1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS Academiejaar 2002-2003
BIOFYSICA: WERKZITTING 10 (Oplossingen) THERMOFYSICA
Oefening 2 (p49) Met een stalen rolmeter meten we bij 10 ◦ C de lengte van een koperen staaf. De gemeten lengte is 120 cm. Welke lengte zullen we meten bij een temperatuur van 40 ◦ C ? In de beginsituatie vergelijk je een koperen staaf met een stalen rolmeter. De meeteenheid van de rolmeter is precies 1 meter, en de koperen staaf past 1,20 keer in die meeteenheid (dit is net de definitie van het meten met een rolmeter). Bij het berekenen van de nieuwe lengte moet je echter rekening houden met de uitzetting van de koperen staaf en de stalen rolmeter. 1,20 m 10 °C 1,00 m 40 °C Figuur 1: Bij het opwarmen zetten zowel de koperen staaf als de rolmeter uit, dus moet je nu berekenen hoeveel keer de opgewarmde koperen staaf in de opgewarmde rolmeter past.
De uitzetting van een object wordt gegeven door de formule: ∆l = l0 α∆T
of
l = l0 (1 + α∆T )
Hierbij is ∆T = T − T0 het temperatuurverschil,l de lengte bij temperatuur T , l0 de lengte bij temperatuur T0 en α de lineaire uitzettingsco¨effici¨ent: αko = 1, 7 10−5 K −1
αst = 1, 2 10−5 K −1
De nieuwe lengte van de koperen staaf is gegeven door: lko = l0,ko (1 + αko ∆T ) = 1, 20 · (1 + 1, 7 · 10−5 · 30) ≈ 1, 20061 m
1
De nieuwe lengte van de rolmeter is gegeven door: lst = l0,st (1 + αst ∆T ) = 1, 00 · (1 + 1, 2 · 10−5 · 30) ≈ 1, 00036 m Je leest op de rolmeter het aantal keer af dat de staaf in de rolmeter past. Dit aantal is net gegeven door: laf gelezen =
lko 1, 20061 ≈ 1, 20018 m = lst 1, 00036
Oefening 5 (p49) Een ideaal gas met een volume van 1 l bij een druk p1 = 1, 03 105 Pa en een temperatuur van 18 ◦ C wordt samengedrukt tot een volume van 0,6 l. De nieuwe druk is het dubbel van de initi¨ ele druk. Wat is de temperatuur van het gas ? Noteer: V1 = 1 l
V2 = 0, 6 l
p1 = 1, 03 105 Pa
p2 = 2p1
◦
T1 = 18 C Het gas dat samengedrukt wordt is een ideaal gas; of het gas nu samengedrukt wordt of niet verandert niets aan dit feit. Je kan dus voor de begin- en eindtoestand de ideale gaswet neerschrijven: p1 V1 = n1 RT1
p2 V2 = n2 RT2
Aangezien het gas enkel samengedrukt wordt, blijft het aantal deeltjes (en dus ook het aantal mol) constant. Je kan de twee vergelijkingen dus aan elkaar linken met n1 = n2 : p1 V1 p2 V2 ⇔ = n1 = n2 RT1 RT2 Oplossen naar de gezochte eindtemperatuur T2 levert: T2 = T1
2p1 0, 6 p2 V2 ≈ 349, 4 K = (18 + 273, 15) p1 V1 p1 1
Normaal moet je alle volumes in m3 (kubieke meter) uitdrukken, maar omdat je hier een verhouding van volumes neemt, mag je ook de hoeveelheden in liter uitdrukken: het verband tussen het volume in liter en m3 is van de vorm #m3 = (constante) · # liter. De constante verdwijnt bij het nemen van een verhouding.
