Biomedische Fysica Patrick Aeschlimann 11 mei 2013
Inhoudsopgave I
Krachten
1
1 Beweging, massa, versnelling en kracht + superpositiebeginsel 1.1 Beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Snelheid (speed) . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Kracht, massa en versnelling . . . . . . . . 1.4 Impuls (momentum) . . . . . . . . . . . . 1.5 Superpositieprincipe . . . . . . . . . . . . 1.6 Zwaartekracht en inverse kwadraten . . . 1.7 Massa en inertie: relativiteit ... . . . . . . 1.8 Zwaartepunt (centre of mass) . . . . . . . 1.9 Interne en externe krachten . . . . . . . . 1.10 Relativiteit / referentiesystemen . . . . . 1.11 Evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referentiesystemen, . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
3 3 3 4 5 6 6 6 7 7 8 8
2 Evenwicht, energie, arbeid, behoudswetten 2.1 Energie en arbeid . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Vermogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Kinetische energie . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Potentiële energie . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
9 9 10 10 10
3 Behoudswetten, druk- en rekspanning 3.1 Behoudswetten . . . . . . . . . . . . . 3.2 Druk- en rekspanning . . . . . . . . . 3.3 Vervorming . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Veerconstante . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Maximale druk of rek . . . . . . . . . 3.6 Schuifspanning en torsiebreuken . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
12 12 13 14 16 16 17
4 Krachtenkoppels, gyroscoop 4.1 Krachtenkoppels . . . . . . . . . . . 4.2 Rotatiebeweging en referentiestelsels 4.3 Bewegingsvergelijkingen . . . . . . . 4.4 De Gyroscoop . . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
18 18 18 19 21
i
. . . .
4.5 4.6 4.7
II
Traagheidsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Traagheidsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wat hebben we gezien? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hydrostatica en hydrodynamica
25
5 Hydrostatica: de leer der fluïda in evenwicht 5.1 Het menselijk cardiovasculair systeem . . . . . 5.2 Bloeddruk, hydrostatische druk . . . . . . . . . 5.3 Dynamische effecten . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Bloeddruk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Spanning in de bloedvaten . . . . . . . . . . . . 5.6 Capillairen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Hydrodynamica: de studie van fluïda in 6.1 Stromend bloed: debiet en snelheid . . . 6.2 De wet van Bernoulli . . . . . . . . . . . 6.3 Viscositeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Stroming door een bloedvat . . . . . . . 6.5 Centrifuge . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Wrijving op een bol . . . . . . . . . . . . 6.7 Relaxatietijden . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Wat hebben we gezien? . . . . . . . . .
III
Longen
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
27 27 27 29 30 31 34
beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
35 35 36 40 41 42 43 43 44
. . . . . .
. . . . . .
46
7 Onze longen 8 Aggregatietoestanden van 8.1 Vaste stof . . . . . . . . 8.2 Vloeistof . . . . . . . . . 8.3 Gas . . . . . . . . . . .
21 23 23
48 de . . . . . .
materie 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9 De ideale gaswet (1)
52
10 Kinetische energie en temperatuur
55
11 De ideale gaswet (2)
57
12 Arbeid: isotherm-adiabatisch 61 12.1 Arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 12.2 Adiabatische processen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 13 Warmtecapaciteit, soortelijke warmte
ii
63
14 De Boltzmannverdeling
65
15 Wat hebben we gezien?
66
16 De Boltzmannverdeling
68
17 Longfunctie
69
18 Druk-volume en druk-debiet
71
19 Druk en snelheid
72
20 Van moleculair tot macroscopisch
73
21 Gemiddelde snelheid, Brownse beweging
74
22 Vrije weglengte en botsingsfrequentie
75
23 Gemiddelde afgelegde weg, k en NA
76
24 Diffusie
77
25 Enkele definities
78
26 Continuïteitsvergelijking
79
27 Diffusiestroom 80 27.1 Richting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 27.2 Snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 28 Verband diffusie en viscositeit
81
IV
82
Optica
29 Fiber optics 29.1 Introductie: Colorectale kanker . 29.2 Om de hoek kijken . . . . . . . . 29.3 Licht reflecteren en buigen . . . . 29.4 Waarom buigt licht? . . . . . . . 29.5 Lenzen . . . . . . . . . . . . . . . 29.6 Het oog . . . . . . . . . . . . . . 29.7 Lichtpijpen maken: optical fibers
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
83 83 83 84 84 85 87 87
30 Lasers 90 30.1 Wat is licht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 30.2 Algemene eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 30.3 Golf-deeltje dualiteit: interferentie . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
iii
30.4 Werking laser . . . . . . . . . . 30.5 Vermogen (zie hdstk krachten) 30.6 Interactie van licht met weefsels 30.7 Lasers en coherentie . . . . . . 30.8 Intensiteit en warmteafvoer . . 30.9 Photocoagulation . . . . . . . . 30.10Photovaporization . . . . . . . 30.11Meer vermogen: pulsen . . . . 30.12Lasers en kleur . . . . . . . . . 30.13Toepassingen . . . . . . . . . . 30.14Voor- en nadelen . . . . . . . .
iv
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. 92 . 95 . 95 . 96 . 97 . 97 . 97 . 98 . 98 . 99 . 100
Deel I
Krachten
1
• Samenspel tussen spieren en gewrichten ... • Hoe ontstaat een torsiebreuk en waarom is de breuklijn 45◦ ? • Hoe werkt een gyroscoop (magnetische resonantie)? • Wat is energie, wat is arbeid ...
2
Hoofdstuk 1
Beweging, massa, versnelling en kracht + Referentiesystemen, superpositiebeginsel 1.1
Beweging
We willen verandering in de tijd beschrijven. Dit kan bijzonder complex zijn als we de verandering van wolken wensen te beschrijven als ze voorbij drijven ... Laat ons echter eenvoudig beginnen, met de bijvoorbeeld een auto. Ook hier moeten we vereenvoudigingen invoeren: • Als we over de auto spreken als die tegen 100 km/h rijdt, hoeven we geen onderscheid te maken tussen voor- en achterkant. • Als het object klein is in vergelijking tot de afstand die wordt afgelegd, kunnen we de auto benaderen door een punt.
1.2
Snelheid (speed)
Paradox van Zeno van Elea: waar zit de redeneringsfout? “a finite amount of time can be divided in an infinite number of pieces, just as a length of line can be divided into an infinite number of pieces by dividing repeatedly by 2 ... BUT THAT DOESN’T MEAN THERE IS AN INFINITE AMOUNT OF TIME!” Het was wachten op een nieuwe vorm van redeneren die niet beschikbaar was voor de Grieken:
3
Beschouw een infinitesimaal kleine afstand, deel die door de infinitesimaal corresponderende tijd en kijk wat er gebeurt als we de tijd kleiner en kleiner maken ... Newton en Leibniz: differential calculus • Bewegen is van plaats veranderen. • In fysica is plaats ~r een vector, met eenheid m. • De verandering van plaats d~r in een tijdsinterval dt geeft de definitie van snelheid: d~r v= dt • Dit is ook een vector met eenheid m/s • Snelheid als een afgeleide: v = lim
∆t→0
∆r ∆t
• Of nog: ∆r = v∆t op voorwaarde dat v niet verandert tijdens ∆t • In fysica wordt dit: dr = vdt en met dt wordt ∆t verstaan in die omstandigheden waar ∆t zeer klein is (zodanig dat v niet verandert in de periode). • Met andere woorden:
∆r dr = ∆t→0 ∆t dt
v = lim
1.3
Kracht, massa en versnelling
Enkele bedenkingen over beweging en snelheid: • Als we in het Nederlands spreken over snelheid, kan dat 2 verschillende meningen hebben. • In het Engels is er een onderscheid: – SPEED (v) – VELOCITY (~v ) Zowel de snelheid van beweging is belangrijk alsook de richting. Vandaar dat velocity wordt voorgesteld door een vector!!!
1ste wet van Newton (beginsel van Galileo) Een lichaam dat aan geen enkele uitwendige kracht onderhevig is, is ofwel in rust, ofwel beschrijft het een eenparig, rechtlijnige beweging. Anders gezegd: Geen verandering van snelheid ~v zonder kracht.
4
Voorwerpen vertonen een INERTIE (of traagheid): zonder externe krachten zal een bewegend voorwerp blijven bewegen, en zal een stilstaand voorwerp niet beginnen bewegen. Deze formulering stelt een aantal problemen: wat is kracht, wat is massa, hoe definiëren we rust en eenparig, rechtlijnige beweging? Maar laat ons even bij “inertie massa” blijven stilstaan. Als we veronderstellen dat voorwerpen in de ruimte gewichtloos zijn, dan is de grootte van het gewicht van een potlood, een ruimtevaarder of een ruimteschip hetzelfde: NUL! Betekent dit dat je even makkelijk het potlood, een collega ruimtevaarder en het ruimteschip in beweging kan brengen? Om de snelheid v van een voorwerp te veranderen is een kracht F (“Force”) nodig die evenredig is met de traagheids- of inertiemassa m van het voorwerp. F ∼m • De snelheid ~v is een vector • De eenheid van snelheid ~v is m/s • De eenheid van massa m is kg Om een voorwerp van snelheid te doen veranderen is een kracht nodig die eveneens evenredig is met de verandering van snelheid, dv/dt, kortweg de versnelling, a. Omgekeerd zal de verandering van snelheid van een voorwerp evenredig zijn met de kracht op het voorwerp. d~v dt F ∼a
~a =
De kracht F is een vector met grootte F. De eenheid van de kracht F is de Newton: N(kg.m/s2 ). Elke verandering van de grootte of de richting van de snelheid wordt een versnelling (“acceleration”) genoemd. Zelfs als de snelheid kleiner wordt of enkel van richting verandert: vertragen of draaien is ook ’versnellen’ ~a =
d2~r d~v = 2 dt dt
De versnelling a is een vector. De eenheid van de versnelling a is m/s2 . De evenredigheidscoëfficiënt tussen kracht en versnelling is de massa m. Ieder voorwerp heeft een eigen massa, m is een scalair!
2de wet van Newton F~ = m~a
1.4
Impuls (momentum)
De grootheid m~v noemt men de hoeveelheid beweging of impuls (“momentum”). p~ = m~v 5
1.5
Superpositieprincipe
Krachten zijn vectoren, snelheden en versnellingen ook. Is de versnelling als gevolg van een som van krachten, gelijk aan de som van de versnellingen van iedere kracht afzonderlijk? Ja, de optelling van vectoren is lineair. Het superpositieprincipe! Dit is een zeer belangrijk principe dat gebruikt wordt om vraagstukken te vereenvoudigen: een ingewikkelde kracht of beweging wordt ontbonden in componenten langs bijvoorbeeld de x, y en z as. Voor elk van die componenten afzonderlijk wordt het vraagstuk opgelost. Het eindresultaat is de som der oplossingen langs de verschillende componenten. De ontbinding in onafhankelijke (orthogonale) componenten heeft een ander voordeel: bij de optelling van vectoren mag men niet zomaar hun grootte optellen, de richting speelt immers ook een rol (vectoriële optelling). Voor de componenten speelt dit echter geen rol, want voor de verschillende vectoren zijn hun respectievelijke componenten evenwijdig en kan men wel de componentgrootten gewoon optellen.
1.6
Zwaartekracht en inverse kwadraten
In de oefeningen hebben we de zwaartekrachtversnelling (of: de veldsterkte van het zwaarteveld) ingevoerd: g = 9,81 m/s2 . De zwaartekrachtversnelling is naar het centrum van de aarde gericht. Op aarde is de zwaartekracht op een massa m (kg) daardoor F~ = m~g . Dit is het gewicht uitgedrukt in N. De zwaartekracht is een bijzonder geval van de universele gravitatiekracht. Twee massa’s m1 en m2 oefenen op elkaar, en naar elkaar toe, een kracht uit met een grootte gelijk aan: F =G
m1 m2 = mg r2
G is de universele gravitatieconstante: G = 6, 67 × 10−11 N m2 /kg 2 . We kunnen m1 vervangen door de massa van de aarde (5, 98 × 1024 kg) en r door de straal van de aarde (6, 38 × 106 m): F = m × 9, 8 Dus als we een pingpongbal en een golfbal van een toren naar beneden laten vallen (en we verwaarlozen wrijving) ... welke bal komt eerst op de grond? De golfbal heeft meer massa, en dus is de gravitatiekracht groter. Maar beide ondervinden dezelfde versnelling en komen dus gelijktijdig aan ...
1.7
Massa en inertie: relativiteit ...
Massa is geen simpel concept ... eerder dubbelzinnig • We hebben de massa die aangeeft hoe een voorwerp weerstand biedt tegen verandering in snelheid inertie massa: F = ma
6
• We hebben massa die er voor zorgt dat 2 voorwerpen elkaar aantrekken: gravitatie massa. m1 m2 F =G 2 r Is er een verschil tussen deze 2 vormen van massa? • Newton: “als de zon verdwijnt, dan zou de aantrekkingskracht (gravitatie veld) onmiddellijk verdwijnen” • Einstein, speciale relativiteit: “De lichtsnelheid in een vacuüm is de maximale snelheid voor materie en informatie. Een deeltje dat geen rustmassa bezit, zoals het foton (lichtdeeltje), reist altijd met de lichtsnelheid. Een deeltje met massa gaat altijd langzamer, want er zou een oneindige hoeveelheid energie nodig zijn om het tot de lichtsnelheid te versnellen” En inderdaad: Het licht van de zon heeft ongeveer 8’ nodig om bij ons te geraken, dus als de zon verdwijnt, verdwijnt de gravitatie onmiddellijk, maar het licht is nog onderweg ...? Einstein’s algemene relativiteit: “de ruimte is gekromd”. Dit vermijdt het mysterieuze concept dat aantrekkingskracht instantaan wordt overgedragen. Een voorwerp dat een “lijn” (geodeet) volgt naar het centrum, valt in het “gat” en versneldt naar het centrum Een satelliet wil in een rechte baan bewegen, maar de ruimte is gekromd, dus beweegt de satelliet in een baan om de massa: er bestaat geen centripetale gravitatiekracht! In 1919 (4 jaar na het moment dat Einstein zijn algemene relativiteit had voorgesteld), tijdens een zonne-eclips, werd bewezen dat het licht van sterren in cluster Hyades door de zon werd “omgebogen”.
1.8
Zwaartepunt (centre of mass)
Zwaartepunt, massamiddelpunt of ’centre of mass’ van een reeks massa’s is een imaginair punt met als massa de totale massa, dat zich bevindt op een gemiddelde plaats, gewogen met de massa ... Als allerhande krachten inwerken op allerhande delen van een lichaam, en als de som van al die krachten nul is, dan zal het zwaartepunt niet van snelheid veranderen en zal de hoeveelheid van beweging van het lichaam in zijn geheel ook niet veranderen.
1.9
Interne en externe krachten
Gaan we terug naar ons voorbeeld van de ruimtevaarder die een potlood een duw geeft: wie zal het meest van snelheid veranderen? Welke externe krachten werken op het totale systeem (ruimtevaarder en potlood, dus wat gebeurt er met het zwaartepunt)? Welke interne/externe krachten werken er op systeem?
7
3de wet van Newton Als 2 voorwerpen op elkaar inwerken, zijn de krachten die beide voorwerpen op elkaar uitoefenen gelijk in grootte, maar tegengesteld in teken. Actie = Reactie. Zonder externe krachten is er behoud van hoeveelheid van beweging.
1.10
Relativiteit / referentiesystemen
De beweging, baan, snelheid en versnelling van een deeltje kunnen enkel beschreven worden met betrekking tot een referentiestelsel, dat overigens op een arbitraire manier gekozen wordt. Is een referentiestelsel S(0, x, y, z) in beweging t.o.v. een ander referentiestelsel S’ (0, x, y, z), dan zijn bewegingstoestand, vorm van de baan, snelheid en versnelling verschillend t.o.v. van de stelsels. Noemen we de beweging t.o.v. stelsel S’ de absolute beweging, dan noemen we de beweging t.o.v. stelsel S de relatieve beweging. De beweging van een deeltje, vast verbonden met het stelsel S, t.o.v. stelsel S’ is de meesleep-beweging.
1.11
Evenwicht
Translatie-evenwicht: de som van alle krachten die op een voorwerp inwerken moet nul zijn, ongeacht hun aangrijpingspunt. Indien de krachten ontbonden worden in diverse componenten (x, y, z of rakend en loodrecht), dan moet voor alle componenten de som der krachtcomponenten nul zijn. F1x + F2x + ... = F x = 0 en hetzelfde voor y en z ... Een voorwerp waarop geen krachten inwerken (of de krachten elkaar opheffen) is in evenwicht en zal aan constante snelheid bewegen (de grootte hangt natuurlijk af van de waarnemer).
8
Hoofdstuk 2
Evenwicht, energie, arbeid, behoudswetten Analogie met “dennis the Menace” en blokken: niet gesloten systeem (open vester, vriendje komt op bezoek ...)
2.1
Energie en arbeid
We gebruiken krachten (spieren) om arbeid te verrichten. Spieren kunnen die arbeid verrichten als ze over voldoende energie beschikken. Energie en arbeid zijn nauw verbonden: als je een steen opheft, verricht je abeid, en de energie van de steen stijgt (’potentiële energie’). De steen kan die energie weer vrijmaken: als je de steen laat vallen, krijgt hij bewegingsenergie (’kinetische energie’). Deze kinetische energie kan voldoende zijn om uw teen te breken (’vervormngsenergie en warmte’). De steen is terug in de oorspronkelijke toestand, maar je teen niet: de oorspronkelijk arbeid is van aard veranderd. Het opheffen van de steen kan je snel of traag doen, maar de arbeid die je ervoer moet verrichten is dezelfde! Arbeid en energie zijn verbonden en hebben dezelfde eenheid: Joule (J). Arbeid is een scalair: de dimensie van arbeid is kracht × verplaatsing. dW = F~ d~s m2 s2 Met d~s een elementaire verplaatsing op de kromme waarlangs de kracht zich verplaatst, s is de afgelegde weg langs de kromme. Afgelegde weg is niet hetzelfde als verplaatsing: als we een volledige kringloop beschrijven (bijv. cirkel met straal a) is s = 2πa en ∆r = 0 Is de kracht constant: 1J = 1N m = 1kg
W = F~ × ~s = F × s × cos θ 9
met θ de hoek tussen de vectoren kracht en verplaatsing. Verandert de kracht tijdens de verplaatsing tussen de punten a en b: Zb
F~ d~s
W = a
Krachten waarbij de arbeid ENKEL AFHANGT van het BEGIN- en EINDPUNT van de verplaatsing: conservatieve krachten (bijv. zwaartekracht). Hangt de arbeid niet alleen van de eindpunten af, maar ook van de gevolgde weg (zie wrijving), dan moeten we de integraal vervangen door een lijnintegraal en spreken we van dissipatieve krachten. Het product W = F~ × ~s = F × s × cos θ is een SCALAIR PRODUCT: enkel de component van de kracht die EVENWIJDIG is met de verplaatsing geeft aanleiding tot een arbeid. cos θ = 1 voor θ = 0 en cos θ = 0 voor θ = π2
2.2
Vermogen
We hebben eerder gezien dat het opheffen van een steen snel en traag kan gebeuren, maar de arbeid is hetzelfde. De snelheid wordt beschreven door het vermogen (arbeid per tijdseenheid). P =
d~s dW = F~ dt dt
Vermogen (P) is een maat voor de snelheid waarmee arbeid wordt verricht. (P verwijst naar het Engelse ’Power’). Vermogen: arbeid per tijdseenheid • Arbeid is kracht × verplaatsing • Vermogen is kracht × snelheid De eenheid van vermogen: 1Watt = 1 J/s
2.3
Kinetische energie Ekin =
2.4
1 mv 2 2
Potentiële energie
Als een steen naar beneden valt (en we verwaarlozen de wrijving), zal die steen sneller en sneller vallen. Waar komt die kinetische (bewegings) energie vandaan die steeds toeneemt? Waarom slingert een schommel heen en weer? Waarom trilt een veer?
10
−mgh is de arbeid die de zwaartekracht op de steen uitoefent als je de steen opheft van hoogte 0 naar h. Dit is tegen de zwaartekracht in, de zwaartekracht wijst naar beneden. De verplaatsing ’kost’ energie die aan de steen wordt overgedragen Zh −W = − F~ d~s 0
Dit noemen we de potentiële energie: Epot (’potential energy’). Bij een vallende steen wordt deze potentiële energie weer vrijgemaakt als kinetische energie. Potentiële energie is energie die gebonden is aan de positie in een conservatief krachtenveld. In een conservatief krachtenveld hangt de arbeid om van het ene punt naar het andere te gaag, NIET af van de gevolgde weg! Als de arbeid WEL afhangt van de gevolgde weg, en een deel van de kracht dissipatief (dikwijls wekt de arbeid die deze kracht verricht warmte op, bijv. wrijving). Een dissipatief systeem is een open systeem dat met zijn omgeving energie en materie uitwisselt.
