Bevezetés. 1. előadás, február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés

˝ 1. eloadás, 2015. február 11.

˝ Heti 2 óra eloadás + 2 óra gyakorlat ˝ ˝ Eloadás: foleg modellek, elemzési módszerek

Zempléni András

Gyakorlat: R programmal, alkalmazások Számonkérés:

Valószínuségelméleti ˝ és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

50%: gyakorlat alapján (beadandó feladat, házi feladatok + órai munka) ˝ 50%: ZH az utolsó gyakorlaton az eloadás anyagából

Információk: http://www.cs.elte.hu/ zempleni/aring15.html

˝ Áringadozások eloadás

Zempléni András (ELTE)



1 / 22

Tematika




2 / 22

Módszerek

Stabilis eloszlások, vonzási tartományok Extrém-érték modellek egy-és többdimenzióban

Cikk/könyvfeldolgozás

Kopulák

˝ Minden eloadás végén irodalomjegyzék

Véletlen mátrixok

Matematikai modellek, de az alkalmazásokra koncentrálva

ARCH-GARCH modellek

Példák illusztrációként (részletesen a gyakorlaton)

Pénzügyi kérdések: portfólióoptimalizálás, szabályozók stb.




3 / 22




4 / 22

Stabilis eloszlások

Alkalmazásuk

˝ Definíció. X stabilis eloszlású, ha tetszoleges a, b-re megadható c és d, hogy aX + bY eloszlása (X , Y független, azonos eloszlású) éppen cZ + d eloszlása (Z is X eloszlású) Definíció. Vonzási tartomány. F a G vonzási tartományába tartozik, ha X1 , X2 , . . . , Xn , . . . független, F eloszlásúakra megadható an , bn normáló sorozat, hogy

Fizikai törvényszeruségek ˝ (pl. a Lévy eloszlás a Brown mozgás adott szint eléréséhez szükséges ido˝ eloszlása) Általános határeloszlás-tétel (Pontosan a stabilis eloszlásoknak van nemüres vonzási tartománya) Vastag szélu˝ (heavy tailed) eloszlások, pl. pénzügyekben

X1 + · · · + Xn − an →G bn eloszlásban (gyengén).




5 / 22

Szimmetrikus stabilis eloszlások



Minden stabilis eloszlás abszolút folytonos, sur ˝ uségfüggvényük ˝ végtelen sokszor deriválható, de általában nem adhatók meg zárt alakban

Paraméterek: α index β ferdeség γ skála

Mindegyik unimodális, de a módusz általában nem adható meg zárt alakban

δ hely

Az α < 2 paraméteru˝ stabilis eloszlás r -edik momentuma pontosan r < α esetén véges

Egyébként az egész számegyenesre


6 / 22

Általános stabilis eloszlások

Karakterisztikus függvényük exp −|t|α ahol 0 < α < 2 paraméter (α = 2: normális eloszlás, α = 1: Cauchy, α = 0, 5: Lévy)




α < 1 és |β| = 1 esetén félegyenesre koncentrált

7 / 22




8 / 22

Példák

A ferdeségi paraméter szerepe

0.5

Nevezetes stabilis eloszlások

0.4

Normális(0,sqrt(2)): st(2,0) Cauchy: st(1,0) Levy: st(0.5,1)

0.3

E(X ) = δ − βγ tan

πα (α > 1). 2

Spec:

0.2

δ = 0, β = 0 esetén E(X ) = 0

0.1

De β 6= 0 esetén |E(X )| → ∞, ha α → 1 pedig a módusz ∼ 0 0.0

α = 2 esetén E(X ) = δ (β-nak nincs szerepe)

−4

−2

0

2

4

1. ábra. A legismertebb stabilis eloszlások Zempléni András (ELTE)



9 / 22

A többi paraméter szerepe




10 / 22

Példák 2

0.5

Stabilis eloszlások

0.4

st(1.5,0.5) st(1,0.5) st(0.5,0.5)

0.2

0.3

A jól ismert kvantilistranszformáció muködik: ˝ ha q a γ = 0, δ = 0 (standard) eloszlás kvantilise, akkor qγ + δ a γ, δ paraméteru˝ eloszlás azonos kvantilise.

0.0

0.1

A szórásnégyzet additivitásának szerepét a γ α = γ1α + γ2α veszi át.

