BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, …
Bilangan cacah disajikan dalam garis bilangan sebagai berikut. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
b. Operasi Hitung pada Bilangan Cacah 1. Operasi Penjumlahan Operasi penjumlahan suatu bilangan dapat dikerjakan dengan strategi mendatar dan strategi bersusun. 1) Strategi Mendatar Contoh: a. Jumlahkan 3 dan 4 yang menghasilkan 7. 3+4=7 b. Untuk menyelesaikan penjumlahan yang lebih dari dua suku, prinsipnya adalah dengan mengelompokkan menjadi dua suku-dua suku dan menjumlahkannya. Langkah 1: Kelompokan 4 dan 2 dan jumlahkan (4 + 2 = 6), tulis 6. Langkah 2: Jumlahkan hasil tadi (6) dengan 3 (6 + 3 = 9), tulis 9. 4 + 2 + 3 = (4 + 2) + 3 = 6 + 3 = 9 Soal ini dapat dikerjakan sebagai berikut. Langkah 1: Kelompokkan 2 dan 3, kemudian jumlahkan (2 + 3 = 5), tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan 4 dengan hasil tadi (4 + 5 = 9), tulis 9. 4 + 2 + 3 = 4 + (2 + 3) = 4 + 5 = 9 c. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (2 + 6 = 8), tulis 8. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (1 + 3 = 4), tulis 4. 12 + 36 = 48 2) Strategi Bersusun Pendek Contoh: 6 a. Jumlahkan angka satuan (6 +3 = 9). tulis 9. 3 + 9 b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. 34 Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8. 51 + 85 c. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (1 + 5 + 2 = 8), tulis 8. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (2 + 4 + 3 = 9). tulis 9. Langkah 3: Jumlahkan angka raturan (3 + 1 = 4), tulis 4. 3) Strategi Bersusun Pendek dengan Teknik Menyimpan Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (8 + 3 + 4 = 15), tulis 5 dan 1 disimpan di kolom angka puluhan (di atas angka 9). Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (1 + 9 + 6 + 8 = 24), tulis 4 dan 2 disimpan di kolom angka ratusan (di atas angka 3). Langkah 3: Jumlahkan angka ratusan (2 + 3 + 5 + 1 = 11), tulis 1 dan 1 disimpan di kolom ribuan (di atas angka 7).
1 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
321 145 32 + 498 1121
7398 9563 184 17145 +
Langkah 4: Jumlahkan angka ribuan (1 + 7 + 9 = 17), tulis 7 dan 1 disimpan di kolom angka puluhan ribu. Langkah 5: Karena pada kolom angka puluhan ribu tidak ada angka yang lainnya, maka turunkan (tuliskan angka puluhan ribu) di samping kiri angka 7145. Jadi, hasil penjumlahan itu adalah 17145. 4) Strategi Bersusun Panjang Contoh: a. 75
4 ….
+
b. 597 ….
+
4=
4
= 70 + 9
26
75 = 70 + 5
+
= 79 597 = 500 + 90 + 7 26 =
20 + 6
= 500 + 110 + 13
+
= 500 + 100 + 10 + 10 + 3 = 600 + 20 + 3 = 623 2. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan: 1) Sifat Ketertutupan (Ketunggalan) Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka terdapat hanya satu bilangan cacah yang dinyatakan dengan a + b. Contoh: 5 + 9 = 14 Perhatikan 5 dan 9 C dan 5 + 9 = 14 C . Operasi penjumlahan bilangan cacah memberikan solusi tertutup (pada bilangan cacah) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal). 