése esetén 223000eFt a bevétel). Ha egy kis kapacitású egységet építenek és az igény is alacsony, nincsen ok a bővítésre, ekkor a bevétel mértéke 200000eFt. Amennyiben a nagy kapacitású üzlet építése mellett határoznak, és az igény alacsonynak bizonyul, akkor vagy nem történik semmi (40000eFt), vagy a helyi médiában hirdetésekkel próbálják a fogyasztást elősegíteni, melynek költsége 80000eFt. A reklámra való reagálás lehet mérsékelt, de lehet jelentős is, 30% és 70%-os valószínűséggel. A cégnek a mérsékelt reagálás 20000eFt, a jelentős 220000eFt bevételt jelent. Végül, ha egy nagy üzletet építenek és az igény is magasnak bizonyul, 800000eFt a lehetséges bevétel. Döntési fával elemezze a beruházási alternatívákat és határozza meg a haszon várható értékét maximalizáló döntést! 10
2.9. feladat Egy forgácsolószerszámokat gyártó üzem kapacitáselemzést szeretne végezni a következő öt évre. A vállalat menedzsmentje 2 alternatíva közül választhat. Az első lehetőség a meglévő kapacitás bővítése, a másik pedig, hogy a vezetőség döntésével egy évig kivár és a kialakuló piaci kereslet alapján újragondolja helyzetét. A kapacitás bővítése nem igényel hosszú időt, így gyakorlatilag idő- és nyereségveszteség nélkül megoldható. Mindkét alternatíva esetén a piac háromféleképpen reagálhat: agy kereslet alakul ki a vállalat termékei iránt, melynek valószínűsége 50 %; egy átlagos igény jelentkezik a termékcsalád iránt 30%-os valószínűséggel; a piac alacsony kereslettel reagál a vállalat kínálatára, ennek valószínűsége 20%. A jelenlegi kapacitás bővítésének költsége 40000 ezer forint. A meglévő kapacitás bővítése az igény jelentős növekedése esetén évi 160000 ezer forint nyereséget eredményezne. Kapacitásbővítés esetén, ha az igény átlagos szinten marad, akkor a menedzsment választhat két lehetőség közül: 1. nem avatkozik be, ez esetben az éves nyereség 95000 ezer forintra becsülhető, 2. reklámkampányba kezd az első év elején, melynek költsége 25000 ezer forint. Sikeres reklámkampány esetén - ennek valószínűsége 65% - évente 175000 ezer forint nyereség realizálható, ellenkező esetben az éves profit mértéke csak 65000 ezer forint. Kapacitásbővítés mellett kialakult alacsony igény esetén a vezetőség vagy egy igen intenzív reklámhadjáratot indít még az első év elején 60000 ezer forintos költségvetéssel, vagy nem avatkozik be a kialakult helyzetbe. Ha nem tesznek semmit, akkor évi 70000 ezer forint nyereséget tudnak termelni. Sikeres reklámozással az éves profit 200000 ezer forint, sikertelen reklám esetén 90000 ezer forint lesz. A sikeres reklámkampány valószínűsége 70%. Ha marad a meglévő kapacitás, akkor az igény jelentős növekedése esetén az éves nyereség 120000 ezer forintra becsülhető; alacsony kereslet esetén évi 50000 ezer forint körül alakul. Végül átlagos kereslet esetén évi 85000 ezer forint nyereség realizálható. Ha a menedzsment kivár és nagy kereslet alakul ki a termékcsalád iránt, akkor az első év végén a vezetőség választhat: vagy bővíti az üzemet 45000Ft-ért, vagy nem változtat az üzem kapacitásán. Kivárás esetén átlagos kereslet mellett a vezetőség dönthet az első év végén: 1. nem avatkozik be, 2. bővítik az üzem kapacitását, ez esetben évente 115000 ezer forint nyereséget becsülnek, 3. végül reklámozás mellett dönthetnek, melynek költsége 20000 ezer forint. Sikeres reklámkampány bekövetkezési valószínűsége 65%, ekkor az éves nyereség 50000 ezer forinttal nő az eredetileg becsülthez képest. Sikertelen reklámkampány esetén az éves profit 30000 ezer forinttal csökken az eredetileg becsülthez képest. Készítse el a kapacitásbővítési probléma döntési fáját! Határozza meg a legnagyobb profitot realizáló döntési alternatívát! 2.10. feladat Egy üzem hetente 5 napot dolgozik, napi két műszakban. Egy műszakban átlagosan 7 órán keresztül folyik közvetlen termelő tevékenység. Az üzemben egy új termék megjelenésekor a tanulási hatást a kapacitástervezésnél figyelembe veszik. Megfigyelték, hogy egy hasonló terméknél az első darab elkészítéséhez 200 percre, míg a 100-ik darab elkészítéséhez 29.6 percre volt szükség. A menedzsment úgy gondolja, hogy az új terméknél is hasonló tanulási hatás várható.
11
a) Határozza meg az új terméknél használni kívánt tanulási rátát, ha az első darab elkészítésének ideje ennél a terméknél is 200 percre becsülhető! b) Az első hónapban összesen hány darabot tudnak legyártani az új termékből (Átlagosan havi négy munkahéttel számoljon!)? c) Határozza meg az első hónap mind a négy hetére külön-külön a legyártható mennyiséget, ha teljes kapacitáskihasználás mellett dolgoznak. 2.11. feladat Egy kereskedelmi vállalat menedzsmentje azt fontolgatja, hogy a termékek iránti növekvő kereslet miatt egy új raktárt telepít. El kell dönteniük, hogy egy nagy vagy egy kis kapacitású raktár épüljön-e. Az igény nagymértékű növekedésének valószínűsége 0,7, míg az alacsony igény valószínűsége 0,3. Ha nagy kapacitású raktárt építenek és az igény nem nő, akkor esetleg reklámkampánnyal élénkíthető a kereslet. A reklámkampány kedvező alakulásának valószínűsége 0,5, sikertelenségének valószínűsége ugyancsak 0,5. Ha a menedzsment a kis kapacitású raktár építése mellett dönt és az igény nagymértékű növekedése következik be, akkor a várható éves nyereség 25000 eFt. Ha a menedzsment a nagy kapacitású raktár építése mellett dönt és az igény nagymértékben nõ, akkor a várható éves nyereség 30000 eFt. Ha az igény alacsony, akkor a kis kapacitású raktár éves nyeresége 20000 eFt. Ha az igény alacsony de nagy kapacitású raktár épült, akkor az éves nyereség 6000 eFt. Ha a reklámkampány sikeres, akkor az éves nyereség 9000 eFt-tal nő az eredetileg becsülthez képest. Ha a reklámkampány sikertelen, akkor az éves nyereség csak 1000 eFt-tal nő az eredetileg becsülthez képest. A reklámkampány becsült költsége 6000 eFt. a) Készítse el a kapacitásbővítési probléma döntési fáját! b) Határozza meg az éves nyereséget maximalizáló döntési változatot! c) Hogyan változtatna a döntésen, ha egy olcsóbb ajánlatot tevő reklámozással foglalkozó vállalat ugyanezt az eredményt ígérve olcsóbban, 1000 eFt-ért, vállalná a reklámkampány lebonyolítását. Válaszát számítással indokolja! 2.12. feladat Egy számítógépeket összeszerelő üzem gyártási kapacitásának a bővítése érdekében egy új berendezés vásárlását fontolgatja. A berendezésből három különböző kapacitású szerezhető be, kis-, közepes-, és nagykapacitású gép. Az új berendezéssel egy új, korszerű áramkört tudnának gyártani, azonban az új termék iránti igény nem ismert pontosan. Ha a vállalat egy nagy kapacitású berendezést vásárol, és az új termék iránti igény magas lesz, akkor a várható nyereség 150 millió forint körül alakul. Ha a piac kedvezőtlenül fogadja a terméket, akkor a nagy kapacitású gép beszerzése 75 millió forintos veszteséget jelent. Ha a vállalat a közepes kapacitású berendezést vásárolja meg, akkor kedvező piaci fogadtatás esetén a nyereség 90 millió forint lesz. Ebben az esetben a kedvezőtlen piaci fogadtatás 20 millió forint veszteséget jelent. A kis kapacitású gép vásárlása kedvező piaci fogadtatás esetén 50 millió forint nyereséget hozna, a kedvezőtlen piaci fogadtatás esetén viszont a veszteség 5 millió forint. További lehetőség még, hogy a vállalat nem vásárol új berendezést. Ekkor se nyereség, se veszteség nem éri, akármilyen is legyen az új termék fogadtatása.
12
A vállalat éppen most fejezet be egy piackutatást, amelynek eredménye alapján 40% valószínűsége van a kedvező piaci fogadtatásnak és 60% valószínűsége van a kedvezőtlen piaci fogadtatásnak. a) Készítse el a kapacitásbővítési probléma döntési fáját! b) Tegyen javaslatot a nyereség várható értékét maximalizáló döntési változatra! c) A menedzsment szeretné tudni, hogy az optimális döntés mennyire érzékeny a piaci viszonyok megítélésére. Határozza meg, hogy a kedvező piaci fogadtatás valószínűségének milyen értékeire lesz a b.) pontban javasolt döntés a legkedvezőbb! 2.13. feladat Egy gyártósor a következő elrendezéssel és megbízhatósági adatokkal rendelkezik. A kibocsátás soronként: xA=10000db/év, xB=15000db/év.
R=0,95 R=0,9 R=0,8
R=0,8 RA R=0,85
RB
R=0,9 R=0,9
R=0,95
R=0,85
R=0,9
R=0,9
R=0,95
R=0,9
RE R=0,9
a) Mekkora sorok eredő (RA, RB, RE) megbízhatóságai? b) Mi lesz a teljes sor eredő várható kibocsátása? 2.14. Feladat Egy üzem hetente 5 napot dolgozik, napi egy hatórás műszakban. Az üzemben egy új termék megjelenésekor a tanulási hatást a kapacitástervezésnél figyelembe veszik. Megfigyelték, hogy egy hasonló terméknél az első darab elkészítéséhez 120 percre, míg a 20-ik darab elkészítéséhez 76,2 percre volt szükség. A menedzsment úgy gondolja, hogy az új terméknél is hasonló tanulási hatás várható. a) Határozza meg az új terméknél használni kívánt tanulási rátát, ha az első darab elkészítésének ideje ennél a terméknél is 120 percre becsülhető! b) Hány hétre van szükség 530 darab termék elkészítéséhez, ha a tanulási hatást figyelembe vesszük? Tanulási hatás nélkül mennyi idő szükséges ennyi termék legyártásához? c) Határozza meg a gyártás indítását követő 4 hétre a heti gyártási mennyiségeket!
13
3.
KÉSZLETGAZDÁLKODÁS
3.1. feladat Egy üzem egyik terméke iránt az igény 18000 darab évente és állandónak tekinthető. A terméket gyártó berendezés átállításának költsége 50000 Ft. A sor egyenletes ütemben 150 darabot gyárt naponta. A gyártás költsége 300 Ft/darab. A készlettartási ráta 25%. Tételezzük fel, hogy a nyomda évente 360 munkanapot dolgozik. a) Határozza meg az optimális gyártási sorozatnagyságot! b) Ha a termelés előkészítésnek 22 napra van szüksége a rendelés beérkezése és a gyártás indítása között, mekkora készletszintnél kell a rendelést feladni? c) Optimális rendelési politika alkalmazása mellett mekkora lesz a teljes költség? d) Ha a gyártósor termelékenysége a kétszeresére nő, mennyivel változik a maximális készletszint optimális értéke? 3.2. feladat Egy termék iránt az éves igény normál eloszlást követ 36000 darab/év várható értékkel és 1800 darab/év szórással. A termék beszerzési költsége 75 Ft/db. A készlettartási ráta 24% egy évre. A rendelési költség 1000 Ft rendelésenként. A menedzsment kívánalmai szerint a készlet kifogyásának valószínűsége egy évben kisebb kell, hogy legyen 4%-nál. a) Folyamatos készletvizsgálati modellt feltételezve, mekkora az optimális rendelési tételnagyság, a biztonsági készlet, valamint a rendelési készletszint, ha az utánrendelési idő 32 nap? b) Mekkora lesz a biztonsági készlet, ha az utánrendelési idő a felére csökken? c) Hasonlítsa össze az a) és b) pontban kapott biztonsági készleteket és magyarázza meg a különbséget! d) Mekkora az a) pontban számolt készletezési politika teljes költsége? 3.3. feladat Egy nyomda könyveket készít nagykereskedelmi vállalatok részére. A termék iránti igény állandónak tekinthető és értéke 7200 darab évente. Egy darab könyv gyártási költsége 1450 Ft/db. A készlettartási ráta 18% évente. A nyomdagépek átállításának költsége a szóban forgó termék gyártására 15000 Ft-ra becsülhető. A használt nyomdagép 25000 db gyártására képes évente. A rendelés feladása és a gyártás indítása között 15 nap telik el. Tételezzük fel, hogy a nyomda évente 360 munkanapot dolgozik. a) Mekkora az optimális gyártási tételnagyság? b) Mekkora az optimális maximális készletszint? c) Milyen készletszintnél kell feladni a rendelést a gyártás indítására? d) Mekkora az optimális készletezési politika teljes költsége? 3.4. feladat Egy cipőbolt egy fekete elegáns cipőből átlagosan 500 darabot ad el negyedévente. Az igény állandónak tekinthető. A rendelés feladásának költsége 3000 Ft. A készlettartási ráta 20%. A szállító a következő proporcionális mennyiségi árkedvezményt nyújtja:
14
Rendelési mennyiség
Ft/pár
0 - 99
3600
100 - 199
3200
200 - 299
3000
300 vagy több
2800
A bolt jelenlegi beszerzési politikája szerint 500 darabos tételeket rendelnek. a) Mekkora az optimális rendelési tételnagyság? b) A jelenlegi rendelési politikához képest mennyi megtakarítást jelentene az optimális rendelési politika alkalmazása? 3.5. feladat Egy nagy autókarosszéria-szerelő üzem 1250 lökhárítót szerel fel évente, amelyek közül 15% import autókhoz szükséges. Az összes importált autóhoz szükséges mennyiséget egy helyi beszállítótól vásárolják 1800 forintos egységáron. A készlettartási ráta évente 25%. A rendelési költség 3000 forint. Évi 360, heti 7 munkanappal számoljon. a) Határozza meg az importált lökhárítók gazdaságos rendelési tételnagyságát, valamint a rendelések között eltelt időt. b) Ha az utánrendelési idő 6 hét, mekkora az utánrendelési készletszint? c) Jelenleg az üzem évente egyszer rendel. Mennyit takarít meg az üzem, ha az optimális rendelési tételnagyság szerint rendel? 3.6. feladat Egy üzem egyik fontos terméke egy speciális mérőműszer, amely iránt az igény becsült értéke 300 darab évente. Az utánrendelési idő alatt az igény normális eloszlást követ, amelynek várható értéke 15 darab, szórása pedig 6 darab. A termék beszerzési ára 20 eFt/db, az éves készlettartási ráta 15%, a rendelési és szállítási költség együttesen 50 eFt. A végtermékraktárban folyamatos készletvizsgálati rendszert alkalmaznak. a) Mekkora az optimális gyártási tételnagyság? b) Ha a raktár évente átlagosan kettőnél többször nem akar kifogyni a készletekből, mekkora raktárkészletnél kell feladnia a rendelést az üzem felé? c) Mekkora a mérőműszerből tartott biztonsági készlet és annak készlettartási költsége? d) Mekkora a meghatározott készletezési politika teljes költsége? 3.7. feladat Egy adott terméket forgalmazó vállalat a következő proporcionális mennyiségi diszkontot nyújtja partnerének: Rendelési mennyiség
Egységár
0 - 399
$2,2
400 - 699
$2,0
700 -
$1,8
15
A termék iránti éves igény 10000 db. A rendelési költség $5,5, a készlettartási ráta 20% évente. a) Mekkora az optimális rendelési tételnagyság? b) Mekkora a teljes költség optimális értéke? 3.8. feladat Egy üzem az egyik beszállítója által gyártott speciális csavart használ gyártmányaihoz. A csavarok iránti igény átlagosan 3000 darab havonta. A rendelés és szállítás költsége együttesen 5000 Ft rendelési tételenként. A csavar beszerzési ára 960 Ft, a vállalatnál alkalmazott készlettartási ráta 34% egy évre. A havi igény szórása 300 darab. Feltételezzük, hogy az igény normális eloszlású valószínűségi változó. Az üzemvezetés a termelés biztonsága érdekében úgy határozta meg készletgazdálkodási rendszer biztonságát, hogy hiány csak átlagosan három évente egyszer lehet. Évente 360 munkanappal számoljon. a) Mekkora az optimális rendelési tételnagyság? b) Mekkora az utánrendelési készletszint, ha az utánrendelési idő 7 nap? 3.9. feladat Egy termék iránt az éves igény normál eloszlást követ 72000 darab/év várható értékkel és 3000 darab/év szórással. A termék beszerzési költsége 200 Ft/db. A készlettartási ráta 25% egy évre. A rendelési költség 2500 Ft rendelésenként. A menedzsment kívánalmai szerint a készlet kifogyásának valószínűsége egy évben kisebb kell, hogy legyen 8%-nál. Évente 360 munkanappal számoljon. a) Folyamatos készletvizsgálati modellt feltételezve, mekkora az optimális rendelési tételnagyság, a biztonsági készlet, valamint a rendelési készletszint, ha az utánrendelési idő 45 nap? b) Mekkora lesz a biztonsági készlet, ha az utánrendelési idő 30 napra csökken? c) Hasonlítsa össze az a) és b) pontban kapott biztonsági készleteket és magyarázza meg a különbséget! d) Mekkora az a) pontban számolt készletezési politika teljes költsége? 3.10. feladat Egy csomagoló üzem, a csomagoláshoz szükséges egyik alapanyagból átlagosan 3000 darabot rendel évente. Az igény állandónak tekinthető. A rendelés feladásának költsége 2500 Ft. A készlettartási ráta 25%. A szállító a következő proporcionális mennyiségi árkedvezményt nyújtja: Rendelési mennyiség 1-199
Ft/egység 1600
200-399
1400
400-599
1200
600-
1000
Az üzem jelenlegi beszerzési politikája szerint 500 darabos tételeket rendelnek.
16
a) Mekkora az optimális rendelési tételnagyság? b) A jelenlegi rendelési politikához képest mennyi megtakarítást jelentene az optimális rendelési politika alkalmazása? c) Hányszor rendel az üzem évente, ha az optimális politikát alkalmazza? d) Ábrázolja a teljes költségfüggvényt, tűntesse fel a proporcionális kedvezmény határait és a hozzájuk tartozó költségeket! 3.11. feladat Egy viszonteladónak az egyik termékből átlagosan 2000 darabra van szüksége évente. Igénye állandónak tekinthető. A rendelés feladásának költsége 2000 Ft. A készlettartási ráta 20%. A termék ára 2000 Ft, ám a szállító az 1500. darabtól kezdődően 1900 Ft proporcionális mennyiségi árkedvezményt nyújtja. Évente 360 munkanappal számoljon. Jelenlegi beszerzési politikája szerint 1000 darabos tételeket rendel. a) Mekkora az optimális rendelési tételnagyság, hányszor rendel az üzem évente optimális esetben, mekkora az átlagos készletszint? b) Mekkora az éves készlettartási költség? c) A jelenlegi rendelési politikához képest mennyi megtakarítást jelentene az optimális rendelési politika alkalmazása? d) Ábrázolja a teljes költségfüggvényt, tűntesse fel a proporcionális kedvezmény határait és a hozzájuk tartozó költségeket! 3.12. feladat Egy élelmiszeripari vállalat egyik terméke iránt az igény 12000 tonna évente és állandónak tekinthető. A terméket gyártó berendezés átállításának költsége 5000 Ft. A gyártósor egyenletes ütemben 16000 tonnát tud gyártani évente ebből a termékből. A gyártás költsége 1000 Ft/tonna. Az éves készlettartási ráta 12%. Tételezzük fel, hogy a vállalat évente 360 munkanapot dolgozik. a) Folyamatos beszállítást feltételezve határozza meg az optimális gyártási sorozatnagyságot! b) Ha az utánrendelési idő 1 hónap, mekkora készletszintnél kell a rendelést feladni? c) Optimális rendelési politika alkalmazása mellett mekkora lesz a teljes költség? d) Jelenleg a vállalat az év elején legyártja az összes szükséges mennyiséget, így az év további részében gyártókapacitása más termékek gyártására áll rendelkezésre. Mennyi megtakarítást jelentene ehhez képest az optimális politika alkalmazása? e) Milyen gyártási költségnél lenne optimális a d.) pontban említett jelenleg alkalmazott politika? 3.13. feladat Legyen egy termék iránt jelentkező igény normális eloszlású melynek évi várható értéke 3600 darab, szórása 245 darab. A rendelési költség 12000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. A menedzsment átlagosan évi háromszori hiány kialakulását tartja elfogadhatónak. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. a) Határozza meg az optimális rendelési tételnagyság értékét! b) Ha az utánrendelési idő 15 nap, mekkora lesz a biztonsági készletszint, valamint az utánrendelési készletszint nagysága? 17
c) Határozza meg az előző pontokban meghatározott rendelési politikához tartozó teljes költség értékét! d) Tételezzük fel, hogy a menedzsment megvizsgálva a kapott eredményt, soknak tartja a biztonsági készletre fordított összeget, és előírja annak felére csökkentését. Évente átlagosan milyen gyakran alakulna ki hiány ebben az esetben? 3.14. feladat Egy termék iránt jelentkező igény egy évben átlagosan 3600 darab. A rendelési költség 12000 Ft. Egy darab beszerzési költsége 2500 Ft, az éves készlettartási ráta 60%. A szállító azonban árengedményt ajánl a vásárlónak amely szerint, ha a rendelt mennyiség 700 darabnál nagyobb, akkor az eredeti árból 20 %-ot enged a 700 darab feletti mennyiségre. Számoljunk közelítőleg évi 360 munkanappal. a) Határozza meg az optimális rendelési tételnagyságot! b) Mekkora lenne az optimális rendelési tételnagyság, ha az eladó nem 20%, hanem csak 4% árkedvezményt ajánlana a 700 darab feletti vásárlásokra? c) Mekkora lenne az optimális rendelési tételnagyság, ha a 4% árkedvezmény már 200 darab feletti mennyiségekre járna?
18
4.
TERMELÉSTERVEZÉS
4.1. feladat Egy termék iránti igény, valamint a meghatározott biztonsági készlet a következő öt hónapban az alábbi táblázatban található: Hónap
1
2
3
4
5
Igény
50
45
190
220
150
Biztonsági készlet
10
5
15
20
10
A terméket két telephelyen gyártják. Az egyes telephelyeken a gyártási költségek, valamint a gyártási kapacitások a következők:
1
Gyártási költség (Ft/darab) 1000
Gyártási kapacitás (darab/hó) 80
2
1500
120
Telephely
A készlettartási költség 200 Ft/darab/hó. A raktár kapacitása 60 darab/hó. Készítse el az optimális termelési tervet! 4.2. feladat Egy termék iránt az igény, valamint a gyártási és raktározási költségadatok az elkövetkező négy hónapban a következő módon alakulnak: Hónap
Igény (darab/hó)
Sorozat indítás költsége (Ft/sorozat)
Készlet tartási költség (Ft/darab/hó)
Gyártási költség (Ft/db)
1
80
500
2
5
2
170
500
2
5
3
60
500
2
5
4
120
500
2
5
a) Készítse el a négy hónap optimális termelési tervét! b) Mennyi az optimális termelési terv teljes költsége? c) Mekkora sorozatindítási költség esetén lesz minden hónapban az éppen aktuális igény legyártása optimális? 4.3. feladat Egy gyártási folyamat termelési tervének öt hónapra való összeállításához a következő adatok állnak rendelkezésre: I0=0, I5=0
19
Hónap
Igény (darab)
1
40
Gyártási költség (eFt/darab) 10
2
Gyártási kapacitás (darab) 120
2
80
10
2
120
3
100
20
2
120
4
120
20
2
120
5
120
30
2
120
Készlettartási költség (eFt/darab/hó)
a) Készítse el táblázatos módszerrel az optimális termelési tervet! (Tételezzük fel, hogy nincs raktározási korlát.) b) Készítse el táblázatos módszerrel az optimális termelési tervet feltételezve, hogy a raktározási kapacitás 60 darab/hó!
20
5.