Definitie van potentiële energie dEpot = −F~ d~s Als F~ een conservatieve kracht is! De som van kinetische energie en mgh is een CONSTANTE 1 mv 2 + mgh = cte 2 De som van kinetische energie en 21 kx2 is een CONSTANTE 1 1 mv 2 + kx2 = cte 2 2 mgh is een vorm van energie die bij vallen omgezet wordt in kinetische energie, en die opgebouwd wordt bij het optillen van het voorwerp: potentiële energie. ’Potentieel’ omdat de energie kan vrijgemaakt worden in een andere vorm van energie (bijv. kinetische energie). Analoog is 21 kx2 een vorm van energie die in de veer wordt opgebouwd, eveneens een potentiële energie die kan vrijgemaakt worden.
11
Hoofdstuk 3
Behoudswetten, druk- en rekspanning 3.1
Behoudswetten
Als krachten conservatief zijn, is de som van kinetische en potentiële energie steeds constant! Dit is een belangrijke behoudswet. Z 1 2 Ekin + Epot = mv − F~ d~s = cte 2 Warmte, mechanische vervorming, elektrische energie, nucleaire energie ... zijn andere vormen van energie. We hebben gezien dat kinetische energie nauw samenhangt met impuls (hoeveelheid van beweging) en dus afhankelijk is van snelheid en massa (inertie): Ekin =
1 mv 2 2
(vergelijk met auto of fiets die tegen een paaltje rijden met wisselende snelheden) Als de snelheid (v) de lichtsnelheid (c) benadert gaat de vorige vergelijking niet meer op!!! Volgens de relativiteitstheorie van Einstein gaat bij hoge snelheden een energietoename NIET gepaard met een grotere snelheid. De lichtsnelheid kan immers NIET OVERSCHREDEN worden. De energietoename gaat grotendeels zitten in een TOENAME VAN DE MASSA van het deeltje. E = mc2 In de klassieke fysica zijn er 2 aparte behoudswetten voor energie en massa. Binnen een geïsoleerd systeem kan energie niet ontstaan en niet verdwijnen (denk aan onze blokkendoos). Hetzelfde geldt voor massa: denk aan brandend blaadje papier dat in een kaasstolp zit en op een weegschaal staat. De relativiteitstheorie toont aan dat dit enkel waar is voor lage snelheden. In de relativiteitstheorie zijn massa en energie equivalent en uitwisselbaar. 12
De som van massa en energie moet altijd bewaard blijven. Energie en massa zijn dus uitwisselbaar! Materie en anti-materie. Er bestaan behoudswetten voor: • mc2 + alle vormen van energie = cte • Kinetische + potentiële energie = cte (bij conservatieve krachten) • Hoeveelheid van beweging = cte (bij ontbreken van externe krachten) De oorsprong van een imaginair assenstelsel mag worden verplaatst zonder dat de wetten veranderen. Of nog, de wetten hangen niet af van de plaats waar we ons bevinden. • Hoeveelheid van draaibeweging = cte Het imaginair assenstelsel mag draaien in de ruimte zonder dat de wetten veranderen. • Behoud van elektrische lading De som van Ekin en Epot is dus constant in conservatieve krachtvelden (analoog aan elektriciteit). Een aangroei van Ekin (F~ d~s) heeft dus een identieke afname van Epot (−F~ d~s) tot gevolg. Een verplaatsing in de richting van de kracht, geeft een vermindering van Epot . Spontaan (dus zonder oorspronkelijke bewegingsenergie) beweegt alles in de richting van de kracht, en dus in de richting van de laagste Epot . dEpot dEpot = −F~ d~s =⇒ F = − ds Als men de Epot uitzet als een oppervlak in ruimte/tijd, dan toont de gradient (de afgeleide in de ruimte) de grootte, richting en zin van het krachtveld.
3.2
Druk- en rekspanning
• Waarom is een torsiebreuk 45◦ ? • Kan een been dat 2× zo dik is, ook een 2× grotere kracht aan? • Vervormt een pees als mer er aan trekt? • Waarom dringt een injectienaald makkelijk in de huid? Druk- of rekspanning σ: de mechanische eigenschappen van een materiaal hangen af van de grootte van het oppervlak A waarop de kracht werkt! F σ= A 1P a = 1
13
N m2
• Bij samendrukken, spreken we van drukspanning of druk (’pressure’) • Bij uitrekken, spreken we van rekspanning of rek (’stress’) • Bij vloeistoffen en gassen spreken we ook van druk (zie volgende hoofdstukken). Atmosferische druk: 1atm = 101, 3kP a = 1, 01 × 105 P a 1 atm is gelijk aan de druk veroorzaakt door 760 mm kwik (Hg) in een verticale kolom. Of ook 10,33 m water in een verticale kolom. 1 mm Hg is 133 Pa (deze eenheid wordt gebruikt bij bloeddruk metingen, zie later). Vraag: hoe groot is de druk als je op een helling van 45◦ staat? Dit geeft ons een probleem m.b.t. de richting van de kracht t.o.v. oppervlak. Uit de definitie σ = F A , zou men kunnen afleiden dat de druk een vector is (F is immers een vector). Dit is fout, de druk is GEEN vector! Een kracht evenwijdig met een oppervlak ’duwt’ niet tegen het oppervlak. Dus, we moeten enkel de druk bepalen t.g.v. het krachtcomponent loodrecht op het oppervlak. Dit is het scalair product van de kracht met de eenheidsvector loodrecht (normaal) op het oppervlak ~1N σ=
3.3
F~ ~1N F = A A
Vervorming
Onder invloed van druk- of rekspanning zal een voorwerp vervormen. De re∆V latieve vervorming (’strain’): ∆l l of V . Als een voorwerp met lengte l een spanning ondergaat zal het een lengte l ± ∆l krijgen. ∆l is evenredig met zowel de spanning σ als de oorspronkelijke lengte l. ∆l ∝ σl =⇒ σ = E
∆l l
E is de Young modulus. De eenheid van E is hetzelfde als de eenheid van druk (Pa). Deze evenredigheid is slechts geldig in het lineair elastische gebied. • Bij homogene materialen zonder een kristalstructuur (rubber, glas ...) zal de Young modulus voor druk en rek hetzelfde zijn. • Bij niet homogene materialen (been, kristal ...) is de Young modulus NIET hetzelfde voor druk en rek
14
Staal vervormt moeilijk, maar zal bij grote druk eerder plooien dan breken. Bij kamertemperatuur kan je rubber niet breken. Bot (been) plooit moeilijk en zal snel breken. Kraakbeen plooit een beetje en breekt redelijk snel. Bij hoge druk zal kraakbeen snel verslijten en beschadigd worden. De druk wordt door onze beenderen gedragen. Bij de gewrichten wordt de druk voortgeplant van een been naar het ander. Aangezien die beenderen over elkaar moeten glijden, wordt dit vergemakkelijkt door het kraakbeen (en synoviaal vocht als glijmiddel). Kraakbeen is echter gevoelig voor hoge druk, vandaar dat beenderen verbreden naar de gewrichten toe. Als je een voorwerp (bijv. een meetlat) plooit, dan zal de bovenzijde uitrekken en de onderzijde samendrukken. Middenin is er een “neutrale” zone die noch uitzet, noch samengedrukt wordt. Als de spanning op de bovenzijde, of de druk op de onderzijde te groot wordt, zal de meetlat breken (verband tussen plooien, rek en druk). Algemeen geldt voor een volume V=lhb: ∆l ∆h ∆b ∆V = + + V l h b Als het voorwerp homogeen is, is
∆h h
=
∆b b :
∆l ∆h ∆V = +2 V l h • ∆l heeft een tegengesteld teken van ∆h en ∆b. • Een balk die uitrekt zal versmallen en een balk die wordt samengedrukt zal breder worden. Naar analogie met de Young modulus E voor lengte, hebben we ook de volumemodulus κ ∆l 1 ∆V 1 = σ& =− σ l E V κ 2 merkwaardige materialen zijn: • Rubber: De verandering in doorsnede t.g.v. een verlenging wordt ’perfect’ gecompenseerd zodat de volumeverandering nul blijft. Men noemt rubber hyperelastisch. Onder invloed van een hoge volumedruk (een druk die uit alle richtingen komt zoals in water) zal rubber minder van volume veranderen dan staal! Daarom zijn rubberen flessen’kurken’ kegelvormig en niet cilindrisch • Kurk: Zal bij samendrukken of uitrekken bijna niet veranderen van doorsnede (bevat lucht en is samendrukbaar). Daarom zijn flessenkurken cilindrisch (’klemt zich vast’).
15
3.4
Veerconstante
In het elastisch gebied geldt: σ=
F ∆l AE =E =⇒ F = ∆l A l l
De kracht is evenredig met de verplaatsing en de constante k = veerconstante genoemd:
AE l
wordt de
• Evenredig met de oppervlakte van het materiaal • Evenredig met Yong modulus van het materiaal • Omgekeerd evenredig met de lengte van het materiaal De ’veer’ zal zelf een kracht F~ uitoefenen tegengesteld aan de vervroming ~x (of ∆l): ze zal de vervorming tegenwerken! F~ = −k∆~l = −k~x Dit soort systemen (veren i.h.a.) geeft aanleiding tot harmonische bewegingen. f (t) = A cos(ωt + ϕ) Een harmonische functie die trillingen voorstelt met amplitude A, hoeksnelheid ω en fase ϕ.
3.5
Maximale druk of rek
Als de druk- of rekspanning op een materiaal te groot wordt zal het niet langer lineair vervormen, maar ofwel verbrijzelen (druk) ofwel breken (trek). Een stof waarvoor de maximale drukspanning kleiner is dan de rekspanning zal plooien voor te breken. Een stof waarvoor de maximale drukspanning groter is dan de maximale rekspanning zal eerder breken dan plooien De maximale druk voor een volgroeid been, alvorens te verbrijzelen: 1, 8 × 108 P a De maximale rek voor een volgroeid been, alvorens te breken: 1, 2 × 108 P a Bij een longitudinale spanning (volgens de lengteas) zal een bot bijgevolg sneller breken onder rek dan verbrijzelen onder druk. Dit is logisch omdat het bot gemaakt is om ons gewicht te dragen, en een rek komt zelden voor. Bij een transversale spanning (loodrecht op de lengteas, bijv. een zijwaartse klap tegen de tibia), zal het been spanningen ondervinden zoals de meetlat. Aangezien de maximale rekspanning kleiner is dan de maximale drukspanning, zal het been breken voor te plooien. Tenzij in de groeifase (kraakbeen, ’groen hout’ plooit eerder dan breken) 16
3.6
Schuifspanning en torsiebreuken
De schuifmodulus: leg een boek met dikte h en oppervlak A op tafel, en trek horizontaal aan de bovenste kaft met kracht F~ : het boek zal vervormen over een afstand d en over een hoek α = bg tan hd De schuifspanning (’shear stress’): σs = F A De kracht F~ is nu evenwijdig aan het oppervlak (niet loodrecht zoals bij de definitie van druk!). We krijgen dus een krachtenkoppel. De schuifvervorming is de hoek: s =α N De schuifmodulus: G = σαs = σss m 2 Maximale krachtmomenten: er bestaat een verband tussen de maximale grootte van het krachtmoment τmax , de maximale schuifvervorming s = αmax en de lengte l van het been. Dikke beenderen (tibia, femur) kunnen grotere krachtenkoppels verwerken dan dunne beenderen, maar hun schuifvervorming (maximale torsiehoek) is kleiner. Langere beenderen hebben een grotere torstiehoek. Als de hoek groter is dan αmax krijgen we een torsiebreuk.
17
Hoofdstuk 4
Krachtenkoppels, gyroscoop 4.1
Krachtenkoppels
Translatie-evenwicht (zie eerder): de som van alle krachten die op een voorwerp inwerken moet nul zijn, ongeacht hun aangrijpingspunt. Maar, zelfs met een totale kracht die op elk moment 0 is, kunnen we toch beginnen draaien. Stel dat we 2 krachten hebben die gelijk zijn in grootte, maar tegensgesteld in zin, en niet in elkaars verlengde: de totale kracht is 0 maar het voorwerp waarop de krachten inwerken zal beginnen draaien. Dit noemen we een krachtenkoppel. Als een kracht niet aangrijpt in het zwaartepunt, zal het voorwerp ook beginnen draaien! Om het verband kracht × krachtarm te bestuderen, voeren we het begrip krachtmoment (~τ )1 in: het krachtmoment rond een punt a, is het vectorproduct van de vector die a verbindt met het aangrijpingspunt van de kracht en de kracht zelf. Het krachtmoment is ~τ = ~r × F~ De dimensie van ~τ is kracht × aftand De eenheid van ~τ is Nm
4.2
Rotatiebeweging en referentiestelsels
Translatiebeweging: daar de versnelling onder invloed van een kracht volgens de richting van die kracht verloopt, was het voldoende om een assenstelsel te kiezen waarbij een as volgens de richting van de kracht liep, om de rechtlijnige beweging te beschrijven. Door het kiezen van een orthogonaal assenstelsel (x, y, z), kunnen we dan een willekeurige vector voorstellen met zijn componenten volgens die assen: F~ (Fx , Fy , Fz ) Rotatiebeweging: bij afwezigheid van translaties, is de meest eenvoudige rotatiebeweging een cirkelbeweging. Als een punt rond een rotatieas draait blijft 1 Uit
het Engels: ’torque’
18
de afstand r (straal) tot de as constant en groeit enkel de hoek θ. Het lijkt dus logisch in dit geval te kiezen voor een referentiestelsel met poolcoördinaten. Elk punt wordt beschreven door een afstand r en een hoek θ t.o.v. een as in het rotatievlak. De 2 beschrijvingen zijn equivalent (orthogonale coördinaten x,y,z en poolcoördinaten r, θ). En men kan van het ene naar het andere overgaan.
4.3
Bewegingsvergelijkingen
Bij de rechtlijnige beweging (translaties), hebben we beweging, versnelling, kinetische energie ... beschreven in orthogonale coördinatenstelsels. Bestaan er voor de rotatiebeweging analoge grootheden? Beschouw een vector ~r die draait over een infinitesimale hoek dθ naar ~r + d~r. Dan is de grootte dr = rdθ en de richting rakend aan de cirkel. dθ = lim ∆θ ∆θ→0
• Hoeksnelheid ω ω=
dθ dt
• Hoekvesnelling α α=
d2 θ dω = 2 dt dt
In de rechtlijnige beweging en krachten werkten we met vectoren ... De straal r wordt uitgedrukt in m, en de hoek θ in radialen (360◦ = 2 rad). Maar dr = rdθ heeft als dimensie: afstand = afstand, dus de hoek θ heeft een eenheid, maar geen dimensie! Nochtans heeft de hoek θ een zin (wijzerzin - tegenwijzerzin), ~ De richting van θ~ is de dus heeft de rotatiehoek een vecorieel karakter: θ. richting van de rotatieas, de grootte is de grootte van de hoek (~ α en ω ~ zijn dus ook vectoren). We zagen dat: v = r dθ dt = rω ~v en ~r zijn vectoren, en ω ~ ook, dus moet het product een vectorproduct zijn. Bovendien zijn v en r bij een cirkelbeweging loodrechte vectoren (sin θ = 1) ~v = ω ~ × ~r ⇔ ω ~ = ~r × ~v ω ~ is dus evenwijdig met de rotatieas, en α ~=
d~ ω dt
dus ook
~v = ω ~ × ~r 6= ~r × ω ~ Verband tussen versnelling en hoekversnelling: als we zeggen “iets draait met een constante snelheid” lijkt fout! De snelheid verandert voortdurend van richting, dus is er een versnelling. Als de grootte van de snelheid constant is (niet de richting), blijft wel de hoeksnelheidsvector constant. ~v = ω ~ × ~r & v = ωr & v = cte =⇒ ω ~ = cte =⇒ α ~= 19
d~ ω =0 dt
Een eenparige cirkelbeweging: een cirkelbeweging waarbij de hoeksnelheid constant blijft, en dus de hoekversnelling 0 is. Er is een vector loodrecht op ω ~ en ~v , die wijst naar het middelpunt van de cirkel. Dit is de centripetale versnelling overeenkomend met de centripetale kracht: als je een steen aan een touw laat rond draaien, moet je aan het touw trekken, anders vliegt de steen weg (langs de raaklijn). • De eenheid van hoek is de rad (dimensieloos) • De eenheid van hoeksnelheid is rad/s (dimensie 1/tijd) • De eenheid van hoekversnelling is rad/s2 . • Soms spreekt men van frequentie Hz, het aantal malen 2π rad/s, of toeren/s, of toeren/min 2π
t t rad =1 = 60 sec sec min
~ is parallel met de hoeksnelheid en de rotatieas: Het impulsmoment L ~ = ~r × m~v = mr2 ω L ~ ~τ = ~r × F~ =
~ dL = mr2 α ~ dt
waarbij mr2 het traagheidsmoment I is. Als er geen krachtmoment ~τ is, is er geen hoekversnelling α ~ en blijft het ~ constant: er is behoud van hoeveelheid van draaibeweimpulsmoment L ging. ~ = cte ~τ = 0 =⇒ L Arbeid en energie: arbeid = kracht × verplaatsing. Ronddraaien vereist een (centripetale) versnelling, wil dit zeggen dat ronddraaien met een constante hoeksnelheid arbeid vereist? De centripetale versnelling staat loodrecht op de raaklijn (de verplaatsing). De arbeid is dus 0 (in een conservatief systeem)! De plaats wordt gegeven door een vector ~r waarbij naast de grootte, zin en richting ook het aangrijpingspunt belangrijk is. Glijdende vectoren: Bij onvervormbare lichamen zijn snelheid, versnelling en kracht glijdende vectoren waarbij het aangrijpingspunt langs een rechte kan glijden. Twee tegensgestelde krachten gaan elkaar slechts opheffen als langs dezelfde krachtlijn liggen (anders geven ze aanleiding tot een krachtenkoppel). Vrije vectoren: Krachtmoment, impulsmoment, hoeksnelheid en hoekversnelling zijn vrije vectoren waarvan enkel de grootte, richting en zin bepaald zijn, maar die men vrij in de ruimte kan verschuiven. Twee tegengestelde krachtenkoppels gaan elkaar steeds opheffen.
20
4.4
De Gyroscoop
Het gedrag van een gyroscoop of een tol onder invloed van krachten(koppels) is niet intuitief ! Dit gedrag kan enkel verklaard worden dankzij bewegingswetten voor rotatiebewegingen. De studie van de gyroscoop is belangrijk voor medische beeldvorming (magnetische resonantie) waarbij waterstofkernen zich in een extern magnetisch veld zullen gedragen als kleine gyroscopen. Een ander voorbeeld is de precessiebeweging van de aarde, waarbij de rotatieas (wijst momenteel naar de poolster) eens om de 25900 jaar ronddraait. Binnen 12900 jaar zal het in België winter zijn in juni en zomer in januari. De precessie van de aarde is te wijten aan de aantrekkingskracht van de maan die groter is langs de kant van de aarde die de maan “ziet”. Het feit dat de rotatieas van de aarde niet loodrecht staat op het vlak waarin de aarde en maan rond elkaar draaien (23,5◦ ), maakt dat de maan een krachtmoment uitoefent op de aarde. (Het effect van de zon is minder belangrijk, want de afstand is 400 × groter - 150 000 000 km i.p.v. 380 000 km.)
4.5
Traagheidsmoment
Bij de translatiebeweging is de versnelling onder invloed van een kracht enkel evenredig met de (inertie) massa van het voorwerp, NIET met de verdeling van de massa binnen het voorwerp. De massa kan zelfs denkbeeldig worden geconcentreerd in 1 punt (het zwaartepunt). Bij rotatiebeweging is de hoekversnelling onder invloed van een krachtmoment evenredig met de massa van het voorwerp EN met het kwadraat van de afstand van die massa tot de rotatieas. De massa kan niet worden geconcentreerd in een denkbeeldig punt want dan zou er geen krachtenkoppel meer zijn. In de rechtlijnige beweging is de massa m een maat voor de traagheid waarmee een voorwerp in beweging kan worden gebracht. In de draaibeweging is het traagheidsmoment I = mr2 een maat voor de traagheid van het voorwerp t.o.v. draaibewegingen rond een as. m ←→ mr2 • De eenheid van traagheidsmoment: kg.m2 • Als de massa van een voorwerp verdubbelt, en de afstand tot de rotatieas blijft hetzelfde, dan verdubbelt het traagheidsmoment. • Als de massa constant blijft, maar de massa bevindt zich 2x verder van de rotatieas, dan wordt het traagheidsmoment 4x groter. • Opm: hieruit volgt ook het principe van de hefboom! Als een voorwerp bestaat uit verschillende massa’s mi , dan is het traagheidsmoment: X I= mi ri2 i
21
Figuur 4.1: I ↓ ω ~ ↑ En in het geval van een continue voorwerp: Z I = r2 dm Het traagheidsmoment is geen fundamentele constante van het voorwerp, het hangt immers af van de plaats en de richting van de rotatieas waarrond het voorwerp draait. Als er geen extern krachtmoment werkt op een voorwerp: ~ = I~ ~τ = 0 =⇒ L ω = cte Gevolg: het product I~ ω is een constante, NIET elke factor afzonderlijk. Als het tragheidsmoment I van een voorwerp daalt zal de hoeksnelheid ω ~ stijgen. Denk aan een schaatster die een snelle pirouette maakt door de armen (massa) dichter bij de rotatieas (afstand) te brengen.
