Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
B´ aze a dimense
Odpˇrednesenou l´ atku naleznete v kapitol´ ach 3.1–3.3 a 3.6 skript Abstraktn´ı a konkr´etn´ı line´ arn´ı algebra.
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
1/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Minul´ e pˇredn´ aˇsky 1
Line´arn´ı kombinace, line´arn´ı z´avislost/nez´avislost.
2
Line´arn´ı obal seznamu/mnoˇziny vektor˚ u.
Dneˇsn´ı pˇredn´ aˇska 1
B´aze line´arn´ıho (pod)prostoru. Intuitivn´ı v´yznam: b´aze je v´ybˇer syst´emu souˇradnicov´ych os.
2
Dimense line´arn´ıho (pod)prostroru. Intuitivn´ı v´yznam: dimense je poˇcet souˇradnicov´ych os.
3
Souˇradnice vektoru vzhledem k uspoˇr´adan´e b´azi. Intuitivn´ı v´yznam: souˇradnice vektoru ud´avaj´ı u ´seky“ vektoru ” na jednotliv´ych souˇradnicov´ych os´ach. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
2/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pˇripomenut´ı Mnoˇzina M je koneˇcn´a, pokud bud’ M = ∅ nebo M = {x1 , . . . , xn } pro nˇejak´e pˇrirozen´e ˇc´ıslo n ≥ 1. Mnoˇzina M je nekoneˇcn´a, kdyˇz nen´ı koneˇcn´a. Definice (mnoˇ zina gener´ ator˚ u) ˇ At’ W je line´arn´ı podprostor prostoru L. Rekneme, ˇze mnoˇzina G ˇ generuje W , kdyˇz plat´ı span(G ) = W . (R´ık´ame tak´e: G je mnoˇzina gener´ator˚ u podprostoru W .) Definice (koneˇ cnˇ e generovan´ y podprostor) ˇ Rekneme, ˇze line´arn´ı podprostor W prostoru L je koneˇcnˇe generovan´y, kdyˇz existuje koneˇcn´a mnoˇzina jeho gener´ator˚ u. (To jest, kdyˇz plat´ı span(G ) = W pro nˇejakou koneˇcnou mnoˇzinu G .) Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
3/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pˇr´ıklady 1
Pro kaˇzd´y prostor L plat´ı: L je mnoˇzina gener´ator˚ u prostoru L. Mnoˇzina gener´ator˚ u L prostoru L obecnˇe nen´ı koneˇcn´a a je vˇzdy line´arnˇe z´avisl´a (napˇr´ıklad: R2 je nekoneˇcn´a line´arnˇe z´avisl´a mnoˇzina gener´ator˚ u prostoru R2 ).
2
Jak ∅, tak {~o } jsou koneˇcn´e mnoˇziny gener´ator˚ u trivi´aln´ıho prostoru {~o }. D˚ uvody: span(∅) = {~o } (minul´a pˇredn´aˇska) a span({~o }) = {~o }. Vˇsimnˇeme si: 1 2
3
∅ je line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina gener´ator˚ u prostoru {~o }. {~o } je line´arnˇe z´avisl´a mnoˇzina gener´ator˚ u prostoru {~o }.
