BAHAN AJAR MATEMATIKA EKONOMI
DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701
PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015
i
KATA PENGANTAR س ِم اﷲِال َّر ْحمٰ ِن ال َّر ِح ْيم ْ ِب Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-Nya yang begitu melimpah. Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam. Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Limit dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi, Diferensial dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi serta Integral dan Aplikasi dalam Bidang Ekonomi. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam pembelajaran Matematika Ekonomi bagi mahasiswa Pendidikan Matematika Metro, September 2015 Penyusun
ii
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL …….. ............................................................................. ……... i KATA PENGANTAR …….. ......................................................................... ……... ii DAFTAR ISI …….. ......................................................................................... ……... iii BAB I.FUNGSI LINEAR ……....................................................................... ……... 1 A. Pembentukan Persamaan Linear …….. ............................... ……... 1 B. Hubungan Garis Lurus……………………………………….………….. 2 C. Penyelesaian Akar-akar Fungsi ……………………………………… 6 D. Penerapan Ekonomi ………………………………………………………. 7 Latihan I ………………………………………………………………………………….. 25 BAB II.LIMIT FUNGSI ……......................................................................... ……... 25 A. Pengertian Limit …….. ............................................................... ……... 25 B. Limit Sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan ……………………………………… 26 C. Kaidah Limit ………………………………………………………………….. 29 D. Penerepan Ekonomi ……………………………………………………… 31 Latihan II ………………………………………………………………………………….. 36 BAB III. DIFERENSIAL …….. ..................................................................... ……... 38 A. Diferensial Parsial …….. ............................................................ ……... 38 B. Derivatid dari DIferensial Parsial …………………………………… 39 C. Nilai Ektrim …………………………………………………………………. 45 D. Penerepan Ekonomi ……………………………………………………… 42 Latihan III ………………………………………………………………………………… 53 BABIV. INTEGRAL …….. ............................................................................ ……... 55 A. Pengertian Integral …….. .......................................................... ……... 55 B. Integral Tak Tentu ………………….……………………………………… 55 C. Penerapan Ekonomi……………………………………………………….. 58 D. Integral Tertentu ….. ……………………………………………………… 62 E. Kaidah Integral Tertentu ……………………………………………….. 62 F. Penerapan Ekonomi ……………………………………………………… 65 Latihan IV ……………………………………………………………………………….. 68 DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………………………………. 69
iii
BAB I FUNGSI LINEAR A.
Pembentukan Persamaan Linear
1.
Metode “ dwi- kooordinat” Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-
masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka persamaan linearnya adalah:
Contoh: Bentuklah persamaan linear yang memenuhi titik A (2, 3) dan B (6, 5) Penyelesaian:
3 3 3
5
2 2 2
6
2
4
4
12
2
4
2
8
5
2
4
Y 5
y = 0,5x + 2
3
B(6,5)
A(2,3)
2 0
2
6
X
1
2.
Metode “koordinat – lereng” Apabila diketahui koordinat titik A(x1, y1) dan lereng garisnya
adalah a, maka persamaan gagrisnya adalah: (
)
Contoh : Bentuklah persamaan linear yang memenuhi titik
A(2, 3) dan
lereng garisnya a = 0,5. y-y1 = a (x – x1) y – 3 = 0,5 (x – 2) y = 0,5x – 1 + 3 y = 0,5x + 2 B.
1.
Hubungan Dua Garis Lurus
Berimpit Dua buah garis lurus akan berhinpit apabila persamaan garis yang
satu merupakan kelipatan dari persamaan garis yang lain. Dengan demikian, garis ny = n(ax + b) akan berimpit dengan garis y = ax + b untuk n = bilangan positif.
2
2.
Sejajar Dua buah garis lurus akan sejajar apabila lereng garis yang satu
sama dengan lereng garis yang lain. Dengan demikian, garis y = a1x + b1 akan sejajar dengan garis y = a2x + b jika a1 = a2. (tentu saja b1 harus tidak sama dengan b2. Jika b1 = b2 juga, kedua garis itu akan berimpit).
3.
Berpotongan Dua buah garis lurus akan berpotongan apabila lerang garis yang
satu tidak sama dengan lereng garis yang lain. Dengan demikian, garis y = a1x + b1 akan berpotongan dengan garis y = a2x + b2 jika
3
4.
Tegak lurus Dua buah garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng garis
yang satu merupakan kebalikan dari lereng garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demiikian, garis y = a1x + b1 akan tegak lurus dengan garis y = a2x + b2 jika
C.
atau
1.
Pencarian Akar-Akar Fungsi Mencari akar-akar fungsi maksudnya ialah menghitung besarnya
nilai variabel-variabel tertentu di dalam persamaan sebuah fungsi. Beberapa persamaa dapat diselsaikan dengan 3 macam cara yaitu: cara substitusi, cara eliminasi dan cara determinan.
1.
Cara substitusi Contoh: Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Penyelsaian: Selsaikanlah lebih dahulu persamaan kedua untuk variabel x, diperoleh: x = 23 – 4y. Kemudian substitusikan hasil x ( yang masih mengandung y) ini kedalam persamaan pertama: 2(23 – 4y) + 3y = 21 4
46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21 25 = 5y y=5 atau x + 4(5) = 23 x + 20 = 23 x=3 Jadi akar-akar persamaan tersebut adalah x = 3 dan y = 5
2.
Cara eliminasi Dua persamaan dengan dua bilangan dapat diselsaikan dengan cara
menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan yang ada, sehingga dapat dicari nilai atau harga dari bilangan yang lain. Contoh: Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Penyelsaian: 2x + 3y = 21
x1
2x + 3y = 21
x + 4y = 23
x2
2x + 8y = 46
2x + 3y = 21 2x + 8y = 46 -5y = - 25 y=5 2x + 3y = 21 2x + 3(5) = 21 2x + 15 = 21 2x = 21 – 15 2x = 6 5
x=3 Jadi akar-akar persamaan tersebut adalah x= 3 dan y = 5
3.
Cara determinan Secara umum suatu determinan dilambangkan dengan notasi
|
| di mana unsur-unsur a, b, d, e mencerminkan bilangan-bilangan
tertentu. Prinsip pengerjaan determinan adalah dengan mengalikan unsur-unsurnya secara diagonal, dari kiri-atas menurunkan ke kananbawah dan dari kiri-bawah menaiki ke kanan-atas, kemudian mengurangkan hasil perkalian menaik dari hasil perkalian menurun. |
|
|
(
|
)(
)
2
34
Untuk determinan berderajat tiga: |
|
Contoh: | 3 |1 3
2 5 6 2 2
4 | 7 4 5| 7
(2)(7)
(5)( 4)
14
(3)( 2)(7)
(6)(5)(3)
(4)(2)(1)
(3)( 2)(4)
(1)(6)(7)
(3)(5)(2)
42
9
8
24
42
3
8
Dua persamaan dengan dua bilangan ax + by = c dx + ey = f maka pencarian harga-harga variabel x dan varabel y dapat dihitung sebagai berikut:
6
|
|
|
|
|
|
|
|
Contoh: Carilah nilai variabel-variabel x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Penyelsaian: 21 | 23 2 | 1 2 | 1 2 | 1
3 | 4 3 | 4 21 | 23 3 | 4
(21) (4) (23)(3) (2)(4) (1)(3)
84 8
69 3
15 5
3
(2) (23) (1)(21) (2)(4) (1)(3)
46 8
21 3
25 5
5
D.
PENERAPAN EKONOMI
1.
Fungsi Permintaan Dan Fungsi Penawaran Fungsi permintaan menghubungkan antara variabel harga dengan
variabel jumlah (barang/jasa) yang diminta. Bentuk umum fungsi permintaan
7
Grafik fungsi permintaan :
Dalam bentuk permintaan diatas terlihat bahwa variabel P ( Harga / Price ) dan variabel Q ( Jumlah / Quantity ) mempunyai tanda yang berlawanan. Ini mencerminkan berlakunya hukum permintaan ,bahwa apabila harga turun jumlah yang diminta akan naik . Variabel harga berbanding terbalik dengan variabel jumlah , oleh karena itu kurva permintaan berlereng negatif. Sedangkan fungsi penawaran menghubungkan antara variabel jumlah (barang / jasa) yang ditawarkan. Bentuk umum fungsi penawaran
Grafik fungsi penawaran :
8
Dalam bentuk persmaan diatas terlihat bahwa variabel P (harga) dan variabel Q (jumlah) mempunyai tanda yang sama yaitu sama – sama positif . ini mencerminkan berlakunya hukumnya hukum penawaran ,bahwa apabila harga turun jumlah yang ditawarkan akan berkurang .jadi variabel harga berbanding lurus dengan variabel jumlah ,oleh karena itu kurva penawaran berlereng positif. Rumus-rumus untuk mencari fungsi permintaan dan fungsi penawaran: a.
=
atau
=
b. P – P1 = m ( Q – Q1 ) Dimana c. Syarat harga tertinggi adalah Q = 0 Contoh : Suatu produk jika harganya Rp 100 maka produk itu terjual 10 unit dan jika harganya Rp 75 terjual 20 unit. Tentukan fungsi permintaan dan grafiknya ! Penyelesaian : Diketahui : Q1 = 10 Q2 = 20
P1 = 100
P2 = 75 9
Ditanya : Fungsi permintaan dan grafik Penyelesaian : = = = Q – 10 =
(P – 100)
Q – 10 = 40 - P Q = 50 - P
2.
Keseimbangan Pasar Pasar suatu barang berada dalam keseimbangan (equlibrium)
apabila jumlah barang yang diminta di pasar tersebut sama dengan jumlah barang yang ditawarkan Bentuk umum keseimbangan pasar :
Qd : jumlah permintaan
Qs : jumlah penwaran
E : titik keseimbangan
Pe : harga keseimbangan 10
Qe : jumlah keseimbangan Grafik keseimbangan pasar :
3.
Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar Pengenaan pajak atas sesuatu barang akan mempengaruhi
keseimbangan pasar barang tersebut baik harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan. Pajak yang dikenakan atas penjualan sesuatu barang menyebabkan harga jual barang tersebut menjadi lebih mahal. Sebab setelah dikenakan pajak, produsen akan berusaha mengalihkan beban pajak tersebut kepada konsumen,yaitu dengan jalan menawarkan harga jual yang lebih tinggi. Akibatnya harga keseimbangan sebelum pajak,dan jumlah keseimbangan menjadi lebih
sedikit. Pajak yang dikenakan hanya
mempengaruhi fungsi penawaran sehingga fungsi permintaan setelah dikenakan pajak adalah tetap. Fungsi permintaan : Pd = a – bQ Fungsi penawaran sebelum pajak : Ps = a + bQ 11
fungsi penawaran sesudah pajak : Pst = Ps + t Titik keseimbangan pasar sebelum pajak : E(Qe , Pe) Harga keseimbangan sebelum pajak : Pe Jumlah keseimbangan sebelum pajak : Qe Titik keseimbangan pasar sesudah pajak : Et(Qt , Pt) Harga keseimbangan sesudah pajak : Pt Jumlah keseimbangan sesudah pajak : Qt Penerimaan pajak total oleh pemerintah : T = t . Qt Besarnya pajak yang ditanggung oleh konsumen : T = (Pt - P) . t Besarnya pajak yang ditanggung oleh produsen : T = t . Qt - (Pt - P) .t Dimana : T = jumlah penerimaan pajak oleh pemerintah T = pajak yang ditanggung oleh konsumen T = pajak yang ditanggung oleh produsen t = pajak per unit produk Qt = jumlah keseimbangan setelah dikenakan pajak Grafik keseimbangan pasar mula-mula dan setelah dikenakan pajak :
12
Contoh : Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 15 – Q dan fungsi penawarannya P = 0,5Q + 3. Produk tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar Rp 3 per unit. a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak ? b. Gambarkan harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan setelah pajak dalam satu grafik ! Penyelesaian : Diketahui : Pd = 15 – Q Ps = 0,5 Q + 3 a.
t=3
Jika Pd = Ps
15 – Q = 0,5 Q + 3 -1,5 Q = -12 maka Q = 8 sehingga P = 15 – 8 = 7 Jadi harga keseimbangan sebelum di kenakan pajak adalah 7 dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dikenakan pajak adalah 8. Sehingga titik keseimbanganya adalah E (8,7). Pst = Ps + t 13
Pst = 0,5 Q + 3 + 3 = 0,5 Q + 6 Jika Pd = Pst 15 – Q = 0,5 Q + 6 -1,5 Q = -9 maka Qt = 6 sehingga Pt = 15 – 6 = 9 Jadi jumlah keseimbangan pasar setelah di kenakan pajak adalah 6 dan hrga keseimbangan pasar setelah dikenakan pajak adalah 9. Sehingga titik keseimbangan pasar setelah di kenakan pajak adalah Et (6,9). b. Gambar grafik
4.
Keseimbangan Pasar Kasus Dua Komoditi Permintaan suatu barang seringkali tidak hanya dipengaruhi oleh
harga barang yang bersangkutan, tetapi juga dipengaruhi oleh harga barang lainnya. Contohnya seperti barang substitusi (kopi dan teh), barang komplementer (gula dan teh) Q x = f ( P x , Py ) dan Qy = g ( Py , P x )
14
Ketentuan: Qx bisa berubah menjadi Qdx atau Qsx tergantung jenis fungsi tersebut fungsi permintaan atau fungsi penawaran dan begitu pula dengan Px. Dimana : Qdx = jumlah permintaan x
Qdy = jumlah permintan akan
y Qsx = jumlah penawaran produk x Qsy = jumlah penawaran produk y P x = harga barang x
Py = harga barang y
Contoh : Permintaan akan barang x ditunjukkan oleh persamaan Qdx =10 – 4Px + 2Py , sedangkan penawarannya Qsx = -6 + 6Px. Sementara itu permintaan akan barang y ditunjukkan oleh persamaan Qdy = 9 + 4Px – 3Py, sedangkan penawarannya Qsy = -3 + 7Py. Berapa harga keseimbangan yang tercipta di pasar untuk masing-masing barang tersebut? Dan berapa jumlah keseimbangan pasar yang tercipta untuk masing-masing barang tersebut? Pembahasan: Keseimbangan pasar barang x : Qdx = Qsx 10 – 4Px + 2Py = -6 + 6Px -10Px + 2Py = -16 .............(1) Keseimbnagan pasar barang y : Qdy = Qsy 9 + 4Px – 3Py = -3 + 7Py 4Px – 10Py = -12 ............(2) Dari (1) dan (2) 15
-10Px + 2Py = -16
x1
-10Px + 2Py
= -16
4Px – 10Py = -12
x 2,5 10Px – 25Py
= -30
-23Py = -46 Py = 2 Substitusikan Py = 2 ke persamaan (1) 10Px – 2Py = 16 10Px -2.2
= 16
10Px= 16 + 4 10Px= 20 Px= 2 Subtitusikan Px = 2 ke persamaan Qsx Qsx = -6 + 6 Px = -6 + 6(2) = 6 Subtitusikan Py = 2 ke persamaan Qsy Qsy = -3 + 7 Py = -3 + 7 (2) = 11 Jadi harga keseimbangan pasar untuk barang x adalah Rp 2 per unit dan
jumlah
keseimbanganya
adalah
6
unit.
Sedangkan
harga
keseimbangan pasar untuk barang y adalah Rp 2 per unit dan jumlah keseimbanganya adalah 11 unit.
5.
Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan Biaya total (total cost) yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan
dalam operasi bisnisnya terdiri dari biaya tetap dan biaya variabel. Biaya tetap adalah tidak tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Berapapun jumlah barang yang dihasilkan, jumlah biaya tetap senantiasa tidak berubah.secara matematis biaya tetap bukan merupakan fungsi jumlah barang yang dihasilkan, ia merupakan sebuah konstanta, dan kurvanya berupa garis lurus sejajar sumbu jumlah. Sebaliknya biaya variabel tergantung pada jumlah barang yang dihasilkan. Semakin banyak jumlah barang yang dihasilkan semakin besar pula biaya 16
variabelnya. Secara matematis biaya variabel merupakan fungsi jumlah barang yang dihasilkan, kurvanya berupa garis lurus berlereng positif dan bermula dari titik pangkal. FC = k VC = f(Q) = vQ C = f(Q) = FC +VC = k + vQ
Ket : FC = biaya tetap
VC = biaya variabel
C = biaya total
k
= konstanta
Q = jumlah barang Grafik fungsi biaya dan penerimaan
Contoh : Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp 20rb, sedangkan biaya variabelnya ditunjukan oleh persamaan VC = 100Q. Tunjukkan persamaan dan kurva biaya toalnya ! berapa biaya total
17
yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut jika ia memproduksi 500 unit output? Pembahasan: FC = 20.000 VC = 100Q C = FC +VC = 20.000 + 100Q Jika : Q = 500 C = 20.000 + (500) = 70.000 Grafik
Penerimaan sebuah perusahaan dari hasil penjualan barangnya merupakan fungsi dari jumlah barang yang terjual atau diproduksikan. Semakin banyak barang yang diproduksi dan terjual semakin besar pula penerimaannya. Penerimaan total adalah hasil kali jumlah barang yang terjual dengan harga jual per unit barang tersebut. R = f(Q) = Q 18
Contoh: Harga jual produk yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan Rp 200, 00 per unit. Tunjukkan persamaan dan kurva penerimaan total perusahaan ini. Berapa besar penerimaannya bila terjual barang sebanyak 350 unit? Pembahasan: P = Rp 200,00 Q = 350 R=QxP = Q x 200 = 200Q Bila Q = 350, R = 200(350) = 70.000 Grafik
19
6.
Pendapatan Disposabel Pendapatan disposabel (disposable income) adalah pendapatan
nasional yang secara nyata dapat dibelanjakan oleh masyarakat. Pendapatan disposabel dilambangkan dengan Yd. Terdapat dua faktor yang mempengaruhi
pendapatan disposabel, yaitu faktor yang
memperkecil dan faktor yang memperbesar pendapatan disposabel. Faktor yang memperkecil pendapatan disposabel adalah pajak. Apabila tidak terdapat pajak maka besar pendapatan disposabel sama dengan pendapatan nasional tetapi karena terdapat pajak maka besar pendapatan disposabel lebih kecil dari pendapatan nasional. Faktor
yang
memperbesar
pendapatan
disposabel
adalah
pembayaran alihan (tunjangan pensiun, tunjangan hari raya, gajih bulan ke-13, dll). Karena ada pembayaran alihan maka pendapatan disposabel lebih besar dari pendapatan nasional. Sehingga fungsi konsumsiyang riil adalah : C = a + bYd Uraian pendapatan disposabel berdasarkan ada tidaknya pajak dan pembayaran alihan
Tidak ada pajak maupun pembayaran alihan Yd = Y
Ada pajak tapi tidak ada pembayaran alihan Yd = Y
Tidak ada pajak tapi ada pembayaran alihan
Yd = Y + R
Ada pajak dan ada pembayaran alihan Yd = Y – T + R
20
Contoh : Fungsi konsumsi masyarakat suatu negara ditunjukkan oleh C = 25 + 0,5Yd. jika pemerintah menerima pembayaran pajak sebesar 16 dari masyarakat tetapi juga memberikan pembayaran alihan sebesar 6 kepada warganya, berapa besar konsumsi pada waktu pendapatan nasional negara tersebut berjumlah 300 ? Penyelesaian : C = 25 + 0,5Yd T = 16 R=6 Yd = Y – T + R
→ Yd = Y – 16 + 6
→ Yd = Y – 10
→C
→C
C = 25 + 0,5(Y – 10) C = 25 + 0,5Y – 5 C = 20 + 0,5Y Jika Y = 300 maka : C = 20 + 0,5(300) 7.
