BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR VASÚTI JÁRMŰVEK ÉS JÁRMŰRENDSZERANALÍZIS TANSZÉK
MÉRNÖKI MATAMATIKA Segédlet a Bessel-függvények témaköréhez
a Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar MSc szakos hallgatósága számára Prof.Dr. Zobory István egyetemi tanár
BUDAPEST 2012
Változó együtthatós lineáris homogén differenciálegyenletek, Bessel-féle differenciálegyenlet A műszaki feladatok széles spektruma vezet az alábbi szerkezetű változó együtthatós másodrendű közönséges lineáris homogén differenciálegyenletre:
y′′( x) +
1 ν2 ′ y ( x) + (1 − 2 ) y ( x) = 0 . x x
A fenti másodrendű diff.egyenletet ν-edrendű Bessel-féle differenciálegyenletnek nevezzük. A jelzett ν paraméteres differenciálegyenlet-sereg elemei közül elsőnek a ν = 0, esetet azaz a zérórendű Bessel-féle differenciálegyenletet tekintjük:
y′′( x) +
1 y′( x) + y ( x) = 0 . x
Az így adódott differenciálegyenlet végtelen sok megoldása közül most azon partikuláris megoldást keressük, amely eleget tesz az y(0) = a0 és y′(0) = a1 kezdeti feltételeknek. Ezen kezdeti feltételeket figyelembe véve az a1 együtthatóra azonnal adódik, hogy az csak zéró értéket vehet fel, hiszen ellenkező esetben x → 0 esetén a második tag szingularitást mutatna. A jelzett kezdeti feltételeknek eleget tevő partikuláris megoldást végtelen hatványsor alakú kísérletező feltevéssel (Ansatz-cal) keressük:
y ( x) ∼ a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + ..... . Deriválva:
y′( x) ∼ a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x 3 + 5a5 x 5 + ..... y′′( x) ∼ 2a2 + 3.2a3 x + 4.3a4 x 2 + 5.4a5 x 3 + ..... . Az a1 = 0 feltételt figyelembe véve, és behelyettesítve a differenciálegyenletbe, a következő felírás érvényes:
(2a2 + 3.2a3 x + 4.3a4 x 2 + 5.4a5 x 3 + ....) + 1 + x(2a2 + 3a3 x + 4a4 x 2 + 5a5 x 4 + .....) + x + (a0 + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + .....) = 0 , ∀x ≥ 0 A megkívánt azonosan zérus eredményhez szükséges, hogy az azonos x-hatványt tartalmazó tagok összevonása és az x-hatványok kiemelése után adódó hatványsor minden együtthatója zérus legyen. Így egy végtelen egyenletrendszert szolgáltat az egyelőre ismertetlen együtthatók meghatározására és ez szolgáltatja a megoldásként felvett hatványsor együtthatóit: 1. a0 + 2a2 + 2a2 = 0 2. 6a3 + 3a3 = 0
→ a2 = − →
3. 12a4 + 4a4 + a2 = 0 →
a0 22
a3 = 0 a4 = −
a2 42
stb. A fentiek alapján az adott y(0) = a0 és y′(0) = a1 = 0 kezdeti feltételeket kielégítő egyparaméteres megoldás-sereg végtelen hatványsor összegeként adódik: 2
y ( x, a0 ) = a0 (1 −
1 2 1 4 1 x + x − x 6 + ...) . 2 2 2 2 2 2 2 24 246
A továbbiakban ebből a függvényseregből az a0 = 1 választással adódó partikuláris megoldásnak adunk fontos szerepet, ez lesz a ν = 0 – hoz tartozó – azaz zérusrendű – elsőfajú Bessel-függvény: def
J 0 ( x) = (1 −
1 2 1 1 x + 2 2 x 4 − 2 2 2 x 6 + ...) . 2 2 24 246
Tekintettel arra, hogy a másodrendű differenciálegyenlet általános megoldását jelentő kétparaméteres megoldássereget két lineárisan független partikuláris megoldás lineáris kombinációjaként állíthatjuk elő, most az J 0 ( x) függvényhez egy tőle lineárisan független másik partikuláris megoldás meghatározása szükséges. A szóban forgó másik partikuláris megoldást az állandó variálásának módszerével határozzuk meg. Ismeretes, hogy bármely homogén lineáris differenciálegyenlet valamely partikuláris megoldásával együtt annak konstansszorosa is megoldás, azaz a zérórendű J 0 ( x) Bessel-függvénnyel együtt tetszőleges u valós konstans esetén az Y0 ( x) = u J 0 ( x) függvény is megoldása a tekintett Bessel-féle differenciálegyenletünknek. Ahhoz, hogy a J 0 ( x) -től lineárisan független Y0 ( x) megoldást nyerhessünk az állandó „variálása” keretében az eddig konstansként említett c valós együtthatót az x változó függvényének tekintjük, és keressük tehát a differenciálegyenletünk másik megoldását
Y0 ( x) = u ( x) J 0 ( x) Alakban egyelőre ismeretlen u(x) függvény szerepeltetésével. Az u(x) meghatározásához kétszer deriváljuk a szorzatfüggvény deriválási szabálya szerint a felvett „Ansatz”-alakzatot:
Y0′( x) = u′( x) J 0 ( x) + u ( x) J 0′ ( x) Y0′′ ( x) = u′′( x) J 0 ( x) + u′( x) J 0′ ( x) + u′( x) J 0′ ( x) + u ( x) J 0′′( x)
.
