Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Odpˇrednesenou l´ atku naleznete v kapitole 3.1 skript Abstraktn´ı a konkr´etn´ı line´ arn´ı algebra.
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
1/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Minul´ e pˇredn´ aˇsky 1
Line´arn´ı kombinace.
2
Definice line´arn´ıho obalu.
3
Definice line´arn´ıho podprostoru.
Dneˇsn´ı pˇredn´ aˇska 1
Line´arn´ı z´avislost/nez´avislost mnoˇziny (pˇr´ıp. skupiny) vektor˚ u v line´arn´ım prostoru.
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
2/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Pˇripomenut´ı a2
Pro
1
a1 v R3 je span({a1 , a2 }) rovina proch´azej´ıc´ı poˇc´atkem se smˇerem (a1 , a2 ). Pro
2
a2
a1
v R3 , line´arn´ı obal span({a1 , a2 }) rovina nen´ı. V mnoˇzinˇe {a1 , a2 } je (napˇr´ıklad) vektor a2 zbyteˇcn´y ” vzhledem k tvorbˇe line´arn´ıch kombinac´ı“.a Plat´ı totiˇz span({a1 , a2 }) = span({a1 }). a
Za chv´ıli budeme ˇr´ıkat, ˇze mnoˇzina {a1 , a2 } je line´ arnˇe z´ avisl´ a.
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
3/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Definice Line´arn´ı kombinace a1 · ~x1 + · · · + an · ~xn je trivi´aln´ı, pokud a1 = a2 = · · · = an = 0. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je line´arn´ı kombinace a1 · ~x1 + · · · + an · ~xn netrivi´aln´ı. Pozn´ amky 1
Trivi´aln´ı line´arn´ı kombinace je vˇzdy rovna nulov´emu vektoru: rovnost 0 · ~x1 + · · · + 0 · ~xn = o~ plat´ı, protoˇze 0 · ~x = o~ , pro jak´ykoli vektor ~x (dok´az´ano minule).
2
I netrivi´aln´ı line´arn´ı kombinace m˚ uˇze b´yt rovna nulov´emu vektoru: napˇr´ıklad ~x − ~x = o~ , pro jak´ykoli vektor ~x .
3
Line´arn´ı kombinaci, kter´a d´av´a nulov´y vektor, tak´e ˇr´ık´ame nulov´a trivi´aln´ı kombinace.a a
Pozor: trivi´ aln´ı kombinace je vˇzdy nulov´ a. Nulov´ a kombinace nemus´ı b´yt trivi´ aln´ı. Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
4/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Definice (line´ arn´ı nez´ avislost seznamu vektor˚ u) ˇ Rekneme, ˇze seznam S vektor˚ u je line´arnˇe nez´avisl´y, pokud plat´ı jedna z podm´ınek: 1
Seznam S je pr´azdn´y.
2
Seznam S je tvaru (~x1 , . . . , ~xn ) a plat´ı: kdykoli a1 · ~x1 + · · · + an · ~xn = o~ , pak a1 = a2 = · · · = an = 0.
ˇ Rekneme, ˇze seznam S je line´arnˇe z´avisl´y, pokud nen´ı line´arnˇe nez´avisl´y. Pˇr´ıklady 1
Pr´azdn´y seznam () je vˇzdy line´arnˇe nez´avisl´y.
2
Seznam (~ o ) je vˇzdy line´arnˇe z´avisl´y.
3
Seznam, ve kter´em se opakuje vektor, je vˇzdy line´arnˇe z´avisl´y.
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
5/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Pˇr´ıklad Nulov´a line´arn´ı kombinace x1 · a1 + . . . xs · as = o v Fr , kde a1s a11 a2s a21 a1 = . , . . . , as = . .. .. ars
ar 1 k´oduje soustavu r line´arn´ıch rovnic x1 a11 + x2 a12 + · · · + xs a1s
= 0
x1 a21 + x2 a22 + · · · + xs a2s
= 0 .. .
x1 ar 1 + x2 ar 2 + · · · + xs ars
= 0
o s nezn´am´ych nad F. Seznam (a1 , . . . , as ) je line´arnˇe nez´avisl´y pr´avˇe tehdy, kdyˇz tato soustava m´a pouze trivi´aln´ı ˇreˇsen´ı x1 = x2 = · · · = xs = 0. Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
6/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Definice (line´ arn´ı nez´ avislost mnoˇ ziny vektor˚ u) ˇ At’ M je mnoˇzina vektor˚ u v line´arn´ım prostoru L. Rekneme, ˇze M je line´arnˇe nez´avisl´a, pokud plat´ı jedna z n´asleduj´ıc´ıch podm´ınek: 1
Mnoˇzina M je pr´azdn´a.