−1 1 Koneˇcn´a mnoˇzina G = { , } generuje osu prvn´ıho ” −1 1 a tˇret´ıho kvadrantu“ prostoru R2 . Mnoˇzina G je line´arnˇe z´avisl´a. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
4/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Definice (b´ aze) Line´arnˇe nez´avisl´e mnoˇzinˇe B, kter´a generuje prostor L, ˇr´ık´ame b´aze prostoru L. Je-li B koneˇcn´a, pak seznamu prvk˚ u B ˇr´ık´ame uspoˇr´adan´a b´aze. Slogan pro b´ azi B´aze prostoru je nej´ uspornˇejˇs´ı“ mnoˇzina gener´ator˚ u. ” Pˇr´ıklady 1
2
3
∅ je b´aze trivi´aln´ıho prostoru {~o }. 3 1 0 1 Kaˇzd´a z mnoˇzin { , }, { , } tvoˇr´ı b´azi 2 4 0 1 prostoru R2 . Mnoˇzina {1, x, x 2 , x 3 , . . . } tvoˇr´ı b´azi prostoru R[x] vˇsech re´aln´ych polynom˚ u. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
5/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pˇr´ıklad (kanonick´ a b´ aze prostoru Fn , n ≥ 1) At’ F je jak´ekoli tˇeleso. Oznaˇcme jako Kn = (e1 , . . . , en ) n´asleduj´ıc´ı seznam vektor˚ u v Fn , n ≥ 1: ei m´a jedniˇcku na i-t´e posici, vˇsude jinde nuly. Potom Kn je uspoˇr´adan´a b´aze prostoru Fn . T´eto uspoˇr´adan´e b´azi Kn ˇr´ık´ame kanonick´a b´aze prostoru Fn . (Tak´e: standardn´ı b´aze.) Pˇr´ıklad: kanonick´a b´aze K3 v R3 . e3 e2
e1
1 e1 = 0 0 Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
0 e2 = 1 0
0 e3 = 0 1
15.10.2015: B´ aze a dimense
6/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pˇr´ıklad: Fourierova b´ aze pro n = 4 (varianta t´ eto b´ aze je pouˇ z´ıv´ ana v JPEG) Pro w = e
2πi 4
= i, je seznam (~f0 , ~f1 , ~f2 , ~f3 ), kde
0 w 1 w0 1 w 1 i w 0 1 ~f0 = = , ~f1 = = w 2 −1 w 0 1 w3 −i w0 1 0 0 1 w 1 w w 3 −i w 2 −1 ~f2 = = , ~f3 = = w 6 −1 w 4 1 6 w9 w −1 i
uspoˇr´adan´a b´aze line´arn´ıho prostoru C4 nad tˇelesem C. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
7/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Tvrzen´ı (Existence b´ aze pro koneˇ cnˇ e generovan´ e prostory) Kaˇzd´y koneˇcnˇe generovan´y prostor L m´a koneˇcnou b´azi. Nav´ıc: vˇsechny moˇzn´e b´aze prostoru L maj´ı stejn´y poˇcet prvk˚ u. Myˇslenka d˚ ukazu Prvn´ı tvrzen´ı: v´ıme, ˇze span(G ) = L, kde G je koneˇcn´a. B´aze je maxim´aln´ı line´arnˇe nez´avisl´a podmnoˇzina koneˇcn´e mnoˇziny gener´ator˚ u G. Druh´a ˇc´ast tvrzen´ı: Exchange Lemma (viz skripta, Lemma 3.2.10 a cviˇcen´ı).
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
8/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Definice (prostor koneˇ cn´ e dimense) Line´arn´ı prostor L m´a dimensi n (znaˇc´ıme: dim(L) = n), kdyˇz existuje b´aze B prostoru L, kter´a m´a n prvk˚ u,a kde n je pˇrirozen´e ˇc´ıslo. a
A tud´ıˇz, podle pˇredchoz´ıho, vˇsechny b´ aze prostoru L maj´ı n prvk˚ u.
Pˇr´ıklady 1
Plat´ı: dim(Rn ) = n, n ≥ 0.
2
Obecnˇeji: pro jak´ekoli tˇeleso F plat´ı dim(Fn ) = n, n ≥ 0.
3
Plat´ı: dim({~o }) = 0.
4
Prostor R[x] vˇsech re´aln´ych polynom˚ u nem´a koneˇcnou dimensi.
5
Podprostor R≤3 [x] (polynomy stupnˇe nejv´yˇse 3) prostoru R[x] m´a dimensi 4. Uspoˇr´adan´a b´aze je napˇr. (x 3 , x 2 , x, 1). Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
9/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pozn´ amka At’ dim(L) = n a at’ M je podmnoˇzina L, kter´a m´a m prvk˚ u. Je-li M line´arnˇe nez´avisl´a, pak m ≤ n. At’ m = n. M je line´arnˇe nez´avisl´a pr´avˇe tehdy, kdyˇz plat´ı span(M) = L. D˚ usledek (klasifikace line´ arn´ıch podprostor˚ u R3 ) Line´arn´ı podprostory prostoru R3 jsou pˇresnˇe tvaru span(M), kde M (zamˇeˇren´ı podprostoru) je line´arnˇe nez´avisl´a podmnoˇzina R3 : 1 2
1 2 3 4
Poˇc´atek {~o } (kdyˇz M m´a nula prvk˚ u). Pˇr´ımky proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem (kdyˇz M m´a jeden prvek). Roviny proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem (kdyˇz M m´a dva prvky). Cel´e R3 (kdyˇz M m´a tˇri prvky).
