Hatv´anysorok norm´alt gy˝ur˝ukben ´es Banach-algebr´akban Darvas Tam´as Babe¸s-Bolyai Tudom´anyegyetem Matematika-informatika szak, II. ´ev
2006. m´ajus 10.
Hatv´anysorok norm´alt gy˝ur˝ukben ´es Banach-algebr´akban
1
A probl´emak¨or ...
2
Hadamard t´etelei
3
Norm´alt gy˝ ur˝ uk
4
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ ur˝ ukre
5
Hadamard t´etelei Banach-algebr´akra
A probl´emak¨or ...
Legyen A egy kommutat´ıv norm´alt gy˝ ur˝ u, ´es p, q ∈ A[[X]]. Legyen Rp ´es Rq , a megfelel˝o sorokhoz tartoz´o konvergenciasug´ar, p · q pedig jel¨ oli a p ´es q Cauchy-szorzat´at. Tanulm´anyozzuk azt az esetet, amikor: Rp·q > min {Rp , Rq }
Hatv´anysorok norm´alt gy˝ur˝ukben ´es Banach-algebr´akban
1
A probl´emak¨or ...
2
Hadamard t´etelei
3
Norm´alt gy˝ ur˝ uk
4
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ ur˝ ukre
5
Hadamard t´etelei Banach-algebr´akra
Hadamard t´etelei
P n ´ Ertelmez´ es: Legyen ρ ∈ C[[X]], azaz ρ(X) = ∞ n=0 an X komplex hatv´anysor. Bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝o jel¨ol´eseket:
am am+1 am+2 . . . am+p
am+1 am+2 am+3 . . . am+p+1
Dm,p = . . .. .. .. ..
.. . . .
am+p am+p+1 am+p+2 . . . am+2p 1
lp = lim sup |Dm,p | m m→∞
1
l = lim sup |am | m m→∞
egy
Hadamard t´etelei
T´ etel: [Hadamard t´ etelei] lp ≤ lp+1 ∀p ∈ N Annak az el´egs´eges ´es sz¨ uks´eges felt´etele, hogy l´etezik olyan p-ed fok´ u P polinom, melyre a P · ρ hatv´anysor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ sor´e, a k¨ovetkez˝o: lp < lp+1
Hadamard t´etelei
Ha lp−1 = lp ´es lp < lp+1 , akkor k´epezve a k¨ovetkez˝o Am rendszereket [A1m , A2m , ..., Apm ] ismeretlenekkel:
Am
am+p + A1m am+p−1 + . . . + Apm am =0 am+p+1 + A1m am+p + . . . + Apm am+1 =0 : ... am+2p−1 + A1m am+2p−2 + . . . + Apm am+p−1 = 0
kapjuk, hogy ∃ limm→∞ [A1m , A2m , ..., Apm ] = [A1 , A2 , ..., Ap ]. K´epezve a P (X) = 1 + A1 X + ... + Ap X p polinomot, a P · ρ hatv´anysor konvergenciak¨ore nagyobb mint a ρ sor´e.
Alkalmaz´as
P´ elda: A fenti t´etel alkalmaz´asak´ent n´ezz¨ uk a k¨ovetkez˝o p´eld´at. Legyen θ ∈ C[[X]] a k¨ovetkez˝o hatv´anysor: θ(X) = 1 − 2X + X 2 + X 3 − 2X 4 + X 5 + X 6 − 2X 7 + X 8 + . . . Hat´arozzuk meg θ ¨osszeg´et tudva, hogy a keresett ¨osszegf¨ uggv´eny racion´alis t¨ortf¨ uggv´eny ( PR(X) alak´ u , ahol R es P polinomok). (X) Megold´ as: Komplex anal´ızisb˝ol tudjuk, hogy a θ sor konvergenciasugara egyenl˝o lesz a P polinom gy¨okeinek abszol´ ut ´ert´eneinek minimum´aval. Annak f¨ uggv´eny´eben, hogy h´any ilyen minim´alis abszol´ ut ´ert´ek˝ u gy¨ok l´etezik, annyiad fok´ u lesz az Hadamard t´eteleiben szerepl˝ o legkisebb fok´ u P polinom.
