60
Hoofdstuk 8 Modulaties en golfpakketten Met een lopende harmonische golf kan geen informatie overgebracht worden. Teneinde toch een boodschap te versturen met behulp van een harmonische golf dient deze gemoduleerd te worden, d.w.z dat er een vervorming in aangebracht dient te worden. Een dergelijke modulatie kan teweeggebracht worden door harmonische golven samen te stellen. De vervorming kan weer gedecodeerd worden met behulp van een ontvanger. In het vorige hoofdstuk is het wiskundige formalisme, de Fourieranalyse, voor dergelijke superposities van harmonische golven besproken. Hier zullen we de fysische consequenties bespreken door te kijken naar de propagatie van golfpakketten.
8.1
Groepssnelheid
Beschouw allereerst het eenvoudig geval van een superpositie van twee harmonische golven die samen een amplitude gemoduleerde golf vormen: ψ(x, t) = A cos(k1 x − ω1 t) + A cos(k2 x − ω2 t) De afzonderlijke golven hebben respectievelijk fasesnelheden
ω1 k1
en
ω2 . k2
De vraag is nu met welke snelheid de modulatie, d.w.z. de informatie propageert. Teneinde deze vraag te beantwoorden herschrijven we ψ(x, t) met behulp van cos a + cos b = 2 cos[ 21 (a + b)] cos[ 21 (a − b)]:
1 1 1 1 ψ(x, t) = 2A cos (k1 + k2 )x − (ω1 + ω2 )t cos (k1 − k2 )x − (ω1 − ω2 )t 2 2 2 2 = 2A cos [kgem x − ωgem t] cos [kmod x − ωmod t] met kmod = ωmod =
1 (k1 − k2 ) 2 1 (ω1 − ω2 ) 2
kgem = ωgem =
1 (k + k2 ) 2 1 1 (ω1 + ω2 ) 2
61
Wanneer ωmod ≪ ωgem zien we dat de modulatie zich voortplant volgens kmod x−ωmod t = 0. De snelheid die hiermee gedefinieerd wordt volgt uit: vmod =
ωmod ω1 − ω2 ω1 (k1 ) − ω2 (k2 ) = = kmod k1 − k2 k1 − k2
In de limiet voor ∆k(= k1 − k2 ) → 0 verkrijgen we dus: vgr = lim vmod = ∆k→0
dω dk
(8.1)
vgr wordt de groepssnelheid genoemd. vgr bepaald met welke snelheid modulaties propageren. In het algemeen is de groepssnelheid niet hetzelfde als de fasesnelheid. Dit wordt ge¨ıllustreerd in figuur 8.1, waar twee cosinus-signalen bij elkaar zijn opgeteld. In dit geval is ωgem ≈ 40ωmod en vgr ≈ 0.5vϕ . De cirkels duiden de punten met gelijke fase aan. Het is duidelijk dat de cirkels, en dus de fase, zich sneller voortplanten dan de omhullende modulatie, aangegeven door de vertical pijlen. M.a.w. de snelheid waarme de modulatie zich voortplant is kleiner dan de fasesnelheid. Alleen in het geval van een lineaire dispersierelatie geldt dat vgr = vϕ : ω = v · k → vgr =
8.2
ω dω = v = = vϕ dk k
Fourieranalyse van een voortbewegend golfpakket
Beschouw een ´e´endimensionaal continu homogeen medium, waarin zich een golfpakket naar rechts beweegt. Dit golfpakket is op t = 0 gecentreerd rond de oorsprong x = 0. Voor het gemak nemen we voor het golfpakket op t = 0 de even functie ψ(x, 0) = A(x) cos(k0 x) waarbij A(x) een gladde even modulatie functie voorstelt en k0 het golfgetal van de draaggolf is. Op een tijd t later is het golfpakket opgebouwd uit de harmonische trillingen: cos(kx − ω(k)t) waarbij de dispersierelatie ω(k) de invloed van het medium verdisconteert. Op grond van het feit dat A(x) een even functie is luidt de Fourierintegraal: A(x) =
Z
∞ 0
b A(k) cos(kx)dk
62
λ mod λ gem
t=0
1
t = /2 Tgem t = Tgem
Figuur 8.1: De som van twee cosinus-signalen cos(k1 x − ω1 t) + cos(k2 x − ω2 t) voor verschillende tijdstippen, met k1 = 9.5, k2 = 8.5 en ω1 = 1.0, ω2 = 0.95. De cirkels geven de propagatie van de fase aan, terwijl de pijlen de voortgang van de modulatie weergeven. Met b A(k) =
1Z∞ A(x) cos(kx)dx π −∞
is de Fourier getransformeerde van A(x). Dit wil automatisch zeggen dat: b b A(k) = A(−k)
Op t = 0 schrijven we nu voor het golfpakket ψ(x, 0): ψ(x, 0) =
Z
0
∞
1Z ∞ C(k) cos(kx)dk C(k) cos(kx)dk = 2 −∞ 63
waarbij C(k) gegeven wordt door: Z
Z
1 ∞ 1 ∞ C(k) = ψ(x, 0) cos(kx)dx = A(x) cos(k0 x) cos(kx)dx π −∞ π −∞ Z i 1 ∞ 1hb b −k ) = A(x) [cos ((k + k0 )x) + cos ((k − k0 )x)] dx = A(k + k0 ) + A(k 0 2π −∞ 2