22
4.6
Traagheidsmoment
• Translatie: F~ = m~a Traagheid (inertia): m. Massa kan worden geconcentreerd in 1 punt • Rotatie: ~τ = mr2 α ~ Hangt af van de traagheid m en het kwadraat van de afstand r2 . Traagheidsmoment (moment of inertia): mr2 = I
4.7
Wat hebben we gezien?
• Krachten, massa (traagheid), versnelling, impuls • Superpositieprincipe • De wetten van Newton • Energie (kinetisch-potentieel), arbeid en behoudswetten • Krachtenkoppels, krachtmoment, impulsmoment, traagheidsmoment • Druk- en rekspanning Andere krachten: • Elektromagnetische krachten • Archimedeskracht Neem een bad water, beschouw een imaginair volume water in dat bad. Dit volume is onderhevig aan de zwaartekracht en weegt −Wwater en zou naar beneden moeten vallen. Dat gebeurt niet, dus moet er een kracht zijn die de zwaartekracht opheft, Wx . Deze kracht komt van het water rond dit volume ? Wx = Wwater Vervangen we dit volume water door hetzelfde volume van iets anders (goud, ...), dan weet het water errond niet dat dit ander materiaal is en blijft met dezelfde kracht dit volume omhoog duwen. • Wrijvingskracht Wrijvingskracht kan geschreven worden als: F~wrijving = µF~N Met µ de dimensieloze wrijvingscoëfficiënt en F~N de normaalcomponent van de kracht op het beschouwde oppervlak. De wrijvingscoëfficiënt is geen eenduidige materiaalconstante: deze ’constante’ wordt bepaald door de verschillende materialen in contact met elkaar (rubber op papiet, metaal op metaal, ...). Hangt af van de vorm 23
van het materiaal (gladde koperen oppervlakken, grof versus fijn schuurpapier, ...) ... en er is een statische wrijvingscoëfficiënt µs en een dynamische wrijvingscoëfficiënt µk . We kunnen de statische wrijvingscoëfficiënt, µs , voor 2 materialen A en B, experimenteel bepalen door een blokje uit materiaal A (gewicht F~N ) te plaatsen op een horizontaal oppervlak uit materiaal B. We trekken horizontaal aan het blokje met kracht F~H . Als het blokje begint te glijden weten we dat: F~H = µs F~N . Eens het blokje glijdt is de kracht die nodig is om het glijdende te houden kleiner F~H = µk F~N ; µk < µs . Dit is logisch, want de wrijvingskrachten zijn kleiner als de oppervlakken de tijd niet krijgen om te vervormen: ze ’kaatsen’ over elkaar. Wrijvingskrachten ontstaan wanneer 2 voorwerpen over elkaar wrijven (of binnen een voorwerp 2 interne oppervlakken). Het oppervlak van het ene medium wordt gedrukt tegen het oppervlak van het andere, beide oppervlakken gaan op elkaar lokaal druk- en schijfspanningen uitoefenen De lokale vervorming van een oppervlakte-element is een functie van de spanning. F σ= A De totale wrijvingskracht is ook een functie van het aantal vervormde oppervlakte-elementen, dus de totale oppervlakte A. De totale wrijvings kracht is dus ruwweg evenredig met F A = F (onafhankelijk van de A grootte van het oppervlak!). • Nucleaire krachten De kern van atomen bestaat uit protonen en neutronen. Ondanks de afstotende Coulombkrachten tussen de positief geladen protonen en het gebrek aan lading van de neutronen, blijven de kernen stabiel zolang een bepaalde verhouding van neutronen en protonen behouden blijft. Als deze ’ideale’ of ’stabiele’ verhouding niet gerespecteerd wordt, is de kern onstabiel en zal vervallen (radioactief verval). – Sterke nucleaire krachten: Verklaard waarom de Coulombkrachten in atoomkernen worden overwonnen en het feit dat een proton zo klein is. – Zwakke nucleaire krachten: Verklaard onder ander het β-verval De 4 fundamentele interacties zijn niet-contact krachten: • Gravitatie: “graviton” • Electromagnetisme: foton • Sterke interactie: gluon • Zwakke interactie: W, Z boson
24
Deel II
Hydrostatica en hydrodynamica
25
• Welke vragen willen we beantwoorden? – Wat is bloeddruk en hoe werkt een bloeddrukmeter? – Hoe sterk zijn onze bloedvaten? • Wat hebben we hiervoor nodig? – Hydrostatica en oppervlakte spanning – Hydrodynamica en viscositeit
26
Hoofdstuk 5
Hydrostatica: de leer der fluïda in evenwicht De fluïda worden ingedeeld in vloeistoffen en gassen. Ze onderscheiden zich van vaste stoffen door hun ’vloeiende’ eigenschappen. Terwijl gassen makkelijk samendrukbaar zijn, zullen vloeistoffen slechts geringe volume veranderingen ondergaan onder invloed van druk. In dit hoofdstuk worden vloeistoffen als onsamendrukbaar beschouwd.
5.1
Het menselijk cardiovasculair systeem
De basisfunctie van ons hart en cardiovasculair systeem is grondstoffen voor celmetabolisme tot bij de cellen te brengen en afvalproducten af te voeren. Primitieve dieren met weinig cellen hebben geen hart nodig als ze kunnen ’baden’ in een zee van voedsel. Zuurstof kan dan bijv. spontaan door de celwand diffunderen. Complexere organismen moeten over vloeistofkanalen (bloedvaten) en een pomp (hart) beschikken. Tegen welke kracht of druk in moet het hart pompen? Wat is in feite een vloeistof?
5.2
Bloeddruk, hydrostatische druk
Definitie van ’vloeistof ’: Een stof die in rust geen schuifspanningen kent. Telkens men een schuifspanning veroorzaakt, zal de vloeistof bewegen tot ze weer in rust is en de schuifspanningen verdwenen zijn. Spanning was kracht/oppervlak. Bij druk spraken we van een kracht loodrecht op het oppervlak. Bij schuifspanning hadden we een kracht evenwijdig aan het oppervlak. Bij een vloeistof in rust, moet de druk dus steeds loodrecht staan
27
op ieder oppervlak, anders zouden we schuifspanningen hebben (de vloeistof zou bewegen tot de druk weer loodrecht staat). Druk is geen vector! p=
F~ ~1N Fn = A A
Een vloeistof in evenwicht in het zwaarteveld wordt gekenmerkt door een minimale potentiële energie. Hieruit volgt dat het vrije vloeistofoppervlak in elk punt loodrecht staat op de zwaarteversnelling g. In een beperkte ruimte is het vrije oppervlak ’horizontaal’. Veronderstel dat het vrije oppervlak niet horizontaal zou zijn dan kan de potentiële energie verminderd worden door afvloeien van vloeistof van een hoger naar een lager gelegen plaats. In een vloeistof in rust bestaan geen schuifspanningen. De druk is er steeds loodrecht op een oppervlak en de druk in een punt is in alle richtingen even groot: isotroop. Als er geen zwaartekracht is, de vloeistof wordt niet versneld en ze is in rust (geen stroming), dan is de druk overal gelijk! Nemen we echter een buis gevuld met water die rechtop staat: dan drukt het water door het gewicht (mg) op de onderkant, maar niet op de bovenkant. De druk zal beneden dus groter zijn dan boven in de kolom. Nemen we een buis met doorsnede A (m2 ), hoogte h (m), gevuld met een vloeistof met massa m (kg). Dit is een basiswet van de hydrostatica: • In een vloeistof in rust is: ∆p = ρg∆h • En: p + ρgh = cte Uit deze wet volgt onder meer het principe van de communicerende vaten dat zegt dat een vloeistof even hoog staat in buizen die onderling verbonden zijn, ongeacht de vorm en de grootte van de buizen. Want: de druk aan het oppervlak van de vloeistof is in elke buis gelijk aan de atmosferische druk. Dus: ∆p = 0, waaruit volgt ∆h = 0. ∆p = ρg∆h =⇒ p1 = p2 = patm =⇒ h1 = h2 De wet van Pascal: Een druk uitgeoefend op een vloeistof, opgesloten in een vat, plant zich onverminderd in de vloeistof voort in alle richtingen. De hydrolische pers laat toe een kleine kracht om te zetten in een grote kracht; de verhouding van de krachten is gelijk aan de verhoudingen van de doorsneden van de zuigers. p=
F1 A2 F2 = =⇒ F2 = F1 A2 A1 A1 28
Wat zijn nu de gevolgen voor de ’bloeddruk’? De waarde van de hydrostatische druk hangt duidelijk af van de hoogte van de vloeistofkolom boven het meetpunt. Bloeddruk hangt dus ook af van de hoogte. Bloeddruk hangt ook af van de hartfunctie (de pomp). Je kan deze hydrostatische variatie heel goed observeren met de oppervlakte aders op de rugzijde van je hand. Laat je de arm hangen, dan zijn de aders gezwollen; steek je de hand in de hoogte dan worden de aders geledigd en platgedrukt door de atmosferische druk. We hebben dus een vast referentiestelsel nodig waarbij de hydrostatische afhankelijkheid van de hoogte verdwijnt. De druk wordt gemeten op een referentiehoogte: de hoogte van het hart. Als we de bloeddruk meten, gebeurt dit zittend en kiest met de bovenarm, juist boven de elleboog. • Open manometer: Dit is een eenvoudige drukmeter bestaande uit een U-vormige buis, gedeeltelijk gevuld met een vloeistof met gekende dichtheid. Het ene uiteinde is verbonden met het vat waarin men de druk wil meten, het ander uiteinde is open. • Kwikbarometer of buis van torricelli: Dit is een lange buis (minstens 80cm) gevuld met kwik die in een met kwik gevuld vat omgedraaid wordt. Hierbij daalt het kwik tot op een hoogte h boven het kwikniveau van het vat. De ruimte boven de kwikkolom bevat enkel kwikdamp waarvan de druk bij kamertemperatuur verwaarloosbaar klein is. De atmosferische druk is dan: patm = ρgh 1atm = 101, 3kP a = 76cmHg Bloeddruk wordt traditioneel nog steeds uitgerdukt in mm kwik. Wegens toxiciteit van kwik, zullen deze kwikmanometers waarschijnlijk verdwijnen.
5.3
Dynamische effecten
In het cardiovasculair stelsel komt een continu gamma aan drukken voor en ze veranderen periodisch in de tijd. De druk verandert gedurende de hartcyclus De druk in een slagader is niet hetzelfde als in een ader en zeker niet hetzelfde in een haarvaatje. Om dit te illustreren, gaan we aantal opeenvolgende modellen beschouwen om de effecten progressief te bekijken. We vertrekken van het principe dat het cardiovasculair systeem een gesloten kringloop is, bestaande uit buizen, pompen en kleppen. We veronderstellen dat het bloed niet samendrukbaar is, dus het bloedvolume is constant (het is een gesloten kringloop, dus er gaat geen bloed verloren en er is geen toevoer van extra bloed). • Model 1: 29
Het cardiovasculair systeem is een gesloten kringloop bestaande uit een pomp en een dikke buis waarin de vloeistof zonder weerstand vloeit. – Horizontaal: om de vloeistof in beweging te brengen hebben we een pomp nodig (Ekin , arbeid). Maar eenmaal de vloeistof in beweging is is er geen arbeid meer nodig want er is geen weerstand en de zwaartekracht staat loodrecht op de beweging. – Verticaal: de pomp moet op ieder ogenblik een volume vloeistof naar boven pompen en Epot leveren. Gelijktijdig vloeit er echter een gelijke hoeveelheid bloed naar beneden wat Epot vrijmaakt. De totale arbeid is weer 0. Bij beide veronderstellingen is er dus zelfs geen pomp nodig om de vloeistof te laten rondvloeien. Dit model kan dus geen verandering van druk verklaren tijdens de hartcyclus. • Model 2: Een buis, een pomp en een filter die een grote weerstand uitoefent op de vloeistof. De pomp stelt de linker hartkamer voor, de filter het capillair bed (maar niet de longen). Nu remt het capillair bed (de haarvaatjes) de stroming zodat het bloed niet snel genoeg kan vloeien. De druk tussen de pomp en het capillair bed gaat stijgen. Aan de andere zijde, zuigt de pomp bloed aan, maar het vloeit niet snel genoeg. De druk gaat er dalen. We krijgen een kringloop met 2 verschillende drukken. • Model 3: 2 pompen en een buis met 2 filters die een grote weerstand uitoefenen op de vloeistof. De pompen stellen respectievelijk de linker en rechter hartkamers voor, de filters het capillair bed en de longen. We krijgen een kringloop met 4 segmenten en drukken. Als de pompen stilliggen (bij periodisch aanschakelen zoals in het hart), verdwijnt het drukverschil over de pompen langzaam. Het menselijk hart heeft 4 compartementen, die als pompen zouden kunnen worden beschouwd, die met kleppen communiceren. Het is echter enkel de linkerkamer (’ventrical’) die bij de bloedcirculatie de hoofdrol speelt. Het zijn de drukken (2!) die hoofdzakelijk aan de linkerkamer te wijten zijn die we ’bloeddruk’ noemen. De rechterkamer pompt het bloed door de longen, maar is zwakker dan de linkerkamer, de boezems worden eerder als passieve reservoirs beschouwd.
5.4
Bloeddruk
Principe van bloeddruk meting: neem een elastische buis (Young modulus van een bloedvat is slechts 2 × 105 P a), waarbinnen een vloeistof loopt met druk pvl . 30
Duw nu de buis langzaam dicht met een druk p. Zolang p < pvl zal de vloeistof door de buis lopen. Zodra p > pvl wordt de buis dichtgeknepen en zal er geen vloeistof meer doosrstromen. Een sphygmomanometer laat toe om zowel een druk aan te leggen, als de druk af te lezen. In de grote slagaders wordt de grootste druk (bovendruk) gemeten tijdens de contractie (contract: systole) van de linkerkamer: ps . De laagst druk (onderdruk) wordt gemeten tijdens het vullen van de linkerkamer (expand: diastole): pd . De 2 waarden ps en pd worden traditioneel nog uitgedrukt in mmHg (bijv. 120/80 mmHg), maar dienen eigenlijk uitgedrukt te worden in Pa (bijv. 15,8/10,5 kPa). We leggen eerst een druk aan zodat er geen stroming meer is. Door de druk p rond de arm progressief te verminderen, zal de druk ps op een gegeven moment groot genoeg zijn om het bloed door de slagader te pompen. Tijdens de periode pd < p < ps , zal het bloed periodisch door het bloedvat stuwen op een turbulente manier. Dit veroorzaakt een geluid dat men met de stethoscoop makkelijk kan horen. Als men de druk om de arm verder vermindert tot pd wordt de stroming weer laminair en geluidloos. Indien we de bloeddruk zouden uitdrukken in meter bloed bij normale zwaartekracht (cf. mm Hg), zou dit overeenkomen met een kolom bloed van 1, 58 en 1, 05 meter boven het hart. Indien de zwaarteversnelling zou stijgen tot 3g zou het bloed tijdens de diastole niet meer in het hoofd geraken. De druk in de benen zou stijgen en het bloed zou er opstapelen. Vandaar dat testpiloten spannende broekkousen dragen. Hetzelfde effect treedt trouwens op bij plots rechtstaan (gevoel van duizeligheid). De druk waarmee je hart onderaan de benen het bloed in je aders terug naar boven tracht te pompen, is nog slechts een kleine fractie (10%) van de druk in je slagaders, en dus onvoldoende om je bloed naar boven te duwen. Dit zou betekenen dat bloed zich in de onderste ledematen zou opstapelen (wat trouwens gebeurt bij lang stilstaan - de voeten zwellen op). De pompactie wordt echter geholpen door het bewegen en de spieren die de aders periodisch samenknijpen. Bovendien zitten er in de aders kleine kleppen die enkel toelaten dat bloed naar boven stroomt. Als deze kleppen onvoldoende werken, stapelt het bloed zich op, de aders zetten uit en men krijgt spataders.
5.5
Spanning in de bloedvaten
Het meten van de bloeddruk was gesteund op het feit dat bloedvaten elastisch zijn, en toch de bloeddruk aankunnen (d.w.z. niet openbarsten). De haarvaatjes hebben een fijne wand (1 micron = 10−6 m) omdat O2 en CO2 er makkelijk doorheen moeten kunnen diffunderen. Toch moeten ze een lage druk (< 1kPa) aankunnen.