2
Oefening 11 (p50) Een fles met volume een liter bevat een hoeveelheid helium bij 300 K. Men voegt een gelijke hoeveelheid helium toe en meet de einddruk: deze is 1,5 keer de originele waarde. Wat is de eindtemperatuur ? Noteer de gegevens: V1 = 1 l
V2 = 1 l
p1
p2 = 1, 5p1
n1
n2 = 2n1
T1 = 300 K Je hebt hier weer een ideaal gas in beide omstandigheden: p1 V1 = n1 RT1
p2 V2 = n2 RT2
Het verband tussen beide vergelijkingen is hier dat het volume constant gehouden wordt. Oplossen naar V1 en V2 en gelijkstellen levert: n2 RT2 n1 RT1 = p1 p2 De ongekende eindtemperatuur T2 is dan gegeven door: T2 = T1
3 n 1 p2 = T1 = 225 K n 2 p1 4
Oefening 14 (p50) Een bad wordt gevuld met 90 l water van 70 ◦ C. Men voegt water van 20 ◦ C toe zodat het badwater een temperatuur van 40 ◦ C zou hebben. De warmtecapaciteit van het bad is 30 kJ/K. Hoeveel water moet men toevoegen ? Je mag hier aannemen dat het bad met het water een thermisch ge¨ısoleerd systeem is. Aangezien er voor zulke systemen geen warmte-uitwisseling met de omgeving is, kan je dus neerschrijven dat: ∆Qtot = 0 De totale warmte-uitwisseling kan je opsplitsen in een aantal termen. Als je het ”koude”water (van 20◦ C) toevoegt, vloeit er warmte van het warme water (op 70◦ C) naar het koude water, en er vloeit warmte van het bad (ook op 70◦ C) naar het koude water. Bovendien neemt het koude water deze warmte op, dus de totale warmte-uitwisseling bestaat uit drie termen: ∆Qtot = ∆Qwarm
water
+ ∆Qkoud 3
water
+ ∆Qbad = 0
bad op 70 °C
bad op 40 °C
90 l op 70 °C (90+x) l op 40 °C x l op 20 °C
Figuur 2: In de beginsituatie heb je een systeem dat niet in thermisch evenwicht is; door warmteuitwisselingen zal het systeem evolueren naar een thermische evenwichtstoestand.
De warmte-uitwisseling kan je neerschrijven in termen van de warmtecapaciteit Cobj van het object: Cobj = mcobj ∆Q = Cobj ∆T Hierbij is m de massa van het object, en cobj de soortelijke warmtecapaciteit. In dit geval krijg je voor elk van de termen: ∆Qwarm water = mww cwater ∆T = mww cwater (40 − 70) ∆Qkoud water = mkw cwater ∆T = mkw cwater (40 − 20) = Cbad ∆T = Cbad (40 − 70) ∆Qbad Invullen levert: −30mww cwater + 20mkw cwater − 30Cbad = 0 Oplossen naar de onbekende massa van het koude water, mkw , levert: mkw =
30(mww cwater + Cbad ) ≈ 146 kg ≈ 146 l 20cwater
4
Oefening 16 (p50) Een blokje ijs met massa 50 g, oorspronkelijk op een temperatuur van -18 ◦ C wordt in een piepschuimen bekertje met 300 g water van 22 ◦ C geworpen. Wat is de eindtemperatuur van het water als er geen warmteoverdracht naar het piepschuimen bekertje of de omgeving is ? Je hebt weer een thermisch ge¨ısoleerd systeem, dus de totale warmte-uitwisseling met de omgeving is nul: ∆Qtot = ∆Qijs + ∆Qwater = 0 Om nu ∆Qijs en ∆Qwater te bepalen, moet je eerst een aanname maken over het al dan niet aanwezig zijn van fase-overgangen bij het gaan naar de eindtemperatuur. Je kan een aantal situaties onderscheiden: 1. Het ijsblokje smelt, het water blijft water. In deze situatie tref je in de eindsituatie bij eindtemperatuur T enkel nog water aan. Als het ijsblokje smelt, dan zijn er in totaal drie bijdrages aan ∆Qijs : • Eerst en vooral moet je het ijs opwarmen tot (ongeveer) 0◦ C; dit geeft een bijdrage ∆Q = mijs cijs ∆T = mijs cijs 0 − (−18) • Daarna moet je het ijs smelten. Hiervoor moet je een bepaalde hoeveelheid warmte/energie toevoegen die gegeven is door de smeltwarmte: ∆Q = mijs ls,ijs • Tenslotte moet je het (ijs)-water opwarmen tot de eindtemperatuur: ∆Q = mijs cwater ∆T = mijs cwater (T − 0) Je vindt dus in totaal: ∆Qijs
= 18mijs cijs + mijs ls,ijs + mijs cwater T
∆Qwater = mwater cwater (T − 22) Optellen en oplossen naar de onbekende eindtemperatuur T levert: T =
22mwater cwater − mijs (18cijs + ls,ijs) ≈ 6, 2◦ C (mijs + mwater )cwater
5
2. Het ijsblokje smelt niet, het water blijft water. In dit scenario blijft het ijsblokje ijs, terwijl het water gewoon water blijft. Dit is een onmogelijk scenario aangezien de eindtemperatuur ofwel positief is (dan moet het ijsblokje smelten) ofwel negatief (dan moet het water bevriezen).