Dit betekent dat het golfpakket op t = 0 geschreven kan worden als:
Er geldt: Z
∞
−∞
dus
i 1Z ∞ hb b − k ) cos(kx)dk A(k + k0 ) + A(k ψ(x, 0) = 0 4 −∞
b A(k
+ k0 ) cos(kx)dk =
Z
∞
−∞
b A(−k
+ k0 ) cos(kx)dk =
Z
∞
−∞
b − k ) cos(kx)dk A(k 0
1Z ∞ b ψ(x, 0) = A(k − k0 ) cos(kx)dk 2 −∞ Het naar rechts lopend golfpakket op tijdstip t ziet er dan als volgt uit: Z
1 ∞ b ψ(x, t) = A(k − k0 ) cos[kx − ω(k)t]dk 2 −∞ 1Z ∞ b A(k) cos[(k + k0 )x − ω(k + k0 )t]dk = 2 −∞ In deze laatste stap hebben we k ′ = k−k0 als nieuwe integratievariabele genomen. Daarna hebben we weer k ′ = k gesteld omdat het louter een intergratievariable betreft. We ontwikkelen vervolgens de dispersierelatie ω(k) in een Taylorreeks rond k = k0 :
1 d2 ω dω + ... + k2 · ω(k + k0 ) = ω(k0) + k · dk k=k0 2 dk 2 k=k0
We kunnen dit benaderen met:
ω(k + k0 ) = ω(k0) + vgr k waarbij de groepsnelheid vgr is gedefinieerd door (analoog aan vergelijking (8.1)):
dω vgr = dk k=k0
Substitutie van deze uitdrukking in het golfpakket ten tijde t levert: Z
1 ∞ b A(k) cos [(k + k0 )x − (ω(k0) + vgr k)t] dk 2 −∞ Z 1 ∞ b A(k) cos(kx − kvgr t) cos(k0 x − ω(k0)t)dk = 2 −∞ 1Z ∞ b A(k) sin(kx − kvgr t) sin(k0 x − ω(k0 )t)dk − 2 −∞
ψ(x, t) =
64
(8.2)
b Aangezien A(k) een even functie is geldt: Z
∞
−∞
b A(k) sin(kx − kvgr t)dk = 0
Dit leidt tot de volgende uitdrukking voor het golfpakket: ψ(x, t) = A(x − vgr t) cos(k0 x − ω(k0)t)
(8.3)
Enerzijds constateren we dat de fase van de golf naar rechts beweegt met de fase-snelheid vϕ =
ω(k0 ) . k0
Anderzijds propageert de modulatie A(x) van de golf naar rechts met de
groeps-snelheid vgr . Dit wordt ge¨ıllustreerd in figuur 8.2, waarin een propagerend Gaussvormig golfpakket is getekend voor opeenvolgende tijden. In dit voorbeeld is de fasesnelheid twee maal zo groot als de groepssnelheid. De verticale pijlen wijzen naar de punten met gelijkblijvende fase die zich voortplanten met de fasesnelheid. De zwarte cirkels volgen het midden van het golfpakket en schuiven op met de groepssnelheid. In eerste instantie verandert de vorm van de omhullende A(x) van het golfpakket niet. Dit is een gevolg van de benadering ω(k − k0 ) = ω(k0 ) + kvgr . Voor langere tijden zullen ook de hogere termen in de Taylorreeks meegenomen moeten worden waardoor de omhullende zal vervormen. Alleen in het geval van een niet-dispersief medium, dus met een strikt lineaire dispersie (ω = vk ), treedt geen vervorming op. Voor een dispersief medium, met een niet-lineaire dispersierelatie, worden de golfpakketten vervormd. Hierdoor veranderen zowel de modulatie alsook de fase van de draaggolf in de tijd. De vervorming van een golfpakket in een dispersief medium mag dus verwaarloosd worden mits (zie vergelijking (8.2)):
1 2 d2 ω t≪1 k · 2 dk 2 k=k0
Dus wil het golfpakket gedurende lange tijd zijn vorm behouden, dan moeten zowel d2 ω | dk 2 k=k0
alsook de belangrijkste k-waarden klein zijn, d.w.z. dat het golfpakket een geringe
spreiding heeft in zijn Fourierspectrum.
8.2.1
Golven in een dispersief medium
Beschouw als voorbeeld voor golven in een dispersief medium, electromagnetische golven in de ionosfeer, waarvoor de dispersierelatie luidt: ω 2 = ωp2 + c2 k 2 waarbij c de lichtsnelheid is en ωp de frequentie van natuurlijke oscillaties van electronen in plasma. Voor ω > ωp is de ionosfeer dus dispersief en kunnen EM golven propageren 65
als lopende golven. Voor de fasesnelheid vϕ geldt dan vϕ2
ωp2 ω2 2 = 2 = c + 2 > c2 ! k k
Dit lijkt wellicht in strijd met de relativiteitstheorie, maar is het niet. De golf reist immers met de groepssnelheid ∂ω ∂ q 2 = ω p + c2 k 2 = ∂k ∂k 1 2kc2 q = 2 ωp2 + c2 k 2
vg =
=
1 k 2 c2 1 q < . kc < c 2 2 2 k ωp + c k k
66
toenemende tijd
2__π λ0= k 0
plaats
Figuur 8.2: De propagatie van een Gaussvormig golfpakket met vϕ = 2vgr . De cirkels geven volgen het midden van het golfpakket terwijl de pijlen wijzen naar punten met gelijke fase, die zich voortplanten met de fasesnelheid.
67