A nyert deriváltakat vissza kell helyettesítenünk az eredeti Bessel-féle differenciálegyenletbe:
1 Y0′′( x) + Y0′( x) + Y0 ( x) = x = u′′( x) J 0 ( x) + u′( x) J 0′ ( x) + u′( x) J 0′ ( x) + u ( x) J 0′′( x) + . +
1 [u′( x) J 0 ( x) + u ( x) J 0′ ( x)] + u ( x) J 0 ( x) = 0 x
Tovább rendezve:
1 J 0′ ( x) + J 0 ( x)) + x +u′′( x) J 0 ( x) + u′( x) J 0′ ( x) + u′( x) J 0′ ( x) +
u ( x)( J 0′′( x) +
1 + u′( x) J 0 ( x) = 0 x Az összeg első tagjában az ismeretlen u(x) függvény melletti zárójeles kifejezés azonosan zérus, hiszen épp az eredeti Bessel-féle differenciálegyenlet bal oldala szerepel a zárójelben és J 0 ( x) az eredeti Bessel-féle differenciálegyenlet egy partikuláris megoldása a szereplő záró-
3
jeles kifejezés azonosan zérus. Ennek figyelembe vételével az ismeretlen u(x) függvény második deriváltja explicite kifejezhető és az u(x)-re vonatkozóan egy másodrendű változó együtthatós lineáris differenciálegyenletet kapunk:
u′′( x) = −(
2 J 0′ ( x) 1 + )u′( x) . J 0 ( x) x
Vezessük be a q(x) = u ′( x) helyettesítést, ezzel a fenti differenciálegyenletből az elsőrendű
q′( x) = −(
2 J 0′ ( x) 1 + ) q( x) , J 0 ( x) x
illetve a
2 J ′ ( x) 1 dq = −( 0 + ) dx q J 0 ( x) x szeparált alakú elsőrendű változó együtthatós differenciálegyenlet adódik. Az utóbbi egyenlet mindkét oldalát integrálva a saját változója szerint a q(x) függvényre a
ln q ( x) = −2ln J 0 ( x) − ln x − ln
1 c
kifejezést kapjuk, amelynek utolsó tagja a belépett tetszőleges integrálási konstans célszerű (logaritmikus kifejezéssel megadott) alakban való megjelenítésével szerepel. Ilyen elrendezést tekintve a jobb oldali tagokat közös logaritmus alá víve és minkét oldalt e alapra hatványozva, c tetszőleges konstans szerepeltetésével a q(x,c) megoldássereget kapjuk:
q( x) =
c . xJ ( x) 2 0
Ezzel a keresett q(x)= u′( x) deriváltra a fenti függvénysereg adódott, melynek integrálásával előáll az állandó variálásakor bevezetett u(x) függvény: x
u ( x) = c ∫ a
1 dx + A , xJ 02 ( x)
Itt c, a és A tetszőleges konstansok. Ezzel a keresett másik, u ( x) J 0 ( x) alakú partikuláris megoldás felírható (feltesszük, hogy A és c nem zérus): x
Y0 ( x) = AJ 0 ( x) + cJ 0 ( x) ∫ a
1 dx . xJ 02 ( x)
Bizonyítani kell, hogy a kapott Y0 ( x ) megoldás lineárisan független a kiindulási J 0 ( x ) megoldástól. Tekintsük evégből a két megoldásfüggvény figyelembevételével adódó Wronski determinánst: x
W ( x) =
J 0 ( x) Y 0 ( x) = J 0' ( x) Y0' ( x)
AJ 0 ( x) + cJ 0 ( x) ∫
J 0 ( x)
a
x
' 0
J ( x)
1 dx xJ 02 ( x)
1 d x 1 AJ ( x) + cJ ( x) ∫ 2 dx + cJ 0 ( x) ∫ 2 dx dx a xJ 0 ( x) a xJ 0 ( x ) ' 0
' 0
4
=
x