TERMÉKÖSSZETÉTEL
5.1. feladat Egy üzem két terméket gyárt. Mindkét termék gyártásához négy erőforrásra van szükség. A termék-erőforrás mátrixot, az erőforrásokból rendelkezésre álló mennyiséget, a piaci korlátokat, valamint a termékek fajlagos fedezeteit a következő táblázatok tartalmazzák. Gyártási erőforráskorlátok:
Erőforrás 1
Termék 1 [gó/db] 1
Termék 2 [gó/db] 2
Kapacitás [gó] 2.000
Erőforrás 2 Erőforrás 3
1 2
1 1
1.200 2.000
Erőforrás 4
3
1
3.000
Piaci korlátok (db):
Minimum
Termék 1 50
Termék 2 -
Maximum
-
1.200
Termék 1 2
Termék 2 3
Termékek fajlagos fedezete (eFt/db):
Fajlagos fedezet
a) Határozza meg az optimális termékszerkezetet (gyártási programot) és a fedezet optimális értékét! b) Határozza meg a maximális fedezetet biztosító gyártási programot, ha a második termék fajlagos fedezete c2=5–re módosul! c) Határozza meg az optimális termékszerkezetet, ha c1=4-re és c2=1–re módosul! Mekkora a célfüggvény értéke ebben az esetben! d) Határozza meg az optimális termékösszetételt a hozzá tartozó fedezettel, ha termékek fajlagos fedezete c1=7-re és c2=4–re módosulnak! e) Határozza meg az optimális termékszerkezetet és a fedezet optimális értékét, ha a termékek fajlagos fedezetei c1= -1-re és c2=1–re módosulnak! f) Határozza meg az optimális gyártási programot és a maximális fedezettömeget, ha a termékek fajlagos fedezetei c1=1-re és c2= -1–re módosulnak! 5.2. Feladat Egy bőrkesztyűk készítésével foglalkozó kisüzem kétujjas és ötujjas kesztyűket gyárt. Mindkét típusú kesztyű előállítása a következő három műveletet igényli: anyag kivágása, varrás, csomagolás. Egy kétujjas kesztyűhöz szükséges anyag kivágása 24 perc, megvarrása 12 perc. Az ötujjas kesztyű anyagának kivágása és a kesztyű megvarrása is 30-30 percet igényel. Mindkét termék csomagolási ideje 24 perc kesztyűnként.
21
Az üzem egy kétujjas kesztyű eladásával 6.300 Ft, míg egy ötujjas kesztyű értékesítésével 7.000 Ft árbevételre tesz szert. A gyártás során felmerülő közvetlen költsége a kétujjas kesztyűnek 4.800 Ft, míg az ötujjasé – a bonyolultabb vágás és varrás miatt – 5.000 Ft. Az üzem termelési tervet készít a következő három hónapra. Kétujjas kesztyűből már 250 darabot megrendeltek. Az ötujjasból 700 darabnál több nem értékesíthető. A vizsgált időszakban a kivágásra 400 óra, a varrásra 300 óra, a csomagolásra pedig 480 óra áll rendelkezésre. a) Hány kétujjas és ötujjas kesztyűt készítsen az üzem, ha a legnagyobb fedezettömeget kívánja elérni? Optimális esetben mennyi a fedezet? b) Mennyiben módosulnak az a) pontban kapott eredmények, ha az üzem az árbevételt maximalizálja? c) A vizsgált időszakban a csomagolásra rendelkezésre álló idő – a csomagoló dolgozók szabadságolásai miatt – 30%-kal csökken. Hogyan befolyásolja ez az üzem működését? 5.3. feladat Egy üzem két terméket gyárt, amelyek fajlagos fedezete rendre 180 Ft/db és 290 Ft/db. Egy üzem két terméket gyárt, amelyek fajlagos fedezete rendre 180 Ft/db és 290 Ft/db. Mindkét termék gyártásához két erőforrásra van szükség. Termék 1 megmunkálási ideje mindkét erőforráson 1-1 gépóra. Termék 2 gyártása Erőforrás 1-en 1, míg Erőforrás 2-n 2 gépórát igényel. Erőforrás 1-en a vizsgált időszakban 1.200 gépóra, Erőforrás 2-n pedig 1.600 gépóra áll rendelkezésre. A termékekből a kötelezően gyártandó minimális és az eladható maximális mennyiségeket az alábbi táblázat tartalmazza.
Xmin [db] Xmax [db]
Termék 1 200 1.000
Termék 2 100 -
a) Ábrázolja és jelölje a megengedett megoldások halmazát! Határozza meg az optimális termékszerkezetet (gyártási programot) és a fedezet optimális értékét! b) Határozza meg az “Erőforrás 1“ és “Erőforrás 2“ árnyékárait valamint azok érvényességi tartományait! c) Határozza meg a “Termék 1” fajlagos fedezetének az optimális megoldáshoz tartozó érvényességi tartományát! 5.4. Feladat Egy vegyipari üzem egyik részlegében színes és fehér ruhák mosásához ajánlott mosóport készítenek. Mindkét mosószerből 25 kg már megrendelésre került. Egy kg színes ruhákhoz való mosószer fajlagos fedezete 1.100 Ft/kg, míg a fehér ruhákhoz valóé csak 900 Ft/kg. A két mosóporhoz szükséges alapanyagok előállítása az üzem más részein történik, a szóban forgó részleg feladata az alapanyagok megfelelő arányú keverékének előállítása. A mosóporokat háromféle alapanyag felhasználásával készítik: optikai fehérítő, felületaktív anyag és szappan. Ezen alapanyagokból a következő hónapban rendre 500, 600, illetve 650 kg áll rendelkezésre. Az alapanyagokat a következő táblázatban (kg-ban) megadott mennyiségben keverik a mosóporok előállításához.
22
mosópor alapanyag optikai fehérítő felületaktív anyag szappan
színes
fehér
1 2 3
3 3 2
a) Mennyi színes és fehér ruhákhoz való mosóport állítson elő a vizsgált részleg, ha az üzem a legnagyobb fedezettömeget kívánja elérni? b) Ábrázolja a fajlagos fedezetek optimális megoldáshoz tartozó érvényességi tartományát! c) A részlegnek lehetősége lenne további szappant vásárolni egy szappankészítéssel foglalkozó vállalkozótól. A vállalkozó 200 kg szappanért 60 eFt-ot kér. Megéri elfogadni az ajánlatot? 5.5. feladat Egy fémmegmunkálással foglalkozó vállalat gombostű- és aprószeggyártó üzeme kétféle alapanyagú (acél, vas) gombostűt gyárt. A gyártási technológia fő folyamatai a gyártás és a nikkelezés. Egy negyedéves időszakban rendre a következő kapacitások állnak rendelkezésre: 1.600 és 4.800 munkaóra. A termékek fajlagos fedezete 150 illetve 400 Ft gombostűfajtánként (kg-ként). Az üzemi felmérésekből ismert, hogy 1 kg gombostű előállítása mennyi munkaórát vesz igénybe a különböző technológiai folyamatokból. 1 kg acél gombostű legyártása 30 percet igényel, ennek nikkelezése 3 órába telik. A vas gombostű fajlagos gyártási ideje 2 óra/kg, nikkelezése kg-ként 4 órát igényel. Az értékesítési osztály az előrendelések és a piaci adottságok figyelembevételével a következő piaci korlátokat határozta meg: gombostűfajta korlát Minimum [kg] Maximum [kg]
acél
vas
200
150
1.200
900
a) Határozza meg, hogy optimális esetben hány kg acél és vas gombostű kerül legyártásra, ha a cél a fedezettömeg maximalizálása! Mekkora az optimális fedezet? b) Milyen tartományban változhat a vas gombostű fajlagos fedezete, hogy az optimális megoldás ne változzon meg? c) Határozza meg a gyártás mint technológiai folyamat árnyékárát, valamint annak érvényességi tartományát! d) A gyártás kapacitása 100 gépórával lecsökken karbantartás miatt. Mekkora veszteség éri emiatt az üzemet? 5.6. feladat Egy üzem két terméket gyárt. Mindkét terméknek 800 Ft a fajlagos fedezete. A termékek legyártása három erőforrást igényel. Az erőforrásokból a vizsgált időszakban rendelkezésre álló mennyiséget, valamint a termékek erőforrásonkénti megmunkálási idejét a következő táblázat tartalmazza:
23
B termék [gó/db] 1,5
Kapacitás
Erőforrás 1
A termék [gó/db] 2,5
Erőforrás 2 Erőforrás 3
2 2
5 0
2.500 1.000
1.700
A vizsgált időszakban az A termékből a maximálisan eladható mennyiség 750 db, míg B termékből 700. A termékből 100, B termékből 50 darab biztosan értékesíthető. a) Optimális esetben mennyi A és B termékből gyártandó mennyiség? Ekkor mekkora a fedezet értéke? b) Határozza meg az A termék fajlagos fedezetének az optimális megoldáshoz tartozó érvényességi tartományát! c) Határozza meg az Erőforrás 1 árnyékárát és érvényességi tartományát! d) Milyen gazdasági következménnyel jár E1 erőforrás kapacitásának 100 gépórával való csökkentése? Ugyanekkora növekedés milyen hatással lenne a működésre? 5.7. feladat Egy sütőipari kisvállalat kétféle kenyeret készít négy alapanyag felhasználásával. Az egyes kenyerekből a vállalat optimális mennyiséget állít elő. A gazdasági szakemberek a következő táblázatban megadott adatok alapján a jelenlegi működés módosítását fontolgatják.
finomliszt só
Rendelkezésre álló mennyiség (kg) 4.000 1.500
élesztő rozsliszt
1.750 3.000
alapanyag
0 25
Érvényességi tartomány alsó határa (kg) 3.950 1.000
Érvényességi tartomány felső határa (kg) ∞ 3.000
0 50
0 2.000
3.200 4.200
Árnyékár (Ft/kg)
a) Lehetőség kínálkozik a sóból további 2.000 kg megvásárlására. Érdemes megvenni ezt a 2.000 kg-ot 40 eFt-ért? b) A táblázatban szereplő információk alapján melyik alapanyag(ok)ra kell a vezetőknek kiemelt figyelmet fordítaniuk? c) A rozslisztből lehetőség lenne 850 kg-mal növelni a rendelkezésre álló mennyiséget. Maximum mennyit érdemes ezért a 850 kg-ért fizetni? 5.8. feladat Egy üzem két terméket gyárt (A és B). A terméknek 150 Ft, B-nek pedig 100 Ft a fajlagos fedezete. A termékből a maximálisan gyártható mennyiség 150 db, B termékből 200 db. A gyártáshoz két erőforrásra van szükség, melyekből a vizsgált időszakban rendre 200, illetve 300 gépóra áll az üzem rendelkezésére. Az A termék megmunkálási ideje mindkét erőforráson 1-1 gépóra. B termék gyártása az Erőforrás 1-en 2 gépórát, Erőforrás 2-n 1 gépórát vesz igénybe. a) Hány A és B terméket gyártson az üzem , ha célja a maximális fedezettömeg elérése? Határozza meg a fedezet optimális értékét! b) Határozza meg a B termék fajlagos fedezetének az optimális megoldáshoz tartozó
24
érvényességi tartományát! c) Határozza meg a szűkkeresztmetszetek árnyékárát és azok érvényességi tartományait! d) Lehetőség kínálkozik az Erőforrás 1 kapacitásának 300 gépórával való bővítésére. A bővítésnek a vizsgált időszakra eső költsége 13000 eFt lenne. Érdemes a bővítést végrehajtani? Válaszát számítással indokolja! 5.9. feladat Egy két terméket gyártó és forgalmazó, fedezetmaximalizáló üzem gyártási programja optimális. A menedzsment a következő információkkal rendelkezik X és Y termékekről:
X
Fajlagos eladási ár (Ft) 780
Fajlagos közvetlen költség (Ft) 600
Fajlagos fedezet (Ft) 180
Fajlagos fedezet érvényességi tartományának alsó határa (Ft) 120
Fajlagos fedezet érvényességi tartományának felső határa (Ft) 350
Y
800
655
145
140
480
Termék
a) Melyik termék fajlagos fedezetének alakulását kell fokozottan figyelni? b) A menedzsment az Y termék árának növelését fontolgatja. Mennyivel nőhet az Y termék ára a gyártási program változatlansága mellett? c) Az üzem egy költségcsökkentő program eredményeként X termék fajlagos közvetlen költségét mérsékelni tudja. Meddig csökkenhető X termék fajlagos közvetlen költsége, hogy az optimális megoldás ne változzon meg? 5.10. feladat Egy kis asztalosműhelyben kétféle bútort gyártanak: ruhásszekrényt és könyvespolcot. Mindkét termék elkészítéséhez szükség van a következő négy alapanyagra: oldallap, hátlap, ajtó és polc. Mind a szekrényhez, mind a könyvespolchoz 2-2 db oldallapra van szükség. Hátlap és ajtó csak a szekrényhez kell, a könyvespolchoz nem. Hátlapból 1, ajtóból 2 db-ra van szükség egy szekrényhez. Egy könyvespolchoz 5, egy szekrényhez 1 polcot használnak fel. Az asztalosműhelyben egy hónapban 720 db oldallap, 300 db hátlap, 800 db ajtó és 800 db polc készül el. Ha mindkét termék 50 ezer Ft-ért értékesíthető, mekkora a két bútorból gyártandó optimális mennyiség? Optimális esetben mekkora az árbevétel?
25
6.
MRP (ANYAGSZÜKSÉGLET-TERVEZÉS)
6.1. feladat Anyagszükséglet tervezési rendszert (MRP) alkalmazunk egy két fajta komponensből készülő végtermék készletgazdálkodásánál. Az A végtermék elkészítéséhez szükség van öt darab B és két darab C komponensre. Egy darab C-hez szintén szükség van két darab B komponensre. A készletinformációk az év elején a következő módon alakulnak: Készlet
Rendelhető tételnagyság
Utánrendelési idő (hónap)
A
-
100 db-os csomagok
1
B
3000
nincs korlát
1
C
100
min. 500 db
1
A végtermék éves termelési programja öt hónapra, havi bontásban a következő: Hónap: 1 2 3 4 5 Igény: 120 130 80 120 170 Egy adott hónapra megrendelt tétel mindig a hónap elején érkezik meg. A készletet minél hamarabb igyekszünk felhasználni. a) A tételt-tételre politikát alkalmazva készítse el a végtermék és komponenseinek rendelési ütemtervét. b) Határozza meg a B komponens rendelési ütemtervet akkor, ha a gyártási kapacitáskorlátot figyelembe kell venni! Mekkora többletköltséget jelent a kapacitáskorlát megléte? Számoljon a következő adatokkal: Gyártási kapacitás: 500 db/hó Készlettartási költség: 40 Ft/db/hó Rendelési költség: 60 000 Ft 6.2. feladat Anyagszükséglet tervezési rendszert (MRP) alkalmazunk egy két fajta komponensből készülő végtermék készletgazdálkodásánál. Az A végtermék elkészítéséhez szükség van két darab B és két darab C komponensre. Egy darab C-hez szintén szükség van egy darab Bkomponensre. A készletinformációk az év elején a következő módon alakulnak: Készlet
Rendelhető tételnagyság
Utánrendelési idő (hét)
A
20
nincs korlát
1
B
-
nincs korlát
2
C
-
minimum 200
2
A végtermék éves termelési programja öt hétre, heti bontásban a következő: Hét: 1 2 3 4 5 Igény: 95 50 75 125 100
26
Egy adott hétre megrendelt tétel mindig a hét elején érkezik meg. A készletet minél hamarabb igyekszünk felhasználni. (Számoljon évi 52 munkahéttel!) a) A tételt-tételre politikát alkalmazva készítse el a végtermék és komponenseinek rendelési ütemtervét! b) A legkisebb összes költség politikát alkalmazva határozza meg a B komponens rendelési ütemtervét! Számoljon a következő adatokkal: Rendelési költség: 5000 Ft Beszerzési költség: 1000 Ft/db Heti készlettartási ráta: 0,5% c) A komponens periódus (PPB) szabályt alkalmazva határozza meg a B komponens rendelési ütemtervét! Számoljon a fenti adatokkal. 6.3. feladat Anyagszükséglet tervezési rendszert (MRP) alkalmazunk egy két fajta komponensből készülő végtermék készletgazdálkodásánál. Az A végtermék elkészítéséhez szükség van egy darab B és két darab C komponensre. Egy darab C-hez szintén szükség van egy darab Bkomponensre. A készletinformációk az év elején a következő módon alakulnak: Készlet
Utánrendelési idő (hét)
A
-
1
B
-
1
C
-
2
A végtermék éves termelési programja öt hétre, heti bontásban a következő: Hét: 1 2 3 4 5 Igény: 20 50 80 50 100 Egy adott hétre megrendelt tétel mindig a hét elején érkezik meg. A készletet minél hamarabb igyekszünk felhasználni. (Számoljon évi 52 munkahéttel!) a) A tételt-tételre politikát alkalmazva készítse el a végtermék és komponenseinek rendelési ütemtervét. b) A legkisebb egység költség politikát alkalmazva határozza meg a B komponens rendelési ütemtervét! Számoljon a következő adatokkal: Rendelési költség: 50 000 Ft Készlettartási költség: 200 Ft/db/hét c) Mennyivel változik meg a b) pontban kapott rendelési ütemterv eredményeként a komponensek raktározásának összes költsége? Értékelje a kapott eredményt! 6.4. feladat Anyagszükséglet tervezési rendszert (MRP) alkalmazunk egy két fajta komponensből készülő végtermék készletgazdálkodásánál. Az A végtermék elkészítéséhez szükség van két darab B és két darab C komponensre. Egy darab C-hez szintén szükség van egy darab Bkomponensre. A készletinformációk az év elején a következő módon alakulnak:
27
Készlet
Rendelhető tételnagyság
Utánrendelési idő (hét)
A
50
nincs korlát
1
B
-
nincs korlát
1
C
100
minimum 250
2
A végtermék éves termelési programja öt hétre, heti bontásban a következő: Hét: 1 2 3 4 5 Igény: 150 100 150 100 150 Egy adott hétre megrendelt tétel mindig a hét elején érkezik meg. A készletet minél hamarabb igyekszünk felhasználni. a) A tételt-tételre politikát alkalmazva készítse el a végtermék és komponenseinek rendelési ütemtervét! b) Az optimális rendelési tételnagyság (EOQ) politikát alkalmazva határozza meg a B komponens rendelési ütemtervét! Számoljon a következő adatokkal: Rendelési költség: 60 000 Ft Beszerzési költség: 5 000 Ft/db Heti készlettartási ráta: 0,5 % 6.5. feladat Egy termék előállításához 4 alkatrészre van szükség: 2 db B, 1 db C, 3 db D és 2 db E jelzésűre. A C és D jelzésű alkatrészek tovább bonthatóak további alkatrészekre: 1 db D alkatrészhez 2 db C jelzésű alkatrészt kell felhasználni; 1 db C alkatrész elkészítéséhez 1 db B és 2 db E alkatrész szükséges. a) Rajzolja fel a termék komponens-hierarchiáját (alsó szintű kódolással is)! b) A végtermékre az elkövetkező 6 hónapra a következő értékesíthető mennyiségeket jelezték előre: 100; 120; 160; 130; 120; 140 darab. A B és E jelzésű alkatrészeket önmagában is értékesíti a vállalat, ezekre, az első hónapot követően, fix kereslet mutatkozik, minden hónapban 100-100 darab adható el. Készítse el a végtermék és komponenseinek rendelési ütemtervét a következő táblázatokban található raktárkészletés rendelési adatok alapján! Komponens
Raktárkészlet
A B C D E
100 100 400 0 200
Komponens A B C D E
Biztonsági készlet 0 0 50 0 50
Ütemezési szabály FP (2 hó) LFL FQ (1200 db) LFL LFL
Lekötött mennyiség 30 100 150 0 0
Rendelhető mennyiség min. 200 db nincs megkötés nincs megkötés nincs megkötés 500 db-os csomag
28
Várt beérkezés 0 0 100 100 350
Utánrendelési idő 1 hó 2 hó 1 hó 1 hó 1 hó
6.6. feladat Anyagszükséglet tervezési rendszert (MRP) alkalmazunk egy kétfajta komponensből készülő végtermék készletgazdálkodásánál. Az A végtermék elkészítéséhez szükség van három darab A1 és két darab A2 komponensre. Egy darab A1 komponenshez szükség van egy darab A2 komponensre. Az A2 komponensből 200 db biztonsági készletet kell tartani, továbbá a 3. és 6. hónapban 500-500 darabos független igény jelezhető előre ebből a komponensből a gyár negyedéves karbantartására. A készlet-, költség- és rendelési információk a vizsgált időszak elején a következő módon alakulnak: Termék
Raktárkészlet
A
0
Rendelési/át állási költség 216 eFt
A1
0
A2
200
Készlettartási költség
Rendelhető tételnagyság
Utánrendelési idő (hónap)
210 Ft/db/hó
minimum 200 db
2
130 eFt
200 Ft/db/hó
nincs korlát
1
240 eFt
150 Ft/db/hó
nincs korlát
1
A végtermék termelési programja a következő hat hónapra, havi bontásban a következő: Hónap Igény
1 150
2 300
3 250
4 200
5 175
6 225
Készítse el a végtermék és komponenseinek rendelési ütemtervét figyelembe véve, hogy a végterméknél a menedzsment tételt tételre (LFL) szabályt, az A1 komponensnél legkisebb periódusköltség (LPC, Silver Meal) heurisztikát és az A2 komponensnél Groff tételnagyságképzési szabályt kíván alkalmazni! 6.7. feladat Anyagszükséglet-tervezési rendszert (MRP) alkalmazunk egy termék készletgazdálkodásánál. A termék komponenshierarchiáját a következő ábra tartalmazza. A
C(1)
B(1)
D(3)
G(2)
H(2)
E(2)
B(3)
F(2)
G(6)
B(4)
G(2)
B(2)
H(2)
G(1)
Az anyagszükséglet-tervezés eredményeként ismert az A, B, C, D, E és F komponensek rendelési ütemterve. A tervezett rendelésfeladásokat a következő táblázat tartalmazza.