2) Sifat Komutatif Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku a + b = b + a. Contoh: Periksalah apakah 23 + 59 = 59 + 23? Berilah komentarmu! Solusi: 23 + 59 = 83 dan 59 + 23 = 83 Jelaslah bahwa 23 + 59 = 59 + 23. Jadi, dalam penjumlahan bilangan cacah berlaku sifat komutatif. 3) Sifat Asosiatif Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku (a + b) + c = a + (b + c). Contoh: Hitunglah dengan cara yang paling mudah. a. 156 + 44 + 38 b. 188 + 567 + 512 Solusi: Dengan menggunakan sifat asosiatif kelompokkan bilangan-bilangan yang mudah dijumlahkan. a. 156 + 44 + 38 = (156 + 44) + 38 = 200 + 38 = 238 b. 188 + 567 + 512 = (188 + 512) + 567 = 700 + 567 = 1.267 4) Unsur Identitas
2 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Sifat bilangan 0 pada penjumlahan sebagai unsur identitas (elemen netral). Jika a adalah bilangan cacah, maka a + 0 = 0 + a = a. 2. Operasi Pengurangan 1) Pengertian Opreasi Pengurangan pada Bilangan Cacah Pengurangan adalah operasi lawan (invers) dari operasi. Perhatikan bahwa 23 – 3 = 20 20 + 3 = 23. Secara umum dapat dikemukan bahwa: Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka a – b = c a = b + c. Catatan: Lambang “” artinya “setara” atau “ekiuvalen” atau “sama artinya” . Contoh: Carilah pengganti huruf n yang tepat dari persamaan berikut ini. a. n 30 50 c. 24 n 31 b. n 21 78 d. 8 n 2 Solusi: a. n 30 50 b. n 21 78 n 30 50 80 n 78 21 57 c. 24 n 31 d. 8 n 2 n 31 24 7 82n n 8 26 2) Sifat-sifat Operasi Pengurangan: a. Terdapat Invers Terhadap Penjumlahan atau Negatif Untuk setiap a C (C adalah himpunan bilangan cacah) terdapat suatu bilangan cacah yang dinamakan invers terhadap penjumlahan atau negatif dari a dinyatakan dengan –a (dibaca “negatif dari a”), sehingga a + (a) = 0 b. Pada operasi pengurangan bilangan tidak berlaku sifat ketertutup. Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka belum tentu a b adalah bilangan cacah. Contoh: 5 – 3 = 2 (5, 2, dan 3 adalah bilangan-bilangan cacah), berlaku sifat ketertutupan. 3 – 5 = –2 (3 dan 5 adalah bilangan-bilangan cacah, sedangkan –2 adalah bilangan bulat), tidak berlaku sifat ketertutupan. c. Dalam operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif. 1. a – b b – a (tidak komutatif) Contoh: Apakah 12 – 7 = 7 – 12? Berilah komentarmu! Solusi: 12 – 7 = 5 dan 7 – 12 = 5 Jelaslah bahwa 12 – 7 = ≠ 7 – 12. Jadi, dalam operasi pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat komutatif. 2. (a – b) – c a – (b – c) (tidak asosiatif) Contoh: Apakah (25 – 19) – 4 = 25 – (19 – 4)? Berilah komentarmu! Solusi: (25 – 19) – 4 = 6 – 4 = 2 dan 25 – (19 – 4) = 25 – 15 = 10 Jelaslah bahwa (25 – 19) – 4 ≠ 25 – (19 – 4). Jadi, pada operasi pengurangan bilangan cacah tidak berlaku sifat asosiatif. Operasi pengurangan suatu bilangan dapat dikerjakan dengan strategi mendatar dan strategi bersusun. 1. Strategi Mendatar
