Binární logika
Osnova kurzu
1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) Stabilita regulačního obvodu 8) Kvalita regulačního pochodu 9) Robotika 10. Datová komunikace
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
1
Binární logika
Osnova přednášky
● ● ● ● ● ● ●
Výrokový počet Logické funkce Boolova algebra Mapy Číselné soustavy Dvojková soustava Šestnácková soustava
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
2
Binární logika
Výrokový počet ●
●
● ●
● ● ●
Výrok – tvrzení, kterému lze jednoznačně přiřadit pravdivostní hodnotu Úbytek napětí na prvku je přímo úměrný protékajícímu elektrickému proudu Indukčnost se rovná součinu proudu a napětí Jak je venku? (není výrok) Výrok může nabývat dvou hodnot Pravda (true; 1; +; high; H) Nepravda (false; 0; -; low; L) Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
3
Binární logika
Výrokový počet ●
Výrokové operace – Výrok X a Y
●
Negace (ne; not; inverze; ¯)
●
Logický součin (a; and; konjunkce; .)
●
● ● ●
X
X⋅Y Logický součet (nebo; or; disjunkce; +) XY Každou logickou funkci mohu vyjádřit: Boolovskými funkcemi (negace; disjunkce; konjunkce) Pierceovou funkcí – NOR (jeden prvek) Shefferovou funkcí – NAND (jeden prvek); upřednostńováno – používá méně tranzistorů Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
4
Binární logika
Výrokový počet
y=f x
●
●
y=f x1 ; x 2 ●
y=f x1 ; x 2 ; x 3
●
Nezávisle proměnná x Nejčastěji logické veličiny dvouhodnotové x = 1 nebo x = 0 Funkce logických proměnných
y=f x1 ; x 2 ; x 3 ; ... xn Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
5
Binární logika
Logické funkce Dvě proměnné
Jedna proměnná X 1 0
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Počet možností nezávisle proměnné x
k=2
n
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
6
Binární logika
Logické funkce
Jedna proměnná
X 1 0
Y1 0 0
Y1 – Falsum
hodnota y vždy 0
Y2 - Negace
y=x
Y2 0 1
Y3 1 0
Y4 1 1
Y3 - Aserce hodnota y opakuje hodnotu x Y4 – Verum
hodnota y vždy 1 Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
7
Binární logika
Logické funkce
Technická realizace
X 1 0
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
Y1 0 0
Y2 0 1
Y3 1 0
Y4 1 1
8
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 ● ● ● ● ● ● ● ●
Y1 - falsum Y2 – konjunkce (součin) Y3 - inhibice Y4 – aserce X1 Y5 - inhibice Y6 – aserce X2 Y7 – dilema; XOR Y8 – disjunkce (součet)
● ● ● ● ● ● ● ●
Y12 1 1 0 1
Y13 0 0 1 1
Y14 1 0 1 1
Y15 0 1 1 1
Y16 1 1 1 1
Y9 – Piercova funkce (negace součtu; NOR) Y10 - ekvivalence Y11 – negace X2 Y12 – implikace X2→X1 Y13 – negace X1 Y14 - implikace X1→X2 Y15 – Shefferova fce (negace součinu;NAND) Y16 - verum Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
9
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 X2 Y1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
●
Y1 - falsum Funkční hodnoty vždy 0
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
10
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 X2 Y2 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0
●
●
Y2 – konjunkce (součin) Pokud jsou obě nezávisle proměnné 1, pak výsledek je 1 Analogie s násobením
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
11
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y3 0 1 0 0
Y5 0 0 1 0
●
Y3 – inhibice X1 Y5 – inhibice X2 Opakuje nezávisle proměnnou hodnotu 1 pokud je druhá opačné hodnoty
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
12
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y4 1 1 0 0
Y6 1 0 1 0
●
Y4 – aserce X1 Y6 – aserce X2 Opakuje hodnotu zvolené nezávisle proměnné
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
13
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 X2 Y7 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0
●
●
Y7 – dilema; XOR Taky někdy označovaná jako eXlusive OR Výběr pravdivé hodnoty ze dvou různých
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
14
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 X2 Y8 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
●
Y8 – disjunkce (součet) Analogie součtu
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
15
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y8 1 1 1 0
Y9 0 0 0 1
● ●
●
Y9 – Piercova funkce NOR negace součtu Y8 Kombinací této funkce lze vyjádřit všechny ostatní logické funkce
Důležité k zapamatování!!!