2
15
17
Pendapatan Nasional Pendapatan nasional adalah jumlah seluruh nilai out-put (barang
dan jasa) yang dihasilkan oleh suatu negara selama jangka waktu tertentu. Perhitungan pendapatan nasional dapat dilakukan dengan tiga macam
pendekatan
yaitu
pendekatan
produksi,
pendekatan
pendapatan, pendekatan pengeluaran. Ditinjau dari pendekatan pengeluaran, pendapatan nasional adalah jumlah pengeluaran yang dilakukan oleh seluruh sektor di dalam suatu negara. Pengeluaran sektor rumah tangga dicerminkan oleh konsumsi masyarakat (C), pengeluaran sektor badan usaha dicerminkan oleh investasi yang dilakukan oleh badan-badan usaha (1), pengeluaran sektor pemerintah dicerminkan oleh pengeluaran pemerintah (G), 21
sedangkan pengeluaran perdagangan internasional dicerminkan oleh selisih antara ekspor dan impor negara tersebut (X – M). Dengan demikian pendapatan nasional: untuk perekonomian 2 sektor untuk perekonomian 3 sektor untuk perekonomian 4 sektor dimana : Y = pendapatan nasional
C = konsumsi masyarakat
I = investasi nasional X = ekspor
G = pengeluaran pemerintah M = impor
Contoh : Hitunglah pendapatan nasional suatu negara jika diketahui autonomous consumption masyarakatnya sebesar 500, MPC = 0,8, investasi yang di lakukan oleh sektor badan usaha sebesar 300 dan pengeluaran pemerintahnya sebesar 250. Sedangkan nilai ekspor dan impornya masing-masing 225 dan 175 ! Pembahasan : a = 500
C = a + bYd
Yd = Y – T +R
b = MPC = 0,08
C = 500 = 0,8Y
Yd = Y – 0 + 0 = Y
Y = C + I + G + (X – M) Y = 500 + 0,8Y + 300 + 250 (225 – 175) Y = 1.100 + 0,8Y Y – 0,8Y =N1.100 0,2Y = 1.100 Y = 5.500 Jadi pendapatan nasional negara tersebut adalah sebesar 5.500.
22
LATIHAN I 1.
Pak Hendrian memiliki pendapatan sebesar Rp 300.000,00. Seluruh pendapatannya akan dianggarkan untuk membeli barang a dan barang b dengan harga masing-masing Rp 7.500,00 per unit dan Rp 5.000,00 per unit. Jika Pak Hendrian membeli barang a sebanyak 20 unit maka berapa unit barang b yang dapat dibeli pak Hendrian ?
2.
Gejala penawaran sandal merek “Walet” ditunjukkan oleh data sebagai berikut : pada harga Rp 35.000,00 ditawarkan sebanyak 50 buah tetapi bila harganya Rp 45.000,00 akan ditawarkan sejumlah 7 buah. Bagaimana fungsi penawaran sandal “Walet” itu ?
3.
Di sebuah toko buah N, saat harga salak Rp 10.000,00 per kg permintaan akan apel tersebut sebanyak 500kg, tetapi pada saat harga salak meningkat menjadi Rp 12.000,00 per kg permintaan akan salak menurun menjadi 300kg. Buatlah fungsi permintaannya dan grafiknya !
4.
Jumlah investasi yang terdapat di suatu negara sebesar 25. Ketika tingkat bunga yang berlaku 20%, dan sebesar 100 ketika tingkat bunga yang berlaku 5%. Bagaimana fungsi permintaan investasinya dan berapa besar investasi jika tingkat bunga 15% ?
5.
Bentuklah persamaan fungsi impor negara “Austria” bila diketahui autonomous import dan marginal propensity to import-nya masing-masing 50 dan 0,25 ! Berapa nilai impor jika pendapatan nasional sebesar 1. 200 ?
6.
Biaya tetap yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan sebesar Rp.10.000,
sedangkan
biaya
variabelnya
ditunjukan
oleh
persamaan VC = 200 Q. Tunjukan persamaan dan kurva biaya totalnya! Berapa biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan tersebut jika ia memproduksi 400 unit output ? 23
7.
Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan oleh P = 3.600 – 1,25Q dan fungsi penawarannya P = 0,75Q + 1.200. Produk tersebut dikenakan pajak oleh pemerintah sebesar Rp 400 per unit. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar sebelum dan sesudah kena pajak ? dan berapakah pajak yang diterima oleh pemerintah ? serta berapa pajak yang ditanggung oleh konsumen dan produsen ?
8.
Permintaan akan barang x ditunjukan oleh persamaan Qdx = 5 - 2Px + 4Py, sedangkan penawarannya Qsx = -5 + Px. Sementara itu permintaan akan barang y ditunjukan oleh persamaan Qdy = 6 + 2Px – 2Py. Sedangkan penawarannya Qsy = -4 + 4Py . berapa harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan yang tercipta dipasar untuk masing-masing barang tersebut ?
9.
Fungsi konsumsi masyarakat negara B ditunjukkan oleh C = 1.500 + 0,4Yd. jika pemerintah menerima pajak dari masyarakat sebesar 800 akan tetapi pemerintah juga memberi pembayaran alihan kepada masyarakat sebesar 300. Berapakah konsumsi nasional jika pendapatan nasional pada tahun tersebut 100.000 ? dan berapakah tabungan yang terkumpul ?
10. Konsumsi masyarakat sebuah negara ditunjukkan oleh persamaan C = 4.000 + 1,5Yd. investasi nasionalnya ditunjukkan oleh persamaan I = 3.000 – 800i. pengeluaran pemerintahnya sebesar 1.400, di samping itu pemerintah juga mengeluarkan pembayaran alihan sebesar 200, sedangkan pajak yang diterima pemerintah dicerminkan oleh T = 600 + 0,4Y. besarnya ekspor adalah 3.200, adapun impornya M = 1.800 + 0,1Y. tingkat bunga yang berlaku 30%. Hitunglah pendapatan nasional negara tersebut, konsumsi nasional dan pajak yang diterima oleh pemerintahnya ! Berapa pula nilai impornya ? 24
BAB II LIMIT FUNGSI A. Pengertian Limit Limit
menggambarkan
seberapa jauh sebuah fungsi
akan
berkembang apabila variabel didalamfungsi yang bersangkutan terus menerus berkembang mendekati nilai tertentu. Sebagai gambaran : dari y = f(x) akan dapat diketahui limit atau batas perkembangan f(x) ini apabila variabel x terus menerus berkembang hingga mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi f(x) mendekati L manakala variabel x mendekati a (a dan L keduanya konstanta), maka L disebut limit fungsi f(x) untuk x mendekati a. Hubungan ini dilambangkan dengan notasi : lim ( ) →
dan dibaca “limit fungsi f(x) untuk x mendekati a adalah L”. Artinya jika variabel x berkembang secara terus menerus hingga mendekati bilangan tertentu a, maka nilai fungsi f(x) pun akan berkembang pula hingga mendekati L. Atau sebaliknya, fungsi f(x) dapat dibuat mendekati nilai tertentu yang diinginkan L dengan mengembangjan variabel x sedemikian rupa hingga mendekati a. Dua hal perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan limit diatas. Pertama, x→
! Kedua, lim f(x) = L harus dibaca serta ditafsirkan
bahwa L adalah limit fungsi f(x), dan bukan berarti L adalah nilai fungsi f(x) ! Ringkasnya, ( )
→
bukan berarti f(a) = L
Contoh praktis berikut ini akan menjelaskan bagaimana bekerjanya teori limit dan apa sesungguhnya yang dimaksud dengan limit. Andaikan y = f(x) = 1
2 25
Maka lim lim
→
Limit
( )
→
(1
2
lim )
sebuah
→
(1
2
)
7 lim
→
( )
17
fungsi
dapat
dapat
pula
dianalisis
untuk
perkembangan variabel yang menuju nilai-nilai negatif tertentu, menuju 0, bahkan menuju
. Dengan demikian, untuk setiap fungsi
f(x) kita dapat menganalisi limit f(x) untuk x→ x→
→
→ ,
→ Seiring dengan itu dapat pula terjadi (untuk x mendekati sebarang
nilai tertentu) lim f(x) = + L, lim f(x) = f(x) =
atau lim f(x) =
lim f(x) = 0, lim f(x) = 0, lim
. Limit sesuatu fungsi hanya mempunyai
dua kemungkinan : ada (terdefinisi, terdefinisi; yakni jika limitnya adalah L, atau –
atau 0, atau
) atau tidak ada sama sekali
(tidak terdefinisi), dan tidak boleh taktentu (
).