29
6.8. Hónap -4 Tervezett rendelésfeladás Tervezett rendelésfeladás Tervezett rendelésfeladás Tervezett rendelésfeladás Tervezett rendelésfeladás Tervezett rendelésfeladás
(A) (B) (C) (D) (E) (F)
-3
-2
1440 3160 2600 120 80
-1 3950 200 60 160 40
0 20 3630 90 90 100 60
1 30 3920 250 30 180 20
2 10 1880 160 120 160 80
3 40 570 200 60 160 40
4 20
5 30
60 90 60
A G komponens iránt a 0. és az 5. hónapban 250-250 darabos független igény is jelentkezik. a) Az optimális rendelési tételnagyság (EOQ) politikát alkalmazva határozza meg a G komponens rendelési ütemtervét! Számoljon a következő adatokkal: Rendelési költség: 60 000 Ft Beszerzési költség: 5 000 Ft/db Havi készlettartási ráta: 0,5 % Utánrendelési idő: 1 hónap b) Határozza meg a G komponens rendelési ütemtervét a periódus rendelési tételnagyság (POQ) politikát alkalmazva is! Számoljon a fenti adatokkal! c) Melyik politika adja az alacsonyabb teljes költségű ütemtervet (az 5. hónap végéig felmerülő költségeket figyelembe véve)? Mivel indokolható ez? 6.9. feladat Hat hétre szeretnénk meghatározni egy termék optimális rendelési ütemtervét. Az igény a vizsgált hat héten rendre 50, 200, 100, 150, 250 és 100 darab. A jelenlegi beszállítónál a rendelési költség 300 000 Ft, egy termék egy heti tárolási költsége 2 500 Ft. A 3. hét végén azonban a vállalat áttér a termék házon belüli gyártására (a 4. héttől kezdődően már a vállalat gyártja a terméket). A készlettartási költség így alacsonyabb, mint korábban volt, az átállási költség azonban meghaladja a korábbi rendelési költséget. Ennek megfelelően az átállási költség 500 000 Ft-ra nő, egy termék egy heti tárolásának költsége pedig 2 000 Ft-ra csökken. Határozza meg a termék optimális rendelési/gyártási ütemtervét a vizsgált hat hétre! 6.10. feladat Négy hónapra szeretnénk meghatározni egy termék optimális rendelési ütemtervét. Az igény a vizsgált négy hónapban rendre 50, 25, 20 és 30 darab. Minden olyan hónapban, amikor rendelünk, felmerül egy egyszeri rendelési költség, amelynek értéke 50 000 Ft. Egy darab termék egy havi tárolásának költsége 1 000 Ft. a) Határozza meg a termék optimális rendelési ütemtervét! b) A rendelési költség milyen értékeinél lenne gazdaságos mindig éppen csak annyit rendelni, amennyi egy adott hónapban szükséges? c) Jelenleg havonta rendelik meg az egyes hónapokra szükséges mennyiségeket. Mennyivel kedvezőbb ennél a gyakorlatnál az optimális rendelési politika alkalmazása? 6.11. feladat Hat hónapra szeretnénk meghatározni egy termék optimális rendelési ütemtervét. Az igény a vizsgált hat hónapban rendre 150, 100, 150, 200, 250 és 150 darab. Havi készlettartási rátánk 30
5 %. Jelenlegi beszállítónknál a rendelési költség 120 000 Ft, egy termék beszerzési költsége 5 000 Ft. A 2. hónap végén azonban beszállítót váltunk (a 3. hónaptól kezdődően már az új beszállítótól rendelünk). Az új beszerzési költség alacsonyabb, mint a korábbi volt, a rendelési költség azonban meghaladja a korábbit. Ennek megfelelően a rendelési költség 150 000 Ft-ra nő, egy termék beszerzési költsége pedig 4 000 Ft-ra csökken. Határozza meg a termék optimális rendelési ütemtervét a vizsgált hat hónapra! 6.12. feladat Anyagszükséglet-tervezési rendszert (MRP) alkalmazva egy végtermék készletgazdálkodásánál az egyik vizsgált komponensre LFL tételnagyság-képzési szabályt alkalmazva a következő rendelési ütemtervet kaptuk. Hét Tervezett rendelésbeérkezés
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
20
50
60
10
0
60
70
30
50
Határozza meg a komponens gyártási ütemtervét (az 1-10. heti tervezési időtartamon belül) akkor, ha a gyártás során kapacitáskorlátot kell figyelembe venni! A tételcsúsztatást mind elölről hátrafelé, mind hátulról előrefelé végezze el! Mekkora többletköltséget jelent a kapacitáskorlát megléte a két esetben? Számoljon a következő adatokkal: Gyártási kapacitás: 40 db/hét Készlettartási költség: 250 Ft/db/hét Átállási költség: 80 000 Ft 6.13. feladat Anyagszükséglet tervezési rendszert (MRP) alkalmazva egy végtermék készletgazdálkodásánál az egyik vizsgált komponensre a következő rendelési ütemtervet kaptuk. Hét Tervezett rendelésbeérkezés
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
500
200
700
500
500
800
200
100
300
600
A komponenssel kapcsolatos rendelési és készlettartási költségek nagyságát a menedzsment túl magasnak tartja, így előírja annak csökkentését. A komponens rendelésének átütemezésekor azonban figyelembe kell venni, hogy a rendelkezésre álló kapacitás hetente 1 000 darab ilyen komponens gyártását teszi csak lehetővé. A vizsgált komponens gyártási költsége 3 500 Ft/db, a rendelési költség 30 000 Ft/rendelés, a készlettartási ráta 1 % hetente. Készítse el a komponens rendelésének ütemezését a kapacitáskorlátot figyelembe vevő költségcsökkentő heurisztikát alkalmazva (a rendelések átütemezését az utolsó időszaktól visszafelé haladva végezze)!
31
7.
ÜTEMEZÉS
7.1. feladat Egy vállalatnak 8 feladat elkészítési sorrendjéről kell döntenie. Az elsőként ütemezett projekt elkészítését az első napon kezdik, egyidejűleg csak egyetlen projekt futhat a vállalatnál. Az egyes projektek elkészítéséhez szükséges idők, fontosságukat jellemző súlyszámok, valamint teljesítésük határidői a következő táblázatban láthatóak: Feladat 1 2 3 4 5 6 7 8
Időszükséglet [nap] 9 6 2 5 7 3 4 8
Súlyszám 1 1 3 2 1 2 1 1
Határidő [nap] 12 26 48 34 15 22 44 10
a.) Adja meg a feladatok elkészítésének átfutási idejét minimalizáló sorrendet! b.) Adja meg a feladatok átlagos várakozási idejét minimalizáló sorrendjét! Mennyi a feladatok elkészítésének folyamideje? c.) Adja meg a feladatok átlagos határidő-eltérését minimalizáló sorrendet! Hogyan alakul feladatok elkészítésének átfutási ideje? d.) Adja meg az átlagos súlyozott folyamidőt minimalizáló sorrendet! e.) Adja meg a legnagyobb kését minimalizáló sorrendet! Hogyan alakul ez egyes feladatok késése? f.) Adja meg a feladatok legkisebb határidő-eltérést maximalizáló sorrendjét! Hogyan alakul az egyes feladatok elkészítésének folyamideje? g.) Adja meg a késő feladatok számát minimalizáló sorrendet! Hogyan alakulnak az egyes feladatok elkészítésének átfutási idői? h.) Adja meg a feladatok sorrendjét az „átlagos kését csökkentő” heurisztika segítségével! Hogyan alakulnak a feladatok határidő-eltérései? 7.2. feladat Egy vállalatnak 7 terméket kell elkészítenie és leszállítania az elkövetkező hónapokban. Az egyes termékek elkészülésüket követően azonnal kiszállíthatóak a megrendelőknek. Az egyes termékek elkészítéséhez szükséges idők a következők: A – 5 nap, B – 4 nap, C – 2 nap, D – 8 nap, E – 7 nap, F – 10 nap, G – 6 nap. a.) Ha az alapanyagok raktározási költségét kívánjuk csökkenteni, ami csak a raktárban töltött időtől függ, akkor milyen ütemezési sorrendet érdemes alkalmazni? b.) A termékek előállításához szükséges alapanyagok eltérő értékűek, ezért a bennük lekötött tőke következtében eltérő készlettartási költségek rendelhetőek hozzájuk. Az egyes termékekhez szükséges alapanyagok értékei a következők: A – 25 000 Ft, B – 40 000 Ft, C – 15 000 Ft, D – 50 000 Ft, E – 15 000 Ft, F – 40 000 Ft, G – 20 000 Ft. A készlettartási ráta egységesen 0,1% naponta. Ebben az esetben milyen ütemezési sorrend az indokolt?
32
7.3. feladat Egy vállalat egy igen fontos megrendelőjétől egyidejűleg 6 különböző megrendelést kapott. A megrendelések elkészítéséhez szükséges idők és a megrendelő által szabott határidők a következő táblázatban láthatóak: Tétel A B C D E F
Műveleti idő (nap) 6 2 4 8 3 5
Határidő (nap) 15 12 24 20 29 22
A vállalat legfontosabb versenyelőnye, hogy sosem késik megrendelési teljesítésével. Éppen ezért a megrendelés elvállalása előtt a menedzsment tudni szeretné, hogy teljesíthetőek-e a megrendelésben szereplő feladatok a kitűzött határidőkig. Ellenőrizze, hogy képes-e a vállalat időben elkészíteni minden feladatot! 7.4. feladat Egy nagy cég leányvállalatának az elkövetkező negyedévben 5 projektet kell levezényelnie. A rendelkezésre álló kapacitások szűkössége következtében egyidejűleg csak egy projekt futhat, a projektek elkészítésének sorrendjére vonatkozóan azonban nincs semmilyen megkötés. Az egyes projektek elkészítéséhez szükséges idő, valamint a teljesítésük határidői a következő táblázatban láthatóak: Projekt P1 P2 P3 P4 P5
Műveleti idő (nap) 6 9 8 5 11
Határidő (nap) 21 12 16 30 24
a.) Ha a vállalat késik projektjei elkészítésével, akkor büntetést kell fizetnie az anyavállalatnak. Minden késő projekt után 250 000 Ft büntetést kell megfizetni. Ütemezze olyan módon a feladatokat, hogy az minimalizálja a leányvállalat által fizetendő büntetések összegét! b.) Milyen sorrendben érdemes elvégezni az egyes projekteket akkor, ha az anyavállalat kötbérszerűen számítja a büntetéseket, tehát ha a késések hossza alapján kalkulálja a büntetést, nem csak a késés ténye alapján? 7.5. feladat Egy oktatási segédanyagok készítésével foglalkozó szakemberekből álló team 7 segédanyag elkészítésére kapott felkérést. Egyidejűleg csak egy segédanyagon tudnak dolgozni, az egyes segédanyagokért járó díj fizetése legkorábban a határidőként megadott időpontban esedékes (késés esetén természetesen csak a teljesítés időpontjában kerül rá sor). Milyen sorrendben készítse el a team a segédanyagokat, amennyiben a munkát május 26-án kezdik, és céljuk, hogy az egyes segédanyagok elkészültét követően a lehető leghamarabb megkapják az adott segédanyagért járó díjat? A vállalat előzetes kalkuláció alapján minden feladatot képesek a határidő előtt elkészíteni. Annak érdekében azonban, hogy minél előbb felszabaduljanak a kapacitásaik, a
33
munkát mindenképp elkezdik május 26-án. A szerződésben rögzített határidőket, valamint a team által becsült elkészítési időket a következő táblázat tartalmazza. A team a hét minden napján dolgozik. Segédanyagok Előrejelzés Kapacitásszámítás Készletgazdálkodás Termeléstervezés Anyagszükséglet-tervezés Ütemezés Sorállás
Határidő július 10. július 23. augusztus 10. augusztus 26. július 16. augusztus 22. szeptember 18.
Tervezett időszükséglet 8 nap 12 nap 15 nap 20 nap 8 nap 10 nap 14 nap
7.6. feladat Egy vállalat 2 berendezéssel készíti el megrendeléseit. Ezek a berendezések technológiailag azonosnak tekinthetőek, a vállalat által elvállalt megrendelések mindegyikének teljesítésére egyforma hatékonysággal képesek. Ennek következtében a vállalat az egyes megrendeléseket mindig egy adott berendezéshez rendeli, azokat párhuzamosan üzemelteti. A vállalatnak a következő táblázatban látható megrendeléseket kell végrehajtania. Ehhez azokat az egyes berendezésekhez kell rendelni, és meg kell határozni azok végrehajtásának sorrendjét is. Megrendelés Végrehajtási idő (perc)
M1 18
M2 34
M3 11
M4 9
M5 38
M6 42
a.) Adja meg a feladatok elkészítésének LPT szabály szerinti sorrendjét! Milyen mutató csökkentésére alkalmazzuk ezt a szabályt? b.) Mennyi az elméleti minimális átfutási idő (felosztható és fel nem osztható feladatok esetén)? 7.7. feladat Egy vállalat 3 projekt-teammel rendelkezik. Ezek a teamek azonos összetételűek, ennek köszönhetően azonos hatékonysággal képesek a vállalat által elvállalt projektek (mindegyikének) végrehajtására. A piacukon igen erős verseny uralkodik, a különböző versenytársak nagyjából azonos minőségű és árú szolgáltatást nyújtanak. Felismerve, hogy szegmensében idő alapú versenyzés folyik, a vállalat bevezetett egy kompenzációs politikát, amivel az általa nyújtott szolgáltatásra történő várakozás rövidségét kívánja hangsúlyozni vevői felé. Ennek alapján a szerint, hogy ez egyes projekteknek mennyi ideig kell várniuk elkészítésük megkezdéséig, a vállalat kompenzációs díjat fizet a megrendelőnek, aminek értéke 10 000 Ft/nap. A vállalat jelenleg a következő táblázatban látható projektek kivitelezését vállalta el. A projektek kivitelezéséhez szükséges idők napokban értendőek. Projekt Elkészítési idő
A 14
B 19
C 8
D 4
E 13
F 9
G 12
H 11
I 17
J 6
K 7
A projektek elkészítésének milyen sorrendje biztosítja, hogy a vállalatnak a lehető legkevesebb kompenzációs díjat kelljen fizetnie?
34
7.8. feladat A vállalat 2 azonos összetételű projekt-team alkalmazásával készíti el megrendeléseit. A beérkező projektek természetükből adódóan megoszthatóak a projekt-teamek között, ez azonban növeli az elkészítés költségeit, ugyanis jelentős többletmunkát, adminisztrációt stb. igényel. Ennek értéke 60 000 Ft/felosztások száma. Az ütemezési kérdések leegyszerűsítése végett a vállalat ragaszkodik ahhoz is, hogy a felosztott projektekben minden projekt-team azonos mértékben vegyen részt. A vállalatnak 7 projekt elkészítési sorrendjéről kell döntenie. Az év jelenlegi időszakában igen sokan keresik meg a vállalatot projektek elkészítésével. Ezek a projektek általában sürgősek, így ha a vállalat szabad kapacitás hiányában nem tudja elvállalni a projekteket, azokat más vállalathoz viszik a megrendelők. A problémák elkerülése végett a vállalat csak akkor vállalja el egy megrendelő projektjeit, ha mindkét team szabad. Belső kalkulációk szerint ezért napi 150 000 Ft nyereségtől esik el a vállalat a jelenlegi projektek elkészítéséhez szükséges idő alatt. Az egyes projektek elkészítéséhez szükséges idők a következők: a – 12 nap; b – 1 nap; c – 18 nap; d – 3 nap; e – 15 nap; f – 11 nap; g – 20 nap. Gazdaságilag a feladatok erőforrások felosztással vagy anélküli ütemezése a kedvezőbb? 7.9. feladat Egy, két megmunkálóhelyből álló flow-shop jellegű gyártórendszerben hét rendelési tételt kell legyártani. A tételek gyártási ideje az egyes megmunkálóhelyeken a következő: Tétel A B C D E F G
Műveleti hely M1 (óra) 4 2 6 4 6 6 7
Műveleti hely M2 (óra) 5 3 3,5 1 5,5 7 3
a.) Határozza meg az átfutási időt minimalizáló optimális gyártási sorrendet a Johnsonalgoritmussal! b.) Készítse el az optimális gyártási ütemezés Gantt diagramját! c.) Bizonyos technológiai változtatások lehetővé teszik, hogy a D, G és B tételt fordított sorrendben gyártsuk le (először az M2 műveleti helyen munkáljuk meg, majd az M1-n). Hogyan változna ekkor az optimális gyártási sorrend? d.) Készítse el a megváltozott optimális gyártási ütemezés Gantt diagramját! 7.10. feladat Egy job-shop rendszerű gyártási folyamatban hat rendelési tételt kell legyártani. A tételek megmunkálási ideje az egyes megmunkáló-helyeken, valamint az előírt gyártási sorrendek a következők:
35
Tétel A B C D E F
Műveleti hely M1 (óra) 40 20 30 20 40 50
Műveleti hely M2 (óra) 25 15 20 15 30 40
Gyártási sorend M1; M2 M2; M1 M2; M1 M1; M2 M2; M1 M2; M1
a.) Határozza meg az átfutási idő szempontjából optimális gyártási sorrendet! b.) Készítse el az optimális ütemezés Gantt diagramját! Hogyan alakul az átfutási idő? c.) A menedzsment úgy gondolja, hogy az átfutási idő csökkentése érdekében a C és E darabokat félkész állapotban lehetne megvásárolni, így szükségtelenné válna azok megmunkálása az M1 műveleti helyen. Mennyivel lenne így csökkenthető az átfutási idő? Válaszát az új helyzet Gantt diagramjával illusztrálja! 7.11. feladat Egy vállalat projektek megvalósíthatósági vizsgálatainak elkészítésével foglalkozik. Munkája során mind technológiai, mind gazdaságossági megvalósíthatósági vizsgálatok elkészítését vállalja. Megrendeléstől függően természetesen nem feltétlenül van szükség mindkét vizsgálat végrehajtására, továbbá azok elkészítésének sorrendje is erősen projektfüggő. A vállalatnak jelenleg a következő táblázatban feltüntetett projektek megvalósíthatósági vizsgálatát kell elvégeznie. A vállalat napi 6 órában végzi a megvalósíthatósági vizsgálatokat. Projekt 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Technológiai megval. vizsg. (óra) 8 6 4 9 6 5 1 5 0 8 0 2 2 3 3 0 1 4
Gazdaságossági megval. vizsg. (óra) 3 0 0 1 2 4 7 4 4 6 2 0 6 4 0 5 2 7
Sorrend G-T T T T-G T-G G-T T-G T-G G T-G G T G-T T-G T G G-T G-T
Határidő (nap) 8 6 6 10 11 9 8 10 6 8 6 6 11 9 6 6 12 10
a.) Határozza meg az átfutási idő szempontjából optimális gyártási sorrendet! Nem egyértelmű sorrend esetén SPT szabályt alkalmazzon! b.) Készítse el az ütemezés Gantt diagramját!
36
c.) Hogyan alakul az ütemezés, illetve az egyes projektek átfutási ideje? d.) Határozza meg az egyes feladatok határidő-eltéréseit és késéseit! 7.12. feladat Egy gyártósor háztartási ventillátorok összeszerelését végzi napi két nyolc órás műszakban. A munkások átlagosan 90%-os hatékonysággal dolgoznak. A napi gyártandó mennyiség 360 db ventillátor. Az alábbi táblázatban a szerelés során elvégzendő műveleteket, a műveletek logikai sorrendjét és normaidejét tartalmazza. Művelet A B C D E F G H I J K L
Közvetlenül megelőző művelet A A, B B C C C, D F, G, H E, H I, J K
Műveleti idő (perc) 0,4 0,6 0,9 0,2 0,5 0,3 0,3 0,8 0,4 0,5 0,7 0,4
a.) Készítse el a műveletek logikai sorrendjét ábrázoló gráfot (precedencia gráf)! b.) Határozza meg a kialakítandó rendszer ciklusidejét! c.) Határozza meg a munkahelyekhez rendelendő műveleteket kétféle módon! 1. A műveletek munkahelyekhez való hozzárendelésénél alkalmazza a “legtöbb követő művelet” (NFO) szabályt! Azonos követő műveletszámnál döntsön a “leghosszabb műveleti idő” (LPT) szabály alapján! 2. A műveletek munkahelyekhez való hozzárendelésénél alkalmazza a “leghosszabb műveleti idő” (LPT) szabályt! Másodlagos szabályként használja a “legtöbb követő művelet” (NFO) szabályt! d.) Határozza meg a kapott elrendezések hatékonyságát és az egyes műveleti helyek kapacitáskihasználását. e.) Melyik elrendezés kedvezőbb az előre jelzett igény esetleges növekedése esetén? Válaszát számításokkal támassza alá! 7.13. feladat Gépkocsi generátorok összeszerelését végzik az alábbi táblázatban felsorolt műveleteknek a megadott logikai feltételek melletti végrehajtásával. A műveletek normaideje ugyancsak a táblázatban adott.
37
Művelet
Megelőző művelet
A B C D E F G H I J
A A A, B, C E A, B, C, E, D, F A, B, C, D, E, F, G A, B, C, D, E, F, G, H A, B, C, D, E, F, G, H, I
Műveleti idő (perc) 0,1 0,15 0,2 0,3 0,4 0,4 0,3 0,5 0,6 0,5
A felsorolt tevékenységeket munkahelyekre csoportosítva kapjuk a szerelősort. A szerelősor naponta egy 8 órás műszakban dolgozik. Óránként 50 perc tekinthető hasznos munkaidőnek. Az előrejelzések szerint a napi igény 400 darab generátor. a.) Készítse el a műveletek logikai sorrendjét ábrázoló gráfot (precedencia gráf)! b.) Határozza meg a sor ciklusidejét! c.) Határozza meg a munkahelyekhez rendelendő műveleteket a „leghosszabb összes követő műveleti idő” (RPW) szabály alapján! d.) Határozza meg a kapott elrendezés hatékonyságát és az egyes műveleti helyek kapacitáskihasználását! e.) A termelés elindulása után a marketing osztály jelezte, hogy alábecsülték az igényt, a napi gyártandó mennyiség 500 darab generátor. Készítsen elemzést arra vonatkozóan, hogy a megnövekedett igényt túlórával vagy a sor átrendezésével érdemes e legyártani? Milyen gazdasági adatok hiányoznak e probléma eldöntéséhez?
38
8.
SORÁLLÁS
8.1. feladat Egy kis bolt egyetlen pénztárához óránként átlagosan 15 vevő érkezik. A beérkezési folyamat Poisson eloszlást követ. Az egyetlen vevő kiszolgálásához szükséges idő egy 5 perces várható értékű exponenciális eloszlással írható le. Átlagosan hány vevő tartózkodik a boltban? 8.2. feladat Egy bank egyik szolgáltatását egy erre a célra elkülönített ablaknál lehet igénybe venni. Óránként átlagosan 10 ügyfél igényli a szolgáltatást. Az ügyfelek érkezése Poisson folyamatnak tekinthető. A kiszolgálási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Az átlagos kiszolgálási idő ügyfelenként 4 perc. a) Mekkora az ablaknál dolgozó alkalmazott kapacitáskihasználása? b) Átlagosan mennyit kell várniuk a vevőknek, amíg az ablaknál sorra kerülnek? c) A tapasztalatok szerint a vevők átlagosan 4 percnél többet nem szeretnek várakozni a sorban. Ezért sokan, amikor látják a sort, inkább távoznak. Átlagosan hány ügyfelet veszít a bank óránként a lassú kiszolgálás miatt? d) Hány százalékkal kellene csökkenteni a kiszolgálási időt ahhoz, hogy hosszú várakozás miatt ne veszítsen ügyfelet a bank? e) Hány percre csökkenne a sorban eltöltött átlagos várakozási idő, ha két ablaknál szolgálnák ki a szolgáltatásra egyetlen sorban várakozó ügyfeleket? 8.3. feladat Egy szervizben a téli időszak elején a téli gumik cseréjét egy külön a szerviz mellé telepített sátorban végzi egy jól szervezett csapat. A délelőtt óránként átlagosan 8 gépkocsi érkezik gumicserére. A gépkocsik érkezése Poisson folyamatnak tekinthető. A gépkocsinkénti gumicsere ideje exponenciális eloszlású valószínűségi változó, melynek várhatóértéke 6 perc. a) Ideje mekkora részében dolgozik a gumicserét végző csapat? b) Átlagosan mennyit idő alatt végeznek (az érkezéstő számítva) a gumicserével a gépkocsik? c) A gumicserére érkező gépkocsik úgy vélik, hogy ha átlagosan háromnál több autó található a sátornál (várakozva, illetve éppen kiszolgálva), akkor túlságosan sokat kell várakozni. Mi a valószínűsége annak, hogy ügyfelek a hosszú sor miatt elégedetlenkedni fognak? d) A szerviz úgy gondolja, hogy jobb elkerülni a vevők bosszankodását a hosszú várakozás miatt, ezért mindig azt tanácsolják annak a gépkocsinak, amelyik negyediknek várakozna, hogy inkább jöjjön vissza máskor. Hány percre csökken ekkor a gumicsere átlagos ideje? e) Mennyi lesz ebben az esetben a gumicserét végző csoport kapacitáskihasználása? 8.4. feladat Egy üzem termékeit az üzemhez kapcsolódó csomagolórészleg csomagolja szállítható dobozokba. A műveletet jelenleg kézzel végzik az ott dolgozó munkások. A csomagolási folyamat során, amíg egy terméket be nem fejeznek, addig a többi csomagoláshoz érkező termék várakozik. Egyszerre tehát csak egyetlen termékkel foglalkozik a csomagoló részleg, Átlagosan óránként 12 csomagolási feladat érkezik a részleghez. A csomagok érkezése
39
Poisson folyamatnak tekinthető. Egy csomagolási feladat végrehajtásának átlagos ideje 4 perc, és a csomagolási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. Egyetlen, napi 8 órás műszakban dolgoznak a csomagolórészlegben. Egy nap során mennyi időn keresztül nem folyik munka a csomagoló részlegben? Mekkora jelenleg a csomagolási folyamat átfutási ideje (várakozás és csomagolás)? Átlagosan mekkora készlet halmozódik fel a csomagolórészleg előtt a várakozás miatt? A csomagolórészleg előtt 5 darab termék tárolására van lehetőség. Mi a valószínűsége annak, hogy nem lesz elegendő hely a várakozó termékek tárolására? e) A menedzsment fontosnak tartja, hogy a csomagolás miatt ne szenvedjen késlekedést az áru kiszállítása. A csomagolási tevékenység ideje ugyan nem változtatható, de a munka jobb szervezésével a csomagolási idő szórása a felére csökkenthető. Hány percre csökken ennek hatására a csomagolási folyamat átfutási ideje? f) A csomagolási idő szórásának csökkentése után hogyan alakul a kapacitáskihasználás? a) b) c) d)
8.5. feladat Egy üzem két fontos nagy értékű berendezésének beállítását egyetlen erre a munkára specializálódott karbantartó munkás végzi. Egy berendezéshez a munkást átlagosan óránként háromszor hívják. Az óránkénti hívások gyakorisága Poisson eloszlású valószínűségi változó. A beállítás átlagos ideje 15 perc és a beállítási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. a) Ha egy berendezés beállítást igényel akkor átlagosan mennyi időre esik ki a termelésből? b) Mekkora a karbantartó munkás kapacitáskihasználása? c) Mekkora annak valószínűsége, hogy a beállításigény jelentkezésekor várni kell a munkásra? d) Hogyan alakulna a beállítás miatti termeléskiesés átlagos ideje, ha két szerelő végezné a munkát úgy, hogy mindegyik kizárólag egyetlen meghatározott gépért felelős? e) Két munkás alkalmazásakor mekkora lesz a munkások kapacitáskihasználása? 8.6. Feladat Egy virágkereskedésbe félóránként átlagosan 2 vevő érkezik. Az üzletben dolgozó egyetlen alkalmazott óránként átlagosan 6 vevőt képes kiszolgálni. A vevők beérkezési és kiszolgálási folyamata egyaránt Poisson eloszlású. A kis üzletben egyidejűleg csak 1 vevő fér. Amennyiben egy vevő nem fér be az üzletbe, akkor a környék valamelyik más virágboltját keresi fel. A raktár területének csökkentésével az üzlet alapterülete megnövelhető, hogy az üzletben akár 3 vevő is tartózkodhasson. Az átalakítás költsége 220 000 Ft. Mennyi idő alatt térülne meg ez a beruházás, ha virágkereskedésnek egy vevőn átlagosan 1 000 Ft haszna van? A virágüzlet napi 8 órán át tart nyitva. 8.7. feladat Egy újságárus stand alkalmazottja az utóbbi időben a vevői igények megnövekedését tapasztalta. A nyitvatartási idő nagy részében ugyanis hosszú sorok kígyóznak a stand előtt. A közelben nem található másik újságárus, ezért vevők nem pártolnak el az újságostól, azonban egyre elégedetlenebbek a hosszú várakozás miatt. Ennek megfelelően az alkalmazott egy új munkatárs felvételét javasolta a tulajdonosnak.