3. Het ijsblokje blijft ijs, het water bevriest. In deze (onwaarschijnlijke situatie) zou het ijsblokje ervoor zorgen dat het water in het bekertje genoeg afkoelt om ijs te vormen. De hele eindtoestand is hier ijs. De berekening is dan volledig analoog aan de voorgaande berekening, alleen moet je nu in plaats van het smelten van het ijs het bevriezen van het water in rekening brengen. Om water te doen smelten moet je de smeltwarmte toevoegen, om water te doen bevriezen komt deze smeltwarmte terug vrij. Je moet dan in totaal: • Het water doen afkoelen tot 0◦ C. • Het water bevriezen (= de smeltwarmte doen vrijkomen) • Het ijs dat je bekomt verder afkoelen tot de eindtemperatuur Dit levert: ∆Qijs
= mijs cijs (T + 18)
∆Qwater = mwater cwater (0 − 22) − mwater ls,ijs + mwater cijs (0 − T ) Optellen en oplossen naar de onbekende eindtemperatuur T geeft: T =
mwater (22cwater + ls,ijs ) − 18mijs cijs ≈ −237◦ C (mijs − mwater )cijs
Dit resultaat is uiteraard niet fysisch mogelijk: je verwacht immers dat de eindtemperatuur tussen de -18◦ C en 22◦ C ligt. Dit scenario is dan ook niet het fysisch waargenomen scenario. Je kan dus concluderen dat het ijsblokje gaat smelten en dat uiteindelijk het drankje een eindtemperatuur van 6,2◦ C zal hebben.
6
Oefening 21 (p51) Een persoon loopt buiten, waar de temperatuur 17 ◦ C is. De temperatuur van de huis is 32 ◦ C. Hoeveel warmte verliest deze persoon door geleiding door de kledij gedurende een kwartier (de kledij is gemiddeld 5 mm dik en homogeen verdeeld over het lichaam met oppervlakte 1,5 m2 ) ? Neem aan dat de kledij vezels zijn (een verwaarloosbare hoeveelheid) die hoofdzakelijk lucht vasthouden. Door de verwarming in woningen wordt de lucht in de kamers op een aangename temperatuur (22 ◦ C) gehouden. De muren zijn meestal veel kouder, bijvoorbeeld 10 ◦ C. Neem aan dat een persoon naakt in een badkamer staat waarvoor bovenstaande temperaturen gelden. De temperatuur van de huid van de persoon is 32 ◦ C, de totale oppervlakte van de persoon effici¨ ent van stilstaande lucht is 0,7. Bereken het is 1,5 m2 . De convectieco¨ warmteverlies aan de buitenwereld van de persoon door convectie en door straling gedurende een kwartier. Je kan hier best gebruik maken van de formules van de warmtestroom: ∆Q = Iw ∆t waarbij Iw de warmtestroom is en ∆t de tijd (in seconden). Het warmteverlies door geleiding is gegeven door: ∆Q = Iw,gel ∆t ∆T ∆t = λA ∆x ≈ 95 kJ Hierbij moet je de warmtegeleidingsco¨effici¨ent λ van lucht gebruikt, de oppervlakte A als de lichaamsoppervlakte, het temperatuurverschil ∆T = (32 − 17) en de afstand waarover de geleiding gebeurt ∆x = 5 · 10−3 m. Het warmteverlies door convectie is: ∆Q = Iw,con∆t = kA∆T ∆t ≈ 21 kJ De convectieco¨effici¨ent k = 0, 7 wegens het gegeven, en het temperatuursverschil tussen de persoon en de muur (waarbij de tussenliggende lucht als convectiemedium gebruikt wordt) is ∆T = (32 − 10).
