Basisbegrippen van de eindige elementen methode Dimitri Debruyne Onderzoeksgroep machine- en prototypebouw
Inhoud cursus 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Algemene situering van de EEM Korte herhaling van matrixalgebra Veerkettingen en vakwerken 2D problemen: lineaire driehoeken Demonstratie + praktijkvoorbeelden 2D problemen: andere vlakspanningselementen Raamwerken Platen En verder … (3D elementen, plasticiteit, contact, …) Inleiding tot het labo eindige elementen (+ tips)
1
Algemene situering van de eindige elementen methode Waarvoor
worden EEM gebruikt?
Definitie Basisidee Praktische
werkwijze
Praktijkvoorbeelden
Waarvoor worden eindige elementen methodes niet gebruikt?
Mechanische, thermische, … problemen met
eenvoudige geometrie eenvoudige belastingen eenvoudige randvoorwaarden eenvoudige materiaaleigenschappen én eenvoudige resultaten gewenst!
Bijvoorbeeld:
Doorbuiging van een as t.g.v. een puntbelasting Temperatuursverloop in een plaat t.g.v. een stationaire bron Stromingsenergie van een stationaire vloeistof in een leiding …
2
Ingeklemd aan één zijde
Uniforme druk P
↓
Ingeklemd aan beide zijden
Elasticiteitsleer
Pl 4 U= 8 EI
Uniforme temperatuursverlaging ∆T
↓
Thermische spanningen
σ = E α ∆T
3
Waarvoor worden eindige elementen methodes wel gebruikt?
Mechanische, thermische, … problemen met
minder eenvoudige geometrie minder eenvoudige belastingen minder eenvoudige randvoorwaarden minder eenvoudige materiaaleigenschappen én voor gedetailleerde oplossingen
Bijvoorbeeld:
Spanningsverloop in een doorgebogen as Thermische spanningen in een plaat t.g.v. een stationaire T-bron Wrijvingsenergie van een stationaire vloeistof in een leiding …
Ingeklemd aan één zijde
Uniforme druk P
↓
Gedetailleerd spanningsverloop
4
Ingeklemd aan beide zijden
Uniforme temperatuursverlaging ∆T
↓
Laterale compressie
Basisidee
3000 toeren per minuut 625°C Verschillende materialen Asymmetrische belasting Las- en boutverbindingen …
↓ Eenvoudige formules niet langer bruikbaar
5
Basisidee
Verdeel in kleine elementen Definieer in elk element randvoorwaarden Splits de uniforme krachten op in puntkrachten Los fysische vergelijkingen op in elk element “Plak” tenslotte alles terug samen
Basisidee
Analyse van:
Spanningen Rekken Verplaatsingen Temperaturen Wrijving Lassen Gasstroming Turbulentie …
6
Definitie “The finite element method is a computer-aided mathematical technique for obtaining approximate numerical solutions to the abstract equations of calculus that predict the response of physical systems subjected to external influences” Burnett, 1988
D.S Burnett, Finite Element Analysis From Concept to Applications, 1988 O.C. Zienkiewicz en R.L. Taylor, The Finite Element Method, Volume 1,2 en 3, 1991 R.D. Cook, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, 1989 K.J. Bathe, Finite Element Procedures, 1996 D.R.J. Owen en E. Hinton, Finite Elements in Plasticity, 1982
EEM is een benaderende oplossing …
De nauwkeurigheid van de resultaten kan in principe onbeperkt opgedreven worden, maar
Technische beperkingen: computerkracht Economische factor: tijd Kwaliteit van de input: materiaalgegevens, belastingen, … ↓ Bepaalde vereenvoudigingen dienen gemaakt te worden ⇓ Introductie van modelleerfouten
De taak van de ontwerpingenieur is deze fouten te minimaliseren. Dit vereist ervaring en een grondige kennis van de theorie van EEM!
7
EEM lost algebraïsche vergelijkingen op …
Dit kunnen differentiaal-, integraal-, variationele, integrodifferentiaal … vergelijkingen zijn die de onderliggende fysische wetmatigheden beschrijven
Elasticiteit: σ = Eε Plasticiteit: dε1/σ’1 = dε2/σ’2 = dε3/σ’3 = dλ Warmte-overdracht door geleiding: dT/dt = a d2T/dx2 Warmte-overdracht door straling: E = σT4 Stromingsenergie van een vloeistof: E = ½ ρv2 + ρgz + p …
Alle fysische processen die beschreven kunnen worden via analytische wetten kunnen (in principe) gemodelleerd worden!
EEM wordt toegepast op een fysisch systeem …
Dit kunnen zowel vaste stoffen, vloeistoffen als gassen zijn, en combinaties van deze
Sterkteberekeningen op mechanische constructies Vormgevingsprocessen Breuk en faalmechanismen Thermische en elektromagnetische systemen Stroming en diffusie van gassen en vloeistoffen Akoestiek, trillingen en schokanalyses Quantummechanische fenomenen …
Alle macroscopische fysische systemen kunnen (in principe) gemodelleerd worden!