31
De aorta moet drukken van 10-20 kPa aankunnen. Wat is het verband tussen de druk in een bloedvat, de straal van het bloedvat en de spanning in de wand? Wet van Laplace: Cohesie is de onderlinge aantrekkingskracht tussen gelijke moleculen zonder dat er sprake is van een chemische binding. Op korte afstand stoten 2 moleculen elkaar af, op grote afstand trekken ze elkaar aan. Een molecule in een vloeistof ondervindt aantrekkingskrachten uit alle richtingen en de vectorsom van al deze krachten is nul. Voor een molecule in de grenslaag is dit echter niet meer zo, de actiesfeer die inwerkt op het molecule ligt gedeeltelijk buiten de vloeistof en er is een netto resultante der aantrekkingskrachten (cohesie) die naar binnen gericht is en LOODRECHT op het oppervlak. Dus er moet arbeid geleverd worden om moleculen naar het oppervlak te brengen. Deze arbeid noemen we de oppervlakte-energie. Deze oppervlakte-energie is een vorm van potentiële energie. Bij een vloeistofmassa, buiten elk uitwendig krachtveld, is de enige vorm van pottentiële energie de oppervlakteenergie. Het inwendige evenwicht van de vloeistof wordt bepaald door een minimale potentiële energie, dus een minimale grenslaagoppervlakte. DE VLOEISTOF NEEMT EEN BOLVORM AAN! Snijden we nu in gedachten een stukje uit de grenslaag, dan heersen langs de rand krachten die het uitgesneden oppervlak trachten samen te trekken. Deze kracht per lengteeenheid noemt men de OPPERVLAKTESPANNING γ. De oppervlaktespanning staat loodrecht op de rand. Oppervlaktespanning: Een maat van de kracht die de moleculen aan het oppervlak voelen, uitgeoefend door de moleculen direct onder dit oppervlak. Beschouwen we een vloeistof in een horizontale buis met straal R en lengte l. We snijden deze buis denkbeeldig horizontaal middendoor. De doorsnede is een rechthoek met lengte l en breedte 2R. Om de 2 helften bij elkaar te houden moet je op elke rand een kracht F uitoefenen. Oppervlaktespanning : kracht/randlengte (N/m) γ=
F = pR l
Met een analoge redenering kan de oppervlaktespanning in een bol worden bepaald: Wet van Laplace: Voor een buis: γ = pR Voor een bol:
pR 2 Als een vloeistof een vrij oppervlak heeft (een druppel of in een glas) heerst de oppervlaktespanning in de buitenste vloeistoflaag. Daardoor zal een kleine druppel sferisch zijn en water tegen het glas opklimmen. γ=
• Voorbeeld: een druppel
32
Voor een bolvormige vloeistofdruppel geldt γ=
pR 2
Bij vloeistoffen is de oppervlaktespanning een grootheid die afhangt van de temperatuur en bepaald wordt door interne cohesiekrachten. (Voor water γ ∼ 7 × 10−2 N/m, kwik γ ∼ 7 × 10−2 N/m.) De oppervlaktespanning hangt normaal niet af van de vorm van het oppervlak. Voor een gegeven vloeistof is γ constant voor druppels ongeacht de straal R. Gevolg, p = 2γ R, en dus is de interne druk bij een kleine druppel groter dan bij een grote druppel (als pR 2 6= γ, dan is de druppel onstabiel). • Een ander voorbeeld: alveolen in de long Dit zijn dunne membranen met een oppervlaktespanning, dus zou gelden: te γ = pR 2 = c . Nu zijn echter niet alle alveolen even groot. Dus bij grotere alveolen is de druk kleiner dan bij de kleine alveolen. Aangezien de alveolen met elkaar in verbinding staan, zal de lucht van de kleine alveolen naar de grote vloeien (van hoge naar lage druk). De kleine alveolen zullen dicht klappen en de grote uitzetten, uiteindelijk wordt heel de long vernietigd ... Oplossing: γ 6= cte de alveolen zijn bedekt met een dun laagje vloeistof bestaande uit lange moleculen waarvan de oppervlaktespanning een functie is van de vloeistoflaagdikte. Naar gelang van de grootte van de alveole en bij in- en uitademen gaat de dikte van de vloeistoflaag veranderen zodat de globale oppervlaktespanning de variaties in pR volgt. • Voorbeeld: aorta versus haarvat Aorta: Bij een gemiddeld interne druk van 13 kPa en een straal van 0,012 m is de gemiddelde spanning in de aortawand 156 N/m. Haarvat: met een druk van slechts 0,4 kPa en een straal van 6 × 10−6 m is de spanning slechts 0,024 N/m. In andere woorden: je kan aan de aorta een gewicht hangen van meer dan 1kg (10 N) voor het scheurt, terwijl een haarvat slechts 1 × 10−7 kg kan dragen (0,1 mg). Soms is de wand van een bloedvat (bijv. aorta) verzwakt en kan het de nodige spanningen niet meer aan. Het puilt uit en kan uiteindelijk barsten (een aneurisme). Bij congestief hartfalen (’geblokkeerd’: gevolg er wordt onvoldoend bloed voortgestuwd) gaat het hart uitzetten. Als de hartdiameter stijgt, rekt de hartspier uit en stijgt de spanning in de spier: γ=
pR 2
Een uitgrekt spier is minder efficiënt dan een normale spier en moet meer arbeid verrichten om hetzelfde volume bloed te pompen. De spier wordt sneller moe, en gaat nog verder uitzetten tot ze niet meer in staat is om de spanning te verwerken en de vereiste arbeid te verrichten. 33
5.6
Capillairen
De oppervlaktespanning vindt haar oorzaak in de cohesiekrachten die de vloeistofmoleculen op elkaar uitoefenen. Als de vloeistof zich in een fijne buis bevindt, ondervindt ze niet enkel interne cohesiekrachten, maar worden de vloeistofmoleculen ook aangetrokken of afgstoten door de wand (afhankelijk van de eigenschappen van de 2 materialen). • Cohesie is de onderlinge aantrekkingskracht tussen gelijke moleculen zonder dat er sprake is van een chemische binding. • Adhesie is de onderlinge aantrekkingskracht tussen ongelijke moleculen zonder dat er sprake is van een chemische binding. Bij evenwicht zullen de wand en de vloeistof elkaar aantrekken of afstoten over de omtrek van de wand 2πr. De kracht van de vloeistof op de wand is dan: γ2πr. Als de vloeistofkolom stijgt (of daalt) in het capillair zal de verticale krachtcomponent juist het gewicht van de kolom compenseren. De formule van Jurin laat toe de oppervlaktespanning te meten uit de stijghoogte van een vloeistof in een gekalibreerd capillair: h=
2γ cos θ ρgr
Als de wand en de vloeistof elkaar aantrekken zal de vloeistof langs de wand opklimmen en met de wand een hoek θ maken die kleiner is dan 90◦ , zoals water in glas. Als de hoek groter wordt dan 90◦ , zal de wand de vloeistof afstoten zoals kwik en glas. Hoe hoger de oppervlaktespanning, hoe hoger (voor θ < 90◦ ) of dieper (voor θ > 90◦ ) de vloeistofkolom zal reiken t.o.v. het vloeistofoppervlak buiten het capillair. Hoe fijner de buis hoe groter het effect. Als voor θ = 90◦ (bijv. water en zilver) is er geen capillair effect. Maar bloed stroomt, vloeistofmechanica: • Hydrostatica - statische vloeistofmechanica • Hydrodynamica - vloeistofdynamica Bloedvaten hebben niet allemaal dezelfde doorsnede. Is er een verband tussen de doorsnede van een bloedvat en de stroomsnelheid van het bloed?
34
Hoofdstuk 6
Hydrodynamica: de studie van fluïda in beweging 6.1
Stromend bloed: debiet en snelheid
Als we veronderstellen dat een vloeistof NIET samendrukbaar is (een goede eerste benadering), dan volgt daaruit een continuïteitswet: Als in een reservoir met een vast volume (de wand is niet elastisch!) een volume ∆V binnenvloeit, moet er een gelijk volume ∆V buitenvloeien. ∆Vin = ∆Vuit Anders zou men immers meer vloeistof in hetzelfde volume brengen en zou, ofwel de vloeistof samendrukbaar zijn, ofwel de buis elastisch. Definiëren we het debiet Q (’volume flux’, ’flow rate’): Qin,uit =
dVin,uit dt
Stel de snelheid v van een vloeistof over een doorsnede A is constant, of anders nemen we v als de gemiddelde snelheid: Q=
dx dV =A = Av dt dt
De continuïteitsvergelijking voor onsamendrukbare fluïda: Ain vin = Auit vuit Hoe kleiner de sectie van de stroombuis, hoe groter de stroomsnelheid. Een vloeistofstroom waarbij het snelheidspatroon over de doorsnede van de buis NIET verandert in de tijd, vertoont geen turbulentie: het is laminair. Bij laminaire stroming door een buis zal de stroomsnelheid van een vloeistof echter wel verschillen naar gelang de plaats t.o.v. wand (traag bij de wand, 35
sneller in het centrum ... zie later). We kunnen bij laminaire stroming de buis verdelen in denkbeeldige stroomlijnen met constante snelheid waarbij de vloeistof niet van de ene naar de andere stroomlijn vloeit, maar steeds binnen de stroomlijn blijft. Op voorwaarde dat we de gemiddelde snelheid < v > beschouwen, blijft de continuïteitswet behouden: De continuïteitsvergelijking voor onsamendrukbare fluïda: • Binnen een stroomlijn: Av = cte • Bij laminaire stroming: A < v > = cte Als het bloed uit het hart komt, stroomt het aan ±0, 3 m s door de aorta die een gemiddelde doorsnede heeft van ±3 × 10−4 m2 . De aorta vertakt dan in opeenvolgende generaties tot een uiterst fijn netwerk met haarvaten waarvan de globale doorsnede ±600 × 10−4 m2 bedraagt. Het bloed stroom daar met een snelheid: Av = cte =⇒ 3 × 10−4 m2 × 0, 3
m m = 600 × 10−4 m2 × v =⇒ v = 0, 0015 s s
De zeer lage snelheid van het bloed in de haarvaten maakt voldoende stofuitwisseling mogelijk tussen bloed en cellen! Daarna gaan de bloedvaten terug samengroeien en uiteindelijk terecht komen in hart langs de vena cava (gemiddelde doorsnede 18 × 10−4 m2 (snelheid ±0, 05 m s )). Mogen we water en bloed beschouwen als onsamendrukbaar? De samendrukbaarheid wordt gegeven door ∆p = −κ ∆V V waarbij −10 ∼ κ−1 P a−1 water = 5 × 10
. Voor een gemiddelde druk van 13,3 kPa wordt bloed dus slechts ∼ samengedrukt (i.e. verwaarloosbaar).
6.2
1 6500000
De wet van Bernoulli
Kunnen we de basiswet van de hydrostatica p + ρgh = cte veralgemenen voor dynamische processen? UITERAARD! Hiervoor hebben we het BEHOUD VAN ENERGIE nodig (zie hoofdstuk krachten): dW = F~ d~s ∆W = ∆Epot + ∆Ekin 36
Als er geen inwendige wrijving is. De arbeid W geleverd door de uitwendige vloeistof op het beschouwde deel van de stroombuis is: dWin = Fin dsin = (pin Ain )(vin dt) dWuit = Fuit dsuit = (puit Auit )(vuit dt) De netto arbeid is: dWin ?dWuit = (pin Ain vin − puit Auit vuit )dt In een stationair regime geldt (het stromingspatroon verandert niet in de tijd ’steady state’): ∆Epot = dm × g × (huit − hin ) ∆Ekin =
1 2 2 dm(vuit − vin ) 2
De wet van Bernoulli: 1 p + ρgh + ρv 2 = cte 2 Hoe hoger de snelheid van een vloeistof in een buis, hoe lager de druk op de wand! De wet van Bernoulli geldt enkel onder de volgende voorwaarden: • De vloeistoffen (fluïda) zijn onsamendrukbaar (anders geldt Av = cte niet meer) • Zonder viscositeit (wrijving, anders zijn de krachten niet conservatief, zie vorig hoofdstuk) • Er is een laminaire stroom (anders kunnen we geen stroomlijnen bepalen waar Av = cte ) • Het stromingspatroon verandert niet in de tijd (’steady state’) Bernoulli is ook van toepassing op gassen (fluïda). • Voorbeeld: Stenose Stenose: vernauwing in een bloedvat. Als de stenose optreedt in een kransslagader, kan de zuurstoftoevoer naar het myocard te klein worden, gevolg: angor - angina pectoralis - en infarct. De stenose verstoort namelijk het laminair karakter van de bloedstroom, door turbulenties gaat energie verloren, het hart moet harder voor hetzelfde resultaat, er komt minder bloed in het myocard ... Wat heeft dit met Bernoulli te maken? 37
Op de plaats van de stenose is de doorsnede van het bloedvat kleiner, dus het bloed stroomt sneller. Als we het hoogteveschil verwaarlozen, volgt uit Bernoulli dat als v stijgt, de druk p zal dalen. Het bloedvat zal meer samengedrukt worden, bij inspanning stijgt de bloedsnelheid tot 5x, en de kransslagader kan volledig dichtslaan ... INFARCT! 1 p + ρgh + ρv 2 = cte 2 Een veel gebruikte therapie is ballonangioplastie (PCTA), waarbij een fijn ballonnetje in het bloedvat wordt gebracht en wordt opgeblazen om de stenose plat te drukken. Scheurtjes in in de bloedvatwand leiden tot littekenweefsel en alles begint van voor af aan, met een lijdensweg van de patiënt van PCTA naar PCTA ... tot uiteindelijk by-pass. Een stent zou dit effect kunnen tegengaan ... Op die manier hebben cardiologen een nieuwe ziekte gecreëerd: ’re-stenose’ of ’candy wrapper effect’. Vandaar nabestralen of stents die neoplasie tegengaan. Tegenwoordig is deze techniek (gelukkig) vervangen door ’drug-coated stents’. • Voorbeeld: Venturi buis De werking van een carburateur berust op de wet van Bernoulli. Een carburateur bestaat in hoofdzaak uit een buis met een vernauwing in het midden. Als de zuiger omlaag gaat om nieuwe lucht aan te zuigen (de aanzuigslag), wordt deze lucht via de genoemde buis aangezogen. Bij de versmalling gaat de lucht sneller stromen, waardoor de druk lager wordt (venturi-effect). Hierdoor zal vanuit een kleine opening in de wand van de buis de benzine worden meegezogen en verneveld in de lucht. Met behulp van een sproeier, een calibratie in het benzinekanaal, kan de verhouding benzine/lucht veranderd worden: een grotere sproeier betekent een groter gaatje voor benzine, dus meer benzine in het mengsel. • Voorbeeld: Pitotbuis De pitotbuis wordt o.m. bij vliegtuigen (maar ook geneeskunde) geruikt om rechtstreeks snelheid te meten door een gestroomlijnde buis met 2 gaatjes recht in de luchtstroom (bloedstroom) te plaatsen. 1 gaatje kijkt recht tegen de stroom in, de vloeistof moet er omheen en de snelheid op de plaats van het gaatje is nul. Het ander gaatje staat loodrecht op de stroom en ziet de maximale snelheid. 38
Uit het drukverschil tussen beide gaatjes leidt men de snelheid af ... Bernoulli. Moleculaire verklaring van Bernoulli: Moleculen trillen op een willekeurige manier, en de snelheid is afhankelijk met de temperatuur (kinetische energie en temperatuur, zie hoofdstuk gassen/ longen). Als de globale snelheid van moleculen in een bepaalde richting sterk toeneemt (bijv. een vernauwing van een buis), dan zou de tempratuur lokaal moeten stijgen. Dit wordt NIET waargenomen. Als de temperatuur constant blijft, moet de snelheidsverdeling veranderen (de gemiddelde snelheid blijft constant): • Hogere snelheid in de vloeirichting • Lagere snelheid loodrecht op de vloeirichting. Gevolg: de moleculen botsen in de vernauwing minder hard tegen de wand, dus de wand voelt een lagere druk! Veralgemening van Bernoulli: Als er naast de klassieke potentiële en kinetische energie nog andere vormen van energie aanwezig zijn in de vloeistof, wordt de wet van Bernoulli veralgemeend door een extra term U toe te voegen die de interne energieën voorstelt: 1 p + ρgh + ρv 2 + U = cte 2 Welke arbeid levert het hart? De gemiddelde arbeid wordt gegeven door: dW = F~ d~s =
F~ d~s = pdV A
(F~ k ~s; F~ ⊥A) De arbeid wordt gegeven door de oppervlakte onder de kromme p(V) in een p-V diagram. De gemiddelde druk van het bloed dat bij iedere hartslag uit het hart wordt gepompt is: 13 kPa. Het gemiddeld volume dat uit het hart wordt gepompt is: 80 × 10−6 m3 . De gemiddelde arbeid per hartslag is dan: dW = pdV = 13 × 1000 × 80 × 10−6 ∼ = 1, 1 [N m; J] Bij 60 hartslagen per minuut, geeft dit een vermogen van 1,1Watt per minuut Het hart pompt slechts gedurende 1/3 van de tijd (2/3 rust), dus het vermogen gedurende de actieve periode (pompen) is dan ±3, 3W . Het hart is een pomp met een efficiëntie van 30-50% (het verbruikt ongeveer 5 − 10 Js , levert 3, 3 Js ), de rest van de energie wordt omgezet in warmte ... 39
6.3
Viscositeit
Het hart moet voortdurend pompen omdat het bloed niet wrijvingsloos door de bloedvaten stroomt. Water vloeit makkelijker door een fijne buis dan stroop. Dit heeft te maken met viscositeit van vloeistoffen. Een vloeistof met hoge viscositeit zal meer weerstand bieden tegen vervorming. Definitie van viscositeit: We beschouwen 2 evenwijdige platen met een oppervlakte A en onderlinge afstand ∆y, waartussen een vloeistof zit. Vloeistoflagen trachten dezelfde snelheid te hebben als de naburige lagen, anders ontstaan onderlinge schuifspanningen (in rust kan een vloeistof geen interne schuifspanningen hebben). Als de bovenste plaat veschoven wordt met een snelheidsverschil ∆v, zal er dus een kracht F moeten uitgeoefend worden om de interen wrijvingskrachten te overwinnen. Onvermijdelijk treden er schuifspanningen F A op, evenredig met het snelheidsverschil ∆v. dv F =η A dy ∆v De term ∆y is de verandering van snelheid tussen de vloeistoflagen. dv dy is de lokale snelheidsgradiënt. kg Ns , P a × s; m η is de viscositeitscoëfficiënt [ md 2] De hematocriet of hematocrietwaarde is het volume van het bloed dat door de rode bloedcellen wordt ingenomen, weergegeven als een fractie of in procenten. De hematocrietwaarde wordt bepaald door een buisje bloed te centrifugeren. Onderin verzamelen dan de rode bloedcellen, daarbovenop de witte bloedcellen en bovenin de buis het plasma. De laag tussen de rode bloedcellen en het plasma heet de buffy coat. Referentiewaarden (in liter per liter bloed):
• Mannen: 0,40 - 0,54 L/L • Vrouwen: 0,37 - 0,47 L/L Zowel zeer hoge als zeer lage hematocrietwaarden brengen gezondheidsrisico’s met zich mee. Mensen met zeer lage hematocrietwaarden lijden aan bloedarmoede. Mensen met zeer hoge hematocrietwaarden hebben stroperiger (visceus) bloed waardoor er meer risico’s zijn op hart- en vaatziekten. De normale hematocrietwaarde van vrouwen in de vruchtbare leeftijd is lager dan die van mannen, omdat vrouwen met de menstruatie ijzer verliezen. Mensen die op grote hoogte leven, zoals Kenianen of Bolivianen, hebben van nature een veel hogere hematocrietwaarde dan laaglanders. Typische waarden voor de viscositeitscoëfficiënt: • Water: η = 10−3 P a × s • Motorolie (20◦ ): η = 1P a × s • Bloed (37◦ ): η = 2 × 10−3 P a × s 40
De viscositeit van bloed hangt o.a. af van het hematocriet: het percentage rode bloedcellen in plasma. Normaal is dit 35 − 45%. Wielrenners staan bekend om EPO te nemen, dit doet het hematocriet stijgen tot > 50%, waardoor het bloed visceuzer wordt. Hetzelfde geldt voor rokers: met elk pakje sigaretten ademt een roker 250ml CO in, en dit maakt rode bloedcellen inactief. Om dat te compenseren stijgt het hematocriet en dus ook de viscositeit van het bloed. Uiteraard doet dit de kans op doorstromingsproblemen stijgen ... Bij uiterst lage temperatuur (< 2, 2K) zal vloeibaar He-4 alle viscositeit verliezen en ’supervloeibaar’ worden (door heel dunne gaatjes stromen en spontaan over de rand van een beker vloeien. Voor de verklaring hebben we quantummechanica nodig. Een vergelijkbaar verschijnsel is supergeleiding (zie later).
6.4
Stroming door een bloedvat
Welke invloed heeft viscositeit op de laminaire stroming van een vloeistof in een buis (bloed in een bloedvat)? De onderlinge cohesiekrachten en wrijvingskrachten maken dat vloeistoflagen dezelfde snelheid trachten te hebben als de naburige lagen. De heel dunne (op moleculair niveau) laag tegen de buiswand gaat stilstaan, en bij laminaire stroming stijgt de snelheid naarmate men van de wand weggaat naar het centrum van de buis. Deze snelheidsverdeling wordt gegeven door de wet van Poiseuille. Bij een stationaire stroming is er behoud van hoeveelheid van beweging, dus de resultante van de krachten die op de cilinder vloeistof inwerken moet NUL zijn (anders zou de vloeistof versnellen). De wet van Poiseuille π ∆p 4 Q= R 8η l Waarbij Q het debiet is. Stromingsweerstand, Rf : De weerstand tegen het stromen in een buis is afhankelijk van het drukverschil en het debiet: • Als het debiet stijgt bij gelijke druk: daalt de weerstand • Als de druk stijgt en het debiet blijft hetzelfde: grote weerstand Rf =
∆p Q
8ηl Voor een laminaire stroming geeft dit: Rf = πR 4 Voor stromingsweerstanden in serie geldt: Rf = Rf 1 + Rf 2 + ... + Rf n Voor stromingsweerstanden in parallel geldt: R1f = R1f 1 + R1f 2 + ... + R1f n
=⇒ Analogie tussen vloeistofleer en elektriciteitsleer
41
„Electrodynamics is really much easier than hydrodynamics.” Richard Phillips Feynman Wet van Ohm: V = IR P = V I = I 2R potentiaalverschil V stroom I weerstand R vermogen in een weerstand P
6.5
P = ∆pQ = Q2 Rf drukverschil ∆p debiet Q stromingsweerstand Rf stromingsvermogen P
Centrifuge
Het doel van een centrifuge is de sedimentatie van deeltjes in een vloeistof te versnellen door de vloeistof zeer snel rond te laten draaien, en daardoor artificieel een zeer grote ’zwaarte’versnelling op te wekken. De centripetale kracht is binnenwaarts gericht terwijl het te centrifugeren mengsel een buitenwaards gerichte kracht op de bodem van de centrifuge uitoefent. De zwaardere deeltjes zullen door hun grotere traagheid naar de buitenkant van de centrifuge bewegen, de lichtere naar de binnenkant. We hebben hier 3 krachten in het zwaartekrachtveld: Fzwaartekracht = mg Farchimedes = −mvl g Fwrijving = −cte v De vraag is nu wat is die constante cte , die ondermeer afhangt van de straal van de deeltjes (R) en de viscositeit (η) van de vloeistof? De centripetale versnelling werd gegeven door: a = −ω 2 r De deeltjes ’voelen’ door hun traagheid een ’centrifugale’ pseudokracht: Fcentrif ugaal = ma = mω 2 r Fzwaartekracht = mg Dus, de zwaartekracht is VERWAARLOOSBAAR t.o.v. de ’centrifugale’ kracht! ω 2 r ≈ 200000g De 3 krachten worden nu: Fcentrif ugaal = mdeeltje ω 2 r Farchimedes = −mvl ω 2 r Fwrijving = −cte vs 42
In de centrifuge zal het deeltje versnellen tot dat: Fcentrif ugaal = Farchimedes + Fwrijving mdeeltje ω 2 r mvloeistof ρvloeistof mdeeltje ω 2 r vs = 1− 1− = cte mdeeltje cte ρdeeltje met vs de sedimentatiesnelheid.