3 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Hitunglah a. 8 – 5 b. 27 – 8 c. 69 – 20 d. 542 – 245 Solusi: a. 8 – 5 = 3, karena 5 + 3 = 8 c. 69 – 20 = 49, karena 20 + 49 = 69 b. 27 – 8 = 19, karena 8 + 19 = 27 d. 542 – 245 = 297, karena 245 + 297 = 542 2. Strategi Bersusun 1. Hitunglah a. 72.946 – 8.295 b. 67.423 – 18.297 – 29.258 Solusi: a. 72.596 – 8.245 72.946 Langkah 1: Kurangkan angka satuan (6 – 5 = 1), tulis 1. 8.295 Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (4 – 9 tidak bisa, pinjam 1 64.651 ratusan). Jadi, 14 – 9 = 5, tulis 5 dan angka ratusan bersisa 7). Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (7 – 2 = 6), tulis 6. Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (2 – 8 tidak bisa, pinjam 1 ribuan). Jadi, 12 – 8 = 4, tulis 4 dan angka puluhan ribu bersisa 6). Langkah 5: Karena pada kolom angka puluhan ribu tidak ada angka yang lainnya, maka turunkan (tuliskan angka puluhan ribu) di samping kiri angka 4651. Jadi, hasil pengurangan itu adalah 64.651. b. 67.423 – 18.297 – 29.258 Prosedur pertama yang ditempuh adalah: Langkah 1: Kurangkan angka satuan (3 – 7 tidak bisa, pinjam 1 67.423 puluhan = 1). Jadi, 13 – 7 = 6, tulis 6, dan angka puluhan 18.297 bersisa 1) 49.126 Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (1 – 9 tidak bisa, pinjam 1 ratusan). Jadi, 11 – 9 = 2, tulis 2 dan angka ratusan bersisa 3). Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (3 – 2 = 1), tulis 1. Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (7 – 8 tidak bisa, pinjam 1 ribuan). Jadi, 17 – 8 = 9, tulis 9 dan angka puluhan ribu bersisa 5). Langkah 5: Kurangkan angka ribuan (5 – 1 = 4), tulis 4. Jadi, 67.423 – 18.297 = 49.126. Selanjutnya 49.126 – 29.258, dengan prosedur yang ditempuh adalah. 49.126 Langkah 1: Kurangkan angka satuan (6 – 8 tidak bisa, pinjam 1 29.258 puluhan = 1). Jadi, 16 – 8 = 8, tulis 8, dan angka puluhan 19.868 bersisa 1) Langkah 2: Kurangkan angka puluhan (1 – 5 tidak bisa, pinjam 1 ratusan). Jadi, 11 – 5 = 6, tulis 6 dan angka ratusan bersisa 0). Langkah 3: Kurangkan angka ratusan (0 – 2 tidak bisa, pinjam 1 rubuan). Jadi 10 – 2 = 8, tulis 8 dan angka ribuan bersisa 8) Langkah 4: Kurangkan angka ribuan (8 – 9 tidak bisa, pinjam 1 ribuan). Jadi, 18 – 9 = 9, tulis 9 dan angka puluhan ribu bersisa 3). Langkah 5: Kurangkan angka ribuan (3 – 2 = 1), tulis 1. Jadi, 49.126 – 29.258 = 19.868. Dengan demikian, 67.423 – 18.297 – 29.258 = 19.868.
4 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
2. Ayah membagikan uang sebesar Rp 15.000.000,00 kepada tiga orang anaknya. Anak yang sulung memperoleh Rp 4.500.000,00 dan anak kedua memperoleh Rp 5.750.000,00. Berapakah rupiahkah uang bagian yang diterima si bungsu? Solusi: 4.500.000 5.750.000 n 15.000.000 n 15.000.000 4.500.000 5.750.000 n 4.750.000 Jadi, bagian uang yang diterima si bungsu adalah Rp 4.750.000,00. 3. Operasi Perkalian 1) Pengetian Perkalian Bilangan Cacah Perkalian adalah penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama m n nn n ...n sebanyak m buah n