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
16
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y10 1 0 0 1
●
Y10 - ekvivalence Porovnání hodnot nezávisle proměnných
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
17
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y11 0 1 0 1
Y13 0 0 1 1
●
Y11 – negace X2 Y13 – negace X1 Analogie funkce jedné proměnné
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
18
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y12 1 1 0 1
● ●
●
Y12 – implikace X2→X1 Hodnota X1 vyplývá z X2 Z nepravdy může vyplynout pravda proto hodnota závisle proměnné je 1 Z pravdy nemůže vyplynout nepravda proto hodnota závisle proměnné je 0
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
19
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y14 1 0 1 1
● ●
●
Y14 - implikace X1→X2 Hodnota X2 vyplývá z X1 Z nepravdy může vyplynout pravda proto hodnota závisle proměnné je 1 Z pravdy nemůže vyplynout nepravda proto hodnota závisle proměnné je 0
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
20
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y2 1 0 0 0
Y15 0 1 1 1
● ●
●
●
Y15 – Shefferova funkce NAND negace součinu Y2 Kombinací této funkce lze vyjádřit všechny ostatní logické funkce Prvek – hradlo NAND obsahuje méně tranzistorů než hradlo NOR, proto se více používá
Důležité k zapamatování!!!
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
21
Binární logika
Logické funkce Logické funkce – dvě proměnné
X1 1 1 0 0
X2 1 0 1 0
Y16 1 1 1 1
●
Y16 – verum Funkční hodnoty vždy 1
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
22
Binární logika
Osnova přednášky
● ● ● ● ● ● ●
Výrokový počet Logické funkce Boolova algebra Mapy Číselné soustavy Dvojková soustava Šestnácková soustava
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
23
Binární logika
Boolova algebra komutativní
ab=ba
abc=abc
asociativní
a⋅b=b⋅a
a⋅b⋅c=a⋅b⋅c
ab⋅c=a⋅cb⋅c
distributivní
a0=a
o neutrálnosti 0 a 1
a⋅1=a
o agresinosti 0 a 1
a⋅0=0
aa=a
o independenci prvků
a⋅a=a
aa=1
vyloučeného třetího
a⋅a=0
a1=1
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
a⋅bc=ac⋅bc
24
Binární logika
Boolova algebra a=a ab=a⋅b aa⋅b=ab
aa⋅b=a
o dvojí negaci De Morganova pravidla
a⋅b=ab
o absorbci negace o absorbci
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
a⋅ab=a
25
Binární logika
Boolova algebra
X1⋅X2 X1 X2 Ne X1 Ne X2 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1
X1
Karnaughova mapa ●
Y 0 0 0 1
● ●
X1
X1
X2 X1⋅X2 X1⋅X2 X2 X1⋅X2 X1⋅X2
Jiné vyjádření pravdivostní tabulky Zjednodušování logických výrazů Maximálně 4 proměnné
X2
00
X2
10
X1
X1
X2
0
0
X2
0
1
X1 01 11
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
26
Binární logika
Boolova algebra Karnaughova mapa
X1 0 0 0 0 1 1 1 1
X2 0 0 1 1 0 0 1 1
X3 0 1 0 1 0 1 0 1
Y 0 0 0 1 0 1 1 1
0 0 0 0 1 0 X3
1 0 0 1
1 1 1 1
0 X1 1 X2 0 1
0 1 X3
0 0 0 0
1 0 0 1
1 1 1 1
0 1 0 1
X1 X2
Tělesa Analogický výraz
Y X1 ;X2 ; X3=X1⋅X2X1⋅X3X2⋅X3 Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
27
Binární logika
Boolova algebra Schématické značky logických členů
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
28
Binární logika
Osnova přednášky
● ● ● ● ● ● ●
Výrokový počet Logické funkce Boolova algebra Mapy Číselné soustavy Dvojková soustava Šestnácková soustava
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
29
Binární logika
Číselné soustavy Adické číselné soustavy ●
Zápis čísla v soustavě o základně z
n , m∈ N
A z =[a n an−1 a1 a0 , a−1 a−2 a−m] z ● ● ● ● ●
ai - číslice na pozici i
0≤ai ≤z
i – pozice určuje její váhu vi = zi n – nejvyšší nenulový řád m – nejnižší nenulový řád