Contoh: (1
)
1) lim
→
2) lim
→
3) lim
→
(1
2
)
4) lim
→
(1
2
)
(1
2 )
2
7 1
B. Limit Sisi-Kiri, Limit Sisi-Kanan Analisis mengenai limit sesuatu fungsi sesungguhnya dapat dipilih menjadi dua bagian, tergantung dari sisi mana kita melihat gerakan perkembangan variabelnya. Apabila kita menganalisislim
→
( ) dari
nilai-nilai x yang lebih kecil daripada a (dari x
26
Jadi, lim ( ) →
terdiri atas
lim
( )
→
lim
→
( )
(analisis sisi
(analisis sisi
kiri)𝑥 → 𝑎 dilihat
kanan)𝑥 → 𝑎 dilihat
dari nilai –nilai x< a
dari nilai –nilai x> a
Limit sebelah kiri dari sebuah fungsi nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilainilai yang membesar (x→a dari sisi kiri, melalui nilai-nilai x < a). Jadi, jika lim
→
( )
berarti
merupakan limit sisi-kiri dari f(x)
untuk x → Limit sisi-kanan dari sebuah fungsi adalah nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila variabelnya bergerak mendekati limitnya melalui nilai-nilai yang mengecil (x → Jadi, jika lim
→
( )
dari sisi kanan, melalui nilai-nilai x > a).
berarti
merupakan limit sisi-kanan dari
f(x) untuk x → Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit sisi-kiri dan limit sisi-kananya ada serta sama. Dalam kasus semacam ini lim →
( )
lim →
( )
lim ( ) →
Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan tersebut diatas tidak dipenuhi, maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah
27
satu sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama. Contoh: 1) lim
→
(1
Sebab lim
2 →
) (1
7 (terdefinisi) )
2
lim
(1
→
2
)
7
apabila tabel pada gambar 1.1 diperhatikan kembali dengan seksama, akan terlihat bahwa gerakan x → 2 dari kiri (dari x = 1; x = 1,50; x = 1,90 dan seterusnya) menyebabkab f(x) mendekati nilai 7. 2) Andaikan y = f(x) = lim ( ) →
maka 3
lim
lim
→
Karena lim
→
lim
→
lim
lim
3
→
tidak terdefinisi.
→
→
( )
y=f(x) 4 3 2
f(x)= -3/x
1 -3
-2
-1
-1
1
2
3
x
-2 -3 -4
28
Pada gambar tersebut, jika x mendekati 0 dari kiri ( dari x = 3
2, x =
1 dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi positif tak
terhingga. Tetapi jika x mendekati 0 dari kana ( dari x = 3, x = 2, x = 1 dan seterusnya), maka f(x) akan menjadi negatif tak terhingga. Itulah sebabnya untuk x →
lim f . / ini tidak terdefinisi.
Konsep limit, yang secara matematik terasa samar-samar, sebenarnya bukanlah sesuatu yang abstrak. Dalam kehidupan bisnis dan ekonomi
sehari-hari
konsep
ini
cukup
sering
diterapkan.
Ia
menggambarkan batas ideal tertentu (maksimum atau minimum) yang dapat atau harus dipenuhi, dalam kondisi yang juga ideal. Ambillah sebagai contoh tinggakt upah minimum. Ini menggambarkan batas upah terendah yang harus dipenuhi. Kalaupun dalam kenyataan tingkat upah minimum yang ideal ini tidak dipenuhi, karena kondisi ideal yang mendukungnya tidak memadai, namun setidak-tidaknya upah minimum yang langsung akan berkisar ditingkat ideal yang diharapkan (sedikit diatasnya atau sedikit dibawahnya). Gambaran mengenai batas ideal ini dapat pula kita temui dalam hal kapasitas produksi (maksimum), profit (maksimum), biaya (minimum) dan sebagainya. C. Kaidah-kaidah Limit 1. Jika y = f(x) = xn dan n > 0, maka lim Contoh : lim
→
2
8
lim
→
→
=
.
5
125
2. Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri. Contoh : lim
→
3
3
3. Limit dari suatu penjumlahan (pengurangan) fungsi adalah jumlah (selisih) dari limit fungsi- fungsinya. lim * ( ) →
( )+
lim ( ) →
lim ( ) →
29
Contoh : lim lim
*(1
→
)
2
( ) +
lim
(1
→
)
2
→
= (1 2. 2 )
2
7
8
1
4. Limit dari suatu perkalian fungsi adalah perkalian dari limit fungsi-fungsinya. lim * ( ) .
( )+
lim ( ) . lim ( )
). ( ) +
lim(1
2
→
→
→
Contoh : lim*(1
2
→
→
) . lim
( 7)(8)
→
56
5. Limit dari suatu pembagian fungsi adalah pembagian dari limit fungsi-fungsinya, dengan syarat limit fungsi pembagiannya tidak sama dengan nol. lim
→
( )
→
( )
( )
→
( )
Contoh : lim =
→
( →
(
→
(
) (
)(
) )
dengan syarat lim
= lim
(
→
) →
(
( )
→
)
→ (
)
5)
1
6. Limit dari suatu fungsi berpangkat n adalah pangkat n dari limit fungsinya. lim * ( )+ →
{lim ( )} →
Contoh : lim(1 →
2
)
{lim(1 →
2
)}
( 7)
343
7. Limit dari suatu fungsi terakar berpangkat positif adalah akar dari limit fungsinya. lim
→
{ √ ( )}
√lim
→
( ) n>0
Contoh : lim √( →
44)
( √lim →
44)
√64
4
30
D. Penerapan Ekonomi Penerapan limit dalam bidang ekonomi terbagi menjadi 2 yaitu:
a.
Produksi Marginal Produksi fisik marginal (MPP) didefenisikan sebagai output
tambahan yang dihasilkan dari adanya penggunaan satu unit tambahan input (
). Jika perubahan
→ , maka turunan pertama dari
fungsi produksi marginal dinyatakan sebagai: lim
… … (19)
→
Produksi fisik rata-rata akan sama dengan marginal produksi fisik (
) yaitu pada saat produksi rata-rata mencapai
maksimum. Secara geometris, dapat ditunjukan oleh perpotongan kurva produksi rata-rata pada posisi maksimum dengan kurva produksi marginalnya. Contoh: 1.
Diketahui fungsi produksi pada persamaan
6
dimana
P output produksi dan Q input produksi. a.
Carilah fungsi produksi marginal dan fungsi produksi ratarata
b.
Hitunglah produksi total, produksi marginal dan produksi rata-rata jika digunakan input sebanyak Q=10 unit.
c.
Berapa total biaya maksimumnya.
Penyelesaian: 6 a.
Fungsi produksi marginal,
Fungsi produksi rata-rata, b.
Pada
12
3
6
1 unit, maka 6
6 (1 )
(1 )
6
1
5 31
12
3
12 (1 )
3(1 )
12
3
1
5
9 6 (1 )
6 c.
(1 )
6
Total produksi maksimum (TPP) dicapai pada saat MPP=0, yaitu:
12
3
→ (12
3 )
diperoleh
4 unit
Jadi, TPP maksimum 6
b.
6 (4 )
(4 )
96.
64.
32.
Elastisitas Elastisitas dari suatu fungsi
( ) berkenaan dengan x dapat
didefinisikan sebagai : lim →
Ini berarti bahwa elastisitas
(
)
(
)
. … … (23)
( ) merupakan limit dari rasio
antara perubahan relative dalam y terhadap perubahan relative dalam x, untuk perubahan x yang sangat kecil atau mendekati nol. Dengan terminology lain, elastisitas y terhadap x dapat juga dikatakan sebagai rasio antara persentase perubahan y terhadap perubahan x. Elastisitas terbagi menjadi 2 yaitu:
1. Elastisitas Permintaan Elastisitas permintaan (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga permintaan, price elasticity of demand) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah barang yang diminta terhadap persentase perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f(P), maka elastisitas permintaannya : 32
lim
(
)
(
)
→
Dimana
.
… … (24)
tak lain adalah Q'd atau f'(P)
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila |
|
1, elastic – uniter jika |
|
1, dan inelastic bila |
|
1. Barang
yang permintaanya elastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut berubah sebesar persentase tertentu, maka permintaan terhadapnya akan berubah (secara berlawanan arah) dengan persentase yang lebih besar daripada persentase perubahan harganya. Contoh: Fungsi permintaan akan suatu barang ditunjukan oleh persamaan 25 – 3
. tentukan elastisitas permintaannya pada tingkat
harga P = 5. 25 – 3
. 6
6 (5).
6 .
.
3(
)
ηd = 3 berarti bahwa apabila, dari kedudukan
5, harga naik
(turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang diminta akan berkurang (bertambah) sebanyak 3 %. 2. Elastisitas Penawaran Elastisitas penawaran (istilahnya yang lengkap : elastisitas harga penawaran, price elasticity of supply) ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan
Qs = f(P), maka elastisitas penawarannya :
33
lim
(
)
(
)
→
Dimana
.
… … (25)
tak lain adalah Q's atau f'(P).
Penawaran suatu barang dikatakan bersifat elastic apabila elastic – uniter jika
1 dan inelastic bila
1,
1. Barang yang
penawarannya inelastic mengisyaratkan bahwa jika harga barang tersebut (secara searah) dengan persentase yang lebih kecil daripada persentase perubahan harganya. Contoh : Fungsi penawaran suatu barang dicerminkan oleh 2
7
. Berapa elastisitas penawarannya pada
tingkat harga P = 10 dan P = 15 ? 2
7
.
14 .
14 Pada
1 ,
Pada
14 . 15,
21 .
28 23
2 8 berarti bahwa apabila dari kedudukan P = 10, harga naik (turun) sebesar 1 % maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,8%. Dan bahwa apabila dari kedudukan
2 3 berarti
15, harga naik (turun)
sebesar 1% maka jumlah barang yang ditawarkan akan bertambah (berkurang) sebanyak 2,3% 3. Elastisitas Produksi Elastisitas produksi ialah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran (output) yang dihasilkan akibat 34
adanya perubahan jumlah masukan (input) yang digunakan. Jadi, merupakan rasio antara persentase perubahan jumlah keluaran terhadap persentase perubahan jumlah masukan. Jika P melambangkan jumlah produk yang dihasilkan sedangkan X melambangkan jumlah factor produksi yang digunakan, dan fungsi produksi dinyatakan dengan
P = f(X), maka efisiensi produksinya : lim →
Dimana
(
)
(
)
.
… … (25)
adalah produk marjinal dari X [P' atau f' (X)].
Contoh: 1.
Fungsi produksi suatu barang ditunjukan oleh persamaan 6
–
. Hitunglah elastisitas produksinya pada tingkat
penggunaan factor produksi sebanyak 3 unit dan 7 unit. 6
– .