Catatan: Dalam perkalian tanda kali silang “×” dapat diganti dengan tanda titik yang diletakkan di tengah “”, (sebagai ilustrasi: 2.300 dibaca “dua ribu tiga ratus” dan 2 300 dibaca “ dua kali tiga ratus”) atau tanda kurung biasa “( )” atau kurung kurawal “{ }” atau kurung siku “[ ]”. “ m n ” boleh ditulis sebagai “ m n ” atau “ (m)(n) ” atau “ {m}{n} ” atau “ [ m][ n] ”. Contoh: a. 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 b. 3 × 15 = 15 + 15 + 14 = 45 Perkalian dapat dilaksanakan dengan strategi bersusun panjang dan pendek. Contoh: Hitunglah a. 257 × 6 b. 698 × 47 c. 756 × 439 Solusi: a. Strategi Bersusun Panjang: Langkah 1: 7 × 6 = 42 Langkah 2: 50 × 6 = 300 Langkah 3: 200 × 6 = 1200 Langkah 4: 42 + 300 + 1200 = 1542 Jadi, 257 × 6 = 1.542
257 6 × 42 300 1200 + 1542
Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 7 × 6 = 42, ditulis 2 dan disimpan 4 pada puluhan. Langkah 2: 5 × 6 = 30 ditambah 4 menjadi 34, ditulis 4 dan disimpan 3 pada ratusan. Langkah 3: 2 × 6 = 12 ditambah 3 menjadi 15, ditulis semuanya (1542) Jadi, 257 × 6 = 1.542 b. Strategi Bersusun Panjang: Langkah 1: 8 × 7 = 56 Langkah 2: 90 × 7 = 630 Langkah 3: 600 × 7 = 4200 Langkah 4: 8 × 40 = 320 Langkah 5: 90 × 40 = 3600 Langkah 6: 600 × 40 = 24000 Langkah 7: 56 + 630 + 320 + 3600 + 24000 = 32.806 Jadi, 698 × 47 = 32.806
5 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
257 6 × 1542
698 47 × 56 630 4200 320 3600 24000 + 32806
Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 8 × 7 = 56, ditulis 6 dan disimpan 5 pada puluhan. 698 Langkah 2: 9 × 7 = 63 ditambah 5 menjadi 68, ditulis 8 dan 47 × disimpan 6 pada ratusan. 4886 Langkah 3: 6 × 7 = 42 ditambah 6 menjadi 48, ditulis semuanya. 2792 + Langkah 4: 8 × 4 = 32 puluhan, ditulis 2 dan disimpan 3 pada ratusan. 32806 Langkah 5: 9 × 4 = 36 ratusan ditambah 3 ratusan menjadi 39 ratusan, ditulis 9 dan disimpan 3 pada ribuan. Langkah 6: 6 × 4 = 24 ribuan ditambah 3 ribuan menjadi 27, ditulis semuanya (2792) Langkah 7: Jumlahkan bilangan-bilangan hasil perkalian itu, maka diperoleh 32.806. Jadi, 698 × 47 = 32.806 756 c. Strategi Bersusun Panjang: 439 × 54 Langkah 1: 6 × 9 = 54 450 Langkah 2: 50 × 9 = 540 6300 Langkah 3: 700 × 9 = 6300 180 Langkah 4: 6 × 30 = 180 1500 Langkah 5: 50 × 30 = 1500 21000 Langkah 6: 700 × 30 = 21000 2400 Langkah 6: 6 × 400 = 2400 20000 280000 + Langkah 6: 50 × 400 = 20000 331884 Langkah 6: 700 × 400 = 280000 Langkah 4: 54 + 450 + 6300 + 180 + 1500 + 21000 + 2400 + 20000 + 280000 = 331.884 Jadi, 756 × 439 = 331.884
Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 6 × 9 = 54, ditulis 4 dan disimpan 5 pada puluhan. Langkah 2: 5 × 9 = 45 ditambah 5 menjadi 50, ditulis 0 dan disimpan 5 pada ratusan. Langkah 3: 7 × 9 = 63 ditambah 5 menjadi 68, ditulis semuanya (6804). Langkah 4: 6 × 3 = 18 puluhan, ditulis 8 dan disimpan 1 pada ratusan. Langkah 5: 5 × 3 = 15 ratusan ditambah 1 ratusan menjadi 16 ratusan, ditulis 6 dan disimpan 1 pada ribuan. Langkah 6: 7 × 3 = 21 ribuan ditambah 1 ribuan menjadi 22, ditulis semuanya (2268) Langkah 7: 6 × 4 = 24 ratusan, ditulis 4 dan disimpan 2 pada ribuan. Langkah 8: 5 × 4 = 20 ribuan ditambah 2 ribuan menjadi 22 ribuan, ditulis 2 dan disimpan 2 pada puluhan ribu. Langkah 9: 7 × 4 = 28 puluhan ribu ditambah 2 puluhan ribu menjadi 30 puluhan ribu, ditulis semuanya (3024). Langkah 10: Jumlahkan bilangan-bilangan hasil perkalian itu, maka diperoleh 331.884. Jadi, 756 × 439 = 331.884 2) Sifat-sifat Operasi Perkalian: 1. Sifat Ketertutupan (Ketunggalan)