Alkalmaz´as
an =
1, ha n 3k + 2 vagy 3k alak´ u −2, ha n 3k + 1 alak´ u 1
A fentiek alapj´an: l = R1 = lim supn→∞ kan k n = 1. Egyszer˝ u sz´a1 2 m m´ıt´asokkal kapjuk:l1 = lim supm→∞ kDm,1 k = l = 1. Teh´at nem l´etezik els˝o fok´ u P polinom u ´gy, hogy a P · θ sor konvergenciasugara nagyobb legyen mint a θ sor´e. Hasonl´o sz´am´ıt´asok ut´an viszont : 1 0 = l2 = lim supm→∞ kDm,2 k m < l3 = 1. Vagyis a keresett P polinom m´asodfok´ u.
Alkalmaz´as Keress¨ uk meg ezt a polinomot! K´epezz¨ uk a k¨ovetkez˝o egyenletrendszert: 1 − A1m · 2 + A2m · 1 =0 1 2 −2 + Am · 1 + Am · 1 = 0 Bel´athat´ o, hogy a megold´asok A1m = A2m = 1 ∀m ∈ N, vagyis a keresett polinom: P (x) = 1 + 1 · X + 1 · X 2 Szorozzuk ¨ossze a P polinomot a θ sorral: P θ(X) = 1 − X = R(X). Ezzel megkaptuk θ ¨osszeg´et: θ(x) =
1−x 1 + x + x2
Alkalmaz´as
´ anos´ıt´as tetsz˝oleges ρ komplex hatv´anysorra, Megjegyz´ es: Altal´ melynek az ¨osszege racion´alis t¨ortf¨ uggv´eny : 1
i = 0, meghat´arozzuk ρ konvergenciasugar´at( 1l = R)
2
megkeress¨ uk a Hadamard t´etel´eben szerepl˝o Pi polinomot
3
osszeszorozzuk a Pi polinomot a ρ sorral, vagyis ρ = ρ · Pi ¨
4
ha ρ egy polinom, akkor v´egezt¨ unk, ha v´egtelen sor, akkor alkalmazzuk a 2. l´ep´est mik¨ozben n¨ovelj¨ uk az i indexet
5
¨sszegz¨ o unk: a keresett racion´alis t¨ortf¨ uggv´eny sz´aml´al´oja P0 · P1 · . . . · Pi · ρ lesz, m´ıg nevez˝oje P0 · P1 · . . . · Pi .
Hatv´anysorok norm´alt gy˝ur˝ukben ´es Banach-algebr´akban
1
A probl´emak¨or ...
2
Hadamard t´etelei
3
Norm´alt gy˝ ur˝ uk
4
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ ur˝ ukre
5
Hadamard t´etelei Banach-algebr´akra
Norm´alt gy˝ur˝uk
´ Ertelmez´ es: Legyen (A, +, ·) egy asszociat´ıv gy˝ ur˝ u ´es N : A → R egy pozit´ıv f¨ uggv´eny. Azt mondjuk, hogy (A, +, ·, N ) norm´alt gy˝ ur˝ u, ha teljes¨ ulnek a k¨ovetkez˝o felt´etelek: N (0) = 0 ´es N (x) > 0 ∀x ∈ A∗ N (−x) = N (x) ∀x ∈ A N (x + y) ≤ N (x) + N (y) ∀x, y ∈ A N (x · y) ≤ N (x) · N (y) ∀x, y ∈ A
Norm´alt gy˝ur˝uk
N norm´at ”nem-Archim´ edeszinek” nevezz¨ uk, ha a harmadik felt´etel helyett a k¨ovetkez˝o, enn´el er˝osebb ´all fenn: N (x + y) ≤ max {N (x); N (y)} ∀x, y ∈ A N norma ”homog´ en a szorz´ asra n´ ezve” vagy ”abszol´ ut ´ ert´ ek”, ha a negyedik felt´etel helyett a k¨ovetkez˝o, enn´el er˝osebb ´all fenn: N (x · y) = N (x) · N (y) ∀x, y ∈ A
