Bil. Asli
Bil. Bulat
Bil. Cacah
I. Materi Ajar: Pertemuan 1: A. Macam-macam bilangan real 1. Bilangan Asli (A) Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk membilang. Bilangan asli dimulai dari 1,2,3,4,... A = {1,2,3,4,...} 2. Bilangan Genap (G) Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, n ∈ A G = {2,4,6,8,...} 3. Bilangan Ganjil (Gj) Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, n ∈ A Gj = {1,3,5,7,...} 4. Bilangan Prima (P) Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1 P = {2,3,5,7,...} 5. Bilangan Komposit (Km) Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan yang lain Km = {4,6,8,9,...} 6. Bilangan Cacah (C) Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol C = {0,1,2,3,4,...} 7. Bilangan Bulat (B) Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangan bulat positif. B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} 8. Bilangan Pecahan (Pc) Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan a dalam bentuk , a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut, b dengan a dan b ∈ B serta b ≠0
Contoh:
1 2 3 , , 2 5 7
9. Bilangan Rasional (Q) Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan a dalam bentuk , a dan b ∈ B serta b ≠0. (Gabungan bilangan bulat b dengan himpunan bilangan pecahan) 1 4 22 Contoh: - , , 4 , 3 7 7 10. Bilangan Irasional (I) Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat a dinyatakan dalam bentuk , a dan b ∈ B serta b ≠0. b Contoh: 2 , 3 , π = 3,14159..., e = 2,71828... 11. Bilangan Real (R) Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan. Contoh: . . . . . . . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 12. Bilangan Khayal (Kh) Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada. Contoh: − 1, − 2 , − 3
bisa
13. Bilangan Kompleks (K) Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal. Contoh: 2 + − 1,5 − − 2
B. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional Bilangan Rasional: 1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa 1 2 5 Contoh: , , 2 3 3 2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas. 1 = 0,333...ditulis 0,3 3 Contoh: 1 = 0,142857142857...ditulis 0,142857 7 Bilangan Irasional: 1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa 2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas. 2 = 1,4142... Contoh: 3 = 1,7320... 3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar. Contoh: 2 , 3 , 7
Pertemuan 2: C. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat a. Sifat Komutatif: a+b=b+a a.b = b.a Contoh: 1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11 2. 9 . 3 = 3 . 9 = 27 b. Sifat Assosiatif: (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c) Contoh: 1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10 2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30
c. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan a x (b + c) = ab + ac Contoh: 5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6 = 15 + 30 = 45 d. Terdapat Dua Elemen Identitas Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga memenuhi: a+0=a a.1=a
e. Terdapat Elemen Invers Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu – a yang memenuhi: a + (-a) = 0 1 Setiap a ≠ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu , yang memenuhi: a 1 a . =1 a
Pertemuan 3: D. Operasi Pada Bilangan Bulat: a. Operasi Penjumlahan a+b=c Contoh:
a, b dan c bilangan bulat
14 + 10 = 24
b. Operasi Pengurangan A – b = c ⇔ a + (-b) = c Contoh:
a, b dan c bilangan bulat
10 – (-2) = 10 + 2 = 12
c. Operasi Perkalian a.b=c Contoh:
a, b dan c bilangan bulat
5 . 4 = 20 (-9) . (-4) = 36
d. Operasi Pembagian a 1 = a. = c b b
Contoh:
a, b bilangan bulat dan b ≠ 0, c bilangan real
4 5 = 4. = 20 1 1 5
Pertemuan 4: E. Operasi Pada Bilangan Pecahan a. Operasi Penjumlahan Contoh: 1. 5 + 8 = 13 2 3 2 9 11 + = + = 2. 18 6 18 18 8 2 2 2 4 6 3. 7 + 2 = 7 + 2 = 9 = 10 6 3 6 6 6
b. Operasi Pengurangan Contoh: Tentukan hasil perkalian berikut! 5 1 10 1 9 3 1. − = − = = 6 12 12 12 12 4 2 1 1 2. − = 3 3 3 1 1 2 3 8 3 5 3. 9 − 4 = 9 − 4 = 8 − 4 = 4 3 2 6 6 6 6 6