n
n
−m
−m
A=v A z =∑ ai⋅v i=∑ a i⋅z
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
i
30
Binární logika
Číselné soustavy Adické číselné soustavy ● Dekadická Definice báze číselné soustavy ● Základ 10 z ∈N∧z≥2 ● Číslice 0 až 9 z=10 ● Obecně báze libovolná z 0 ; 1 ; 2; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ● Nejčastější soustavy ● Dvojková z=2 ● Šestnáctková (hexadecimální) 0 ;1
z=16 0 ; 1; 2; 3; 4 ;5; 6 ;7 ;8 ;9 ;A ;B ; C; D;E ; F Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
31
Binární logika
Číselné soustavy Adická dvojková soustava ●
Příklad
v i 2 5 2 4 2 3 22 21 2 0 , 1 1 0 1 0 1 , 5
4
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
2 0
2 1
2 1
2 1
−1
−2
−3
−4
vA=1⋅2 1⋅2 0⋅2 1⋅2 0⋅2 1⋅2 0⋅2 1⋅2 1⋅2 1⋅2
v A=3216040100,250,1250,0625 v A=53,4375 Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
32
Binární logika
Číselné soustavy Adická dvojková soustava ● ●
Převod desítková → dvojková Rozdělení čísla celá a desetiná část
x 10=53 53÷2=26 26÷2=13 13÷2=6 6÷2=3 3÷2=1 nedělitený
zbytek 1 zbytek 0 zbytek 1 zbytek 0 přenos 1 zbytek 1
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
x 2=110101 33
Binární logika
Číselné soustavy Adická dvojková soustava ● ●
Převod desítková → dvojková Rozdělení čísla celá a desetiná část
x 10=0,4375
0,4375⋅2 0,875⋅2 0,75⋅2 0,5⋅2
0,8750 1,75 1,5 1
x 10=53,4375
0 1 1 1
x 2=0111
x 2=110101,0111 Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
34
Binární logika
Číselné soustavy Adická dvojková soustava N 0 1 2 3 4 5 6 7 8
n
2 X 20 1 21 2 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256
N 9 10 11 12 13 14 15 16 17
2n X 29 512 210 1 024 211 2 048 212 4 096 213 8 192 214 16 384 215 32 768 216 65 536 217 131 072
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
N -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
2n 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9
X 0,50000 0,25000 0,12500 0,06250 0,03125 0,01563 0,00781 0,00391 0,00195 35
Binární logika
Číselné soustavy Adická dvojková soustava ●
Sčítání
X10 X2 565 1000110101 328 101001000 893 1101111101
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
36
Binární logika
Číselné soustavy Adická dvojková soustava ●
Sčítání – v pevné řádové mřížce – možný zdroj chyb; přetečení čítačů
X10 X2 1 1 255 11111111 256 100000000
0 Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
37
Binární logika
Číselné soustavy Adická dvojková soustava ●
Odečítání
X 10 X2 565 1000110101 −328 − 101001000 0237 11101101
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
38
Binární logika
Číselné soustavy Adická dvojková soustava ●
Násobení
x 10
565 328 4520 1130 1695 185320
x2
1000110101 101001000
1000110101000 100011010100 10001101010 101101001111101000 Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
39
Binární logika
Číselné soustavy Adická šestnáctková soustava N16 N10 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
N2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
N16 N10 8 9 A B C D E F Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
8 9 10 11 12 13 14 15
N2 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 40
Binární logika
Opakovací otázky 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Jaké tvrzení může být výrokem. Jaké znáte výrokové operace. Popište logické funkce jedné proměnné. Jak si lze představit technickou realizaci logických funkcí jedné proměnné. Vysvětlete důležité logické funkce dvou proměnných. Jaké znáte základní zákony Boolovy algebry. Co jsou mapy a k čemu slouží. Nakreslete schématické značky logických členů. Popište nejpoužívanější číselné soustavy.
Automatizace - Ing. J. Šípal, PhD
41