12 (12
Pada
3,
(36
27) .
Pada
7,
(84
147) .
).
3 (
)
1
) (
(
–3
)
1 berarti bahwa, dari kedudukan
9 3, maka jika jumlah
input dinaikkan (diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 1 %. Dan dari kedudukan
9 berarti bahwa,
7, maka jika jumlah input dinaikkan
(diturunkan) sebesar 1% maka jumlah output akan bertambah (berkurang) sebanyak 9 %.
35
LATIHAN II 1.
Diketahui biaya tetap untuk produksi barang Q adalah sebesar 10, dan biaya variabelnya 4 per unit. Tentukan persamaan total biayanya (C) dan biaya rata-ratanya (AC)!
2.
Perusahaan menaksir biaya memproduksi x unit barang (dalam USD) adalah :C(x)=10.000+5x+0,01x2 . a. Tulisakan biaya marginalnya! b. Berapakah biaya marginalnya untuk 500 unit?
3.
Diketahui FC = 8 dan AVC = 3 + 5Q. Tentukan total biaya produksi
Q, dan biaya rata-rata (AC). Dan hitung nilai limitnya 4.
Pertambahan berat badan bayi dalam 30 hari pertama dinyatakan dalam fungsi b(t) = (1400t2+2,5) kg dengan t dalam hari. Tentukan kecepatan pertambahan berat badan bayi pada hari ke 20!
5.
Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya ratarata dan biaya marjinal?
6.
Dalam suatu pasar diketahui fungsi permintaannya Qd = 40 - 2P dan fungsi penawarannya Ps = Q + 5, berdasarkan informasi tersebut maka harga keseimbangan terjadi pada...
7.
Permintaan akan durian di Medan ditunjukkan oleh persamaan Q = 80 - 2P, sedangkan penawarannya dicerminkan oleh persamaan Q = -120 + 8P. Harga keseimbangan dan jumlah keseimbangan pasar durian di medan adalah...
8.
Saat harga Rp . 15.000,00 permintaan lampu adalah untuk 4.000 untuk setiap barang , dan untuk setiap kenaikan harga Rp . 1.000,00 permintaan lampu turun 500 untuk setiap barang . Berdasarkan data , fungsi permintaan adalah .... 36
9.
Hitunglah elastisitas produksi dari fungsi produksi P = 5X2 – 5X3 pada tingkat faktor produksi sebanyak 2 unit!
10. Pada saat harga Jeruk Rp. 5.000 perKg permintaan akan jeruk tersebut sebanyak
1000Kg, tetapi pada saat harga jeruk
meningkat menjadi Rp. 7.000 Per Kg permintaan akan jeruk menurun menjadi 600Kg, buatlah fungsi permntaannya ?
37
BAB III DIFERENSIAL A.
Difernsiasi Parsial Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya
akan memiliki satu macam turunan. Apabila y = f(x) maka turunanya hanyalah turunan y terhadap x dengan kata lain y
.
Sedangkan jika sebuah fungsi mengadung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan jumlah macam variabel bebasnya. Jadi, jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan, yaitu turunan y terhadap x atau
dan turunan y terhadap z atau
.
dengan demikian : 1. y = f(x,z) a) fx(x,z) = y b) fz(x,z) =
dy =
dx +
dz .
p = f(q,r,s) a) fq(q,r,s) = p
b) fr(q,r,s) = b) fs(q,r,s) =
dp = dan
dq +
dr +
ds
dalam kasus 1serta
,
, dan
masing di namakan derivatif parsial. Sedangkan
dalam kasus 2 masingdx ,
dz ,
dq , 38
dr , dan
ds dinamakan diferensial parsial. Adapun dy dan dp
dinamakan diferensial total. Contoh : y = x3 + 5z2
4x2z
6xz2 + 8z – 7
(1)
= 3x2 – 8xz – 6z2
(2)
= 10z – 4x2 – 12xz + 8
Dalam menurunkan y terhadap x yang dilambangkan dengan
,
hanya suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan ; sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel x dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol. Di lain pihak dalam menurunkan y terhadap z yang dilambangkan dengan
, hanya suku-
suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan ; sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel z dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol. B.
Derivatif Dari Derivatif Parsial Seperti halnya fungsi dengan satu variabel bebas, fungsi dengan
lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi . Turunan berikut dari turunan parsial tadi sudah barang tentu bias sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Akan tetapi bila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masih mengandung beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula. 39
Contoh : y = x3 + 5z2
4x2z
6xz2 + 8z – 7
(1)
= 3x2 – 8xz – 6z2
(2)
= 10z – 4x2 – 12xz + 8
Dalam contoh diatas ∂y/ ∂x maupun ∂y/ ∂z masih dapat diturunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z (1a)
terhadap x :
(1b)
terhadap z
= 6x – 8z = -8x – 12z
(2a)
terhadap x :
= -8x – 12z
(2b)
:
= 10 – 12x
Ternyata turuna parsial kedua (1a), (1b), (2a) dan (2b)
masih
dapat di turunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z. (1a.1)
terhadap x :
=
6
terhadap z :
=
-8
(1b.1)
terhadap x :
=
-8
(1b.2)
terhadap z :
=
-12
(2a.1)
terhadap x :
=
-8
(2a.2)
terhadap z :
=
-12
(2b.1)
terhadap x :
=
-12
(2b.2)
terhadap z :
=
0
(1a.2)
Sekarang turunan-turunan parsial ketiga ini tidak dapat lagi diturunkan secara parsial, karena masing-masing hanya tinggal mengandung konstanta. 40
C.
Nilai Ekstrim : Maksimum dan Minimum Nilai-nilai ekstrim dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari
dua variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya. Untuk y = f(x,y), Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika : 𝝏𝒚 𝝏𝒙
= 0 dan
𝝏𝒚 𝝏𝒛
=0
Syarat di atasadalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsi mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum ataukahtitik minimu, dibutuhkan syarat yang mencangkupkan (sufficient condition) , yakni: Maksimum bila
Minimum bila
Dalam hal
dan
𝝏2 𝒚 𝝏𝒙2
𝝏2 𝒚
0 dan 0 dan
𝝏𝒙2
𝝏2 𝒚
0
𝝏𝒛2
𝝏2 𝒚
0
𝝏𝒛2
= 0 , tak bias di tegaskan mengenai
nilaiekstrimnya. Untuk kasuasmacamini diperlukan penyelidikan danpengujianlebih lanjut. Contoh : Fungsi permintaan akan dua macam barang a dan b, masingmasing ditunjukkan oleh 2
1
2
4
dan
12
4
Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan jelaskan bentuk hubungan antara kedua macam barang tersebut, jika harga a dan b masing-masing sebesar 4 dan 3 per unit. 41
Penyelesaian : 1
2
4
12
2
2
4 4
2
2
Jika
4
1
2(4)
4(3)
14
3
12
2(4)
4(3)
8
.
2.
=-
.
4. =
.
4.
=-
.
2. = 1
Permintaan akan barang a bersifat inelastis karena
1,
sedangkan permintaaan akan barang b bersifat elastis
1.
Hubungan antara a dan b bersifat subtitutif karena elastisitas silang permintaannya bertanda positif. D.
PENERAPAN EKONOMI Pendekatan diferensial parsial sangat bermanfaat untuk diterapkan
pada model-model ekonomi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas,dalam hal kita hendak menelaah secara parsial pengaruh dari salah satu variabel bebas tadi terhadap vaiabel berikutnya. 1. Permintaan Marjinal dan Elastisitas Permintaan Parsial Apabila dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya,maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut.Dengan perkataan lain jika barang a dan barang b mempunyai hubungan penggunaan,maka : 42
Qda = f ( p a , pb ) dan Qdb f ( p a , pb )
Derivatif
pertama dari Qda dan Qdb adalah fungsi – fungsi
permintaan marjinalnya,dimana: Q da Pa
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan Pa
Q da Pb
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan Pb
Q db Pa
adalah permintaan marjinal b berkenaan dengan Pa
Q db Pb
adalah permintaan marjinal a berkenaan dengan Pb
Dengan dapat diturunkannya fungsi permintaan marjinal tersebut,dapatlah dihitung elastisitas permintaan parsialnya.Dalam hal ini terdapat dua macam elastisitas permintaan,yaitu elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang itu sendiri ( elastisitas harga-permintaan ),dan elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan harga barang lain (elastisitas silang – permintaan ). Q da EQ da Qda Pa = eda . P EPa Pa Qda a e db
Q db EQ db Qdb p b . P EPb Pb Qdb b
Q da EQ da Qda Pb e ab . EPb EPb Qda Pb
43
Q db EQ db Qdb Pa eba . P EP P Qdb a a a eda danedb keduanya merupakan elastisitas harga permintaan.
Sedangkan e ab dan eba keduanya negatif ( e ab <0 dan eba < 0 ) untuk Pa dan Pb tertentu ,berarti hubungan antara barang a dan barang b adalah komplementer atau saling melengkapi; sebab penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas keduanya. Sedangkan jika baik eab
maupun eba
keduannya positif (eab > 0 dan eba > 0) untuk Pa dan Pb tertentu , berarti hubungan antara barang a dan b adalah kompotitif atausuftitutif atau saling menggantikan; sebab penurunan harga salah satu barang akan diikuti oleh kenaikan permintaan atas barang tersebut dan penurunan permintaaan atas barang tersebut. Contoh : Fungsi permintaan akan barang a dan barang b masing-masing ditunjukkan oleh
.
1
.
dan
.
.
1
Berapa elastisitas permintaan masing-masing barang dan bagaimana hubungan antara kedua barang tersebut? .
.
1
.
.
.
.
2
.
3
.
1 44
1 . . .
3
.
=
.
= -2
.
=
.
=
=
.
= -3
.
.
=
.
= -3
.
.
.
.
.
.
=2
= -1
.