6 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
756 439 × 6804 2268 3024 + 331884
Jika a, b C (C adalah himpunan bilangan cacah), maka terdapat hanya satu bilangan cacah yang dinyatakan dengan a × b atau ab. Contoh: 23=6 Perhatikan 2 dan 3 C dan 2 3 = 6 C . Operasi perkalian pada bilangan cacah memberikan solusi tertutup (pada bilangan cacah) dan hanya satu jawaban yang memenuhi (tunggal). 2. Sifat Komutatif Jika a dan b adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku hubungan a b b a . Contoh: Periksalah apakah 3 × 8 = 8 × 3? Berilah komentarmu! Solusi: 3 × 8 = 24 dan 8 × 3 = 24 Jelaslah bahwa 3 × 8 = 8 × 3. Jadi, dalam operasi perkalian bilangan cacah berlaku sifat komutatif. 3. Sifat Asosiatif Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah, maka berlaku hubungan (a b) c a (b c) . Contoh: Periksalah apakah (4 × 6) × 5 = 4 × (6 × 5)? Berilah komentarmu! Solusi: (4 × 6) × 5 = 24 × 5 = 120 dan 4 × (6 × 5) = 4 × 30 = 120 Jelaslah bahwa (4 × 6) × 5 = 4 × (6 × 5). Jadi, dalam operasi perkalian bilangan cacah berlaku sifat asosiatif. 4. Sifat Bilangan Nol Jika a adalah bilangan cacah, maka berlaku a 0 0 a 0 . Contoh: 3 × 0 = 0 × 3 = 0 5. Unsur Identitas Jika a adalah bilangan cacah, maka berlaku a 1 1 a a . Sifat bilangan 1 pada perkalian sebagai unsure identitas. Contoh: 5 × 1 = 1 × 5 = 5 6. Sifat Distributif Sifat Distributif (Penyebaran) Perkalian Terhadap Penjumlahan Untuk semua bilangan cacah a, b, dan c berlaku hubungan a (b c) a b a c atau (b c) a b a c a .
Sifat Distributif (Penyebaran) Perkalian Terhadap Pengurangan Untuk semua bilangan cacah a, b, dan c berlaku hubungan a (b c) a b a c atau (b c) a b a c a .
Contoh: Hitunglah a. 24 55 24 45 c. 76 97 56 97 b. 18 105 d. 564 99 Solusi: a. Strategi 1: 24 55 24 45 = 1.320 + 1.080 = 2.400 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif 24 55 24 45 = 24 × (55 + 45) = 24 × 100 = 2.400 b. Strategi 1:
7 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
18 105 = 1.890 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif 18 105 = 18 × (100 + 5) = 18 × 100 + 18 × 5 = 1.800 + 90 = 1.890 c. Strategi 1: 76 97 56 97 = 7.372 5.432 = 1.940 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif 76 97 56 97 = 97 × (76 – 56) = 97 × 20 = 1.940 d. Strategi 1: 564 99 = 55.836 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif 564 99 = 564 × (100 – 1) = 564 × 100 – 564 × 1 = 56.400 – 564 = 55.836 4. Operasi Pembagian 1) Pengertian Operasi Pembagian pada Bilangan Cacah Operasi pembagian adalah operasi kebalikan (invers) dari operasi perkalian. Pernyataan 28 : 4 = 7 sama artinya dengan 4 × 7 = 28 atau ditulis 28 : 4 = 7 4 × 7 = 28. Jika a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah sebarang, maka a : b = c a = b × c. Contoh: 8:4=28=4×2 216 : 36 = 6 216 = 36 × 6 Operasi pembagian pada suatu bilangan dapat dilakukan dengan strategi bersusun berekor dan strategi bersusun pendek. Contoh: Hitunglah a. 1.296 : 8 b. 21.504 : 24 Solusi: a. Strategi Bersusun Berekor: 100 + 60 + 2 = 162 8 1296 Langkah 1: 1296 : 8 = 100 sisa 496, tulis 100 pada 800 tempat hasil pembagian. 