40
A vevők kiszolgálása jelenleg érkezési sorrendben történik, ami így is maradna a továbbiakban. Az új alkalmazott felvétele esetén az éppen soron következő vevőt a szabad árusok egyike, illetve az éppen felszabaduló újságos szolgálná ki. Mekkora bért fizethet maximálisan a tulajdonos az új alkalmazottnak, ha tudja, hogy a vevők 10 percnyi (a sorban történő) várakozás miatt keletkező elégedetlensége 50 Ft veszteségnek feleltethető meg? A vevők beérkezési és kiszolgálási időköze egyaránt exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Az átlagos beérkezési időköz 5 perc, egy vevő kiszolgálása átlagosan 4 percet vesz igénybe. Az újságosstand napi 12 órán át tart nyitva átlagosan 30 napon egy hónapban. 8.8. feladat Egy M/M/1 modellel leírható sorállási rendszert alkotó esztergagép esetében a munkadarabok rendszerben töltött átlagos várakozási ideje 30 perc. A gép idejének 25%-ában nem dolgozik, mert vár a munkadarabok megérkezésére. a) Mennyivel csökkenne a munkadarabok rendszerben töltött átlagos várakozási ideje, ha nagyobb szabályozással a kiszolgálási idő szórását a jelenlegi érték negyedre tudnák csökkenteni? b) Mennyivel csökkenne a munkadarabok rendszerben töltött átlagos várakozási ideje, ha nagyobb szabályozással a kiszolgálási idő szórását teljes mértékben meg tudnák szüntetni? 8.9. Feladat Egy pizzéria kétféle vevői csoporttal rendelkezik: a helyben fogyasztó vevők mellett házhozszállítást is vállal. Természetesen a helyben fogyasztó vevők kiszolgálása elsőbbséget élvez a házhozszállítást igénylőkéhez képest. A konyhán ennek megfelelően előre veszik a helyi rendeléseket, de azokat csak akkor kezdik meg, ha az éppen folyó pizzakészítés már befejeződött. A pizzériában 3 szakács dolgozik. Óránként 3 vevő rendel a helyszínen, és 5 vevő igényel házhozszállítást. Az igények beérkezése Poisson eloszlást követ. Egy pizza elkészítésének átlagos ideje 20 perc, a kiszolgálási idő exponenciális eloszlást követ. A felszolgáláshoz szükséges átlagos idő 3 perc, a házhozszállítás időszükséglete átlagosan 20 perc. Mennyi ideig várakoznak átlagosan a helyben fogyasztó, illetve a házhozszállítást igénylő vevők a pizzáikra? 8.10. feladat Egy sürgősségi betegellátást nyújtó osztályon 8 orvos dolgozik, egy sérültet 2 orvos közösen kezel. Munkájuk során könnyű, súlyos és életveszélyes sérülteket látnak el. A súlyosabb sérüléssel érkező betegek ellátása természetesen elsőbbséget élvez (egy már megkezdett könnyebb sérülés kezelését akár abba is hagyják, amennyiben súlyosabb eset érkezik). Az osztályra óránként átlagosan 20 beteg érkezik. Ezek 70%-a könnyű, 25%-a súlyos és 5%-a életveszélyes sérült. Egy beteg ellátása átlagosan 10 percet vesz igénybe. Átlagosan mennyi ideig kell várakozniuk a különböző típusú sérülésekkel érkező betegeknek ellátásuk megkezdéséig?
41
9.
JUST IN TIME
9.1. feladat Egy kerékpárokat összeszerelő üzem egyik gyártósorán egy olyan kerékpárt gyártanak, amely a következő három változatban készül egyidejűleg: komputerrel ellátott villanymotoros (A), komputer nélküli villanymotoros (B) és komputerrel ellátott villanymotor nélküli (C). A villanymotor és a komputer gyártói JIT rendszerben szállítják az alkatrészeket. A gyártósor feladata óránként a következő mennyiségek gyártása: Típus A B C
Mennyiség 4 darab 3 darab 5 darab
a) Készítse el a terméktípusok és komponensek kapcsolatát tartalmazó táblázatot! b) A Monden heurisztika segítségével határozza meg az első 3 terméktípus gyártási sorrendjét! Számítsa ki a hiányzó értékeket, és adja meg a gyártási sorendet!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
DK,A 0,49 0,97 0,79 0,67 0,26 0,71 1,18 1,05 0,79 0,53 0,95 1,00
DK,B
DK,C 0,63
0,97 1,20 0,75 0,71 0,95 0,33 1,06 0,53 0,63 1,41
1,06 0,33 0,95 0,71 0,75 1,20 0,35 0,97 0,86 0,00
c) Ábrázolja a villanymotorból felhasznált mennyiséget a legyártott mennyiség függvényében! d) Hogyan alakulna a gyártási sorrend, ha megszűnne a villanymotor nélküli típus gyártása?
9.2. feladat Egy üzem egyik gyártósorán olyan mobiltelefonokat gyártanak, amelyek a következő három változatban készülnek egyidejűleg: GPS vevővel ellátott beépített kamerás (A), GPS nélküli beépített kamerás (B) és GPS vevővel ellátott beépített kamera nélküli (C). A GPS vevő és a kamera gyártói JIT rendszerben szállítják az alkatrészeket. A gyártósor feladata óránként a következő mennyiségek gyártása: Típus A B C
Mennyiség 2 darab 4 darab 1 darab 42
a) Készítse el a terméktípusok és komponensek kapcsolatát tartalmazó táblázatot! b) A Monden heurisztika segítségével adja meg a gyártási sorrend 2. elemét!
K Qj X K 1, j bij D1,A=0,59; D1,B=0,45; D1,C=1,03; ahol: DK ,i Q j 1 c) Ábrázolja a kamerából felhasznált mennyiséget a legyártott mennyiség függvényében A-C-A-B-C-C-B gyártási sorrend esetén! N
43
2
10. GRÁFELMÉLETI ALAPOK 10.1. feladat Keresse meg a hálóban a legkisebb kifeszítőfát Kruskal algoritmusával. Adja meg a megoldást Prim algoritmusával is. Ismertesse mindkét algoritmus lépéseit!
8
1 10
5
7
5
8 2
4 10
3
9.
10.2. feladat Keresse meg a hálóban a legrövidebb utat az A és az E pontok között Dijkstra algoritmusával. Írja le az algoritmus lépéseit! D
3
7
5
B
9
E
3
10
5
3
A
C
10.3. feladat Számítsa ki a hálóban a maximális folyamot az O és az E pontok között a Ford-Fulkerson algoritmussal. Írja le az algoritmus lépéseit!
44
3
0
0
D
4
A
0
7
3
0
0
O
E
0
6. 4
6
0
2
0 B
4
0
45
C
11. HÁLÓTERV FELRAJZOLÁSA 11.1. feladat Határozza meg a teljes megelőzési listából a közvetlen megelőzési listát a címkézési technikát alkalmazva! Ábrázolja a tevékenységélű hálót! Teljes megelőzési A B C D E F G H I J K L M N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
Közvetlen megelőzési
A A A A,B A,C A,D A,B,E A,C,F A,D,G A,D A,B,C,D,E,F,G,H,I,J A,D,K A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M
11.2. feladat Határozza meg a teljes megelőzési listából a közvetlen megelőzési listát a címkézési technikát alkalmazva! Ábrázolja a tevékenységélű hálót! Teljes megelőzési A B C D E F G H I J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Közvetlen megelőzési
A A A A,B A,C A,D A,B,E A,C,D,F,G A,B,C,D,E,F,G,H,I
11.3. feladat Határozza meg a teljes megelőzési listából a közvetlen megelőzési listát a címkézési technikát alkalmazva! Ábrázolja a tevékenységélű hálót!
46
Teljes megelőzési A B C D E F G H I J K L
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
Közvetlen megelőzési
A A B B A,C A,D A,D A,B,D,E,I A,B,D,E,F,I,J A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K
11.4. feladat Határozza meg a teljes megelőzési listából a közvetlen megelőzési listát a címkézési technikát alkalmazva! Ábrázolja a tevékenységélű hálót! Teljes megelőzési A B C D E F G H I J K
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
Közvetlen megelőzési
A A A B A, C A, C A, C, D, H A, C, D, H A, B, C, D, E, F, H, J
11.5. feladat Határozza meg a teljes megelőzési listából a közvetlen megelőzési listát a címkézési technikát alkalmazva! Ábrázolja a tevékenységélű hálót! Teljes megelőzési A B C D E F G H I J K L M N
1
2
3
4
5
A,B,F,G,H,I,J,K,L,M,N A,B,C,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N A A,F A,F,G A,F A,F A A A,B,L A,B,F,J,K,L,M
47
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Közvetlen megelőzési
11.6. feladat Határozza meg a teljes megelőzési listából a közvetlen megelőzési listát a címkézési technikát alkalmazva! Ábrázolja a tevékenységélű hálót! Teljes megelőzési A B C D E F G H I J K L M N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14
Közvetlen megelőzési
A,K A,B,K,L,M A,B,K,L,M A,B,C,D,K,L,M A,B,C,D,F,K,L,M A,B,C,D,E,F,G,K,L,M,N A,B,C,D,F,K,L,M A,B,C,D,E,F,G,H,K,L,M,N A A,K A,B,K,L A,B,K,L
11.7. feladat Ábrázolja a közvetlen megelőzési lista alapján a látszattevékenységek számának minimalizálásával a legáttekinthetőbb, lehetőleg kereszteződés nélküli hálót! Tevékenység A B C D E F
Közvetlen megelőzési lista A A C,B C D,E
11.8. feladat Ábrázolja a közvetlen megelőzési lista alapján a látszattevékenységek számának minimalizálásával a legáttekinthetőbb, lehetőleg kereszteződés nélküli hálót! Tevékenység A B C D E F G H
48
Közvetlen megelőzési lista A A A B B,C C,D E,F,G
11.9. feladat Ábrázolja a közvetlen megelőzési lista alapján a látszattevékenységek számának minimalizálásával a legáttekinthetőbb, lehetőleg kereszteződés nélküli hálót! Tevékenység A B C D E F G H I
Közvetlen megelőzési lista A A,B C D D,E F
11.10. feladat Ábrázolja a közvetlen megelőzési lista alapján a látszattevékenységek számának minimalizálásával a legáttekinthetőbb, lehetőleg kereszteződés nélküli hálót! Tevékenység A B C D E F G
Közvetlen megelőzési lista A A A,B,C C
11.11. feladat Ábrázolja a közvetlen megelőzési lista alapján a látszattevékenységek számának minimalizálásával a legáttekinthetőbb, lehetőleg kereszteződés nélküli hálót! Tevékenység A B C D E F G H I
49
Közvetlen megelőzési lista A A,B C,D C,D C,D E E,F,G
11.12. feladat Ábrázolja a közvetlen megelőzési lista alapján a látszattevékenységek számának minimalizálásával a legáttekinthetőbb, lehetőleg kereszteződés nélküli hálót! Tevékenység A B C D E F G H I J
Közvetlen megelőzési lista H H,I J B B,C B,C,D -
11.13. feladat Ábrázolja a közvetlen megelőzési lista alapján a látszattevékenységek számának minimalizálásával a legáttekinthetőbb, lehetőleg kereszteződés nélküli hálót!
Tevékenység A B C D E F G
Közvetlen megelőzési lista F,G E,F E E -
11.14. feladat Ábrázolja a közvetlen követési lista alapján a látszattevékenységek minimalizálásával a legáttekinthetőbb, lehetőleg kereszteződés nélküli hálót! Tevékenység A B C D E F G H
50
Közvetlen követési lista B,E,F G G D,H H H -
számának
12. HÁLÓELEMZÉS 12.1. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek és eseményeinek adatait, átfutási idejét, kritikus útját! Adja meg A, D és F tevékenységek szabad és teljes tartalékidejét! Készítse el a hálóhoz tartozó Gantt-diagramot, korai ütemezéssel!
A 5
E 7
5
B 3
1
C 10
10
D 7
F 7
20
25
G 4
15
12.2. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek és eseményeinek adatait, átfutási idejét, kritikus útját! Számítsa ki A, B és D tevékenységek szabad és teljes tartalékidejét! Készítse el a hálóhoz tartozó Gantt-diagramot, korai ütemezéssel! A 10 B 10
01
D 5
02
E 2
03
04
F 6 C 15
05
G 3
12.3. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek és eseményeinek adatait, átfutási idejét, kritikus útját! Számítsa ki B, C és D tevékenységek szabad és teljes tartalékidejét! Készítse el a hálóhoz tartozó Gantt-diagramot, korai ütemezéssel!
51
A 10
C 5
05
01
20
B 8
D 10
10
12.4. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek és eseményeinek adatait, átfutási idejét, kritikus útját! Adja meg B és C tevékenységek szabad és teljes tartalékidejét! Készítse el a hálóhoz tartozó Gantt-diagramot, korai ütemezéssel!
A 5
D 8
3
H 5
5 F 10
B 4
1
C 3
G 10
4
E 1
2
7
I 10
6
12.5. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek és eseményeinek adatait, átfutási idejét, kritikus útját! Számítsa ki A, F, és H tevékenységek szabad és teljes tartalékidejét! Készítse el a hálóhoz tartozó Gantt-diagramot, korai ütemezéssel!
A 2
3
D 4
5
F 5
6
C 2
1
B 5
2
G 6
8
E 4
4
52
H 2
7
I 4
12.6. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek adatait, átfutási idejét, teljes tartalékidejét, kritikus útját!
0
KK4
3 A
2 C
KK4
KB7 2 B
BK4
BB3 KK1
BB1 1 D
KB4
5 E BK2 3 F
12.7. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek adatait, átfutási idejét, teljes tartalékidejét, kritikus útját!
0
KK4
2 A
KK4 BK3
BB10
KB4 4 B
KK4 BB2
5 C
3 F
KK10
53
5 D BK2
BK8
3 E
12.8. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek adatait, átfutási idejét, teljes tartalékidejét, kritikus útját!
3 D
4 B
BK1
BB4
0
2 A
KB2 2 C
BB2
KK3
12.9. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek adatait, átfutási idejét, teljes tartalékidejét, kritikus útját!
5 A KB9
5 B
BK20
BK2
4 C
BB7
3 D BK8
KB20
9 E
BK7 KB23
54
6 F
12.10. feladat Határozza meg a következő hálóterv tevékenységeinek adatait, átfutási idejét, teljes tartalékidejét, kritikus útját!
3 A
BK2
3 D
BB9
KB12
7 G
KK18
7 B
KB8
5 E
BK2 BK1
3 H
BB3
KB10
KK1
7 C
BK3
3 F
12.11. feladat Egy sztochasztikus háló becsült adatai az alábbi táblázatban szerepelnek. Ábrázolja a projektet tevékenységélű hálón! Tev. A B C D E F G
Meg. B A,C B,F B
a (OD) 3 3 2 3 7 4 7
m (MD) 4 4 3 5 8 11 8
b (PM) 11 5 4 7 9 12 9
a) Milyen valószínűséggel marad az átfutási idő egy ±2 napos elfogadható tartományon belül? (E(TPT)-2 nap és E(TPT)+2 nap között) b) Milyen valószínűséggel csúszik a projekt 1 napot vagy annál többet? (E(TPT)+1 nap, vagy annál később) 12.12. feladat Egy sztochasztikus háló becsült adatai az alábbi táblázatban szerepelnek. Ábrázolja a projektet tevékenységélű hálón!
55
Tev. A B C D E F
Meg. A A,C C,E
a (OD) 16 2 8 16 3 10
m (MD) 21 5 10 21 5 12
b (PM) 26 8 12 26 7 14
a) Milyen valószínűséggel fejezzük be a projektet három nappal hamarabb? ((E(TPT)-3 nap, vagy annál hamarabb) b) Milyen valószínűséggel csúszik a projekt 1 napot vagy annál többet? (E(TPT)+1 nap, vagy annál később) 12.13. feladat Egy sztochasztikus háló becsült adatai az alábbi táblázatban szerepelnek: Tevékenység
Megelőző tevékenység
a (OD)
A
-
1
2
9
B
-
2
6
10
C
A
3
5
7
D
A
2
3
10
E
B
2
3
10
F
B
5
10
15
G
D, E
0,5
1
1,5
H
C
1,5
4
6,5
I
G, H
3,5
5,5
10,5
J
F, I
1
2
3
m (MD) b (PM)
a) Milyen valószínűséggel fejeződik be a projekt 22 nap alatt (vagy annál korábban)? b) Mi a valószínűsége annak, hogy a projekt 4 napot vagy annál többet csúszik? c) Mi annak a valószínűsége, hogy a projekt a várható értékénél 3 nappal hamarabb (vagy annál előbb) készül el? d) Milyen valószínűséggel marad az átfutási idő a várható értékhez képest egy ±2 napos elfogadható tartományon belül? 12.14. feladat Egy sztochasztikus háló becsült adatai az alábbi táblázatban szerepelnek:
56
Tevékenység
Követő tevékenység
a (OD)
m (MD)
b (PM)
A
D
2
4
6
B
E
1
2
3
C
F
1,5
5
8,5
D
G
2
4
6
E
G
2
3
4
F
J
1,5
5
8,5
G
H, I
1
2
3
H
K
2
4
6
I
J
1
2
3
J
K
0,5
1
1,5
K
-
2
4
6
a) Mi annak a valószínűsége, hogy a projekt 20 nap alatt (vagy annál korábban) készül el? b) Milyen valószínűséggel fejeződik be a projekt 15 napnál hosszabb idő alatt? c) Mi annak a valószínűsége, hogy a projekt a várható értéknél 1 nappal korábban (vagy annál előbb) készül el? d) Mi a valószínűsége annak, hogy a projekt nem a 16. és 20. nap között készül el? 12.15. feladat Egy sztochasztikus háló becsült adatai az alábbi táblázatban szerepelnek: Tevékenység
Megelőző tevékenység
a (OD)
m (MD)
b (PM)
A
-
2
4
6
B
-
3
5
7
C
A
1
2
9
D
A, B
2
3
10
E
C
2
3
4
F
D
1
3
5
G
D
5
10
15
H
E, F
1
2
3
I
E
1
3
5
J
E, F
2
3
10
K
G, H, I, J
1
2
3
a) Mi annak a valószínűsége, hogy a projekt 22 nap alatt (vagy annál korábban) elkészül? b) Milyen valószínűséggel csúszik a projekt várható hosszához képest 5 napot, vagy annál többet? c) Mi annak a valószínűsége, hogy a projekt a várható értéknél 3 nappal korábban készül el? d) Mi a valószínűsége annak, hogy a projekt 18 és 25 nap között fejeződik be (ezeket a napokat is beleértve)?
57
12.16. feladat Egy projekt alapadatai az alábbi táblázatban találhatók. A projekt határideje a 25. hét. Csúszás esetén 5eFt/hét kötbért kell fizetni. Mi a projekt optimális átfutási ideje a teljes költség szempontjából? Mennyi ekkor a teljes költség? Optimális helyzetben mi a kritikus út? Tevékenység
Megelőző
A B C D E F G
A B A D,F G -
Normál Idő [hét] Ktg.[eFt] 12 10 10 10 8 10 13 10 10 10 10 10 10 10
Roham Idő [hét] Ktg.[eFt] 10 12 8 16 5 19 9 18 9 16 8 14 8 16
12.17. feladat Egy projekt alapadatai az alábbi táblázatban találhatók. A projekt határideje a 18. hét. Csúszás esetén 5eFt/hét kötbért kell fizetni. Mi a projekt optimális átfutási ideje a teljes költség szempontjából? Mennyi ekkor a teljes költség? Optimális helyzetben mi a kritikus út? Tevékenység A B C D E F
Megelőző A B E
Normál Idő [hét] Ktg.[eFt] 10 5 10 5 10 5 13 5 10 5 11 5
Roham Idő [hét] Ktg.[eFt] 8 9 8 11 8 11 8 15 8 11 9 9
12.18. feladat Egy projekt alapadatai az alábbi táblázatban találhatók. A projekt határideje a 36. hónap. Csúszás esetén 2,5eFt/hónap kötbért kell fizetni. Mi a projekt optimális átfutási ideje a teljes költség szempontjából? Mennyi ekkor a teljes költség? Optimális helyzetben mi a kritikus út? Tevékenység A B C D E F
Normál Megelőző tevékenység Idő (hónap) Ktg. (eFt). 10 5 A 10 7 A 6 8 A 18 9 B, C 10 5 D, E 10 10
Roham Idő (hónap) Ktg. (eFt) 9 9 7 10 5 11 16 11 9 8 9 13
12.19. feladat Egy projekt alapadatai az alábbi táblázatban találhatók. A projekt határideje a 24. hét. Csúszás esetén 3,5eFt/hét kötbért kell fizetni. Mi a projekt optimális átfutási ideje a teljes költség szempontjából? Mennyi ekkor a teljes költség? Optimális helyzetben mi a kritikus út?
58
Tevékenység A B C D E F
Megelőző tevékenység A B B C, D, E
Normál Idő (hét) Ktg. (eFt) 10 5 9 5 10 5 9 5 8 5 10 5
Roham Idő (hét) Ktg. (eFt) 9 8 8 8 6 9 7 7 7 6 9 8
12.20. feladat Egy időelszámolásos alapon működő projektben szereplő tevékenységek adatai (kapcsolatok, átfutási idők, a teljes időtartamra tervezett ráfordítások) az alábbi táblázatban szerepelnek. Tevékenység A B C
Megelőző (hét) A KB8 B KB3
Átfutási idő (hét) 8 5 2
Ráfordítás (mó) 80 100 30
Az 5. hét végén az alábbi állapot tapasztalható (tényleges ráfordítás, készültség). Tevékenység A B C
Ráfordítás (mó) 40 40 15
Készültség (%) 80 40 50
Ábrázolja a projektet tevékenység-csomópontú hálón! a) Számolja ki a legfontosabb mutatókat a megtermelt értékek elve szerinti elemzéshez! b) Értékelje a projekt teljesítményét az ütemezés és a költségek szempontjából indexek segítségével! 12.21. feladat Egy időelszámolásos alapon működő projektben szereplő tevékenységek adatai (kapcsolatok, átfutási idők, a teljes időtartamra tervezett ráfordítások) az alábbi táblázatban szerepelnek. Tevékenység A B C D
Megelőző (hét) B KK3; C KK2 D KK5 D BK0 -
Átfutási idő (hét) 5 10 10 5
Ráfordítás (mó) 100 150 100 50
A 11. hét végén az alábbi állapot tapasztalható (tényleges ráfordítás, készültség). Tevékenység A B C D
Ráfordítás (mó) 50 80 80 50
Készültség (%) 50 60 50 100
Ábrázolja a projektet tevékenység-csomópontú hálón! a) Számolja ki a legfontosabb mutatókat a megtermelt értékek elve szerinti elemzéshez!