.
.
= -3
= -3
Barang a adalah barang elastis karena eda >1. Sedangkan b adalah barang yang unitary-elastic karena eda = 1 ( ingat: dalam dalam menafsirkan elastisitas harga-permintaan cukup dengan melihat besarnya angka hasil perhitungan, tandanya tak perlu dihiraukan ). Adapun hubungan antara a dan b adalh bersifat komplementer karena eab > 0 dan eba > 0 . 2.
Perusahaan Dengan Dua Macam Output dan Biaya Produksi Gabungan Apabila sebuah perusahaan menghasilkan dua macam output, dan
biaya yang dikeluarkannya untuk memproduksi kedua macam output itu Merupakan biaya produksi gabungan ( joint production cost ), maka perhitungan
keuntungan
maksimum
yang
diperolehnya
dapat
diselesaikan dengan pendekatan diferensiasi parsial. Dengan metode 45
serupa, pendekatan ini dpat pula digunakan untuk menganalisa kasus perusahaan yang menghasilkan lebih dari dua macam output yang biaya produksinya juga merupakan biaya produksi gabungan. Andaikan sebuah perusahaan memproduksi dua macam barang, a dan b, dimana fungsi permintaan akan masing-masing barang dicerminkan oleh Qa dan Qb, serta biaya produksinya C = f ( Qa, Qb). Maka Penerimaan dari memproduksi a : Ra = Qa . Pa = f (Qa) Penerimaan dari memproduksi b : Rb = Qb . Pb = f (Qb) Penerimaan total : R = Ra + Rb = f(Qa) + f(Qb) Dengan biaya total C = f (Qa + Qb), fungsi keuntungannya : = R – C = f(Qa) + f(Qb) – f (Qa, Qb) = g(Qa, Qb) maksimum bila
=0
(1)
Qa =
=0
(2)
Qb =
=0
Dari (1) dan (2) nilai Qa dan Qb dapat diperoleh. Selanjutnya nilai
maksimum bisa dihitung.
Contoh : Biaya
total
yang
dikeluarkan
sebuah
perusahaann
yang
memproduksi dua macam barang, a dan b, ditunjukkan oleh C = +3
+ Qa . Qb . harga jual masing-masing barang per unit
adalah Pa = 7 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masingmasing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besarnya keuntungan maksimum tersebut.
Penyelesaian : Ra = Qa . Pa = 7 Qa R = Ra + Rb = 7Qa + 20 Qb Rb = Qb . Pb = 20 Qb = R – C = 7 Qa + 20 Qb -
+3
+ Qa . Qb 46
Agar
maksimum,
=0
(1)
=0→7
2 Qa – Qb = 0
(2)
= 0 → 20 – 6 Qb – Qa = 0
Dari (10) dan (2) diperoleh Qa = 2 dan Qb = 3 maksimum = 7 Qa + 20 Qb -
+3
+ Qa . Qb
= 7(2) + 20(3) – 2 - 3(3) – (2) (3) = 37 Jadi
agar
keuntungan
maksimum,
perusahaan
harus
memproduksi 2 unit a dn 3 unit b dengan keuntungan sebesar 37. 3. Produk Marjinal Parsial Untuk memperoleh sesuatu barang pada dasarnya diperlukan beberapa macam input atau faktor produksi seperti tanah, modal, tenaga kerja, bahan baku, mesin-mesin dan sebagainya. Jika jumlah output yang dihasilkan dilambangkan dengan P dan input-input yang digunakan dilambangkan dengan xi (i = 1,2,....., n), maka fungsi produksinya dapat dituliskan dengan notasi p = f (x1,x2,x3,.....,xn). Sebagian dari input yang digunakan sudah barang tentu merupakan input tetap, sementara sebagian lainnya adalah input variabel. Selanjutnya jika untuk memproduksi suatu barang dianggap hanya ada dua macam input variabel (katakanlah K dan L), maka fungsi produksinya secara pasti dapat dinyatakan dengan : P = f(K,L) Derivatif pertama dari P merupakan produk marjinal parsialnya. adalah produk marjinal berkenaan dengan input K. adalah produk marjinal berkenaan dengan input L. Untuk P= konstanta tertentu, fungsi produksi P = f (K,L) merupakan suatu persamaan isoquant, yaitu kurva yang menunjukan 47
berbagai kombinasi penggunaan input K dan L yang menghasilkan output dalam jumlah sama. 4.
Keseimbangan produksi Keseimbangan produksi maksudnya ialah suatu keadaan atau
tingkat penggunaaan kombinasi faktor-faktor produksi secara optimum, yakni suatu tingkat pencapaian produksi dengan kombinasi biaya terendah (least cost combination). Secara geometri, keseimbangan produksi terjadi pada persinggungan isocost dengan isoquant. Isocost adalah kurva yang mencerminkan kemampuan produsen membeli berbagai macam input berkenaan dengan harga masing-masing input dan jumlah uang yang dimilikinya. Jika jumlah dana yang dianggarkan untuk membeli input K dan input L adalah sebesar M, serta harga input K dan input L masing-masing Pk dan P1, Persamaan isocostnya dapat dituliskan dengan notasi M = K. Pk +L.P1. Tingkat kombinasi penggunaan input yang optimum atau “least cost combination” dapat dicari dengan metode lagrange. Dalam hal ini fungsi produksi P = f (K,L) di maksimumkan terhadap fungsi isocost M = K.PK + L.P1. Fungsi objektif yang hendak di optimumkan : P = f( K,L) Fungsi kendala yang di hadapi
: M = K. Pk +L.P1
K. Pk +L.P1-M = 0 Fungsi baru lagrange : F(K,L) + f(K,L) + (K. Pk +L.P - M) Syarat yang diperlukan agar F(K,L) maksimum : (
FK (K,L) = 0 → FL (K,L) = 0 →
(
) )
Pk = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1) P1 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)
Dari (1) dan (2) nilai K dan nilai L dapat di peroleh. Selanjutnya nilai P maksimum bisa dihitung.
Sekarang perhatikan : 48
Produk total : P = f (K,L) (i)
Produk marjinal input K : MPK = fK(K,L) =
(ii)
Produk marjinal input L : MPL = fL (K,L) =
Pengembangan lebih lanjut persamaan (1) dan (2) diatas tadi akan menghasilkan : (1) fk (K,L) + Pk = 0 → fk (K,L) =- Pk, (2) fl (K,L) + Pl = 0 → fl (K,L) =- Pl,
(
=
=
(
) )
Dengan demikian, syarat keseimbangan produksi dapat juga dirumuskan : (
)
=
(
)
= Jadi dalam rumusan lain dapat pula dinyatakan, bahwa produksi optimum dengan kombinasi biaya terendah akan tercapai apabila hasil bagi produk marjinal masing-masing input terhadap harganya bernilai sama. Contoh : Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 6
.
Bentuklah fungsi produk marjinal untuk masing-masing faktor produksi. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 8 unit K dan 27 unit L ?
Penyelesaian : P=6 MPk = Pk =
=4
=
Jika K = 8 dan L = 27, 49
5.
MPk =
(
MPl =
( )
)
√
= =
√ √ √
( )
= =
√ √
= 6
=
( )
=
Utilitas Marjinal Parsial dan Keseimbangan Konsumsi Dalam kenyataan sehari-hari, seorang konsumen tidak hanya
mengkonsumsikan satu macam barang tetapi berbagai macam. Jika kepuasan konsumen dilambangkan dengan U dan barang-barang yang dikonsumsinya dilambangkan dengan Qi = (1,2,3,.....,n), maka fungsi utilitas dapat dituliskan dengan notasi U = f (Qi, Q2,Q3,.....,Qn). Seandainya untuk penyederhanaan dianggap bahwa seorang konsumen hanya mengkonsumsi dua macam barang, katakanlah X dan Y, maka fungsi utilitasnya adalah : U = f( X,Y) Derivatif pertama dari U merupakan utilitas marjinal parsialnya. = utilitas marjinal berkenaan dengan barang X. = utilitas marjinal berkenaan dengan barang Y. Untuk U adalah konstanta tertentu, fungsi utilitas U = f(X,Y) merupakan suatu persamaan kurva indiferens (indifference curve), yaitu kurva yang menunjukan berbagai kombinasi konsumsi barang X dan Y yang memberikan tingkat kepuasan sama.
Keseimbangan Konsumsi
Keseimbangan konsumsi maksudnya adalah suatu keadaan atau tingkat kombinasi konsumsi beberapa macam barang yang memberikan kepuasan optimum. Secara geometri, keseimbangan konsumsi terjadi pada persinggungan kurva indiferens dengan garis anggaran konsumen (budget line). Garis anggaran adalah garis yang mencerminkan 50
kemampuan konsumen membeli berbagai macam barang berkenaan dengan harganya masing-masing dan pendapatan konsumen. Jika pendapatan konsumen berjumlah M serta harga barang X dan Y masingmasing Px dan Py per unit, persamaan budget line nya dapat dituliskan dengan notasi M = x.Px + y.Py Tingkat kombinasi konsumsi yang memberikan kepuasan optimum atau keseimbangan konsumsi dapat dicari dengan metode lagrange. Dalam hal ini, fungsi utilitas U = f(X,Y) dimaksimumkan terhadap fungsi anggaran M = x.Px + y.Py. analog dengan penyelesaian keseimbangan produksi sebagaimana diuraikan pada seksi sebelum ini, diperoleh fungsi lagrange :F(X,Y) = f(X,Y) + (x.Px + y.Py – M) Agar F maksimum : Fx (X,Y) = 0→ fx(X,Y) + Px = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) Fy (X,Y) = 0→ fy(X,Y) + Py = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(2) Dari (1) dan (2) nilai X dan Y dapat diperoleh, kemudian nilai U maksimum bisa di hitung. Selanjutnya perhatikan : Utilitas total
: U = f(X,Y)
Utilitas marjinal
: MU
U
f (X Y)
(i)
Utilitas marjinal barang X : MUx = fx(X,Y) =
(ii)
Utilitas marjinal barang Y : MUy = fy(X,Y) =
Menurut (1) : fx(X,Y) +
Px = 0 → - =
Menurut (2) : fy(X,Y) +
Py = 0 → - =
(
)
(
)
Dari (1) dan (2)
51
(
)
(
=
)
=
Jadi
dalam
rumusan
lain
dapat
pula
dinyatakan,
bahwa
keseimbangan konsumsi akan tercapai apabila hasil bagi utilitas marjinal seimbang masing-masing barang terhadap harganya bernilai sama. Contoh : Kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsikan barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = X2Y3. Jumlah pendapatan konsumen 1.000 rupiah, harga X dan Y perunit masing-masing 25 rupiah dan 50 rupiah. a). Bentuklah fungsi utilitas marjinal tiap masing-masing barang. b). Berapa utilitas marjinal tersebut jika konsumen mengkonsumsikan 14 unit X dan 13 unit Y?