7
Voor straling weet je dat het uitgestraalde vermogen gegeven is door het verschil van het vermogen dat de straler zelf wegstraalt en het vermogen dat de straler absorbeert van de omgeving: 4 4 − σATomg Puit = σATsys Het uitgestraald vermogen geeft weer hoeveel energie er per seconde verloren gaat; de totale hoeveelheid energie (of warmte) die op een kwartier verloren gaat is derhalve gegeven door: ∆Q = Puit ∆t 4 4 − Tomg ∆t = σA Tsys ≈ 171 kJ Je mag hier aannemen dat de persoon een perfecte straler is, d.w.z. dat = 1.
Opmerking: Voor gewone temperatuurverschillen ∆T = T2 − T1 doet het er niet toe of je de temperatuur in graden Celsius of in Kelvin uitdrukt. Het verband is immers: TKelvin = TCelsius + 273, 15 Wanneer je het verschil neemt, verdwijnt de factor 273, 15. Wanneer je echter machten van temperaturen moet aftrekken, dan ben je steeds verplicht om alle temperaturen in Kelvin uit te drukken! Voor een macht geldt dit truukje immers niet meer (de term 273, 15 valt niet zomaar meer weg).
8
Oefening 23 (p51) Bereken de arbeid, de verandering van inwendige energie en de warmte uitgewisseld met de omgeving van een ideaal gas dat toestandsveranderingen ondergaat die weergegeven zijn in de figuur (a) voor de overgang van toestand i naar toestand f via 1 met Ti = 240 K. (b) voor de overgang van toestand i naar toestand f via 2 met Ti = 240 K. (c) voor de cyclus van een diatomisch ideaal gas, Cv = 52 R, waarbij BC een adiabatische overgang is. 1. Situaties (a) en (b) Je gaat van begintoestand i met Ti = 1000 K naar een eindsituatie f via de punten 1 of 2. p (Pa) 2 10
5
1 10
5
i
2
f
1
V (l) 5
15
Figuur 3: Een evolutie in het (p, V )-vlak. Je kan van toestand i naar toestand f gaan op allerlei verschillende manieren. Deze wegen zijn echter niet voor alle grootheden equivalent!