6.6
Wrijving op een bol
Als een bol met een snelheid v beweegt in vloeistof met viscositeit η, werkt op de bol een wrijvingskracht evenredig met v op voorwaarde dat de snelheid niet te hoog is (de bol doet de vloeistof niet meestromen). Wet van Stokes Fwrijving = 6πvRη mdeeltje ω 2 r vs = 6πRη
ρvloeistof 1− ρdeeltje
met R de straal van het deeltje en r de afstand van het middelpunt. Dit kan men gebruiken om de viscositeitscoëfficiënt te bepalen aan de hand van de sedimentatiesnelheid: als we een knikker onder invloed van de zwaartekracht in een vloeistof laten vallen, wordt de versnelling g i.p.v. ?2 r uit vorig vb. Vervangen we m door 34 πR3 ρ, dan krijgen we: vs =
6.7
2 R2 g (ρ − ρvloeistof ) 9 η
Relaxatietijden
Herinner de definitie van voeistof: „Een stof die in rust geen schuifspanning kent”. Een viskeuze vloeistof kent schuifspanningen, maar vloeit om die op te heffen. Bij een heel viskeuze vloeistof (stroop) zal dit langer duren dan bij minder viskeuze vloeistof (water). Er is dus een verband tussen de snelheid waarmee schuifspanningen verdwijnen en viscositeit. Een bewegend voorwerp in een vloeistof gaat de moleculen verstoren, dit heeft een invloed op de onderlinge cohesiekrachten tussen de moleculen. De vorm van de moleculen is hier belangrijk (bolvormige gaan makkelijker bewegen dan moleculen die in elkaar verstrengeld zijn). Als de vloeistof de schuifspanning moet opheffen, moeten de moleculen de tijd krijgen om te bewegen. Er is dus een verband tussen viscositeit en snelheid waarmee schuifspanningen verdwijnen.
43
Beschouwen we even water: stop je je hand langzaam in het water, dan voel je bijna geen weerstand. Sla je je hand echter hard op het oppervlak, dan voelt het water hard aan (het water had geen tijd om weg te vloeien). Bij een snelheid van 50 m/s is water zo hard als steen. Stroop voelt veel sneller ’hard’ aan dan water, omdat de moleculen meer tijd nodig hebben om over elkaar te schuiven. Een meer algemene definitie van vloeistof: „Een stof die zich onder invloed van schuifspanningen gaat vervormen naar een rusttoestand zonder schuifspanningen” Men kan dus een soort karakteristieke tijd definiëren na dewelke een schuifspanning met een bepaald percentage vermindert. Dit is de relaxatietijd: de tijd na dewelke de schuifspanning nog slechts 1e van de oorspronkelijke schuifspanning is. Met e = 2, 72...; 1e = 0, 37.... Zie ook weer electromagnetisme! De relaxatietijd voor water is veel korter dan voor olie, daardoor valt een knikker sneller in water dan in olie.
6.8
Wat hebben we gezien?
• Hydrostatica: – Basiswet: ∆p = ρg∆h p + ρgh = cte – Wet van Pascal: Een druk uitgeoefend op een vloeistof, opgesloten in een vat, plant zich onverminderd in de vloeistof voort in alle richtingen. F2 F1 A2 p= = =⇒ F2 = F1 A2 A1 A1 • Hydrostatica en oppervlaktespanning: – Werking bloeddrukmeter: psystole < p: Geen bloeddoorstroming pdiastole < p < psystole : ’Geruis’ (vollopen linkerkamer) p < pdiastole : Laminaire ’geluidloze’ stroming – Spanning in bloedvaten: Wet van Laplace γ=
F l
γ = pR voor een buis γ = pR 2 voor een bol • Capillairen h=
44
2γ cos θ ρgr
• Continuïteitsvergelijking voor onsamendrukbare fluïda Ain vin = Auit vuit Q=A
• Wet van Bernoulli (veralgemening van de basiswet van de hydrostatica) Behoud van energie =⇒ p + ρgh + 21 ρv 2 = cte • Viscositeit F = ηA • Wet van Poiseuille v=
dv dy
∆p 2 (R − r2 ) 4ηl
Q=
π ∆p 4 R 8η l
• Analogie tussen electriciteistleer en hydrodynamica P = V I = I 2 R ⇐⇒ P = ∆pQ = Q2R f • Centrifuge vs =
mdeeltje ω 2 r 6πRη
45
1−
ρvloeistof ρdeeltje
Deel III
Longen
46
Welke vragen willen we beantwoorden? • Hoe geraakt O2 in het bloed en het CO2 uit het bloed? Wat hebben we hiervoor nodig? • Ideale gaswet • Diffusie • De wet van Fick Gaswetten Thermodynamica
47
Hoofdstuk 7
Onze longen Diffusie van O2 en CO2 : Hoe groter het oppervlak van de celwand in vergelijking met het volume van de cel, hoe sneller en efficiënter de diffusie. Neem bijv. een monocellulair organisme, een kubusvormige cel met lengte l = 10−6 m: A 6 × (l × l) 6 = = = 6 × 106 m−1 V l×l×l l Vergelijk dit nu met een mens: A 6 × (0, 5 × 0, 5) 1, 5 = = = 12m−1 V 0, 5 × 0, 5 × 0, 5 0, 125 500000 keer minder efficiënt! Ons lichaam moet dus een orgaan ontwikkelen waarvan de oppervlakte zeer groot is, en waarbij het bloed door het oppervlak heen O2 kan opnemen en CO2 afstaan. Onze longen: • 2 sponzen • Uiterst fijne wanden • Gezamelijke inhoud van ≈ 6l • De oppervlakte van de buitenwand (longvlies) ≈ 0, 2m2 • Luchtpijp −→ 2 bronchi −→ ... −→ 223 vertakkingen • Eindigt in de alveolen (kleine blaasjes) – φ < 0, 2 × 10−3 m – dikte ≈ 0, 4 × 10−6 m – aantal ≈ 500 × 106
48
• Totale oppervlakte ≈ 70m2 Koch-sneeuwvlok is een fractaal waarbij we starten van een gelijkzijdige driehoek. Door de procedure te herhalen verkrijgen we een fractaal waarvan de omtrek meer en meer gekarteld geraakt en waarvan de lengte naar oneindig gaat terwijl de oppervlakte toch eindig blijft. We kunnen hetzelfde doen in 3 dimensies en krijgen dan een fractaal waarvan de oppervlakte naar oneindig gaat en de inhoud eindig blijft. Het lichaam van een volwassen persoon bevat ongeveer 5 l bloed. Hiervan zit ongeveer 1 l in de longen. Slechts ± 70 ml of 7 × 10−5 m3 stroomt door de haarvaten rond de alveolen (de doorbloeding is perfusie). Als je dit volume van 7 × 10−5 m3 uitsmeert over een oppervlakte van 70 m2 , is de laag bloed nog slechts 1 micron dik (10−6 m). Dit is minder dan de dikte van een rode bloedcel, iedere rode bloedcel ligt dus tegen de wand van het haarvat in de wand van de alveole op < 10−6 m van de lucht. Op deze wijze kan door diffusie O2 en CO2 worden uitgewisseld in minder dan 1s door deze wand. Diffusie is een proces ten gevolge van de willekeurige beweging van deeltjes. Deze willekeurige beweging is het gevolg van de kinetische energie die deze deeltjes bezitten. Bij verschillen in concentratie leidt diffusie tot een netto verplaatsing van deeltjes van plaatsen met een hoge concentratie naar plaatsen met een lage concentratie. Perfusie is het doen doorstromen met een vloeistof. Bijv.: de doorstroming van het bloed naar en door de weefsels. Zelfs met een oppervlakte van ∼ 50× de lichaamsoppervlakte is de ’passieve’ uitwisseling gas-bloed te klein omdat de natuurlijke circulatie van lucht in en uit de longen door de luchtpijp te klein is. O2 zou snel uitgeput raken en CO2 zou zich in de longen opstapelen. Er is dus een active vorm van ventilatie nodig: ademhaling. Door een lichte onderdruk op te wekken t.o.v. de atmosferische druk stroomt lucht naar de longen, bij overdruk zal lucht worden uitgeblazen. We zoeken dus verbanden tussen druk, volume en temperatuur bij gassen, en gasmengsels ...
49
Hoofdstuk 8
Aggregatietoestanden van de materie 8.1
Vaste stof
De cohesiekrachten tussen de moleculen zijn zo groot dat de moleculen wel individueel rond een vaste plaats (rooster) trillen onder invloed van hun kinetische energie (warmte), maar hun onderlinge plaats in het rooster verandert niet. Onder invloed van druk-, rek- of schuifspanning zal de gemiddelde afstand tussen de moleculen lichtjes veranderen, maar de stof zal de vervorming tegenwerken (F = −kx), tenzij de krachten zo groot worden dat de stof plooit of breekt. In een eerste benadering kan men stellen dat een vaste stof onsamendrukbaar en onvervormbaar is (’mechanica van stijve lichamen’)
8.2
Vloeistof
De cohesiekrachten zijn bijna even groot als bij een vaste stof, maar de kinetische energie (warmte) van de moleculen is voldoende om hen los te rukken uit het vaste rooster. Een vloeistof is dus vervormbaar. De onderlinge afstand van de moleculen is echter niet zo verschillend als die bij een vaste stof (1kg water neemt ongeveer even veel plaats in als 1kg ijs). Zodat ook hier in eerste benadering kan stellen dat een vloeistof onsamendrukbaar is. Een volume verandering impliceert dus een verandering van het aantal moleculen en dus ook een verandering van massa! In een ’ideale’ vloeistof, zonder viscositeit, kunnen moleculen vrij bewegen en bestaat er geen schijfspanning.
50
8.3
Gas
De kinetische energie van de moleculen is nu zo groot dat de onderlinge cohesiekrachten worden overwonnen. De onderlinge afstand van de moleculen is zo groot geworden dat ze onafhankelijk van elkaar bewegen zolang ze niet botsen. Net zoals vloeistoffen kennen gassen geen schuifspanning als ze in rust zijn, maar in tegenstelling tot vloeistoffen zijn ze WEL samendrukbaar. Bij een gas betekent een volume verandering niet noodzakelijk een verandering in het aantal moleculen of massa verandering! Men kan een gas samendrukken tot de onderlinge afstand tussen de moleculen zo klein wordt dat de cohesiekrachten weer de overhand krijgen en dat het gas overgaat in een vloeistof.
51
Hoofdstuk 9
De ideale gaswet (1) Een ideaal gas heeft de volgende kenmerken: • Het eigen volume van de moleculen is verwaarloosbaar ten opzichte van de ruimte tussen de moleculen. • De onderlinge aantrekkingskrachten tussen de moleculen is verwaarloosbaar bij de gewenste meetnauwkeurigheid. De potentiële energie is dus ook verwaarloosbaar. • Moleculen botsen volkomen elastisch, dat wil zeggen zonder netto verlies van kinetische energie. Energie-overdracht van het ene op het andere molecuul is wel mogelijk. • Het blijft steeds in zijn gastoestand, ook al verandert de temperatuur of de druk. Een ideaal gas is een hypothetisch gas, dat voldoet aan de algemene gaswet. We willen het gedrag van verschillende aggregatievormen bestuderen in het besef dat materie bestaat uit veel atomen, die elektrisch interageren en de wetten van de mechanica volgen. Dit is niet eenvoudig omdat: • Atomen gedragen zich niet volgens de klassieke mechanica, maar quantummechanica. • We willen niet weten hoe 1 atoom zich zal gedragen, maar wel hoe veel atomen zich gemiddeld gedragen en de waarschijnlijkheid dat een proces zich zal voordoen. WAARSCHIJNLIJKHEIDSTHEORIE en THERMODYNAMICA! Avogadro: gelijke volumes van gassen bestaan uit hetzelfde aantal moleculen bij dezelfde druk en temperatuur. Als we iets samendrukken, wordt het warmer. Als we iets warm maken, zal het uitzetten ... THERMODYNAMICA! Als we het gas willen samendrukken, moeten we arbeid verrichten: dW = F (−dx) = −P Adx = −P dV 52
Gas samendrukken −→ volume neemt af (- teken) −→ er wordt arbeid verricht Hoeveel kracht F moeten we nu uitoefenen om de druk van de botsende molecules te balanceren? d(mv) F = ma = dt Wat zoeken we: • Het impuls overgedragen aan de piston door 1 molecule • Het aantal botsingen per seconde tegen de piston Veronderstellingen: • De piston is een perfecte reflector (anders warmt de piston op) • Elk deeltje dat in komt, botst terug met dezelfde energie (en dezelfde massa) • M.a.w. als de piston niet beweegt, is het gas in een stationaire toestand, er wordt geen energie verloren aan de piston. De impuls per botsing • De snelheid van een atoom: ~v • Dus de impuls ’in’ wordt: mvx • Maar er is dezelfde impuls ’uit’ • Dus de totale impuls op de piston door een deeltje in 1 enkele botsing (het wordt ’gereflecteerd’): 2mvx Het aantal deeltjes per botsing: • Neem N atomen in het volume V, n=N/V (aantal atomen per volume eenheid) • Enkel die atomen op een afstand dx = vx dt zullen de piston raken in de tijd dt • # botsingen in tijd dt = # atomen op afstand vx dt • Het volume van atomen die op de wand kunnen botsen: V = Av × dt • # atomen dat zal botsen = (volume) × (# atomen per volumeeenheid) = nAvx dt • # atomen dat zal botsen per tijdseenheid: nAvx
53
d(mv) F = nAvx × 2mvx =⇒ P = = 2nmvx2 dt A (# atomen dat zal botsen per tijdseenheid)×(impuls per botsing) Echter, niet alle atomen hebben dezelfde snelheid en van alle atomen zal slechts de helft naar de piston vliegen. F = ma =
PV =
1 2 N < mv 2 > 3 2
Als we de snelheden kennen, kunnen we de druk berekenen!
54
Hoofdstuk 10
Kinetische energie en temperatuur Temperatuur is een maat voor hoe warm of koud iets is. Natuurkundig gezien is het een maat voor de gemiddelde chaotische bewegingsenergie (t.g.v. Brownse beweging) per molecule plus de beweging van atomen in moleculen. Voorr de 18e eeuw dachten de geleerden dat warmte een stof was, die van een warm lichaam naar een koud lichaam stroomde. Tegenwoordig, nu we de atomaire structuur van de materie goed begrijpen en kennen, is het mogelijk om warmte te omschrijven in termen van moleculaire beweging. De warmte van een lichaam is de totale kinetische energie van al zijn moleculen. Bij iedere temperatuur botsen de moleculen van een vloeistof of gas constant tegen elkaar. De gemiddelde bewegingsenergie van alle moleculen in een lichaam is de TEMPERATUUR ervan, vergelijkbaar met het gemiddelde gewicht van de bezoekers in een schouwburg. De totale energie van alle moleculen is de hoeveelheid WARMTE van het lichaam, vergelijkbaar met het totale gewicht van alle mensen in de schouwburg. Warmte-energie stroomt altijd van een voorwerp met hoge temperatuur naar een voorwerp dat een lage temperatuur heeft. De reden daarvoor ligt voor de hand: de moleculen met grote energie staan een deel van hun energie af aan de moleculen met lage energie als ze met elkaar botsen. Op deze manier wordt warmte-energie geleidelijk verdeeld tussen twee met elkaar in contact staande voorwerpen. Zij streven er dus naar uiteindelijk dezelfde temperatuur te krijgen. In een vacuüm zijn geen moleculen om voor energie-overdracht te zorgen. Een thermosfles maakt gebruik van een vacuüm om koude vloeistoffen koud te houden en warme dranken warm. Het is een dubbelwandige glazen fles met een metalen of kunststof omhulsel. De lucht uit de tussenruimte is weggepompt, zodat er een luchtledig is ontstaan. Dit vacuüm voorkomt moleculaire beweging via de wanden van de fles. Zo zit de warmte binnen de fles gevangen en kan er ook geen warmte van buiten naar binnen komen.
55
De definitie van temperatuur: 1 3 < mv 2 >= kT 2 2 De factor 3/2 is gewoon een trucje om de ideale gaswet eenvoudig te maken. We zeggen dat 2 gassen dezelfde temperatuur hebben als hun gemiddelde kinetische energie dezelfde is. M.a.w. er is THERMISCH EVENWICHT als beide gassen dezelfde gemiddelde kinetische energie hebben. Er is dus een lineair evenredig verband tussen kinetische energie en temperatuur, dus idealiter zou temperatuur T = Ekin , helaas, is er een evenredigheidsconstante ingevoerd: k, de constante van Boltzmann J k = 1, 38 × 10−23 K Thermische evenwicht Stel we beschouwen 2 monoatomische gassen (met massa’s m1 en m2 ) in een container gescheiden door een beweegbare piston. De piston staat niet stil, maar trilt en sommige atomen zullen meer energie krijgen als de piston naar hen toe beweegt en vice versa. De 2 gassen zullen hun snelheden (Ekin ) aanpassen zodat de energie die ze aan elkaar geven via de piston identiek wordt. Ekin (piston) =
1 1 < m1 v12 >= < m2 v22 > 2 2
Zware atomen gaan trager bewegen en lichte atomen gaan sneller bewegen.
56
Hoofdstuk 11
De ideale gaswet (2) 2 1 N < mv 2 >= N kT 3 2 (druk) × (volume) = (# atomen) × (k) × (temperatuur) Bovendien: Bij gelijke druk, temperatuur en volume STAAT HET AANTAL ATOMEN VAST! M.a.w. uit de wetten van Newton hebben we afgeleid dat dezelfde volumes van verschillende gassen, bij dezelfde temperatuur en druk ALTIJD uit evenveel moleculen bestaan! Het aantal moleculen is in de praktijk heel groot, vandaar dat onze vrienden uit de chemie met een artificieel getal op de proppen zijn gekomen (denk aan de eV, Ci, ...): het getal van Avogadro: NA = 6, 022 × 1023 En de eenheid ’mol’ : de hoeveelheid stof (deeltjes, atomen, moleculen, ionen) van een systeem dat evenveel deeltjes bevat als er atomen zijn in 12 gram 12 C. cf. 1 dozijn = 12, 1 mol = 6, 022 × 1023 Eerder werd trouwens voorgesteld om een mol te definiëren als de hoeveelheid stof dat evenveel deeltjes bevat als er atomen zijn in 16 gram 16 O . Uit k en NA , halen we nu de universele gasconstante R PV =
R = NA k = 8, 31 PV =
J molK
2 1 N < mv 2 > = N kT = nRT 3 2
Waarbij: • n, het aantal mol • N = n × NA , het aantal deeltjes Gaswet bij constante temperatuur (Wet van Boyle): Als T = cte en N = cte , dan wordt pV = cte .