496 Langkah 2: 8 × 100 = 800, tulis 800 di bawah 1296, 480 sehingga 1296 – 800 = 496. 16 Langkah 3: 496 : 8 = 60 sisa 16, tulis 60 pada tempat 16 hasil pembagian. 0 Langkah 4: 8 × 60 = 480, tulis 480 di bawah 496, sehingga 496 – 480 = 16. Langkah 5: 16 : 8 = 2, tulis 2 pada tempat hasil pembagian. Langkah 6: 8 × 2 = 16, tulis 16 di bawah 16, sehingga 16 – 16 = 0. Langkah 7: Jumlahkan hasil pembagiannya, 100 + 60 + 2 = 162. Jadi, 1.296 : 8 = 162 Strategi Bersusun Pendek: Langkah 1: 12 : 8 = 1 sisa 4, tulis 1 ditempat hasil pembagian. 162 Langkah 2: 8 × 1 = 8, tulis 8 di bawah 12, sehingga 12 – 8 = 4. 8 1296 Langkah 3: Turunkan 9 sejajar 4, sehingga menjadi 49. 8 Langkah 4: 49 : 8 = 6 sisa 1, tulis 6 ditempat hasil pembagian. 49 48 Langkah 5: 8 × 6 = 48, tulis 48 di bawah 49, sehingga 49 – 48 = 1. 16 Langkah 6: Turunkan 6 sejajar 1, sehingga menjadi 16. 16 Langkah 7: 16 : 8 = 2, tulis 2 ditempat hasil pembagian. 0 Langkah 8: 8 × 2 = 16, tulis 16 di bawah 16, sehingga 16 – 16 = 0. Jadi, 1.296 : 8 = 162.
8 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
b. Strategi Bersusun Berekor: 800 + 90 + 6 = 896 24 21504 Langkah 1: 21504 : 24 = 800 sisa 2304, tulis 800 19200 pada tempat hasil pembagian. 2304 Langkah 2: 24 × 800 = 19200, tulis 19200 di 2160 bawah 21504, sehingga 21504 – 19200 = 2304. 144 Langkah 3: 2304 : 24 = 90 sisa 144, tulis 90 144 pada tempat hasil pembagian. 0 Langkah 4: 24 × 90 = 2160, tulis 2160 di bawah 2304, sehingga 2304 – 2160 = 144. Langkah 5: 144 : 24 = 6, tulis 6 pada tempat hasil pembagian. Langkah 6: 24 × 6 = 144, tulis 144 di bawah 144, sehingga 144 – 144 = 0. Langkah 7: Jumlahkan hasil pembagiannya, 800 + 90 + 6 = 896. Jadi, 21.504 : 24 = 896. Strategi Bersusun Pendek: 896 Langkah 1: 215 : 24 = 8 sisa 23, tulis 8 ditempat hasil 24 21504 pembagian. 192 230 Langkah 2: 24 × 8 = 192, tulis 192 di bawah 215, sehingga 216 215 – 192 = 23. 144 Langkah 3: Turunkan 0 sejajar 23, sehingga menjadi 230. 144 Langkah 4: 230 : 24 = 9 sisa 14, tulis 9 ditempat hasil pembagian. 0 Langkah 5: 24 × 9 = 216, tulis 216 di bawah 230, sehingga 230 – 216 = 14. Langkah 6: Turunkan 4 sejajar 14, sehingga menjadi 144. Langkah 7: 144 : 24 = 6, tulis 6 ditempat hasil pembagian. Langkah 8: 24 × 6 = 144, tulis 144 di bawah 144, sehingga 144 – 144 = 0. Jadi, 21.504 : 24 = 896. 2) Sifat-sifat Operasi Pembagian 1. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat ketertutupan (ketunggalan) Jika a, b C (C adalah himpunan bilangan cacah), maka a : b belum tentu bilangan cacah. Contoh: a. 12 : 4 = 3 (12, 4, dan 3 adalah bilangan-bilangan cacah). 2 2 b. 12 : 5 = 2 = 2,4 (12 dan 5 adalah bilangan cacah tetapi 2 atau 2,4 jelas bukan 5 5 bilangan cacah) 2. Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif. 1. a : b b : a (tidak komutatif) Contoh: 1 6 : 2 = 3 dan 2 : 6 = 3 Jelaslah bahwa 6 : 2 ≠ 2 : 6. Jadi, dalam operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif. 2. (a : b) : c a : (b : c) (tidak asosiatif) Contoh: 1 dan 36 : (4 : 2) = 36 : 2 = 18 2 Jelaslah bahwa (36 : 4) : 2 ≠ 36 : (4 : 2).