Voor enkele belangrijke grootheden kan je dan een expliciete uitdrukking afleiden: • De arbeid Wif die door het gas geleverd wordt bij het gaan van toestand i naar f . De totale arbeid kan je opsplitsen in twee deelbijdrages:
f
Wif = i
1
pdV =
pdV + i
f 1
pdV = Wi1 + W1f
Je hebt hier de regel van Chasles gebruikt om de integralen op te splitsen. Elk van de deelintegralen kan je eenvoudig berekenen: Wi1 = 0
9
aangezien bij de overgang van i → 1 er geen volumeverandering is: dV = 0. Voor de overgang van 1 → f vind je:
f
f p dV = p1 dV = p1 (Vf − V1 ) W1f = 1
1
aangezien de druk p constant is voor deze overgang (en gelijk aan p1 ). In totaal vind je: Wif,via
1
= Wi1 + W1f = 0 + p1 (Vf − V1 ) = (1 · 105 Pa)(10 · 10−3 m3 ) = 1 kJ
Op volledig dezelfde manier vind je voor de overgang van i naar f via de tussenliggende toestand 2: Wif,via
2
= Wi2 + W2f = p2 (V2 − Vi ) + 0
= (2 · 105 Pa)(10 · 10−3 m3 ) = 2 kJ Aangezien de arbeid verschillend is voor de verschillende wegen, kan je dus concluderen dat arbeid een wegafhankelijke grootheid is. • De inwendige energieverandering ∆U Bij het gaan van de toestand i naar f via de tussentoestand 1 krijg je als totale energieverandering: ∆Uvia
= ∆Ui1 + ∆U1f
1
= (U1 − Ui ) + (Uf − U1 ) = Uf − Ui Je ziet hier meteen dat de verandering van de inwendige energie niet afhangt van de gevolgde weg. De inwendige energie voor een ideaal gas kan je echter meteen neerschrijven: U=
3 3 nRT = pV 2 2
zodat je dus vindt: ∆U =
3 (pf Vf − pi Vi ) = 750 J 2 10
Aangezien de verandering van inwendige energie gelijk is voor de verschillende wegen, kan je dus concluderen dat inwendige energie een toestandsafhankelijke grootheid is. • De uitgewisselde warmte Om de uitgewisselde warmte te berekenen kan je hier (aangezien je de arbeid en de verandering van inwendige energie reeds berekend hebt) het behoud van energie gebruiken: ∆Q = W + ∆U Dit levert voor de twee mogelijke wegen: ∆Qvia 1 = Wif,via 1 + ∆U = 1750 J ∆Qvia
2
= Wif,via 2 + ∆U = 2750 J
Je kan hier dus concluderen dat het gas meer warmte afgeeft wanneer het via de tussenliggende toestand 2 gaat dan wanneer het via de toestand 1 zou gaan. Merk overigens op dat de eindtemperatuur in beide gevallen dezelfde is! Wegens de ideale gaswet is pV = nRT en aangezien het aantal mol behouden is krijg je dus pV ∼ T ; de druk en het volume zijn in de situatie f voor beide wegen hetzelfde, dus ook de temperatuur!
2. Situatie (c) 7
Je krijgt gegeven dat bij de overgang van B naar C de combinatie pV 5 constant is. De constante kan je bepalen door in een gekende situatie de combinatie te berekenen (bijvoorbeeld in het punt B): pV
7 5
7
= pB VB5
Je kan nu opnieuw de arbeid, de verandering van inwendige energie en de warmte-uitwisseling berekenen voor het doorlopen van de cyclus A → B → C → A: • De totale arbeid bij het doorlopen van de cyclus Je kan best de arbeid opsplitsen in drie deelbijdrages: Wtot = WA→B + WB→C + WC→A
11
p (Pa) C
7/5
pV = cte
1 10
5
B
A
V (l) 0,5
2,5
Figuur 4: De cyclus van een diatomisch ideaal gas. De overgang BC is een adiabatische overgang.
Voor elk van de drie bijdrages vind je:
VB = pdV W A→B VA = pA (VB − VA ) = 200 J
VC WB→C = pdV VB
VC 7 7 5 V − 5 dV = pB VB VB 7 5 − 25 − 25 5 p V − V V = − B B C B 2 = − 565 J WC→A = 0
(geen volumeverandering)
Hierbij heb je gebruikt dat bij A → B de druk constant is, en dat je voor de overgang B → C hebt dat: pV
7 5
7
⇔
= pB VB5
7 7 p = pB VB5 V − 5
Voor de totale arbeid geleverd door het gas gedurende ´e´en cyclus vind je: Wtot = −365 J
12
• De verandering van de inwendige energie Aangezien de verandering van de inwendige energie onafhankelijk is van de gevolgde weg, en je in A vertrekt en terug aankomt, krijg je: ∆U = UA − UA = 0 • De warmte-uitwisseling bij het doorlopen van de cyclus Gebruik weer de formule voor het behoud van energie: ∆Q = W + ∆U = −365 J Bij het doorlopen van een cyclus zoals in de figuur weergegeven, verliest het gas telkens 365 J energie. Door de cyclus te blijven herhalen kan je dus energie (in dit geval concreet in de vorm van arbeid) uit het gas winnen.