57
Dit is de vergelijking van een hyperbool, met de p en V as als asymptoot. Als het gas tot de helft van het volume wordt samengedrukt zal de druk verdubbelen. Gaswet bij constante druk (Wet van Charles): Als p = cte en N = cte , dan wordt V/T = cte Het volume is recht evenredig met de absolute temperatuur. Als het volume verandert zonder dat het aantal deeltjes en de druk veranderen moet de temperatuur veranderen. Gaswet bij constante druk (Wet van Charles): Wordt ook de eerste wet van Gay-Lussac genoemd. Voorbeeld: boven een warm voorwerp (verwarmingsradiator, gloeilamp, brandende kaars) wordt de lucht warm. Doordat deze verwarmde lucht niet in een vast volume is opgesloten, kan hij vrij uitzetten. De druk blijft daardoor hetzelfde. Maar het volume is groter geworden, zodat de dichtheid (de soortelijke massa) door de uitzetting kleiner is geworden. De warme lucht is daardoor lichter dan de omringende lucht en zal dus een opwaartse kracht ondervinden volgens de wet van Archimedes. Inderdaad ontstaat er een opwaartse luchtstroom. Gaswet bij constant volume (2de wet Gay-Lussac): Als V = cte en N = cte , dan wordt p/T = cte Deze wet stelt dat bij een constante hoeveelheid gas en een constant volume de druk van een gas recht evenredig is met de absolute temperatuur ervan. Voorbeeld: Autobanden worden tijdens het rijden warm, o.a. door wrijving met het wegdek, en door vervormingswarmte van het rubber. Als men meteen na een lange rit de bandenspanning (druk) meet, is die verhoogd. Pas wanneer de band tot de omgevingstemperatuur is afgekoeld, heeft de druk ook weer zijn normale waarde. Zou men meteen na de rit de bandenspanning corrigeren door er wat lucht uit te laten lopen, dan zou de band na afkoeling juist een te lage druk hebben. Hoewel ideale gassen niet bestaan, geeft de algemene gaswet bij voldoende lage dichtheden (aantal moleculen per volume-eenheid) wel een goed bruikbare benadering. Als men de algemene gaswet bijvoorbeeld toepast op lucht bij atmosferische druk en kamertemperatuur, zal de fout niet meer dan een fractie van een procent bedragen. Merkbaar worden de afwijkingen pas als de dichtheid zo groot is dat de interactie tussen de moleculen (aantrekkingskracht, ruimteinname door eigen volume) niet meer verwaarloosbaar is. Het gas zal dan bij betrekkelijk geringe afkoeling en/of geringe drukverhoging deels kunnen condenseren, en dus vloeibaar worden. Bij kamertemperatuur is koolstofdioxide (CO2 ) hier een goed voorbeeld van. Als dergelijke gassen onder zodanige druk in een ruimte zijn opgesloten dat een deel van het gas vloeibaar wordt (denk aan het drijfgas in een spuitbus), zal bij opwarmen van het gas de druk niet langer lineair (zoals verwacht volgens de algemene gaswet) maar exponentieel toenemen. De druk wordt dan al snel zo hoog dat het vat explodeert. Dat is ook de reden waarom een spuitbus nooit warm mag worden. 58
De ideale gaswet en temperatuur: als p of V wordt uitgezet als functie van T bekomt men een experimentele rechte waarvan het verlengde de T-as zal snijden. Dit is het ABSOLUTE MINIMUM, want bij nog lagere temperaturen zou de druk of het volume NEGATIEF worden wat fysisch onmogelijk is. De experimentele meetpunten gaan nooit voldoende ver om de T-as te snijden want bij het absolute nulpunt bestaat geen enkele stof nog onder gasvorm. In dit gebied is de definitie van een temperatuur dus een extrapolatie van het begrip temperatuur bij hogere temperaturen. Waar moet het nulpunt gekozen worden? Welke schaal wordt gekozen? Overgang water naar ijs als 0◦ en kooktemperatur 100◦ , bij een druk p = 1, 01 × 105 P a: Celsiusschaal, ◦ C Het snijpunt tussen p(T) of V(T) en de T-as als (absolute) nulpunt 0K: Kelvinschaal, K Het verband tussen beide is eenvoudig: 0 K = -273,15 ◦ C Verband tussen snelheid en temperatuur: hoe groot is de gemiddelde snelheid van He en N2 bij 273 K? 3 1 m < v 2 > = kT 2 2 Bij gelijke temperatuur, aantal mol en druk hebben alle gassen hetzelfde volume: welk volume neemt 1 mol (n=1) van een gas in bij T = 273 K en p = 1, 01 × 105 P a? Als in gelijke volumes evenveel deeltjes rondvliegen met een even grote kinetische energie (T), dan moet de druk in beide volumes identiek zijn (p=F/A, is evenredig met de kinetische energie wegens botsen van moleculen op de wand). Partiële druk (wet van Dalton): De partiële druk van een gas in een mengsel, is dat deel van de druk van het mengsel dat afkomstig is van dat gas. Dat is, als we de ideale gaswet gebruiken, hetzelfde als de druk die er zou heersen als je alle andere gasmoleculen wegneemt en alle andere omstandigheden constant houdt. De partiële druk van zuurstof in de lucht (21% van de lucht is zuurstof) is 21% van de totale druk. Als we plotseling stikstof, argon, en water uit de lucht weg zouden laten, zou de druk van 1,00 tot 0,21 atmosfeer afnemen. Als verschillende volumes met elkaar in verbinding staan zal de partiële druk van ieder gas afzonderlijk in de verschillende volumes gelijk zijn. Als eenzelfde volume gedeeld wordt door meerdere gassen met dezelfde temperatuur, dan geldt voor elk gas afzonderlijk: pi V = ni RT En voor het hele mengsel geldt: X
pi V =
X
i
ni RT
i
Bij ademhaling staan de longen voortdurend in contact met de buitenlucht, dus T = 310 K en p = 1.01 × 105 P a. Het volume kan dus enkel veranderen door een aantal deeltjes in of uit de longen te ademen. Dit is nu juist wat nodig is voor de gasuitwisseling lucht-bloed! 59
Het O2 -arme en CO2 -rijke bloed zal door het partiële drukverschil O2 opnemen in de longen en CO2 afstaan. Op zijn weg door het lichaam zal het bloed om dezelfde redenen O2 afstaan en CO2 opnemen. Bij diepzeeduiken stijgt de buitendruk: de druk verdubbelt reeds op 10m diepte en wordt 4 × 105 P a op 30m (zie hfdst ’hart’). V =
nRT p
Als de longen 6l lucht bevatten bij atmosferische druk blijft daar nog slechts 1,5l van over op 30m. In rust ademen we ongeveer 0,5l per ademhaling om voldoende circulatie (O2 en CO2 ) te hebben. Op 30m diepte moeten we minstens evenveel volume ademen, dit volume komt overeen met 2l aan de oppervlakte. Duikflessen met geperste lucht raken dus 4× sneller leeg op 30m in vergelijking met juist onder wateroppervlak. Caissonziekte, de wet van Henry: Een gas lost gedeeltelijk op in een vloeistof. Wet van Henry: hoe hoger de (partiële) druk van het gas boven de vloeistof, hoe meer gas oplost. Als de partiële druk van O2 in de vloeistof kleiner is dan de partiële druk van O2 in de lucht, zal de waarschijnlijkheid dat een O2 molecule in de vloeistof oplost groter zijn dan voor een O2 molecule om weg te vliegen uit de vloeistof. Dit gaat verder tot de partiële druk in lucht en vloeistof hetzelfde zijn. Als de partiële druk in lucht stijgt zal ook de O2 concentratie stijgen in de vloeistof. Het probleem is echter stikstof (N, N2 ) dat bij grote diepte ook langzaam, maar meer oplost in het bloed dan aan de oppervlakte. Bij snel naar boven komen, daalt de oplosbaarheid van het N2 plots en vormen zich kleine stikstofbelletjes in het bloed ... wat dodelijk kan zijn. Een duiker kan caissonziekte dus voorkomen door: • niet te lang te duiken (anders raken ook slecht doorbloede weefsels (o.a. kraakbeen) verzadigd met stikstof) • niet te diep te duiken (er lost dan weinig stikstof op, op -18m is dit effect nog minimaal bij 1 uur duiken, vandaar dat veel duikers om veiligheidsredenen nooit lager duiken) • door langzaam op te stijgen (het lichaam krijgt dan de kans de stikstof uit het bloed te ’wassen’ en via de longen af te voeren).
60
Hoofdstuk 12
Arbeid: isotherm-adiabatisch Uit het hoofdstuk ’hart’ (vloeistoffen), weten we nog dat: dW = F~ d~s = −
F Ads = −pdV A
Het ’min’-teken is er omdat als we een arbeid uitoefenen op het gas (samendrukken), dW positief is, maar het volume afneemt en dus dV negatief is. De arbeid W nodig om van een volume V0 naar een volume V1 te gaan, wordt gegeven door: Zv1 W = − pdV v0
12.1
Arbeid
• Isothermisch samendrukken (T = cte ): p=
nRT V
1 Voor isothermisch samendrukken tot een 2,72 ste van het origineel volume moet een arbeid W = nRT geleverd worden.
pV = nRT = cte : Het volume kan slechts dalen als de druk stijgt (Boyle). • Isobaar (p = cte): Zv1 W =−
Zv1 pdV = −p
v0
dV = p(V0 − V1 ) v0
Daar pV = nRT , kan het volume slechts dalen als de temperatuur daalt. 61
• Isochoor (V = cte): dV = 0 =⇒ dW = −pdV = 0 De mechanische arbeid is nul, maar er kan wel energie worden toe- of afgevoerd onder de vorm van warmte (Q).
12.2
Adiabatische processen
Een adiabatische transformatie is een transformatie zonder warmteuitwisseling (de enige energieuitwisseling is mechanische energie). a (niet) + dia (door) + bainein (gaan) Dit is mogelijk bij geïsoleerde systemen of wanneer het proces zo snel verloopt dat de warmte geen tijd heeft om naar een ander systeem te vloeien. Indien dV 6= 0, zullen zowel p, V, en T veranderen. We verplaatsen de zuiger met vzuiger langs de x-as. De snelheid van de molecules wordt gemiddeld < vx + vzuiger > De snelheid stijgt −→ Ekin stijgt −→ gas wordt warmer. Bij een isotherm proces wordt de warmte afgevoerd. Bij een adiabatisch proces neemt de temperatuur toe en dus ook de druk! Tijdens een adiabatische compressie stijgt de druk van een gas dus sterker dan tijdens een isotherme compressie! De totale energie van het gas is het aantal moleculen maal de gemiddelde Ekin van elk molecule: 3 dE = N kdT 2 Als adiabatische arbeid dW wordt uitgeoefend op het gas, stijgt de energie en alle energie blijft in het gas. dW = dE en dW = −pdV =⇒
3 N kdT = −pdV 2 5
3
T 2 × V = cte =⇒ p = cte × T 2 T ×V
2 3
= cte =⇒ p × V
Een isotherme compressie: p × V = cte Een adiabatische compressie: p×V
5 3
62
= cte
5 3
= cte
Hoofdstuk 13
Warmtecapaciteit, soortelijke warmte Als we een gas opwarmen in een gesloten vat (V = cte ): dW = −pdV = 0 Alle warmte energie, Q, (toegevoegde warmte) wordt omgezet in temperatuur, T, (en dus kinetische energie, Ekin ) want het gas verricht geen arbeid. Warmtecapaciteit (Cv ): verhouding tussen toegevoegde warmte, dQ, en de temperatuurstijging, dT Cv =
dQ 3 = Nk dT 2
Soortelijke warmte (cv ): de benodigde hoeveelheid warmte energie (in J) om 1 kg stof 1 graad in temperatuur te doen stijgen cv =
dQ mdT
Bij gassen is er een verschil in de nodige hoeveelheid warmte bij een constant volume (Cv ) en de nodige hoeveelheid warmte bij een constante druk (Cp ) om de dezelfde temperatuurstijging te verkrijgen. Bij ideale, monoatomische gassen geldt: Cp =
5 Cv 3
of Cp is 40% groter dan Cv . Dit komt doordat bij een isobare opwarming (constante druk) er arbeid wordt geleverd aan de omgeving, terwijl dit bij een isochore (constant volume) niet zo is. Bij isobare opwarming moet er dus meer energie aan het systeem worden geleverd om op te warmen, gezien een deel van die energie wordt gebruikt voor het leveren van de arbeid. 63
Wanneer een aantal stoffen samen zitten, geldt: C = m1 c1 + m2 c2 De soortelijke warmte hangt nauw samen met de inwendige vrijheidsgraden (trillingswijzen, rotaties, translatiebewegingen, elektronische overgangen) waarin de toegevoegde thermische energie terecht kan. Vrijheidsgraden van een diatomisch molecule, bij stijgende temperatuur: • Translaties Cv =
3 Nk 2
Cv =
5 Nk 2
Cv =
7 Nk 2
• Rotaties
• Trillingen
64
Hoofdstuk 14
De Boltzmannverdeling Tot op dit moment hebben we de potentiële energie van moleculen verwaarloosd t.o.v. de kinetische energie. Uiteraard is dit niet correct want de atmosfeer rond de aarde zou anders niet bestaan en luchtdruk zou niet dalen met de hoogte. In het volgende gedachte experiment gaan we een kolom lucht nemen bij CONSTANTE TEMPERATUUR. nh = n0 e−
mgh kT
Ongeacht de temperatuur (T) is het totaal aantal deeltjes in de kolom constant (Ntot = cte ). Maar, hun VERDELING volgens de hoogte (h) hangt wel af van de temperatuur (die constant is). De deeltjesdichtheid daalt exponentieel met de stijgende hoogte. mgh ph = p0 e− kT Hoe zwaarder de deeltjes, hoe sneller hun aantal afneemt met de hoogte (er is relatief minder O2 op grote hoogte dan N2 ).
65
Hoofdstuk 15
Wat hebben we gezien? • Ideaal gas • Verband temperatuur en kinetische energie (snelheid) 3 1 < mv 2 > = kT 2 2 • Ideale gaswet: PV =
2 1 N < mv 2 > = N kT = nRT 3 2
• Bij gelijke druk, temperatuur en volume STAAT HET AANTAL ATOMEN VAST! En uiteraard variaties op dit thema ... • Boyle: Als T = cte en N = cte , dan wordt pV = cte . • Charles: Als p = cte en N = cte , dan wordt V/T = cte . • Gay-Lussac (2): Als V = cte en N = cte , dan wordt p/T = cte . • Partiële druk (Dalton): X
pi V =
i
X
ni RT
i
• Caissonziekte (Henry): Hoe hoger de (partiële) druk van het gas boven de vloeistof, hoe meer gas oplost. • Isotherme compressie en adiabatische compressie p × V = cte p×V
66
5 3
= cte
• Soortelijke capaciteit en warmte Cv =
dQ 3 = Nk dT 2
cv =
67
dQ mdT
Hoofdstuk 16
De Boltzmannverdeling Tot op dit moment hebben we de potentiële energie van moleculen verwaarloosd t.o.v. de kinetische energie. Uiteraard is dit niet correct want de atmosfeer rond de aarde zou anders niet bestaan en luchtdruk zou niet dalen met de hoogte. In het volgende gedachte experiment gaan we een kolom lucht nemen bij CONSTANTE TEMPERATUUR. Ongeacht de temperatuur (T) is het totaal aantal deeltjes in de kolom constant (Ntot = cte ). Maar, hun VERDELING volgens de hoogte (h) hangt wel af van de temperatuur (die constant is). De deeltjesdichtheid daalt exponentieel met de stijgende hoogte: mgh nh = n0 e− kT ph = p0 e−
mgh kT
• Temperatuur: – T → 0, nh → 0 – T <, nh << (alle deeltjes bevinden zich op hoogte h = 0) – T >>, nh = n0 (overal evenveel deeltjes per volume-eenheid) • Massa: hoe zwaarder de deeltjes, hoe sneller hun aantal afneemt met de hoogte (er is relatief minder O2 op grote hoogte dan N2 ).
68
Hoofdstuk 17
Longfunctie De dynamische studie van de longfunctie steunt grotendeels op het meten van de verbanden tussen volumes en tijd, en soms op het meten van drukken. pV = N kT Gezien de temperatuur T = 310 K zou men uit een meting van ofwel p of V in de tijd omgekeerd informatie over V of p kunnen afleiden indien het aantal deeltjes N constant zou blijven. Dit is echter NIET zo, want we ademen juist in en uit om het aantal deeltjes in onze longen te doen veranderen. Voor het meten van absolute longvolumes wordt de plethysmograaf gebruikt en de wet van Boyle: de patiënt is in een afgesloten kamer geplaatst en ademt door een mondstuk. Bij inademen zetten de longen uit wat de de druk doet toenemen in de kamer aangezien het een gesloten systeem is en het volume in de kamer afneemt als de longen uitzetten. Met de wet van Boyle kan dan het longvolume bepaald worden. Voor het meten van de verandering van het longvolume als functie van de tijd wordt de spirometer gebruikt: de spirometer bevat een gewichtloze klok (in feite een zeer lichte klok en een tegengewichtje) die in een waterbad op en neer kan bewegen. De ruimte binnen de klok maar boven het vloeistofniveau is verbonden met een darm en een mondstuk: bij uitademen komt lucht in de klok en gaat ze stijgen; bij inademen daalt ze. De hoogte van de klok wordt gemeten als functie van de tijd. Zo krijgt men een volume/tijdsfunctie die de verandering van longvolumes weerspiegelt. Ademhalingscyclus: • 4s, 500 ml lucht, waarvan 350 ml in de longen geraken • Longen bevatten nog 2,5 l lucht (residual capacity), dus de O2 en CO2 moeten eerst in de lucht diffunderen • In de alveolen:
69
Figuur 17.1: Anatomical Dead Space (0.15l) (waar geen gasuitwisseling met het bloed plaatsheeft: luchtpijp en -wegen) Diffusie 21% O2 −→ 14% O2 0, 04% CO2 −→ 5, 6% CO2 < 1s Het diffusiemechanisme en snelheid in de lucht, bloed of door de celwand zijn dus heel belangrijk
70
Hoofdstuk 18
Druk-volume en druk-debiet • Er is slechts een klein drukverschil nodig tussen lucht in de longen en buitenlucht om te ademen: – Atmosferische druk: 1, 01 × 105 P a – Typisch drukverschil: 1, 00 × 103 P a – De pV cyclus is een fijne ellips • Stroomweerstand: Rf =
dp Q
(Q: debiet, Av; zie hfst. HART) • Compliance: C=
dV dp
– De verandering van volume onder invloed van een kleine drukverandering – De richtingscoëfficiënt in het p-V diagram en een maat voor de soepelheid van de longen. • De snelheid waarmee lucht in en uit de longen kan vloeien: Rf C =
dp dV dV = Q dp Q
71
Hoofdstuk 19
Druk en snelheid Wet van Bernoulli: behoud van energie 1 p + ρgh + ρv 2 = cte 2 Ook bij gassen is dit waar te nemen: als in een soepele buis een vernauwing optreedt kan de buis toeklappen als er snel gas door vloeit. Dit herleidt de gassnelheid dan echter tot nul zodat het drukverval wegvalt en de buis terug opent. Daardoor gaat de snelheid terug toenemen en de buis terug dichtklappen. De buis gaat dus trillen.
72
Hoofdstuk 20
Van moleculair tot macroscopisch macroscopisch (Klassieke) Mechanica Redelijk nauwkeurig te berekenen Ordelijk en voorspelbaar
moleculair Thermodynamica Te veel variabelen en onderlinge interacties Waarschijnlijkheidsrekenen
73
Hoofdstuk 21
Gemiddelde snelheid, Brownse beweging 2 1 N < mv 2 > = N kT 3 2 1 3 < mv 2 >= kT 2 2 Dit begrip van temperatuur en de ideale gaswet zijn heel algemeen: PV =
• Enkel de massa van het deeltje komt hierin voor, niet de grootte • m(H2 ) <−→< v > ≈ 2000 m s bij 273 K • m(O2 ) >−→< v > ≈ 500 m s bij 273 K • m(virussen, aerosols, stuifmeelkorrels) >>−→< v > ≈ 0, 005 m s bij 273 K • Maar de Ekin blijft hetzelfde Stuifmeelkorrels gaan ook een chaotische beweging uitvoeren onder invloed van thermische energie −→ Brownse beweging Brown (een plantenkundige) bestudeerde stuifmeelkorrels op een wateroppervlak onder de microscoop (hij dacht namelijk dat het levende organismen waren). Einstein (weer in het gouden jaar 1905) formuleerde de verklaring met ’random force’ uit de beweging van watermoleculen en Ekin .