59
b) Értékelje a projekt teljesítményét az ütemezés és a költségek szempontjából indexek segítségével! 12.22. feladat Egy időelszámolásos alapon működő projektben szereplő tevékenységek adatai (kapcsolatok, átfutási idők, a teljes időtartamra tervezett ráfordítások) az alábbi táblázatban szerepelnek. Tevékenység A B C D E F
Megelőző (hét) D KK3 A KB5, C KB7, E BB2 F KB5 E KB2 E KB3
Átfutási idő (hét) 2 8 3 1 8 1
Ráfordítás (mó) 40 80 45 40 80 35
Az 5. hét végén az alábbi állapot tapasztalható (tényleges ráfordítás, készültség). Tevékenység A B C D E F
Ráfordítás (mó) 24 25 20 39 47 36
Készültség (%) 40 30 60 100 55 100
Ábrázolja a projektet tevékenység-csomópontú hálón! a) Számolja ki a legfontosabb mutatókat a megtermelt értékek elve szerinti elemzéshez! b) Értékelje a projekt teljesítményét az ütemezés és a költségek szempontjából indexek segítségével! c) Mi történik, ha az 5. hét végi állapot a következő táblázatban összefoglaltak szerint alakulna? Tevékenység A B C D E F
Ráfordítás (mó) 24 25 20 39 47 36
Készültség (%) 40 20 60 100 55 100
12.23. feladat Egy időelszámolásos alapon működő projektben szereplő tevékenységek adatai (kapcsolatok, átfutási idők, a teljes időtartamra tervezett ráfordítások) az alábbi táblázatban szerepelnek. Tevékenység A B C D
Megelőző (hét) A KB8 A KK3, B BB1 B BB2, C KB6
Átfutási idő (hét) 11 5 4 7
60
Ráfordítás (mó) 88 50 120 105
Az 6. hét végén az alábbi állapot tapasztalható (tényleges ráfordítás, készültség). Tevékenység A B C D
Ráfordítás (mó) 50 28 28 30
Készültség (%) 62,5 50 30 30
Ábrázolja a projektet tevékenység-csomópontú hálón! a) Számolja ki a legfontosabb mutatókat a megtermelt értékek elve szerinti elemzéshez! b) Értékelje a projekt teljesítményét az ütemezés és a költségek szempontjából indexek segítségével! c) Mi történne, ha a 6. hét végi állapot a következőképpen alakulna? Tevékenység A B C D
Ráfordítás (mó) 55 32 32 30
Készültség (%) 62,5 50 30 30
12.24. feladat Egy időelszámolásos alapon működő projektben szereplő tevékenységek adatai (kapcsolatok, átfutási idők, a teljes időtartamra tervezett ráfordítások) az alábbi táblázatban szerepelnek. Tevékenység A B C D E F
Megelőző (hét) B BB2, C KB7 E BB2 D KB7, F KB4 D KK2 E KB6
Átfutási idő (hét) 6 3 3 13 5 4
Ráfordítás (mó) 120 45 90 130 25 40
Az 7. hét végén az alábbi állapot tapasztalható (tényleges ráfordítás, készültség). Tevékenység A B C D E F
Ráfordítás (mó) 18 20 60 68 30 32
Készültség (%) 20 40 60 60 100 70
Ábrázolja a projektet tevékenység-csomópontú hálón! a) Számolja ki a legfontosabb mutatókat a megtermelt értékek elve szerinti elemzéshez! b) Értékelje a projekt teljesítményét az ütemezés és a költségek szempontjából indexek segítségével! c) Mi történik, ha a 7. hét végi állapot a következőképpen alakul?
61
Tevékenység A B C D E F
Ráfordítás (mó) 18 20 60 68 30 32
62
Készültség (%) 30 40 60 60 100 70
13. MINTAMEGOLDÁSOK
1.7. feladat Az első évi igény átlaga: V1=(10+20+26+17)/4= 18,25 A második évi igény átlaga: V2=(12+23+30+22)/4= 21,75 Negyedéves átlagos növekedés: G0=(21,75-18,25)/4= 0,875 Konstans tag értéke a 0. hónapban (1,5 hónappal a 2 év közepe után): S0= 21,75+0,875*1.5= 23,06 Szezonalítási együtthatók: 10 12 " = 0,590 c " -3 = = 0.587 c -7 = 18,25 - (2,5 - 1) 0,875 21,75 - (2,5 - 1) 0,875 20 23 " = 1,123 c " - 2 = = 1,079 c -6 = 18,25 - (2,5 - 2) 0,875 21,75 - (2,5 - 2) 0,875 26 30 " = 1,391 c " -1 = = 1,352 c -5 = 18,25 - (2,5 - 3) 0,875 21,75 - (2,5 - 3) 0,875 17 22 " = 0,869 c " 0 = = 0,954 c -4 = 18,25 - (2,5 - 4) 0,875 21,75 - (2,5 - 4) 0,875 Az egyes szezonokra számított szezonalítási együtthatók átlaga: 0,590 + 0,587 = 0,588 c-3 = 2 1,123 + 1,079 = 1,101 c- 2 = 2 1,391 + 1,352 = 1,372 c -1 = 2 0,869 + 0,954 = 0,912 c0 = 2 Normalizált szezonalítási együtthatók: 4 0,588 = 0,59 c-3= 3,973 4 1,101 = 1,11 c- 2= 3,973 4 1,372 = 1,38 c-1= 3,973 4 0,912 = 0,92 c0= 3,973 b.) F0,1=(S0+G0)·c-3= (23,06+0,875)·0,59= 14,12
63
F0,2=(S0+2G0)·c-2= (23,06+2·0,875)·1,11= 27,54 F0,3=(S0+3G0)·c-1= (23,06+3·0,875)·1,38= 35,44 F0,4=(S0+4G0)·c0= (23,06+4·0,875)·0,92= 24,38 c.) S1=α·(D1/c-3)+(1-α)·(S0+G0)= 0,2·(16/0,59)+0,8·(23,06+0,875)= 24,57 G1=β·(S1-S0)+(1-β)·G0= 0,1· (24,57-23,06)+0,9·0,875= 0,9385 c1=γ·(D1/S1)+(1-γ)·c-3= 0,1·(16/24,57)+0,9·0,59= 0,5961 F1,2=(S1+G1)·c-2= (24,57+0,9385)·1,11= 28,314 F1,3=(S1+2G1)·c-1= (24,57+2·0,9385)·1,38= 36,497 F1,4=(S1+3G1)·c0= (24,57+3·0,9385)·0,92= 25,195 d) S2=α·(D2/c-2)+(1-α)·(S1+G1)= 0,2·(33/1,11)+0,8·(24,57+0,9385)= 26,35 G2=β·(S2-S1)+(1-β)·G1= 0,1·(26,35-24,57)+0,9·0,9385= 1,0227 c2=γ·(D2/S2)+(1-γ)·c-2= 0,1·(33/26,35)+0,9·1,11= 1,1242 S3=α·(D3/c-1)+(1-α)·(S2+G2)= 0,2·(34/1.38)+0,8·(26,35+1,0227)= 26,83 G3=β·(S3-S2)+(1-β)·G2= 0,1·(26,83-26,35)+0,9·1,0227= 0,9684 c3=γ·(D3/S3)+(1-γ)·c-1= 0,1·(34/26,83)+0,9·1.38=1,369 S4=α·(D4/c0)+(1-α)·(S3+G3)= 0,2·(26/0,92)+0,8·(26,83+0,9684)= 27,89 G4=β·(S4-S3)+(1-β)·G3= 0,1·(27,89-26,83)+0,9·0,9684= 0,977 c4=γ·(D4/S4)+(1-γ)·c0= 0,1·(26/27,89)+0,9·0,92= 0,9212 F4,10=(S4+6G4)·c2= (27,89+6·0,977)·1,124= 37,94
1.8. feladat a) N
xi y i i 1
r
1 N N xi y i N i 1 i 1 2
1 N 2 x xi i N i 1 i 1 N
1 N 2 y yi i N i 1 i 1 N
2
0,7968
A korrelációs együttható viszonylag értéke alapján elfogadható, hogy a két változó között lineáris kapcsolat áll fenn.
64
b) N
Meredekség: b
Metszet:
a
1 N N xi y i N i 1 i 1 1,5454 2 N N 1 xi2 xi N i 1 i 1
xi y i i 1
1 N b N yi xi 15,376 N i 1 N i 1
A karambolok (x) és biztosításkötések (y) közötti kapcsolatot leíró egyenlet: yˆ 15,376 1,5454 x c) x=20 esetén y várható értéke: yˆ 15,376 1,5454 20 46,2846 x=20 esetén y szórása: 2 1 N x x i új 2 N i 1 N y i a b xi 1 2 2 s yúj s y| x 1 2 N N N N 2 i 1 1 2 xi xi N i 1 i 1 52,7157 1,2644 66,6553 s yúj 8,1643
2 1 N x x i új N i 1 1 1 2 N N N 1 2 xi xi N i 1 i 1
yˆ normális eloszlású valószínűségi változó (a fenti paraméterekkel). 90,1%-os becslési intervallum esetén a becslési intervallumon kívülre esés valószínűsége: 1 0,901 Pz x 0,0495 2 A standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének táblázata alapján z=1,65 e valószínűség esetén. Ebből a becslési intervallum felső határa meghatározható: x yˆ felső yˆ z s yúj
yˆ felső yˆ z s yúj 59,7557 Kihasználva a normális eloszlás szimmetriáját
yˆ alsó 32,8135 -re adódik.
Ha x=20, akkor tehát y értéke 90,1%-os valószínűséggel 32,8135 és 59,7557 közé esik.
65
1.11. feladat a) Ft Dt 1 1 Ft 1
F4 D3 1 F3 0,2 150 1 0,2 150 150
0 Április
F5 D4 1 F4 0,2 160 1 0,2 150 152
-1
F7 D6 1 F6 0,2 168 1 0,2 158 160
-3
F6 D5 1 F5 0,2 182 1 0,2 152 158
-2
F8 D7 1 F7 0,2 185 1 0,2 160 165
-4
Május
Június
Július
Augusztus
-5
-6
b) Hónap
Dt
Ft
et
Április Május Június Július Augusztus
160 182 168 185 205
150 152 158 160 165
-10 -30 -10 -25 -40
EHFÖt -10 -40 -50 -75 -115
ÁAEt 10 20 16,6667 18,75 23
KJt -1 -2 -3 -4 -5
c) A követőjel egyre kisebb értékeket vesz fel, ami szisztematikus alulbecslést jelez. Az előrejelzés során alulbecsültük az igényben jelenlévő trendkomponenst.
2.9. feladat
66
5 95 475 0,65 5 175 0,35 5 65 25 657,5
5:
nem avatkozik be: reklámozás:
6:
nem avatkozik be: Intenzív reklámhadjárat:
15:
bővít: nem bővít:
16:
nem avatkozik be: bővít: reklám: bővítés:
1:
kivárás:
5 70 350 0,7 5 200 0,3 5 90 60 775
4 160 45 595 4 120 480
reklámozás
intenzív reklám
bővít
4 85 340 4 115 40 420 0,65 4 85 50 0,35 4 85 30 20 408
0,5 5 160 0,3 657,5 0, 2 775 40 712, 25 0,5 120 600 0,3 85 420 0, 2 5 50 561,5
bővít
bővít
A bővítés a kedvezőbb alternatíva. Átlagos és kicsi igény esetén is érdemes reklámozni.
2.10. feladat a.) A tanulási ráta meghatározása: Y 1 a 1b 200 a 200 Y 100 200 100b 29,6 100b 0,148 b Ln100 Ln0,148 b 0,41487 L 2 0, 4148 0,75
b.) A havi gyártható mennyiség: A havi rendelkezésre álló idő 4 hét·5 nap·2 műszak·7 óra·60 perc=16800 perc. Ezt elosztva az első darab elkészítéséhez szükséges idővel kapjuk a tanulási görbe táblázatban megkeresendő értéket (16800/200=84). A függelék I. táblázatában ezen értéknél a 0,75 tanulási ráta oszlopban 800 szerepel, tehát a havi gyártható mennyiség 800 db. c.) A heti gyártható mennyiségek a következő táblázat segítségével számolhatók: Kumulált idő/200 1 2 3 4
1 hét·5 nap·2 műsz.·7 óra·60 perc /200 perc=21 2 hét·5 nap·2 műsz.·7 óra·60 perc /200 perc=42 3 hét·5 nap·2 műsz.·7 óra·60 perc /200 perc=63 4 hét·5 nap·2 műsz.·7 óra·60 perc /200 perc=84
Kumulált mennyiség (Táblázatból) 80 db 250 db 490 db 800 db
Mennyiség 80 db 170 db 240 db 310 db
Megjegyezzük, hogy e feladat más módon is megoldható. Ha azt feltételezzük, hogy a napi első és második műszak között nem érvényesül a tanulási hatás, akkor a tanulás szempontjából a két műszakot függetlennek kell tekinteni. Ebben az esetben, a heti rendelkezésre álló idő kétszer 2100 perc. A két műszakra külön-külön számolt mennyiség
67
összege pedig a tanulási görbe táblázat alapján az első héten 2·25=50 darab. Hasonlóan számolhatók a további hetek értékei is.
3.1. feladat a.) EOQ
2 AD P vr P D
2 50000 18000 54000 6000 db 300 0,25 54000 18000
b.) Q
EOQ 6000 1 év 120 nap D 18000 3 EOQ 6000 1 t1 év 40 nap P 54000 9 t2 TEOQ - t1 120 - 40 80 nap
TEOQ
Imax TEOQ
L TEOQ és L t2 s DL
s
18000 22 1100 db 360
P-D
P
t1
c.)
D t2
D Q D vr 1 Q 2 P 18000 6000 18000 18000 300 50000 300 0,25 1 5700 eFt 6000 2 54000
TK{6000} Dv A
d.) I max ( P D) t1 (150 50) 40 4000 db P * 108000 db/év EOQ * t1* * I max
2 AD P* * vr P D
2 50000 18000 108000 5366 db 300 0,25 108000 18000
EOQ * 5366 360 18 nap * 108000 P ( P * D) t1* 4472 db
* I max I max 472 db
3.4. feladat a.) Az optimális rendelési tételnagyság számítása:
68
L
T
EOQ
2 AD v0 r
2 3000 2000 129,099 129 db 3600 0,2
EOQ1( d )
2 AD 2 3000 2000 136,93 137 db v1 r 3200 0,2
EOQ2( d )
2 AD 2 3000 2000 141,41 141db v2 r 3000 0,2
EOQ2( d )
2 AD 2 3000 2000 146,37 146 db v2 r 2800 0,2
Az első diszkont küszöb az eredeti árhoz tartozó optimumnál kisebb, ezért jobb 137 darabot rendelni 3200 Ft/db áron, mint 129 darabot rendelni 3600 Ft/db áron. A két legkisebb árhoz tartozó optimumok nem rendelhetők meg a hozzájuk tartozó áron a diszkontküszöbök értékei miatt, ezért rendelési tételként a következő három érték jöhet szóba: 137 db, 200 db, 300 db. A válsztás a teljes költségfüggvény értéke alapján lehetséges: D Q 2000 137 vr 2000 3,2 3 3,2 0,2 6487,636 eFt Q 2 137 2 D Q 2000 200 TK {200,3000} Dv A vr 2000 3,0 3 3,0 0,2 6090 eFt Q 2 200 2 D Q 2000 300 TK {300,2800} Dv A vr 2000 2,8 3 2,8 0,2 5704 eFt Q 2 300 2 TK {137,3200} Dv A
Az optimális rendelési tételnagyság tehát 300 db. b.) Költségnövekedés a nem optimális politika miatt: D Q vr Q 2 2000 500 2000 2,8 3 2,8 0,2 5752 eFt 500 2 TK 5705 5752 48 eFt
TK {500,2800} Dv A
3.6. feladat a.) Optimális rendelési tételnagyság: EOQ
2 AD 2 50 300 100 db vr 20 0,15
b.) Rendelési készletszint (Gyak=2): EOQ 100 Gyak 2 0,666 Táblázatból : z 0,43 D 300 ss z L 0,43 6 2,58 2 darab P{u s}
s L ss 15 2 13 darab
69
c.) A biztonsági készlet: ss z L 0,43 6 2,58 2 darab A biztonsági készlet költsége: ss v r 2 20 0,15 6 eFt d.) A készletezési politika teljes költsége: D Q ss vr Q 2 300 100 300 20 50 2 20 0,15 6000 144 150 6294 eFt 100 2
TK {Q, ss} Dv A
4.2. feladat Először azt vizsgáljuk, hogy elvileg megoldható-e a feladat. Ehhez azt kell tenni, hogy kiszámítjuk az összesen előállítható mennyiséget, és összehasonlítjuk az összes igénnyel: Gyárthatóság: 5·80 db + 5·120 db = 1000 db Összes igény: 60+50+205+240+160 = 715 db Mint látjuk, a kívánt mennyiség elméletileg legyártható. Ebből nem következik, hogy ténylegesen megoldható a feladat, hiszen lehetséges, hogy az igények és a kapacitások olyan szerencsétlenül kombinálódnak, hogy egy adott időszak igényét egy jóval korábbi periódusban lehetne csak legyártani, viszont nincs annyi raktárkapacitás, hogy a felhasználás időpontjáig el tudjuk tárolni. Az adott gyártási kapacitást tekintve két lehetőségünk van: 1. ha az adott időszak gyártási kapacitása nagyobb vagy egyenlő az adott időszakban felmerülő igénynél, akkor természetesen legyártható az igényelt mennyiség, és így nem kell készletezési költséget vállalnunk. 2. ha az adott időszak gyártási kapacitása kisebb, mint az adott időszakban felmerülő igény, akkor csak a kapacitásunk által legyártható mennyiséget tudjuk elkészíteni, a többit valamelyik korábbi periódusra kell átütemeznünk. Természetesen minél közelebbi periódusban való előállítás a cél, hogy minél kevesebb készlettartási költség merüljön fel.
Telephely Előrehozott 1 (80 db./hó) 2 (120 db./hó) Gyártás Raktár (max. 60 db.)
3 205 40 a 4.-ről
4 240
5 160
Összesen 715
60
2 50 40 a 4.-ről + 5 a 3. ról 80
80
80
80
380
0
15
120
120
80
335
60 0
95 45
200 40
200 0
160 0
715
1 60
Teljes költség: 380 db. * 1000 Ft./db. + 335 db. * 1500 Ft./db. + 45 db. * 200 Ft./db. + 40 db. * 200 Ft./db. = 899.500 Ft.
70
Amit így kapunk, az egy megengedett megoldás, de nem biztos, hogy optimális is. Ha megnézzük a gyártási és készletezési költségeket, akkor azt látjuk, hogy olcsóbb akár 2 hétig is készletezni, mint a 2-es telephelyen gyártani. Emiatt a 2. periódusban a 2. telephelyen gyártandó 15 darabot olcsóbb előrehozni az 1. periódusra, és inkább az 1. telephelyen legyártani. Természetesen ilyenkor azt is meg kell vizsgálni, hogy elegendő-e a hely a raktározandó mennyiséghez, de ez a mi esetünkben így van. 1 Telephely 60 Előrehozott 10 a 4.-ről + 5 a 3. -ról 1 (80 75 db./hó) 2 (120 0 db./hó) Gyártás 75 Raktár 15 (max. 60 db.)
2 50 30 a 4.-ről
3 205 40 a 4.-ről
4 240
5 160
Összesen 715
80
80
80
80
395
0
120
120
80
320
80 45
200 45
200 0
160 0
715 105
Teljes költség: 395 db. * 1000 Ft./db. + 320 db. * 1500 Ft./db. + 15 db. * 200 Ft./db. + 45 db. * 200 Ft./db. + 45 db. * 200 Ft./db. = 896.000 Ft. Még érdemes megvizsgálni, hogy a 2. telephelyen a 3. periódusban gyártott 120 db.-ból, az első periódus első telephelyére átütemezünk 5 db. –ot. 2
3
50 30 a 4.-ről
205 40 a 4.-ről
240
160
Összesen 715
80
80
80
80
400
0
115
120
80
315
80 50
200 40
200 0
160 0
715 110
1 Telephely 60 Előrehozott 10 a 4.-ről + 10 a 3. -ról 1 (80 80 db./hó) 2 (120 0 db./hó) Gyártás 80 Raktár 20 (max. 60 db.)
4
5
Teljes költség: 400 db. * 1000 Ft./db. + 315 db. * 1500 Ft./db. + 20 db. * 200 Ft./db. + 50 db. * 200 Ft./db. + 40 db. * 200 Ft./db. = 894.500 Ft. Ez utóbbi megoldás adja a legalacsonyabb összköltséget, emiatt ezt a megoldást választjuk.
71
5.1. feladat 1 2 1
m E1
x1 x1
2 x2 x2
2.000 1.200
E3 : 2 x1
x2
2.000
E4 : 3 x1
x2
3.000
m E 4 3
x2
50 1.200
m MAX 2 0
E1 : E2 :
M IN1: M AX2:
x1
M ax (2 x1
3 x2 )
mE 2
m E 3 2 m MIN 1 mOF
2 3
Az ábra az eredeti feladat célfüggvényét tartalmazza (mOF=-2/3 meredekséggel), ami a (400; 800) pontban határozza meg az optimumot (mivel mE1≤mOF≤mE2), a fedezet a célfüggvénnyel számolható. A további alkérdések során a célfüggvény együtthatók módosulnak (és azzal együtt a célfüggvény meredeksége), ennek megfelelően változik az optimális termékszerkezet, illetve a maximális fedezet. Ez grafikusan (az új célfüggvény felrajzolásával és eltolásával), illetve numerikus módon (a sarokpontok koordinátáinak új célfüggvényekbe való helyettesítésével) egyaránt meghatározható.
72
a) P2: X1=400, X2=800, Fopt=3.200 eFt; b) P1: X1=50, X2=975, Fopt=4.975 eFt (mE1≤mOF= -2/5≤mMAX2); c) P4: X1=1000, X2=0, Fopt=4.000 eFt (mE4≤mOF=-4); d) P3: X1=800, X2=400, Fopt=7.200 eFt (mE2≤mOF= -7/4≤mE3); e) Meg kell vizsgálni P1 és P4 pontokat: FP1=925 eFt és FP4=-1.000 eFt. Tehát P1: X1=50, X2=975, Fopt=925 eFt; vagy: mivel c1 negatív, c2 pedig pozitív, ezért Termék 1-ből a lehető legkevesebbet, Termék 2-ből pedig a lehető legtöbbet kell gyártani. f) FP1=-925 eFt és FP4=1.000. Tehát P4: X1=1.000, X2=0, Fopt=1.000 eFt. vagy: mivel c1 pozitív, c2 pedig negatív, ezért Termék 1-ből a lehető legtöbbet, Termék 2-ből pedig a lehető legkevesebbet kell gyártani.
5.2. feladat x1: kétujjas kesztyűből gyártandó mennyiség (db) x2: ötujjas kesztyűből gyártandó mennyiség (db) A megadott műveleti időket órában kifejezve a következő matematikai modellt írhatjuk fel:
kivágás (E1) 0,4 x1 varrás (E2) 0,2 x1 csomagolás (E3) 0,4 x1 M IN1 x1 M AX2 M ax (1.500 x1
0,5 x 2 0,5 x 2 0,4 x 2 x2 2.000 x 2 )
400 300 480 250 700
a.) A fedezettömeg maximuma a fajlagos fedezetek segítségével számítható. A fajlagos fedezet a fajlagos eladási ár és a fajlagos közvetlen költsége különbsége. A kétujjas kesztyű fajlagos fedezete 6.300-4.800=1.500 Ft, míg az ötujjasé 7.000-5.000=2.000 Ft. Így a célfüggvény meredeksége -1.500/2.000=-0,75, tehát az optimum a P1 (500; 400) pontban van. A maximális fedezet 1.550.000 Ft.