2
M = {~x1 , . . . , ~xn } je nepr´azdn´a koneˇcn´a mnoˇzina a nav´ıc plat´ı: kdykoli a1 · ~x1 + · · · + an · ~xn = o~ , pak a1 = a2 = · · · = an = 0.
3
M je nekoneˇcn´a mnoˇzina a kaˇzd´a jej´ı koneˇcn´a podmnoˇzina je line´arnˇe nez´avisl´a.
ˇ Rekneme, ˇze mnoˇzina M je line´arnˇe z´avisl´a, pokud nen´ı line´arnˇe nez´avisl´a.
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
7/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Pˇr´ıklady 1
2
{~ o } je line´arnˇe z´avisl´a mnoˇzina v jak´emkoli line´arn´ım prostoru L. Obecnˇeji: at’ o~ ∈ M, potom M je line´arnˇe z´avisl´a mnoˇzina. 1 0 0 Mnoˇzina {0 , 1 , 0} je line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina 0 0 1 v R3 . Obecnˇeji: definujte pro i = 1, . . . , n, vektor ei ∈ Rn jako n-tici maj´ıc´ı na i-t´e posici 1 a vˇsude jinde 0. Potom {e1 , . . . , en } je line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina v Rn .
3
Nekoneˇcn´a mnoˇzina {1, x, x 2 , x 3 , . . . } je line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina v prostoru polynom˚ u R[x].
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
8/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Pˇr´ıklady (pokraˇ c.) 1 −1 1 4 Mnoˇ zina {−7 , 2 , 8 } je line´arnˇe z´avisl´a 3 1 −9 mnoˇzina v R3 . D˚ uvod:
1 −1 1 0 2 · −7 + 3 · 2 + 1 · 8 = 0 3 1 −9 0
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
9/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Tvrzen´ı At’ M je line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina vektor˚ u v line´arn´ım prostoru L. Jakmile N ⊆ M, je i N line´arnˇe nez´avisl´a mnoˇzina vektor˚ u. D˚ ukaz. Pˇredn´aˇska. Slogan Ubereme-li z line´arnˇe nez´avisl´e mnoˇziny vektor˚ u nˇejak´e vektory, je v´ysledn´a mnoˇzina opˇet line´arnˇe nez´avisl´a.
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
10/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Tvrzen´ı At’ M je line´arnˇe z´avisl´a mnoˇzina vektor˚ u v line´arn´ım prostoru L. Jakmile N je mnoˇzina vektor˚ u z L a plat´ı M ⊆ N, je i N line´arnˇe z´avisl´a mnoˇzina vektor˚ u. D˚ ukaz. Pˇredn´aˇska. Slogan Pˇrid´ame-li do line´arnˇe z´avisl´e mnoˇziny vektor˚ u nˇejak´e vektory, je v´ysledn´a mnoˇzina opˇet line´arnˇe z´avisl´a.
Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
11/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Vˇ eta (charakterisace line´ arnˇ e nez´ avisl´ ych mnoˇ zin) Pro mnoˇzina M vektor˚ u z line´arn´ıho prostoru L jsou n´asleduj´ıc´ı podm´ınky ekvivalentn´ı: 1
Mnoˇzina M je line´arnˇe nez´avisl´a.
2
Pro kaˇzd´y vektor ~x 6∈ span(M) je mnoˇzina M ∪ {~x } line´arnˇe nez´avisl´a.
D˚ ukaz. Pˇredn´aˇska. Ilustraˇ cn´ı obr´ azek
~x
span(M) Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
12/13
Trivi´ aln´ı a nulov´ e line´ arn´ı kombinace Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
Vˇ eta (charakterisace line´ arnˇ e z´ avisl´ ych mnoˇ zin) Pro mnoˇzina M vektor˚ u z line´arn´ıho prostoru L jsou n´asleduj´ıc´ı podm´ınky ekvivalentn´ı: 1
Mnoˇzina M je line´arnˇe z´avisl´a.
2
Existuje mnoˇzina N ⊆ M, N 6= M takov´a, ˇze span(N) = span(M).
D˚ ukaz. Pˇredn´aˇska. Ilustraˇ cn´ı obr´ azek
span(M) Jiˇr´ı Velebil: Line´ arn´ı algebra
14.10.2016: Line´ arn´ı z´ avislost a nez´ avislost
13/13