Penyelesaian : a)
b)
U = X2Y3 MUx = Ux =
2
MUy = Yy =
3
Jika X = 14 dan Y = 13, MUx = 2 (14)(13)3 =1=61.516 MUy = 3 (14)2 (13)2 = 99.372 =
.
2.46 64
=
.
1.987 44
52
LATIHAN III 1.
Andaikan kepuasaan total seorang konsumen dari mengkonsumsi barang X dan Y dirumuskan oleh persamaan utilitas
. Jika
konsumen tersebut menyediakan anggaran sebesar 4000 rupiah untuk membeli X dan Y, sedangkan harga X dan Y masing-masing 150 rupiah dan 200 rupiah per unit, hitunglah berapa unit X dan Y seharusnya ia beli agar kepusaan maksimum? 2.
Fungsi permintaan akan dua macam barang a dan b, masing-masing ditunjukkan oleh
1
2
4
dan
12
2
4 .
Hitunglah elastisitas permintaan masing-masing barang dan jelaskan bentuk hubungan antara kedua macam barang tersebut, jika harga a dan b masing-masing sebesar 4 dan 3 per unit. 3.
Buktikan bawah fungsi produksi Cobb-Douglas P=6 K2/3 L1/3 adalah fungsi homogen berderajat satu (Homogen linier)
4.
Jelaskan termasuk fungsi homogen berderajat berapakah fungsi fungsi produksi P = 0,75 K2 + 0,60 L2 – 0,50 KL ini.
5.
Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing ditunjukkan oleh Qda . Pa2 . Pb4 – 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb2 – 1 = 0 , berapa elastisitas permintaan masing-masing barang
6.
Fungsi permintaan akan barang A dan barang B masing – masing ditunjukkan oleh Qda . Pa2 . Pb4 – 1 = 0 dan Qdb . Pa . Pb2 – 1 = 0 , bagaimanakah hubungan antara kedua barang tersebut?
7.
Biaya
total
yang
dikeluarkan
sebuah
perusahaan
yang
memproduksi dua macam barang, A dan B ditunjukkan oleh C = 2Qa2 + Qb2 + Qa . Qb. Harga jual masing-masing barang perunit adalah Pa = 6 sedangkan Pb = 20. Hitunglah berapa unit masing – masing barang harus diproduksi agar keuntungannya maksimum dan besarnya keuntungan maksimum tersebut? 53
8.
Seorang produsen mencadangkan 96 rupiah untuk membeli input K dan input L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Fungsi produksinya P = 12 KL. Berapa unit masing-masing input seharusnya ia gunakan agar produksinya optimum, dan berapa unit output yang dihasilkannya dari kombinasi tersebut ?
9.
kepuasan seorang konsumen dari mengkonsumsikan barang X dan Y dicerminkan oleh fungsi utilitas U = XY2. Harga X dan Y perunit masing masing 20 rupiah dan 50 rupiah.
10.
Fungsi produksi suatu barang dinyatakan dengan P = 2X2 Y3. Bentuklah fungsi produksi marjinal utnuk masing-masing factor produksi. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 6 unit X dan 12 unit Y ?
54
BAB IV INTEGRAL A.
Pengertian Integral Dalam kalkulus integral di kenal dua macam pengertian integral,
Yaitu integral tak tentu ( indefinite integral ) dan integral tertentu ( definite integral). Integral tak tentu adalah keblikan dari diferensial yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungi asal apabila turunan atau derivative dari fungsinya di ketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu . B.
1.
Macam-Macam Integral
Integral tak Tentu Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(X) berarti adalah mencari
integral atau turunan antinya, yaitu f(X) yang apabila di derefisiasikan menghasilkan f(X) . Bentuk umum integral f(X) adalah 𝑓(𝑋)𝑑𝑋
𝐹 (𝑋)
𝑘
Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertntu . dalam rumusan di atas tanda ∫ adalah tanda integral f(X) dX adalah diferensial dari f (X) ; f(X) sendirian di sebut integran , dX sendirian di sebut diferensial , f(X) adalah integral particular, k adalah konstanta pengintegralan dan F(X) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses mengintegralkan di sebut juga integrasi. Dalam diferensial kita menemukan , bahwa jika misalnya suatu fungsi asal di lambangkan dengan f(X) dan fungsi turunya di lambangkan dengan f(X) maka, Fungsi asal : F(X) = X2 + 5 Fungsi turunanya f(x) =
( )
2 55
Jika prosesnya dibalik, yakni fungsi turunan f(X) di integralkan maka ∫ ( )
( )
X2 + k
Karena derivative dari setiap konstantan adalah 0 , maka dalam mengintegralkan setiap fungsi turunan konstanta k tetap dalam bentuk k. artinya nilai konstanta tersebut tidak dengan sendirinya bisa di isi dengan bilangan tertentu, kecuali di dalam soal memang sudah di tentukan nilai konstantanya.
a.
Kaidah-kaidah Integrasi tak tentu 1. Formula Pangkat
∫ Xn dX =
𝑋𝑛
+k, n
𝑛
Contoh : ∫ X4 dX =
+k =
+k
2. Formula Logaritmis ∫
𝑥
dX = ln x + k
Contoh : ∫ dX = 3 ln x + k 3. Formula eksponensial ∫ ex dx = ex + k ∫ eu du = eu + k , u Contoh : ∫ ex+2 dX
∫ e x+2 d(x+2)
= e x+2 + k
56
4. Formula Penjumlahan ∫ { f(x) + g(x) } dx = ∫ f (x) dx + ∫ g(x) dx Contoh : ∫ ( x4 + 3x2) dx
= F(x) + G(x) + k ∫ x4 dx ∫ 3x2 dx
= 0,25 x5 + x3
+k
5. Formula perkalian ∫ nf (x) dx = n ∫ f( x ) dx
n≠0
Contoh : ∫ 3x2 dx
3 ∫ x2 dx
=3
+k
= x3 + k 6. Formula Subtitusi ∫ f( u)
𝑑𝑢 𝑑𝑥
dx = ∫ f(u) du = F (u) + k
Di mana u = g(x) , dan ∫ du merupakan substitusi
bagi ∫ dx Contoh : Selesaikanlah 1. ∫ 6x (3x2 – 1 ) dx … ∫ 6x (3x2 – 1 ) dx
∫ (18x3 – 60x) dx
= 4,5x4 – 30x2 + k
57
C.
Penerapan Dalam Bidang Ekonomi Sudah dijelaskan bahwa integral tak tentu dalam dunia ekonomi
sering diterapkan untuk mencari persamaan fungsi biaya, fungsi penerimaan,
fungsi
produksi,fungsi
utilitas,fungsi
konsumsi
dan
tabungan . Berikut ini adalah langakah – langakah untuk cara penerapan integral tak tentu :
1.
Fungsi Biaya Biaya total
: C =f (Q)
Biaya marjinal : MC
C
f (Q) C = ∫ MC dQ = ∫ f’ (Q)
Biaya total tak lain adalah integral dari biaya marjinal Contoh : Biaya marjinal suatu perusahaan di tunjukkan oleh MC = 3Q2- 6Q + 4 Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya? Penyelesaian Biaya total : C
: ∫ MC dQ ∫ ( 3 Q2 – 6Q + 4) dQ = Q3 – 3Q2 + 4Q + k
Biaya rata-rata : AC =
= Q2 – 3Q + 4 +K / Q
Konstanta k tak lain adalah biaya tetap . jika di ketahui biaya tetap tersebut adalah 4 , maka: C = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4 AC = Q2 – 3Q + 4 + 4 / Q
58
2.
Fungsi Penerimaan fungsi penerimaan dapat kita cari dengan integral tak tentu dengan
langakah seperti berikut : Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR). F(Q) = ∫ f(Q) dQ TR = ∫ MR dQ Contoh : Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ? TR
∫ MR dQ ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c Jika c = 0 TR
3.
= 5Q3 + 5Q2 – 5Q
Fungsi Produksi Fungsi produksi dapat kita cari dengan integaral tak tentu dapat
dilakukan dengan langkah – langakah sebagai berikut ini. 1.
Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q = masukan
2.
Produk Marjinal : MP
P
f (Q)
3.
Produk Total adalah integral dari produk marjinal. P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ
59
Contoh:
:
Diketahui produk marjinalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? penyelesaian : P
∫ MP dQ ∫ ( 2Q2 + 4 ) dQ =
Q3 + 4Q + c Jika c = 0
P=
Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi
4.
adalah P = 2/3 Q3 + 4Q
Fungsi Utilitas Utilitas total
: U = f(Q)
Utilitas marjinal : MU
U
f (Q)
Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal U = ∫ MU dQ = ∫ f’ (Q) dQ
Contoh : Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinal MU = 90 – 10 Q ? Penyelesaian : Utilitas Total : U
∫ MU dQ
∫ ( 9 – 10Q) dQ = 90Q – 5 Q2
60
konstanta k = 0 , sebab tidak akan ada kepuasan atau untilitas yang diperoleh seseorang jika tidak ada barang yg di konsumsi.