(36 : 4) : 2 = 9 : 2 = 4
9 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
Jadi, dalam operasi pembagian tidak berlaku sifat asosiatif. 3. Sifat Distributif pada Operasi Pembagian Untuk a, b, dan c adalah bilangan-bilangan cacah dengan c ≠ 0, berlaku: 1. (a b) : c a : c b : c (sifat distributif kanan pembagian terhadap penjumlahan). 2. (a b) : c a : c b : c (sifat distributif kanan pembagian terhadap pengurangan). Contoh: Hitunglah a. 1.050 : 75 b. 2.700 : 6 Solusi: a. Strategi 1: 1.050 : 75 = 14 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif kanan pembagian terhadap penjumlahan) 1.050 : 75 = (750 + 300) : 75 = 750 : 75 + 300 : 75 = 10 + 4 = 14 b. Strategi 1: 2.700 : 6 = 450 Strategi 2: Menggunakan sifat distributif kanan pembagian terhadap pengurangan) 2.700 : 6 = (3.000 – 300) : 6 = 3.000 : 6 – 300 : 6 = 500 – 50 = 450 4. Sifat Bilangan Nol Untuk sebarang bilangan cacah a, dengan a ≠ 0, berlaku 0 : a = 0, karena 0 : a = 0 a × 0 = 0. Contoh: 0:7=0 0 : 108 = 0 Untuk sebarang bilangan cacah a, dengan a ≠ 0, berlaku a : 0 = tidak didefinisikan. Contoh: 9 : 0 = tidak didefinisikan 47 : 0 = tidak didefinisikan Dalam kasus a = 0, maka 0 : 0 = tidak tentu. 5. Sifat Bilangan 1 Untuk sebarang bilangan a kecuali 0, a : a = 1, karena a : a = 1 a × 1 = a. Suatu bilangan (kecuali 0) dibagi dengan dirinya sendiri, hasilnya adalah 1. Untuk sebarang bilangan a kecuali 0, ada sebarang bilangan yang dinamakan kebalikan dari a 1 a 1 (invers terhadap perkalian dari a) yang dinyatakan dengan , sehingga a 1 . a a a c. Kelipatan dan Faktor 1. Kelipatan Suatu Bilangan Cacah Jika a adalah suatu bilangan, maka kelipatan a adalah hasil kali a dengan setiap anggota bilangan cacah. Contoh: Tentukan kelipatan 2, 3, dan 5. Solusi: Kelipatan 2 adalah 2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4, 2 5, … = 0, 2, 4, 6, 8, 10, … Kelipatan 3 adalah 3 0, 3 1, 3 2, 3 3, 3 4, 3 5, … = 0, 3, 6, 9, 12, 15, … Kelipatan 5 adalah 5 0, 5 1, 5 2, 5 3, 5 4, 5 5, … = 0, 5, 10, 15, 20, 25, … 2. Kelipatan Persekutuan Kelipatan persekutuan adalah kelipatan dari dua bilangan cacah atau lebih. Contoh: Tentukan kelipatan dari petiap pasangan bilangan berikut ini.
10 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
3.
4.
5.
6.