c. Operasi Perkalian Contoh: Tentukan hasil perkalian berikut: 4 6 4 x6 24 = 1. x = 5 3 5 x3 15 2 1 17 9 153 1 x = = 25 2. 5 x 4 = 3 2 3 2 6 2 d. Operasi Pembagian Contoh: Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini! 4 5 4 8 32 7 1. : = x = =1 5 8 5 5 25 25 5 1 29 2 29 14 2. 4 : 2 = x = =1 6 2 15 5 15 15 Pertemuan 5: F. Konversi Pecahan a. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal 1. Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya. Contoh: 2 4 3 78 312 a. = 0,4 b. 3 = = = 3,12 5 10 2 2 100 2. Dengan pembagian berulang Contoh: 4 Ubahlah ke dalam pecahan desimal! 12 4 = 0,33333... = 0,33 12 b. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen. Mengubah penyebutnya menjadi 100 Contoh: 10 40 1. = = 40 % 25 100 2. 4
4 44 440 = = 440 % 10 10 100
3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan! 75 3 = Jawab: 75% = 100 4 30 3 = 30% = 100 10 c. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal Contoh: Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal! 20 1 a. 20% = = = 0,20 100 5 40 2 b. 40% = = = 0,40 100 5 75 3 c. 75% = = = 0,75 100 4
G. Perbandingan, Skala, Dan Persen a. Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan 1) Perbandingan senilai Bentuk Umum:
a1 a 2 = b1 b2
atau
a1 : b1 = a 2 : b 2
2) Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:
a1 a 2 = b2 b1
atau
a1 : b 2 = a 2 : b1
Contoh: 1. Seorang ibu menghabiskan ½ liter minyak tanah untuk merebus air sebanyak 15 liter air. Jika dia akan merebus air sebanyak 100 liter, berapa liter minyak tanah yang diperlukan? 2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari, maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?
Jawab: 1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A) adalah M : A, maka: M1 M 2 = A1 A2 1/ 2 M 2 1 100 1 ⇔ = ⇔ M2 = x100 = = 3 liter 15 100 30 30 3 2. Jika 4 orang tukang (T 1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H 1 ), maka untuk selesai selama 2 hari (H 2 ) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang. T1 T = 2 H 2 H1 4 T 4 80 ⇔ = 2 ⇔ T2 = 20 x = = 40orangtukang 2 20 2 2
Pertemuan 6: b. Skala Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya (kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan dari ukuran sesungguhnya. 1) Skala pembesaran Contoh: Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B? Jawab: Misal jarak pada peta = x Misal jarak sesungguhnya = y X : y = 10 cm : 100 km = 10 cm : 10.000.000 cm =1 : 1.000.000 Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000 2) Skala Pengecilan Contoh: Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut pada layar TV jika skalanya 1 : 100?
Jawab: Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm Tinggi pada TV =B 1 B 1 180 B = 1,8cm = ⇒ = ⇒B= 100 A 100 180 100 Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm
c. Persen Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari perbandingan yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100. 1 Misal: 1% = 100 Contoh: Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu? Jawab: Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg 100 Persentase tembaga = x100% = 66,7% 150 20 Persentase timah hitam = x100% = 13,3% 150 30 Persentase timah putih = 100% = 20,0% 150
Pertemuan 6: H. Penerapan Pada Bidang Keahlian 1) Komisi Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan.
2) Diskon Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada pembeli
3) Laba dan Rugi Laba = Penjualan – Pembelian Rugi = Pembelian – Penjualan Contoh soal: 1. Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang senilai Rp2.000.000,00. Tentukan komisi yang diterima! Jawab: Komisi = 20% x Rp2000.000,00 20 xRp 2.000.000,00 = 100 = Rp400.000,00 2. Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang tersebut dijual dengan harga Rp750.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan! Jawab: Laba = Rp750.000,00 – Rp500.000,00 = Rp250.000,00 Rp 250.000,00 Persentase laba dari harga beli : x100% = 50% Rp500.000,00 Rp 250.000,00 Persentase laba dari harga jual : x100% = 33,3% Rp 750.000,00