5.
Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Dalam ekonomi makro, konsumi ( C ) dan tabungan (S) dinyatakan
fungsional terhadap pendapatan nasional (Y). C = f (Y) = a + bY MPC
C
f (Y)
b
Karena Y = C + S , maka S = g (Y) = -a + (1- b )Y MPS
C
g (Y)
(1 – b)
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masingmasing adalah integral dari marjinal propensity to consume dan marginal propensity to save.
C = ∫ MPC dY = F (Y) + k
k≡a
S = ∫ MPS dY = G(Y) + k
k ≡ -a
Contoh: Carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui autonomous consumptionnya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8 ? Penyelesaian : C
∫ MPC dY
∫ 8 dY
8 dY
3 milyar
S
∫ MPS dY
∫ 2 dY
2 dY - 30 milyar atau
S = Y – C = Y – ( 0,8Y + 30 milyar ) = 0,2Y – 30 milyar 61
D.
Integral Tertentu Kalau ʃ f(x) dx disebut integral tak tentu yang merupakan fungsi F
(x)
c yang turunannya
F (x)
f (x) maka yang dimaksud dengan
integral tertentu adalah integral yang mempunyai batas bawah dan batas atas, yang tertulis dalam bentuk aʃb f(x).dx ; a adalah batas bawah dan b adalah batas atas. Harga integral ini adalah tertentu yang ditentukan oleh besarnya harga a dan b, yang merupakan selisih antara F (b) dan F (a). Menjadi :
aʃ
Notasi [F(x)]
b
f(x)= [F(x)] 𝑎𝑏
F(b) – F(a)
berarti bahwa pada fungsi F(x), harga x harus
diganti dengan harga b dan a, kemudian hitunglah selisih antara F(b) dengan F(a). Dengan demikian pada perhitungan integral tertentu, kita harus menentukan dulu hasil dari integral tak tentu, tetapi tidak lagi memasukkan faktor konstan c pada perhitungan F(b) – F(a) karena dari selisih F(b) – F(a) faktor c akan hilang. Contoh: 2ʃ4 (3x2
+ 4x – 2) dx = [x3 + 2x2 – 2x] = (43 + 2.42 – 2.4) – (23 + 2.22 – 2.2) = 88 – 12 = 76
E.
Kaidah - kaidah Integral Tertentu Untuk a < c < b, berlaku : 1.
a ʃb
f(x)= [F(x)]
F(b) – F(a)
2.
aʃbf(x).dx
=0
3.
aʃbf(x).dx
= -aʃbf(x).dx 62
F.
4.
aʃcf(x).dx
+ cʃbf(x).dx = aʃbf(x).dx
5.
aʃb{f(x)
6.
aʃbk.f(x).dx
+ g(x)}.dx = aʃbf(x).dx + aʃbg(x).dx = k.aʃbf(x).dx ; (k = bilangan konstan)
Aplikasi Integral Tertentu dalam Surplus Konsumen dan Surplus Produsen Operasi hitung integral dapat diterapkan dalam persoalan ekonomi,
misalnya dalam integral tak tentu digunakan menghitung fungsi total, dan dalam integral tertentu digunakan untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen. Jika diketahui fungsi demand dan supply suatu barang, operasi hitung integral dapat dipakai untuk menghitung surplus konsumen dan surplus produsen pada saat market equilibrium atau pada tingkat harga tertentu.
1.
Surplus Konsumen Konsumen yang mampu atau bersedia membeli barang lebih
tinggi (mahal) dari harga equilibrium Pe akan memperoleh kelebihan (surplus) untuk tiap unit barang yang dibeli dengan harga Pe. Pada saat equilibrium, jumlah total pengeluaran (total expenditure) konsumen = Pe.Qe yang dalam gambar ini adalah luas empat persegi panjang OPeEQe, sedangkan konsumen yang tadinya bersedia membeli barang ini lebih tinggi dari harga Pe akan menyediakan uang yang banyaknya = luas daerah yang dibatasi kurva demand yang sumbu tegak P, sumbu mendatar Q, dan garis ordinat o = Qe .
63
Karena itu, besarnya surplus konsumen yakni selisih antara jumlah uang yang disediakan dikurangi dengan jumlah pengeluaran nyata konsumen sehingga surplus konsumen dapat dinyatakan sebagai berikut: Cs =∫
𝑄𝑒
𝑓 (𝑄) dQ –
QePe Dalam hal fungsi permintaan berbentuk P = f (Q) Atau Cs = ∫
( ) dP
Dengan demikian Cs = ∫
𝑄𝑒
𝑓 (𝑄) dQ – QePe =
𝑝
∫ 𝑓 (𝑃) dP Jika dari fungsi demand 𝑃𝑒 p = f(x) maka hasil dari 0ʃa f(x).dx adalah jumlah uang yang disediakan. Contoh : Fungsi permintaan akan suatu barang di tunjukan oleh persamaan Q = 48 – 0,03 P2 . hitunglah surplus konsumen jika tingkat harga pasar 30 ?
64
Jawab : Di ketahui :
Q = 48- 0,03P2 Pe = 30 Di Tanya : Cs
….?
Penyelesaian : Q = 48 – 0,03P2 Jika P = 0, Q = 48 Jika Q = 0 ,P = 40 Jika P ≡ Pe 3 Q ≡ Qe Cs= ∫
( ) dP
21
= ∫ (48 = ,48
3 P2) dP 1 3-
= { 48 (40) – 0,01 (40)2} – { 48 (40) – 0,01 (30)3} = (1920 – 640) – ( 1440 – 270) = 110
65
2. Surplus Produsen Surplus produsen adalah selisih antara hasil penjualan barang dengan jumlah penerimaan yang direncanakan produsen dalam penjualan sejumlah barang. Pada saat harga terjadi price equilibrium Pe maka penjual barang yang bersedia menjual barang ini dibawah harga pe akan memperoleh kelebihan harga jual untuk tiap unit barang yang terjual yakni selisih antara po dengan harga kurang dari pe.
Surplus produsen atau Ps ( singkatan dari Producers surplus ) tak lain adalah segitiga PeDE, dengan rentang wilayah yang dibatasi oleh Q = o sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas. Besar surplus produsen adalah : 𝑄
PS = QePe - ∫ 𝑒 𝑓 (𝑄) 𝑑𝑄 Dalam hal fungsi penawaran berbentuk P = f (Q) atau PS = ∫
( )
Dalam hal fungsi penawaran berbentuk Q = f (P) ; P adalah nilai P untuk Q = 0, atau penggal kurva penawaran pada sumbu harga.
66
Dengan demikian 𝑄
𝑃
PS = QePe - ∫ 𝑒 𝑓 (𝑄) 𝑑𝑄
𝑒 ∫𝑃 𝑓 (𝑃) 𝑑𝑃
Contoh : Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,50 Q + 3. Berapa surplus produsen itu bila tingkat harga keseimbangan di pasar adalah 10 ? Penyelesaian : Diketahui : P = 0,50 Q + 3 jadi dirubah kedalam Q = -6 + 2P Jika Q = 0 maka P = 3 Jika P = 0 maka Q = -6 Jika Pe = 10 maka Qe = 14 Jadi Ps nya PS = ∫
( )
∫ ( 6 , 6
)
-
* 6 (1 ) 4
2
1
( 9)
+
* 6 (3)
3 +
49
67
LATIHAN IV 1.
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukan oleh MC = 3Q2 – 6Q + 4. Carilah persamaan biaya totalnya jika di ketahui biaya tetapnya Rp 2, tentukanlah besar biaya totalnya ?
2.
Produk marjinal sebuah perusahaan di cerminkan olh MP = 14X – 6x2 . Carilah persamaan produk totalnya ?
3.
Jika g (x)
2x – 3 dan g(2)=1 , tentukan g(x) !
4.
Penawaran dan permintaan akan suatu barang di pasar masing – masing ditunjukkan oleh Q = - 30 + 5 P dan Q = 60 – 4 P . hitunglah masing – masing surplus
5.
Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinal MU = 50Q – 3Q2?
6.
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 12Q2 + 10Q – 3. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 3 ?
7.
Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukan oleh MC = 12Q2 – 3Q + 6. Carilah persamaan biaya totalnya jika di ketahui biaya tetapnya Rp 2, tentukanlah besar biaya totalnya ?
8.
Produk marjinal sebuah perusahaan di cerminkan oleh MP = 20X – 12X3 . Carilah persamaan produk totalnya ?
9.
Fungsi marjinal dalam tabungan adalah , MPS = 0,25 , bila pendapatan nasional 50, maka terjadi tabungan negative 5, tentukanlah fungsi tabungan ,S= = f(y) dan tentukanlah fungsi konsumsi ,C= f(y)
10. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran D: p = -1/2 x2 – 1/2 x + 33 S: p = 6 + x Dapatkan besarnya surplus konsumen pada saat terjadi market
equilibrium (ME). 68
DAFTAR PUSTAKA Bumolo, Husain dan Mursinto, Djoko. 2005. Matematika untuk Ekonomi
dan Aplikasinya Edisi 7.Malang: Bayumedia Publishing. Ciang,Alpha C.2006.Dasar-dasar Matematika Ekonomi Edisi Keempat
Jilid 1.Jakarta:Erlangga D.Sriyono.2009.Matematika Ekonomi dan Keuangan.Yogyakarta: Dumairy.1998.Matematika Terapan untuk Bisnis dan
Ekonomi.Yogyakarta:BPFE. J.Supranto.2005.Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis.Jakarta: Ghalia Indonesia. Nababan M. 1988. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan Bisnis. Jakarta: Erlangga.
69