P´eld´ak P´ elda: Norm´alt gy˝ ur˝ ure a legegyszer˝ ubb p´elda a val´os vagy a komplex sz´amok teste felruh´azva a szok´asos abszol´ ut ´ert´ekkel. Legyen x ∈ Q tetsz˝oleges ´es p ∈ N pr´ım. Jelentse | · |p : Q → Q a k¨ ovetkez˝o f¨ uggv´enyt: |x|p =
1 pordp (x)
ordp (x) ∈ Z-t u ´gy kapjuk, hogy x-et a k¨ovetkez˝o alakba ´ırjuk: x = pordp (x) · uv , ahol sem u sem v nem oszthat´o p-vel, ´es le 1 ´ gyen defin´ıci´o szerint |0|p = 0 (pl. 14 o, hogy 5 2 = 2 ). Eszrevehet˝ Qp = (Q, +, ·, | · |p ) egy norm´alt test, melyben | · |p norma nemArchim´edeszi. A fentihez hasonl´oan megszerkeszthet˝o Zp = (Z, +, ·, | · |p ) kommutat´ıv norm´alt gy˝ ur˝ u is. Fontos megjegyz´es, hogy | · |p homog´en a szorz´asra n´ezve: |x · y|p = |x|p · |y|p ∀x, y ∈ Q.
Norm´alt Gy˝ur˝uk
T´ etel: Ha (A, +, ·, N )-ben N abszol´ ut ´ertek, akkor (A, +, ·) integrit´astartom´any. Bizony´ıt´ as: Felt´etelezz¨ uk, hogy nem igaz a t´etel ´all´ıt´asa. Legyenek x, y ∈ A z´erusoszt´ok u ´.h. x, y 6= 0 ´es x · y = 0. Ekkor N (x)N (y) = = N (x · y) = N (0) = 0, teh´at N (x) = 0 vagy N (y) = 0, ami ellentmond´as.
Norm´alt Gy˝ur˝uk
Megjegyz´ es: Mivel A zerusoszt´ hogy o mentes k¨ovetkezik, a ∗ megszerkeszthet˝o f rac(A) = b a ∈ A, b ∈ A h´anyadostest ´es A ≤ f rac(A). Legyen M : f rac(A) → R a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´eny: M
a b
=
N (a) N (b)
´ Eszrevehet˝ o, hogy M j´ol´ertelmezett f¨ uggv´eny, amely abszol´ ut ´ert´ek f rac(A) f¨ol¨ott. Term´eszetesen A topol´ogiai teljess´ege nem elegend˝o a f rac(A) test teljess´eg´ehez a sz´armaztatott norm´aval. Jel¨olje teh´at a tov´abbiakban F rac(A) a f rac(A) test topol´ogiailag teljes burkol´oj´at, amely szint´en test.
Hatv´anysorok norm´alt gy˝ur˝ukben ´es Banach-algebr´akban
1
A probl´emak¨or ...
2
Hadamard t´etelei
3
Norm´alt gy˝ ur˝ uk
4
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ ur˝ ukre
5
Hadamard t´etelei Banach-algebr´akra
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre
C´ elkit˝ uz´ es: Az el˝obbiekben ismertetett Hadamard eredm´eny kiterjeszt´ese tetsz˝oleges norm´alt gy˝ ur˝ ure, melyben a norma abszol´ ut ´ert´ek. Jel¨olje ρ ∈ A[[X]] a tov´abbiakban a k¨ovetkez˝o hatv´anysort: ρ(X) = c0 + c1 X + c2 X 2 + . . . + cn X n + . . . Legyen 0 < lρ < +∞ a ρ hatv´anysor Cauchy-f´ ele ´ alland´ oja, azaz 1 1 k lρ = lim supk→∞ kck k . Ugyanakkor legyen rρ = lρ a ρ konvergenciasugara.