74
Hoofdstuk 22
Vrije weglengte en botsingsfrequentie • Vrije weglengte (mean free path) • ?Gemiddeld afgelegde weg −→ k en NA • ?Diffusiesnelheid We gaan de vrije weglengte (mean free path), schatten waarover een deeltje gemiddeld zal bewegen vooraleer tegen een ander deeltje te botsen. • Stel het deeltje heeft een straal R, dus doorsnede πR2 • Botsing: enkel als de afstand met andere deeltjes < 2R • Stel het deeltje legt een afstand af vooraleer het botst • Gemiddeld botsingsvrij volume per deeltje: < V > = π(2R)2 × < l > R∼ = 10−10 m(1Å) voor een typisch gasmolecule Stel we werken bij, 0 ◦ C, 1, 01 × 105 Pa, en NA deeltjes (1 mol). Uit de ideale gaswet weten we dat bij gelijke temperatuur, aantal mol en druk alle gassen hetzelfde volume hebben: 22,4 l of 0,0224 m3 . Dus het gemiddeld volume per deeltje zonder te botsen (het volume waarover een deeltje beschikt): =
V 22, 4 × 10−3 3 = m = 3, 7 × 10−26 m3 NA 6 × 1023
75
Hoofdstuk 23
Gemiddelde afgelegde weg, k en NA Elk molecule beweegt onvoorspelbaar (’random walk’), dus sommige deeltjes zullen na verloop van tijd nog dicht bij hun oorspronkelijke plaats zijn, anderen verder weg. De gemiddelde afstand waarover deeltjes zich na een zekere tijd van hun oorspronkelijke positie verwijderd hebben is de gemiddeld afgelegde weg (’mean displacement’). • Vrije weglengte of mean free path: • Afgelegde weglengte, × (# botsingen): N √ • Afgelegde weg of mean displacement: <x> = N – Afstand in vogelvlucht – Voor cirkel is afgelegde weglengte 2πR, maar afgelegde weg 0 We krijgen dus een statistische verdeling: de waarschijnlijkheid dat een deeltje zich na een tijd, t, verplaatst heeft over een afstand <x>. Als er N deeltjes zijn, zullen het aantal deeltjes met een bepaalde afgelegde weg <x>, zich statistisch verdelen tussen de minimum en maximum afstand, waarvan de meeste ergens tussenin zullen zitten. m, T, < t >, < l > =⇒ k pV = N kT = nNA kT =⇒ NA
76
Hoofdstuk 24
Diffusie Wat we willen onderzoeken is de globale, gemiddelde beweging van een groot aantal deeltjes. Als er lokaal een hoge concentratie aan deeltjes bestaat weten we dat die deeltjes zich langzaam gaan verspreiden wegens diffusie. Wat we nu willen bepalen is de diffusie snelheid en afstand. Als het aantal nieuwe deeltjes (bijv. inkt in water, parfum in lucht) klein is in vergelijking met het totaal aantal deeltjes, dan wordt het medium niet verstoord. V, p en T zijn cte √ < x > ∝ t =⇒ < x2 > = x2RM S = 2Dt 2
D [ ms ] is de diffusieconstante. Analoog voor en , dus in 3 dimensies wordt dit: p √ < (~r − ~r0 )2 > = 6Dt Een voorbeeld: • Bij kamertemperatuur (T = 293 K), is de diffusieconstante voor water (H2 O): m2 D(H2O) = 2 × 10−9 s • Na 1 seconde wordt de gemiddeld afgelegde weg: p (~r − ~r0 )2 = 1, 1 × 10−4 m = 0, 11 mm • Als het aantal stappen N groot is, wordt de Bernoulli verdeling benaderd door de normale verdeling, dus 1σ = 67%, en 2σ = 95%. • Dus na 1 seconde bevinden 67% van de molculen zich op minder dan 0,11 mm, en 95% op minder dan 0,22 mm.
77
Hoofdstuk 25
Enkele definities • N het aantal deeltjes in een volume V • Deeltjes dichtheid n =
N V
• Als er meerdere soorten deeltjes zijn, dan wordt de concentratie gedefinieerd als het aantal deeltjes van eenzelfde soort per volume: Ci = NVi • Stroom (’flow’) – Aantal deeltjes dat getransporteerd wordt: deeltjesstroom (particle flux) Q = dN dt – Het volume dat getransporteerd wordt: debiet (volume flux, flow rate) Q = dV dt • Fluence – Aantal deeltjes dat door een oppervlakte A vloeit: particle fluence [ m12 ] 3
– Het volume dat door een oppervlakte A vloeit: volume fluence [ m m2 = m] • Stroomdichtheid (’fluence rate’): – Het aantal deeltjes dat per tijdseenheid door een oppervlakteeenheid vloeit: j [ m12 s ] – De massa die per tijdseenheid door een oppervlakteeenheid vloeit: jm [ mkg2 s ] – Het volume dat per tijdseenheid door een oppervlakteeenheid vloeit: jv [ m s ] – jx is de stroomdichtheid in de richting x j=
78
dN Q = Adt A
Hoofdstuk 26
Continuïteitsvergelijking Onsamendrukbare vloeistoffen, continuïteitsvergelijking: het aantal deeltjes per volume-eenheid is constant (onsamendrukbaar), dus het aantal deeltjes dat binnenvloeit is gelijk aan het aantal deeltjes dat buitenvloeit. Samendrukbaar gas: het aantal deeltjes per volume-eenheid is niet langer constant en is afhankelijk van de tijd. Het aantal deeltjes in een volume zal afhangen van plaats en tijd: N(x,t) en dus ook j(x,t). ∂C ∂j =− ∂t ∂x N = N (x, t) en N = Nin − Nuit De concentratie van deeltjes zal dalen in de tijd in dat punt waar de stroomdichtheid het grootst is. En dit proces gaat sneller naarmate het verschil in stroomdichtheid tussen 2 punten groter is. ∂j ∂C > 0 =⇒ <0 ∂x ∂t
79
Hoofdstuk 27
Diffusiestroom 27.1
Richting
Diffusie zorgt ervoor dat concentraties langzaam gelijk worden. De diffusiestroom van deeltjes vloeit van een zone met hoge concentratie naar een zone met lage concentratie. C(x) > C(x + ∆x): de waarschijnlijkheid dat deeltjes stromen van x naar x+∆x is groter dan omgekeerd. De kans dat een deeltje zal bewegen over een afstand ∆x stijgt met het aantal deeltjes, dus met de concentratie. •
∂C ∂x
•
∂C ∂x
> 0 =⇒ C(x + ∆x) > C(x) =⇒ Waarschijnlijkheid dat deeltjes stromen van x+∆x naar x is groter
•
∂C ∂x
= 0 =⇒ C = cte =⇒ Geen netto stroom van deeltjes
< 0 =⇒ − ∂C ∂x > 0 =⇒ jx is positief: stroom van x naar x+∆x en jx wordt groter als − ∂C ∂x groter wordt.
1ste wet van Fick: jx ∝ −
∂C ∂C =⇒ jx = −D ∂x ∂x
met D de diffusieconstante!
27.2
Snelheid
2de wet van Fick
∂C ∂2j =D 2 ∂t ∂x
In 3 dimenises: ∂C =D ∂t
∂2C ∂2C ∂2C + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
80
= D∇2 C
Hoofdstuk 28
Verband diffusie en viscositeit De snelheid waarmee deeltjes bewegen is evenredig met de temperatuur. De deeltjes botsen echter voortdurend zodat ze geremd worden in hun beweging. De uiteindelijke netto beweging is mede bepaald door de diffusieconstante: 2 l1D = 2Dt
Bij vloeistoffen zagen we hoe een bolvormig voorwerp dat beweegt in een vloeistof (hetzelfde geldt voor gas) geremd wordt door botsing met de vloeistofdeeltjes. Deze wrijvingskracht was evenredig met de snelhied en vond haar oorzaak in de viscositeit, gekenmerkt door de viscositeitscoëfficiënt: F~w = 6πRη~v Het is dus logisch dat er een verband bestaat tussen de diffusieconstante D en de viscositeitscoëfficiënt η. Als beide tegengestelde stromen gelijk worden in grootte, bereiken we een evenwichtstoestand waarbij de deeltjesgradiënt constant blijft in de tijd. ∂C vC =− ∂y D mg mg mgy ∂C = C(0)e− kT − = C(y) − ∂y kT kT Wet van Einstein-Stokes (diffusiecoëfficiënt voor bolvormige deeltjes in een visceuze vloeistof) kT D= 6πRη
81
Deel IV
Optica
82
Hoofdstuk 29
Fiber optics 29.1
Introductie: Colorectale kanker
Colorectale kanker is de 3de meest voorkomende kanker bij mannen (13,8%) en 2de bij vrouwen (13,4%). Colorectale kanker is de 2de oorzaak van kankergerelateerd overlijden in de westerse wereld. Het is de oorzaak van 608700 doden wereldwijd. Wat blijkt te helpen is een gezonde levensstijl en screening voor ’precancerous growths’ (polypen en adenoma’s die kunnen verwijderd worden voor ze kwaadaardig worden). Dit is een van de gevallen waar artsen kanker kunnen vermijden. Probleem: hoe kunnen artsen ’kijken’ in een smalle, lange darm vol bochten? Endoscopen (sigmoidoscopen en colonoscopen) kunnen het inwendige belichten en laten toe om rond de hoek te kijken door gebruik te maken van kleine camera’s en ’fiber optics’. Laparoscopen (Grieks voor ’flank’) worden gebruikt voor chirurgie in het abdomen, gynecologisch, hernia en maagoperaties. Arthroscopen voor knie, enkel, schouder, ... Voordeel t.o.v. open chirurgie: kortere hospitalisatie, lokale verdoving en kortere herstelperiode. De onderliggende principes: optica!
29.2
Om de hoek kijken
Licht plant zich voort in rechte lijnen (... geodeten ... herinner onze vriend Einstein ...) zo lang het binnen eenzelfde medium blijft. Licht vloeit niet rond een obstakel zoals een vloeistof. Licht stroomt door een obstakel, wordt gereflecteerd of geabsorbeerd. Bij doorgang van een medium naar een ander kan de richting veranderen (refractie, breking) aan de overgang (interface). Gereflecteerd licht (e.g. spiegel) gedraagt zich als een bal die tegen een muur botst. Als licht wordt geabsorbeerd, wordt een deel van de energie overgedragen aan het medium, wat resulteert in een geleidelijk verzwakken van intensiteit.
83
Als we licht schijnen in het begin van een lange, bochtige darm, zal er (bijna) geen licht uitkomen aan het andere einde. Dit is omdat het licht botst en reflecteerd wordt tegen de wanden, en geleidelijk zal het worden geabsorbeerd. Na een tijdje is het volledig geabsorbeerd (denk aan DOKA in ’oude’ fotografie). Wat als de darm een perfecte spiegel zou zijn? −→ Zelfs dan hebben we een probleem: onze ogen zien een object omdat het licht wordt gereflecteerd van het oppervlak. Onze ogen ontvangen verschillende stralen van elk punt van het oppervlak, en gebruiken dit om het beeld te reconstrueren. Dit kan enkel werken als de onderlinge verhoudingen van de verschillende lichtstralen behouden blijven. Als de lichtstralen door een gebogen spiegelende buis gaan, worden ze willekeurig gereflecteerd en op het einde komen ze buiten in totale chaos. Onze ogen kunnen onmogelijk het oorspronkelijk beeld reconstrueren. We zoeken dus een oplossing die het licht rond hoeken en bochten helpt zonder de onderlinge richtingen te veranderen.
29.3
Licht reflecteren en buigen
Licht beweegt in rechte lijnen (... geodeten), zolang het binnen hetzelfde medium blijft. Maar het licht kan van richting veranderen als het een nieuw materiaal tegenkomt. De grens tussen 2 media noemen we de ’interface’. We gaan enkel transparante media beschouwen (materiaal waarbij de absorptie van licht verwaarloosbaar of klein is). Als licht een ’interface’ tegenkomt gebeuren er 2 zaken: • Een gedeelte van het licht wordt gereflecteerd: reflected • Een gedeelte van het licht gaat door het object: refracted Geometrische optica gaat ons helpen om de nieuwe richting van het licht te voorspellen, zodat we dit kunnen manipuleren (dit wordt de basis van lenzen ...). Het gereflecteerde (reflected) licht (θr ) zal altijd dezelfde hoek maken als de inkomende lichtstraal (θ1 ) : θr = θ1 (29.1) Het licht dat zich voortzet in het nieuwe medium (refracted), zal over het algemeen een hoek (θ2 ) maken verschilt van de originele richting (θ1 ), ’gebroken’: θ2 6= θ1
29.4
(29.2)
Waarom buigt licht?
De verandering van de lichtsnelheid als het licht van het ene medium overgaat naar het andere, bepaalt hoeveel de brekingshoek verschilt van de oorspronkelijke invalshoek! Om dit te verklaren, maken we een mechanische analogie. Beschouw een auto die onder een hoek van een verharde weg op een zandweg komt. Het rechter 84
voorwiel komt eerst in het zand terwijl het linker nog op de verharde weg is. Het rechterwiel zal trager bewegen dan het linker en de auto gaat roteren. Op het moment alle 4 de wielen in het zand zijn, is de auto van richting veranderd. De auto’s brekingshoek is kleiner dan in de inkomende hoek als hij overgaat in een medium met lagere snelheid. Omgekeerd, als de auto van zand naar verharde weg gaat waar de snelheid groter zal worden, zal de brekingsindex toenemen. Hetzelfde geldt voor licht: als de snelheid van licht in het nieuwe medium trager is dan in het oorspronkelijke medium, zal de brekingshoek kleiner zijn dan de oorspronkelijke hoek. De snelheid van licht verandert van medium tot medium. In vacuüm heeft licht de ’lichtsnelheid’ c = 3, 00 × 108 m s . In een medium zal het licht interageren met het materiaal en trager worden. Eigenlijk wordt het licht continu geabsorbeerd en weer uitgezonden in het materiaal, waardoor de snelheid vertraagt. −→ Feynman’s analogie van 2 zwemmers/lopers De snelheid van het licht in een medium bepaalt dus de brekingsindex, n: n=
lichtsnelheidvacuum c = lichtsnelheidmedium v
(29.3)
Deze brekingsindex is ALTIJD groter dan 1, want licht kan niet sneller gaan dan in het vacuüm. De verhouding van inkomende- en brekingshoek hangt af van de verhouding van de brekingsindices in de 2 media: de wet van SNELLIUS n1 sin θ1 = n2 sin θ2
(29.4)
Lichtstralen die van een medium met een lagere brekingsindex overgaan naar een medium met hogere brekingsindex, zullen een brekingshoek vertonen die kleiner is dan de inkomende hoek (bijvoorbeeld van lucht naar water) of omgekeerd (bijvoorbeeld van glas naar lucht).
29.5
Lenzen
Lenzen maken gebruik van deze breking om licht te focusseren. Parallel licht wordt geconcentreerd in een klein focal punt alvorens weer te divergeren (brandpunt). De afstand van het centrum van de lens tot het punt waar het licht samenkomt wordt de brandpuntsafstand (focal length), f, genoemd. Dit heeft 2 medische toepassingen: • Licht kan gefocusseerd worden in een klein punt zodat de intensiteit weefsels kan beschadigen (zie laser chirurgie). • Licht kan worden gemanipuleerd om beelden te vergroten (microscopen).
85
Positieve lens >< Negatieve lens Lenzenformule:
1 1 1 = + f b v
(29.5)
• f: brandpuntsafstand • b: beeldfstand • v: voorwerpafstand Wet van Snellius en meetkunde geeft de ’lenzenmakersformule’: 1 1 1 = (n − 1) − f R1 R2
(29.6)
• A: optische as • R: kromtestraal • d: dikte • F: brandpunt • f: brandpuntsafstand • n: brekingsindex Een lichtstraal uitgezonden door een voorwerp (op voorwerpafstand d0 ) die door het centrum van de lens gaat, wordt niet gebroken (straal 1 in de figuur). Een lichtstraal uitgezonden door hetzelfde punt maar die evenwijdig gaat aan de as van de lens (straal 2 in de figuur), wordt gebroken zodat ze de as van de lens snijdt op de brandpuntsafstand f. Een lichtstraal uitgezonden door hetzelfde punt dat de as van de lens snijdt op brandpuntafstand f voor de lens, wordt gebroken zodat ze parallel komt met de as (straal 3 in de figuur). Het resultaat is dat alle lichtstralen uitgezonden door hetzelfde punt van een object op afstand do , samenkomen in hetzelfde punt (focusseren) op afstand di (de beeldafstand). Lichtstralen afkomstig van een bepaalt punt van het origineel object worden door de lens gefocusseerd in een nieuw punt. De locatie van dit nieuw punt is verschillend voor verschillende punten van het object. Op deze wijze wordt de vorm van het object bewaard: het reëel beeld (real image): ’reëel’ omdat je dit beeld kan zien/projecteren op een scherm. Een spiegebeeld noemen we een virtueel beeld, en kan niet worden geprojecteerd op een scherm (dit virtueel beeld, wordt terug reëel beeld op het netvlies).
86
29.6
Het oog
In het oog vormen het hoornvlies (cornea) en de ooglens samen een lens om beelden te vormen op het netvlies. (met een beeldafstand van 0,017m). De ooglens heeft een veranderlijke brandpuntsafstand die kan worden ingesteld door de oogspieren. Voor grote afstanden, tussen oneindig en een 6-tal meter, ziet het oog scherp met de ooglens in rusttoestand. De beeldafstand (b of d1 ) is dan gelijk aan de brandpuntsafstand (f): 1 1 = b f Om voorwerpen op dichtere afstanden te zien moet de brandpuntsafstand van de ooglens dynamisch worden aangepast. In plaats van te werken met brandpuntsafstand f = 0,017m, werkt men met 1/f, uitgedrukt in dioptrie (D): 59D. Een jong, gezond oog heeft een dynamisch bereik van 30D, bij ouder worden kan dit verminderen tot 3D. • Hyperopie: Neem een leesafstand van 33 cm, dan is de normale dioptrie voor het oog 62D. Stel het bereik is verschoven tot 59D op leesafstand, dan moet men een bril met dioptrie +3D (convergerende lens) gebruiken om dit te corrigeren. • Myopie: indien men problemen heeft om objecten op grotere afstand scherp te zien, moet men een divergerende lens dragen met bijvoorbeeld -1D. Plaatsen we 2 lenzen achter elkaar (e.g. ooglens en brilglas). Als de afstand tussen de 2 lenzen verwaarloosbaar klein is t.o.v. de brandpuntsafstanden: 1 1 1 1 1 = + = + fcomb vcomb bcomb f1 f2 De lenssterkte (dioptrie): S=
29.7
1 −→ Scomb = S1 + S2 f
Lichtpijpen maken: optical fibers
Beschouw de volgende figuur, waarin het licht beweegt van een medium met hoge brekingsindex (glas, n=1,5) naar lage brekingsindex (lucht, n=1,00), steeds met een toenemende invalshoek. Het gereflecteerde licht maakt steeds een hoek gelijk aan de invalshoek. Het gerefracteerde licht maakt steeds een hoek die groter is dan de invalshoek. Op een gegeven moment wordt een invalshoek bereikt waarbij de de gerefracteerd straal een hoek van 90◦ maakt. Als de invalshoek nog toeneemt, kan er geen gerefracteerd straal meer zijn (het licht zou terug naar binnen keren): 87
AL HET INKOMENDE LICHT WORDT GEREFLECTEERD. Dit noemen we totale interne reflectie (total internal reflection). Voor deze groep van hoeken, wordt het licht gereflecteerd als het ware van een perfecte spiegel. We kunnen nu weer de wet van Snellius gebruiken om die invalshoek te berekenen van waar we die total interne reflectie verkrijgen: de kritische hoek, θcrit . Voor alle hoeken θ1 groter dan θcrit , zal er geen refractie optreden. Dit is de wet van Snellius waarbij sin θ2 = sin 90◦ = 1, 00 en n1 > n2 . n2 −1 θcrit = sin n1 Uiteraard werkt dit principe niet als licht beweegt van een medium met lage brekingsindex naar een medium met hoge brekingsindex. Voorbeeld voor glas en lucht: 1, 00 −1 θcrit = sin = 42◦ 1, 50 Al het licht dat vanuit glas invalt op lucht met een hoek groter dan 42◦ , wordt volledig gereflecteerd op deze glas-lucht overgang. Beschouwen we nu een glazen staaf in lucht. Tenzij de staaf heel scherp gebogen is, zal het licht bij elke incidentie steeds binnen het gebied van totale reflectie blijven (zelfs als de staaf gebogen is). • Fiber optic 1: we maken de lichtbuisjes heel fijn: het licht dat binnenvalt zal altijd een hoek hebben groter dan de kritische hoek. Het licht botst verschijdene malen tegen de wand om uiteindelijk aan het einde naar buiten komen. Aangezien er steeds totale reflectie is, is er ook bijna geen afname van de intensiteit. • Fiber optic 2: we maken de lichtbuisjes heel fijn: glas wordt veel minder breekbaar als het in dunne buisjes wordt uitgerokken, en kan dus heel flexibel worden en rond bochten worden gebogen. • Fiber optics 3: om er voor te zorgen dat het glas altijd omgeven is door een materiaal met lagere brekingsindex (om total reflectie te garanderen), worden de busjes omgeven door een coating met lagere brekingsindex: cladding. Optische fiber: We maken een bundel van optische fibers, waarbij elk bundeltje het licht efficiënt kan laten doorstromen. Als de onderlinge oriëntatie van de bundels heel nauwkeurig wordt behouden t.o.v. de buren, zodat het patroon van de fibers hetzelfde is bij uitgang als bij ingang, kan een beeld worden gereconstrueerd: we noemen de optische bundel coherent (image conduit). Als de glazen fibers willekeurig door elkaar worden samengebundeld, kan er geen beeld worden gereconstrueerd: we noemen deze bundels incoherent. 88
Binnen elke fiber wordt het beeld uiteraard wel verstoord (zoals in een spiegelende buis). Dus de resolutie van het beeld dat gereconstrueerd wordt door de fibers is niet beter dan de doorsnede van de fibers zelf. Het beeld wordt dus samengesteld uit stippen, elke stip komt overeen met een fiber: cf. digitale beeldvorming, ’picture elements’ of pixels. Sommige endoscopen maken gebruik van optische fibers voor beeldvorming (sommige maken gebruik van een CCD camera op de tip, komt eigenlijk op hetzelfde neer door een rooster van optische elementen te gebruiken), maar ALLE endoscopen maken gebruik van optische fibers om het object te verlichten! Zoals eerder werd vermeld, bepaalt de doorsnede van de fibers de resolutie. Tegenwoordig kan men fibers maken met een doorsnede van enkele microns (1/100ste van de diameter van menselijk haar) met bundels van meerdere (10)duizend fibers. De grens van de resolutie wordt echter bepaald door de golflengte van zichtbaar licht. • Voordelen: zie eerder • Nadelen: het beeld is slechts 2D (geen diepte zicht), en dit vergt training. • Alternatieven: Video capsule • ’Toekomst’: – Robot chirurgie (e.g. da Vinci) – Integratie van CT en MRI informatie (e.g. neuronavigatie) – Telemedicine (e.g. ruimte, oorlogsgebieden, ...) – Natural Orifice Translumenal Endoscopic Surgery.