Oefening 24 (p52) Bereken de entropieverandering voor elke stap in de cyclus voorgesteld in de voorgaande figuur. p (Pa) C
7/5
pV = cte
1 10
5
B
A
V (l) 0,5
2,5
Figuur 5: De overgang BC is een adiabatische overgang. De temperatuur in het punt C is TC = 1000 K.
Om de entropieverandering te berekenen, kan je best gebruik maken van de formule voor een infinitesimale entropieverandering: δQ T De precieze formule voor δQ hangt af van het type overgang. Aangezien de entropie additief is, kan je neerschrijven dat: dS =
∆Stotaal = ∆SA→B + ∆SB→C + ∆SC→A 13
De individuele bijdrages kan je expliciet berekenen: • De entropieverandering voor A → B De overgang van A naar B gebeurt bij constante druk; je hebt hier dus te maken met een isobaar proces. Voor isobare processen geldt dat de (infinitesimale) warmte-uitwisseling gegeven is door: δQ = ncp dT waarbij n het aantal mol is, cp de molaire warmtecapaciteit bij constante druk en dT een infinitesimale temperatuursverandering. Om de entropieverandering te berekenen voor de overgang van A naar B moet je deze uitdrukking integreren: ∆SA→B = SB − SA
B δQ = A T
TB ncp dT = T TA = ncp ln(TB ) − ln(TA ) TB = ncp ln TA Om dit expliciet uit te werken moet je nog het aantal mol n, de molaire warmtecapaciteit cp en de temperaturen TA en TB bepalen: – Het aantal mol is een behouden grootheid tijdens de cyclus (dit mag je aannemen aangezien er geen vermelding gemaakt wordt van een verlies van deeltjes). Je kan het aantal mol dus eender waar berekenen, bijvoorbeeld in het punt C. Aangezien het om een ideaal gas gaat, weet je dat: pC VC = nRTC De temperatuur TC is gegeven op 1000 K, en de druk pC kan je berekenen omdat je weet dat langs de kromme die B en C verbindt, geldt dat: pV
7 5
= cte
⇔
7 5
7 5
pC VC = pB VB
⇔
pC = pB
Het aantal mol is dan gegeven door: 7 VB 5 VC pC VC = pB ≈ 0, 057 mol n= RTC VC RTC
14
VB VC
7 5
– De temperaturen TA en TB kan je opnieuw uit de ideale gaswet berekenen: TA =
pA VA ≈ 105 K nR
TB =
pB VB ≈ 527 K nR
– Voor ideale gassen geldt de volgende relatie voor de molaire warmtecapaciteiten: cp = cv + R Aangezien cv = 52 R wegens het gegeven, vind je hier: 7 cp = R 2 Alle gegevens invullen geeft: ∆SA→B
7 = nR ln 2
TB TA
≈ 2, 63 J/K
• De entropieverandering voor B → C De overgang van B naar C is een adiabatische overgang, dus er is geen tijdens de overgang geen warmte-uitwisseling met de omgeving: δQ = 0 Je vindt dan ook meteen: ∆SB→C = 0 J/K • De entropieverandering voor C → A Deze overgang is een overgang die bij constant volume gebeurt (een isochoor proces). Voor isochore processen geldt: δQ = ncv dT Op identiek dezelfde manier als de voorgaande berekeningen vind je: ∆SC→A = SA − SC
A δQ = C T
TA ncv dT = T TC TA = ncv ln TC 15
Aangezien cv = 52 R vind je: ∆SC→A = −2, 63 J/K De totale entropieverandering gedurende het hele proces is dan: ∆Stotaal = ∆SA→B + ∆SB→C + ∆SC→A = 0 Aangezien entropie een toestandsafhankelijke grootheid is (zoals de inwendige energie) verwacht je immers ook dat de entropieverandering voor een gesloten cyclus nul is: de beginsituatie is immers gelijk aan de eindsituatie.
Tim Jacobs - 27 december 2002
16