73
b.) Az árbevétel maximalizálása esetén a célfüggvényben a fajlagos eladási árak szerepelnek, így a célfüggvény meredeksége -6.300/7.000=-0,9. Ebben az esetben P2 (1.000; 0) az optimum, vagyis ötujjas kesztyűt nem érné meg gyártani, kétujjas kesztyűből pedig 1.000 db-t kellene készíteni (a kivágásra rendelkezésre álló idő miatt ennél többet nem tudnak előállítani). Az optimum értéke 6.300.000. c.) A csomagolás (E3) árnyékára zéró, hiszen nem szűkkeresztmetszete a rendszernek. Azonban az árnyékár érvényességi tartományát is meg kell vizsgálni, hiszen előfordulhat, hogy olyan mértékben változik a jobboldali paraméter értéke, hogy az már hatást gyakorol az optimumra. A zéró árnyékár érvényességi tartományának nincs felső határa, hiszen bármennyivel nőhet E3 jobboldali paraméterének értéke, az optimális megoldás nem változik meg. A csomagolásra rendelkezésre álló idő az ábrán jelölt optimumig, P1 (500; 400) pontig csökkenhet zéró árnyékár mellett. P1 után a jobboldali paraméter további csökkenésével E3 szűk keresztmetszetté válik, árnyékára már nem lesz zéró. Tehát 360 bE3 . E3 jobboldala 30%-kal csökken, vagyis 480 óra helyett csak 480·0,7=336 óra áll rendelkezésre. Ez a zéró árnyékár érvényesség tartományán kívül esik, vagyis az optimum meg fog változni. Az új árnyékár az M (250; 500) és P1 (500; 400) pontok között lesz
6.5. feladat a) Komponens-hierarchia: A
B(2)
C(1)
B(1)
D(3)
E(2)
E(2)
C(2)
Alsó színtű kódolással: A
0. szint
D(3)
1. szint
C(1)
2. szint
3. szint
B(2)
B(1)
C(2)
E(2)
E(2)
74
b) -4 Bruttó igény (A) Rendelkezésre álló mennyiség Nettó igény Tervezett rendelésbeérkezés Tervezett rendelésfeladás Bruttó igény (D) Rendelkezésre álló mennyiség Nettó igény Tervezett rendelésbeérkezés Tervezett rendelésfeladás Bruttó igény (C) Rendelkezésre álló mennyiség Nettó igény Tervezett rendelésbeérkezés Tervezett rendelésfeladás Bruttó igény (B) Rendelkezésre álló mennyiség Nettó igény Tervezett rendelésbeérkezés Tervezett rendelésfeladás Bruttó igény (E) Rendelkezésre álló mennyiség Nettó igény Tervezett rendelésbeérkezés Tervezett rendelésfeladás
-3
70
100
300
-2
70
100
300
0
0
1200
0
500
500
2000
-1
70
100
300
1200 1200 0 1200 1200 1600 2400 500 1900 2000 0
70
100
500 1000 300 700 1200 0 0 0 0 0 1300 0 100 0 0 3000
0 70
200 600 100 500 500 0 200 500 0 0 1200 1600 0 1600 1600 1780 2800 100 2700 3000 2500
Hónap 1 100 70 30 200 0 0 0 0 0 720 1440 300 1140 1200 1200 1300 0 1300 1300 100 2500 300 2200 2500 3000
6.9. feladat Optimális megoldást csak a Wagner-Whitin algoritmus ad. D1=50; D2=25; D3=20; D4=30 A1= A2= A3 =A4=50 eFt i1= i2= i3= i4=i=1 eFt
75
2 3 120 160 170 50 0 110 0 240 240 0 720 0 0 0 720 0 720 0 0 780 240 1560 60 1020 180 540 1200 1200 1200 0 1780 100 0 0 1780 100 1780 100 620 100 2980 100 300 320 2680 0 3000 0 500
4 130 130 0 0 260 780 0 780 780 0 260 660 0
5 120 0 120 260 0 0 0 0 0 0
6 140 140 0 0
620 0 620 620 100 620 220 400 500 0
100 0 100 100
100 0 100 100
100 100 0
100 0 100 500 0
400
500
t 1
j 1 K 1 A1 50 eFt
t 2 j 1 K 2 A1 i D2 50 25 75 eFt t2
j 2 K 2 K 1 A2 50 50 100 eFt
t 3 t 3 t 3
j 1 K 3 A1 i D2 2 D3 50 65 115 eFt
j 2 K 3 K 1 A2 i D3 50 50 20 120 eFt j 3 K 3 K 2 A3 75 50 125 eFt
t4 t4 t4 t4
j 1 K 4 A1 i D2 2 D3 3 D4 50 155 205 eFt
j 2 K 4 K 1 A2 i D3 2 D4 50 50 80 180 eFt j 3 K 4 K 2 A3 i D4 75 50 30 155 eFt j 4 K 4 K 3 A4 115 50 165 eFt
A rendelési ütemterv: Q1=D1+D2=75; Q2=0; Q3=D3+D4=50; Q4=0 b)
t 1 2 A A 25 A 25 t 2 2 A A 20 A 20 t 3 2 A A 30
A 30
c) Havi rendelés költsége ( 4 rendelési költség, készlettartási költség nincs): Khavi=4·50=200 eFt Optimális ütemterv költsége: KWW=155 eFt Az optimális ütemterv alkalmazása 45 eFt megtakarítását teszi lehetővé.
7.4. feladat a.) A büntetések összege akkor lesz minimális, ha a késő feladatok száma a lehető legkisebb. Ehhez a Hodgson-Moor algoritmus alkalmazása szükséges. Ennek első lépéseként a határidők szerint növekvő sorrendbe kell rendezni a projekteket: P2-P3-P1-P5-P4 Projekt
ti
di
P2 P3 P1 P5 P4
9 8 6 11 5
12 16 21 24 30
1. lépés Ti Ki 9 0 17 1 23 2 34 10 39 9
2. lépés Ti Ki ----8 0 14 0 25 1 30 0
3. lépés Ti Ki ----8 0 14 0 ----19 0
A kialakult ütemezés végére tetszőleges sorrendben illeszthetőek a „félretett” feladatok. A büntetések összegét minimalizáló ütemezési sorrendek a következők:
76
P3-P1-P4-P2-P5 vagy P3-P1-P4-P5-P2. b.) Ha az anyavállalat ködbér-szerűen számolja a büntetéseket, akkor az átlagos késés csökkentése indokolt a fizetendő büntetések minél alacsonyabb szinten tartása érdekében. Ehhez az EMDD heurisztika alkalmazható [di*= Max(T+ti;di)]. i
ti
di
P1 P2 P3 P4 P5
6 9 8 5 11 T
21 12 16 30 24
1. lépés T+ti di* 6 21 9 12 8 16 5 30 11 24 0
2. lépés T+ti di* 14 21 ----17 17 14 30 20 24 9
3. lépés T+ti di* 23 23 --------22 30 28 28 17
4. lépés T+ti di* ------------28 30 34 34 23
5. lépés T+ti di* ----------------39 39 28
A sorrend tehát: P2-P3-P1-P4-P5. 7.12. feladat a)
b)
Tc
T 2 8 0,9 60 2,4 perc/darab Q 360
c) Követő műveletek száma: A – 8; B – 7; C – 7; D – 5; E – 3; F – 3; G – 3; H – 4; I – 2; J – 2; K – 1; L – 0.
77
NFO(LPT) Műveleti hely
Feladat
1
2
3
Műveleti idő (perc)
Fennmaradó Logikai korlát idő (követő műv.; műv. (perc) idő)
Mennyiségi korlát (követő műv.; műv. idő)
A(9;0,4),B(7;0,6)
A(9;0,4),B(7;0,6) B(7;0,6),C(7;0,9) B(7;0,6),D(5;0,2), E(3;0,5) D(5;0,2),E(3;0,5), F(3;0,4),G(3;0,2)
A
0,4
2
C
0,9
1,1
B(7;0,6),C(7;0,9) B(7;0,6),D(5;0,2), E(3;0,5)
B
0,6
0,5
D(5;0,2),E(3;0,5), F(3;0,4),G(3;0,2)
D
0,2
0,3
G
0,2
0,1
E(3;0,5),F(3;0,4), G(3;0,2),H(4;0,8) E(3;0,5),F(3;0,4), H(4;0,8) E(3;0,5),F(3;0,4), H(4;0,8)
E(3;0,5),F(3;0,4), H(4;0,8)
G(3;0,2)
H
0,8
1,6
E(3;0,5),F(3;0,4)
E(3;0,5),F(3;0,4)
E
0,5
1,1
F(3;0,4),J(2;0,5)
F(3;0,4),J(2;0,5)
F
0,4
0,7
J(2;0,5),I(2;0,4)
J(2;0,5),I(2;0,4)
J
0,5
0,2
I(2;0,4) I(2;0,4)
I(2;0,4)
I
0,4
2
K(1;0,7)
K(1;0,7)
K
0,7
1,3
L(0;0,4)
L(0;0,4)
L
0,4
0,9
2. LPT (NFO) Műveleti hely 1
2
3
Feladat
Műveleti idő (perc)
Fennmaradó idő (perc)
Logikai korlát (műv. idő; követő műv.)
Mennyiségi korlát (műv. idő; követő műv.)
A(0,4;9),B(0,6;7)
A(0,4;9),B(0,6;7)
B
0,6
1,8
A(0,4;9),E(0,5;3)
A(0,4;9),E(0,5;3)
E
0,5
1,3
A(0,4;9)
A(0,4;9)
A
0,4
0,9
C(0,9;7),D(0,2;5)
C(0,9;7),D(0,2;5)
C
0,9
0
D(0,2;5),F(0,4;3), G(0,2;3) D(0,2;5),F(0,4;3), G(0,2;3)
D(0,2;5),F(0,4;3), G(0,2;3)
F
0,4
2
D(0,2;5),G(0,2;3)
D(0,2;5),G(0,2;3)
D
0,2
1,8
G(0,2;3),H(0,8;4)
G(0,2;3),H(0,8;4)
H
0,8
1
G(0,2;3),J(0,5;2)
G(0,2;3),J(0,5;2)
J
0,5
0,5
G(0,2;3)
G(0,2;3)
G
0,2
0,3
I(0,4;2) I(0,4;2)
I(0,4;2)
I
0,4
2
K(0,7;1)
K(0,7;1)
K
0,7
1,3
L(0,4;0)
L(0,4;0)
L
0,4
0,9
78
d) L
t t i A
i
6 perc
1: N=3; M1=2,3 perc; M2=2,2 perc; M3=1,5 perc. t 6 0,8333 83,33% HH N Tc 3 2,4 M 2,3 M 2,2 KK1 1 0,9583 95,83%; KK 2 2 0,9167 91,67%; Tc 2,4 Tc 2,4 M 1,5 KK 3 3 0,625 62,5%. Tc 2,4 2: N=3; M1=2,4 perc; M2=2,1 perc; M3=1,5 perc. t 6 0,8333 83,33% HH N Tc 3 2,4 M 2,4 M 2,1 KK1 1 1 100%; KK 2 2 0,875 87,5%; Tc 2,4 Tc 2,4 M 1,5 KK 3 3 0,625 62,5%. Tc 2,4 e) Mivel a második elrendezés semmilyen többletigény kielégítésére nem alkalmas (az egyes műveleti hely 100%-os kapacitáskihasználtsága miatt), az igény növekedése esetén csak az első elrendezés alkalmazható.
8.1. feladat M/M/1 modellel írható le a kiszolgáló rendszer. λ= 15 vevő/óra, μ=60/5=12 vevő/óra A kis boltba tehát több vevő érkezik óránként, mint amennyit ott ki tudnak szolgálni (λ>μ). Ennek következtében a várakozó sor, a rendszerben tartózkodók száma folyamatosan nő. Nem létezik egyensúlyi állapota a rendszernek, így az egyensúlyi helyzetre vonatkozó összefüggések nem alkalmazhatóak. (A rendszerben tartózkodók átlagos számát a vevők átlagos türelmetlensége fogja meghatározni. A türelmetlen vevők miatt ugyanis a tényleges (effektív) beérkezési ráta alacsonyabb lesz az eredetinél. Egészen addig fog csökkeni, míg a vevők által elfogadható várakozással járó egyensúlyi állapot ki nem alakul.)
8.8. feladat Jelenlegi rendszer Az üres rendszer valószínűsége: P0 1
0,25
A rendszerben töltött átlagos várakozási idő: tR
79
1 30 perc
tR
1 1 1 1 30 óra 1 P0 60
1 1 0,25 2 1 1 8 8 munkadarab /óra
1 0,25 8 0,75 8 6 munkadarab /óra P0 1
a) Az exponenciális eloszlás tulajdonsága, hogy várható értéke és szórása megegyezik (σexp=1/μ). Mivel jelen esetben a kiszolgálási időnek csak a szórása csökken, ez a feltétel nem fog teljesülni, tehát s kiszolgálási idő nem exponenciális eloszlású. A kiszolgálási idő várható értékének és szórásának ismeretében M/G/1 modell alkalmazható. Jelen esetben σ=1/(4·μ)=1/32. 2 2 / 62 1 32 6 / 8 9 256 36 64 153 nS 2 1 / 2 1 6 / 8 12 128 2
2
2
nS 153 128 51 6 256 1 51 1 83 1245 tR tS óra perc 19,4531 perc 256 8 256 64
tS
Tehát 30-19,4531=10,5469 perccel csökkenne a munkadarabok rendszerben töltött átlagos várakozási ideje. Megjegyzés: A rendszer leírható egy w=16 paraméterű M/Ew/1 modellel is, Erlang eloszlás esetén
ugyanis 1 w . b) Ha a kiszolgálási időnek nincs szórása, akkor az konstans, tehát az M/D/1 modell alkalmazható a rendszer leírására.
nS
2 62 36 9 2 2 8 8 6 32 8
nS 9 8 3 6 16 1 3 1 5 75 tR tS óra perc 18,75 perc 16 8 16 4 tS
Tehát 30-18,75=11,25 perccel csökkenne a munkadarabok rendszerben töltött átlagos várakozási ideje. Megjegyzés: A rendszer leírható egy σ=0 paraméterű M/G/1 modellel is.
8.10. feladat A sürgősségi osztály alkotott sorállási rendszer egy abszolút prioritást alkalmazó M/M/k=4 (a 8 orvos egyidejűleg 4 beteget képes ellátni párokban dolgozva) alkot. 3 prioritási osztály különíthető el (Z=3). Az életveszélyes (zéletveszélyes=1), súlyos (zsúlyos=2) és könnyű (zkönnyű=3) sérültek beérkezési rátái rendre a következők: λ(1)=20·0,05=1, λ(2)= 20·0,25=5, λ(3)= 20·0,7=14 beteg/óra. A kiszolgálási ráta μ=60/10=6 beteg/óra. 80
z=1→ M/M/k=4, λ =λ(1)=1, μ=6 P0( 1 )
k 1
1 / k k!
/
n
n!
n 0
k k
3
1 1 4968 4 1531 1 24 5869 1 / 6 4 6 4! 4 6 1 1296 31104 23
1 / 6
n
n!
n 0
nS(1)
/ / k P 1 / 6 1 /4 6 4968 1 31104 4968 1 0 2 2 k!1 / k 4!1 1 / 4 6 5869 529 24 5869 809922
tS(1)
nS(1) 1 10 600 óra perc másodperc 0,0044 másodperc 809922 134987 134987
k
4
z=2 → M/M/k=4, λ =λ(1)+ λ(2)=6, μ=6 P0(1, 2)
k 1
1 / k k!
/
n 0
n
n!
k k
3
6 / 6
n 0
n
n!
1 6 / 64 4!
46 46 6
1 18 8 1 4 49 3 24 3
/ / k P 6 / 6 6 / 4 6 18 1 4 18 1 0 2 2 k!1 / k 4!1 6 / 4 6 49 27 2 49 147 k
nS(1, 2)
4
nS(1, 2) 1 147 1 10 200 óra perc másodperc 4,0816 másodperc 6 882 147 49 200 1 600 134987 5 tS( 2) 32391000 tS( 2) 4,8971 másodperc 49 1 5 6614363
tS(1, 2)
z=3 → M/M/k=4, λ =λ(1)+ λ(2)+ λ(3)=20, μ=6 P0(1, 2,3)
k 1
n 0
/
n
n!
k k
3
n 0
20 / 6
n
n!
1 1 27 4 20 / 6 4 6 1301 1250 6 1267 81 243 4! 4 6 20
/ / k P 20 / 6 20 / 4 6 27 25000 243 27 12500 0 2 2 23 1267 3801 k!1 / k 4!1 20 / 4 6 1267 k
nS(1, 2,3)
1 / k k!
4
nS(1, 2) 12500 3801 625 12500 750000 óra perc 9,8659 perc másodperc 20 3801 1267 1267 750000 1 600 134987 5 32391000 6614363 14 tS(3) tS(3) 843,8929 másodperc 14,0649 perc 1267 1 5 14
tS(1, 2,3)
Az életveszélyes és a súlyos sérültek általában azonnal sorra kerülnek (az előbbieknek 0,0044, az utóbbiaknak 4,8971 másodpercet kell várniuk átlagosan), a könnyű sérültek átlagosan 14 percig várakoznak.
81
9.1. Feladat a) Komputer
Villanymotor
1 0 1 9
1 1 0 7
Végtermék A Végtermék B Végtermék C Összesen
Gyártandó mennyiség 4 3 5 12
b) A termékek előállításának sorrendjéről a Monden heurisztika segítségével döntünk. 2
K Qj X K 1, j bij , Q j 1 N
D K ,i
ahol K a gyártási sorozat vizsgált lépésének száma; j az egyes komponenseket, komputert (1) és villanymotort (2) jelöli; Qj a j komponensből összesen szükséges mennyiség (Q1=9, Q2=7); Q a gyártandó termékek száma (12); XK-1,j a j komponensből a K-1 lépésig összesen felhasznált darabok száma; bij pedig a vizsgált i terméktípushoz szükséges j komponensek száma. A D1,B érték meghatározásakor azt vizsgáljuk, hogy az első lépésben (K=1) B terméket gyártunk (i=B). Egy B termékhez nincs szükség komputerre (b1j=b11=0), de egy villanymotort fel kell használni (b1j=b12=1). Az első termék előtt nem történt gyártás, így komponensek sem kerültek felhasználásra (X0,1=X0,2=0). 2
2 2 1 Q j 1 9 1 7 D1,B X 0, j b1 j 0 0 0 1 0,86 12 12 j 1 Q A D1,A=0,49, D1,B=0,86 és D1,C=0,63 értékek közül a D1,A a legkisebb, ezért elsőként A terméket gyártunk. Ennek megfelelően tehát az első gyártás befejezéséig egy komputer (X1,1=1) és egy villanymotor (X1,2=1) is felhasználásra kerül. 2
A D2,C érték meghatározásakor azt vizsgáljuk, hogy a második lépésben (K=2) C terméket gyártunk (i=C). Egy C termékhez szükség van egy komputerre (b2j=b21=1), de nincs szükség villanymotorra (b2j=b22=0). 2
2Qj 29 27 D2,C X 0, j b1 j 1 1 1 0 0,53 12 12 j 1 Q A D2,A=0,97, D2,B=0,97 és D2,C=0,53 értékek közül a D2,C a legkisebb, ezért másodikként C terméket gyártunk. Ennek megfelelően tehát a második gyártás során egy komputer és nulla villanymotor kerül felhasználásra, a második gyártás befejezéséig tehát 2 komputert (X2,1=2) és egy villanymotort (X2,2=1) használnak el. 2
2
2
A D3,B érték meghatározásakor azt vizsgáljuk, hogy a harmadik lépésben (K=3) B terméket gyártunk (i=B). Egy B termékhez nincs szükség komputerre (b3j=b31=0), de egy villanymotort fel kell használni (b3j=b32=1).
82
2
3 QB 3 9 3 7 D3,B X 0, j b1 j 2 0 1 1 0,35 12 12 j 1 Q A D3,A=0,79, D3,B=0,35 és D3,C=1,06 értékek közül a D3,B a legkisebb, ezért harmadikként B terméket gyártunk. 2
2
2
Az első 3 terméktípus gyártási sorrendje tehát A, C, B. c) A táblázat soraiban kiválasztva a legkisebb értékeket, meghatározható, hogy melyik lépésben milyen terméket gyártunk (a 6. és 10. lépésekben nem egyértelmű a döntés, de a számítás további menete alapján egyértelműen meghatározható, hogy mindkét esetben A termék gyártása történt). DK,A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0,49 0,97 0,79 0,67 0,26 0,71 1,18 1,05 0,79 0,53 0,95 1,00
DK,B
Gyártás Villanymotor
DK,C
0,86 0,97 0,35 1,20 0,75 0,71 0,95 0,33 1,06 0,53 0,63 1,41
0,63 0,53 1,06 0,33 0,95 0,71 0,75 1,20 0,35 0,97 0,86 0,00
1 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 7
A C B C A A C B C A B C
A sorrend alapján eldönthető, hogy mely lépésekben került villanymotor felhasználásra, ezek kumulált értékét tartalmazza a táblázat utolsó oszlopa, aminek alapján felrajzolható a szükséges függvény.
Felhasználás
8 6 4 2 0 0
4
8
12
Lépések száma (K )
d) Mivel célunk a komponensek iránti igény egyenletessé tétele, ezért ebben az esetben A, B, A, B, … sorrendben történne a gyártás.
83
11.5. Feladat A B C D E F G H I J K L M N
Teljes megelőzési A,B,F,G,H,I,J,K,L,M,N A,B,C,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N A A,F A,F,G A,F A,F A A A,B,L A,B,F,J,K,L,M
A
F
B
G
J
I
K
L
Közvetlen megelőzési H,I,N C,E A F G F F A A B,L J,K,M
M
H
N
C
E
11.13. Feladat D
E
C
F
B
G
A
11.4. Feladat
84
D
tevékenységek A
Teljes tartalékidő 1 B 6 C
Szabad tartalékidő 1 0
B C D E
A teljes átfutási idő: 20. A kritikus út: A-F-H.
F G H I
11.10. Feladat
idő 5
A teljes átfutási idő: 30. A kritikus út: E-F-C-B-A
85
10
15
11.11. Feladat
A 3
3 3
2
C 5
8 8
5
D 4
0 0
1
4
10 11
H 4
G 1
12 12
6
I 6
18 18
7
J 2
8
20 20
E 4
B 6
6 7
3
F 10
Tevékenység
Megelőző tevékenység
a (OD)
A
-
1
2
B
-
2
C
A
D
m (MD) b (PM)
E
Krit.
V
9
3
igen
1,78
6
10
6
3
5
7
5
igen
0,44
A
2
3
10
4
E
B
2
3
10
4
F
B
5
10
15
10
G
D, E
0,5
1
1,5
1
H
C
1,5
4
6,5
4
igen
0,69
I
G, H
3,5
5,5
10,5
6
igen
1,36
J
F, I
1
2
3
2
igen
0,11
E(TPT) 3 5 4 6 2 20 nap V(TPT) 1,78 0,44 0,69 1,36 0,11 4,38 nap 4,38 2,1
a) Milyen valószínűséggel fejeződik be a projekt 22 nap alatt (vagy annál korábban)?
P(TPT 22) ? 22 20 z 0,95 0,8289 2,1 P(TPT 22) 83% b) Mi a valószínűsége annak, hogy a projekt 4 napot vagy annál többet csúszik?
86
P(TPT 24) ? 24 20 z 1,9 0,0287 2,1 P(TPT 24) 2,87% c) Mi annak a valószínűsége, hogy a projekt 3 nappal hamarabb (vagy annál előbb) készül el?
P(TPT 17) ? 17 20 z 1,43 1 0,9236 0,0764 2,1 P(TPT 17) 7,64% d) Milyen valószínűséggel marad az átfutási idő egy ±2 napos elfogadható tartományon belül? P(18 TPT 22) ? 18 20 0,9523 1 0,8289 0,1711 2,1 1 2 0,1711 0,6578 z
P(18 TPT 22) 65,78%
11.14. Feladat Tevékenység
Megelőző tevékenység
A
Normál
Roham
Idő (hónap)
Ktg. (eFt).