89
Hoofdstuk 30
Lasers • Wat is een laser? • Interactie van licht met weefsels • Photocoagulatie • Photovaporizatie • Selectieve absorptie en laserchirurgie Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation 2 speciale eigenschappen: • Een fijne lichtbundel met hoge intensiteit • Een lichtbundel met slechts 1, pure kleur (golflengte) ... by the way: in medische toepassingen wordt het laser light meestal ’vervoerd’ door ... optische fibers
30.1
Wat is licht?
Elektromagnetische straling: voortplanting van wisselingen in sterkte van het elektromagnetisch veld (zie EM en beginselen stralingsfysica ...) Deze EM golven kunnen een oscilerende kracht uitoefenen op atomen en moleculen en chemische bindingen beïnvloeden (vergelijk met een kurk op het water). Radiogolven, warmte, licht, UV, röntgen, ... allemaal uitingsvormen van hetzelfde fundamentele verschijnsel: elektromagnetische straling.
90
Figuur 30.1: The Dark Side of the Moon
30.2
Algemene eigenschappen
Wat onze ogen ’zien’ als wit licht is eigenlijk een mengsel van verschillende golflengten van licht (kleuren). • Golflengte 630 nm: rood • Golflengte 420 nm: blauw Deze verschillende golflengtes hebben een verschillende snelheid in een prisma ... wit licht splitst in de kleuren van de regenboog ... Elektromagnetische golven verplaatsen zich in een vacuüm met een snelheid die ALTIJD dezelfde waarde heeft (lichtsnelheid c): c = 3 × 108
m s
(30.1)
Het verband tussen golflengte λ en de frequentie ν wordt gegeven door: c=λ×ν
(30.2)
Stralingsenergie wordt getransporteerd in pakketjes met een vaste grootte, de stralingsenergie is gequantiseerd. De energie van 1 pakketje (foton) is evenredig met de frequentie van de golf. Ef oton = h × ν = h × c × λ−1
(30.3)
de evenredigheidsconstante, constante van Planck: h = 6, 63 × 10−34 Js 91
(30.4)
Dit is het verband tussen de deeltjesbenadering en golfbenadering. Laten we nu de energie van verschillende fotonen vergelijken met de bindingsenergie tussen 2 C-atomen: 6 × 10−9 J X-stralen (λ = 0, 02nm) en UV fotonen hebben dus voldoende energie om chemische bindingen te breken (zie stralingsfysica). Microgolven (λ = 0, 1cm) en zichtbaar licht (λ = 500nm) hebben niet voldoende energie om bij absorptie chemische veranderingen op te wekken. Deze laatste golven kunnen dus enkel invloed hebben op weefsel door opwarming!
30.3
Golf-deeltje dualiteit: interferentie
• Fotonen: Toen men vast wilde stellen hoeveel energie er wordt getransporteerd met EM golven van een welbepaalde golflengte, bleek dat deze hoeveelheid NIET oneindig klein kon worden. Het is alsof stralingsenergie getransporteerd wordt in PAKKETJES met een vaste grootte (’gequantiseerd’). Zo’n pakketje noemt men een FOTON. • Elektronen: Werden historisch gezien als deeltjes, later ontdekte men dat zij zich in vele opzichten gedroegen als golven. Elektronen gedragen zich net zoals licht ...
30.4
Werking laser
Karakteristieke X-straling: Als elektronen van een schaal met hogere energie terugvallen naar een schaal met lagere energie, gaat dit gepaard met het uitzenden van een foton met een welbepaalde energie (EM straling). De energie van het uitgezonden foton is exact gelijk aan het verschil in bindingsenergie van beide elektronenbanen. Dit kan zichtbaar licht zijn (valentieelektronen), of als de energie hoger is dan 100 eV karakteristieke X-stralen. Aangezien de waarde van deze energie karakteristiek is voor de betreffende atoomsoort, wordt gesproken van karakteristieke straling. Elektronen kunnen enkel bepaalde energieën hebben in hun positie rond de kern (orbitalen). De elektronen kunnen dus energie winnen of verliezen in discrete stappen (quanta) ∆E. Een elektron kan dus enkel energie uitwisselen met de omgeving in hoeveelheden ∆E. Als een elektron energie absorbeerd en naar een hoger energieniveau gaat: excitatie. Excitatie kan door de interactie van een lichtfoton OP VOORWAARDE dat dit foton exact de energie ∆E heeft (dus de corresponderende golflengte), niet meer, niet minder! Als het elektron terugvalt naar een lagere energie, zal het exact diezelfde energie terug afgeven in de vorm van foton. Elektronen die horen bij een bepaalt atoom kunnen fotonen absorberen en uitzenden met energie die gelijk is aan de verschillen in bindingsenergie. Deze golflengtes zijn de vingerafdruk van een atoom.
92
Bijvoorbeeld Natrium gas straatlampen zenden het typische gele licht uit omdat de overgang tussen bindingsenergieën van 2 valentie-elektronenorbitalen overeenkomt met de golflengte van geel licht. Om dezelfde reden, zal als men een Natrium gas beschijnt met wit licht, enkel het gele licht worden geabsorbeerd. Voorwaarde voor de werking van een laser: • Stimulated emission – Synchronization in energy – Synchronization in phase – “temporal coherence” • Population inversion – Pumping • Optical resonance cavity – Optische versterking We nemen als voorbeeld een HeNe gas laser • Stimulated emission: – Spontane emissie: Als een elektron in een geëxciteerde toestand zit, zal het uiteindelijk terugvallen naar de grondtoestand en een foton uitzenden. Voorbeeld: een klassieke lamp De elektronen worden geëxciteerd naar verschillende energieniveau?s en bij het terugvallen naar lagere niveau’s worden fotonen met verschillende energie uitgezonden: ’wit’ licht. – Gestimuleerde emissie: Het geëxciteerde elektron kan ook gestimuleerd worden om terug te vallen naar de grondtoestand door een foton dat ’toevallig’ voorbij komt. – Dit foton moet wel exact dezelfde energie hebben als het verschil tussen de geëxciteerde energietoestand en de grondtoestand: we krijgen een resonantie. – Het uitgezonden foton heeft dan exact dezelfde energie als het voorbijkomend foton EN beide fotonen bewegen in dezelfde richting EN in fase. (quantumfysica): TEMPORAL COHERENCE. (resultaat: een enkele pure golflengte) • Population inversion: – Probleem: Zowel de spontane als de gestimuleerde emissie gebeuren door elkaar, en helaas zal een inkomend foton eerder worden geabsorbeerd dan dat het een emissie stimuleert.
93
– Oplossing: Er voor zorgen dat er veel elektronen in een geëxiteerde toestand zitten, zodanig dat er veel gestimuleerde emissies kunnen plaatsvinden. – Dit noemen we ’pumping’ waarbij we een ’population inversion’ creëren. – Pumping: Het mengsel He-Ne wordt opgewarmd door een elektrische stroom. Door botsingen exiteren elektronen in de He-atomen, 1 van de mogelijke energieniveau’s is ’lang levend’ of metastabiel. ’Toevallig’ is dit energieniveau gelijk aan een energieniveau in het Ne- atoom, zodat als een He elektron terugvalt vanuit deze metastabiele toestand naar grondniveau, dit een elektron exiteert in het Ne-atoom. Het geëxiteerd Ne-elektron zal ... op termijn spontaan terugvallen naar een lagere energietoestand wat gepaard gaat met uitzenden van een foton met golflengte λ = 632, 5nm (rood licht). Maar er zullen steeds meer elektronen worden geëxiteerd (pumping) dan er vervallen (population inversion). Deze Ne-elektronen die spontaan vervallen, zullen anderen stimuleren ... en we zijn vertrokken. Aangezien er telkens nieuwe worden ’bijgepompt’ is er geen tekort aan elektronen om te stimuleren. • Resonating cavity: – De laatste noodzakelijke voorwaarde, versterking van het signaal. – We willen dat alle fotonen in dezelfde richting vliegen, hiervoor maken we gebruik van een caviteit die bestaat uit 2 spiegels zodat enkel de fotonen die loodrecht op de spiegel invallen worden teruggekaatst (de anderen verdwijnen). – Dit heeft als voordeel: de fotonen stimuleren weer andere elektronen ... versterking. – De fotonen hebben dezelfde golflengte, bewegen allemaal in fase, in dezelfde richting, in een fijne bundel en versterken elkaar. – Typisch is er een winst van 5% per ’reflectie’ (met 200 reflecties krijgen we zo 17000 maal meer fotonen), als we nu een spiegel maken die 1-2% doorlaat, hebben we nog steeds versterking zonder het proces te stoppen. (de verloren energie wordt gecompenseerd door de elektriciteit om het gas op te warmen) Het actieve medium: • Gas: – HeNe – Argon – ... 94
Figuur 30.2: Rode (635 nm), groene (532 nm) en blauw-violette (445 nm) lasers • Vloeistof (Dye lasers) • Vaste stof (diode lasers)
30.5
Vermogen (zie hdstk krachten)
d~s dW = F~ (30.5) dt dt Vermogen (P) is een maat voor de snelheid waarmee arbeid wordt verricht. (P verwijst naar het Engelse ’Power’). Vermogen: arbeid per tijdseenheid P =
• Arbeid is kracht × verplaatsing • Vermogen is kracht × snelheid De eenheid van vermogen: 1Watt = 1 J/s
30.6
Interactie van licht met weefsels
Fotonen zijn pakketjes energie, deze energie kan worden omgezet in andere vormen van energie (warmte, chemische bindingen ...). Laserlicht kan schade
95
veroorzaken aan weefsels omdat de energie wordt overgedragen door absorptie of verstrooiing. Herinner definitie van temperatuur: Ekin (trillingsenergie van atomen en moleculen). Licht zal dus de trillingen doen toenemen. De hoeveelheid schade die licht kan veroorzaken, hangt dus af van de hoeveelheid energie die wordt overgedragen per tijdseenheid. Vermogen (power): een maat voor de snelheid waarmee energie wordt overgedragen door het licht. P =
dE dW = dt dt
(30.6)
Maar, lasers hebben meestal weinig vermogen, typisch 1 mWatt, terwijl een gewone gloeilamp 100 Watt kan zijn. Bij een gewone lamp, wordt slechts enkele Watt omgezet in licht, de rest is warmte. Bij een laser spelen 2 ander belangrijke factoren mee: • De intensiteit (hoge concentratie in klein punt) • De golflengte (absorptie hangt af van golflengte ... kleur!)
30.7
Lasers en coherentie
Als je een gloeilamp aansteekt verlicht het hele lokaal omdat het licht uniform in alle richtingen wordt uitgezonden. Een laser zal enkel een punt verlichten, dus ook al straalt de laser minder licht uit, het is geconcentreerd in een punt. Bij lasers in chirurgie gaan we dan ook spreken van vermogen en intensiteit en golflengte. Vermogen (power): E =P ×t (30.7) Aangezien hetzelfde vermogen verdeeld kan worden over een groot of een klein oppervlakte, definiëren we intensiteit als het vermogen geleverd per oppervlakteeenheid. Intenstiteit of vermogen densiteit: I=
Plaser A
(30.8)
We zien 2 laserspots met hetzelfde vermogen, maar verschillend vermogen densiteit (intensiteit). In het 2de geval worden er meer fotonen geabsorbeerd door het centrale gedeelte. Een ander begrip is Fluentie: de totale energie geleverd door de laserbundel gedeeld door de verlichte oppervlakte, met t de ’belichtingstijd’: F =
E P ×t = =I ×t A A
(30.9)
Lenzen kunnen het laserlicht nog meer concentreren en dit effect wordt versterkt door de coherentie (parallelle lichtbundels) van de laser. 96
De diameter van de lichtspot wordt gelimiteerd door de ’parallelheid’ van de bundels, de focale lengte van de lens en de golflengte. Dit is trouwens ook een van de redenen waarom het een slecht idee is om in het zonlicht te kijken, en zeker een slecht idee om in een laser te kijken: onze ooglens focusseert dit licht op ons netvlies.
30.8
Intensiteit en warmteafvoer
In 1946 had oftalmoloog Gerd Meyer-Schwickerather reeds losgekomen netvlies behandeld door het zonlicht (later hoog vermogen Xe-lampen) te focusseren op het netvlies. Probleem: door de lage intensiteit waren lange belichtingstijden noodzakelijk en de warmte verspreidde zich naar omliggende regio’s, met veel pijn tot gevolg! Warmte is trilling, atomen zetten deze trilling over, warmte ’vloeit’ (’heat flow’). De relaxatietijd geeft aan na hoeveel tijd de warmtestroom de oorsrponkelijk warmte toename heeft gehalveerd. Intensiteit Resultaat Laag (<10 Watt/cm2 ) Zachtjes opwarmen Gemiddeld (10-100 Watt/cm2 ) ’Photocoagulation’ Hoog (>100 Watt/cm2 ) ’Photovaporization’
30.9
Photocoagulation
Koken met licht: photocoagulation De energie van de laser wordt overgedragen in de vorm van warmte naar bloed, weefsel, bot, ... Proteïne of eiwit bestaat uit een geordende keten van aminozuren. • Voorbeeld: het zuurstofdragende myoglobine Warmte-geïnduceerde desoriëntering van proteïnen: coagulatie. Rood vlees wordt door coagulatie grijs-bruin omdat de zuurstofdragende proteïnen hemoglobine en myoglobine de mogelijkheid verliezen om te binden met zuurstof. Structuureiwitten zoals collagenen worden beschadigd en zijn makkelijker uit elkaar te trekken (kouwen). Photocoagulation burns, hebben 2 voordelen: • Tumoren vernietigen en netvliesbeschadigingen herstellen • Hemostatische coagulatie: bloedvaten krimpen samen en de bloedtoevoer wordt gestopt.
30.10
Photovaporization
Snijden met licht: photovaporization
97
In dit geval worden hoge intensiteiten gebruikt zodat heel snel temperaturen boven het kookpunt van water (>100◦ C) worden bereikt. Aangezien weefsel voornamelijk uit water bestaat, wordt weefsel omgezet in gas. Dit laat toe kleine insnijdingen te maken of laagjes weefsel te verwijderen. Bovendien treedt er photocoagulatie op aan de randen, zodat er ook geen bloedingen zijn. Meestal wordt met een vaste spotgrootte gewerkt (afhankelijk van de doelstelling), en gebruikt men een variabele intensiteit om de diepte te bepalen. Hier is een delicate balans nodig omdat de laser dieper kan ’snijden’ dan wat gezien wordt in tegenstelling tot een scalpel. Hoge laserintensiteiten in het UV gebied, kunnen chemische bindingen breken zonder op te warmen: photoablation.
30.11
Meer vermogen: pulsen
Als we het laserlicht de resonantiecaviteit niet uitlaten, zal de populatie-inversie toenemen tot hoge waarden (de Q-waarde van de caviteit). Door de lichtdoorlaatbaarheid van de caviteit aan en uit te schakelen (Qswitches) kunnen we korte pulsen (typisch enkele nanoseconden) van hoge intensiteit verkrijgen. Epulse (30.10) Pi = tw Met Epulse de energie per puls, tw de duurtijd en Pi het instantane vermogen.
30.12
Lasers en kleur
Als lasers weefsel willen beschadigen, moet het licht (en dus de energie) eerst geabsorbeerd worden. We weten dat water redelijk transparant is voor licht. Hoe kan weefsel dat voornamelijk uit water bestaat, dan licht absorberen? Het antwoord: KLEUR Licht bestaat uit verschillende golflengtes. De kleur van een object wordt bepaald door het feit dat sommige golflengtes worden geabsorbeerd en anderen niet. De golflengte die wordt geabsorbeerd zien we NIET, de golflengte die wordt gereflecteerd (of doorgelaten) is de kleur die we zien. Een wit object reflecteert alle licht. Een zwart object absorbeert alle licht (dit is waarom onze pupil zwart is, al het licht blijft binnen). Een rood object absorbeert groen, blauw, geel ... licht, en is sterk reflecterend voor rood licht Dus als een laser energie op een effectieve wijze wil overdragen aan weefsel, moet dat weefsel licht van die golflengte effectief absorberen! We hebben eerder gezien dat lichtabsorptie wordt bepaald door de energie van de elektronenorbitalen in een atoom. In een molecule of kristal verkrijgen we nieuwe energie’banden’ die iets meer gecompliceerd zijn. Meestal kosten de overgangen van grondtoestand naar een hogere energietoestand meer energie in moleculen. Hogere energie wil zeggen kortere golflengte.
98
Bijvoorbeeld: Natrium absorbeert voornamelijk geel licht, maar NatriumChloride absorbeert voornamelijk UV licht. Dus al het zichtbaar licht wordt gereflecteerd en zout is wit. Met een spectrophotometer kunnen we het absorptiespectrum van een willekeurige stof bepalen. De absorptie-eigenschappen van moleculen in weefsels kunnen dus helpen om lasers te vinden die opereren in een golflengtegebied dat voornamelijk wordt geaborbeerd door het weefsel. Bijvoorbeeld, het rode licht van een Krypton laser zal voornamelijk geabsorbeerd worden in het pigment epitheel en choroid laag van het netvlies, na schadeloos door de andere lagen gepaseerd te zijn. Het groen Argon licht is minder specifiek. Als licht door weefsel gaat, neemt de intensiteit af met de diepte. De intensiteit neemt ook af met de concentratie van absorberend materiaal (en dus ook van de golflengte!). De intenstiteit neemt voor elke mm weefsel af met eenzelfde fractie: exponentieel! (zie later).
30.13
Toepassingen
• Oximeter: Hemoglobine gebonden aan zuurstof (oxyhemoglobine) absorbeert vooral kortere golflengte en rood bijna niet: dus rood! (arterie) Hemoglobine NIET gebonden aan zuurstof (deoxyhemoglobine) absorbeert blauw licht minder: dus purper! (venen) De oximeter bestaat uit 2 LEDs met rood licht (660nm) en infrarood licht (905-940nm). Het verschil in absorptie is een maat voor de verhouding oxyhemoglobine-deoxyhemoglobine • Dermatologie: Gebruik maken van de de specifieke absorptie van de inkt. Bij wijnvlekken, gebruik maken van de verhoogde absorptie van bloed. • Oogchirurgie • Fotodynamische therapie in oncologie: de term ’Fotodynamische Therapie’ komt van het Engelse ’Photo Dynamic Therapy’, afgekort als PDT. Bij deze behandeling krijgt u via een injectie een stof toegediend die uw hele lichaam direct lichtgevoelig maakt. Deze stof hecht zich ook aan de tumorcellen en als de tumor met een laserstraal belicht wordt, onstaat er een chemische reactie waardoor de tumor weggebrand wordt. De stof, Foscan genaamd, maakt het gehele lichaam zeer gevoelig voor zowel kunstals daglicht. Blootstelling aan licht kan leiden tot verbranding van de huid, zoals we kennen van zonnebaden: van roodheid tot blaren tot losse vellen. Om dit te voorkomen moet u tot twee weken na de injectie binnen blijven of kunt u alleen volledig beschermd naar buiten gaan. Als u naar het buiten gaat, moet u uw gehele lichaam bedekken - dus ook uw gezicht. Na twee weken kunt u stapsgewijs aan daglicht wennen. • Diffusive Optical Imaging
99
30.14
Voor- en nadelen
+ Fijne chirurgie met weefselspecificiteit is mogelijk + Hemostatische coagulatie: geen bloedingen tijdens chirurgische ingreep. - Een ’beetje’ duurder als een scalpel, toestel wordt gebruikte door meerdere personen, mobiliteit beperkt. - Vergt extra training van arts (veel oefenen op vlees, fruit ...) - Bijkomende risico’s zoals bijvoorbeeld bij vaporizatie waar maligne cellen of virussen (wratten) gebruik maken van damp om zich elders te vestigen. The time is gone, the song is over, thought I’d something more to say ...
100