1 d x 1 = J0 (x) AJ ( x) + J 0 ( x)cJ ( x) ∫ 2 dx + J 0 ( x)cJ 0 ( x) ∫ 2 dx dx a xJ 0 ( x) a xJ 0 ( x) ' 0
' 0
x
1 c dx ) = ≠ 0, ha c ≠ 0. 2 x a xJ0 ( x)
( J 0' ( x) AJ0 ( x) + J0' ( x)cJ0 ( x)∫
Mivel a két tekintett partikuláris megoldással készített Wronski-determináns nem zérus, így a lineáris függetlenség fennáll, tehát a vizsgált másodrendű differenciálegyenlet két tetszőleges konstanst tartalmazó általános megoldása a következő alakban írható fel:
y ( x, C1 , C2 ) = C1 J o ( x) + C2Y0 ( x) . A zérus rendű Bessel-függvényeket az 1. ábra szemlélteti
1 ábra A zérus rendű Bessel-függvények Magasabb rendű Bessel-függvények származtatása A ν > -1 értékek esetén a
y′′( x) +
1 ν2 ′ y ( x) + (1 − 2 ) y ( x) = 0 x x
differenciálegyenlet megoldásait a ν-edrendű Bessel függvények adják. Az elsőrendű Bessel függvények azonban kapcsolatban állnak a nulladrendű Bessel függvényekkel az
J1 ( x) = − J 0' ( x), Y1 ( x) = −Y0' ( x), összefüggések szerint. Az ½ rendű és a -½ rendű Bessel függvények speciális tulajdonsága, hogy kifejezhetők elemi függvényekkel. Az elsőfajú függvények alakja a
J1/2 ( x) =
sin x cos x és J −1/2 ( x) = 1 1 πx πx 2 2
5
összefüggéspárral, míg a másodfajúak az
1 ⎡ ⎤ cos( π ) J1/2 ( x) − J −1/2 ( x) ⎥ = − J −1/2 ( x) ⎢ π 2 ⎦ sin ⎣ 2 1 1 ⎡ ⎤ − Y−1/2 ( x) = cos( π ) J −1/2 ( x) − J1/2 ( x) ⎥ =J1/2 ( x) ⎢ π 2 ⎦ sin(− ) ⎣ 2 Y1/2 ( x) =
1
képletekkel adódnak. A nemnegatív egész-rendű elsőfajú Bessel-függvények sorozatát a 2. ábra mutatja be
2. ábra A nemnegatív egész-rendű elsőfajú Bessel-függvények sorozata A másodfajú Bessel-függvények alakulását ν = 0, 1, 2 rendszámokra a 3. ábrán szemléltetjük.
3. ábra Másodfajú Bessel-függvények ν = 0, 1, 2 rendszámokra
6
A Bessel függvények körében érvényesülő ortogonalitás A ν > -1 értékek esetén a lényeges szerepet kapnak a ν -edrendű első- és másodfajú Besselfüggvények zéróhelyei. Tekintsük a fentiek szerint megengedett ν értékekre a Jν ( x) = 0
egyenlet gyökeit. Ezek a 0 < λ1 < λ2 < ... < λn < ... sorozatba rendezhetők. A nyert gyökök segítségével a Jν ( x) függvényből egy függvénysorozat generálható a
Jν (λ1 x), Jν (λ2 x),..., Jν (λn x),... Bizonyítható, hogy ezen függvénysorozat elemei a (0,1) intervallumon a x súlyfüggvényre nézve ortogonális tulajdonságúak, azaz érvényes, hogy a különböző gyökökkel (értéküktől függően kontrakcióval vagy dilatációval képzett) sorozatelemek skalárszorzatai a következőképp viselkednek: 1
∫
Jν (λi x), Jν (λ j x) xdx = 0, ∀i ≠ j. ,
0
A Kronecker féle szimbólum alkalmazásával pedig még az azonos gyökökkel képzett sorozatelemekre is kiterjesztett eredmény adódik: 1
1
0
0
2 ∫ Jν (λi x), Jν (λ j x) xdx = δ ij ∫ Jν (λi x) xdx, ∀i ≠ j.