Idő (hónap)
Ktg. (eFt)
Ktg. ráta
-
10
5
9
9
4
B
A
10
7
7
10
1
C
A
6
8
5
11
3
D
A
18
9
16
11
1
E
B, C
10
5
9
8
3
F
D, E
10
10
9
13
3
3
16 20
4
20 20
C 6
1
0 0
A 10
2
10 10
B (10) (8) 7
D (18) 17
TPT 10 10 10 10 40 hónap TK (5 7 8 9 5 10) (40 36) 2,5 54 eFt
87
E 10
5
30 30
F 10
6
40 40
Kritikus út: A-B-E-F. 1. lépés: Az A, B, E és F tevékenységek közül B-nek a legkisebb a költségrátája, ezért ezt gyorsítjuk. B tevékenység csak 2 hónappal gyorsítható, mert ekkor A-D-F is kritikussá válik. D(B) 8 TPT 40 2 38 hónap
TK 54 2 1 2 2,25 51 eFt Kritikus út: A-B-E-F és A-D-F. 2. lépés: B-t és D-t gyorsítjuk. B már csak 1-gyel gyorsítható, mert elérte az alsó határt. D(B) 7 D(D) 17 TPT 38 1 37 hónap TK 51 1 (1 1) 1 2,5 50,5 eFt Kritikus út: A-B-E-F és A-D-F. 3. lépés: Az A és F tevékenységek gyorsíthatóak. Mivel F-nek kisebb a költségrátája, azt gyorsítjuk. D(F) 9 TPT 37 1 36 hónap
TK 50,5 1 3 1 2,5 51 eFt A költség elkezdett növekedni, vagyis az optimális ponton már túl vagyunk. Megjegyzendő, hogy már a 2. lépés után látható, hogy az optimális megoldást elértük, ugyanis csak B és D tevékenységnek kisebb a költségrátája, mint 2,5 eFt. B és D viszont már nem gyorsítható tovább, így a kötbérnél drágább gyorsításra lenne csak lehetőség. Az optimális megoldás: TPT 37 hónap
TK 50,5 eFt Kritikus út: A-B-E-F és A-D-F.
88
11.16. Feladat
4 6
2 A 2
6
KB5
8 B 0
3 3
8
3
1 D 2
2
KB2
4 1 A B C D E F
11
8 E 0
0 0
2
3
4 10
10
KB7
4
3 C
7
4
0
7
BB2
KK3 1
11
40 10
10 35
10
8
KB5 KB3
8
1 F 0
2 2
5 20 10 15
6 20 10 15
7
8
9
10
11
10 15
10
10
10
10
10
10
10
10
3 3
a) PV 20 20 15 40 50 35 180, AC 24 25 20 39 47 36 191,
EV 40 * 0,4 80 * 0,3 45 * 0,6 40 *1 80 * 0,55 35 *1 186 b) SPI EV / PV 186 / 180 1,03 1 Munkateljesítésben előbbre tartunk a tervezetthez képest. CPI EV / AC 186 / 191 0,974 1 Költségtúllépés van. c) PV 180, AC 191, EV 178 SPI 178 / 180 0,989 1 Munkateljesítésben lemaradás van. CPI 178 / 191 0,932 1 Költségtúllépés van.
89
14. FÜGGELÉK Standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényének táblázata z 1 z
z
(z)
z
(z)
z
(z)
z
(z)
z
(z)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51
0.500000 0.503989 0.507978 0.511966 0.515953 0.519939 0.523922 0.527903 0.531881 0.535856 0.539828 0.543795 0.547758 0.551717 0.555670 0.559618 0.563559 0.567495 0.571424 0.575345 0.579260 0.583166 0.587064 0.590954 0.594835 0.598706 0.602568 0.606420 0.610261 0.614092 0.617911 0.621720 0.625516 0.629300 0.633072 0.636831 0.640576 0.644309 0.648027 0.651732 0.655422 0.659097 0.662757 0.666402 0.670031 0.673645 0.677242 0.680822 0.684386 0.687933 0.691462 0.694974
0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 0.64 0.65 0.66 0.67 0.68 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03
0.698468 0.701944 0.705401 0.708840 0.712260 0.715661 0.719043 0.722405 0.725747 0.729069 0.732371 0.735653 0.738914 0.742154 0.745373 0.748571 0.751748 0.754903 0.758036 0.761148 0.764237 0.767305 0.770350 0.773373 0.776373 0.779350 0.782305 0.785236 0.788145 0.791030 0.793892 0.796731 0.799546 0.802337 0.805105 0.807850 0.810570 0.813267 0.815940 0.818589 0.821214 0.823814 0.826391 0.828944 0.831472 0.833977 0.836457 0.838913 0.841345 0.843752 0.846136 0.848495
1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55
0.850830 0.853141 0.855428 0.857690 0.859929 0.862143 0.864334 0.866500 0.868643 0.870762 0.872857 0.874928 0.876976 0.879000 0.881000 0.882977 0.884930 0.886861 0.888768 0.890651 0.892512 0.894350 0.896165 0.897958 0.899727 0.901475 0.903200 0.904902 0.906582 0.908241 0.909877 0.911492 0.913085 0.914657 0.916207 0.917736 0.919243 0.920730 0.922196 0.923641 0.925066 0.926471 0.927855 0.929219 0.930563 0.931888 0.933193 0.934478 0.935745 0.936992 0.938220 0.939429
1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12
0.940620 0.941792 0.942947 0.944083 0.945201 0.946301 0.947384 0.948449 0.949497 0.950529 0.951543 0.952540 0.953521 0.954486 0.955435 0.956367 0.957284 0.958185 0.959070 0.959941 0.960796 0.961636 0.962462 0.963273 0.964070 0.964852 0.965620 0.966375 0.967116 0.967843 0.968557 0.969258 0.969946 0.970621 0.971283 0.971933 0.972571 0.973197 0.973810 0.974412 0.975002 0.975581 0.976148 0.976705 0.977250 0.977250 0.978308 0.979325 0.980301 0.981237 0.982136 0.982997
2.14 2.16 2.18 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30 2.32 2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46 2.48 2.50 2.52 2.54 2.56 2.58 2.60 2.62 2.64 2.66 2.68 2.70 2.72 2.74 2.76 2.78 2.80 2.82 2.84 2.86 2.88 2.90 2.92 2.94 2.96 2.98 3.00 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00
0.983823 0.984614 0.985371 0.986097 0.986791 0.987455 0.988089 0.988696 0.989276 0.989830 0.990358 0.990863 0.991344 0.991802 0.992240 0.992656 0.993053 0.993431 0.993790 0.994132 0.994457 0.994766 0.995060 0.995339 0.995604 0.995855 0.996093 0.996319 0.996533 0.996736 0.996928 0.997110 0.997282 0.997445 0.997599 0.997744 0.997882 0.998012 0.998134 0.998250 0.998359 0.998462 0.998559 0.998650 0.999313 0.999663 0.999841 0.999928 0.999968
90
z=(X-)/ P{uX} z
z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0
0,00 0,5000 0,4602 0,4207 0,3821 0,3446 0,3085 0,2743 0,2420 0,2119 0,1841 0,1587 0,1357 0,1151 0,0968 0,0808 0,0668 0,0548 0,0446 0,0359 0,0287 0,0228 0,0179 0,0139 0,0107 0,0082 0,0062 0,0047 0,0035 0,0026 0,0019 0,0013
0,01 0,4960 0,4562 0,4168 0,3783 0,3409 0,3050 0,2709 0,2389 0,2090 0,1814 0,1562 0,1335 0,1131 0,0951 0,0793 0,0655 0,0537 0,0436 0,0351 0,0281 0,0222 0,0174 0,0136 0,0104 0,0080 0,0060 0,0045 0,0034 0,0025 0,0018 0,0013
0,02 0,4920 0,4522 0,4129 0,3745 0,3372 0,3015 0,2676 0,2358 0,2061 0,1788 0,1539 0,1314 0,1112 0,0934 0,0778 0,0643 0,0526 0,0427 0,0344 0,0274 0,0217 0,0170 0,0132 0,0102 0,0078 0,0059 0,0044 0,0033 0,0024 0,0018 0,0013
0,03 0,4880 0,4483 0,4090 0,3707 0,3336 0,2981 0,2643 0,2327 0,2033 0,1762 0,1515 0,1292 0,1093 0,0918 0,0764 0,0630 0,0516 0,0418 0,0336 0,0268 0,0212 0,0166 0,0129 0,0099 0,0075 0,0057 0,0043 0,0032 0,0023 0,0017 0,0012
0,04 0,4840 0,4443 0,4052 0,3669 0,3300 0,2946 0,2611 0,2296 0,2005 0,1736 0,1492 0,1271 0,1075 0,0901 0,0749 0,0618 0,0505 0,0409 0,0329 0,0262 0,0207 0,0162 0,0125 0,0096 0,0073 0,0055 0,0041 0,0031 0,0023 0,0016 0,0012
91
0,05 0,4801 0,4404 0,4013 0,3632 0,3264 0,2912 0,2578 0,2266 0,1977 0,1711 0,1469 0,1251 0,1056 0,0885 0,0735 0,0606 0,0495 0,0401 0,0322 0,0256 0,0202 0,0158 0,0122 0,0094 0,0071 0,0054 0,0040 0,0030 0,0022 0,0016 0,0011
0,06 0,4761 0,4364 0,3974 0,3594 0,3228 0,2877 0,2546 0,2236 0,1949 0,1685 0,1446 0,1230 0,1038 0,0869 0,0721 0,0594 0,0485 0,0392 0,0314 0,0250 0,0197 0,0154 0,0119 0,0091 0,0069 0,0052 0,0039 0,0029 0,0021 0,0015 0,0011
0,07 0,4721 0,4325 0,3936 0,3557 0,3192 0,2843 0,2514 0,2206 0,1922 0,1660 0,1423 0,1210 0,1020 0,0853 0,0708 0,0582 0,0475 0,0384 0,0307 0,0244 0,0192 0,0150 0,0116 0,0089 0,0068 0,0051 0,0038 0,0028 0,0021 0,0015 0,0011
X
0,08 0,4681 0,4286 0,3897 0,3520 0,3156 0,2810 0,2483 0,2177 0,1894 0,1635 0,1401 0,1190 0,1003 0,0838 0,0694 0,0571 0,0465 0,0375 0,0301 0,0239 0,0188 0,0146 0,0113 0,0087 0,0066 0,0049 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0010
0,09 0,4641 0,4247 0,3859 0,3483 0,3121 0,2776 0,2451 0,2148 0,1867 0,1611 0,1379 0,1170 0,0985 0,0823 0,0681 0,0559 0,0455 0,0367 0,0294 0,0233 0,0183 0,0143 0,0110 0,0084 0,0064 0,0048 0,0036 0,0026 0,0019 0,0014 0,0010
Kumulált tanulási görbe táblázat Q\L
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 410 420 430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600 610 620 630 640 650 660 670 680 690 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800 810 820 830 840 850 860 870 880 890 900 910 920 930 940 950 960 970 980 990
1,000 1,050 1,059 1,061 1,062 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063 1,063
1,000 1,100 1,126 1,136 1,141 1,143 1,145 1,146 1,147 1,147 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149 1,149
1,000 1,150 1,199 1,222 1,234 1,242 1,246 1,250 1,252 1,254 1,261 1,262 1,263 1,263 1,263 1,263 1,263 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264 1,264
1,000 1,200 1,278 1,318 1,342 1,357 1,368 1,376 1,382 1,387 1,407 1,413 1,415 1,417 1,418 1,418 1,419 1,419 1,419 1,419 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,420 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421 1,421
1,000 1,250 1,361 1,424 1,464 1,491 1,512 1,527 1,540 1,550 1,596 1,612 1,620 1,625 1,628 1,631 1,633 1,634 1,635 1,636 1,637 1,637 1,638 1,638 1,639 1,639 1,639 1,640 1,640 1,640 1,640 1,641 1,641 1,641 1,641 1,641 1,641 1,641 1,642 1,642 1,642 1,642 1,642 1,642 1,642 1,642 1,642 1,642 1,642 1,642 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,643 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644 1,644
1,000 1,300 1,448 1,538 1,599 1,644 1,678 1,705 1,727 1,745 1,839 1,876 1,896 1,910 1,919 1,926 1,932 1,936 1,940 1,943 1,945 1,948 1,950 1,951 1,953 1,954 1,956 1,957 1,958 1,959 1,960 1,960 1,961 1,962 1,963 1,963 1,964 1,964 1,965 1,965 1,966 1,966 1,967 1,967 1,967 1,968 1,968 1,968 1,969 1,969 1,969 1,970 1,970 1,970 1,970 1,970 1,971 1,971 1,971 1,971 1,972 1,972 1,972 1,972 1,972 1,972 1,973 1,973 1,973 1,973 1,973 1,973 1,973 1,974 1,974 1,974 1,974 1,974 1,974 1,974 1,974 1,975 1,975 1,975 1,975 1,975 1,975 1,975 1,975 1,975 1,975 1,975 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,976 1,977 1,977 1,977
1,000 1,350 1,539 1,662 1,749 1,816 1,868 1,911 1,947 1,977 2,146 2,222 2,267 2,298 2,321 2,339 2,354 2,365 2,375 2,384 2,392 2,398 2,404 2,409 2,414 2,419 2,423 2,426 2,430 2,433 2,436 2,438 2,441 2,443 2,446 2,448 2,450 2,452 2,454 2,455 2,457 2,458 2,460 2,461 2,463 2,464 2,465 2,467 2,468 2,469 2,470 2,471 2,472 2,473 2,474 2,475 2,476 2,477 2,477 2,478 2,479 2,480 2,480 2,481 2,482 2,483 2,483 2,484 2,484 2,485 2,486 2,486 2,487 2,487 2,488 2,488 2,489 2,489 2,490 2,490 2,491 2,491 2,492 2,492 2,493 2,493 2,494 2,494 2,494 2,495 2,495 2,496 2,496 2,496 2,497 2,497 2,497 2,498 2,498 2,498 2,499 2,499 2,499 2,500 2,500 2,500 2,501 2,501
1,000 1,400 1,634 1,794 1,913 2,007 2,083 2,147 2,202 2,250 2,532 2,673 2,763 2,828 2,877 2,917 2,950 2,978 3,002 3,023 3,042 3,059 3,074 3,088 3,101 3,112 3,123 3,133 3,143 3,151 3,160 3,167 3,175 3,182 3,188 3,194 3,200 3,206 3,211 3,217 3,222 3,226 3,231 3,235 3,240 3,244 3,248 3,252 3,255 3,259 3,262 3,266 3,269 3,272 3,275 3,278 3,281 3,284 3,286 3,289 3,292 3,294 3,297 3,299 3,301 3,304 3,306 3,308 3,310 3,312 3,315 3,317 3,319 3,320 3,322 3,324 3,326 3,328 3,330 3,331 3,333 3,335 3,336 3,338 3,339 3,341 3,342 3,344 3,345 3,347 3,348 3,350 3,351 3,352 3,354 3,355 3,356 3,358 3,359 3,360 3,361 3,362 3,364 3,365 3,366 3,367 3,368 3,369
1,000 1,450 1,732 1,935 2,091 2,218 2,324 2,416 2,495 2,566 3,010 3,254 3,419 3,543 3,641 3,722 3,791 3,850 3,903 3,949 3,991 4,030 4,065 4,097 4,127 4,155 4,181 4,205 4,228 4,250 4,270 4,289 4,308 4,326 4,343 4,359 4,374 4,389 4,403 4,417 4,430 4,443 4,455 4,467 4,479 4,490 4,501 4,511 4,521 4,531 4,541 4,550 4,559 4,568 4,577 4,585 4,593 4,602 4,609 4,617 4,625 4,632 4,639 4,646 4,653 4,660 4,666 4,673 4,679 4,685 4,692 4,698 4,704 4,709 4,715 4,721 4,726 4,731 4,737 4,742 4,747 4,752 4,757 4,762 4,767 4,772 4,776 4,781 4,786 4,790 4,795 4,799 4,803 4,807 4,812 4,816 4,820 4,824 4,828 4,832 4,836 4,839 4,843 4,847 4,851 4,854 4,858 4,861
1,000 1,500 1,833 2,083 2,283 2,450 2,593 2,718 2,829 2,929 3,598 3,995 4,279 4,499 4,680 4,833 4,965 5,083 5,187 5,282 5,369 5,449 5,522 5,591 5,656 5,716 5,773 5,827 5,878 5,927 5,973 6,017 6,060 6,101 6,140 6,177 6,214 6,249 6,283 6,315 6,347 6,378 6,408 6,437 6,465 6,492 6,519 6,545 6,570 6,595 6,619 6,642 6,665 6,688 6,710 6,731 6,752 6,773 6,793 6,813 6,832 6,851 6,870 6,888 6,906 6,924 6,941 6,958 6,975 6,991 7,008 7,024 7,039 7,055 7,070 7,085 7,100 7,115 7,129 7,143 7,157 7,171 7,185 7,198 7,211 7,224 7,237 7,250 7,262 7,275 7,287 7,299 7,311 7,323 7,335 7,346 7,358 7,369 7,380 7,391 7,402 7,413 7,424 7,434 7,445 7,455 7,465 7,475
1,000 1,550 1,938 2,240 2,490 2,703 2,890 3,056 3,206 3,344 4,312 4,930 5,393 5,765 6,079 6,351 6,591 6,807 7,003 7,183 7,350 7,504 7,649 7,786 7,915 8,037 8,153 8,263 8,369 8,470 8,567 8,661 8,751 8,837 8,921 9,002 9,081 9,157 9,231 9,303 9,373 9,441 9,507 9,572 9,635 9,697 9,757 9,816 9,873 9,930 9,985 10,039 10,092 10,144 10,195 10,245 10,294 10,342 10,389 10,436 10,482 10,527 10,571 10,615 10,658 10,700 10,741 10,783 10,823 10,863 10,902 10,941 10,979 11,017 11,054 11,091 11,127 11,163 11,198 11,233 11,268 11,302 11,335 11,369 11,402 11,434 11,466 11,498 11,530 11,561 11,592 11,622 11,652 11,682 11,712 11,741 11,770 11,799 11,827 11,855 11,883 11,911 11,938 11,965 11,992 12,019 12,045 12,072
1,000 1,600 2,045 2,405 2,710 2,977 3,216 3,432 3,630 3,813 5,171 6,097 6,821 7,422 7,941 8,401 8,814 9,191 9,539 9,862 10,164 10,448 10,716 10,971 11,214 11,445 11,667 11,880 12,085 12,283 12,473 12,658 12,837 13,010 13,178 13,342 13,501 13,656 13,807 13,954 14,098 14,239 14,377 14,511 14,643 14,772 14,899 15,023 15,145 15,265 15,382 15,498 15,611 15,723 15,833 15,941 16,047 16,152 16,255 16,357 16,457 16,556 16,654 16,750 16,845 16,939 17,031 17,122 17,212 17,302 17,390 17,476 17,562 17,647 17,731 17,814 17,897 17,978 18,058 18,138 18,217 18,295 18,372 18,448 18,524 18,599 18,673 18,746 18,819 18,891 18,963 19,034 19,104 19,174 19,243 19,311 19,379 19,446 19,513 19,579 19,645 19,710 19,775 19,839 19,903 19,966 20,028 20,091
1,000 1,650 2,155 2,578 2,946 3,274 3,572 3,847 4,102 4,341 6,195 7,540 8,631 9,565 10,391 11,135 11,816 12,446 13,034 13,587 14,110 14,607 15,080 15,533 15,967 16,385 16,788 17,177 17,554 17,919 18,274 18,619 18,955 19,282 19,601 19,912 20,217 20,514 20,806 21,091 21,371 21,646 21,915 22,180 22,439 22,695 22,946 23,193 23,436 23,676 23,911 24,144 24,373 24,599 24,821 25,041 25,258 25,472 25,683 25,892 26,099 26,302 26,504 26,703 26,900 27,094 27,287 27,478 27,666 27,853 28,038 28,220 28,402 28,581 28,758 28,934 29,109 29,282 29,453 29,623 29,791 29,958 30,123 30,287 30,450 30,611 30,771 30,930 31,087 31,243 31,398 31,552 31,705 31,857 32,007 32,157 32,305 32,453 32,599 32,744 32,889 33,032 33,174 33,316 33,456 33,596 33,735 33,873
1,000 1,700 2,268 2,758 3,195 3,593 3,960 4,303 4,626 4,932 7,407 9,305 10,902 12,307 13,574 14,738 15,819 16,833 17,791 18,701 19,569 20,401 21,201 21,972 22,717 23,439 24,139 24,820 25,482 26,128 26,757 27,373 27,975 28,564 29,141 29,707 30,262 30,807 31,342 31,869 32,386 32,896 33,397 33,892 34,378 34,858 35,332 35,799 36,260 36,715 37,164 37,608 38,046 38,480 38,908 39,332 39,751 40,166 40,577 40,983 41,385 41,783 42,177 42,568 42,955 43,338 43,718 44,095 44,468 44,839 45,206 45,570 45,931 46,289 46,644 46,997 47,347 47,694 48,039 48,381 48,721 49,058 49,393 49,725 50,056 50,384 50,710 51,033 51,355 51,675 51,992 52,308 52,622 52,933 53,243 53,551 53,857 54,162 54,464 54,765 55,065 55,362 55,658 55,952 56,245 56,536 56,826 57,114
1,000 1,750 2,384 2,946 3,459 3,934 4,380 4,802 5,204 5,589 8,828 11,446 13,723 15,776 17,666 19,430 21,092 22,671 24,179 25,625 27,019 28,365 29,668 30,934 32,166 33,366 34,537 35,681 36,801 37,897 38,973 40,028 41,065 42,083 43,085 44,071 45,043 45,999 46,943 47,873 48,791 49,697 50,592 51,476 52,350 53,213 54,067 54,912 55,748 56,575 57,394 58,205 59,008 59,803 60,591 61,372 62,147 62,914 63,675 64,430 65,179 65,922 66,659 67,390 68,116 68,836 69,552 70,262 70,967 71,668 72,363 73,054 73,741 74,423 75,100 75,774 76,443 77,108 77,769 78,427 79,080 79,730 80,376 81,018 81,657 82,293 82,925 83,553 84,179 84,801 85,420 86,036 86,648 87,258 87,865 88,469 89,070 89,668 90,263 90,856 91,446 92,033 92,618 93,200 93,779 94,356 94,931 95,503
1,000 1,800 2,502 3,142 3,738 4,299 4,834 5,346 5,839 6,315 10,485 14,020 17,193 20,122 22,868 25,471 27,957 30,346 32,651 34,883 37,051 39,162 41,221 43,234 45,203 47,134 49,029 50,890 52,720 54,521 56,294 58,042 59,765 61,466 63,145 64,803 66,441 68,061 69,663 71,248 72,817 74,370 75,908 77,431 78,941 80,437 81,920 83,390 84,849 86,296 87,731 89,156 90,570 91,973 93,367 94,751 96,125 97,491 98,847 100,19 101,53 102,87 104,19 105,50 106,81 108,11 109,40 110,69 111,97 113,24 114,50 115,76 117,01 118,26 119,50 120,73 121,96 123,18 124,40 125,61 126,81 128,01 129,21 130,40 131,58 132,76 133,94 135,10 136,27 137,43 138,58 139,74 140,88 142,02 143,16 144,30 145,42 146,55 147,67 148,79 149,90 151,01 152,12 153,22 154,32 155,41 156,50 157,59
1,000 1,850 2,623 3,345 4,031 4,688 5,322 5,936 6,533 7,116 12,402 17,091 21,425 25,513 29,414 33,166 36,795 40,320 43,754 47,109 50,393 53,614 56,777 59,888 62,951 65,970 68,947 71,886 74,789 77,658 80,495 83,302 86,081 88,833 91,559 94,261 96,939 99,595 102,23 104,84 107,44 110,01 112,57 115,11 117,64 120,14 122,63 125,11 127,57 130,02 132,45 134,87 137,27 139,67 142,05 144,41 146,77 149,12 151,45 153,77 156,09 158,39 160,68 162,96 165,23 167,50 169,75 172,00 174,23 176,46 178,68 180,89 183,09 185,28 187,47 189,65 191,82 193,98 196,13 198,28 200,42 202,56 204,69 206,81 208,92 211,03 213,13 215,23 217,31 219,40 221,47 223,54 225,61 227,67 229,72 231,77 233,81 235,85 237,88 239,91 241,93 243,94 245,96 247,96 249,96 251,96 253,95 255,94
1,000 1,900 2,746 3,556 4,339 5,101 5,845 6,574 7,290 7,994 14,608 20,727 26,543 32,142 37,574 42,871 48,054 53,140 58,141 63,067 67,925 72,723 77,465 82,156 86,800 91,399 95,958 100,48 104,96 109,42 113,83 118,22 122,58 126,91 131,22 135,50 139,76 143,99 148,20 152,39 156,56 160,72 164,85 168,96 173,05 177,13 181,19 185,24 189,27 193,28 197,28 201,27 205,24 209,19 213,14 217,07 220,99 224,89 228,79 232,67 236,54 240,40 244,24 248,08 251,91 255,72 259,53 263,33 267,11 270,89 274,66 278,41 282,16 285,90 289,63 293,36 297,07 300,78 304,48 308,17 311,85 315,52 319,19 322,85 326,50 330,14 333,78 337,41 341,03 344,65 348,26 351,86 355,46 359,05 362,63 366,21 369,78 373,35 376,90 380,46 384,00 387,54 391,08 394,61 398,13 401,65 405,16 408,67
1,000 1,950 2,872 3,774 4,662 5,538 6,404 7,261 8,111 8,954 17,130 25,003 32,684 40,224 47,653 54,992 62,254 69,450 76,586 83,671 90,707 97,701 104,66 111,57 118,46 125,31 132,13 138,92 145,69 152,44 159,16 165,85 172,53 179,18 185,82 192,43 199,03 205,61 212,18 218,73 225,26 231,77 238,28 244,77 251,24 257,70 264,15 270,59 277,01 283,42 289,83 296,21 302,59 308,96 315,32 321,66 328,00 334,33 340,65 346,96 353,25 359,55 365,83 372,10 378,36 384,62 390,87 397,11 403,34 409,57 415,78 421,99 428,20 434,39 440,58 446,76 452,94 459,10 465,26 471,42 477,57 483,71 489,85 495,98 502,10 508,22 514,33 520,43 526,53 532,63 538,72 544,80 550,88 556,95 563,02 569,08 575,14 581,19 587,24 593,28 599,32 605,35 611,38 617,40 623,42 629,43 635,44 641,45
92
Sorállási modellek összefüggései
Modell
Annak valószínűsége, hogy a rendszer üres P0
1. M/M/1
1
2. M/M/k k 1
/
n
n!
n 0
5. M/G/1 6. M/D/1 7. M/Ew/1
λ P0 μ
/ n P
1
0
/
k
k!
k k
1 λ / μ
3. M/M/1/Q sor kap. 4. M/M/1/N véges pop.
λ μ
Annak valószínűsége, Sorban tartózkodó hogy n entitás tartóz- entitások átlagos kodik a rendszerben száma Pn nS
1 λ / μ
Q 1
n! / n P 0 k!k n k
ha n k ha n k
λ P0 μ
2
n
n
n N! n 0 N n !