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre ´ Ertelmez´ es: Legyen Aρ [X] ´es F rac(A)ρ [X] a k¨ovetkez˝o k´et halmaz: Aρ [X] = θ ∈ A[X] lθ·ρ < lρ F rac(A)ρ [X] =
θ ∈ F rac(A)[X] lθ·ρ < lρ
Aρ [X] (F rac(A)ρ [X]) azon A[X]-beli (F rac(A)[X]-beli) polinomokat tartalmazza, melyeket ¨osszeszorozva ρ-val a kapott sor konvergenciak¨ ore nagyobb mint a ρ sor´e.(pl. ha ρ(X) = 1 + X + X 2 + . . ., akkor 1 − X ∈ Aρ [X]). Bel´athat´o, hogy Aρ [X] ⊆ F rac(A)ρ [X]. T´ etel: Aρ [X] ide´alja A[X]-nek (Aρ [X]/A[X]). F rac(A)ρ [X] ide´alja F rac(A)[X]-nek (F rac(A)ρ [X]/F rac(A)[X]).
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre
´ Ertelmez´ es: Azt mondjuk, hogy P ∈ A[X] a ρ hatv´anysor egy minim´ alpolinomja, ha teljes´ıti az al´abbi k´et felt´etelt: P 6= 0 ´es lP ·ρ < lρ 6 ∃Q ∈ A[X] u ´.h. deg(Q) < deg(P ) ´es lQ·ρ < lρ . T´ etel: Legyenek P, Q ∈ Aρ [X] minim´alpolinomok, ekkor ∃a, b ∈ A u ´.h. aP − bQ = 0.
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre
´ Ertelmez´ es: Jel¨olje Pρ azt a F rac(A)ρ [X]-beli minim´alis fok´ u polinomot, melynek szabad tagja 1. A k¨ovetkez˝o t´etel megmutatja, hogy ez a polinom egy´ertelm˝ u. T´ etel: Q ∈ Aρ [X] ⇔ ∃F ∈ F rac(A)[X] u ´.h.Q(X) = F (X)Pρ (X) ∈ A[X] Bizony´ıt´ as: Mivel F rac(A)[X] f˝oide´algy˝ ur˝ u k¨ovetkezik, hogy ∃E ∈ F rac(A)[X] u ´.h. F rac(A)ρ [X] = (E). Legyen Pρ = eE0 . Mivel Aρ [X] ⊆ F rac(A)ρ [X] k¨ovetkezik a t´etel ´all´ıt´asa.
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre
Megjegyz´ es: A fenti ´all´ıt´as k¨ovetkezm´enye, hogy a Aρ [X] elemei egy´ertelm˝ uen meghat´arozottak Pρ ´altal. A k¨ovetkez˝okben m´odszert adunk Pρ meghat´aroz´as´ara (ha l´etezik ilyen polinom).
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre
´ Ertelmez´ es: Hozz´arendelj¨ uk a ρ ∈ A[[X]] sorhoz a k¨ovetkez˝o ´alland´ okat:
cm cm+1 cm+2 . . . cm+p
cm+1 cm+2
c . . . c m+3 m+p+1
Dm,p = .
.. .. .. ..
..
. . . .
cm+p cm+p+1 cm+p+2 . . . cm+2p 1
lp = lim sup k Dm,p k m m→∞
1
l = lim sup k cm k m m→∞
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre
T´ etel: Legyen (An )n≥k a k¨ovetkez˝o ”determin´ans-sorozat”:
cn+in1,1
cn+in
2,1 An = . .
.
cn+in p,1
cn+in1,2 cn+in2,2 .. .
cn+in1,2 cn+in1,2 .. .
cn+inp,2
cn+inp,2
. . . cn+in1,p . . . cn+in2,p .. .. . . . . . cn+inp,p
ahol ini,j ∈ N es |ini,j | ≤ k ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , p} (k tetsz˝oleges pozit´ıv 1
sz´am). Azt ´all´ıtjuk, hogy: lim supn→∞ kAn k n ≤ lp K¨ ovetkezm´ eny: lp ≤ lp+1 ∀p ∈ N
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre T´ etel: T´etelezz¨ uk fel, hogy l´etezik olyan P (X) = C 0 + C 1 X + . . . + C p X p ∈ F rac(A)[X] polinom (C 0 6= 0), melyre a P · ρ hatv´anysor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ sor´e. Ekkor ´all´ıthatjuk, hogy: lp < lp+1 T´ etel: Ha lp < lp+1 ´es lp−1 = lp , akkor l´etezik olyan P (Z) = 1 + C 1 Z + . . . + C p Z p ∈ F rac(A)[X] polinom, melyre a P · ρ sor konvergenciasugara nagyobb mint a ρ sor´e. Megjegyz´ es: K¨onnyen igazolhat´o, hogy: lp < lp+1 ⇒ ∃Q ∈ F rac(A)ρ [X] u ´.h. deg Q = p Ez k¨ ozvetlen k¨ovetkezm´enye annak, hogy Pρ oszt minden F rac(A)ρ [X]-beli polinomot.