{
Ez az eredmény másképp azt jelenti, hogy a Jν (λi x) x
}
∞
i =1
függvénysorozat a (0,1) interval-
lum felett teljes ortogonális rendszert képez, és segítségével a (0,1) felett értelmezett négyzetesen integrálható függvények sorba fejthetők az ortogonális rendszert képező
{ J (λ x ) x }
∞
ν
i
i =1
függvénysorozat elemeinek lineáris kombinációjaként, ez adja a „Bessel függ-
vényekbe való sorfejtés” alapesetét. Az ilyen ortogonális sort Bessel-Fourier sornak nevezzük, mely az f(x) függvény esetében az 1
∫
x f ( x)dx
0
integrál létezése és végessége esetén az ∞
f ( x) = ∑ ai Jν (λi x) i =1
konkrét formát ölti. A sorkifejezésbe belépett együtthatókat az
ai =
1
2
[ Jν
(λi )]
2
+1
∫ xf ( x)Jν (λ x)dx i
; i = 1, 2,...
0
képlet sorozattal kapjuk. További lehetőséget ad a Dini-féle ortogonális függvényrendszer bevezetése a A p > -1 értékek esetén a lényeges szerepet kapnak a p -edrendű elsőfajú Bessel-függvények és a az utóbbiak első deriváltjaiból felépített zéróhelyei. Tekintsük a fentiek szerint megengedett p értékekre a aµi J ′p ( µi ) + b, J p ( µi ) = 0 egyenlet gyökeit. Ezek a 0 < µ1 < µ2 < ... < µn < ... sorozatba rendezhetők. A nyert gyökök segítségével a J p ( x) függvényből egy függvénysorozat generálható a 7
J p ( µ1 x), J p ( µ 2 x),..., J p ( µn x),... Bizonyítható, hogy ezen függvénysorozat elemei is a (0,1) intervallumon a x súlyfüggvényre nézve ortogonális tulajdonságúak, azaz érvényes, hogy a különböző gyökökkel (értéküktől függően kontrakcióval vagy dilatációval képzett) sorozatelemek skalárszorzatai a következőképp viselkednek: 1
∫
J p ( µi x), J p ( µ2 x) xdx = 0, ∀i ≠ j. ,
0
A Kronecker féle szimbólum alkalmazásával pedig még az azonos gyökökkel képzett sorozatelemekre is kiterjesztett eredmény adódik: 1
1
0
0
2 ∫ J p ( µi x), J p (µ j x) xdx = δ ij ∫ J p (µi x) xdx, ∀i, j.
{
A kapott J p ( µi x) x
}
∞
i =1
függvénysorozat a (0,1) intervallumon ismét teljes ortogonális rend-
szert (nem normált!) képez. A kapott függvényrendszer segítségével a (0,1) felett értelmezett
{
négyzetesen integrálható f(x) függvények sorba fejthetők a J p ( µi x) x
}
∞
i =1
függvénysorozat
elemeinek lineáris kombinációjaként, ez az ortogonális sor adja az f(x) függvény Dini-BesselFourier sorát. A tekintett f(x) függvény esetében a Dini-Bessel-Fourier sor a ∞
f ( x) = ∑ bi J p ( µi x) i =1
konkrét formát ölti, ahol a belépett együtthatókat a
bi =
2 µi2
1
2
µ i ⎡⎣ J ′p ( µi ) ⎤⎦ − ( µ i2 − p 2 ) ⎡⎣ J p ( µi ) ⎤⎦ 2
képlet sorozat szolgáltatja.
8
2
∫ xf ( x)J 0
p
( µi x) dx ; i = 1, 2,...