−4

−2

0

2

4

2. ábra. A ferdeség és az α kapcsolata Zempléni András (ELTE)



11 / 22




12 / 22

Cauchy-eloszlás

Lévy-eloszlás

f (x) =

γ π((x − δ)2 + γ 2 )

1 c c f (x) = √ exp{− } (x > 0) 2x 2π x 3/2

X /Y eloszlása standard Cauchy (γ = 1, δ = 0), ha X , Y független ˝ adódóan megegyezik az 1 standard normális. Ebbol szabadságfokú t-eloszlással is. Szimmetrikus, tehát β = 0. Világítótorony-probléma: γ magasságú, δ távolságban levo˝ világítótorony véletlenszeru˝ irányba világít. Az x tengelyen a vetület eloszlása Cauchy (0, γ, δ)




1/Y 2 eloszlása standard Lévy (c = 1), ha Y standard normális. Stabilis, (0.5, 1, c, 0) paraméterekkel Brown mozgásnál egy p 6= 0 pont elérési ideje Lévy eloszlású, c = p2 paraméterrel

13 / 22

Példák 3




14 / 22

Határeloszlás-tétel Eloszlásfüggvény 0.7

Suruségfüggvény

0.6

Tétel. Legyenek X , X1 , X2 , . . . , Xn , . . . független, azonos eloszlású valószínuségi ˝ változók. Tegyük fel, hogy P(|X | > x) ∼ x −α L(x), ahol L lassú változású fv. a végtelenben (L(cx)/L(x) → 1, ha x → ∞, c > 0). Ekkor megadható an , bn hogy an (X1 + X2 + · · · + Xn ) − bn → Z ahol Z éppen α rendu˝ stabilis eloszlás. (Azaz X a Z vonzási tartományában van)

0

0.0

0.1

10

0.2

0.3

20

0.4

0.5

30

st(0.2,0) st(0.2,0.5) st(0.2,1)

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

˝ 3. ábra. Igen szélsoséges példák




15 / 22




16 / 22

Gyakorlati kérdések

Michael-féle szórásstabilizált P-P plot

A PP plotnál a szélso˝ pontok szórása kicsi (a QQ plotnál általában ˝ a középsoké)

Paraméterbecslés: maximum likelihood a leghatásosabb (konfidencia intervallum is konstruálható) Illeszkedésvizsgálat ˝ paraméteres vs. nemparaméteres Sur ˝ uségfv. ˝ becslésbol: ("középen" jó) PP plot ˝ QQ plot (általában elonyösebb, mert az eloszlás széleit is mutatja, de ezek itt eltúlzottak lehetnek)




17 / 22

S = 2 arcsin(U 1/2 )/π : sur ˝ uségfüggvénye ˝ sin(πx)- szel arányos, a rendezett minta elemeinek szórása aszimptotikusan azonos. Az ábrázolandó pontok: 1/2

ri = (2/π) arcsin[(i − 0.5)/n ] si = (2/π) arcsin[F 1/2 (yi − m)/s] Tesztstatisztika is számolható: max |ri − si |




18 / 22

˝ Illusztráció: részvény-idosorok

Szimuláció (Chambers, 1976)

Nasdaq, napi hozamok

Legyen U egyenletes [0,1], W pedig exponenciális eloszlású λ = 1 paraméterrel és függetlenek. Ekkor sin(αU) cos U 1/α

cos((α − 1)U) W

20

(1−α)/α 15

Z =

norm.elo (sd=0.018)

sin(α(U0 + U)) (cos(αU0 ) cos U)1/α

cos(αU0 + α − 1)U) W

(1−α)/α 5

Z =

10

(α,0) paraméteru˝ szimmetrikus stabilis eloszlású. Legyen U0 = arctan(β tan(πα/2))/α és

0

pedig (α,β) paraméteru˝ stabilis eloszlású (ha α 6= 1).

−0.10




19 / 22


−0.05

0.00

0.05


0.10

0.15


20 / 22

Havi aggregálás

Hivatkozások Nasdaq, havi hozamok

6

norm.elo (sd=0.076)

4

5

Chambers, J.M., Mallows, C. and Stuck, B.W.: A method for simulating stable random variable (1976) Michael, P.: The stabilized probability plot (1983)

3

Nolan, J. P.: Modeling financial data with stable distributions (2005)

0

1

2

Nolan, J. P.: Stable distributions (2009)

−0.3


−0.2

−0.1

0.0


0.1

0.2


21 / 22




22 / 22

Bevezetés. 1. előadás, február 11. Módszerek. Tematika

Recommend Documents