Zobecnˇen´ı: klasifikacea line´arn´ıch podprostor˚ u prostoru Rn n (dokonce na line´arn´ı podprostory prostoru F ). a
To je n´ aroˇcnˇejˇs´ı na pˇredstavu, ale geometrick´y v´yznam je podobn´y jako pro line´ arn´ı podprostory prostoru R3 . Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
10/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Vˇ eta (rovnost dvou line´ arn´ıch obal˚ u koneˇ cn´ ych mnoˇ zin) At’ M, N, jsou koneˇcn´e mnoˇziny vektor˚ u. Potom span(M) = span(N) pr´avˇe tehdy, kdyˇz dim(span(M)) = dim(span(N)) = dim(span(M ∪ N)). D˚ ukaz. At’ span(M) = span(N). Potom M ⊆ span(M) = span(N) a N ⊆ span(N) = span(M). Takˇze M ∪ N ⊆ span(M ∪ N) ⊆ span(M) = span(N). Tud´ıˇz span(M ∪ N) = span(M) = span(N). Proto plat´ı dim(span(M)) = dim(span(N)) = dim(span(M ∪ N)). At’ dim(span(M)) = dim(span(N)) = dim(span(M ∪ N)). Protoˇze span(M) ⊆ span(M ∪ N) a oba podprostory maj´ı stejnou dimensi, plat´ı span(M) = span(M ∪ N). Podobnˇe span(N) = span(M ∪ N). Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
11/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pˇripomenut´ı (princip inkluse a exkluse) At’ A a B jsou koneˇcn´e mnoˇziny.
A∩B A
B
Oznaˇc´ıme-li poˇcet prvk˚ u mnoˇzin A, B, A ∩ B a A ∪ B jako card(A), card(B), card(A ∩ B) a card(A ∪ B), potom plat´ı rovnost card(A) + card(B) = card(A ∪ B) + card(A ∩ B)
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
12/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Vˇ eta (o dimensi spojen´ı a pr˚ uniku) At’ je L line´arn´ı prostor koneˇcn´e dimense. Potom, pro libovoln´e line´arn´ı podprostory W1 , W2 , plat´ı rovnost dim(span(W1 ∪ W2 )) + dim(W1 ∩ W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ). D˚ ukaz. Pˇredn´aˇska. Slogan pro vˇ etu o dimensi spojen´ı a pr˚ uniku Jde o princip inkluse a exkluse“ pro line´arn´ı prostory koneˇcn´e ” dimense. Dimense hraje roli poˇctu prvk˚ u.a a
Znovu upozorˇ nujeme: slogan je reklamn´ı heslo, nikoli skuteˇcnost.
Definice Podprostoru span(W1 ∪ W2 ) ˇr´ık´ame spojen´ı podprostor˚ u W1 a W2 . Znaˇcen´ı: W1 ∨ W2 . Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
13/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Vˇ eta (existence souˇradnic vzhledem k uspoˇr´ adan´ e b´ azi) At’ seznam B = (~b1 , . . . , ~bn ) tvoˇr´ı b´azi line´arn´ıho prostoru L. Pro kaˇzd´y vektor ~x v L existuje jedin´y seznam (a1 , . . . , an ) prvk˚ u F tak, ˇze ~x = a1 · ~b1 + · · · + an · ~bn . D˚ ukaz. Pˇredn´aˇska. Definice (souˇradnice vzhledem k uspoˇr´ adan´ e b´ azi) Seznamu (a1 , . . . , an ) z pˇredchoz´ı vˇety ˇr´ık´ame souˇradnice vektoru ~x vzhledem k uspoˇ dan´e b´azi B = (~b1 , . . . , ~bn ). Znaˇcen´ı:a r´a a1 .. coordB (~x ) = . . an a
Tj, souˇradnice vektoru ~x ch´ apeme jako dalˇs´ı vektor: vektor souˇradnic v Fn . Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
14/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pˇr´ıklad (souˇradnice stejn´ eho vektoru k r˚ uzn´ ym b´ az´ım) 1 0 2 2 Seznamy K2 = ( , ), B = ( , ) jsou uspoˇr´adan´e 0 1 1 2 b´aze prostoru R2 . (Seznam K2 je kanonick´a b´aze prostoru R2 .)