8
EEM modelleert externe invloeden …
De aard van deze invloeden definieert de aard van het probleem. EEM is geschikt voor
Randvoorwaardeproblemen: geen tijdsafhankelijkheid → statische krachten (verplaatsingen bij mechanische problemen, temperatuur bij stationair warmtetransport, vloeistofsnelheden bij stationaire stroming, …) Beginvoorwaardeproblemen: tijdsafhankelijke krachten en/of randvoorwaarden (vormgevingsprocessen, crash test, turbulente stroming, …) Eigenwaardeproblemen: onafhankelijk van externe krachten (trillingen, knikanalyse, laminaire stroming, …)
Oplossingsmethode wijzigt naargelang het beschouwde probleem
Praktische werkwijze van een EEM analyse
3 fazen
Pre-processing fase
Processing fase
Post-processing fase
9
Pre-processing fase 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Modellering van de geometrie (CAD) Assemblage van de verschillende onderdelen Input van de materiaalgegevens Definiëren van het probleem Interacties tussen verschillende componenten definiëren Aanbrengen van randvoorwaarden Aanbrengen van externe krachten Elementkeuze en vermazing
Illustratie: drukvat op trailer Realiteit
Maximale interne druk 3 bar Al constructie Knikgevaar
10
Stap 1&2: Modellering van geometrie en assemblage
Stap 3: Input van de materiaalgegevens
Elasticiteitsmodulus Densiteit Plastisch gedrag Thermische eigenschappen Elektrische eigenschappen ….
11
Stap 4&5: Definitie van het probleem en interacties
Definiëren van lassen, boutverbindingen, contactzones, wrijving e.d.
Statische sterkteberekening
Stap 6&7: Aanbrengen van randvoorwaarden en belastingen
Gewicht (zwaartekracht) Interne druk
Symmetrie Bevestiging op chassis
12
Stap 8: Elementkeuze en vermazing
2D kwadratische shell elementen Combinatie gestructureerde/gesweepte mesh
Elementgrootte: 4 x plaatdikte
Processing fase
Verloopt volledig automatisch
Systeemvergelijkingen worden opgelost (eventueel kan aangegeven worden hoe de vergelijkingen opgelost dienen te worden)
Tijdsduur afhankelijk van: Aantal en soort elementen Soort analyse Lineair of niet- lineair materiaalgedrag Aanwezigheid van contact, … …
13
Post-processing fase
Analyse van relevante systeemeigenschappen
Spanningen Verplaatsingen en rekken Energieën Temperatuur Elektromagnetische velden Stroming …
Manipulatie van berekende gegevens
Post-processing
Evaluatie van lassen en plaatdiktes
14
Illustratie: buishydroforming
Buishydroforming: typische toepassingen
15
Hydroformen van een Y-stuk
Relevante parameters Hoogte van de protrusie Afrondingsstralen Helling van de protrusie Minimale vereiste wanddikte
Optimaliseren van Inwendige druk Axiale kracht Matrijsgeometrie
Stap 1: Modellering van geometrie
Buis:
Matrijs (onvervormbaar) Protrusie Afronding
Lengte Diameter Wanddikte
Counterpunch
16
Stap 2: Assemblage
Stap 3: Input van de materiaalgegevens σtrue = σ (1 + e) εtrue = ln(1 + e)
Elasticiteitsmodulus E Coëfficiënt van Poisson ν Plastisch gedrag (ware rekken en spanningen!) Densiteit ρ
17
Stap 4: Definitie van het probleem (oplossingsmethode)
Dynamisch Niet-lineair materiaalgedrag Expliciete oplossingsmethode
Stap 5: Interacties vastleggen
Wrijving tussen matrijs en buis Coulomb wrijving µ = 0.1
18
Stap 6: Aanbrengen van randvoorwaarden Matrijs fixeren Buisuiteinden aansturen Sturing van de counterpunch
Stap 7: Aanbrengen van de belasting
Inwendige druk
19
Stap 8: Elementkeuze en vermazing
Buis: kwadratische 2D quads Matrijs: lineaire 3D tets
Uiteindelijke simulatie
20
Von Mises spanningen
Verplaatsingen
21
Wanddikte
Vervormingsenergie
22
Lineaire elastische analyse: trailer
Bron: wtbk.org
Warmteontwikkeling: actuator
Bron: wtbk.org
23
Dynamisch gedrag: crash test
Bron: Oak Bridge National Laboratory
Bron: LS-Dyna
Vormgeving: plooioperatie op buis
Bron: wtbk.org
24
Knik: eigenmodes van een buis onder torsie
Bron: wtbk.org
Luchtstroming door convectie: gloeilamp
Bron: Comsol
25
Akoestiek: knalpot
Bron: Comsol
Elektromagnetisme: signatuur van een duikboot
Bron: Comsol
26
Airbag
Bron: LS-Dyna
27