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ur˝ukre
T´ etel: [Hadamard t´ etelei ”norm´ alt gy˝ ur˝ ukre”] lp ≤ lp+1 ∀p ∈ N Ha lp−1 = lp ´es lp < lp+1 , akkor k´epezve az al´abbi Am 1 , C 2 , . . . , C p ] ismeretlenekkel: ”egyenletrendszer-sorozatot” [Cm m m
Am
p 1c cm+p + Cm =0 m+p−1 + . . . + Cm cm p 1 cm+p+1 + Cm cm+p + . . . + Cm cm+1 =0 : . . . p 1c cm+2p−1 + Cm m+2p−2 + . . . + Cm cm+p−1 = 0
1 , C 2 , . . . , C p ] = [C 1 , C 2 , . . . , C p ] ∈ F rac(A)p . ∃ limm→∞ [Cm m m Ha [C 1 , C 2 , . . . , C p ] ∈ f rac(A)p ⇒ ∃Z ∈ A[X] u ´.h. deg Z = p ´es Z a ρ sor minim´alpolinomja
P´eld´ak Megjegyz´ es: Az lp−1 = lp ´es lp < lp+1 felt´etelek sz¨ uks´egesek, de ellent´etben a komplex esettel, nem el´egs´egesek a minim´alpolinom l´etez´es´ehez, mint ahogy ezt az al´abbi p´elda is igazolja. P´ elda: Legyen a gy˝ ur˝ u, amely f¨ol¨ott dolgozunk Z, az abszol´ ut ´ert´ekkel ell´atva, ´es legyen ρ ∈ Z[[X]] az a hatv´anysor, melynek egy¨ utthat´oit az al´abbi k´eplet hat´arozza meg: zn = [en ] K¨onnyen ´eszrevehet˝o, hogy l = e. Megkeress¨ uk a Pρ polinomot, de el˝obb l´assuk be az al´abbi egyenl˝otlens´egeket: −1 < [en+1 ] − e[en ] < e K¨ovetkezik, hogy |[en+1 ] − e[en ]| < e ∀n ∈ N.
P´eld´ak
Vizsg´aljuk meg Dm,1 ´ert´eket:
m
m+1 m]
[e ]
zm z m+1
em+2 − e [e m+1 |Dm,1 | = |
zm+1 zm+2 | = | em+1 e −e e
| ≤
≤ 2 em+2 · max | em+2 − e em+1 |, | em+1 − e [em ] | ≤ ≤ 2e · em+2 ´Irhatjuk, hogy: 1 1 l1 = lim sup |Dm,1 | m ≤ lim sup(2e · em+2 ) m = e < e2 = l2 m→∞
m→∞
K¨ovetkezik, hogy deg(Pρ ) = 1.
P´eld´ak
Keress¨ uk meg Pρ polinomot: Am :
1z zm+1 + Cm m =0
1 = − zm+1 = − A megold´as Cm zm 1 = −e, teh´ limm→∞ Cm at:
[em+1 ] [em ]
. K¨onnyen ´eszrevehet˝o, hogy
Pρ (X) = 1 − eX Nyilv´anval´o, hogy Pρ ∈ F rac(A)[X]\f rac(A)[X] = R[X]\Q[X]. Mivel Pρ oszt minden Aρ [X]-beli polinomot k¨ovetkezik, hogy Aρ [X] a null-polinomon k´ıv¨ ul nem tartalmaz semmit.