2 2 coordK2 = 3 3 1 0 2 =2· +3· 3 0 1 Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
2 −1 coordB = 3 2 2 2 2 = −1 · +2· 3 1 2 15.10.2015: B´ aze a dimense
15/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pˇr´ıklad (souˇradnice stejn´ eho vektoru k r˚ uzn´ ym b´ az´ım) Seznamy B1 = (1, x, x 2 )
B2 = (x 2 , x, 1)
jsou uspoˇr´adan´e b´aze line´arn´ıho prostoru R≤2 [x] re´aln´ych polynom˚ u stupnˇe nejv´yˇse 2. Plat´ı:
4 coordB1 (3x 2 −2x+4) = −2 3
3x 2 −2x+4 = 4·1+(−2)·x+3·x 2 ,
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
3 coordB2 (3x 2 −2x+4) = −2 4
3x 2 −2x+4 = 3·x 2 +(−2)·x+4·1
15.10.2015: B´ aze a dimense
16/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
D˚ uleˇ zit´ a vlastnost kanonick´ e b´ aze x1 x1 . n At’ ~x = .. je vektor v F . Potom coordKn (~x ) = ... . xn xn Tvrzen´ı (linearita v´ ypoˇ ctu souˇradnic) At’ B je (jak´akoli) koneˇcn´a uspoˇr´adan´a b´aze line´arn´ıho prostoru L. Potom pro zobrazen´ı ~x 7→ coordB (~x ) plat´ı:a 1
coordB (~x + ~y ) = coordB (~x ) + coordB (~y ).
2
coordB (a · ~x ) = a · coordB (~x ). a
Tyto dvˇe vlastnosti jsou velmi d˚ uleˇzit´e. Pˇr´ıˇstˇe je budeme studovat abstraktnˇe (vedou k pojmu line´ arn´ıho zobrazen´ı).
D˚ ukaz. Pˇredn´aˇska. Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
17/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Vˇ eta (za pˇredpokladu (AC)) Kaˇzd´y line´arn´ı prostor L m´a b´azi. D˚ ukaz. N´aroˇcn´y: nebudeme dokazovat. Pozn´ amka Pˇredpoklad (AC). Zkratka (AC) znamen´a Axiom of Choice, ˇcesky: axiom v´ybˇeru. Jedn´a se o tvrzen´ı: kart´ezsk´y souˇcin libovoln´eho syst´emu nepr´azdn´ych mnoˇzin je nepr´azdn´a mnoˇzina.a Tvrzen´ı (AC) je nez´avisl´e na z´akladn´ıch axiomech teorie mnoˇzin. Srovnejte s axiomem o rovnobˇeˇzk´ach z geometrie. a
Ve skriptech je pouˇzita ekvivalentn´ı formulace (AC), tzv. Zornovo Lemma.
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
18/19
Generuj´ıc´ı mnoˇ ziny a b´ aze Dimense Souˇradnice vzhledem k b´ azi B´ aze obecn´ ych prostor˚ u
Pozor: stejn´ y prostor nad r˚ uzn´ ymi tˇ elesy m´ a r˚ uzn´ e vlastnosti Mnoˇzina C vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel je
1
1 2
line´arn´ı prostor dimense 1 nad tˇelesem C, line´arn´ı prostor dimense 2 nad tˇelesem R.
Mnoˇzina R vˇsech re´aln´ych ˇc´ısel je
2
1 2 a
line´arn´ı prostor dimense 1 nad tˇelesem R, line´arn´ı prostor nekoneˇcn´e dimense nad tˇelesem Q.a
Nepovinn´e: takzvan´ a Hamelova b´ aze re´ aln´ych ˇc´ısel, viz Pˇr´ıklad 3.6.5 skript.
D˚ usledek: mˇ eli bychom vˇ zdy ps´ at, nad jak´ ym tˇ elesem o line´ arn´ım prostoru mluv´ıme!
Jiˇr´ı Velebil: A7B01LAG
15.10.2015: B´ aze a dimense
19/19