λ μ λ 1 μ 1
1
λ μ
n
N! P N n ! 0
nS
λ μ
nS λ
nR 1 P0
Q 1 λ / μ λ/μ Q 1 1 λ /μ 1 λ / μ
Q 1
1 P0
-
22 / 2 1 /
-
λ2 2μ μ λ
-
1 w λ2 2w μ μ λ
2
93
N
tS nS λ λ μ μ λ
nS
N
Sorban eltöltött átlagos idő
/ k / k P 0 2 k!1 / k
1 N
Rendszerben tartózkodó entitások átlagos száma nR
μ 1 P0 λ
λ μ λ nS μ nS
nS
λ μ
Rendszerben eltöltött átlagos idő tR tS
1 1 μ μλ
tS
1 μ
nS λ 1 PQ
nR 1 PQ
nS λ N n R
nR λ N n R
nS λ nS λ 1 w λ 2w μ μ λ
1 μ 1 tS μ tS
tS
1 μ
15. EREDMÉNYEK 15.1. Előrejelzés: 1. F(EXP) = {137, 138, 139, 141, 144, 146, 149}; KJt = {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7}; szisztematikus alulbecslés, pl. Holt módszer pozitív trenddel 2. a) MA(3) = {23, 31, 24, 23}; b) F(EXP) = {23, 27, 19, 23}; c) ÁAE(MA) = 10,25, ÁAE(EXP) = 10,5, a mozgó átlag jobb; d) 19 3. KJt = {1, 2, 0, -2, -3,75, -4,8, -5,963; -7,158}, szisztematikus alulbecslés 4. a) MA(3) = {130, 150, 160, 170, 160, 150}; b) F(EXP) = {150, 152, 152,8, 155,52, 153,968, 151,5712}; c) ÁAE(MA) = 23,333, ÁAE(EXP) = 17,709, az exponenciális simítás jobb, Foktóber(EXP) = 150,4141 5. a) 13500, b) 21200, c) 21330 6. KJt = {-1, -2, -0,6, 0,5714, 1,6667}, szisztematikus felülbecslés 7. a) 14,12, 27,54, 35,44, 24,38, b) 28,314, 36,497, 25,195, c) 37,94 8. a) r=0,7968; b) a=15,376, b=1,5454; c) 32,8135y59,7557 9. a) szisztematikus alulbecslés, trend túlbecslése, kezdeti érték vagy simítási konstans módosítása; b) jó előrejelzés; c) kevés adat; d) túlzott ingadozás és kontrollhatár túllépése, helytelen paraméterértékek, kezdeti értékek vagy simítási konstansok módosítása; e) szezonalítás rossz kezelése, ezen paraméterek felülvizsgálata; f) felülbecslés, trendkomponens túl magas értéke, e paraméter kezdeti értékének vagy simítási konstansának módosítása 10. a) 18,3138, 39.,2319, 272303; b) 40,5101, 26,1692 c) 28,6556 11. a) F(EXP) = {150, 152, 158, 160, 165}; b) KJt = {-1, -2, -3, -4, -5}; c) szisztematikus alulbecslés. 12. a) 230; 263; 282,62; 298,96; b) -1; -1,174; -0,5038; c) A kevés adat alapján jónak tekinthető, mert az elfogadott sávon belül van és nem mutat szisztematikus hibát.; d.) 382,411 13. a) 400, 330, 330, 282, 278,8; b) -1, -2, -3, -4; c) szisztematikus alábecslés; d) 202; 0 14. a) 375; 142,5; 510,3; b) 1; 0,264; 1,579 c) d) 277 15.2. Kapacitásszámítás 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Nem érdemes bővíteni, sem most, sem egy év múlva. a) 21 alkalmazott; b) 79,4%; c) 89,3% a) 4000 db/hét; b) 3600 db/hét; c) 83,3%; d) 75% a) 108000 üveg/nap; b) 103500 üveg/nap; c) töltőgépek:71,9%, címkéző gépek: 95,8%; csomagoló:86,25%; d) töltőgépek: 53%, címkézés: 67,6%, csomagoló: 58,3% 4 gép, S=2 esetén 2 gép, H=8,5h esetén 3 gép Nagy kapacitású üzemet kell építeni. Nagy üzemet célszerű létesíteni. Ha a jövőben kedvezőtlenül alakul az igény, akkor megéri reklámkampánnyal élénkíteni a keresletet. A legkedvezőbb a nagy üzem építése. Ha az igény alacsonynak bizonyul, érdemes hirdetésekkel ösztönözni a fogyasztást. A bővítés a kedvezőbb alternatíva. Átlagos és kicsi igény esetén is érdemes reklámozni.
9. 10. a) 0,75; b) 800; c) 80; 170; 240; 310 11. b) kis raktár jobb; c) a nagyüzemet érdemes megépíteni, és utána kampányt folytatni, ha kell.
94
12. b) közepes kapacitású berendezést érdemes venni; c) 27,3% az igény kedvező alakulásának valószínűsége 47,8% 13. a) RE=0,9862; b) 22119 (22122).
14. a) L=0,9; b) 16 hét tanulással, 35,3 hét tanulás nélkül; c) 20, 25, 28,30 15.3. Készletgazdálkodás 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.
a) 6000 db; b) 1100 db; c) 5700eFt; d) 472db a) EOQ=2000 db, ss=939db, s=2139 db; b) ss=664 db; d) 2752,9 eFt a) 1079 db; b) 767 db; c) 300 db; d) 10640349Ft a) 300 db; b) 48eFt; a) EOQ=50 db, TEOQ=96 nap; b) 22 db; c) 22867,5 Ft a.) 100 db b.) 13 db c.) -6 eFt/év d.) 6294 eFt/év a) EOQ= 700 db; b) 18204,57 $ a) EOQ=1050,21 db; b) s=1039 db a) EOQ=2683, ss=1495,5db, s=2455,5db; b) ss=1221db; d) TK=14608,94eFt a) EOQ=600; b) 602500Ft; c) 5 a)EOQ=141,42, 14,14 rendelés évente, 70,71 átlagos készletszint; b) 28284; c) 147431Ft a.) 2000 tonna; b.) 333 tonna; c.) 12060 eFt; d.) 125 eFt; e.) 27,78 Ft/tonna a.) 240db b.) ss=42 db, s=192 db c.) 9423 eFt/év d.) átlagosan 5 hiány lesz évente a.) 1474 db b.) 240 db c.) 400 db
15.4. Termeléstervezés 1. gyártás: (80, 80, 200, 200, 160), raktár: (20, 50, 40, 0, 0) 2. a) gyártás (310, 0, 0, 120), raktár: (230, 60, 0, 0); b) 3730 Ft; c) gyártás indítás költsége<=120 Ft 3. gyártás: (120, 120, 100, 120, 120), raktár: (80, 120, 120, 120, 0); kapacitáskorlátnál a gyártás: (100, 80, 100, 120, 60) és a raktár: (60, 60, 60, 60, 0)
15.5. Termékösszetétel 1. a) P2 (400; 800), Fopt=3.200 eFt; b) P1 (50; 975), Fopt=4975 eFt; c) P4 (1.000; 0), Fopt=4.000 eFt; d) P3 (800; 400), Fopt=7.200 eFt; e) P1 (50; 975), Fopt=925 eFt; f) P4 (1.000; 0), Fopt=1.000 eFt. 2. a) 500 ill. 400 db-ot, Fopt=1.550.000Ft; b) 1.000 ill. 0 db, Fopt=6.300.000 Ft; c) jelenlegi árnyékár 0, 360≤bcsom≤∞; új árnyékár 2916,6 Ft/óra, 300≤bcsom≤360; F’opt=1.480.000 Ft. 3. a) X1=800, X2=400, Fopt=260.000; b) 70, 900≤bE1≤1.300 és 110 1.400≤bE1≤2.200; c) 145≤ c1≤290. 4. a) 150 ill. 100 kg-ot, Fopt=255 eFt; b) ha c2=0,9 0,6≤ c1≤1,35; ha ha c1=1,1 0,73≤ c2≤1,65 c) nem érdemes elfogadni az ajánlatot (56,25 eFt < 60 eFt). 5. a) 800 ill 600 kg-ot, Fopt=360.000; b) 200≤ cvas≤600; c) 150, 1.200≤bgyártás≤2.000; d) 15.000 Ft veszteség. 6. (primál degenerált)a) 500 ill. 300 db, Fopt=640.000; b) 320≤ c1≤∞; c) baloldali árnyékár: 252,63 Ft/gó 940≤bE1≤1700; jobboldali árnyékár: 0, 1700≤bE1≤∞; d) a csökkenés 2.536,3 Ft veszteséggel jár, növelésnek nincs hatása. 7. a) nem érdemes (37.500 Ft < 40.000 Ft); b) finomliszt (1,25%-os változás); c) 42.500 Ft-ot. 8. a) 150 ill. 25 db-ot, Fopt=25.000; b) 0≤ cB≤300; c) E1: 50 Ft/gó 150≤bE1≤450, MAXA: 100 Ft/gó 0≤bMAXA≤200; d) nem érdemes bővíteni (12.500 Ft < 13.000 Ft). 9. a) Y termék (3,5%-os változás); b) 1135 Ft-ig nőhet; c) 430 Ft-ig.
95
10. (duál degenerált)(250; 110) és (300; 60) pontok, valamit az ezeket a pontokat összekötő szakasz adja a feladat optimális megoldását, Fopt=18 eFt.
15.6. MRP 1. a) A: (0;200), (1;100), (2;100), (3;100), (4;200); C: (-1;500), (0;0), (1;500), (2;0), (3;500) B: (-2;0), (-1;0), (0;500), (1;500), (2;1500), (3;1000) b) B: (-3;500), (-2;500), (-1;500), (0;500), (1;500), (2;500), (3;500); 440 eFt 2. a) A: (0;75), (1;50), (2;75), (3;125), (4;100); C: (-2;200), (-1;200), (0;0), (1;250), (2;200); B: (-4;200), (-3;200), (-2;150), (-1;350), (0;350), (1;250), (2;200) b) B: (-4;550), (-3;0), (-2;0), (-1;950), (0;0), (1;0), (2;200) c) B: (-4;550), (-3;0), (-2;0), (-1;950), (0;0), (1;0), (2;200) 3. a) A: (0;20), (1;50), (2;80), (3;50), (4;100); C: (-2;40), (-1;100), (0;160), (1;100), (2;200); B: (-3;40), (-2;100), (-1;180), (0;150), (1;280), (2;50), (3;100) b) B: (-3;320), (-2;0), (-1;0), (0;430), (1;0), (2;150), (3;0) c) 32 000 Ft-tal csökken 4. a) A: (0;100), (1;100), (2;150), (3;100), (4;150); C: (-2;250), (-1; 250), (0; 250), (1; 250), (2; 250); B: (-3;250), (-2;250), (-1;450), (0;450), (1;550), (2;200), (3;300) b) EOQ= 1296≈1300 darab; B: (-3;1300), (-2;0), (-1;0), (0;1300), (1;0), (2;0), (3;0) 5. b) A: (0;200), (1;0), (2;240), (3;0), (4;260), (5;0); D: (-1;500), (0;0), (1;720), (2;0), (3;780), (4;0), (5;0); C: (-2;1200), (-1;0), (0;1200), (1;1200), (2;1200), (3;0); B: (-4;1200), (-3;0), (-2;1600), (-1;1300), (0;1780), (1;100), (2;620), (3;100), (4;100); E: (-3;2000), (-2;0), (-1;3000), (0;2500), (1;3000), (2;0), (3;500), (4;0), (5;500); 6. A: (-1;200), (0;250), (1;250), (2;200), (3;200), (4;200); A1: (-2;600), (-1;750), (0;1350), (1;0), (2;1200), (3;0); A2: (-3;1750), (-2;0), (-1;2350), (0;0), (1;2900), (2;0), (3;0), (4;0), (5;500) 7. a) G: (-3;2795), (-2;0), (-1;2795), (0;0), (1;2795), (2; 0), (3;0), (4;2795); b) G: (-3;3250), (-2;0), (-1;0), (0;4520), (1;0), (2; 0), (3;830), (4;0) c) POQ politika esetén 311 8800 Ft-tal alacsonyabb; az EOQ szabály nem egy meghatározott számú időszak teljes igényét rendeli meg, így többlet készlettartási költséget okoz. 8. (1;50), (2;200), (3;250), (4;0), (5;350), (6;0) 9. a) (1;75), (2;0), (3;50), (4;0); b) 20 000 Ft vagy annál alacsonyabb c) 45 000 Ft megtakarítás lehetséges az optimális ütemtervvel 10. (1;250), (2;0), (3;350), (4;0), (5;400), (6;0) 11. Elölről és hátulról végezve a tételcsúsztatást azonos sorrend adódik: (1;30), (2;40), (3;40), (4;40), (5;20), (6;40), (7;40), (8; 40), (9;40), (10;40) A kapacitáskorlát 120 000 Ft többletköltséget okoz. 12. (1;700), (2; 0), (3;700), (4;500), (5;800), (6;800), (7;0), (8; 0), (9;900), (10;0)
15.7. Ütemezés 1. a) bármilyen sorrend; b) 3-6-7-4-2-5-8-1, 44 nap; c) 3-6-7-4-2-5-8-1; 44 nap; d) 3-6-4-7-2-5-8-1; e) 8-1-5-6-2-4-7-3, 1: 5; 2: 7; 3: 0; 4: 4; 5: 9; 6: 5; 7: 0; 8: 0; f) 8-1-5-6-2-4-7-3, 1: 17; 2: 33; 3: 44; 4: 38; 5: 24; 6: 27; 7: 42; 8: 8; g) 8-5-6-2-4-7-3-1, 1: 9; 2: 6; 3: 2; 4: 5; 5: 7; 6: 3; 7: 4; 8: 8; h) 8-5-6-2-1-4-7-3, 1: 21; 2: -2; 3: -4; 4: 4; 5: 0; 6: -4; 7: -2; 8: -2. 2. a) C-B-A-G-E-D-F; b) B-C-D-A-F-G-E.
96
3. nem képes 4. a) P3-P1-P4-P2-P5 vagy P3-P1-P4-P5-P2; b) P2-P3-P1-P4-P5. 5. Előrejelzés – Anyagszükséglet-tervezés – Kapacitásszámítás – Készletgazdálkodás – Termeléstervezés – Ütemezés – Sorállás. 6. a) az átfutási idő csökkentésére, B1: M6-M1-M3-M4, B2: M5-M2; b) felosztható: 76 perc, nem felosztható: elméletileg 62,61 perc; konkrétan 76 perc. 7. Team 1: D-C-G-I, Team 2: J-F-E-B, Team 3: K-H-A. 8. felosztással kedvezőbb 30 eFt-tal. 9. a) M1: B-A-F-E-C-G-D, M2: B-A-F-E-C-G-D; b) Átfutási idő: 36 óra; c) M1: AFEC-DGB, M2: DGB-AFEC; d) Átfutási idő: 35 óra.
10. a) M1: AD-BCEF; M2: BCEF-AD; b) Átfutási idő: 200 óra; c) M1: AD-BF; M2: BF-CE-AD vagy BF-EC-AD; d) Átfutási idő változása: 55 óra.
11. a) T: 7-14-10-8-5-4--12-15-3-2--1-6-18-13-17, G: 1-6-18-13-17--11-9-16--7-14-10-8-5-4; c) 67 óra, 1: 55; 2: 6; 3: 4; 4: 34; 5: 39; 6: 57; 7: 40; 8: 42; 9: 4; 10: 46; 11: 2; 12: 2; 13: 52; 14: 43; 15: 3; 16: 5; 17: 47; 18: 57; d) Hi: 1: 7; 2: 11; 3: 5; 4: -3; 5: -10; 6: 6; 7: -8; 8: -6; 9: -8; 10: 2; 11: -12; 12: -2; 13: 0; 14: -10; 15: 1; 16: -3; 17: -5; 18: 4; Ki: 1: 7; 2: 11; 3: 5; 4: 0; 5: 0; 6: 6; 7: 0; 8: 0; 9: 0; 10: 2; 11: 0; 12: 0; 13: 0; 14: 0; 15: 1; 16: 0; 17: 0; 18: 4. 12. b) 2,4 perc; c) 1: ACBDG-HEFJ-IKL; 2: BEAC-FDHJG-IKL; d) 1: 83,33%; 0,958-0,917-0,625; 2: 83,3% 1-0,875-0,625; e) az első.
13. b) 1 perc; c) EACB-FDG-H-I-J; d) 69%; 0,85-1-0,5-0,6-0,5; e) átalakítás és túlóra költsége, az igénynövekedés várható ideje.
15.8. Sorállás Nem értelmezhető, a rendszer nem kerül egyensúlyi állapotba. a) 0,667; b) 8 perc; c) 2,5 ügyfél/óra; d) 17,75%; e) 0,5 perc a) 0,8; b) 30 perc; c) 0,4096; d) 11,11 perc; e) 0,6612 a) a műszak 20%-ában (1,6 óra), egy teljes nap során 17,6 órán át; b) 20 perc; c) 3,2 darab; d) 0,2097; e) 14 perc; f) 0,8 változatlan marad 5. a) 21,43 perc; b) 0,7241; c) 0,41385; d) 15 perc; e) 0,4286 6. 25 nap alatt térülne meg 7. 259 200 Ft-ot fizethet havonta maximálisan 8. a) 10,5469 perccel; b) 11,25 perccel 9. A helyben fogyasztó vevők átlagosan félórát 30,975 percet, a házhozszállítást igénylők átlagosan 90,1563 percet várakoznak. 10. Az életveszélyes betegek 0,0044, a súlyos sérültek 4,8971 másodpercig, a könnyű esetek átlagosan 14 percig várakoznak. 1. 2. 3. 4.
15.9. Just in time 1. a) komputer: 9, villanymotor: 7; b) A-C-B; d) A-B-A-B… 2. a) kamera: 6, GPS: 3; b) A 15.10. Gráfelméleti alapok 3. A legkisebb kifeszítőfa hossza: 23. 4. A legrövidebb út: 12. 5. A legnagyobb folyam: 8.
97
15.11. Hálóterv felrajzolása 1. 2. 3. 4. 5.
A: -; B: A; C: A; D: A; E: B; F: C; G: D; H: E; I: F; J: G; K: D; L: H, I, J; M: K; N: L, M. A: -; B: A; C: A; D: A; E: B; F: C; G: D; H: E; I: F, G; J: H, I. A: -; B: -; C: A; D: A; E: B; F: B; G: C; H: D; I: D; J: E, I; K: J, F; L: G, H, K. A: -; B: -; C: A; D: A; E: A; F: B; G: C; H: C; I: D, H; J: D, H; K: E, F, J. A: -; B: -; C: H, I, N; D: C, E; E: -; F: A; G: F; H: G; I: F; J: F; K: A; L: A; M: B, L; N: J, K, M. 6. A: -; B: -; C: K; D: M; E: M; F: C, D; G: F; H: E, G, N; I: F; J: H, K: A, L: K; M: B, L; N: B, L. 7. 1 látszattevékenység 8. 3 látszattevékenység 9. 2 látszattevékenység 10. 3 látszattevékenység 11. 3 látszattevékenység 12. 3 látszattevékenység 13. 4 látszattevékenység 14. 1 látszattevékenység 15.12. Hálóelemzés 1. Teljes átfutási idő: 20, kritikus út: B-C-F. Teljes tartalékidők: A: 1, D: 6, F: 0; Szabad tartalékidők: A: 0, D: 0, F: 0. 2. Teljes átfutási idő: 18, kritikus út: C-G. Teljes tartalékidők: A: 6, B: 1, D: 1; Szabad tartalékidők: A: 5, B: 0, D: 0. 3. Teljes átfutási idő: 20, kritikus út: A-D. Teljes tartalékidők: B: 2, C: 5, D: 0; Szabad tartalékidők: B: 2, C: 5, D: 0. 4. Teljes átfutási idő: 20, kritikus út: A-F-H. Teljes tartalékidők: B: 1, C: 6; Szabad tartalékidők: B: 1, C: 0. 5. Teljes átfutási idő: 20, kritikus út: B-E-F-G. Teljes tartalékidők: A: 1, F: 0, H: 3; Szabad tartalékidők: A: 0, F: 0, H: 0. 6. Teljes átfutási idő: 20, kritikus út: A-C-E-F. 7. Teljes átfutási idő: 30, kritikus út: A-C-D-E-F. 8. Teljes átfutási idő: 10, kritikus út: A-B-D. 9. Teljes átfutási idő: 60, kritikus út: A-C-D-F-E-B. 10. Teljes átfutási idő: 30, kritikus út: E-F-C-B-A. 11. a) 85,3%; b) 23,27%. 12. a) 10,1%; b) 33,36%. 13. a) 82,89%; b) 2,87%; c) 7,64%; d) 65,78%. 14. a) 92,79%; b) 98,53%; c) 23,27%; d) 14,44%. 15. a) 67%; b) 1,33%; c) 9,18%; d) 86,98%. 16. TPT= 29 hét, TK= 102eFt, kritikus utak: A-D-E és G-F-E. 17. TPT= 20 hét, TK= 48eFt, kritikus utak: A-C, B-D és E-F. 18. TPT=37 hónap, TK=50,5 eFt, kritikus út: A-B-E-F és A-D-F. 19. TPT=25 hét, TK=43,5 eFt, kritikus út: A-C-F, B-D-F és B-E-F. 20. a) PV=105, AC=95, EV=119; b) Tervezetthez képest késésben vagyunk a munkával (CPI=0,923), költségtúllépéssel (SPI=0,923). 21. PV=260, AC=260, EV=240; b) Tervezetthez képest előbbre tartunk a munkában (CPI=0,923), tervezettnél kisebb költségnél állunk (SPI=1,13).
98
22. a) PV=180, AC=191, EV=186; b) Tervezetthez képest előbbre tartunk (SPI= 1,03), költségtúllépés van (CPI=0,974); c) PV=180, AC=191, EV=178, Tervezetthez képest lemaradás a munkában (SPI=0.989)és költségtúllépés (CPI=0,932). 23. a) PV=138, AC=136, EV=147,5; b) Tervezetthez képest előbbre tartunk a munkában (SPI= 1,069), kevesebb költséggel (CPI=1,085); c) PV=138, AC=149, EV=147,5, Tervezetthez képest előbbre tartunk a munkában (SPI=1,069 )és költségtúllépés (CPI=0,989). 24. a) PV=220, AC=228, EV=227; b) Tervezetthez képest előbbre tartunk a munkában (SPI= 1,032), költségtúllépéssel (CPI=0,996); c) PV=220, AC=228, EV=239, Tervezetthez képest előbbre tartunk a munkában (SPI=1,086 )és kisebb költségen állunk (CPI=1,048).
99