P´eld´ak
P´ elda: Ez a p´elda megmutatja, hogy Q ∈ Aρ [X] minim´alpolinom eset´en nem mindig lesz deg(Pρ ) = deg(Q). Legyen a gy˝ ur˝ u, amely f¨ol¨ ott dolgozunk Z , ell´atva az abszol´ ut ´ert´ekkel, ´es legyen ρ ∈ Z[[X]] az a hatv´anysor, melynek egy¨ utthat´oit az al´abbi k´eplet szerint hat´arozzuk meg: h√ n i 2 zn = √ ´ Eszrevehet˝ o, hogy l = 2. Megkeress¨ uk a Pρ polinomot, de el˝obb √ n+1 √ √ n √ l´assuk be, hogy |[ 2 ] − 2[ 2 ]| < 2 ∀n ∈ N.
P´eld´ak Vizsg´aljuk meg Dm,1 ´ert´ek´et:
zm zm+1 |Dm,1 | = |
zm+1 zm+2
= |
h√
√ h√ m i 2 2 − 2 2 h√ m+1 i h√ m+2 i √ h√ m+1 i 2 2 − 2 2 m
i
h√
m+1
i
| =
√ h√ m+2 i
| ≤ 2 2 · 2
Teh´at ´ırhatjuk: √ √ √ 2 1 1 l1 = lim sup |Dm,1 | m ≤ lim sup(2 2 · em+2 ) m = 2 < 2 = l2 m→∞
vagyis deg(Pρ ) = 1.
m→∞
P´eld´ak Keress¨ uk meg Pρ -t:
Am : h√
A megold´as
1 Cm
1 limm→∞ Cm
1z zm+1 + Cm m =0
m+1
i
2 √
=− . K¨onnyen ´eszrevehet˝o, hogy m [ 2 ] √ = 2, teh´at: √ Pρ (X) = 1 − 2X
Felt´etelezz¨ uk, hogy l´etezik Q ∈ Aρ [X] minim´alpolinom. L´attuk, hogy Pρ ∈ R[X]\Q[X]. Mivel Pρ oszt minden Aρ [X]-beli polinomot k¨ovetkezik, hogy deg(Q) > deg(Pρ ). Legyen Q alakja a k¨ovetkez˝o: √ √ Q(X) = 1 − 2X 2 = (1 − 2X)(1 + 2X) teh´at Q lehet a ρ egy minim´alpolinomja, ´es deg(Q) = 2.
Hatv´anysorok norm´alt gy˝ur˝ukben ´es Banach-algebr´akban
1
A probl´emak¨or ...
2
Hadamard t´etelei
3
Norm´alt gy˝ ur˝ uk
4
Hadamard t´etelei norm´alt gy˝ ur˝ ukre
5
Hadamard t´etelei Banach-algebr´akra
Banach-algebr´ak
Jelent´esen a tov´abbiakban (A, +, ·, k · k) egy kommutat´ıv norm´alt K f¨ol¨ otti Banach-algebr´at (K = C vagy K = R). Azt mondjuk, hogy a egy A-beli hatv´anysor, ha a : K → A: a(x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + . . . + an · xn + . . . ∀x ∈ K Legyen p ´es q k´et A-beli hatv´anysor, melyeknek egy¨ utthat´oi ´ (pm )m∈N ´es (qm )m∈N . Igy azonos´ıthat´o p ´es q a k¨ ovetkez˝o A∞ -beli oszlopvektorokkal: p → [p0 , p1 , p2 , p3 , ...]t q → [q0 , q1 , q2 , q3 , ...]t
Banach-algebr´ak ´ Ertelmez´ es: Legyen D : A∞ → M∞ (A) p0 0 0 p1 p0 0 D(p) = p2 p1 p0 p 3 p 2 p1 .. .. .. . . .
a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´eny: 0 ... 0 ... 0 ... p0 . . . .. .. . .
K¨onnyen igazolhat´o, hogy D algebramorfizmus A∞ ´es M∞ (A) k¨oz¨ ott. A fent bemutatott D oper´ator seg´ıts´eg´evel ´ertelmez¨ unk egy 0 ·0 m˝ uveletet az A∞ halmazon: p · q = D(p) · q = D(q) · p K¨onnyen ellen˝orizhet˝o, hogy (A, +, ·, K) kommutat´ıv algebra volt´ab´ ol (A∞ , +, ·, K) is kommutat´ıv algebra.