a. 2 dan 3 b. 2 dan 5 c. 3 dan 5. Solusi: a. Kelipatan 2 dan 3 adalah 0, 6, 12, 18, 24, … b. Kelipatan 2 dan 5 adalah 0, 10, 20, 30, 40, 50, … c. Kelipatan 3 dan 5 adalah 0, 15, 30, 45, 60, 75, … Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Kelipatan persekutuan terkecil (disingkat KPK) dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan asli terkecil yang merupakan anggota himpunan kelipatan persekutuan antara bilanganbilangan tersebut. Contoh: Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari setiap bilangan berikut ini. a. 3 dan 5 b. 6, 8, dan 12 Solusi: a. Kelipatan 3 adalah 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, … Kelipatan 5 adalah 0, 5, 10, 15, 20, 25, … Kelipatan 3 dan 5 adalah 0, 15, 30, 45, 60, … Jadi, KPK dari 3 dan 5 adalah 15. b. Kelipatan 6 adalah 0, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … Kelipatan 8 adalah 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, … Kelipatan 12 adalah 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … Kelipatan 6, 8, dan 12 adalah 0, 24, 48, 72, … Jadi, KPK dari 6, 8, dan 12 adalah 24. Faktor Suatu Bilangan Setiap bilangan cacah dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua buah bilangan cacah atau lebih. Contoh: a. 5 = 1 5 c. 6 = 1 6 = 2 3 b. 4 = 1 4 = 2 2 d. 12 = 1 12 = 2 6 = 3 4 Bilangan-bilangan dalam bentuk perkalian dari contoh di atas dinamakan factor, sehingga dapat dikemukakan bahwa: a. Faktor-faktor dari 5 adalah 1 dan 5. b. Faktor-faktor dari 4 adalah 1, 2, dan 4. c. Faktor-faktor dari 6 adalah 1, 2, 3, dan 6. d. Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Dari uraian di atas kita dapat menyimpulkan bahwa faktor-faktor suatu bilangan adalah pembagi yang habis membagi bilangan itu. Faktor Persekutuan Dua Bilangan Cacah Faktor persekutuan dua bilangan cacah adalah bilangan-bilangan yang sama dapat membagi dua bilangan cacah itu. Contoh: Carilah faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18. Solusi: Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan12. Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. Jadi, faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan cacah atau lebih adalah bilangan yang paling besar yang dapat membagi habis bilangan-bilangan cacah tersebut. Contoh: Carilah FPB dari bilangan-bilangan berikut ini.
11 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
a. 12 dan 18 b. 36, 48, dan 72 Solusi: a. Faktor-faktor dari 12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Faktor-faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9, dan 18. Faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, dan 6. Dari faktor-faktor ini 6 adalah bilangan yang terbesar. Jadi, FPB dari 12 dan 18 adalah 6. b. Faktor-faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, dan 36. Faktor-faktor dari 48 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, dan 48. Faktor-faktor dari 72 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, dan 72. Faktor-faktor persekutuan dari 12 dan 18 adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Dari faktor- faktor ini 12 adalah bilangan yang terbesar. Jadi, FPB dari 36, 48, dan 72 adalah 12. 7. Menentukan KPK dan FPB dengan Faktor Prima b. Menentukan KPK dengan Faktor Prima KPK dari dua atau lebih bilangan cacah yang bukan nol adalah hasil kali semua faktor prima yang terdapat pada bilangan-bilangan tersebut. Bila ada faktor prima yang sama, maka yang diambil adalah faktor prima yang jumlah kemunculannya paling banyak. Contoh: Tentukan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari setiap bilangan berikut ini. a. 14 dan 24 b. 6, 8, dan 12 c. 28, 48, 72, dan 240 Solusi: a. 14 = 2 7 24 = 23 3 Jadi, KPK dari 14 dan 24 adalah 23 3 7 = 168. b. 6 = 2 3 8 = 23 12 = 22 3 Jadi, KPK dari 6, 8, dan 12 adalah 23 3 = 24. c. 28 = 22 7 48 = 24 3 72 = 23 32 240 = 24 3 5 Jadi, KPK dari 28, 48, 72, dan 240 adalah 24 32 5 7 = 5.040. b. Menentukan FPB dengan Faktor Prima FPB dari dua atau lebih bilangan cacah yang bukan nol adalah hasil kali semua faktor prima persekutuan yang terdapat pada bilangan-bilangan tersebut. Bila ada faktor prima yang sama, maka yang diambil adalah faktor prima yang jumlah kemunculannya paling sedikit. Contoh: Tentukan kelipatan persekutuan terbesar (FPB) dari setiap bilangan berikut ini. a. 48 dan 60 b. 196, 84, dan 504 c. 72, 108, 225, dan 288 Solusi: a. 48 = 24 3 60 = 22 3 5 Jadi, FPB dari 48 dan 60 adalah 22 3 = 12. b. 196 = 22 72 84 = 22 3 7
12 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
504 = 23 32 7 Jadi, FPB dari 196, 84, dan 504 adalah 22 7 = 28. c. 72 = 23 32 108 = 22 33 225 = 32 52 288 = 25 32 Jadi, FPB dari 72, 108, 225, dan 228 adalah 32 = 9.
13 | Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