Banach-algebr´ak
´ Ertelmez´ es: Legyen l : A∞ → R∞ a k¨ovetkez˝o val´os ”funkcion´al”: 1
l(q) = lim sup kqm k m m→∞
Megjegyz´ es: A tov´abbiakban a D(p) ´es l(p) jel¨ol´esek helyett, Dp ´es lp lesz haszn´alatos.
Banach-algebr´ak
T´ etel: ∀p, q ∈ A∞ eset´en: lp+q ≤ max {lp , lq } T´ etel: ∀p, q ∈ A∞ eset´en: lp·q ≤ max {lp , lq }
Banach-algebr´ak ´ Ertelmez´ es: Legyen p ∈ A∞ u ´gy, hogy +∞ > lp > 0. Bevezetj¨ uk a k¨ovetkez˝ o h´arom halmazt: Up = {q ∈ A∞ |lp·q < lp } Vp = {q ∈ A∞ |lq < lp , lp·q < lp } W1 = {q ∈ A∞ |lq < 1} Teh´at Up azon q hatv´anysorok halmaza, melyekre a p · q sor konvergenciak¨ore nagyobb mint a p sor´e (lp·q < lp ). Hasonl´oan, Vp azon q hatv´anysorokat tartalmazza, melyeknek megvan az el˝obb elmondott tulajdons´aguk ´es konvergenciasugaruk nagyobb mint a p sor´e (lq < lp ), v´eg¨ ul W1 pedig azokat, amelyeknek konvergenciasugaruk szig. nagyobb mint 1.
Banach-algebr´ak
T´ etel: Up r´esztere A∞ -nek. T´ etel: Vp r´esztere Up -nek. Vp ´es W1 r´eszalgebr´ai A∞ -nek.
Banach-algebr´ak
´ Ertelmez´ es: Legyen ρ ∈ A∞ u ´.h. +∞ > lρ > 0. Jelentse ∞ Tρ : A → A∞ a k¨ovetkez˝o f¨ uggv´enyt: t q1 q2 q3 q4 Tρ (q) = q0 , , 2 , 3 , 4 , ... lρ lρ lρ lρ Egy´ertelm˝ u, hogy Tρ algebraautomorfizmus , teh´at Uρ ' Tρ (Uρ ), illetve Vρ ' Tρ (Vρ ). Legyen Uρ0 = Tρ (Uρ ), Vρ0 = Tρ (Vρ ) ´es it h ρ0 = Tρ (ρ) = ρl00 , ρl11 , ρl22 , ρl33 , ρl44 , ... ∈ A∞ . ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
T´ etel: Uρ ' Dρ−1 es Vρ ' W1 0 (W1 ) ´
T
Dρ−1 0 (W1 )
Banach-algebr´ak
Megjegyz´ es: Az T el˝oz˝o paragrafus utols´o t´etele szerint Vρ algebrailag megegyezik W1 Dρ−1 at elegend˝o egy norm´at bevezetni 0 (W1 )-el, teh´ az ut´ obbi halmazon, amelyet bijekt´ıven ´atvihet¨ unk az el˝obbire.
Banach-algebr´ak
´ Ertelmez´ es: Legyen | · |W1 : W1 → R+ a k¨ovetkez˝ o f¨ uggv´eny: (∞ ) X n ∗ |q|W1 = inf kqn k(1 + ε) ε ∈ R+ n=1
T´ etel: (W1 , +, ·, | · |W1 ) kommutat´ıv norm´alt algebra . T´ etel: (Vp0 , +, ·, | · |W1 ) kommutat´ıv norm´alt algebra.
Hadamard t´etele Banach-algebr´akra?
Sejt´ es[Hadamard t´ etele Banach-algebr´ akra?]: Dρ0 Toeplitz-oper´ator folytonos a Vρ0 halmazon W1
⇔ ∃Mρ ∈ R u ´.h. |Dρ0 (q)|W1 ≤ Mρ · |q|W1 ∀q ∈ Vρ0
